GeoPlanaR1- Exercícios comentados

Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca)

Geometria plana.Resumo teórico e exercícios.

3º Colegial / Curso Extensivo.

Relação das aulas.

Aula 01 - Conceitos iniciais................................................................ Aula 02 - Pontos notáveis de um triângulo......................................... Aula 03 - Congruência de triângulos..................................................Aula 04 - Quadriláteros notáveis........................................................Aula 05 - Polígonos convexos............................................................Aula 06 - Ângulos na circunferência...................................................Aula 07 - Segmentos proporcionais...................................................Aula 08 - Semelhança de triângulos...................................................Aula 09 - Relações métricas no triângulo retângulo...........................Aula 10 - Relações métricas num triângulo qualquer.......................Aula 11 - Circunferência e círculo.....................................................Aula 12 - Inscrição e circunscrição de polígonos regulares.............Aula 13 - Áreas das figuras planas...................................................

Jeca 01

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Página

Considerações gerais.

Este estudo de Geometriade Plana tem como objetivo complementar o curso que desenvolvo com os alunos de 3º Colegial e de curso pré-vestibular. Não tem a pretensão de ser uma obra acabada e, muito menos, perfeita.

Autorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material, desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. Essa comunicação me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém.

Peço a todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que me comuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho.

Meu e-mail - [email protected]

Um abraço.

Jeca (Lucas Octavio de Souza)

I) Reta, semirreta e segmento de reta.

A B

A B

A B

A B

reta AB

semirreta BA

segmento AB

semirreta AB

Definições.a) Segmentos congruentes. Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida.

b) Ponto médio de um segmento. Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.

c) Mediatriz de um segmento. É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio

II) Ângulo.A

O

B

a

OA - ladoOB - ladoO - vértice

ângulo AOB ou ângulo a

Definições.a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas demesma origem.

b) Ângulos congruentes. Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma medida.

c) Bissetriz de um ângulo. É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divideesse ângulo em dois ângulos congruentes.

IIa) Unidades de medida de ângulo.

a) Grau. A medida de uma volta completa é 360º.

1º = 60' 1' = 60"

b) Radiano.

A medida de uma volta completa é 2p radianos.

Um radiano é a medida do ângulo central de uma circunferência cuja medida do arco correspondente é igual à medida do raio da circunferência.

º - grau' - minuto" - segundo

IIb) Classificação dos ângulos.

= 0º - ângulo nulo. 0º < < 90º - ângulo agudo. = 90º - ângulo reto.90º < < 180º - ângulo obtuso. = 180º - ângulo raso.

aaaaa

Definições.a) Ângulos complementares. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 90º.

b) Ângulos suplementares. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 180º.

IIc) Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal.

r

s

t

r // s

a

b c

d

e

fg

h

a) Ângulos correspondentes (mesma posição). exemplo - b e f.Propriedade - são congruentes.

b) Ângulos colaterais (mesmo lado). exemplo de colaterais internos - h e c. exemplo de colaterais externos - d e g.Propriedade - são suplementares (soma = 180º)

c) Ângulos alternos (lados alternados). exemplo de alternos internos - b e h. exemplo de alternos externos - a e g.Propriedade - são congruentes.

Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca

(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)

Geometria planaAula 01

Conceitos iniciais de Geometria Plana.

Jeca 02

1) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos internos é 180º.

2) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes.

3) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos externos é 360º.

4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congru-entes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o seu lado diferente.

a

b

ga + b + g = 180º

e

e1

e2

e3

i

lado

vértice

i - ângulo internoe - ângulo externo

Num mesmo vértice, tem-se

i + e = 180º

III) Triângulos.

Propriedades dos triângulos.

Classificação dos triângulos.

a) quanto aos lados: - triângulo equilátero. - triângulo isósceles. - triângulo escaleno.

b) quanto aos ângulos: - triângulo retângulo. - triângulo obtusângulo. - triângulo acutângulo.

Ângulo externo.

O ângulo externo de qualquer polígono convexo é o ângulo formado entre um

lado e o prolongamento do

outro lado.

a

b

e e = a + b

e + e + e = 360º1 2 3

a a

Exercícios.

01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas.

b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39" d) 136º 14' - 89º 26' 12" f) 3 x (71º 23' 52")

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42" c) 90º - 61º 14' 44" e) 4 x (68º 23' 54")

Jeca 03

1) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos internos é 180º.

2) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes.

3) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos externos é 360º.

4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congru-entes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o seu lado diferente.

a

b

ga + b + g = 180º

e

e1

e2

e3

i

lado

vértice

i - ângulo internoe - ângulo externo

Num mesmo vértice, tem-se

i + e = 180º

III) Triângulos.

Propriedades dos triângulos.

Classificação dos triângulos.

a) quanto aos lados: - triângulo equilátero. - triângulo isósceles. - triângulo escaleno.

b) quanto aos ângulos: - triângulo retângulo. - triângulo obtusângulo. - triângulo acutângulo.

Ângulo externo.

O ângulo externo de qualquer polígono convexo é o ângulo formado entre um

lado e o prolongamento do

outro lado.

a

b

e e = a + b

e + e + e = 360º1 2 3

a a

Exercícios.

01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas.

a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42" c) 90º - 61º 14' 44" e) 4 x (68º 23' 54")

b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39" d) 136º 14' - 89º 26' 12" f) 3 x (71º 23' 52")

Jeca 03

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

48º 27' 39"127º 51' 42"

175º 78' 81"

175º 79' 21"

176º 19' 21" Resposta

175º 78' 81"

90º

89º 60'

89º 59' 60"- 61º 14' 44"


4 x (68º 23' 54") =

= 4 x 68º 4 x 23' 4 x 54" =

= 272º 92' 216" =

= 272º 95' 36" =

= 273º 35' 36" Resposta

106º 18' 25"17º 46' 39"

123º 64' 64"

123º 64' 64"

123º 65' 04"


136º 14'- 89º 26' 12"

135º 74'- 89º 26' 12"

135º 73' 60"- 89º 26' 12"46º 47' 48" Resposta

3 x (71º 23' 52") =

= 3 x 71º 3 x 23' 3 x 52" =

= 213º 69' 156" =

= 213º 71' 36" =

= 214º 11' 36" Resposta

4118º 14' 52"

3

h)

i) 125º 12' 52"5

90º13

j)

04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu suplemento e o triplo do seu complemento é igual a 54º.

06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Deter-mine esses ângulos sabendo que o suplemento do maior é igual ao complemento do menor.

07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento da sua quinta parte é igual ao triplo do seu comple-mento.(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)125º 39' 46"g)

02) Determine o ângulo que é o dobro do seu comple-mento.

03) Determine o ângulo que excede o seu suplemento em 54º

05) Dois ângulos são suplementares. O menor é o complemento da quarta parte do maior. Determine as medidas desses ângulos.

Jeca 04

g) 125º 39' 46"4

118º 14' 52"3

h)

i) 125º 12' 52"5

90º13

j)

02) Determine o ângulo que é o dobro do seu comple-mento.

03) Determine o ângulo que excede o seu suplemento em 54º

04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu suplemento e o triplo do seu complemento é igual a 54º.

05) Dois ângulos são suplementares. O menor é o complemento da quarta parte do maior. Determine as medidas desses ângulos.

06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Deter-mine esses ângulos sabendo que o suplemento do maior é igual ao complemento do menor.

07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento da sua quinta parte é igual ao triplo do seu comple-mento.

Jeca 04

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

x = 2.(90 - x)

x = 180 - 2x

3x = 180

x = 60º (resp)

x = (180 - x) + 54

x = 180 - x + 54

2x = 234

x = 117º (resp)

x é o menor

(180 - x) é o maior

x = 90 - [(180 - x)/4]

x - 90 = -(180 - x)/4

4x - 360 = -180 + x

3x = 180

x = 60º e (180 - x) = 120º (resp)

125º 431º-12

05-4

1º1º

= 6

0'

60'39'99' 4

24'-819

-163'

3' =

180

"

180"46"

226" 456"-20

26-24

2" (resto)

125º 39' 46"4

= 31º 24' 56" Resposta

118º 339º-9

28-27

1º1º

= 6

0'

60'14'74' 3

24'-614

-122'

2' =

120

"

120"52"

172" 357"-15

22-21

1" (resto)

118º 14' 52"3


125º 525º-10

25-25

0º

0'12'12' 5

2'-102'

2' =

120

"

120"52"

172" 534"-15

22-20

2" (resto)

125º 12'' 52"5


90º 136º-78

12º

720' 1355'

5' =

300

"

300" 13

(resto)

90º13


12º = 720' -65

70-6505'

23"-2640

-391"

(180 - x) - 3.(90 - x) = 54º

180 - x - 270 + 3x = 54

2x = 144

x = 72º Resposta

x + y = 124

x - maior

y - menor

(180 - x) = (90 - y)

180 - (124 - y) = 90 - y

180 - 124 + y = 90 - y

2y = 34

y = 17º e x = 107º Resposta

(180 - x/5) = 3.(90 - x)

180 - x/5 = 270 - 3x

14x/5 = 90

x = 450/14 = (225/7)º Resposta

08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x.

a) b)

c) d) (Tente fazer de outra maneira)

e) f)

g) h)

i) j)

k) AC = BC

r

s

r // s

41º

x

116º

x

39º

53º

x r

s

r // s

39º

53º

x r

s

r // s

55º

38º

40º

x

r

s

r // s

r

s

35º

47º

62º

x

r

s

r // s

28º

54º

88º

x 21º 126º

x

A

B

C

AB = AC

73º

x

112º 143º

x

A B

C

46º

x

x

158º

67º

38º

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

l)

Jeca 05

08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x.

a) b)

c) d) (Tente fazer de outra maneira)

e) f)

g) h)

i) j)

k) AC = BC l)

r

s

r // s

41º

x

116º

x

39º

53º

x r

s

r // s

39º

x r

s

r // s

55º

38º

40º

x

r

s

r // s

r

s

35º

47º

62º

x

r

s

r // s // t //u

28º

54º

88º

x 21º 126º

x

A

B

C

AB = AC

73º

x

112º 143º

x

A B

C

46º

x

x

158º

67º

38º

Jeca 05

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

41º

x = 41º (resp)

116º

x + 116 = 180x = 64º (resp)

39º

14º

14º t

r // s // tx = 14º (resp)

x

127º

39º

x + 39 + 127 = 180x = 14º (resp)53º

55º

87º

93º

x + 93 + 40 = 180x = 47º (resp)

62º

x t

r // s // t

x + 62 + 47 + 35 = 180x =36º (resp)

28º

26º

26º

62º

x = 62º (resp)

t

u

x + 126 + 21 = 180x = 33º (resp)

37º68º

x + 68 + 37 = 180x = 75º (resp)

73ºx + 73 + 73 = 180x = 34º (resp)

y y

46 + y + y = 1802y = 134y = 67x + y = 180x = 180 - 67x = 113º (resp)

y

y = 67 + 38y = 105º

x + y = 158x = 158 - 105x = 53º (resp)

11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t.

30º

x

yz

t

13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de m.

x

4m

3m

m

xy

z

t

u

x y

10) Na figura abaixo, estão representados um triângulo equilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidas dos ângulos assinalados, determine a soma x + y.

x

y

09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepos-tos. Qual é o valor de x + y, em graus ?

A B

C

DE

F

a) 120ºb) 150ºc) 180ºd) 210ºe) 240º

14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas em graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da figura, respectivamente. A soma a + b + g + l + q é igual a:

15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos uma dobra PT de modo que o vértice C coincida com o vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triân-gulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º; cal-cule as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC. A

B CP

T

Q

R

25º

16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retângu-lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e AD, respectivamente.

A

BC

D E

Fx

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das medidas dos ângulos x, y, z, t e u.

Jeca 06

11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t.

30º

x

yz

t

13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de m.

x

4m

3m

m


xy

z

t

u

x y

10) Na figura abaixo, estão representados um triângulo equilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidas dos ângulos assinalados, determine a soma x + y.

x

y

09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepos-tos. Qual é o valor de x + y, em graus ?

A B

C

DE

F

a) 120ºb) 150ºc) 180ºd) 210ºe) 240º

14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas em graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da figura, respectivamente. A soma a + b + g + l + q é igual a:

15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos uma dobra PT de modo que o vértice C coincida com o vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triân-gulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º; cal-cule as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC. A

B CP

T

Q

R

25º

16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retângu-lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e AD, respectivamente.

A

BC

D E

Fx

Jeca 06

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

x

y

r

s

t

r // s // t

x + y + 90 = 360

x + y = 270º (resp)

120º

60º120 + x + y = 360

x + y = 360 - 120

x + y = 240º (resp)

x + y

z + t

150ºx + y + z + t + 150 = 360

x + y + z + t = 210º (resp)

y + t

x + z

u + x + z + y + t = 180º

(resp)

y

y

3m = m + y

y = 2m

4m = x + y

4m = x + 2m

x = 2m (resp)

a b

gl

q

gl

l + ba + g

a + b + g + q + l = 180º (resp)

M

25º

Se M é ponto médio,então MB // DFx = 25º (resp)

100º

40º

40º

70º

70º

80º

30º

30º80º

60º

30º

30º

60º

A = 70ºB = 80ºC = 30º (resp)

01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.

r

s

r //s

43º

x

a) b)

r

s

r // s

57º

x

d)c)

rr

ss

r // sr // s

45º45º

62º62º

xx

(Resolver de forma diferente da letra c))

(Resolver de forma diferente da letra g))

rr

ss

r // sr // s

140º140º

65º65º

xx

150º150º

h)g)

e)

r

s

r // s

147º

82º

x

x

126º

80º

r

s

r // s

f)

r

s

r // s

i)

42º

5x - 12º

r

s

r // s

j)

48º

40º

x

43º

k)

x

55º

l)

r

sr // s

135º x

85º



Geometria planaConceitos iniciais de Geometria Plana.Exercícios complementares da aula 01.

Jeca 07

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)


r

s

r //s

43º

x

a) b)

r

s

r // s

57º

x

d)c)

rr

ss

r // sr // s

45º45º

62º62º

x

(Resolver de forma diferente da letra c))

(Resolver de forma diferente da letra g))

rr

ss

r // sr // s // t // u

140º140º

65º65º

xx

150º150º

h)g)

e)

r

s

r // s // t147º

82º

x

x

126º

80º

r

s

r // s

f)

r

s

r // s

i)

42º

5x - 12º

r

s

r // s

j)

48º

40º

x

43º

k)

x

55º

l)

r

sr // s

135º x

85º



Geometria planaConceitos iniciais de Geometria Plana.Exercícios complementares da aula 01.

Jeca 07

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

tx

62º

45ºr // s // tx = 45 + 62x = 107º(resp)

x

x = 43º (resp)

57º

x + 57 = 180

x = 123º (resp)

45º

x é ângulo externo

x = 62 + 45

x = 107º (resp)

33º

33º

49º

49º

x = 49º (resp)

80º

126º é ângulo externo

x + 80 = 126

x = 46º (resp)t

30º

40º

t

u25º

40º

30º

x = 30 + 25

x = 55º (resp)

40º

30º

y

y

y + 40 = 65y = 25

x = y + 30x = 25 + 30x = 55º (resp)

25º

42º

5x - 12 + 42 = 180

5x + 30 = 180

5x = 150

x = 30º (resp)

48º

y

y = 43 + 48

y = 91º

x + y + 40 = 180

x + 91 + 40 = 180

x = 49º (resp)

y

y + 55 + 90 = 180y = 35ºx + y + 90 = 180x = 55º (resp)

85º

45º 45º

x = 45 + 85

x = 130º (resp)

m)

43º

x

r

s

t

u

r // st // u

r // st // u

n)

58º

xr

s

tu

o)

62º

79º x

p)

52º

67ºx

q)

52º

81º

x15x18x

21x

r)

s)A

B C

38º

x

AB = AC AB = AC

(Triângulo isósceles) (Triângulo isósceles)A

B C

138º

x

t)

A

B C

AB = AC

152º

x

u) v)

62º 98º x

x)

A

B

C

D

AB = BC = CD

98º

x

z)

A B C

D

E

AB = BD = DE

xy

y

y y

Jeca 08

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

43º

x = 43º (resp)

x

x

x + 58 = 180

x = 122º (resp)

x + 62 + 79 = 180

x = 180 - 141

x = 39º (resp)

x = 52 + 67

x = 119º (resp)

x = 81 + 52

x = 133º (resp)21x + 18x + 15x = 180

54x = 180

x = 180/54 = (10/3)º (resp)

x

2x + 38 = 180

2x = 142

x = 71º (resp) 42º 42º

x + 42 + 42 = 180x = 96º (resp)

x

x + x + 152 = 360

2x = 208

x = 104º (resp)

82º

y + 82 + 62 = 180

y = 36º

62 + 2y + x = 180

x = 46º (resp)

==

=

82º

82º

41º 41º

16º

x + 41 + 16 = 180

x = 123º (resp) =

=

=

y

z

z

y é ângulo externodo triângulo ABDy = z + z = 2zz = y/2No triângulo BDEy + y + z = 180y + y + y/2 = 180y = 72ºx + y = 180x = 108º (resp)

m)

43º

x

r

s

t

u

r // st // u

r // st // u

n)

58º

xr

s

tu

o)

62º

79º x

p)

52º

67ºx

q)

52º

81º

x15x18x

21x

r)

s)A

B C

38º

x

AB = AC AB = AC

(Triângulo isósceles) (Triângulo isósceles)A

B C

138º

x

t)

A

B C

AB = AC

152º

x

u) v)

62º 98º x

x)

A

B

C

D

AB = BC = CD

98º

x

z)

A B C

D

E

AB = BD = DE

xy

y

y y

Jeca 08

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

81º


a)

37º

31º

116º

x

b)

x

73º

148º24º

d)

f)

h)

j)

l)

c)

x

34º

38º

101ºbissetriz

x

128º

36º

42ºx

A

B

C

D

AD e BD são bissetrizes.

72º

40º

xD

e) D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes.

g)

r

s

r // s

68º

5y3y

x 60º

x + 30º

2x

i)

6x

9x

12x

43º

62º

60º

x

k)

x

A B

CD

ABCD é um quadrado.

30º

118ºx

Jeca 09

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)


a)

37º

31º

116º

x

b)

x

73º

148º24º

d)

f)

h)

j)

l)

c)

x

34º

38º

101ºbissetriz

x

128º

36º

42ºx

A

B

C

D

AD e BD são bissetrizes.

72º

40º

xD

e) D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes.

g)

r

s

r // s

68º

5y3y

x = 3y 60º

x + 30º

2x

i)

6x

9x

12x

43º

62º

60º

x

k)

x

A B

CD

ABCD é um quadrado.

30º

118ºx

Jeca 09

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

64º

79º

101º

x + 101 + 31 = 180x = 180 - 132 = 48º(resp) y

148 = y + 24

y = 124º

y = x + 73

124 = x + 73

x = 51º (resp)

79º 38º

x + 34 + 79 + 38 = 180

x = 180 - 151

x = 29º (resp)

y

52º

y

y + 128 + 36 = 180

y = 16º

y + 52 + x = 180

16 + 52 + x = 180

x = 112º (resp)

108º

32º

32º

40º

x

2 . 32 + 2 . x + 80 = 180

x = 18º (resp)

y

z z

y

x

2.z + 2.y + 42 = 1802(y + z) = 180 - 422(y + z) = 138y + z = 69º

x + y + z = 180x + 69 = 180x = 111º (resp)

68º

3y + 5y + 68 = 180

8y = 112

y = 14º

x = 3y = 42º (resp)

120º

x + 30 + 2x + 120 = 360

3x = 210

x = 70º (resp)

6x + 9x + 12x = 360

27x = 360

x = 360/27

x = (40/3)º (resp)

y

y = 43 + 62

y = 105º

y = 60 + x

x = y - 60

x = 45º

45º

45º

x + 45 + 45 = 180

x = 90º (resp)

75º 62º75º 62º

x + 75 + 62 = 180x = 43º (resp)

m) n)

o) p)

q) r)

s) t)

u) v)

x) z)

A

B C D

AC = CD

38ºx

A

C

B

D

E

AB = BC = CD = DE e AD = AE

x

A

B

C

D

E

F

x

AB = BC = CD = DE = EF e AE = AF

A

B

C

D

E

F

44ºx

AB = AC , BD = BE e CE = CF.

A

B CD E

FG

x

ABC é um triângulo equiláteroe DEFG é um quadrado.

A B

C

DEx

BCD é um triângulo equiláteroe ABDE é um quadrado.

A B

CD

Ex

CDE é um triângulo equiláteroe ABCD é um quadrado.

x

A

B

C

D

EF

G

BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são quadrados.

A B C

DEF

x

ACE e BDF são triângulosequiláteros.

A

B CE F

x

65º

70º

D

AB = AC e DE = DF.

A

B

CD

x

AB = AD = BD = DC e AC = BC.

A

B CDE

x 38º

AB = ACAD é bissetriz de BÂCAE é bissetriz de BÂD.

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

Jeca 10

m) n)

o) p)

q) r)

s) t)

u) v)

x) z)

A

B C D

AC = CD

38ºx

A

C

B

D

E

AB = BC = CD = DE e AD = AE

x

A

B

C

D

E

F

x

AB = BC = CD = DE = EF e AE = AF

A

B

C

D

E

F

44ºx

AB = AC , BD = BE e CE = CF.

A

B CD E

FG

x

ABC é um triângulo equiláteroe DEFG é um quadrado.

A B

C

DEx

BCD é um triângulo equiláteroe ABDE é um quadrado.

A B

CD

Ex

CDE é um triângulo equiláteroe ABCD é um quadrado.

x

A

B

C

D

EF

G

BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são quadrados.

A B C

DEF

x

ACE e BDF são triângulosequiláteros.

A

B CE F

x

65º

70º

D

AB = AC e DE = DF.

A

B

Cx

AB = AD = BD = DC e AC = BC.

A

B CDE

x 38º

AB = ACAD é bissetriz de BÂCAE é bissetriz de BÂD.

Jeca 10

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

38º

x + 38 + 38 + 90 = 180x = 180 - 166 = 14º (resp)

=

=

= =x

2x

2x

3x

x

3x

x + 3x + 3x = 180

7x = 180

x = (180/7)º

(resp)

2x

2x

3x 3x

xx

4x

x + 4x + 4x = 1809x = 180x = 20º (resp)

=

=

y

yz

z

z

z

y + y + 44 = 180y = 68º

z + z + y = 180z = 56ºz + z + x = 180x = 68º (resp)

60º

x + 60 + 90 = 180

x = 30º (resp)

=

=

60º

x

x + x + 90 + 60 = 180

x = 15º (resp)

==

=

x

30º

60º

x + x + 30 = 180

x = 75º (resp)

60º

60º

x = 60º (resp)

60º

30º

60º

30º

x

x + 30 + 30 = 180

x = 120º (resp)

65º55º 55º

x

x + 55 + 65 = 180

x = 60º (resp)

=

=

=

=

60º

60º

60º

x

x + x + 60 = 360

x = 150º (resp)

y 2yy

38º

4y + 38 + 38 = 180y = 26ºx + y + 38 = 180x = 116º (resp)

03) Na figura abaixo, determine x, y e z.

