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RIVED/UFOP Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria

RIVED/UFOPMdulo Educacional I: Conceitos Fundamentais da Trigonometriarea: Matemtica

Guia do Professor

Ouro Preto MGAgosto de 2007

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1. Introduo

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaes prticas. Desde a antiguidade j se usava da trigonometria para obter distncias impossveis de serem calculadas por mtodos comuns. Apesar da infinidade de aplicaes prticas, muitos estudantes tm dificuldades e vem a trigonometria como um tpico rduo de estudar dentro da Matemtica.

Este mdulo educacional foi construdo com o objetivo de ajudar aos professores e alunos desvendarem um pouco mais a rea de Trigonometria. O principal objetivo do mdulo proporcionar ao aluno um estudo sobre as funes: seno, cosseno e tangente, envolvendo noes bsicas, definies e grficos. O aluno ser motivado a construir os grficos destas funes.

2. Objetivos

Os principais objetivos de aprendizagem da atividade so:

Compreender a definio de seno, cosseno e tangente no crculo trigonomtrico bem como a construo dos grficos destas funes;

Interpretar grficos de funes trigonomtricas;

Reconhecer fatores que influenciam no comportamento grfico (sinal das funes em cada quadrante, intervalos de crescimento e decrescimento das funes) de uma funo trigonomtrica.

3. Pr-requisitos

Para fazer as atividades do mdulo e ter uma melhor compreenso do assunto abordado, necessrio que o aluno tenha como pr-requisito alguns conceitos elementares tais como: ngulos, comprimento de arco, crculo trigonomtrico, noo de representao de um ponto no plano cartesiano, noes de funo e relaes mtricas no tringulo retngulo.

Sugere-se tambm que os alunos tenham um conhecimento bsico do uso do computador, a fim de que eles possam focar mais a sua ateno no contedo do mdulo.

4. Tempo previsto para a atividade

O tempo previsto para a atividade varia de acordo com a assimilao da turma, da estrutura da escola, entre outros.

5. Na sala de aula

Antes de iniciar o uso do mdulo computacional com os alunos, o professor deve introduzir o assunto em sala de aula.

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O professor pode comear o assunto explorando algumas reas da aplicao e a importncia da trigonometria. Os comentrios abaixo do exemplos de algumas aplicaes da trigonometria:

A determinao da altura de um determinado prdio. Seria impossvel a medio da distncia da Terra Lua, porm, com a

trigonometria isto se torna simples. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte. O

trabalho dele mais fcil quando ele usa recursos trigonomtricos. Um cartgrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o

comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

Antes de comear as atividades no computador, os alunos j devero ter tido um contato inicial na sala de aula com grficos de funes e o conceito de seno, cosseno e tangente.

6. Na sala de computadores

6.1. Preparao

Os alunos podero ser organizados em duplas para realizarem a atividade no laboratrio.

Sugere-se que o professor utilize o mdulo educacional realizando todas as etapas antes de trabalhar com os alunos no laboratrio. Dessa forma, o professor se sentir apto a esclarecer qualquer dvida que venha a surgir no decorrer da atividade.

6.2. Material necessrio. . Material das atividades desenvolvidas na aula terica Caderno para anotaes.

6.3. Requisitos tcnicos

Computador

Sistema operacional Microsoft Windows ou Linux

Navegador Web Microsoft Internet Explorer ou Mozilla Firefox

Plugin Flash instalado

Monitor compativel com resoluo minima de 800x600, 16bit de cores

Obs.: os alunos que tiverem acesso Internet podero fazer o download do mdulo diretamente da pgina do RIVED/MEC e executa-lo offline.

7. Durante a atividade

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Os passos que podero ser seguidos so:

O professor dever explicar brevemente aos alunos o que ser visto no contedo do mdulo: funes, grficos e atividades;

Deve ser explicado que o mdulo computacional no substituir as aulas tericas e expositivas. Ele ser usado para complementar o contedo e ajudar os alunos principalmente na visualizao grfica das referidas funes;

importante que os alunos sejam orientados em relao a quando podero iniciar a atividade;

Os alunos devem estar cientes de que o material ser utilizado de forma gradativa; o professor quem dar a seqncia das atividades para que nenhuma delas deixe de ser executada.

