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INSTITUTO POLITECNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU
Departamento Matematica Disciplina Matematica I
Curso Gestao de Empresas Ano 1o
Ano Lectivo 2007/2008 Semestre 1o
Apontamentos Teoricos: Matrizes e Sistemas de Equacoes Lineares
Autores:
Maria Cristina Peixoto Matos
Nuno Conceicao
Joana Fialho
Paula Sarabando
1
3. Matrizes e Sistemas de Equacoes Lineares
3.1. Conceito Elementar de Matriz
Definicao 1 Sejam m e n dois numeros naturais. Uma matriz real m × n
e um conjunto de mn numeros reais distribuıdos por m linhas e n colunas do
seguinte modo:
A =
a11 a12 ... a1j ... a1n
a21 a22 ... a2j ... a2n
... ... ... ... ... ...
ai1 ai2 ... aij ... ain
... ... ... ... ... ...
am1 am2 ... amj ... amn
onde aij ∈ IR para todo o i ∈ {1, 2, ..., m} e para todo o j ∈ {1, 2, ..., n} . Dizemos
neste caso, que a matriz tem ordem ou dimensao m × n . Cada numero que
compoe a matriz chama-se termo, elemento ou coeficiente da matriz.
Notacao: Abreviadamente podemos representar a matriz pelo sımbolo
A = [aij] 1 ≤ i ≤ m
1 ≤ j ≤ n
.
Neste caso, o sımbolo aij e chamado termo geral da matriz. Cada elemento
da matriz e afectado de dois ındices, o ındice de linha que nos indica a linha
a que o elemento pertence e o ındice de coluna que indica a coluna a que ele
pertence:
aij : i → ındice de linha; j → ındice de coluna
2
Exemplo 1: A =
12 3
0 5
−1√
2
e uma matriz de dimensao 3 × 2
a11 = 12, a12 = 3, a21 = 0, a22 = 5, a31 = −1 e a32 =
√2.
Definicao 2 A toda a matriz m× 1, ou seja, a toda a matriz com m linhas e
1 coluna chamamos matriz coluna e a toda a matriz 1 × n , ou seja, a toda a
matriz com 1 linha e n colunas chamamos matriz linha.
Uma matriz coluna e da forma B =
b11
b21
...
bi1
...
bm1
Uma matriz linha e do tipo A =[
a11 a12 ... a1j ... a1n
]
.
3.2. Matrizes Especiais
Definicao 3 Chama-se matriz nula m × n a toda a matriz m × n com os
elementos todos iguais a zero.
Chama-se matriz quadrada de ordem n a uma matriz n× n, ou seja, a uma
matriz com n linhas e n colunas.
Definicao 4 Seja A = [aij] uma matriz quadrada de ordem n. Os elementos
a11, a22, ..., ann constituem a diagonal principal de A e os elementos an1,
a(n−1)2, ..., a1n constituem a diagonal nao principal ou diagonal secundaria
de A.
3
Exemplo 2: A =
3 4 −1
−1 1 2
0 1 −5
, matriz quadrada de ordem 3.
Diagonal principal e constituıda pelos elementos 3, 1 e -5.
Diagonal secundaria e constituıda pelos elementos -1, 1, 0.
Definicao 5 Uma matriz quadrada em que os elementos situados fora da di-
agonal principal sao todos iguais a zero chama-se matriz diagonal, isto e,
A = [aij] 1 ≤ i ≤ n
1 ≤ j ≤ n
e uma matriz diagonal sse aij = 0 para todos os i, j ∈ {1, 2, ..., n}
tais que i 6= j.
Uma matriz quadrada diz-se triangular superior se todos os elementos situ-
ados abaixo da diagonal principal sao iguais a zero, isto e, A = [aij] e uma matriz
triangular superior sse aij = 0 para i > j.
Uma matriz quadrada diz-se triangular inferior se todos os elementos situ-
ados acima da diagonal principal sao iguais a zero, isto e, que A = [aij] e uma
matriz triangular inferior sse aij = 0 para i < j .
Exemplo 3:
• D =
[
1 0
0 −2
]
e uma matriz diagonal.
• M =
1 −1 0
0 2 0
0 0 3
nao e uma matriz diagonal pois a12 6= 0.
4
• A =
1 −2 3
0 1 −2
0 0 5
e uma matriz triangular superior.
• B =
[
2 0
−1 3
]
e uma matriz triangular inferior.
Definicao 6 A matriz diagonal de ordem n cujos elementos da diagonal prin-
cipal sao todos iguais a um, chama-se matriz identidade de ordem n e denota-se
habitualmente por In.
In =
1 0 ... 0
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 1
Exemplo 4: I2 =
[
1 0
0 1
]
I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I4 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Definicao 7 Seja A uma matriz m × n. Chama-se transposta de A, e
denota-se por AT , a matriz n × m cujas linhas coincidem com as colunas de A.