37º

x

y

z

04) Na figura abaixo, determinar x, y e z.

x

4x

z

2y

05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t.

t z

2x

y4x

40º

06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo CBE, determinar x + y.

A B C

DE

x

y

4x

57ºx

07) Na figura abaixo, determinar o valor de x.

A

B

C

D

E

FO

x 28º

08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x, sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz de AOD e OB é bissetriz de AOC.

09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e z.

2x y

z + 26º

2z - 84º

10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os mesmos formam uma progressão aritmética de razão 10º.

x

y

z

Jeca 11

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

03) Na figura abaixo, determine x, y e z.

37º

x

y

z


x

4x

z

2y

05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t.

t z

2x

y4x

40º

06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo CBE, determinar x + y.

A B C

DE

x

y = 4x

4x

57ºx

07) Na figura abaixo, determinar o valor de x.

A

B

C

D

E

FO

x 28º

08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x, sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz de AOD e OB é bissetriz de AOC.

09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e z.

2x y

z + 26º

2z - 84º

10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os mesmos formam uma progressão aritmética de razão 10º.

x

y

z

Jeca 11

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

x + 37 = 180 Portanto x = 180 - 37 = 143ºy = 37º (OPV)z = x = 143º (OPV)(resp)

x + 4x = 180x = 36º2y = x = 36ºy = 18º4x = z = 144º

(resp)

2x = 40x = 20º4x = z = 80ºy + 2x + z = 180y = 60ºt = y = 60º(resp)

4x + 4x + x = 180x = 20º y = 80ºx + y = 100º(resp)

x

57 + x = 90

x = 33º (resp)

x2x

4x

8x + 28 = 180

x = 19º (resp)

z + 26 = 2.z - 84z = 26 + 84 = 110º

2x + 110 + 26 = 180x = 22ºy = 2x = 44º (resp)

y = x + 10z = x + 20x + y + z = 180x + x + 10 + x + 20 = 1803x = 150x = 50º y = 60ºz = 70º (resp)

140º

120º

x

ts

t // s

11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x.

A B

CD

E

F

x

y z

t

u

v

A

B C Dx

B C D E

x

2x

13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determine o valor de x.

12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo inscrito no quadrado ABCD.

14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bissetriz do ângulo BAD. Determine o valor de x.

15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x em função de y.

xy 2y

5y

16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y em função de x.

A B C

Dy

x

18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos internos.

17) Na figura abaixo mostre que vale a relação : a + b = c + d. r

s

r // s

a

b

c

d

19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é 360º.

e1

e2

e3

20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de z.

x

y

z

r

s

r // s

A

Jeca 12

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

140º

120º

x

ts

t // s

11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x.

A B

CD

E

F

x

y z

t

u

v

A

B C Dx

B C D E

x

2x

13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determine o valor de x.

12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo inscrito no quadrado ABCD.

14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bissetriz do ângulo BAD. Determine o valor de x.

15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x em função de y.

xy 2y

5y

16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y em função de x.

A B C

Dy

x

18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos internos.

17) Na figura abaixo mostre que vale a relação : a + b = c + d. r

s

r // s // t // u

a

b

c

d

19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é 360º.

e1

e2

e3

20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de z.

x

y

z

r

s

r // s // t

A

Jeca 12

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

140º40º

20º

x + 20 + 90 = 180x = 70º (resp)

x + y = 90z + t = 90u + v = 90x + y + z + t + u + v = 3 . 90x + y + z + t + u + v = 270º(resp)

= =

= =

3x

3x

6x60º

60º

6x = 60º

x = 10º (resp)

==

=

x

2x 2x

x

No triângulo ACD, tem-se

x + 2x + 2x = 180

5x = 180

x = 36º (resp)

z

z = 2y + 5y = 7yx = y + z = y + 7yx = 8y (resp)

x

2x2x

=

= =

y é ângulo externo

y = A + C = x + 2x

y = 3x (resp)

t

u

ac - a

d

b - d

Ângulos alternos internosc - a = b - da + b = c + d (CQD)

100º

xx

xx

y

100 + 2x + 2x = 180x = 20ºx + x + y = 180y = 140ºz é o ângulo agudoz + y = 180z = 40º (resp)

z

x

y

z

e + x = 1801

e + y = 1802

e + z = 1803

e + e + e + x + y + z = 5401 2 3

Mas x + y + z = 180Portanto e + e + e = 540 - 180 = 360º (CQD)1 2 3

t x

z

y = x + z

x = y - z (resp)


x

y

z

t

u

23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo de z e t o sêxtuplo de z.

80º

x

y

z

t

A

B D C

25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, demonstre que vale a relação z - y = x - t.

x y zt

A B

C

DE

x

y

z

27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a soma das medidas dos ângulos x, y e z.

A

B C D

E

x

28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o triângulo BCE é equilátero.

Jeca 13

40º

x

y

24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valor em graus de x + y ?

x

y

r

s A B

CD

21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por duas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos x e y podemos afirmar que :a) x = yb) x = -yc) x + y = 90ºd) x - y = 90ºe) x + y = 180º

A

B

C

D

E F

26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCD é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do ângulo CBF é :a) 38ºb) 27ºc) 18ºd) 19ºe) 71º

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)


x

y

z

t

u

23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo de z e t o sêxtuplo de z.

80º

x

y = 3.z

z

t = 6.z

A

B D C

25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, demonstre que vale a relação z - y = x - t.

x y zt

A B

C

DE

x

y

z

27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a soma das medidas dos ângulos x, y e z.

A

B C D

E

x

28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o triângulo BCE é equilátero.

Jeca 13

40º

x

y

24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valor em graus de x + y ?

x

y

r

s A B

CD

21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por duas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos x e y podemos afirmar que :a) x = yb) x = -yc) x + y = 90ºd) x - y = 90ºe) x + y = 180º

A

B

C

D

E F

26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCD é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do ângulo CBF é :a) 38ºb) 27ºc) 18ºd) 19ºe) 71º

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

yx

tr // s // tx + y = 90º (resp)

O polígono pode ser dividido em 3 triângu-los.

S = 3 . 180 = 540x + y + z + t + u = 540º(resp)

100º

180 - z

180 - 3z

100 + 180 - z + 180 - 3z = 3604.z = 100z = 25ºt = 150ºu = 30º

u

x + u + 100 = 180x = 50º (resp)

90 - x

90 - y

90 - x + 40 + 90 - y = 90

x + y = 130º (resp)

a a

a = 180 - x - ya = 180 - z - tPortanto 180 - x - y = 180 - z - tEntão z - y = x - t (CQD)

38º

xy y

y + y + 38 = 180y = 71º

y + 90 + x = 180x = 180 - 90 - 71x = 19º (resp)

a

b

a + b = 180º (ângulos colaterais internosa + b + x + y + z = 540ºx + y + z = 540 - 180x + y + z = 360º (resp)

=

==

=

=

60º120º

30º

30º

60º

60º

90º

x

x + x + 90 = 180

2x = 90

x = 45º (resp)

29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos x, y, z, t, u e v.

x

y

z

t

u

v

30) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos x, y, z e t.

r

s

r // s

x

y

z

t


32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura. Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x, conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado.

140º

x

A B

CD

E

F

A’

D’

x

y

z

t

33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é

igual a

34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’ medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB em relação a AD, determine a medida do ângulo ADB.

35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE, sabendo-se que BAD = 48º.

A

B CD

E

A

B C

M

N

Px y

x - y2 A

B CD

B’

.

Jeca 14

29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos x, y, z, t, u e v.

x

y

z

t

u

v


r

s

r // s // u

x

y

z

t


32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura. Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x, conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado.

140º

x

A B

CD

E

F

A’

D’

x

y

z

t

33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é

igual a

34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’ medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB em relação a AD, determine a medida do ângulo ADB.

35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE, sabendo-se que BAD = 48º.

A

B CD

E

A

B C

M

N

Px y

x - y2 A

B CD

B’

.

Jeca 14

x + y

u + v

z + tsoma dos ângulos externosx + y + z + t + u + v = 360º(resp)

x

t u

x + y + z + t = 180º (resp)

ay - a

b t - b

x + y + z + t = x + y - a + a + t - b + b + z

x + y + z + t = (x + y - a + t - b) + (z + a + b)

x + y + z + t = 360 + 180 = 540 (resp)

40º50º

50º

40º

x

x + x + 50 = 180

x = 65º (resp)

a

a

q

z

q + a + a = 180q + x + y = 180Então 2a = x + y

a = x - z2a = 2x - 2z

==

aa

2a = x + y2x - 2z = x + y2z = x - y z = (x - y)/2 (CQD)

30º 80º

30º

x

yy

x

30º

30 + 80 + 30 + 2y = 180

y = 20º

30 + x + y = 180

30 + x + 20 = 180

x = 130º (resp)

x yy

48º

x + yx + y

x + y + x é ângulo externo

do triângulo ABD

x + y + x = y + 48

2x = 48

x = 24º (resp)

Jeca 15

Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma

mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.

Jeca

Respostas dos exercícios da Aula 01

01) a) 176º 19' 21" b) 124º 05' 04"c) 28º 45' 16" d) 46º 47' 48"e) 273º 35' 36" f) 214º 11' 36"g) 31º 24' 56" h) 39º 24' 57"i) 25º 02' 34" j) 06º 55' 23" 02) 60º

03) 117º

04) 72º

05) 60º e 120º

06) 17º e 107º

07) 225º / 7

08)a) 41º b) 64º c) 14º d) 14º e) 47ºf) 36º g) 62º h) 33º i ) 75º j) 34ºk) 113º l) 53º

09) 270º

10) 240º

11) 210º

12) 180º

13) 2m

14) c

15) 70º, 80º e 30º

16) 25º

Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor

Jeca 16

Respostas dos exercícios complementares da Aula 01

01)a) 43º b) 123º c) 107º d) 107º e) 49ºf) 46º g) 55º h) 55º i) 30º j) 49ºk) 55º l) 130º m) 43º n) 122º o) 39ºp) 119º q) 133º r) 10º/3 s) 71º t) 96ºu) 104º v) 46º x) 123º z) 108º

02) a) 48º b) 51º c) 29º d) 112º e) 18ºf) 111º g) 42º h) 70º i) 40º/3 j) 45ºk) 90º l) 43º m) 14º n) 180º/7 o) 20ºp) 68º q) 30º r) 15º s) 75º t) 60ºu) 120º v) 60º x) 150º z) 116º

03) 143º, 37º e 143º

04) 36º, 18º e 144º

05) 20º, 60º, 80º e 60º

06) 100º

07) 33º

08) 19º

09) 22º, 44º e 110º

10) 50º, 60º e 70º

11) 70º

12) 270º

13) 10º

14) 36º

15) x = 8y

16) y = 3x

17) demonstração

18) 40º

19) demonstração

20) x = y - z

21) c

22) 540º

23) 50º

24) 130º

25) demonstração

26) d

27) 360º

28) 45º

29) 360º

30) 180º

31) 540º

32) 65º

33) demonstração

34) 130º

35) 24º



Jeca


Jeca 17

mediana

mediatriz

bissetriz

altura

M

ponto médio

Mediana - É o segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto.

Mediatriz - É a reta perpendicular ao lado do triângulo pelo seu ponto médio.

Bissetriz - É a semi-reta de origem no vértice que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.

Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte do lado oposto.

Todo triângulo tem: 3 medianas 3 bissetrizes 3 mediatrizes 3 alturas

Pontos notáveis do triânguloBICO

- baricentro

- incentro

- circuncentro

- ortocentro

Segmentos notáveis do triângulo.

A

B M C

NP

G

Baricentro (G). É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo.

Propriedade. O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos. O segmento que contém o vértice é o dobro do segmen-to que contém o ponto médio do lado oposto. (razão 2 : 1)

Observação - As três medianas dividem o triângulo original em seis triângulos de mesma área.

SS

S

S S

S

S

2x

x

AG = 2.GMBG = 2.GNCG = 2.GP

Incentro (I). É o ponto de encontro das 3 bissetrizes do triângulo.

Propriedade. O incentro é o centro da circunferência inscrita (inter-na) no triângulo. O incentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 lados do triângulo.

I

aa

bb

gg

r

r - raio da circunferência inscrita.

Circuncentro (C). É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo.

Propriedade. O circuncentro é o centro da circunferência circuns-crita (externa) ao triângulo. O circuncentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 vértices do triângulo.

C

R

mediatriz

ponto médio

R - raio da circunferência circunscrita.

Ortocentro (O). É o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo.

Propriedade. Não tem.

hA

h B

h C

BC

A

O

ortocentro

A

A

B

B

C

C

hA

h B

hCO

hA

h B

hC

O

Área de cada triângulo




Pontos notáveis de um triângulo.

Jeca 18

Observações.

1) O baricentro e o incentro sempre estão localizados no interior do triângulo.

2) O circuncentro e o ortocentro podem estar localizados no exterior do triângulo.

3) Num triângulo isósceles, os quatro ponto notáveis (BICO: baricentro, in-centro, circuncentro e ortocentro) es-tão alinhados.

4) No triângulo retângulo, o ortocen-tro é o vértice do ângulo reto e o cir-cuncentro é o ponto médio da hipo-tenusa.

I

O

G

C

medianamediatrizbissetrizaltura

mediatriz

mediana

bissetriz

altura

R C R

hipotenusa

ortocentrocircuncentro

R

r

hl l

l

Triângulo eqüilátero.(importante)

Em todo triângulo eqüilátero, os quatro pontos notáveis (baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão localizados num único ponto.

- lado do triângulo eqüilátero.- raio da circunferência inscrita.- raio da circunferência circunscrita.- altura do triângulo.

rRh

l

BICO

R = 2re

h = 3rr

r

r

01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar :a) a altura do triângulo.b) o raio da circunferência inscrita no triângulo.c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.d) o que o ponto O é do triângulo.

R

r

hl l

l

O

A

B C

O

02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, determine a medida do ângulo AOC.

A

B C

O

03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOC mede 126º , encontre a medida do ângulo BAC.

Jeca 19

Observações.

1) O baricentro e o incentro sempre estão localizados no interior do triângulo.

2) O circuncentro e o ortocentro podem estar localizados no exterior do triângulo.

3) Num triângulo isósceles, os quatro ponto notáveis (BICO: baricentro, in-centro, circuncentro e ortocentro) es-tão alinhados.

4) No triângulo retângulo, o ortocen-tro é o vértice do ângulo reto e o cir-cuncentro é o ponto médio da hipo-tenusa.

I

O

G

C

medianamediatrizbissetrizaltura

mediatriz

mediana

bissetriz

altura

R C R

hipotenusa

ortocentrocircuncentro

R

r

hl l

l

Triângulo eqüilátero.(importante)

Em todo triângulo eqüilátero, os quatro pontos notáveis (baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão localizados num único ponto.

- lado do triângulo eqüilátero.- raio da circunferência inscrita.- raio da circunferência circunscrita.- altura do triângulo.

rRh

l

BICO

R = 2re

h = 3rr

r

r

01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar :a) a altura do triângulo.b) o raio da circunferência inscrita no triângulo.c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.d) o que o ponto O é do triângulo.

R

r

hl

l

O

A

B C

O

02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, determine a medida do ângulo AOC.

A

B C

O

03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOC mede 126º , encontre a medida do ângulo BAC.

Jeca 19

33º

28º

28º

x

y

y

33º

2y + 66 + 56 = 180y = 29ºx + 33 + 29 = 180x = 180 - 62 = 118º(resp)

60º

10 c

m

a) sen 60º =cohip

h10

=

32

=h

10

h = 5 3 cm

b) r = h/3 = 5 3 / 3 cm

c) R = 2.r = 10 3 / 3 cm

d) O ponto O é o "BICO"

BaricentroIncentroCircuncentroOrtocentro

126º

a

a

b b

qq

a + q + 126 = 180

a + q = 54º

2a + 2q + 2b = 180

2(a + q) + 2b = 180

2 . 54 + 2b = 180

2b = 72º (resp)

04) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do triângulo.

A

BC

I

05) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.c) o lado do triângulo. R

r

hl l

l

A

B C

D

EF

G

06) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Se AB = 2x, AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n, determine o perímetro do triângulo BDG, em função de x, y, z, w, k e n.

A

B CD

E

F

07) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC. Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58º e 70º.

Jeca 20

04) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do triângulo.

A

BC

I

05) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.c) o lado do triângulo. R

r

hl l

l

A

B C

D

EF

G

06) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Se AB = 2x, AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n, determine o perímetro do triângulo BDG, em função de x, y, z, w, k e n.

A

B CD

E

F

07) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC. Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58º e 70º.

Jeca 20

G C

O

60º

c) sen 60º =cohip

h=

32

=3

a) r = h/3 = 3/3 = 1 cm

b) R = 2.r = 2 . 1 = 2 cm

l

ll . 3 = 6

= 6 3 /3 = 2 3 cml

x

x

y

y

z z

w

2w

k

2k

n

2n

Per = 2p = z + w + 2k (resp)

Ortocentro - encontro das alturas

58º

70º

x

y

y + 58 + 70 = 180

y = 52º

y + 90 + x + 90 = 360

x = 128º (resp)

A B

C

D

E

08) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e AE.

Peroba

Jatobá

Sibipiruna

09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o mapa da localização faz menção a três grandes árvores do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é possível localizar o tesouro no local ?

A

B CD E

G

F

210) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F).

( ) G é o baricentro do triângulo ABC.2

( ) A área do triângulo AEC é 40 cm .2

( ) A área do triângulo BFG é 40 cm .

A

B CD

EFG

11) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine:a) a área do triângulo ABC;b) a área do triângulo AFG;c) a área do quadrilátero BCAG.

12) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas casas, sendo que as casa não são colineares e estão localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um poço de modo que ele fique à mesma distância das três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com seus conhecimentos de geometria, que sugestão poderia dar a eles ? Justifique o seu raciocínio.

13) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na praça central, uma estátua em homenagem a Tiraden-tes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá ficar a uma mesma distância das três ruas que determinam a praça.

Rua 2

Rua 1

Rua

3

Jeca 21

A B

C

D

E

08) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e AE.

Peroba

Jatobá

Sibipiruna

09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o mapa da localização faz menção a três grandes árvores do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é possível localizar o tesouro no local ?

A

B CD E

G

F

210) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F).

( ) G é o baricentro do triângulo ABC.

2( ) A área do triângulo AEC é 40 cm .

2( ) A área do triângulo BFG é 40 cm .

(AE não é mediana)

A

B CD

EFG

11) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine:a) a área do triângulo ABC;b) a área do triângulo AFG;c) a área do quadrilátero BCAG.

12) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas casas, sendo que as casa não são colineares e estão localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um poço de modo que ele fique à mesma distância das três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com seus conhecimentos de geometria, que sugestão poderia dar a eles ? Justifique o seu raciocínio.

13) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na praça central, uma estátua em homenagem a Tiraden-tes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá ficar a uma mesma distância das três ruas que determinam a praça.

Rua 2

Rua 1

Rua

3

Jeca 21

Triângulo equilátero BICO

ED = CD/3 = k/3CE = AE = 2.ED = 2k/3(resp)

J

S

Tesouro

P

JS é um lado do triângulo (J e S são vértices)A altura h obrigatoriamente passa por S e pelo ortocentro P.S

A altura h obrigatoriamente faz 90º com o lado oposto a S.S

A altura h passa por P e faz 90º com o lado oposto a J.J

O terceiro vértice do triângulo será o ponto de intersecção das retas ST e JT.

O ortocentro de um triân-gulo é o ponto de encon-tro das 3 alturas do tri-ângulo.

T

hS

hJ

A

B CD E

G

F

402

cm

402

cm

402

cm

80/3

80/3

80/3

F

V

F

Propriedade - Em todo triângulo, as três medianas dividem o triângulo original em 6 triângulos menores de mesma área

2a) S = (1/2).a.b.sen a = (1/2) . 14 . 12 . (1/2) = 42 cmABC

2b) S = S / 6 = 42/6 = 7 cmAFG ABC

2c) S = 4 . 7 = 28 cmBCAG

(resp)

27 cm

27 cm

27 cm

27 cm

27 cm

27 cm

J

P

M

Poço

mediatriz

O poço deve ser construído no circuncentro do triângulo formado pelas três casas. O circuncentro é o ponto de en-contro das três mediatrizes do tri-ângulo.O circuncentro é o ponto do plano equidistante dos três vértices do tri-ângulo.

RR

R

r

rr

A estátua deve ser colocada no incentro do triângulo. O incentro é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângu-los internos do triângulo. O incentro é o ponto do plano equidistante dos três lados do tri-ângulo.

02) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita de um triângulo eqüilátero mede 5 cm, determinar :a) o raio da circunferência inscrita no triângulo;b) a altura do triângulo;c) o lado do triângulo;d) o perímetro do triângulo;e) o que o ponto O é do triângulo.

R

r

hl l

l

O



Geometria planaPontos notáveis de um triângulo.

Exercícios complementares da aula 02.

01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar :a) a altura do triângulo;b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo;d) o que o ponto O é do triângulo.

R

r

hO

k

kk

A

BC

D

E

FG

R

SP

Q

03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, divi-dem o ângulo ACB em três ângulos congruentes. Assinale a alternativa correta.

a) P é incentro de algum triângulo construído na figura.b) Q é incentro de algum triângulo construído na figura.c) R é incentro de algum triângulo construído na figura.d) S é incentro de algum triângulo construído na figura.e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.

T1

T2

O

R

04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e centro O consideram-se, como na figura, os triângulos equiláteros T , inscrito, e T , circunscrito. Determine 1 2

a razão entre a altura de T e a altura de T .2 1

Jeca 22

02) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita de um triângulo eqüilátero mede 5 cm, determinar :a) o raio da circunferência inscrita no triângulo;b) a altura do triângulo;c) o lado do triângulo;d) o perímetro do triângulo;e) o que o ponto O é do triângulo.

R

r

hl l

l

O



Geometria planaPontos notáveis de um triângulo.


01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar :a) a altura do triângulo;b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo;d) o que o ponto O é do triângulo.

R

r

hO

k

kk

A

BC

D

E

FG

R

SP

Q

03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, divi-dem o ângulo ACB em três ângulos congruentes. Assinale a alternativa correta.

a) P é incentro de algum triângulo construído na figura.b) Q é incentro de algum triângulo construído na figura.c) R é incentro de algum triângulo construído na figura.d) S é incentro de algum triângulo construído na figura.e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.

T1

T2

O

04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e centro O consideram-se, como na figura, os triângulos equiláteros T , inscrito, e T , circunscrito. Determine 1 2

a razão entre a altura de T e a altura de T .2 1

Jeca 22

60ºa) sen 60º = h/kPortanto h = k 3 /2

b) r = h/3 = k 3 / 6

c) R = 2r = k 3 / 3

d)B - baricentro I - incentroC - circuncentroO - ortocentro

30º5 r

a) sen 30º =cohip

r5

=

r5

=12

r = 5/2 cm

b) h = 3.r = 3 . 5/2

h = 15/2 cm

c) sen 60º =cohip

h=

l

=l

32

152

l 3 = 15

l = 15 3 /3

l = 5 3 cm

d) Per = 2p = 3 .