Os integrantes das duplas devero ser estimulados previamente a discutirem entre si o contedo dos mdulos durante a realizao das atividades, pois muito importante que haja troca de experincias entre eles;

Dever ser salientado aos alunos que leiam atentamente os textos que aparecem nas pginas antes de executarem qualquer comando e seguirem em frente, de preferncia que leiam duas vezes e com muita ateno;

Alm disso, os alunos devero ser orientados para que, sempre que tiverem dvidas no decorrer das atividades, no sigam em frente; que observem atentamente mensagens apresentadas e que, se dvidas persistirem, peam ajuda ao professor. Saliente-se que, neste momento, o professor ter um papel exclusivo de orientador, sempre procurando fazer com que o aluno tire suas prprias concluses, devendo ele interferir, somente o necessrio, durante o desenvolvimento da atividade proposta;

O professor durante a atividade deve observar se h alguma dificuldade por parte dos alunos, se esta consiste no contedo matemtico envolvido ou se trata de problemas de navegao do mdulo. Se for o primeiro caso o professor dever atuar como orientador sempre procurando fazer com que o aluno tire suas prprias concluses. Se for a segunda opo, ensin-lo como proceder corretamente na navegao. Se for alguma dvida comum a vrios grupos, ento o professor dever esclarec-la neste momento para toda a turma.

DICA Procure no responder diretamente s solicitaes dos alunos durante a

realizao das atividades.

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Intervenha estabelecendo conexes partindo do raciocnio realizado pelos alunos.

8. Tutorial para utilizao do mdulo

O roteiro a seguir apenas uma sugesto para o professor explorar de forma gradual o contedo do mdulo educacional com os alunos. Para navegar pelo mdulo, tm-se duas possibilidades: o aluno pode usar a barra de menus, que fica situada na parte superior da pgina (Figura 1), ou, simplesmente, usar as setas na barra de status que fica situada na parte inferior da pgina (Figura 2). As duas formas de navegao so permitidas, porm a vantagem da segunda sobre a primeira que a segunda j apresenta a ordem de aes recomendada. Em nosso tutorial adotaremos a primeira possibilidade de navegao, mas o professor tem a liberdade de trabalhar com a segunda, ou as duas, se preferir.

Figura 1 Navegao pela barra de menus

Figura 2 Navegao pelas setas na linha de status

8.1. Iniciando o mdulo

Ao iniciar o mdulo apresentada ao aluno uma breve animao chamando a sua ateno para algumas atividades do cotidiano onde a trigonometria est presente (escalada, travessia de um barco em um rio, um jogo de futebol batedor de falta e at mesmo em um simples jogo de bilhar). O aluno pode ver cada uma das pginas da animao clicando primeiramente no link Iniciar seguido pelo link Continuar, ou

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caso queira ir direto para o contedo do mdulo, deve clicar no link Saltar Animao (Figura 3)

Figura 3 Animao com motivao para o uso do mdulo

8.2. Introduo

Na pgina de Introduo (Figura 4) so dadas todas as informaes necessrias a respeito de como usar os recursos do mdulo. tambm informado ao usurio que em caso de dvidas durante as atividades apresentadas basta a ele clicar no boto de Ajuda que fica no canto superior direito das pginas com atividades interativas.

Figura 4 Introduo Utilizao do Mdulo

8.3. Noes Bsicas Introduo

O aluno dever seguir a seguinte seqncia de opes no menu: Noes Bsicas Introduo, como se pode observar na Figura 5.

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Figura 5 Noes Bsicas Introduo

Nesta pgina, o aluno ver alguns exemplos de aplicaes da trigonometria e conhecer um pouco da sua histria.

O professor pode discutir com os alunos sobre as aplicaes, como so feitos os clculos, pode-se tambm simular uma determinada situao em que se apliquem os conceitos de trigonometria para que os alunos a resolvam;

importante que o professor motive os alunos a investigarem um pouco mais sobre a histria da trigonometria, utilizando as fontes sugeridas nesta pgina (sites de universidades), outros sites e, tambm, livros da biblioteca da escola.