Per = 2p = 15 3 cm

e) O ponto O é o "BICO".

aricentro ncentro

ircuncentrortocentro

BICO

l

a a a

qqq

AR é uma bissetrizCP é uma bissetriz

S é incentro do D ACQ. (resp. d)

O ponto O é o "BICO" dos dois triângulos.

R

R

R

h = 3R2

h = 3R/21

h / h = 3R / 3R/22 1

h / h = 2 (resp)2 1

05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios dos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro do triângulo ABC e que BG = 2.GN.

A

B C

M N

P

G

06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfe-rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo a BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do triângulo ADE.

A

B C

D EI

A

B C

D

E

M

07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o ponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM.

RESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semi-circunferência.

AB

C

D

08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, os segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC.

A

B C

O

09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º.Determine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o ponto O é o ortocentro do triângulo ABC.

A

B C

D

E F

40º

10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do la-do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determine a medida do ângulo BFC.

A

B C

D

11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a me-dida do ângulo ADC.

12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40º e B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ?a) 30ºb) 45ºc) 60ºd) 90º e) 120º

Jeca 23

05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios dos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro do triângulo ABC e que BG = 2.GN.

A

B C

M N

P

G

A

B C

D EI

A

B C

D

E

M

07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o ponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM.

RESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semi-circunferência.

AB

C

D

08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, os segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC.

A

B C

O

09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º.Determine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o ponto O é o ortocentro do triângulo ABC.

A

B C

D

E

40º

10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do la-do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determine a medida do ângulo BFC.

A

B C

D

11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a me-dida do ângulo ADC.

12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40º e B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ?a) 30ºb) 45ºc) 60ºd) 90º e) 120º

Jeca 23

Se M, N e P são pontos mé-dios, então AP, BN e CM são medianas.Portanto G é baricentro

R S

Seja R o ponto médiodo segmento BG e S oponto médio de GC. MN // BC // RS MN = RS = BC/2

MNSR é um paralelogramo.BR = RG = GNPortanto BG = 2.GN (CQD)

a q

a q

qa

x

x y

y

8 - x 11 - y

AB = AD + DB = AD + DIAD + DI = 8

AC = AE + EC = AE + EIAE + EI = 11

Per = AD + DI + AE + EI = 8 + 11 = 19 cm (resp)

06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfe-rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo a BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do triângulo ADE.

R

R

R R

BM = MC = ME = MD = R = 5

ME + MD = 10 cm (resp)

R R

R65º

65ºx


x = 65 + 65

x = 130º (resp)

40º70º

x

y

y + 70 + 40 = 180

y = 70º

ADOE é um quadrilátero

y + 90 + x + 90 = 360

x = 360 - 250 = 110º (resp)D

E

x

aa

x

RRF

40º

50º

2a + 90 + 40 = 180

a = 25º

a + x + 50 = 180

25 + x + 50 = 180

x = 105º (resp)

a a

qq

x

2a + 2q + 90 = 180

2(a + q) = 180 - 90

a + q = 45º

x + a + q = 180

x = 135º (resp)

B

A

C

hA

hB

x

x = 90º (resp d)

Num triângulo retângulo, os dois catetos são duas das três alturas do triângulo.

A

B C

E

D

F

13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a afirmativa falsa.

a) F é o ortocentro do DABC.

b) A é o ortocentro do DFBC.

c) Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem.d) BF = 2.FE.

e) O DABC é acutângulo.

A

B CD

E

14) No triângulo ABC da figura abaixo, as medianas AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB.

130º

120º

110º

D

A

B C

16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do triângulo.

A

B

C

15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e 70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores circulares S , S e S , em função de S.1 2 3

S1

S2

S3

17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncen-tro do triângulo.

D

A

B C

110º

120º

130º

A

B

C

O

18) Na figura, a circunferência de centro O está inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circun-ferência.

A

B C

D

19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida do segmento AD.

A

B C

P

20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P for o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a razão entre x e y.

A

B C

P

Jeca 24

A

B C

E

D

F

13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a afirmativa falsa.

a) F é o ortocentro do DABC.

b) A é o ortocentro do DFBC.

c) Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem.d) BF = 2.FE.

e) O DABC é acutângulo.

A

B CD

E

14) No triângulo ABC da figura abaixo, as medianas AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB.

130º

120º

110º

D

A

B C

16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do triângulo.

A

B

C

15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e 70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores circulares S , S e S , em função de S.1 2 3

S1

S2

S3

17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncen-tro do triângulo.

D

A

B C

110º

120º

130º

A

B

C

O

18) Na figura, a circunferência de centro O está inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circun-ferência.

A

B C

D

19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida do segmento AD.

A

B C

P

20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P for o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a razão entre x e y.

A

B C

P

Jeca 24

A alternativa d) é falsa pois F não é o baricentro e BE não é uma mediana.

x

2x

y

2y

w

3

4

4

3

F

Pitágoras2 2 2

(2x) + y = 42 2

4x + y = 162 2 2

x + (2y) = 32 2

x + 4y = 9

2 25x + 5y = 25

2 24x + y = 16

2 2x + 4y = 9

Portanto2 2

x + y = 5

2 2 2 2 2 2 2w = (2x) + (2y) = 4x + 4y = 4(x + y ) = 4 . 5 = 20

w = 20 = 2 5 (resp)

I

I é o incentro do triângulo(ponto de encontro das bissetrizes)

25º

35º

25º

35º

xx

ab

q

2x + 50 + 70 = 180x = 30ºa + 35 + 30 = 180 a = 115ºb + 35 + 25 = 180 b = 120ºq = 125º

S 1 =115360

S = S2372

S 2 =125360

S = S2572

S 3 =120360

S = S13

a

b

qa

b

q

a + b = 180 - 120a + b = 60

2a + 2b + 2q = 1802(a + b) + 2q = 1802q = 60q = 30ºa = 20ºb = 40ºA = 2b = 80ºB = 2a = 40ºC = 2q = 60º(resp)

R

R R

30º

35º

25º

25º

30º

35º

A = 55º

B = 65º

C = 60º

(resp) 30º

15 - R R

R

15

sen 30º =cohip

R15 - R

=

R15 - R

=12

2r = 15 - R

3R = 15

R = 5 cm (resp)

SS

S

S S

S

E

FH

Se os triângulos têm a mesma área, então AE, BF e CH são medi-anas.

9 cm 9 cmAE = BE = CE = RAE = 9 cmAD = 6 cm (resp)

x

25º

a q

a q

25º

P é incentro(bissetrizes)

a + q = 65ºx = 115º

50º

90º

90ºy

y

P é ortocentro(alturas)

y = 130º

x/y = 115/130 = 23/26 (resp)

D é baricentro (2 : 1)

A

B C

DM

P

21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé-dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm.

22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º e o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine a razão AC / BC.

A

B D C

A

B C

R

M N

P

23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm e AR = 10 cm, determinar :a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o triângulo ABC.b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R.c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR.

A

B C

O

q

b

g

a

24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendo m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos a, b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o ângulo ACB.

B C

D

A

EF

G

25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encon-tram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o triângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o que é a reta FD.

26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de um segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto médio do segmento de reta AB e é perpendicular a esse segmento. Assinale a alternativa incorreta.

a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto B.b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângu-lo.c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à reta r não equidista dos extremos do segmento AB.d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem se interceptar em três pontos distintos.e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta AB em a.

Jeca 25

A

B C

DM

P

21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé-dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm.

22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º e o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine a razão AC / BC.

A

B D C

A

B C

R

M N

P

23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm e AR = 10 cm, determinar :a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o triângulo ABC.b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R.c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR.

A

B C

O

q

b

g

a

24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendo m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos a, b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o ângulo ACB.

B C

D

A

EF

G

25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encon-tram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o triângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o que é a reta FD.

26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de um segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto médio do segmento de reta AB e é perpendicular a esse segmento. Assinale a alternativa incorreta.

a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto B.b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângu-lo.c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à reta r não equidista dos extremos do segmento AB.d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem se interceptar em três pontos distintos.e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta AB em a.

Jeca 25

No triângulo ABD, BM é uma mediana.Como E é ponto médio de BD, AE tambémé uma mediana.P é o baricentro (encontro das medianas)BC = BM = 12 cm.PM = BM / 3 = 12 / 3 = 4 cm (resp)

E 60º

=

=

a

2aa

4a + 60 = 180a = 30º

Portanto 2a = 60ºO triângulo ADC é isósceles.AD = DC = BCAC / BC = 1/2 (resp)

10

7 6

5 1412

a) medianasb) baricentroc) CR = 14 cm BR = 12 cm PR = 5 cm (resp)

15º

15º

45º

45º

30º30º

O é o incentro.Ponto de encontro das bissetrizes.

a = 15ºb = 45ºg = 120ºq = 30ºCO é bissetriz (resp)

D é o circuncentro do triângulo.

FD é a mediatriz do lado AB do triângulo. (resp)

d é incorreta.As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se nomesmo ponto, que é denominado circuncentro do triângulo. (resp)

Respostas dos exercícios da Aula 02.

01)a) (5 3 ) cmb) (5 3 / 3) cmc) (10 3 / 3) cmd) Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro.

02) 118º

03) 72º

04) Desenho ao lado.

05) a) 1 cmb) 2 cmc) 2 3 cm

06) 2k + w + z

07) 128º

08) 2k / 3 , k / 3 e 2k / 3

09) Desenho ao lado.

10) F , V e F

11) 2

a) 42 cm2

b) 7 cm2

c) 28 cm

12) O poço deve localizar-se no circuncentro dotriângulo cujos vértices são as três casas.

13) A estátua deve ser colocada no incentro dotriângulo formado pelas três ruas.

A

BC

G CI

O

04)

Peroba

Jatobá

Sibipiruna

tesouro

O

09)



Jeca


Jeca 26

Respostas dos exercícios complementares da Aula 02.

01)a) k 3 / 2b) k 3 / 6c) k 3 / 3d) BICO

02) a) (5 / 2) cmb) (15 / 2) cmc) 5 3 cmd) 15 3 cme) BICO

03) d

04) 2

05)

06) 19 cm

07) 10 cm

08) 130º

09) 110º

10) 105º

11) 135º

12) d

13) d

14) 2 5

15) 25 S / 72, 23 S / 72 e S / 3

16) 80º, 40º e 60º

A

B C

M N

P

G

S R

S é ponto médio de BGR é ponto médio de CGMNRS é um paralelogramoPortando, SG = GN = BSRazão 2 : 1

17) 55º, 65º e 60º

18) 5 cm

19) 6 cm

20) 23 / 26

21) 4 cm

22) 1 / 2

23) a) medianasb) baricentroc) 14 cm, 12 cm e 5 cm

24) 15º, 45º, 120º, 30º e bissetriz

25) circuncentro e mediatriz

26) d



Jeca


Jeca 27

A

B C EF

D Dois triângulos são congruentes se têm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ângu-los dois a dois ordenadamente congruentes.

DABC DDEF

A DB EC FAB DEAC DFBC EF

Casos de congruência.1) L.A.L.2) A.L.A.3)L.L.L.4) L.A.AO

5) Caso especial (CE)

Onde:L - lado.A - ângulo junto ao lado.A - ângulo oposto ao lado.O

Caso especial (CE). Dois triângulos retângulos são congruentes se têm as hipotenusas congruentes e um cateto de um triângulo é congruente a um cateto do outro triângulo

Observação. A posição de cada elemento do triângulo (lado ou ângulo) no dese-nho é muito importante na caracteri-zação do caso de congruência.

L.A.L. - dois lados e o ângulo entre eles.A.L.A. - dois ângulos e o lado entre eles.

01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes.

02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângu- lo ADC. Prove que os segmentos AB e CB são congruentes.

A

B

C

D

03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmen-tos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes.

A

B

C

D

A

B

C

D




Congruência de triângulos.

Jeca 28

A

B C EF

D Dois triângulos são congruentes se têm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ângu-los dois a dois ordenadamente congruentes.

DABC DDEF

A DB EC FAB DEAC DFBC EF

Casos de congruência.1) L.A.L.2) A.L.A.3)L.L.L.4) L.A.AO


Onde:L - lado.A - ângulo junto ao lado.A - ângulo oposto ao lado.O

Caso especial (CE). Dois triângulos retângulos são congruentes se têm as hipotenusas congruentes e um cateto de um triângulo é congruente a um cateto do outro triângulo

Observação. A posição de cada elemento do triângulo (lado ou ângulo) no dese-nho é muito importante na caracteri-zação do caso de congruência.

L.A.L. - dois lados e o ângulo entre eles.A.L.A. - dois ângulos e o lado entre eles.

01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes.

02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângu- lo ADC. Prove que os segmentos AB e CB são congruentes.

A

B

C

D

03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmen-tos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes.

A

B

C

D

A

B

C

D




Congruência de triângulos.

Jeca 28

A = C = 90º (A) dado do exercícioAD CD (L) dado do exercícioBD BD (L) lado comum

Pelo caso especial (HC), tem-se:DABD DCBD (CQD)

A = C = 90º (A) dado do exercícioADB CDB (A) BD é bissetrizBD BD (L) lado comum

Pelo caso L.A.A , tem-se:O

DABD DCBD AB CB (CQD)

=

AB BC (L) - dado do enunciadoAD CD (L) - dado do enunciadoBD BD (L) - lado comum

Pelo caso L.L.L., tem-se:

D ABD D CBD A C (CQD)

=

r

s

OM P

C A

B

D

04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD é perpendicular à corda AB, então M é ponto médio de AB.

A BM

P

mediatriz

M

05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e mediatriz.

A

B CH

Jeca 29

06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio, provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento.

07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine os pontos, A pertencente a r, e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do segmento AB.

r

s

OM P

07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine os pontos, A pertencente a r, e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do segmento AB.

C A

B

D

04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD é perpendicular à corda AB, então M é ponto médio de AB.

06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio, provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento.

A BM

P

mediatriz

M

05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e mediatriz.

A

B CH

Jeca 29

BC = AC = R (L) raioBMC AMC = 90º (A) perpendicularCM CM (L) lado comum

Pelo caso especial, tem-seDBMC DAMCPortanto BM AM.Então M é ponto médio de AB. (CQD)

AB AC (L) - triângulo isóscelesAH AH (L) - lado comumBHA CHA = 90º (A) - AH é altura

Pelo caso especial, tem-se

D ABH D ACH

a) Se D ABH D ACH, entãoBH CHPortanto H é ponto médioEntão AH é mediana

b) Se D ABH D ACH, entãoBAH CAHPortanto AH é bissetriz

c) Se H é ponto médio e AHB = 90º , então AH é mediatriz de BC.

Observação Ao provar que os triângulos ABH e ACH são congruen-tes, prova-se também que em todo triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes. (B C)

AMP BMP (A) - da definição de mediatrizAM MB )L) - da definição de mediatrizMP MP (L) - lado comum

Pelo caso L.A.L., tem-se

D AMP D BMP AP BP (CQD)

A

B

t

Seja t // r (por construção)

OM MP (L) - dado do enunciadoPBM OAM (A) - ângulos alternos internosAMO BMP (A) - ângulos opostos pelo vértice

Pelo caso L.A.A , tem-seO

D OAM D PBMPortanto AM MBEntão M é ponto médio de AB (CQD)

A

B C

D

E

08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE são congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é isósceles de base BC, prove que os segmentos AB e DC são congruentes.

09) (UFMG) Observe a figura:

A

B

P

O

C

R

r

s

q

Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpen-diculares, respectivamente, às retas r e s. Além disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ângulo POR é q. Determine, em função de q, a medida do ângulo interno AOC do quadrilátero AOCB.

A B

CD

E

F

10) Na figura, ABCD é um paralelogramo e os segmentos AE e CF são congruentes. Prove que os segmentos DE e FB são congruentes e paralelos entre si.

A B

CD

E

F

G

H

11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH está inscrito no quadrado ABCD. Prove que os triângulos AEH, BFE, CGF e GDH são congruentes entre si.

A B

CD

E

F

12) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os segmentos AE e CF são perpendiculares ao segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF são congruentes entre si.

A B

CD

E

13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e BD são as diagonais, então o ponto de intersecção das diagonais é o ponto médio da diagonal AC.

Jeca 30

A

B C

D

E

08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE são congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é isósceles de base BC, prove que os segmentos AB e DC são congruentes.

09) (UFMG) Observe a figura:

A

B

P

C

R

r

s

Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpen-diculares, respectivamente, às retas r e s. Além disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ângulo POR é q. Determine, em função de q, a medida do ângulo interno AOC do quadrilátero AOCB.

A B

CD

E

F

10) Na figura, ABCD é um paralelogramo e os segmentos AE e CF são congruentes. Prove que os segmentos DE e FB são congruentes e paralelos entre si.

A B

CD

E

F

G

H

11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH está inscrito no quadrado ABCD. Prove que os triângulos AEH, BFE, CGF e GDH são congruentes entre si.

A B

CD

E

F

12) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os segmentos AE e CF são perpendiculares ao segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF são congruentes entre si.

A B

CD

E

13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e BD são as diagonais, então o ponto de intersecção das diagonais é o ponto médio da diagonal AC.

Jeca 30

Oq

a

b

a

b

AP = PB (L) P é médioAPO = BPO = 90º (A) dado do exercícioPO = PO (L) lado comumPelo caso L.A.L. , tem-seDAPO = DBPO

Analogamente, tem-se DCRO = DBRO

se q = a + b então 2a + 2b = 2q (resp)

AE DE BE ECSe AC = AE + EC DB = DE + EBPode-se concluir queAC BD (L) - conclusão acima apresentadaEBC ECB (A) - o triângulo BEC é isóscelesBC BC (L) - lado comum

Pelo caso L.A.L. , tem-se

D ABC D CBD AB DC (CQD)

AE CF (L) - dado do enunciadoA C (A) - ABCD é um paralelogramoAD BC (L) - ABCD é um paralelogramo

Pelo caso L.A.L. , tem-se D ADE D BCFPortanto DE BF

Se AED CFB , então DEB BFDPortanto DEBF também é um paralelogramoEntão DE é paralelo a BF (CQD)

a

90 - a

a

a

90 - a

HE EF (L) - EFGH é um quadradoAHE BEF (A) - Propriedade dos triângulosAEH BFE (A) - Propriedade dos triângulos

Pelo caso A.L.A. , tem-se

D AHE D BFE

Analogamente, tem-se DAEH D BFE D FCG D GDH

(CQD)

AED CFB = 90º (A) - dado do enunciadoADE CBF (A) - ângulos alternos internosAD BC (L) - ABCD é um retângulo

Pelo caso L.A.A . , tem-seO

D ADE D BCF DE BF (CQD)

AD BC (L) - ABCD é um paralelogramoADB CBD (A) - ângulos alternos internosAED BEC (A) - ângulos opostos pelo vértice


D ADE D BCDPortanto, AE EC , então o ponto E é médio de ACe DE EB , então E o ponto E é médio de DB (CQD)

Teorema do ponto exterior.

Dada uma circunferência l e um ponto P, P exterior a l, se A e B são os pontos de tangência das retas tangentes a l por P, então PA = PB.

A

B

Pl

PA = PB

Consequência do Teorema do ponto exterior.

Em todo quadrilátero circunscrito numa circunferên-cia a soma das medidas dos lados opostos é constante.

l

AB

C

D

AB + CD = AD + BC

14) Prove o Teorema do ponto exterior.A

B

PlA

B C

RS

T

15) Na figura abaixo, a circunferência está inscrita no triângulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Deter-mine a medida do segmento CT.

A

B

Pl

C

D

E

16) Na figura abaixo, A, B e D são pontos de tangên-cia. Determinar o perímetro do triângulo CEP, sabendo que a distância PB mede 17 cm.

18) Determinar a medida da base média de um trapé-zio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos desse trapézio medem 15 cm cada.

A B

CD

AB

CD

17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendo-se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 eBC = 3x + 1.

19) Determine a medida do raio da circunferência ins-crita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm, 15 cm e 17 cm.

Jeca 31

Teorema do ponto exterior.

Dada uma circunferência l e um ponto P, P exterior a l, se A e B são os pontos de tangência das retas tangentes a l por P, então PA = PB.

A

B

Pl

PA = PB

Consequência do Teorema do ponto exterior.

Em todo quadrilátero circunscrito numa circunferên-cia a soma das medidas dos lados opostos é constante.

l

AB

C

D

AB + CD = AD + BC

14) Prove o Teorema do ponto exterior.A

B

PlA

B C

RS

T

15) Na figura abaixo, a circunferência está inscrita no triângulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Deter-mine a medida do segmento CT.

A

B

Pl

C

D

E

16) Na figura abaixo, A, B e D são pontos de tangên-cia. Determinar o perímetro do triângulo CEP, sabendo que a distância PB mede 17 cm.

18) Determinar a medida da base média de um trapé-zio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos desse trapézio medem 15 cm cada.

A B

CD

AB

CD

17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendo-se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 eBC = 3x + 1.

19) Determine a medida do raio da circunferência ins-crita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm, 15 cm e 17 cm.

Jeca 31

C

AC = BC = R (L) raioCAP = CBP = 90º (A) tangenteCP = CP (L) lado comum

Pelo caso especial, tem-seDACP = DBCPPortanto PA = PB (CQD)

10

x

14

14 - x

12

x

12 - x

14 - x

Teorema do ponto exterior

14 - x + 12 - x = 102x = 16x = 8 CT = x = 8 (resp)

17 cmx

x

y

yAP = BP = 17AP = AC + CP = DC + CP = 17BP = BE + EP = DE + EP = 17

Per = 2p = DC + CP + DE + EP = 17 + 17 = 34 cm (resp)

Teorema doponto exterior

AB + CD = AD + BC2x + 2 + 4x - 3 = 3x - 2 + 3x + 1

6x - 1 = 6x - 1Para qualquer x real

Analisando a condição de existência4x - 3 = 0Então x > 3/4S = {x | x > 3/4} (resp)R

15

x

15 -

x

x

15 - x

x

15 - x

Teorema do ponto exterior

Base média de trapézio

M N

MN = AB + CD2

x + x + 15 - x + 15 - x=

2

MN =230 = 15 cm (resp)

R

R

R

R15 - R

8 - R17

15 - R

8 - R

Teorema doponto exterior

15 - R + 8 - R = 172R = 6R = 3 cm (resp)

A

B

M

C

D

02) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. Provar que M também é ponto médio do segmento BD.

03) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. Provar que os segmentos AB e CD são congruentes.

A

B

M

C

D

A

B

M

C

D

A

B

M

C

D



Geometria planaCongruência de triângulos.


A B

C

DJeca 32

05) Na figura abaixo, AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Prove que os segmentos AC e AD são congruentes.

04) Na figura abaixo, M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD são paralelas.

01) Na figura abaixo, M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo CDM.

01) Na figura abaixo, M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo CDM.

A

B

M

C

D

02) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. Provar que M também é ponto médio do segmento BD.

03) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. Provar que os segmentos AB e CD são congruentes.

04) Na figura abaixo, M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD são paralelas.

A

B

M

C

D

A

B

M

C

D

A

B

M

C

D



Geometria planaCongruência de triângulos.


B

C

D

05) Na figura abaixo, AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Prove que os segmentos AC e AD são congruentes.

Jeca 32

AM MC (L) M é ponto médioBM MD (L) M é ponto médioAMB CMD (A) OPV


D ABM D CDM (CQD)

AM MC (L) - dado do enunciadoA C (A) - dado do enunciadoAMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice


D ABM D CDM BM MDPortanto M é ponto médio de BD (CQD)

BM MD (L) - dado do enunciadoA C (A) - dado do enunciadoAMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice


D ABM D CDM AB CD (CQD)

AM MC (L) - M é ponto médio de ACBM MD (L) - M é ponto médio de BDAMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice


D ABM D CDM B DSe B e D são ângulos alternos internos, então AB // CD (CQD)

CAB DAB (A) - AB é bissetrizACB ADB (A) - dado do enunciadoAB AB (L) - lado comum


D ABC D ABD AC AD (CQD)

A

A

B CD E

F

G

06) Na figura abaixo, AC FD e BD CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles.

A

B CD E

07) Na figura abaixo, ADE é um triângulo isósceles de base DE. Sabendo-se que BD CE, provar que ABC também é um triângulo isósceles.

09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC, respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE são congruentes, provar que o triângulo DEF é eqüilátero.

A

B C

F

D

E

A

B

C

D

E

08) Na figura abaixo, DAC BAE, ADE ABC e AD AB. Provar que os triângulos ABC e ADE são congruen-tes.

Jeca 33

A

B CD E

F

G

06) Na figura abaixo, AC FD e BD CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles.

B CD E

07) Na figura abaixo, ADE é um triângulo isósceles de base DE. Sabendo-se que BD CE, provar que ABC também é um triângulo isósceles.

09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC, respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE são congruentes, provar que o triângulo DEF é eqüilátero.

A

B C

F

D

E

A

B

C

D

E

08) Na figura abaixo, DAC BAE, ADE ABC e AD AB. Provar que os triângulos ABC e ADE são congruen-tes.

Jeca 33

BD = CE do enunciadoPortanto BD + DC = CE + DCBC = ED (L) conclusão acimaAC = FD (L) do enunciadoB = E = 90º (A) da figura

Pelo caso especial, tem-seDABC = DFEDOs ângulos ACB e EDF são congruentesEntão o triângulo DCG é isósceles (CQD)

AD AE (L) - triângulo isóscelesBD CE (L) - dado do enunciadoBDA CEA (A) - o triângulo ADE é isósceles


D ABD D ACE AB ACPortanto o triângulo ABC é isósceles (CQD)

A

DAC BAE BAC DAE (Têm o mesmo incremento DAB)

BAC DAE (A) - Resultado da análise acimaABC ADE (A) - dado do enunciadoAB AD - dado do enunciado


D ABC D ADE (CQD)

Se AF CE BD , então AD CF BE = (AC - AF)

AF BD CE (L) - dado do enunciadoAD CF BE (L) - Resultado da análise acimaA B C = 60º (A) - o triângulo ABC é equilátero


D AFD D CEF D BDE FE ED DFPortanto o triângulo DEF é equilátero (CQD)

12) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e vale a metade desse terceiro lado.

A

B C

D E

13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às bases e vale a semi-soma dessas bases.

A B

CD

E F

10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos desse losango.

A

B

C

D

M

k k

k k

A B

CD

E

F

G

H

J

K

L

M

11) Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do outro quadrado. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes.

Jeca 34

12) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e vale a metade desse terceiro lado.

A

B C

DE

13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às bases e vale a semi-soma dessas bases.

A B

CD

E F

10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos desse losango.

A

B

C

D

M

k k

k k

A B

CD

E

F

G

H

J

K

L

M

11) Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do outro quadrado. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes.

Jeca 34

Nos triângulos ABM e ADM, tem-seAB AD (L) losangoAM AM (L) lado comumBM MD (L) o losango é um paralelogramo

Pelo caso L.L.L. , tem-se

D ABM D ADMSe os ângulos BAM e DAM são congruentes, então AM é bissetriz.Se AMB AMD e BMD = 180º, então AMB = AMD = 90º (CQD)

a

90 - a

a

LEJ MEK (A) - propriedade dos triângulosEJ EK (l) - dado do enunciadoEJL EKM = 90º (A) - dado da figura


D EJL D EKM (CQD)

F

Seja FC // ABSejam D, E e F pontos colineares

AE EC (L) - E é ponto médio de ACADE CFE (A) - ângulos alternos internosAED CEF (A) - ângulos opostos pelo vértice

Pelo caso A.L.A . , tem-seO

D ADE D CFE CF AD e DE EF

Mas, AD DB porque D é ponto médio.Então AD BD CFSe CF BD e CF // BD , então BCFD é um paralelogramo.

BC DF e DE EF , entãoDE // BC e DE = BC / 2 (CQD)

G

BF FC (L) - F é ponto médio de BCABF GCF (A) - ângulos alternos internosAFB CFG (A) - ângulos opostos pelo vértice


D ABF D GCF AB CG e AF FC (F é ponto médio de BC).

Então EF é base média do triângulo ADG.Portanto, pela propriedade da base média do triângulo (exercício anterior)tem-seEF // DC // AB e EF AB + DC

2DC + CG

=2

= (CQD)

Jeca 35


Observação - Dependendo dos dados, um exercício pode ser provado por mais de um caso de congruência. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi considerado o caso de congruência mais evidente.


02) L.A.A .O

03) L.L.L.

04) Caso especial

05) É possível provar por vários casos.

06) L.A.L.

07) Demonstração ao lado.

08) L.A.L.

09) Pelo caso L.A.L. prova-se que os triângulosAPO e BPO são congruentes.Pelo mesmo caso, prova-se que os triângulosBRO e CRO também são congruentes.AOP = BOP = a e COR = BOR = bPortanto AOC = 2q

10) L.A.L.

11) A.L.A.

12) L.A.A .O

13) L.A.A .O

14) Caso especial (Una o ponto P ao centro)

15) 8

16) 34 cm

17) S = { x R x > 3 / 4 }

18) 15 cm

19) 3 cm

r

s

O M P

Resolução

A

B

Seja BP // OA

OM = MP (L) - por hipótese

OMA = PMB (A) - OPV

AOM = BPM (A) - alternos internos

Pelo caso A.L.A., temos

DOAM = DPBM

Portanto AM = MB CQD

07)

A



Jeca


Jeca 36


Observação - Dependendo dos dados, um exercício pode ser provado por mais de um caso de congruência. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi considerado o caso de congruência mais evidente.

01) LAL

02) ALA

03) LAA O

04) LAL

05) LAA O

06) Caso especial

07) LAL

08) ALA

09) LAL

10) LLL

11) ALA

A

B C

D E

Demonstração do exercício nº 12.

A

B C

D E F

Seja CF // AB (por construção) >DAE FCE (alternos internos)AE CE (E é ponto médio)AED CEF (opostos pelo vértice)

Pelo caso ALA, temos: DADE DCFE CF AD

Mas D é ponto médio de AB CF AD DB

Se BD //CF e BD CF BCFD é um paralelogramo

DF // BC e DF BC

Mas DE EF DE e DE // BC (CQD)

>

>

> >

> = BC2

>

>

Demonstração do exercício nº 13.

A B

CD

E F

A B

D

E

C

F

G

>

A

CD

E F

DG = DC + CG = DC + AB

Pelo teorema demonstrado no exercício 12, temos:

EF // AB // CD e EF

(CQD)

=AB + CD

2

G



Jeca


Jeca 37

AFB CFG (A) (opostos pelo vértice)BF FC (L) (F é ponto médio de BC)BAF CGF (A) (alternos internos)

Pelo caso LAA , temos: DABF DCGF AF FG O

e AB CG

Considerando apenas o triângulo ADG, temos:

I) Trapézio. É o quadrilátero que tem dois lados paralelos.

Trapézioretângulo

Trapézioisósceles

Trapézioescaleno

a

b

a a

b b b

a

A altura de um trapézio éa distância entre as retas suporte de suas bases.

h

base menor

base maior

a + b = 180º

II) Paralelogramo. É o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

A B

CD

AB // CDe

AD //BC

III) Retângulo. É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes e iguais a 90º.

A B

CD

b

h

b

h

IV) Losango. É o quadrilátero que tem os lados congruentes.

V) Quadrado. É o quadrilátero que tem os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes (90º).

ab

b

aA

B

C

D

AB // CDe

AD // BC

45º

Propriedades dos quadriláteros notáveis.

1) Em todo paralelogramo as diagonais cortam-se nos respectivos pontos médios.

2) Em todo losango as diagonais são: a) perpendiculares entre si; b) bissetrizes dos ângulos internos.

A B

CD

M

M é ponto médio de ACe

M é ponto médio de BD.

A

B

C

D

x

y

x

y y

y

xx

3) Base média de trapézio. Em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos dois lados não paralelos, é paralelo às bases e vale a média aritmética dessas bases.

4) Base média de triângulo. Em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao 3º lado e vale a metade desse 3º lado.

A B

N

CD

M

base média

MN // AB // CDe

MN AB + CD2

=

A

B C

M N

base média

MN // BCe

MN =BC2




Quadriláteros notáveis.

Jeca 38

7 cm

7 cm12 cm

2x

x + 5

2x + 1

k

k

04) No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a medida do ângulo BDC, determinar as medidas dos ângulos a, b, c e d.

58º

A

B

C

D

A B

CD

3y

12 cmx - 4

7 cm

01) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x e a medida da diagonal BD.

A B

CD


A B

CD

03) No paralelogramo ABCD abaixo, determinar o valor de x, o valor de y, a medida da diagonal AC e a medida da diagonal BD.

ab

c

d

08) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados com medidas iguais, então todos os seus ângulos internos têm medidas iguais.Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada:a) triângulo equilátero;b) losango;c) trapézio;d) retângulo;e) quadrado.

A

B

C

D

L

M N

P

A

B

C

D

L

M N

P

05) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero ABCD. Determinar o perímetro do quadrilátero LMNP sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm.

06) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero ABCD. Provar que LMNP é um paralelogramo.

07) (Unifesp) Determine a medida do menor ângulo interno de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos consecutivos desse paralelogramo estão na razão 1 : 3.

Jeca 39

7 cm

7 cm12 cm

2x

x + 5

2x + 1

k

k

04) No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a medida do ângulo BDC, determinar as medidas dos ângulos a, b, c e d.

58º

A

B

C

D

A B

CD

3y

12 cmx - 4

7 cm


A B

CD


A B

CD

03) No paralelogramo ABCD abaixo, determinar o valor de x, o valor de y, a medida da diagonal AC e a medida da diagonal BD.

ab

c

d

08) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados com medidas iguais, então todos os seus ângulos internos têm medidas iguais.Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada:a) triângulo equilátero;b) losango;c) trapézio;d) retângulo;e) quadrado.

A

B

C

D

L

M N

P

A

B

C

D

L

M N

P

05) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero ABCD. Determinar o perímetro do quadrilátero LMNP sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm.

06) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero ABCD. Provar que LMNP é um paralelogramo.

07) (Unifesp) Determine a medida do menor ângulo interno de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos consecutivos desse paralelogramo estão na razão 1 : 3.

Jeca 39

"Em todo paralelogramo as diagonaiscortam-se nos respectivos pontos médios."2x = 12Portanto x = 6 cm e BD = 24 cm (resp)

x + 5 = 2x + 1

x = 4 (resp)

x - 4 = 7x = 11 cm

3y = 12y = 4 cm

AC = 2 . 7 AC = 14 cm

BD = 2 . 12BD = 24 cm

a + 58 + 90 = 180a = 32ºb = 2a = 64ºc = 90ºd = 2 . 58 = 116º

LP é a base média do triângulo ABDMN é a base média do triângulo BCDPortanto LP = MN = BD/2 = 10/2 = 5 cmLM é a base média do triângulo ABCPN é a base média do triângulo ACDPortanto LM = PN = AC/2 = 6/2 = 3 cm

Per = 2 . 3 + 2 . 5Per = 16 cm(resp)

LP é a base média do triângulo ABD.MN é a base média do triângulo BCD.Portanto LP // MN e LP = MN = BD/2LM é a base média do triângulo ABC.PN é a base média do triângulo ACD.Portanto LM //PN e LM = PN = AC/2Portanto LMNP é um paralelogramo (CQD)

3x

x

x + 3x = 180º - ângulos colaterais internos

4x = 180

x = 180/4

x = 45º (resp)

b) Losango O losango tem todos os lados com medidas iguais mas os seus ângulos internos não necessariamente têm medidas iguais.Portanto, o losango contraria a afirmação acima. (resp)

A

B C

D E

09) No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente, determine a medida do pe-rímetro do trapézio BCED.

A

B C

D

E

F

10) No triângulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as medidas dos segmentos DE, DF e EF.

A

B C

D E

F

11) No triângulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z.Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, AC e BC, respectivamente, determinar o perímetro do qua-drilátero BDEF.

A B

CD

E F

12) No trapézio ABCD abaixo, a base menor AB mede 8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F são os pontos médios dos lados AD e BC, respectiva-mente. Determine a medida da base média EF.

A B

CD

E F

13) No trapézio retângulo ABCD abaixo, a base menor AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo BC = 10 cm, E e F os pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente, determinar os perímetros dos trapé-zios ABFE e CDEF.

A B

CD

E F

14) No trapézio ABCD abaixo, a base média EF mede 17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine a medida da base menor AB.

A B

CD

E F

G H

15) No trapézio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm.Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine as medidas da base menor AB e da base maior CD.

A B

CD

EF G

H

16) No trapézio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. Determinar as medidas dos seg-mentos EH, EF, GH e FG.

Jeca 40

A

B C

D E

09) No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente, determine a medida do pe-rímetro do trapézio BCED.

A

B C

D

E

F

10) No triângulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as medidas dos segmentos DE, DF e EF.

A

B C

D E

F

11) No triângulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z.Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, AC e BC, respectivamente, determinar o perímetro do qua-drilátero BDEF.

A B

CD

E F

12) No trapézio ABCD abaixo, a base menor AB mede 8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F são os pontos médios dos lados AD e BC, respectiva-mente. Determine a medida da base média EF.

A B

CD

E F

13) No trapézio retângulo ABCD abaixo, a base menor AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo BC = 10 cm, E e F os pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente, determinar os perímetros dos trapé-zios ABFE e CDEF.

A B

CD

E F

14) No trapézio ABCD abaixo, a base média EF mede 17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine a medida da base menor AB.

A B

CD

E F

G H

15) No trapézio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm.Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine as medidas da base menor AB e da base maior CD.

A B

CD

EF G

H

16) No trapézio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. Determinar as medidas dos seg-mentos EH, EF, GH e FG.

Jeca 40

BD = AB / 2 = 8 / 2 = 4 cmEC = AC / 2 = 12 / 2 = 6 cmDE = BC / 2 = 10 / 2 = 5 cm

2p = 4 + 5 + 6 + 10 = 25 cm (resp)

Base média de triângulo.

DE = AC/2 = 14/2 = 7 cm

DF = BC/2 = 18/2 = 9 cm

EF = AB/2 = 16/2 = 8 cm

(resp)

x/2

x/2

y/2

y/2

x/2

z/2

z/2

z/2

Per = 2p = 2 . (x/2) + 2 . (z/2)

2p = x + z (resp)

8

20 cm

EF // AB // CD

EF

EF = 14 cm (resp)

= AB + CD2

=2

8 + 20

12

18 cm

5

5

12 6

Pitágoras2 2 2

10 = 6 + (AD)AD = 8 cm

EF = (12 + 18)/2 = 15 cm

Per = 12 + 5 + 15 + 4ABFE

Per = 36 cm ABFE

Per = 15 + 5 + 18 + 4EFCD

Per = 42 cm EFCD

4

4

17 cm

22 cm

x

17 =x + 22

2

x + 22 = 34

x = 12 cm

AB = 12 cm (resp)

8 cm

11 cm

x

y

8 = x + 112

16 = x + 11

x = 5 cm

AB = 5 cm (resp)

11 =y + 8

222 = y + 8

y = 14

CD = 14 cm (resp)

12 cm

26 cm

EF e GH são bases médiasdos triângulos ABD e ABC.EF = GH = AB/2 = 12/2EF = GH = 6 cm

EH é base média do trapézioEH = (AB + CD)/2EH = (12 + 26)/2 = 19 cm

FG = EH - EF - GHFG = 19 - 6 - 6FG = 7 cm

M

N L

PC

D

E

F

17) Na figura, MNLP é um quadrilátero, C, D, E e F são os pontos médios dos lados MN, NL, LP e PM. Deter-mine o perímetro do quadrilátero CDEF sabendo-se que ML = 14 cm e NP = 8 cm.

18) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos opostos medem 3x - 18º e 2x + 27º.

A

B C

D E

F

20) No triângulo ABC abaixo, sendo F o baricentro, AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar o perímetro do quadrilátero AEFD.

A

B C

DE

F

21) No triângulo ABC abaixo, E e G são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y, AC = z e GD = k, determinar o perímetro do triângulo GEC e dizer o que o ponto D é do triângulo ABC.

A

GE

D

BFC

23) (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a medida da altura é igual à da base média. Determine o ângulo que a diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio.

A B

CD

22) Demonstre que o ângulo formado pelas bissetri-zes de dois ângulos internos consecutivos de um paralelogramo é um ângulo reto.

Jeca 41

19) No triângulo ABC abaixo, D e E são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo o perímetro do triângulo DEF igual a 23 cm, determinar :a) o que é o ponto F para o triângulo ABC.b) a medida do perímetro do triângulo BCF.

M

N L

PC

D

E

F

17) Na figura, MNLP é um quadrilátero, C, D, E e F são os pontos médios dos lados MN, NL, LP e PM. Deter-mine o perímetro do quadrilátero CDEF sabendo-se que ML = 14 cm e NP = 8 cm.

18) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos opostos medem 3x - 18º e 2x + 27º.

A

B C

D E

F

19) No triângulo ABC abaixo, D e E são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo o perímetro do triângulo DEF igual a 23 cm, determinar :a) o que é o ponto F para o triângulo ABC.b) a medida do perímetro do triângulo BCF.

20) No triângulo ABC abaixo, sendo F o baricentro, AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar o perímetro do quadrilátero AEFD.

A

B C

DE

F

21) No triângulo ABC abaixo, E e G são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y, AC = z e GD = k, determinar o perímetro do triângulo GEC e dizer o que o ponto D é do triângulo ABC.

A

GE

D

BFC

23) (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a medida da altura é igual à da base média. Determine o ângulo que a diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio.

A B

CD

22) Demonstre que o ângulo formado pelas bissetri-zes de dois ângulos internos consecutivos de um paralelogramo é um ângulo reto.

Jeca 41

Base média de triângulo.CF = DE = NP/2 = 8/2 = 4 cmCD = EF = ML/2 = 14/2 = 7 cm

2p = 4 + 7 + 4 + 7 = 22 cm (resp)

a

b

b

a

a = 3x - 18

a = 2x + 27

3x - 18 = 2x + 27

x = 45º

Portanto a = 117º

a + b = 180º - ângulos colaterais internos

117 + b = 180

b = 63º

x

y z

2y2z

a) BE e CD são medianas.Portanto F é baricentro.

b) x + y + z = 23

DE é base média.Portanto BC = 2.DE = 2x

Per = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z) = 2 . 23 = 46 cm (resp)BCF

Se F é baricentro, então E e D são pontos médios e, BD e CD são medianas.

x/2y/2

z

t

w

y/2x/2

2w

t/2

EF = FC/2 = t/2

Per = x/2 + y/2 + t/2 + w = (x + y + t + 2w)/2 (resp)AEFD

x/2

y/2

z/2

k

x/2z/2

y/2

2k

Se E e G são pontos médios, então EB e CG são medianas. Além disso, EG é a base média do triângulo ABC.

EG = BC/2 = y/2

Per = y/2 + z/2 + 3kGEC

Per = (y + z + 6k)/2 (resp)GEC

D é o baricentro do triângulo ABC.

a

b

a

b

2a + 2b = 180º - ângulos colaterais internosa + b = 90º

a + b + 90 = 180Portanto a + b = 90º (CQD)

h

h

x

y

xy - x

2y - x

2d

d =y - x

2+ x =

y - x + 2x

2

d =y + x

2M N MN é base média

MN = (y + x)/2 = h

= hh

h

a

tg a = h/h = 1

a = 45º (resp)



Geometria planaQuadriláteros notáveis.


32º

x

y

A B

CD

03) No retângulo ABCD abaixo, AC e BD são as diagonais. Determine as medidas dos ângulos x e y.

A

B

C

D

q2q

04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se repre-sentado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do lado desse losango.

A B

CD

E

F

05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e DCE é um triângulo equilátero, onde o ponto E pertence ao lado AB do retângulo. Sendo DB a diagonal do re-tângulo, F o ponto de intersecção entre a diagonal e o lado do triângulo e CD = 9 cm, determine a medida do segmento FC.

06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposi-ções.I. Todo quadrado é um losango.II. Todo quadrado é um retângulo.III. Todo retângulo é um paralelogramo.IV. Todo triângulo equilátero é isósceles.

Pode-se afirmar que:a) só uma é verdadeira.b) todas são verdadeiras.c) só uma é falsa.d) duas são verdadeiras e duas são falsas.e) todas são falsas.

Jeca 42

01) Dado o losango ABCD abaixo e o ângulo de 138º, determine as medidas dos ângulos assinalados.

A

B

C

D

x

y

zt

138º

A B

CD M

E

60º60º

02) (J) No paralelogramo ABCD abaixo, AE = 5 cm e M é o ponto médio do lado CD. Determine o perímetro de ABCD.

F

F é ponto médio de ACNo triangulo ACDAM é medianaDF é medianaE é baricentro

EM = AE/2EM = 5/2Portanto AM = 5 + 5/2 = 15/2 cmSe DAB = 120º, então ADM = 60º - ângulos colaterais internosADM é um triângulo equilátero de lado 15/2 cmPortanto AD = 15/2 e AB = 15

Per = 15/2 + 15 + 15/2 + 15 = 45 cm (resp)ABCD

32º


x = 32 + 32 = 64º

y + x = 180

y = 116º (resp)

3q = 180q = 60ºO triângulo ABD é equiláteroBD = 4 cm AB = BC = CD = AD = 4m

30º

4 cm

x

cos 30º =x4

x = 4 3 /2 = 2 3 cm

AC = 2.d = 4 3 cm

M

9 cm

No triângulo ABC, tem-seBM é mediana.CE é mediana.F é baricentro

CD = CE = 2x + x = 3x = 9x = 3FC = 2x = 2 . 3 = 6 cm(resp)



Geometria planaQuadriláteros notáveis.


32º

x

y

A B

CD

03) No retângulo ABCD abaixo, AC e BD são as diagonais. Determine as medidas dos ângulos x e y.

A

B

C

D

q2q

04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se repre-sentado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do lado desse losango.

A B

CD

E

F

05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e DCE é um triângulo equilátero, onde o ponto E pertence ao lado AB do retângulo. Sendo DB a diagonal do re-tângulo, F o ponto de intersecção entre a diagonal e o lado do triângulo e CD = 9 cm, determine a medida do segmento FC.

06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposi-ções.I. Todo quadrado é um losango. II. Todo quadrado é um retângulo. III. Todo retângulo é um paralelogramo. IV. Todo triângulo equilátero é isósceles.