8.4. Noes Bsicas Arcos e ngulos

O aluno dever seguir a seguinte seqncia no menu superior: Noes Bsicas Arcos e ngulos, como se v na Figura 6 a seguir:

Figura 6 Noes Bsicas Arcos e ngulos

Nesta pgina, que textual, o aluno aprender a definio de arco de circunferncia e a relao entre grau e radiano. O professor deve atent-lo quanto ao sentido da rotao (horrio ou anti-horrio). Esta pgina possui um link que remeter o aluno a um texto contando um pouco da histria do nmero (pi), este nmero irracional transcendente. Encontra-se neste texto uma fonte (site), podendo o professor sugerir outras, tais como: sites de universidades, livros, etc.

8.5. Noes Bsicas Crculo Trigonomtrico

O aluno dever seguir a seguinte seqncia: Noes Bsicas Crculo Trigonomtrico, como se v na Figura 7 a seguir:

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Figura 7 Noes Bsicas Crculo TrigonomtricoNesta pgina o aluno aprender a definio de ciclo ou crculo trigonomtrico, de

quadrantes do crculo trigonomtrico e de arcos cngruos. Esta pgina textual e contm um pouco mais de teoria. O professor deve se certificar de que os alunos compreenderam bem a parte terica, antes de prosseguir para as pginas seguintes. Uma sugesto fazer alguns questionamentos turma, tipo: em qual quadrante se encontram os ngulos de 170, 490, 2/3 rad, 5 /3 rad, etc.

8.6. As Funes Trigonomtricas Seno Definio

Na pgina a seguir apresentada ao aluno a definio da funo seno no crculo trigonomtrico. Trata-se de uma pgina interativa, onde a informao exibida sob

demanda do aluno, ele ler os textos na pgina e clicar no boto , at que se complete a definio (Figuras 8 e 9).

Figura 8 As Funes Trigonomtricas Seno Definio

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Figura 9 Definio da Funo Seno

O professor deve observar que esta definio , inicialmente, para ngulos agudos. Haver um breve comentrio da extenso da definio para ngulos no agudos. Esse comentrio dever ser complementado pelo professor e/ou aluno.

Durante a interao, o aluno pode solicitar ajuda movendo o cursor para o boto no canto superior direito da pgina (Figura 10).

Figura 10 Sistema de Ajuda

8.7. As Funes Trigonomtricas Seno A Funo Seno

Esta pgina textual, sem animaes. Nela sero apresentadas algumas caractersticas da funo seno, tais como: domnio, contradomnio, conjunto imagem, periodicidade, amplitude e paridade. As definies de periodicidade e amplitude sero exploradas em um outro mdulo (Funes Trigonomtricas Propriedades)

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Figura 11 A Funo Seno

8.8. As Funes Trigonomtricas Seno Grficos y = sen x

O aluno dever seguir a seguinte seqncia no menu principal: As Funes Trigonomtricas Seno Grficos y = sen x, como se v na Figura 12 a seguir:

Figura 12 Grfico de y = sen x

Esta pgina um pouco mais iterativa que a pgina da Definio da Funo Seno (Figura 9). Aqui o aluno acompanhar a construo do grfico da funo y = sen x. A interao basicamente a seguinte:

Aps escolher a opo y = sen x no menu da Figura 12, ser exibida a seguinte pgina:

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Figura 13 Construo do grfico y = sen x

O aluno dever ler atentamente o texto explicativo dentro do retngulo vermelho e, ento, clicar no boto para dar incio atividade interativa.

Em seguida, o crculo trigonomtrico esquerda ficar em negrito e direita encontrar-se-a um plano cartesiano, como se observa na Figura 14 a seguir. O professor deve atentar-se escala do plano, pois o nmero (aproximadamente 3,14) no eixo-x equivalente ao nmero 0.5 no eixo-y. A diferena unicamente para efeitos de visualizao e deve ser discutida com os alunos para que no haja nenhuma dvida. O professor pode sugerir que os alunos construam um grfico obedecendo escala usual, 1:1.

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Figura 14 Crculo Trigonomtrico e Eixos Cartesianos

Para obter ajuda, o aluno deve repousar o mouse sobre o boto , onde esto todas as instrues para a construo do grfico de y = sen x, como se v na Figura 15.

Figura 15 Ajuda sobre como construir o grfico de y = sen x

Esta ajuda suficiente para a realizao do experimento. Acompanhe o exemplo: Digitaremos o valor 267 na caixa de entrada ao lado do crculo trigonomtrico (lembre-se que este valor representar o valor limite do intervalo em graus).