Pode-se afirmar que:a) só uma é verdadeira.b) todas são verdadeiras.c) só uma é falsa.d) duas são verdadeiras e duas são falsas.e) todas são falsas.

(verdadeira)(verdadeira)

(verdadeira)(verdadeira)

Jeca 42

01) Dado o losango ABCD abaixo e o ângulo de 138º, determine as medidas dos ângulos assinalados.

A

B

C

D

x

y

zt

138º

"Em todo losango, as diagonais são:a) perpendiculares entre si.b) bissetrizes dos ângulos internos."

y = 138/2 = 69ºt = 90ºx + t + y = 180ºx + 90 + 69 = 180x = 21ºz = 2x = 42º

A B

CD M

E

60º60º

02) (J) No paralelogramo ABCD abaixo, AE = 5 cm e M é o ponto médio do lado CD. Determine o perímetro de ABCD.

q

q

x

2x

Todas são verdadeiras (resp. b)

07) (PUC-SP) Sendo:A = {x / x é quadrilátero}B = {x / x é quadrado}C = {x / x é retângulo}D = {x / x é losango}E = {x / x é trapézio}F = {x / x é paralelogramo}

Então vale a relação:

a) A D Eb) A F D Bc) F D Ad) A F B Ce) B D A E

08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta:a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra.b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo.c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um para-lelogramo são paralelas entre si.d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um tri-ângulo, este fica decomposto em quatro triângulos congruentes.e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas.

E

A

BC

DF

G

H I

09)(UECE) Na figura, o retângulo DGHI, o triângulo e-quilátero DEF e o quadrado ABCI, têm todos, períme-tro igual a 24 cm. Se D é o ponto médio de CI, o perí-metro da figura fechada ABCDEFGHIA é igual a:

a) 48 mb) 49 mc) 50 md) 51 me) 52 m

10) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo que a diferença entre as medidas de dois ângulos internos consecutivos é 52º.

11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango de-compõe esse losango em dois triângulos congruentes. Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º, quais são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois triângulos considerados ?

12) (ITA-SP) Dadas as afirmações:I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadriláte-ro são suplementares.II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um para-lelogramo são suplementares.III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpen-diculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então esse paralelogramo é um losango.

a) Todas são verdadeiras.b) Apenas I e II são verdadeiras.c) Apenas II e III são verdadeiras.d) Apenas II é verdadeira.e) Apenas III é verdadeira.

Jeca 43

07) (PUC-SP) Sendo:A = {x / x é quadrilátero}B = {x / x é quadrado}C = {x / x é retângulo}D = {x / x é losango}E = {x / x é trapézio}F = {x / x é paralelogramo}

Então vale a relação:

a) A D Eb) A F D Bc) F D Ad) A F B Ce) B D A E

08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta:a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra.b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo.c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um para-lelogramo são paralelas entre si.d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um tri-ângulo, este fica decomposto em quatro triângulos congruentes.e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas.

E

A

BC

DF

G

H I

09)(UECE) Na figura, o retângulo DGHI, o triângulo e-quilátero DEF e o quadrado ABCI, têm todos, períme-tro igual a 24 cm. Se D é o ponto médio de CI, o perí-metro da figura fechada ABCDEFGHIA é igual a:

a) 48 mb) 49 mc) 50 md) 51 me) 52 m

10) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo que a diferença entre as medidas de dois ângulos internos consecutivos é 52º.

11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango de-compõe esse losango em dois triângulos congruentes. Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º, quais são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois triângulos considerados ?

12) (ITA-SP) Dadas as afirmações:I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadriláte-ro são suplementares. II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um para-lelogramo são suplementares. III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpen-diculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então esse paralelogramo é um losango.

a) Todas são verdadeiras.b) Apenas I e II são verdadeiras.c) Apenas II e III são verdadeiras.d) Apenas II é verdadeira.e) Apenas III é verdadeira.

(Falsa)

(Verdadeira)

(Verdadeira)

Jeca 43

A

B

C

D

E

F

Resp b)

a) V b) V c) V d) V e) Falsa

8 8

86

6

6

3

3

9

3

AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IA =

6 + 6 + 3 + 8 + 8 + 1 + 3 + 9 + 6 = 50 cm (resp c)

1

180 - x

x

180 - x - x = 52

2x = 180 - 52 = 128

x = 64º

x = 64º

180 - x = 116º (resp)

A

B

C

D

130º

65º 65º

x

As medidas dos três ângulos

são:65º , 65º e 50º (resp)

x + 65 + 65 = 180

x = 50º

Resposta c

13) (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases dife-rentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângu-lo adjacente à base maior. Isso significa que:

a) a base menor tem medida igual à dos lados oblíquos.b) os ângulos adjacentes à base menor não são congruentes.c) a base maior tem medida igual à dos lados oblíquos.d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto médio.e) as diagonais se interceptam, formando ângulo reto.

14) (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados formam um ângulo de 60º.a) Indicando por a, b, g e q, respectivamente, as medidas dos ângulos internos dos vértices A, B, C e D, calcule a + b + g + q.b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.c) Calcule a medida do ângulo MJN.

A

D C

B

A

B C

D E

FG H

I

15) Na figura, BC = 24 cm, D é ponto médio de AB, F é ponto médio de BD, E é ponto médio de AC e I é ponto médio de CE. Determine as medidas dos segmentos FG e GH.

16) (ITA-SP) Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU vale:a) 22 cmb) 5,5 cmc) 8,5 cmd) 11 cme) 12 cm

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

17) No trapézio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. Se AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determine AF e EJ em função de x e de y.

A

B C

D E

F

18) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em B, o ponto D é ponto médio do lado AB e o segmento DE é paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, de-termine a medida do segmento EF.

Jeca 44

13) (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases dife-rentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângu-lo adjacente à base maior. Isso significa que:

a) a base menor tem medida igual à dos lados oblíquos.b) os ângulos adjacentes à base menor não são congruentes.c) a base maior tem medida igual à dos lados oblíquos.d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto médio.e) as diagonais se interceptam, formando ângulo reto.

14) (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados formam um ângulo de 60º.a) Indicando por a, b, g e q, respectivamente, as medidas dos ângulos internos dos vértices A, B, C e D, calcule a + b + g + q.b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.c) Calcule a medida do ângulo MJN.

A

DC

B

A

B C

D E

FG H

I

15) Na figura, BC = 24 cm, D é ponto médio de AB, F é ponto médio de BD, E é ponto médio de AC e I é ponto médio de CE. Determine as medidas dos segmentos FG e GH.

16) (ITA-SP) Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU vale:a) 22 cmb) 5,5 cmc) 8,5 cmd) 11 cme) 12 cm

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

17) No trapézio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. Se AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determine AF e EJ em função de x e de y.

A

B C

D E

F

18) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em B, o ponto D é ponto médio do lado AB e o segmento DE é paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, de-termine a medida do segmento EF.

Jeca 44

aa

a

resp a) 2 2

60º

J

M N

a) a + b + g + q = 360º

b) JM é base média do triângulo ACD.Portanto JM = AD/2 = 2/2 = 1 JN é base média dotriângulo BCD.Portanto JN = 2/2 = 1

c) JM // AD JN // BCEntão MJN = 60º (resp)

24 cm

x y

w

DE é base média do triângulo ABC DE = w = 24/2 = 12 cmFG é base média do triângulo BDE FG = x = 12/2 = 6 cmFH é base média do triângulo BCD FH = x + y = 12 cmx + y = 126 + y = 12y = GH = 6 cm (resp)

A

B

C

D

R

S T

U

RU é a base média do triângulo ABDST é a base média do triângulo BCDPortanto RU = ST = BD/2 = 6/2 = 3 cmRS é a base média do triângulo ABCTU é a base média do triângulo ACDPortanto RS = TU = AC/2 = 5/2 cm

Per = 2 . 3 + 2 . 5/2Per = 11 cm(resp)

x

y

k

n

w

Base média de trapézio.

w =x + y

2

y w + n=

2n 2y - w = 2y -

x + y2

=4y - x - y

2

n 3y -x=

2EJ =

=

x w + k=

2k 2x - w = 2x -

x + y2

=4x - x - y

2=

n 3x - y=

2AF =

R

R

R

AE = EC = EB = R = 12

Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semicircunferência.

BE é uma mediana.CD é uma mediana.Portanto F é o baricen-tro do triângulo ABC.

BE = 12 cmMas, BF = 2.EF 3 . EF = 12 EF = 4 cm (resp)

Jeca 45


01) 6 cm e 24 cm

02) 4

03) 11 cm, 4 cm, 14 cm e 24 cm

04) 32º, 64º, 90º e 116º

05) 16 cm

06) Propriedade da base média do triângulo.BD // LP // MN e AC // LM // PNPortanto LMNP é um paralelogramo.

07) 45º

08) b

09) 25 cm

10) 7 cm, 9 cm, e 8 cm

11) x + z

12) 14 cm

13) 36 cm e 42 cm

14) 12 cm

15) 5 cm e 14 cm

16) 19 cm, 6 cm, 6 cm e 7 cm

17) 22 cm

18) 117º e 63º

19) Baricentro e 46 cm

20) (x + y + 2w + t) / 2

21) (y + z + 6k) / 2 e baricentro

22) 2a + 2b = 180 (alternos internos)Portanto a + b = 90º

23) 45º



Jeca


Jeca 46


01) x = 21º, y = 69º, z = 42º, t = 90º

02) 45 cm

03) x = 64º, y = 116º

04) AC = 4 3 cm, AB = 4 cm

05) 6 cm

06) b

07) b

08) e

09) c

10) 64º e 116º

11) 50º, 65º e 65º

12) c

13) a

14) a) 360º b) 1 e 1 c) 60º

15) FG = 6 cm e GH = 6 cm

16) d

17) AF EJ

18) 4cm

=3x - y

2=

3y - x2



Jeca


Jeca 47

I) Polígonos convexos.

i

e

d

d - diagonali - ângulo internoe - ângulo externo

Classificação dos polígonos (quanto ao nº de lados).

3 lados - triângulo 4 lados - quadrilátero 5 lados - pentágono 6 lados - hexágono 7 lados - heptágono 8 lados - octógono 9 lados - eneágono10 lados - decágono

11 lados - undecágono12 lados - dodecágono13 lados - tridecágono14 lados - quadridecágono15 lados - pentadecágono16 lados - hexadecágono17 lados - heptadecágono18 lados - octodecágono19 lados - eneadecágono20 lados - icoságonoi + e = 180º

II) Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo.

(S )i

III) Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo.

(S )e

IV) Número de diagonais de um polí-gono convexo.

(d)

i1i2

i3

i4

in

S = i + i + i + ... + ii 1 2 3 n

S = 180 (n - 2)i

n - nº de lados do polígono

e1

e2

e3

e4

en

S = e + e + e + ... + ee 1 2 3 n

S = 360ºe

Para qualquer polígono convexo

Diagonal é o segmento que une dois vértices não consecutivos.

d n (n - 3)2

=

n - nº de lados do polígono

vértice

lado

V) Polígono regular.

e

e

e

e

e

i

i

i

ii

a

Um polígono é regular se tem:a) todos os lados congruentes entre si;b) todos os ângulos internos congruentes entre si;c) todos os ângulos externos congruentes entre si.

3 lados - triângulo equilátero4 lados - quadrado5 lados - pentágono regular6 lados - hexágono regular etc

Classificação dos polígonos regulares

Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.

Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.

i =Si

n >180 (n - 2)

i = n

e =Se

n >360e = n

(importante)

Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e circunscrito numa circunferência.

ângulocentral

C




Polígonos convexos.

Jeca 48

01) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-nos e o número de diagonais de um pentadecágono convexo.

02) Determinar a soma das medidas dos ângulos exter-nos e o número de diagonais de um octodecágono convexo.

03) Determinar a medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo de um eneágono regular.

04) Determinar a medida de cada ângulo interno e o nº de diagonais de um octógono regular.

05) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-nos de um polígono convexo que tem 65 diagonais.

06) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu-lar cuja medida de cada ângulo externo é 30º.

07) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu-lar sabendo-se que a medida de um ângulo interno excede a medida do ângulo externo em 132º.

08) Determinar a medida do ângulo externo de um polígono regular que tem 14 diagonais.

Jeca 49

01) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-nos e o número de diagonais de um pentadecágono convexo.

02) Determinar a soma das medidas dos ângulos exter-nos e o número de diagonais de um octodecágono convexo.

03) Determinar a medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo de um eneágono regular.

04) Determinar a medida de cada ângulo interno e o nº de diagonais de um octógono regular.

05) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-nos de um polígono convexo que tem 65 diagonais.

06) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu-lar cuja medida de cada ângulo externo é 30º.

07) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu-lar sabendo-se que a medida de um ângulo interno excede a medida do ângulo externo em 132º.

08) Determinar a medida do ângulo externo de um polígono regular que tem 14 diagonais.

Jeca 49

Pentadecágono (n = 15 lados)

S = 180(n - 2) = 180(15 - 2) = 2 340º (resp)i

d = n(n - 3) / 2 = 15(15 - 3) / 2 = 90 diagonais (resp)

octodecágono - 18 lados

S = 360º (resp)e

d = n(n - 3)/2d = 18(18 - 3)/2 = 135 diagonais. (resp)

eneágono - 9 lados

e = 360/n = 360/9 = 40º (resp)

i + e = 180ºi + 40 = 180i = 140º (resp)

octógono - 8 lados

e = 360/n = 360/8 = 45º

i + e = 180ºi + 45 = 180i = 135º (resp)

d = n(n - 3)/2 = 8(8 - 3)/2d = 20 diagonais (resp)

e = 360/n30 = 360/nn = 12 lados (dodecágono)

d = n(n - 3)/2d = 12(12 - 3)/2d = 54 diagonais (resp)

d = n(n - 3)/265 = n(n - 3)/2

2130 = n - 3n

2n - 3n - 130 = 0Raízesn = 13n = -10 (não convém)

Para n = 13 (tridecágono)S = 180(n - 2) = 180(13 - 2)i

S = 1 980º (resp)i

i - e = 132ºi + e = 180º

2i = 312

i = 156º e = 180 - 156 = 24º

e = 360/n

24 = 360/n n = 15 lados (pentadecágono)

d = n(n - 3)/2

d = 15(15 - 3)/2 = 90 diagonais

d = n(n - 3)/214 = n(n - 3)/2

228 = n - 3n2n - 3n - 28 = 0

Raízesn = 7 (heptágono)n = -4 (não convém)

Para n = 7 ladose = 360/n = 360º/7 (resp)

09) Dados dois polígonos convexos, A e B, sabe-se que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A. Determine quais são os polígonos A e B.

10) Dados dois polígonos regulares, A e B, sabe-se que B tem 6 lados a mais do que A e a diferença das medidas de seus ângulos externos é 16º. Deter-mine quais são esses polígonos.

11) Determine a medida do ângulo agudo formado entre a diagonal AF e o lado AB de um dodecágono regular ABC.... KL.

12) Determine a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de um dodecágono regular ABC...KL.

Jeca 50

09) Dados dois polígonos convexos, A e B, sabe-se que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A. Determine quais são os polígonos A e B.

10) Dados dois polígonos regulares, A e B, sabe-se que B tem 6 lados a mais do que A e a diferença das medidas de seus ângulos externos é 16º. Deter-mine quais são esses polígonos.

11) Determine a medida do ângulo agudo formado entre a diagonal AF e o lado AB de um dodecágono regular ABC.... KL.

12) Determine a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de um dodecágono regular ABC...KL.

Jeca 50

AnA

dA

BnB

dB

n = n + 4B A

d = d + 30B A

d - d = 30B A

n (n - 3)/2 - n (n - 3)/2 = 30B B A A

(n + 4)(n + 4 - 3) - n (n - 3) = 60A A A A

8.n = 56A

n = 7 lados (heptágono)A

n = 7 + 4 = 11 lados (undecágono) (resp)B

AnA

eA

BnB

eB

n = n + 6B A

e - e = 16 A B

Importante - O polígono que tem menos lados tem o maior ângulo externo. (e - e > 0)A B

e - e A B = nA n + 6A

360-360= 16

n (n + 6)A A

360(n + 6) - 360.nA A= 16

360(n + 6) - 360.n = 16n (n + 6)A A A A

2360n + 2 160 - 360n = 16n + 96nA A A A

2n + 6n - 135 = 0A A

Raízesn = 9 lados (eneágono)A

n = -15 lados (não convém)A

Polígono A - eneágonopolígono B - (9 + 6 = 15) - pentadecágono (resp)

A

B

C

D

E

F

e

i = 150º

e - ângulo externoi - ângulo interno

e = 360/n = 360/12 = 30ºPortanto i = 180 - e = 180 - 30 = 150º

ABCDEF é um hexágono irregular

S = 180(n - 2) = 180(6 - 2) = 180 . 4 = 720ºi

Mas, S = 4 . 150 + 2xi

720 = 600 + 2xx = 60º (resp)

x

x

150º

150º

150º

A

B

C

D

E

F


150º

150º

150º

G

e

e = 360/n = 360/12 = 30ºi = 180 - e = 180 - 30 = 150º

ABC é um triângulox + x + 150 = 180 x = 15º

DEFG é um quadriláteroy + y + 150 + 150 = 360 y = 30º

a = x + 30 = 45ºb = y + 30 = 60ºa + b + q = 180q = 75º (resp)

e = 30º

e = 30º

x

y

x y

ab

q

q

13) (UNIFESP-SP) Pentágonos regulares congruen-tes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figu-ra. Nestas condições, o ângulo q mede:

a) 108º b) 72º c) 54º d) 36º e) 18º

14) (FUVEST-SP) Dois ângulos internos de um polí-gono convexo medem 130º cada um e os demais ângulos internos medem 128º cada um. O nº de lados desse polígono é:

a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17

15) (CESGRANRIO-RJ) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, são traçadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo a. A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero corresponde a:

a) a/4 b) a/2 c) a d) 2a e) 3a

A

B

C

D

M

N

a

16) (MACK-SP) Os lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são prolongados para formar uma estrela. A medida, em graus, de cada vértice da estrela é:

a)

b)

c)

d)

e)

360ºn

(n - 4) . 180ºn

(n - 2) . 180ºn

180º _ 90ºn

180ºn

Jeca 51

q

13) (UNIFESP-SP) Pentágonos regulares congruen-tes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figu-ra. Nestas condições, o ângulo q mede:

a) 108º b) 72º c) 54º d) 36º e) 18º

14) (FUVEST-SP) Dois ângulos internos de um polí-gono convexo medem 130º cada um e os demais ângulos internos medem 128º cada um. O nº de lados desse polígono é:

a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17

15) (CESGRANRIO-RJ) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, são traçadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo a. A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero corresponde a:

a) a/4 b) a/2 c) a d) 2a e) 3a

A

B

C

D

M

N

a

16) (MACK-SP) Os lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são prolongados para formar uma estrela. A medida, em graus, de cada vértice da estrela é:

a)

b)

c)

d)

e)

360ºn

(n - 4) . 180ºn

(n - 2) . 180ºn

180º _ 90ºn

180ºn

Jeca 51

q

e = 360 / 5 = 72º

e = 72ºi = 108º

108º

108º108º

q = 360 - 3 . 108 =

= 360 - 324 = 36º (resp)

130º

130º 128º

128º

128º

52º

52º

52º

50º

50º

Se dois ângulos internos medem 130º, então dois ângulosexternos medem 50ºSe os demais ângulos internos medem 128º, então os demaisângulos externos medem 52º

A soma das medidas dos ângulos externos é 360º.

2 . 50 + x . 52 = 360x . 52 = 360 - 100 = 260x = 260/52 = 5

2 ângulos externos de 50º5 ângulos externos de 52ºtotal - 7 ângulos externos n = 7 lados (resp b)

x

x

yy

x + y = 180 - a

A + B + C + D = 360º

A + D = 360 - 2x - 2y

A + D = 360 - 2(x + y)

A + D = 360 - 2(180 - a)

A + D = 360 - 360 + 2a

A + D = 2a (resp d)

xe

e

e - ângulo externo do polígono.x - vértice da estrela.

e = 360/n

e + e + x = 180º2 . 360/n + x = 180x = 180 - 720/n = (180n - 720)/n = 180(n - 4)/n (resp b)

Polígono

01) Dado um polígono convexo de 17 lados, determinar:

a) a soma das medidas dos ângulos internos.

b) a soma das medidas dos ângulos externos.

c) o número de diagonais desse polí-gono.

03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos é 2160º.

04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais.

02) Dado um undecágono convexo, determinar:






Geometria planaPolígonos convexos.


Jeca 52

01) Dado um polígono convexo de 17 lados, determinar:




03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos é 2160º.

04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais.

02) Dado um undecágono convexo, determinar:






Geometria planaPolígonos convexos.


Jeca 52

S = 180(n - 2) = 180(17 - 2) = 2 700ºiS = 360ºe

d = n(n - 3)/2d = 17(17 - 3)/2d = 119 diagonais

S = 180(n - 2) = 180(11 - 2) = 1 620ºiS = 360ºe

d = n(n - 3)/2d = 1(11 - 3)/2d = 44 diagonais

S = 180(n - 2)i

2 160 = 180(n - 2)

n - 2 = 2 160/180

n - 2 = 12

n = 14 lados (resp)

d = n(n - 3)/2

d = 14(14 - 3)/2

d = 77 diagonais (resp)

d = n(n - 3)/2

44 = n(n - 3)/2

2n - 3n - 88 = 0

Raízesn = 11 lados (undecágono)n = -8 (não convém)

S = 180(n - 2)i

S = 180(11 - 2)i

S = 1 620º (resp)i

05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas dos ângulos internos assinalados. A B

C

E D

06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o polígono B.

07) Dado um eneágono regular, determinar :

a) o número de lados do eneágono. b) a soma das medidas dos ângulos internos.

c) a medida de cada ângulo interno.

d) a soma das medidas dos ângulos externos.

e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágo-no.

08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo interno.

Jeca 53

05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas dos ângulos internos assinalados. A B

C

E

D

06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o polígono B.

07) Dado um eneágono regular, determinar :

a) o número de lados do eneágono. b) a soma das medidas dos ângulos internos.



e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágo-no.

08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo interno.

Jeca 53

A + E = 180º (ângulos colaterais internos)

ABCDE é um pentágono, portanto S = 180(n - 2) = 180(5 - 2) = 540ºi

E + A + B + C + D = 540180 + B + C + D = 540B + C + D = 540 - 180 = 360º (resp)

AnA

dA

BnB

dB

n = n + 2A B

d = d + 23A B

d - d = 23A B

(n + 2)(n + 2 - 3)/2 - n (n - 3)/2 = 23B B B B

(n + 2)(n - 1) - n (n - 3) = 46B B B B

4.n = 48B

n = 12 lados (dodecágono)B

n = 12 + 2 = 14 lados (quadridecágono) (resp)A

n = 9 ladosS = 180(n - 2iS = 180(9 - 2)iS = 1 260ºi

i = S /nii = 1 260/9i = 140º

S = 360ºe

e = 360/ne = 360/9e = 40º

d = n(n - 3)/2d = 9(9 - 3)/2d = 27 diagonais

e = 2.i / 7i + e = 180º

e = 2.i / 7 i = 7.e / 2

e + 7.e / 2 = 180

2e + 7e = 360

9e = 360

e = 40º

e = 360/n

40 = 360/n

n = 360/40 = 9

n = 9 lados (eneágono) (resp)

09) Dado um pentadecágono regular, determinar :

a) o número de lados do pentadecá-gono.

b) a soma das medidas dos ângulos internos.



e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do penta-decágono.

10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º.

11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB e a diagonal AC.

12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do dodecágono, determinar a medida do ângulo AOE.

A

BC

D

E

F

G

HI

J

K

LO

Jeca 54

09) Dado um pentadecágono regular, determinar :

a) o número de lados do pentadecá-gono.

b) a soma das medidas dos ângulos internos.



e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do penta-decágono.

10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º.

11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB e a diagonal AC.

12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do dodecágono, determinar a medida do ângulo AOE.

A

BC

D

E

F

G

HI

J

K

LO

Jeca 54

n = 15 lados S = 180(n - 2iS = 180(15 - 2)iS = 2 340ºi

i = S /nii = 2 340/15i = 156º

S = 360ºe

e = 360/ne = 360/15e = 24º

d = n(n - 3)/2d = 15(15 - 3)/2d = 90 diagonais

AnA

eA

BnB

eB

n = n + 3A B

e - e = 6 B A

Importante - O polígono que tem menos lados tem o maior ângulo externo. (e - e > 0)B A

e - e B A = nB n + 3B

360-360= 6

n (n + 3)B B

360(n + 3) - 360.nB B = 6

360(n + 3) - 360.n = 6n (n + 3)B B B B

2360n + 1 080 - 360n = 6n + 18nB B B B

2n + 3n - 180 = 0B B

Raízesn = 12 lados (dodecágono)B

n = -15 lados (não convém)B

Polígono A - (12 + 3 = 15 lados) - pentadecágonopolígono B - dodecágono (resp)

A

B

C

D

E

e

i

x

e - ângulo externoi - ângulo internoe = 360/n = 360/10 = 36ºi + e = 180ºi = 180 - 36 = 144º

x + x + i = 2x + 144 = 1802x = 36x = 18º (resp)

x

i e


e = 360/n = 360/12 = 30ºi + e = 180i + 30 = 180i = 150º

y y

x

ABCDEO é umhexágono irregular

S = 180(n - 2) = 180(6 - 2) = 720ºi

y = i/2 = 150/2 = 75º

720 = 2y + 3 . 150 + x720 = 2 . 75 + 3 . 150 + xx = 720 - 600 = 120º (resp)

13) Dado um decágono regular ABCDE … , sendo O o centro do polígono, determinar :

A

B

C

D

EG

H

I

J

O

b) a medida de cada ângulo externo.

d) a medida de cada ângulo interno. e) a medida do ângulo obtuso forma-do pelos prolongamentos dos lados BC e DE.

f) a medida do ângulo agudo forma-do pelos prolongamentos dos lados BC e EF.

g) a medida do ângulo agudo forma-do entre as diagonais BI e AG.

h) a medida do ângulo EOG.

a) a soma das medidas dos ângulos externos do decágono.

c) a soma das medidas dos ângulos internos do decágono.

F

i) a medida do ângulo EBC.

Jeca 55

13) Dado um decágono regular ABCDE … , sendo O o centro do polígono, determinar :

A

B

C

D

EG

H

I

J

O

b) a medida de cada ângulo externo.

d) a medida de cada ângulo interno. e) a medida do ângulo obtuso forma-do pelos prolongamentos dos lados BC e DE.

f) a medida do ângulo agudo forma-do pelos prolongamentos dos lados BC e EF.

g) a medida do ângulo agudo forma-do entre as diagonais BI e AG.

h) a medida do ângulo EOG.

a) a soma das medidas dos ângulos externos do decágono.

c) a soma das medidas dos ângulos internos do decágono.

F

i) a medida do ângulo EBC.

Jeca 55

S = 360ºe

x

e

e

e = 360/n = 360/10e = 36º S = 180(n - 2)i

S = 180(10 - 2)iS = 1440ºi

i = S /ni i = 1440/10i = 144º x + e + e = 180

x + 2e = 180x + 2 . 36 = 180x = 108º

y

z

z

2z = e = 36z = 18º

z + e + y + z + e = 18018 + 36 + y + 18 + 36 = 180

y = 72º

w

144º

144º

36º

108º

36º

54º

54º 90º

90º

w + 90 + 36 = 180w = 54º

k k

k = 360/n = 360/10 = 36ºEOG = 2k = 2 . 36EOG = 72º

72º36º

EBC = 36º

14) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y.

x

y

105º

88º

93º

15) Dado um polígono convexo ABCD... com n lados, n > 3, o número de diagonais do polígono que não passam pelo vértice A é dado por:

a) 5n - 4

2c) n - 5n + 6

2

2b) n - 11n

d) n(n-3)

22

e) 2n - 4

16) Se a soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1620º, sendo x a medida de cada ângulo externo então:a) x = 18º b) 30º < x < 35º c) x = 45º d) x < 27º e) 40º < x < 45º

A

C

D

E

F

GH

18) Na figura ao lado, ABC é um triângulo eqüilátero e DEFGH é um pentágono regular. Sabendo-se que D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G e H pertencem ao lado BC, determinar as medidas dos ângulos ADE e CDH.

B

G

H

19) Dado o eneágono regular ao lado, determinar a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e DE.

A

B

C

D

EF

I

X

17) Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos. Sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28, determine a polígono com maior número de diagonais.

Jeca 56

14) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y.

x

y

105º

88º

93º

15) Dado um polígono convexo ABCD... com n lados, n > 3, o número de diagonais do polígono que não passam pelo vértice A é dado por:

a) 5n - 4

2c) n - 5n + 6

2

2b) n - 11n

d) n(n-3)

22

e) 2n - 4

16) Se a soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1620º, sendo x a medida de cada ângulo externo então:a) x = 18º b) 30º < x < 35º c) x = 45º d) x < 27º e) 40º < x < 45º

A

C

D

E

F

GH

18) Na figura ao lado, ABC é um triângulo eqüilátero e DEFGH é um pentágono regular. Sabendo-se que D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G e H pertencem ao lado BC, determinar as medidas dos ângulos ADE e CDH.

B

G

H

19) Dado o eneágono regular ao lado, determinar a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e DE.

A

B

C

D

EF

I

X

17) Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos. Sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28, determine a polígono com maior número de diagonais.

Jeca 56

a

b

a + b + 93 + 88 + 105 = 540 (pentágono)

a + b = 540 - 286 = 254

c + d = 254 - 180 = 74

x + y = c + d = 74º (resp)

cd

c + d = x + y

Se um polígono tem n lados, então tem n vértices. O número de diagonais quepassam num vértice é n - 3. O número total de diagonais de um polígono é dado por

d = n(n - 3)/2

Excluindo-se as que passam pelo vértice A, tem-se

d' =n(n - 3)

2- (n - 3)

d' =2

n(n - 3) - 2(n - 3)=

2n - 3n - 2n + 6

2

d' =2

2n - 5n + 6 (resp c)

polígono A - n ladospolígono B - n + 1 ladospolígono C - n + 2 lados

d =n(n - 3)

2

nº de diagonaisde um polígono

Total de diagonais = 28

28 =n(n - 3)

2

(n + 1)(n + 1 - 3) (n + 2)(n + 2 - 3)+2

+2

28 =n(n - 3)

2+ (n + 1)(n - 2) + (n + 2)(n - 1)

2n - n - 20 = 0

Raízesn = -4 (não convém)n = 5polígono A - 5 ladospolígono B - 6 ladospolígono C - 7 lados (heptágono) - tem o maior número de diagonais. (resp)

S = 180(n - 2)i

1 620 = 180(n - 2)n - 2 = 1 620/180 = 9n = 11

e = 360/ne = 360/11 = 32,73º

x = e = 32,73º Portanto 30º < x < 35º (resp b)

x

y

e60º i

e = 360/n = 360/5 = 72ºi + e = 180i + 72 = 180i = 108º

y + 60 + e = 180y + 60 + 72 = 180y = 48º

y + i + x = 18048 + 108 + x = 180x = 24º

i = 108º

ey

ei

e = 360/n = 360/9 = 40ºi = 180 - e = 180 - 40 = 140ºy + y + 140 = 180y = 20ºx + (y + e) + (y + e) = x + 2y + 2e = 180x + 40 + 80 = 180x = 60º (resp)

140º

y

21) (MACK-SP) Num quadrilátero convexo, a soma de dois ângulos internos consecutivos mede 190º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ângulos mede:

a) 105º b) 100º c) 90º d) 95º e) 85º

22) (ITA-SP) O número de diagonais de um polígono regular de 2n lados, que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a esse polígono, é dado por:

a) 2n(n - 2)

b) 2n(n - 1)

c) 2n(n - 3)

d)

e) n.d.a.

n(n - 5)2

23) (FEI) O menor ângulo interno de um polígono con-vexo mede 139º, e os outros ângulos formam com o primeiro uma progressão aritmética de razão 2. De-termine o número de lados do polígono.

Jeca 57

20) (UFSC-2006) Considere um hexágono equiângu-lo (ângulos internos iguais), no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura a seguir. Calcule o perímetro do he-xágono.

a

a a

a

a

B

C

DE

F

23

15

13

20

a

A

21) (MACK-SP) Num quadrilátero convexo, a soma de dois ângulos internos consecutivos mede 190º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ângulos mede:

a) 105º b) 100º c) 90º d) 95º e) 85º

22) (ITA-SP) O número de diagonais de um polígono regular de 2n lados, que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a esse polígono, é dado por:

a) 2n(n - 2)

b) 2n(n - 1)

c) 2n(n - 3)

d)

e) n.d.a.

n(n - 5)2

23) (FEI) O menor ângulo interno de um polígono con-vexo mede 139º, e os outros ângulos formam com o primeiro uma progressão aritmética de razão 2. De-termine o número de lados do polígono.

Jeca 57

20) (UFSC-2006) Considere um hexágono equiângu-lo (ângulos internos iguais), no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura a seguir. Calcule o perímetro do he-xágono.

a

a a

a

a

B

C

DE

F

23

15

13

20

a

A

S = 180(n - 2)iS = 180(6 - 2) = 720ºi

i = 720 / 6 = 120º

B

C

DE

F

23

15

13

20

A

120º 120º

120º

120º120º

120º

60º

60º

60º

13

13

xx

y

A figura acima é um paralelogramo

20 + 13 = 23 + x x = 10

x + y = 15 + 1310 + y = 28y = 18

Per = 2p = 20 + 13 + 15 + 23 + 10 + 18 = 99 cm (resp)

x

A

B

C

Da

b

a

b

xy

A + B + C + D = 360ºA + B = 190ºPortantoC + D = 360 - 190 = 170ºMas C + D = 2a + 2b = 170ºEntão a + b = 85º

y é ângulo externoy = a + b = 85º

x = 180 - y = 180 - 85 = 95º

O maior ângulo é x

x = 95º (resp d)

d =n(n - 3)

2

nº de diagonaisde um polígono

Se o polígono tem 2n lados, a fórmula passa a ser

d =2n(2n - 3)

2

Mas a diagonal que passa pelo centro está sendo excluída

Então a fórmula passa a ser

Simplificando, tem-se

d =2n(2n - 4)

2

d = n(2n - 4)

d = 2n(n - 2) (resp a)

Se o menor ângulo interno mede 139º, então o maior ânguloexterno mede 180 - 139 = 41º

Os ângulos externos formam uma PA (41º, 39º, 37º, ... )

A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é 360º.

Soma dos n primeiros termos de uma PA S n =a + a1 n

2n( ) .

Fórmula do termo geral de uma PA a = a + (n - 1) . rn 1

a = 41 + (n - 1).(-2) = 43 - 2nn

Sn = (41 + 43 - 2n) . n / 2

360 = (41 + 43 - 2n) . n / 22

n - 42n + 360 = 0

Raízesn = 30 (não convém pois o 30º ângulo será menor que 0º)n = 12

Se esse polígono tem 12 ângulos externos, então ele tem 12 lados. (resp)

Conferindo41 + 39 + 37 + 35 + 33 + 31 + 29 + 27 + 25 + 23 + 21 + 19 = 360


01) 2340º e 90 diagonais


03) 140º e 40º


05) 1980º

06) 54 diagonais

07) 90 diagonais

08) 360º / 7

09) Heptágono e undecágono

10) Eneágono e pentadecágono

11) 60º

12) 75º

13) d

14) b

15) d

16) b



Jeca


Jeca 58


01) a) 2700º b) 360º c) 119

02) a) 1620º b) 360º c) 44

03) 14 lados e 77 diagonais

04) 1620º

05) 360º

06) Quadridecágono e dodecágono

07) a) 9 b) 1260º c) 140º d) 360º e) 40º f) 27

08) Eneágono

09) a) 15 b) 2340º c) 156º d) 360º e) 24º f) 90

10) Pentadecágono e dodecágono

11) 18º

12) 120º

13) a) 360º b) 36º c) 1440º d) 144º e) 108º f) 72º g) 54º h) 72º i) 36º

14) 74º

15) c

16) b

17) heptágono

18) 24º e 48º

19) 60º

20) 99 cm

21) d

22) a

23) 12



Jeca


Jeca 59

I) Elementos da circunferência.

A

B

C

D

r

r

ra

P

C - centro da circunferênciaAC = r - raio da circunferênciaAB = 2r - diâmetro da circunferênciaACD = a - ângulo centralAPD - arco da circunferênciaAD - corda da circunferência

II) Posições relativas entre ponto e circunferência.

III) Posições relativas entre reta e circunferência.

reta tangente

reta secante

reta exterior

ponto de tangênciaA

B

D

C

A - pontoexterior

B - ponto dacircunferência

D - pontointerior

C - centro dacircunferência

IV) Propriedades da circunferência.

1) Em toda circunferência, a medida do ângulo central é igual à medida do arco correspondente.

2) Em toda circunferência, o raio é perpendicular à reta tangente no ponto de tangência.

3) Em toda circunferência, o raio, quando perpendicular à corda, divi-de essa corda ao meio.

C

A

P

B

a

APB = a

C C

A

B

M

AM = MB

V) Ângulos na circunferência.

a) Ângulo inscrito na circunferência. b) Ângulo de segmento.

É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circun-ferência e os dois lados secantes a essa circunferência.Propriedade - O ângulo inscrito vale a metade do ângulo central ou a metade do arco correspondente.

É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunfe-rência, um lado secante e um lado tangente a essa circunferência. Propriedade - O ângulo de segmento vale a metade do ângulo central ou a metade do arco correspondente.

b

a

vértice

a - ângulo central

b - ângulo inscrito

b =a2

b

avértice

seca

nte

tangente

a - ângulo central

b - ângulo de segmento

b =a2




Ângulos na circunferência.

Jeca 60

IV) Consequências do ângulo inscrito.

1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência onde a hipotenusa coincide com o diâmetro.

2) Em todo triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale a metade dessa hipotenusa.

3) Todos os ângulos de uma circun-ferência inscritos no mesmo arco são congruentes.

4) Em todo quadrilátero inscrito nu-ma circunferência os ângulos inter-nos opostos são suplementares.

5) Ângulo excêntrico de vértice interno.

6) Ângulo excêntrico de vértice externo.

hipotenusae diâmetro

ânguloinscrito

hipotenusa

medianarelativa à

hipotenusa

RR

R

b

b

bb

arco demedida

2b

a

bg

q

a + b = 180ºe

g + q = 180º

C

ab

x

x =a + b

2x =

a - b2

xa b

vértice

vértice

Exercícios - 01) Nas circunferências abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ângulo ou do arco x.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

O

O O

O OO

x118º

41º

x

x

46º

39ºx

x

O x62º

O

x

62º

104º

x O

x

87º

Jeca 61

IV) Consequências do ângulo inscrito.

1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência onde a hipotenusa coincide com o diâmetro.

2) Em todo triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale a metade dessa hipotenusa.

3) Todos os ângulos de uma circun-ferência inscritos no mesmo arco são congruentes.

4) Em todo quadrilátero inscrito nu-ma circunferência os ângulos inter-nos opostos são suplementares.

5) Ângulo excêntrico de vértice interno.

6) Ângulo excêntrico de vértice externo.

hipotenusae diâmetro

ânguloinscrito

hipotenusa

medianarelativa à

hipotenusa

RR

R

b

b

bb

arco demedida

2b

a

bg

q

a + b = 180ºe

g + q = 180º

C

ab

x

x =a + b

2x =

a - b2

xa b

vértice

vértice

Exercícios - 01) Nas circunferências abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ângulo ou do arco x.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

O

O O

O OO

x118º

41º

x

x

46º

39ºx

x

O x62º

O

x

62º

104º

x O

x

87º

Jeca 61

x = 118/2x = 59º

x/2 = 41x = 82º x/2 = 46

x = 92º

x = 39º x = 180/2x = 90º

x + 90 + 62 = 180x = 28º

124º

56º

x = 56/2x = 28º

x + 104 = 180x = 76º

y

x + y = 180y + 87 = 180x = 87º

A

B

C

O124º

x

D

x

3x

x55º

x

35º

02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.

O O

O O

a) b) c)

d) f)

g) h) Tente fazer por outro método. i)

j) k) l)

m) n) o)

52ºx

O O

OO

O

O OO

37ºx

O

37ºx

x

88º

56º

x33º

87º

x

118º

34º

142º

34º

x

146º

x

x 54º

tangen

te

165º

77º

x

Jeca 62

e)

34º52º x

O

tangente

(GeoJeca)

A

B

C

O124º

x

D

x

3x

x55º

x

35º


O O

O O

a) b) c)

d) f)

g) h) Tente fazer por outro método. i)

j) k) l)

m) n) o)

52ºx

O O

OO

O

O OO

37ºx

O

37ºx

x

88º

56º

x33º

87º

x

118º

34º

142º

34º

x

146º

x

x 54º

tangen

te

165º

77º

x

Jeca 62

124º56º x = 56/2

x = 28º

3x

6x

3x + x + 90 = 180x = 90/4x = 22,5º

35º

55º

35º

35 + x + 35 = 90x = 20º

R

R37º

y

y + 37 + 37 = 180y = 106º

x = y/2x = 106/2x = 53º

74º

106º x = 106/2x = 53º

y

z

x

z = 33/2 = 16,5ºy = 87/2 = 43,5ºx + 16,5 + 43,5 = 180

x = 120º

y

z

y = 34/2 = 17ºz = 118/2 = 59ºz = x + yx = z - y

x = 42º

146º

214º x = 214/2x = 107º

y

y

z

y = 90 - 54 = 36ºy + y + z = 180z = 108º

x = 108/2x = 54º

e)

34º52º x

O

tangente

w

y z

128º

w - ângulo de segmentow = 52º y + 34 + 52 = 180 y = 94º

z = 180 - w - y z = 34º

x + z + 128 = 180x = 18º

y

55 = y/2y = 110ºx = yx = 110º

yz

52 = y/2y = 104ºz = 180 - yz = 76º

x = z/2x = 76/2x = 38º

y

z

z = 56/2 = 28ºy = 88/2 = 44ºx é ângulo externo

x = y + zx = 72º

z

yx

y = 142/2 = 71ºz = 34/2 = 17ºx + y + z = 180º

x = 92º

y

y + 165 = 77 = 360y = 118

x = y/2x = 118/2x = 59º

A

B

CD

E

F

GH

70º

03) Na circunferência abaixo pode-se afirmar que:

a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais.b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º.c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º.d) o arco GFE é maior que o arco EDC.e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º.

04) (J) Dada uma circunferência de diâmetro AB, seja P um ponto da circunferência distinto de A e de B. Pode-se afirmar que :a) PA = PBb) PA + PB = constantec) PA > PB

2 2d) (PA) + (PB) = constante

2 2e) (PA) - (PB) = constante

CA

B

D

E F

05) Na figura abaixo, a circunferência de centro C tangencia o triângulo DEF nos pontos A e B. Sabendo-se que a medida do ângulo interno D é 40º e que a medida do arco AGB é 75º, determinar a medida do ângulo x.

Gx

A

B

C

O

118º

x

y

06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são pontos da circunferência de centro O. O valor de x + y é :a) 242ºb) 121ºc) 118ºd) 59ºe) 62º

A

B

PR S

M

N

K

07) Na figura abaixo, as duas circunferências têm o mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A, P, B e S estão na circunferência de centro R e os pontos M, N, R e K estão na circunferência de centro S. Se o arco APB mede 86º, então o ângulo MKN, mede :a) 23ºb) 21º 30’c) 22ºd) 22º 30’e) 43º

A

B

C

DE

08) Dado um pentágono regular ABCDE, constói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e em E, respectivamente. Determine a medida, em graus, do menor arco BE dessa circunferência.

N

SM

T

P

Q

10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ medem,respectivamente, 170º e 130º. Então, o arco MSN mede:a) 60º b) 70º c) 80º d) 100º e) 110º

09) (J) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tan-gentes à circunferência de centro O. Determine a me-dida do ângulo APB sabendo que o ângulo ACB mede 61º.

A

B

C

P

O

(GeoJeca)

Jeca 63

A

B

CD

E

F

GH

70º


a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais. b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º. c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º. d) o arco GFE é maior que o arco EDC. e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º.

(F)(F)

(F)(F)

(V)

04) (J) Dada uma circunferência de diâmetro AB, seja P um ponto da circunferência distinto de A e de B. Pode-se afirmar que :a) PA = PBb) PA + PB = constantec) PA > PB

2 2d) (PA) + (PB) = constante

2 2e) (PA) - (PB) = constante

CA

B

D

E F

05) Na figura abaixo, a circunferência de centro C tangencia o triângulo DEF nos pontos A e B. Sabendo-se que a medida do ângulo interno D é 40º e que a medida do arco AGB é 75º, determinar a medida do ângulo x.

Gx

A

B

C

O

118º

x

y

06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são pontos da circunferência de centro O. O valor de x + y é :a) 242ºb) 121ºc) 118ºd) 59ºe) 62º

A

B

PR S

M

N

K

07) Na figura abaixo, as duas circunferências têm o mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A, P, B e S estão na circunferência de centro R e os pontos M, N, R e K estão na circunferência de centro S. Se o arco APB mede 86º, então o ângulo MKN, mede :a) 23ºb) 21º 30’c) 22ºd) 22º 30’e) 43º

A

B

C

DE

08) Dado um pentágono regular ABCDE, constói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e em E, respectivamente. Determine a medida, em graus, do menor arco BE dessa circunferência.

N

SM

T

P

Q

10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ medem,respectivamente, 170º e 130º. Então, o arco MSN mede:a) 60º b) 70º c) 80º d) 100º e) 110º

Jeca 63

xy

70º

A

B

CD

E

F

GH

70º


a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais. b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º. c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º. d) o arco GFE é maior que o arco EDC. e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º.

(F)(F)

(F)(F)

(V)

2x

2yx + y + 70 = 180x + y = 1102x + 2y = 220º

resp e)

40º

75ºy

A medida do ângulo central ACB é igual à medida do arco AGBACBE é um

quadriláteroA + E + B + C = 360ºPortanto y = 105º

x + y + 40 = 180

x = 35º (resp)

86º

y

xy = 86/2y = 43x = y/2 = 43/2x = 21,5º (resp b)

A B

P

1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircun-ferência.2) Se o triângulo é retângulo então ele satisfaz o Teorema dePitágoras.