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Aps clicarmos em , medida que o ponto A (cor verde) percorre o crculo trigonomtrico at o ngulo de 267, o grfico construdo direita, no plano cartesiano, como se verifica na Figura 16.

Figura 16 Animao para a construo do grfico de y = senx para x pertencente ao intervalo fechado [0,267o]

Quando a construo do grfico finalizada, um texto explicativo apresentado ao aluno dando-o informaes sobre o grfico que acabou de ser traado (Figura 17).

Figura 17 Mensagem de feedback ao final da construo do grfico

Ao clicar no boto , dentro do texto explicativo, um novo grfico poder ser construdo.

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ATENO: a construo do grfico no pode ser interrompida. Uma vez dado um

valor para o ngulo e clicado em , o grfico ser construdo instantaneamente. O grfico pode ser construdo tambm pressionando-se a tecla ENTER, ao invs de se

clicar em . Se o aluno der um valor para o ngulo fora do intervalo [-720, 720], como por exemplo, -750, o seguinte texto aparecer, Ateno: Insira valores entre -720.00 e +720.00, como pode ser observado na Figura 18.

Figura 18 Mensagem de Alerta para valores fora do intervalo permitido

importante que os alunos faam simulaes tanto para ngulos positivos, quanto negativos, tanto para ngulos menores que 360 quanto para ngulos maiores que 360, para que se observe a periodicidade via grfico, sabendo que o comportamento do grfico da funo y = sen x o mesmo em cada intervalo de comprimento 2.

DicaAps os alunos terem construdo o grfico da funo seno o professor poder propor as seguintes questes aos alunos:

1 Quais as diferenas entre o grfico da funo seno quando se movimenta o ponto P no sentido anti-horrio e depois no sentido horrio?

2 Quais so os valores mnimo e mximo para a funo seno?

8.9. As Funes Trigonomtricas Seno Atividade

O aluno dever seguir o seguinte endereo: As Funes Trigonomtricas Seno Atividades, como se observa na Figura 19.

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Figura 19 Atividade interativa na construo do grfico de y = sen x

Nesta pgina, o aluno poder interferir mais na construo do grfico de y = sen x, atravs de manipulao direta, ao clicar sobre o ponto P e mov-lo (arrastando-o) ao longo do crculo trigonomtrico.

Primeiramente, o aluno deve escolher o sentido de movimento do ponto no menu radio button no canto esquerdo da pgina. A escolha deve ser entre Positivo, se o movimento do ponto for feito no sentido anti-horrio, ou Negativo, se o movimento for feito no sentido contrrio.

Depois de escolhido o sentido, o aluno, com o boto esquerdo do mouse pressionado, deve arrastar o ponto ao longo do crculo trigonomtrico e observar a curva da funo sendo construda nos eixos cartesianos, na parte direita da pgina. Quando o aluno solta o boto do mouse, a construo finalizada, e um texto explicativo apresentado ao aluno dando informaes sobre o grfico que acabou de ser construdo.

A Figura 20 a seguir ilustra essa atividade interativa na construo do grfico de y = sen x.

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Figura 20 Construo Interativa do Grfico de y = sen x

8.10. Aplicaes Jogo de Bilhar

A aplicao interativa Jogo de Bilhar tem o objetivo de fazer com que o aluno veja a ligao de alguns dos conceitos fundamentais da trigonometria apresentados em situaes de um jogo de bilhar.

O aluno deve selecionar no menu superior a opo Aplicaes Jogo de Bilhar, como ilustrado na Figura 21 a seguir:

Figura 21 Aplicao da Trigonometria em um Jogo de Bilhar

O aluno deve, em seguida, clicar no boto Iniciar para comear o jogo (Figura 22).

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Figura 22 Aplicao da trigonometria

Antes de iniciar o jogo propriamente dito, importante que o aluno leia algumas informaes iniciais sobre o seu funcionamento (Figura 23). Nesta pgina tambm so fornecidas algumas informaes sobre o clculo do seno, cosseno e tangente de um ngulo , utilizando-se os lados de um tringulo retngulo, onde sen()=cateto oposto/hipotenusa, cos()=cateto adjacente/hipotenusa e tan()=cateto oposto/cateto adjacente.