2 2 2(AB) = (PA) + (PB)

2 2 2Portanto (PA) + (PB) = (AB) = constante (resp d)

z

wz = 118/2 = 59ºw = x + zw = x + 59

118 = y + w118 = y + x + 59x + y = 118 - 59 = 59º (resp d)

ei

e = 360/n = 360/5 = 72ºi = 180 - e = 180 - 72 = 108º

x 108ºO

BCDEO é um quadrilátero

S = 180(n - 2) = 180(5 - 2)i

S = 540ºi

540 = x + 2 . 90 + 2 . 108x = 144ºBE = xBE = 144º (resp)

y

y = 360 - QMPy = 360 - 170 = 190z = y/2 = 95ºw = 180 - 95 = 85ºk = 130/2k = 65ºx + k + w = 180

x = 30º

x = MSN/2MSN = 60º (resp a)

130ºw

z

k

x

09) (J) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tan-gentes à circunferência de centro O. Determine a me-dida do ângulo APB sabendo que o ângulo ACB mede 61º.

A

B

C

P

O

(GeoJeca)

x

61º

y y = 2 . 61 = 122ºAPBO é um qua-driláteroy + 90 + x + 90 = 360x = 360 - 180 - 122x = 58º (resp)

AB

C

D

E

F

G

HI

J

K

L

M

N

P

O

A BC

D

E

F

G

H

IJKL

M

N

P

Q

R

S

TU

O

11) No pentadecágono regular abaixo, determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais NE e BJ.

xy

z

12) No icoságono regular abaixo, BK, CN e HN são diagonais. Determine as medidas dos ângulos x, y e z.

A

AB

B

C

C

D

D

E

E

F

FG

G

H

H

I

I

J

J

K

K

L

L

O

O

x

yz

t

13) No dodecágono regular de centro O abaixo, deter-minar as medidas dos ângulos x, y, z e t.

x

y

z

t

14) A figura abaixo representa um quadrilátero BEFK inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.

15) A figura abaixo representa um eneágono regular ABCD … de centro O. Sendo OI a bissetriz do ângulo AIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.

A

B

C

D

EF

G

H

I

O

16) No eneágono regular ABCD … , determinar a medida do ângulo x formado pelas retas IB e DE.

DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos



xA

B

C

D

EF

G

H

I

O

P

x

y

z

t

Jeca 64

AB

C

D

E

F

G

HI

J

K

L

M

N

P

O

A BC

D

E

F

G

H

IJKL

M

N

P

Q

R

S

TU

O

11) No pentadecágono regular abaixo, determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais NE e BJ.

xy

z

12) No icoságono regular abaixo, BK, CN e HN são diagonais. Determine as medidas dos ângulos x, y e z.

A

AB

B

C

C

D

D

E

E

F

FG

G

H

H

I

I

J

J

K

K

L

L

O

O

x

yz

t


x

y

z

t

14) A figura abaixo representa um quadrilátero BEFK inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.

15) A figura abaixo representa um eneágono regular ABCD … de centro O. Sendo OI a bissetriz do ângulo AIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.

A

B

C

D

EF

G

H

I

O

16) No eneágono regular ABCD … , determinar a medida do ângulo x formado pelas retas IB e DE.




xA

B

C

D

EF

G

H

I

O

P

x

y

z

t

Jeca 64

n = 15 lados

k = 360/15 k = 24º

x

3 . 24 = 72º

4 . 24 = 96º

y

w

y = 72/2 = 36º

w = 96/2 = 48º

x = y + w x = 36 + 48x = 84º (resp)

m = 360/12m = 30º

x = LCE/2 = 5 . 30/2x = 150/2 = 75º

t = CDE = 2 . 30t = 60º

y = EFG/2 y = 2 . 30/2y = 30º

z = GHJ/2 z = 3 . 30/2z = 45º

m = 360/9m = 40º

x = ICG/2x = 7 . 40/2x = 140º

y = x = 140º

2.t = 140t = 70º

z = IGP'z = 3,5 . 40z = 140º

t

w

t

m = 360/20m = 18º

x = CEH/2x = 5 . 18/2x = 45º

w = HJK/2w = 3 . 18/2w = 27º

t = NSB/2t = 8 . 18/2t = 72º

y = t + wy = 27 + 72 = 99º

x + y + z = 180z = 36º

m = 360/12m = 30º

x = BDF/2x = 4 . 30/2x = 60º

y = EHK/2y = 6 . 30/2y = 90º

z = FJB/2z = 8 . 30/2z = 120º

t = KBE/2t = 6 . 30/2t = 90º

m = 360/9m = 40º

y

z

y = BCD/2y = 2 . 40/2y = 40º

z = EGI/2z = 4 . 40/2z = 80º

z = x + yx = z - yx = 80 - 40 = 40º (resp)



Geometria planaÂngulos na circunferência.


O86ºx V

a)

246º

xO

V

b)

76º

x

V

O

c)

O136ºx

d)

x

88ºO

e)

x

29º

O

f)

x 94º

70º

O O

g)

87º

23º

xh)

68º

102º

O

x

i)

33º

x

O

j)

O

38º

106º

x

l)

x

O

m)

O

n)

51º

x

O

56º

x

o)

x

O

196ºp)


Jeca 65



Geometria planaÂngulos na circunferência.


O86ºx V

a)

246º

xO

V

b)

76º

x

V

O

c)

O136ºx

d)

x

88ºO

e)

x

29º

O

f)

x 94º

70º

O O

g)

87º

23º

xh)

68º

102º

O

x

i)

33º

x

O

j)

O

38º

106º

x

l)

x

O

m)

O

n)

51º

x

O

56º

x

o)

x

O

196ºp)


Jeca 65

x = 86/2x = 43º

x = 246/2x = 123º

x = 136ºx = 88/2x = 44º

x

94º

x + 94 + 70 = 180x = 16º

x/2

93º

x/2 + 23 + 93 = 180x/2 = 64x = 128º

66º

114º

x = 114/2x = 57º

y

z

y = 38/2y = 19º

z = 106/2z = 53º

z = x + y x = z - y = 53 - 19 = 34º

x + 51 + 90 = 180x = 39º

x + 56 = 180x = 124º

76 = x/2x = 152º

y

y = 2 . 29y = 58º

x = y/2x = 58/2x = 29º

yw

x

y = 102/2y = 51ºw = 68/2w = 34º

x + y + w = 180ºx = 180 - 51 - 34 = 95º

x = 180/2x = 90º

180º

yy = 196/2y = 98º

x + y = 180x = 180 - 98x = 82º

O O O

O

O

O

OO

O

O

O

O

O

O

a)

x

2x

b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) l) m)

n) o) p)

98º

x78º

x

57º

x 42º x

58º

88º

x

x

56º

140º 26º

x

94º

x

40º

36º

x

68º

82º

55º120º

x115º

100º

x

O

x

56º

x

44º

48º

x


Jeca 66

O O O

O

O

O

OO

O

O

O

O

O

O

a)

x

2x

b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) l) m)

n) o) p)

98º

x78º

x

57º

x 42º x

58º

88º

x

x

56º

140º 26º

x

94º

x

40º

36º

x

68º

82º

55º120º

x

115º

100º

x

O

x

56º

x

44º

48º

x


Jeca 66

x + 2x = 1803x = 180x = 60º

y

y + 98 = 180x + y = 180x = 98º

114º

2x

2x + 114 = 1802x = 66x = 33º

84º 2x

2x + 84 = 1802x = 96x = 48º

z

y140º

y = 56/2y = 28ºz + 140 + y = 180z = 12ºx = 2z = 2 . 12x = 24º

z

y

z = 94/2 = 47ºy + 26 = 47 y = 21ºx = 2y = 2 . 21 = 42º

y

z

y = 68/2y = 34º

82 = 34 + zz = 48ºx = 2zx = 2 . 48 = 96º

2x

60º

x

x + 60 + 55 = 180x = 65º

yy = 2 . 56y = 112ºx = y = 112º

y

z

y = 2 . 44y = 88ºz = 180 - yz = 92ºx = z/2x = 92/2x = 46º

y

y + 78 = 180y = 102y = x/2x = 2yx = 204º

y 58 = 2yy = 116ºx + y + 88 = 360x = 156º

z

yy = 40/2y = 20ºz = 36 + yz = 56º

x = 2zx = 2 . 56x = 112º

y

z

y = 2 . 100y = 200º

z = 2 . 115z = 230º

x

y + z = 360 + x430 = 360 + xx = 70º

R

Ry

y

z

48 = z/2z = 96º

z + y + y = 180 y = 42º

x + y = 90 x = 48º

08) Na figura abaixo, AB = 12 cm é um diâmetro da cir-cunferência de centro C. Sendo D um ponto da circun-ferência diferente de A e de B, determine :a) a medida do ângulo ADB.b) o tipo do triângulo ADB.c) o que é o segmento CD no triângulo ADB.d) a medida do segmento CD.

A

B

C

D

A

C

B

D

E

03) Na circunferência de centro C abaixo, AB é um diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da medida de AB. Determine a medida dos ângulos ADB, ECD e AFE.

F

A

P

B

C

D

04) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro C nos pontos A e B. Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º, determinar a medida do arco ADB.

28º

72ºO

x

A

BC

D

E

05) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos da cir-cunferência de diâmetro AD e centro O. Determine a medida do ângulo AEB.

06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do diâmetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20º e ROQ = 80º, calcule o ângulo PQO.

OR

A B

C

D

E

F

07) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são pontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo DCE mede 35º, determine a medida do ângulo BFE.

Jeca 67

08) Na figura abaixo, AB = 12 cm é um diâmetro da cir-cunferência de centro C. Sendo D um ponto da circun-ferência diferente de A e de B, determine :a) a medida do ângulo ADB.b) o tipo do triângulo ADB.c) o que é o segmento CD no triângulo ADB.d) a medida do segmento CD.

A

B

C

D

A

C

B

D

E

03) Na circunferência de centro C abaixo, AB é um diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da medida de AB. Determine a medida dos ângulos ADB, ECD e AFE.

F

A

P

B

C

D

04) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro C nos pontos A e B. Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º, determinar a medida do arco ADB.

28º

72ºO

x

A

BC

D

E

05) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos da cir-cunferência de diâmetro AD e centro O. Determine a medida do ângulo AEB.

06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do diâmetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20º e ROQ = 80º, calcule o ângulo PQO.

OR

A B

C

D

E

F

07) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são pontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo DCE mede 35º, determine a medida do ângulo BFE.

Jeca 67

R

R

RR

DE = AC = CB = R (raio)O triângulo CDE é equiláteroPortanto ECD = 60º

ADB = 90ºO triângulo ADB é retân-gulo porque está inscritonuma semicircunferência.

x

y

z

w

y + w + z = 180w = 60ºy + z = 120º

k

p

y = 2k k = y/2z = 2p p = z/2

x = p + k = y/2 + z/2 = (y + z)/2x = 120/2x = AFE = 60º

z

y

z = 28/2 = 14º

y = 72 /2 = 36º

y = x + z

x = y - zx = 36 - 14x = 22º

35º

xy

z

w

k p

z = 2 . 35 = 70º

y + z + w = 180y + w = 110º

k = w/2p = y/2

x = k + p = w/2 + y/wx = (y + w)/2x = 110/2x = 55º

48º

y

y

z

z

w

O triângulo APB é isósceles2y + 48 = 180y = 66ºz + y = 90ºz = 24ºw + 2z = 180w = 132ºADB = 360 - w = 360 - 132 = 228º

P

Q

x

80º 20º

y

z

z = 20 + 80z = 100º

y = QOR/2y = 80/2y = 40º

z = x + y100 = x + 40x = 60º (resp)

D

a) ADB = 90ºTodo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência.b) triângulo retângulo.c) CD é uma mediana do triângulo ABDd) CD = AC = CB = R (raio) CD = 6 cm

A

B

C

D

EF

G

H

I

09) A figura abaixo representa um eneágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais GB e HD.

Ox

A

B

C

D

F

EG

H

I

J

10) A figura abaixo representa um decágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Sendo OJ e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD respectivamente, determinar a medida do ângulo COJ.

O

A

B

C

DE

F

G

O

11) A figura abaixo representa um heptágono regular inscrito numa circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo BDG.

AB

C

D

E

F

G

HI

J

K

L

M

N

P

O


DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritosJeca 68

12) A figura abaixo representa um pentadecágono re-gular inscrito numa circunferência de centro O. Deter-minar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD e BI.

A

B

C

D

EF

G

H

I

09) A figura abaixo representa um eneágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais GB e HD.

Ox

A

B

C

D

F

EG

H

I

J

10) A figura abaixo representa um decágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Sendo OJ e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD respectivamente, determinar a medida do ângulo COJ.

O

A

B

C

DE

F

G

O

11) A figura abaixo representa um heptágono regular inscrito numa circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo BDG.

AB

C

D

E

F

G

HI

J

K

L

M

N

P

O

12) A figura abaixo representa um pentadecágono re-gular inscrito numa circunferência de centro O. Deter-minar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD e BI.


DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritosJeca 68

y

zm = 360/9m = 40º

y = BCD/2y = 2 . 40 = 80/2y = 40º

z = HG/2z = 40/2z = 20º

x = y + zx = 40 + 20x = 60º (resp)

x

m = 360/10m = 36º

x = JACx = 3 . 36x = 108º (resp)

m = 360º/7

x

x = GAB/2x = 2 . m/2x = (2 . 360/7)/2x = 360/7

x = 360º/7 (resp)

x

m = 360/15m = 24º

y

z

y = DFI/2 = 5.m/2 = 5 . 24/2 y = 60º

z = MPB/2 = 4 . m/2 = 4 . 24/2 = 48º

x = y + z = 60 + 48x = 108º (resp)

AB

C

D

E

F

G

HI

J

K

L

M

N

P

O

A BC

D

E

F

G

H

IJKL

M

N

P

Q

R

S

TU

O

13) No pentadecágono regular abaixo, determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais ND e BJ.

x y

z

14) No icoságono regular abaixo, determinar as medi-das dos ângulos x, y e z.

A

AB

B

C

C

D

D

E

E

F

FG

G

H

H

I

I

J

J

K

K

L

L

O

O

x

yz

t


x

y

zt

16) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.

A

B

C

D

E

F

G

H

O

x

yz

t

17) A figura abaixo representa um octógono regular ABCD … de centro O. Sendo OH a bissetriz do ângulo AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t. A

B

C

D

EF

G

H

I

O

x

18) No eneágono regular ABCD … , determinar a medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF.




Jeca 69

AB

C

D

E

F

G

HI

J

K

L

M

N

P

O

A BC

D

E

F

G

H

IJKL

M

N

P

Q

R

S

TU

O

13) No pentadecágono regular abaixo, determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais ND e BJ.

x y

z

14) No icoságono regular abaixo, determinar as medi-das dos ângulos x, y e z.

A

AB

B

C

C

D

D

E

E

F

FG

G

H

H

I

I

J

J

K

K

L

L

O

O

x

yz

t


x

y

zt

16) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.

A

B

C

D

E

F

G

H

O

x

yz

t

17) A figura abaixo representa um octógono regular ABCD … de centro O. Sendo OH a bissetriz do ângulo AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t. A

B

C

D

EF

G

H

I

O

x

18) No eneágono regular ABCD … , determinar a medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF.




Jeca 69

A medida do arco MNé igual a 360/15 = 24º

24º

48º72º

BJD = BCD/2 = 48/2 = 24ºJDN = JLN/2 = 96/2 = 48

JRN é ãngulo externo do triângulo JRDJRN = 24 + 48 = 72º (resp)

R

w

k

m = 360/20m = 18º

x = CDF/2x = 3.m/2 = 3 . 18/2x = 27º

k = FJM/2 k = 7.m/2 = 7 . 18/2k = 63º

w = RUB/2w = 5.m/2 = 5 . 18/2w = 45º

y = k + w = 63 + 45y = 108º

x + y + z = 18027 + 108 + z = 180z = 45º

m = 360/12m = 30º

x = LCE/2x = 5.m/2 = 5 . 30/2x = 75º

y = EFH/2y = 3.m/2 = 3.30/2y = 45º

z = HIJ/2z = 2.m/2 = 2.30/2z = 30º

t = ACEt = 4,m = 4 . 30t = 120º

m =

360

/8m

= 4

5º

x = BEH/2x = 6.m/2x = 6 . 45/2x = 135º

y = x = 135º

z = x/2 = 135/2z = 67,5º

t = 2,5 . m7 = 2,5 . 45t = 112,5º

m =

360

/12

m =

30º

x = BFI/2x = 7.m/2 = 7 . 30/2x = 105º

y = EHK/2y = 6.m/2 = 6 . 30/2y = 90º

z = ILB/2z = 5.m/2 = 5 . 30/2z = 75º

t = KBE/2t = 6.m/2 = 6 . 30/2t = 90º

m = 360/9m = 40º

y

z

y = ABD/2y = 3.m/2y = 3 . 40/2y = 60º

z = GF/2z = m/2z = 40/2z = 20º

y = x + zx = y - zx = 60 - 20x = 40º

A

B CD

E

F

O

23) No triângulo ABC abaixo, AD, BE e CF são as alturas relativas aos vértices A, B e C. Sendo as medidas dos ângulos ABC = 48º e ACB = 64º,determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF.

Desafio

19) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco APC mede 160º e o ângulo BAC mede 63º, qual é a medida do ângulo ACB ?a) 51ºb) 43ºc) 33ºd) 47ºe) 37º

A

BC

PM

N

O

20) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede 110º e o ângulo ABC mede 63º, qual é a medida do ângulo BAC ?a) 62ºb) 64ºc) 58ºd) 63ºe) 59º

A

BC

PM

N

O

35ºA BO

DC

x

21) Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo ADC sabendo que o ângulo BAC mede 35º.

22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retân-gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º.a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ?b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto ?

Jeca 70

A

B CD

E

F

O

23) No triângulo ABC abaixo, AD, BE e CF são as alturas relativas aos vértices A, B e C. Sendo as medidas dos ângulos ABC = 48º e ACB = 64º,determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF.

Desafio

19) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco APC mede 160º e o ângulo BAC mede 63º, qual é a medida do ângulo ACB ?a) 51ºb) 43ºc) 33ºd) 47ºe) 37º

A

BC

PM

N

O

20) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede 110º e o ângulo ABC mede 63º, qual é a medida do ângulo BAC ?a) 62ºb) 64ºc) 58ºd) 63ºe) 59º

A

BC

PM

N

O

35ºA BO

DC

x

21) Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo ADC sabendo que o ângulo BAC mede 35º.

22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retân-gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º.a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ?b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto ?

Jeca 70

160º

63º

xyy = 160/2 = 80º

x + y + 63 = 180x + 80 + 63 = 180x = 180 - 143x = 37º (resp e)

70º

180º

x = ABC/2x = (180 +70)/2x = 250/2x = 125º

110º

63º y

20º10 cm 10 cm

A B

C

O

45º20º

x

a) Em todo triângulo retângu-lo a mediana relativa à hipo-tenusa vale a metade dessahipotenusa.

Portanto CO = 10 cm

b) 45 + x + 20 = 90x = 90 - 65x = 25º

(Resolução na página 72)


01)a) 59º b) 82º c) 92º d) 39º e) 90ºf) 28º g) 28º h) 76º i) 87º

02) a) 28º b) 22º 30' c) 110º d) 20º e) 18ºf) 38º g) 53º h) 53º i) 72º j) 120ºk) 42º l) 92º m) 107º n) 54º o) 59º

03) e

04) d

05) 35º

06) d

07) b

08) 144º

09) 58º

10) a

11) 84º

12) 45º, 99º e 36º

13) 75º, 30º, 45º e 60º

14) 60º, 90º, 120º e 90º

15) 140º, 140º, 70º e 140º

16) 40º



Jeca


Jeca 71

Respostas dos exercícios complemmentares da Aula 06.

01) a) 43º b) 123º c) 152º d) 136º e) 44º f) 29º g) 16º h) 128º i) 95º j) 57º l) 34º m) 90º n) 39º o) 124º p) 82º

02) a) 60º b) 98º c) 204º d) 33º e) 48º f) 156º g) 24º h) 42º i) 112º j) 96º l) 65º m) 70º n) 112º o) 46º p) 48º

03) 90º, 60º e 60º

04) 228º

05) 22º

06) 60º

07) 55º

08) a) 90º b) triângulo retângulo c) mediana d) 6 cm

09) 60º

10) 108º

11) 360º / 7

12) 108º

13) 72º

14) x = 27º, y = 108º , z = 45º

15) x = 75º , y = 45º , z = 30º , t = 120º

16) x = 105º , y = 90º , z = 75º , t = 90º

17) x = 135º , y = 135º , z = 67,5º , t = 112,5º

18) 40º

19) e

20) a

21) 125º

22) a) 10 cm b) 25º

Resolução do exercício 23) (Desafio) O quadrilátero AFOE é inscrito numa circunferência, pois os os ângulos opostos AFO e AEO são suplementares. Desenhando-se a circunferência percebe-se que os ângulos EAO e EFO são congruentes pois estâo inscritos no mesmo arco da mesma circunferência. Análogamente provam-se os demais ângulos.

A

B C

D

E

F

O

DEF = 84ºDFE = 52ºEDF = 44º

64º

26º

26º

(GeoJeca)

Jeca 72

II) Teorema da bissetriz interna.I) Teorema de Tales.

Em todo feixe de retas paralelas, cortado por duas retas transversais, a razão entre dois segmentos quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal.

Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno divide internamente o lado oposto em dois segmentos que são proporcionais aos lados adjacentes.

r

t

r // s // t

sa

b

c

dab

cd=

aabissetriz

A

B C

bc

x y

xc

yb

=

Teorema de Tales

Teorema dabissetriz interna

r

s

t

r // s // t r // s // t

r // s // t

x

65

8

r

s

t

x 8

18 24

r

s

t

x

12 10

18

r

s

r // s

5

4x

8

x1210

6r

s

t

r // s // t

r

s

r // s

7

11

8

x

01) Determine o valor de x na figura abaixo. 02) Determine o valor de x na figura abaixo.



Exercícios.




Segmentos proporcionais.

Jeca 73

II) Teorema da bissetriz interna.I) Teorema de Tales.

Em todo feixe de retas paralelas, cortado por duas retas transversais, a razão entre dois segmentos quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal.

Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno divide internamente o lado oposto em dois segmentos que são proporcionais aos lados adjacentes.

r

t

r // s // t

sa

b

c

dab

cd=

aabissetriz

A

B C

bc

x y

xc

yb

=

Teorema de Tales

Teorema dabissetriz interna

r

s

t

r // s // t r // s // t

r // s // t

x

65

8

r

s

t

x 8

18 24

r

s

t

x

12 10

18

r

s

r // s // t

5

4x

8

x1210

6r

s

t

r // s // t

r

s

r // s

7

11

8

x




Exercícios.




Segmentos proporcionais.