Figura 23 Informaes sobre o Jogo de Bilhar e sobre o clculo do seno, cosseno e tangente de um ngulo

Aps o aluno clicar no boto Iniciar Jogo, a pgina da Figura 24 apresentada:

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Figura 24 O Jogo de Bilhar

Para acertar a bola na caapa o aluno deve acertar o ngulo da tacada. O professor deve explicar que a bola determina um tringulo retngulo com a borda da mesa e a caapa. A hipotenusa desse tringulo representa a distncia entre a bola e a caapa. O ngulo o ngulo da tacada. O jogo fornece ao aluno as medidas dos catetos do tringulo retngulo e com essas medidas ele capaz de encontrar o ngulo . Na Pergunta Qual o valor do ngulo ?, ao clicar no boto Calcular, a seguinte janela exibida (Figura 25), obviamente para os valores atribudos respectivamente aos catetos do tringulo, que no caso de nossa figura, so ca = 5 e ca = 5 3 :

Figura 25 Encontrando o valor de

O aluno tambm pode encontrar a distncia que a bola ir percorrer at a caapa (hipotenusa do tringulo retngulo), conforme ilustrado na Figura 26.

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Figura 26 Encontrando o valor de h

Tendo encontrado o ngulo correto da tacada o aluno pode clicar no boto Dar a tacada! e ganhar 100 pontos a cada tacada certeira (Figuras 27 e 28).

Figura 27 Dando a tacada no Jogo de Bilhar

Figura 28 Janela de feedback no Jogo de Bilhar

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8.11. Autores

Na pgina Autores, encontram-se os nomes da equipe RIVED/UFOP, dispostos em ordem alfabtica, composta por alunos, orientadores e colaboradores, dos Departamentos de Matemtica e da Cincia da Computao da Universidade Federal de Ouro Preto.

9. Depois da atividade

Aps a atividade o professor pode formalizar os conceitos e propriedades aprendidas e verificadas nas atividades interativas.

Pode-se realizar uma discusso geral sobre os conceitos abordados na atividade. De preferncia, na sala da informtica, uma vez que, durante a discusso, poder surgir a necessidade de executar parte do mdulo educacional novamente para esclarecer um comentrio, tanto por parte do aluno, quanto do professor.

Pode-se pedir aos alunos que relatem num primeiro momento suas observaes, vitrias e frustraes que ocorreram ao longo da execuo da atividade.

10. Avaliao

A avaliao constar das prprias atividades contidas no mdulo e poder constar, tambm, de um relatrio sobre a atividade desenvolvida. Nesse relatrio o aluno (ou a dupla) dever fazer uma sntese pessoal, abordando os conceitos e propriedades aprendidas, e relatar como o software auxiliou no aprendizado do contedo. Os alunos devero saber que sero avaliados, tanto na discusso aps os trabalhos, quanto no relatrio que ser entregue posteriormente.

11. Atividades complementares

Como atividades complementares, o professor pode contar aos alunos algumas curiosidades na rea de trigonometria, por exemplo: Por que o ngulo reto mede 90? (Figura 29).

Sabemos que o ngulo reto mede 90 e que o ngulo raso mede 180. Mas por que motivo os valores so 90 e 180?

No ano de 4000 a.C, os egpcios e rabes tentavam elaborar um calendrio. Nessa poca, se acreditava que o Sol levava 360 dias para completar a rbita de uma volta em torno da Terra. Assim, a cada dia o Sol percorria um pouquinho dessa rbita, ou seja, um arco de circunferncia de sua rbita. Esse ngulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado de grau.

Ento, para os antigos egpcios e rabes, o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia. Porm, hoje sabemos que a Terra que gira em torno do Sol, mas se manteve a tradio e se convencionou dizer que o arco de circunferncia mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferncia.

Fonte: http://www.somatematica.com.br/curiosidades2.phpFigura 29 Curiosidades

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http://www.somatematica.com.br/curiosidades2.php


O professor pode utilizar a Internet para buscar outras curiosidades para compartilhar com os seus estudantes, por exemplo:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/

12. Concluses

De maneira inteiramente anloga ao que foi apresentado para a funo SENO, o professor dever trabalhar as demais atividades referentes s funes cosseno e tangente, norteando pontos importantes, como intercesses das funes com os eixos coordenados, variaes de domnio, perodo e demais caractersticas.

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http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/

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