Jeca 73

Teorema de Tales

8

5=

x

6

x = 6 . 8/5

x = 48/5 (resp)

Teorema de Tales

818

=x24

x = 24 . 8/18

x = 32/3 (resp)

Teorema de Tales

x12

=18

10

x = 12 . 18/10

x = 108/5 (resp)

Teorema de Tales

x

8=

4

5

x = 8 . 4/5

x = 32/5 (resp)

Teorema de Tales

x

6 + 10=

1210

x = (16 . 12)/10

x = 96/5 (resp)

Teorema de Tales

x

8=

11

7

x = 8 . 11/ 7

x = 88/ 7 (resp)

t

07) (MAPOFEI 76) Três terrenos têm frente para a Rua A e para a Rua B, como mostra a figura. As divisas laterais são perpendiculares à Rua A. Qual a medida de frente para a Rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m.

40 m 30 m 20 m

Rua B

Rua A

yz

x

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L

M

m

n

p

q

r

s

08) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JL = 8, determine a medida de GJ e de HM.

u v

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L

M

m

n

p

q

r

s

09) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JM =15, determine as medidas de HL e GM.

u v

10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmen-to AD dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D' em centímetros.

A B C D

B'

C'

D'

Jeca 74

07) (MAPOFEI 76) Três terrenos têm frente para a Rua A e para a Rua B, como mostra a figura. As divisas laterais são perpendiculares à Rua A. Qual a medida de frente para a Rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m.

40 m 30 m 20 m

Rua B

Rua A

yz

x

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L

M

m

n

p

q

r

s

08) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JL = 8, determine a medida de GJ e de HM.

u v

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L

M

m

n

p

q

r

s

09) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JM =15, determine as medidas de HL e GM.

u v

10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmen-to AD dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D' em centímetros.

A B C D

B'

C'

D'

Jeca 74

40 + 30 + 20 = 90 m

180 m

Teor. de Tales

x180

=4090

x = 2 . 40 = 80 m

y180

=3090

y = 2 . 30 = 60 m

z180

=2090

z = 2 . 20 = 40 m Teor. de Tales

GJJL

=ADDE

3

4

5

6

7

8

GJ = AD . JL / DE

GJ = (3 + 4 + 5) . 8 / 6

GJ = 16

HMJL

=BFDE

HM = BF . JL / DE

HM = (4 + 5 + 6 + 7) . 8 / 6

HM = 88/3

Teor. de Tales

HLJM

=BEDF

3

4

5

6

7

15

Teor. de Tales

GMJM

=AFDF

HL = JM . BE / DF

HL = 15 . (4 + 5 + 6) / (6 + 7)

HL = 225 / 13

GM = JM . AF / DF

GM = 15(3 + 4 + 5 + 6 + 7)/13

GM = 375 / 13

2 cm 3 cm 5 cm

2 + 3 + 5 = 10 cm

13 cm

x

y

zTeor. de Tales

x13

=2

10

x = 2 . 13 / 10 = 13/5 cm

y13

=3

10

y = 3 . 13 / 10 = 39/10 cm

z13

=5

10

z = 5 . 13 / 10 = 13/2 cm

11) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A, determine a medida do segmento AC.

a a

12 c

m

6 cm 9 cm

A

B D C

12) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A, determine a medida do segmento BD.

aa

A

CD

B

20 cm

16 cm 10 cm

13) Na figura, AD é bissetriz interna do ângulo A. Calcule a medida do segmento CD.

A

B C

30 cm

14 cm

16 c

m

D

14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figura abaixo AD é a bissetriz interna do ângulo A.

A

B CD12 cm 9 cm

3x + 1 3x - 3

15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm. Determine a medida do segmento DE.

a3a

A B

CD

A

B CD

E

3 cm 5 cm

10 cm

16) Na figura abaixo, o ponto E é o incentro do triân-gulo ABC. Sendo BD = 3 cm, CD = 5 cm e AC = 10 cm, determine o valor da razão DE / AE.

E

a

b

c

d

17) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo A, determine a em função de b, c e d.

aa

A

B

C

D

18) Dado um triângulo ABC de lados AB = c, AC = b e BC = a, sendo c < b < a. Se a bissetriz do ângulo A divide o lado BC em dois segmentos, qual é a medida do menor desses segmentos ?a) b . c

b) b . c

c) a . b

d) a . c

e) a . b

a + c

b + c

b - c

b + c

a + b

Jeca 75

11) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A, determine a medida do segmento AC.

a a

12 c

m

6 cm 9 cm

A

B D C

12) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A, determine a medida do segmento BD.

aa

A

CD

B

20 cm

16 cm 10 cm

13) Na figura, AD é bissetriz interna do ângulo A. Calcule a medida do segmento CD.

A

B C

30 cm

14 cm

16 c

m

D

14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figura abaixo AD é a bissetriz interna do ângulo A.

A

B CD12 cm 9 cm

3x + 1 3x - 3

15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm. Determine a medida do segmento DE.

a3a

A B

CD

A

B CD

E

3 cm 5 cm

10 cm

16) Na figura abaixo, o ponto E é o incentro do triân-gulo ABC. Sendo BD = 3 cm, CD = 5 cm e AC = 10 cm, determine o valor da razão DE / AE.

E

a

b

c

d

17) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo A, determine a em função de b, c e d.

aa

A

B

C

D

18) Dado um triângulo ABC de lados AB = c, AC = b e BC = a, sendo c < b < a. Se a bissetriz do ângulo A divide o lado BC em dois segmentos, qual é a medida do menor desses segmentos ?a) b . c

b) b . c

c) a . b

d) a . c

e) a . b

a + c

b + c

b - c

b + c

a + b

Jeca 75

Teorema da bissetrizinterna

x6

12=

9x

x = 12 . 9 / 6

x = 18 cm (resp)


=


=


=


=Teorema da bissetriz

interna

=


=


=

x 20 - x

x16

20 - x10

x =16(20 - x)

10

10x = 320 - 16x26x = 320 x = 160 / 13 cm (resp)

x

x16

1430

x = 16 . 14 / 30

x = 112 / 15 cm (resp)

x 4 - x

d = 4 24

x4

4 - x

4 2

x . 4 2 = 4(4 - x)

x 2 = 4 - x

x 2 + x = 4

x( 2 + 1) = 4

x =4

2 + 14( 2 - 1) cm=

(resp)

ba

cd

a . c = b . d

a = b . d / c (resp)

123x + 1

93x - 3

9(3x + 1) = 12(3x - 3)

27x + 9 = 36x - 36

45 = 9x

x = 5 cm (resp)

Incentro - ponto de encontro das bissetrizes.

a

b

a

b

x

3x

510

5x = 30 x = 6 cm

BE também é bissetriz

=AE6

DE3

=AE6DE3

=12

(resp)

A

B C

a

x a - x

c b

a

axc

a - xb

bx = a.c - c.xb.x + c.x = a.cx(b + c) = a.cx = a.c / (b + c) (resp d)

19) (Fuvest-SP) Um triângulo ABC tem lados AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determine o comprimento de MN.

20) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo e o segmento BD é a bissetriz interna do ângulo ABC. Determine a medida de BD sabendo que BC = 25 cm e que AB = 7 cm.

A

B

CD

21) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A ; AM é a mediana relativa à hipotenusa e AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determinar a medida do segmento DM.

A

B CD M

6 cm

8 cm5 cm22) (MAPOFEI-SP) O perímetro de um triângulo é 100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determi-ne as medidas dos lados desse triângulo.

Jeca 76

19) (Fuvest-SP) Um triângulo ABC tem lados AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determine o comprimento de MN.

20) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo e o segmento BD é a bissetriz interna do ângulo ABC. Determine a medida de BD sabendo que BC = 25 cm e que AB = 7 cm.

A

B

CD

21) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A ; AM é a mediana relativa à hipotenusa e AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determinar a medida do segmento DM.

A

B CD M

6 cm

8 cm5 cm22) (MAPOFEI-SP) O perímetro de um triângulo é 100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determi-ne as medidas dos lados desse triângulo.

Jeca 76

2 4

5

BA

C

MN

2 4

BA

C

Mx 5 - x

a aTeorema da bissetriz

interna

x2

=5 - x

4

4x = 10 - 2x x = 5/3

2

BA

C

Ny

h

5 - y

4

Pitágoras2 2 2

2 = y + h2 2

y + h = 4

2 2 24 = (5 - y) + h

2 216 = 25 - 10y + y + h

16 = 25 - 10y + 4

10y = 13

y = 13/10

MN = x - y = 5/3 - 13/10 = 5030 - 39/30 = 11/30 (resp)

aa

25 cm7 x

y

w

Pitágoras

2 2 225 = 7 + w

2w = 625 - 49 = 576

w = 24

24 - y

Teorema da bissetriz interna

y

7

24 - y

25=

25y = 168 - 7y y = 21/4 cm

Pitágoras2 2 2

x = 7 + (21/4)

2x = 49 + 441/16 = 1 225/16

x = 35/4 cm (resp)

xPitágoras2 2 2x = 6 + 8 = 100

x = 10 cmPortanto, BM = 5 cm


y 10 - y

y

610 - y

8=

8y = 60 - 6y14y = 60y = 30/7 cm

BM = 5 cmBD = 30/7 cm

DM = BM - BD = 5 - 30/7 = 35/7 - 30/7

DM = 5/7 cm (resp)

16 24

40 m

x 60 - xa a

A

B C

AB + AC + BC = 100Se BC = 16 + 24 = 40 , então AB + AC = 100 - 40 = 60 m


16x

2460 - x

=

24x = 960 - 16x40x = 960x = 24 m

AB = x = 24 mAC = 60 - x = 60 - 24 = 36 mBC = 40 m (resp)



Geometria planaTeorema de Tales e Teorema da

bissetriz interna.Exercícios complementares da aula 07.

03) Na figura abaixo, determine z em função de y.

r

s

t

x

3x

y

z

r // s // t

r

s

t

2

3

x

y

r // s // t

04) Na figura abaixo, sendo x + y = 9, determinar o valor de x e de y.

02) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x e y.a

b

c

d

a

b

c

d

x

y 4

4

57

5 x

8 10

y 7

01) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x e y.

08) Num triângulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado BC, 36 cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm do vértice C, traçamos a paralela ao lado AB, a qual divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a medida de CN.

r

s

t

u

v

r // s // t // u // v

7

3

11

z 2

9

y

x


9 cm

6 cm

7 cm

x

06) Na figura abaixo, determine o valor de x.

r

s

r // sa b

c x

07) Na figura abaixo, determine o valor de x em função de a, b e c.

Jeca 77



Geometria planaTeorema de Tales e Teorema da

bissetriz interna.Exercícios complementares da aula 07.

03) Na figura abaixo, determine z em função de y.

r

s

t

x

3x

y

z

r // s // t

r

s

t

2

3

x

y

r // s // t

04) Na figura abaixo, sendo x + y = 9, determinar o valor de x e de y.

02) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x e y.a

b

c

d

a

b

c

d

x

y 4

4

57

5 x

8 10

y 7

01) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x e y.

08) Num triângulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado BC, 36 cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm do vértice C, traçamos a paralela ao lado AB, a qual divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a medida de CN.

r

s

t

u

v

r // s // t // u // v

7

3

11

z 2

9

y

x


9 cm

6 cm

7 cm

x

06) Na figura abaixo, determine o valor de x.

r

s

r // s // ta b

c x

07) Na figura abaixo, determine o valor de x em função de a, b e c.

Jeca 77

Teorema de Tales

=

Teorema de Tales

=

Teorema de Tales

=

Teorema de Tales

=

Teorema de Tales

=

Teorema de Tales

=

Teorema de Tales

=

Teorema de Tales

=

58

x10

x = 5 . 10 / 8x = 25 / 4

=8y

107

y = 7 . 8 / 10y = 28 / 5

7x

54

=5y

74

x = 7 . 4 / 5x = 28 / 5

y = 5 . 4 / 7y = 20 / 7

x3x

y

z

=13

y

z

z = 3y (resp)

22 + 3

xx + y

=25

x9

x = 18 / 5

=35

y9

y = 27 / 5

x7

96

x = 9 . 7 / 6x = 63 / 6 x = 21 / 2

C

A

B 36 - x

22

10M

N x

x36 - x

1022

22x = 360 - 10x32x = 360x = 360 / 32x = 45 / 4 cm

x9

711

=y9

311

=11z

92

x = 9 . 7 / 11 = 63 / 11

y = 9 . 3 / 11 = 27 / 11

z = 11 . 2 / 9 = 22 / 9

t

ax

bc

x . b = a . c

x = a . c / b

x

y 4

5

09) Na figura abaixo, as retas r , s e t são paralelas entre si. Se x + y = 12, então o valor que mais se aproxima de x - y, é :

r

s

t

a) 1,03b) 1,33c) 1,57d) 1,75e) 2,00

2

3

4

5

6

3

x

y

z

t

a

b

c

d

e

f

10) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d, e e f são paralelas entre si. Determine o valor da soma das me-didas dos segmentos x, y, z e t.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L

M

m

n

p

q

r

s

11) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e LM = 8, qual é a medida de HJ ?

u v

a) 83 / 9b) 81 / 7c) 93 / 9d) 72 / 7e) 89 / 8

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L

M

m

n

p

q

r

s

12) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e HJ = 10, qual é a medida de HM ?

u v

a) 198 / 7b) 223 / 9c) 220 / 9d) 241 / 10e) 241 / 11

13) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determine a medida do segmento BD e o valor do pe-rímetro do triângulo ABC.

aa

8 cm

18 cm 12 c

m

aa

20 cm

12 cm 16 cm

14) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determine a medida dos segmentos BD e CD.

A

B CD

A

B CD

Jeca 78

x

y 4

5

09) Na figura abaixo, as retas r , s e t são paralelas entre si. Se x + y = 12, então o valor que mais se aproxima de x - y, é :

r

s

t

a) 1,03b) 1,33c) 1,57d) 1,75e) 2,00

2

3

4

5

6

3

x

y

z

t

a

b

c

d

e

f

10) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d, e e f são paralelas entre si. Determine o valor da soma das me-didas dos segmentos x, y, z e t.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L

M

m

n

p

q

r

s

11) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e LM = 8, qual é a medida de HJ ?

u v

a) 83 / 9b) 81 / 7c) 93 / 9d) 72 / 7e) 89 / 8

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L

M

m

n

p

q

r

s

12) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e HJ = 10, qual é a medida de HM ?

u v

a) 198 / 7b) 223 / 9c) 220 / 9d) 241 / 10e) 241 / 11

13) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determine a medida do segmento BD e o valor do pe-rímetro do triângulo ABC.

aa

8 cm

18 cm 12 c

m

aa

20 cm

12 cm 16 cm

14) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determine a medida dos segmentos BD e CD.

A

B CD

A

B CD

Jeca 78

Teorema de Tales

=

Teorema de Tales

Teorema de Tales

=

Teorema de Tales

=


xx + y

55 + 4

=x

1259

x = 12 . 5 / 9 = 20 / 3

=y

x + y4

5 + 4

=y

1249

y = 12 . 4 / 9 = 16 / 3

x - y = 20/3 - 16/3 = 4/3 = 1,33 (resp b)

23 + 4 + 5 + 6

3x + y + z + t

=

218

3x + y + z + t

=

x + y + z + t = 54/2 = 27 (resp)

3

4

5

6

7 8BDEF

HJLM

=4 + 5

7HJ8

HJ = 8 . 9 / 7

HJ = 72 / 7 (resp d)

3

4

5

6

7

BDBF

HJHM

=9

2210HM

HM = 22 . 10 / 9

HM = 220 / 9 (resp c)

x

=x

188

12

x = 8 . 18 / 12

x = 12 cm

Per = 2p = 12 + 8 + 12 + 18 = 50 cm (resp)

x 20 - x


=x

1220 - x

16

16x = 240 - 12x28x = 240x = 60 / 7 cm

BD = 60 / 7 cm

DC = 20 - 60 / 7 = 80 / 7 cm

15) Num triângulo ABC, CD é a bissetriz do ângulo interno ACB. Sabendo que AD = 7 cm, BD = 4 cm e AC = 15 cm, determine a medida do lado BC.

a

b

c

d

xx

16) Observe a figura abaixo. De acordo com essa figu-ra, qual das relações abaixo é verdadeira.a) a = b.d / cb) a = b.c / dc) a = c.d / bd) a = c / (b.d)e) a = b.c.d

A

B

C

D

17) No triângulo ABD abaixo, BC é a bissetriz do ângulo ABD, AB = 18 cm e BD = 15 cm. Determine a razão entre as medidas dos segmentos AC e CD.

A

B C

D E

18) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 12, AC = 8 e BC = 10. Determinar a medida de AD, sabendo que DE é paralelo a BC e BE é a bissetriz do ângulo interno do vértice B.

ab

c

15º 15º 15º

x

y

19) (J) Na figura abaixo, determinar x, y, w e k em função de a, b e c.

w

k

20) (J) Na figura abaixo, a = 15º e AC = 4. Determi-ne a razão entre BD e CD.

A

BC

a a

D

Jeca 79

15) Num triângulo ABC, CD é a bissetriz do ângulo interno ACB. Sabendo que AD = 7 cm, BD = 4 cm e AC = 15 cm, determine a medida do lado BC.

a

b

c

d

xx

16) Observe a figura abaixo. De acordo com essa figu-ra, qual das relações abaixo é verdadeira.a) a = b.d / cb) a = b.c / dc) a = c.d / bd) a = c / (b.d)e) a = b.c.d

A

B

C

D

17) No triângulo ABD abaixo, BC é a bissetriz do ângulo ABD, AB = 18 cm e BD = 15 cm. Determine a razão entre as medidas dos segmentos AC e CD.

A

B C

D E

18) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 12, AC = 8 e BC = 10. Determinar a medida de AD, sabendo que DE é paralelo a BC e BE é a bissetriz do ângulo interno do vértice B.

Jeca 79


=4x

7

15

A

B C

D

aa

7

4

15 cm

xx = 4 . 15 / 7

x = 60 / 7 cm (resp)


=ba

cd

a.c = b.d

a = b.d / c (resp a)


=AC18

CD

aa

18 cm

15

15

=AC 18CD 15

=65

(resp)


=x

128 - x10

12

8

aa

10

x

8 - x10x = 96 - 12x22x = 96x = 48 / 11

Teorema de Tales

=x8

AD12

AD = 12x / 8 = 3x / 2

AD =

3 . 4811

2=

7211

(resp)

ab

c

15º 15º 15º

x

y

19) (J) Na figura abaixo, determinar x, y, w e k em função de a, b e c.

w

k

x = cy = a

tg 30º =w + x

bw + c

=b

w + c=

b33

b 3 = 3w + 3c

w =b 3 - 3c

3


wk =

xb

wk =

cb

k =b.wc =

bc

. b 3 - 3c3

k =3.c

b(b 3 - 3c)

20) (J) Na figura abaixo, a = 15º e AC = 4. Determi-ne a razão entre BD e CD.

A

BC

a a

D

4 x

y

cos 30º =cahip

x

4=

x4

=3

2

x = 2 3


BD x =

CD4

BD =

CD 4

x

BD =

CD 42 3

=32

(resp)

24) (J) Determine a medida de uma diagonal de um pentágono regular de lado K.

d

K

a

b

c

d

e

5

6

10

x 9

11

7

y t

21) (J) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d e e são paralelas entre si. Determine o valor da expressãoE = x . y + t.

R

S

T

D

A

B C

22) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e BC = 8. Sabendo que D é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo ABC, determine a razão entre CD e DT.

R

S

T

D

A

B CV

23) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e BC = 8. Sabendo que D é o incentro do triângulo ABC e que V é o ponto onde a circunferência de centro em D tangencia o lado BC, determine a distância VR.

Jeca 80

x10

=911

Teorema de Tales

x = 90/11

510

=y

11y = 55/10 = 11/2

t7

=y

9t = 7y/9 = 77/18

E = x . y + t = 9011

.2

+ 7718

11=

887

18(resp)

aax

9

8

y 8 - y


(No triângulo ABC)

x9

6 - x8

=

8x = 54 - 9x17x = 54x = 54/17

(No triângulo ATC)

DTx =

CD9

DTx =CD9

DTCD

=9

1754

=176

(resp)

24) (J) Determine a medida de uma diagonal de um pentágono regular de lado K.

d

K

a

b

c

d

e

5

6

10

x 9

11

7

y t

21) (J) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d e e são paralelas entre si. Determine o valor da expressãoE = x . y + t.

R

S

T

D

A

B C

22) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e BC = 8. Sabendo que D é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo ABC, determine a razão entre CD e DT.

R

S

T

D

A

B CV

23) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e BC = 8. Sabendo que D é o incentro do triângulo ABC e que V é o ponto onde a circunferência de centro em D tangencia o lado BC, determine a distância VR.

Jeca 80

d

k

k

e =

360/

5 =

72º

108º

36º36º

36º

36º

36º

36º72º

36º36º

72º

A

B

CD

E

F

k

d - k

No triângulo ADB, AF é uma bissetriz.Pelo Teorema da bissetriz interna, tem-se

2 2Portanto k = d - kd

2 2Organizando, tem-se d - kd - k = 0Resolvendo a equação do 2º grau em d , tem-se

k

d=

d - kk

d =- (-k) +-

2 2(-k) - 4 . 1 . (-k )

2 . 1

d =k +- k 5

2=

k( 1 + 5 )

2(resp)

A

S

CV

B

TD

x 8 - x

x

6 - x

6 - x

8 - x

Teor. do ponto exterior(6 - x) + (8 - x) = 92x = 5x = 5/2Portanto BV = 5/2

Teor. da bissetriz internay / AB = 8 - y / AC

y / 6 = (8 - y) / 9

y 8 - y

VR = BR - BVVR = 16/5 - 5/2VR = 32/10 - 25/10VR = 7/10 (resp)


01) 48 / 5

02) 32 / 3

03) 108 / 5

04) 32 / 5

05) 96 / 5

06) 88 / 7

07) 80 m, 60 m, e 40 m

08) 16 e 88 / 3

09) 225 / 13 e 375 / 13

10) 13 / 5, 39 / 10 e 13 / 2

11) 18 cm

12) (160 / 13) cm

13) (112 / 15) cm

14) 5 cm

15) 4( 2 - 1) cm

16) 1 / 2

17) b.d / c

18) d

19) 11 / 30

20) (35 / 4) cm

21) (5 / 7) cm

22) 24 cm, 40 cm e 36 cm



Jeca


Jeca 81


01) 25 / 4 e 28 / 5

02) 28 / 5 e 20 / 7

03) 3y

04) 18 / 5 e 27 / 5

05) 63 / 11, 27 / 11 e 22 / 9

06) (21 / 2) cm

07) a.c / b

08) (45 / 4) cm

09) b

10) 27

11) d

12) c

13) 12 cm e 50 cm

14) (60 / 7) cm e (80 / 7) cm

15) (60 / 7) cm

16) a

17) 6 / 5

18) 72 / 11

19) x = c , y = a , w =

k =

20) 3 / 2

21) 887 / 18

22) 17 / 6

23) 7 / 10

24) K(1 + 5 ) / 2



Jeca


Jeca 82

b(b 3 - 3c)3c

b 3 - 3c3

>

3 3

A

3

R

R

NN

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GeoPlanaR1- Exercícios comentados