Sendo A = [aij] 1 ≤ i ≤ m
1 ≤ j ≤ n
, temos
AT =
a11 a21 ... ai1 ... am1
a12 a22 ... ai2 ... am2
... ... ... ... ... ...
a1j a2j ... aij ... amj
... ... ... ... ... ...
a1n a2n ... ain ... amn
5
Propriedade da Matriz Transposta: AT T
= (AT )T = A.
Exemplo 5:
• A =
[
1 −1 4
3 0 2
]
=⇒ AT =
1 3
−1 0
4 2
• A =[
a11 a12 ... a1j ... a1n
]
=⇒ AT =
a11
a12
...
a1j
...
a1n
• (In)T = In
Definicao 8 A matriz A diz-se simetrica se coincide com a sua transposta,
isto e, A = AT .
Exemplo 6: A =
1 2 3
2 7 −1
3 −1 0
= AT =⇒ A e simetrica.
Definicao 9 A matriz A diz-se anti-simetrica sse A = −AT
Exemplo 7:
A =
0 −2 −3
2 0 1
3 −1 0
= −
0 2 3
−2 0 −1
−3 1 0
= −AT ⇒ A anti-simetrica.
6
3.3. Operacoes com Matrizes: Propriedades.
3.3.1. Adicao de Matrizes
Denotemos por Mm×n(IR) o conjunto de todas as matrizes reais de dimensao
m × n.
Definicao 10 Sejam A = [aij] e B = [bij] duas matrizes de Mm×n(IR).
Chama-se soma de A com B a matriz C = [cij] de Mm×n(IR), cujo termo
geral e cij = aij + bij, i = 1, 2, ..., m e j = 1, 2, ..., n.
Isto e,
C = A + B = [aij + bij] =
a11 + b11 a12 + b12 ... a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 ... a2n + b2n
... ... ... ...
am1 + bm1 am2 + bm2 ... amn + bmn
Exemplo 8:
8.1 A + B =
[
7 3 −2
−5 0 1
]
+
[
−2 0 −1
2 −3 −4
]
=
=
[
7 + (−2) 3 + 0 −2 + (−1)
−5 + 2 0 + (−3) 1 + (−4)
]
=
[
5 3 −3
−3 −3 −3
]
8.2. Sendo A =
[
2 3
−1 0
]
e B =[
4 2 1]
nao podemos obter
A + B porque as matrizes nao tem a mesma dimensao.
7
Propriedades da Adicao de Matrizes: Sejam A, B e C ∈ Mm×n(IR). Entao:
• A + B = B + A (comutatividade).
• (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade).
• ∃′ O ∈ Mm×n(IR) tal que A + O = O + A = A (existencia de um elemento
neutro).
• ∃′ A′ ∈ Mm×n(IR) tal que A+A′ = A′+A = O (existencia de um simetrico).
• (A + B)T = AT + BT .
Nota: A matriz A′ cuja existencia esta garantida na 4a propriedade chama-se
matriz simetrica de A e denota-se habitualmente por −A.
3.3.2. Multiplicacao de uma Matriz por um Escalar
Definicao 11 Dada uma matriz A ∈ Mm×n(IR) e um escalar α ∈ IR, chamamos
produto da matriz A pelo escalar α a matriz B = αA ∈ Mm×n(IR) cujo
termo geral e definido por bij = αaij.
Exemplo 9: A =
[
1
−1
]
e α = −3 =⇒ αA = −3A
[
−3
3
]
.
Propriedades da Multiplicacao Escalar:
Sejam A, B ∈ Mm×n(IR) e α, β ∈ IR . Entao
• (α + β)A = αA + βA.
• α(A + B) = αA + αB.
• (αβ)A = α(βA).
8
Exemplo 10: A =
[
1 2 0
−1 3 −4
]
e B =
[
2 3 4
−1 0 −2
]
1
3A − 1
3B =
1
3(A − B) =
1
3
[
−1 −1 −4
0 3 −2
]
=
[
−13 −1
3 −43
0 1 −23
]
Exercıcio 1: Considere as matrizes A =
[
−1 0
2 −3
]
, B =
[
−2 0
4 −6
]
.
Sem efectuar calculos, mostre que 3(2A + 2B)T = 6(AT + BT ).
3.3.3. Multiplicacao de matrizes
Definicao 12 Sejam A = [aij] uma matriz m × n e B = [bjr] uma matriz
n × p. O produto de A por B (por esta ordem) e a matriz m × p cujo termo
geral cir obtem-se somando os produtos dos elementos da linha i da matriz A pelos
elementos coluna r da matriz B, isto e,
cir =[
ai1 ai2 ... ain
]
b1r
b2r
...
bnr
= ai1b1r + ai2b2r + ... + ainbnr =
n∑
k=1
aikbkr.
Consequentemente
AB =
n∑
k=1
a1kbk1
n∑
k=1
a1kbk2 ...
n∑
k=1
a1kbkp
n∑
k=1
a2kbk1
n∑
k=1
a2kbk2 ...
n∑
k=1
a2kbkp
... ... ... ...n
∑
k=1
amkbk1
n∑
k=1
amkbk2 ...
n∑
k=1
amkbkp
9
Nota: Da definicao resulta que so se podem multiplicar matrizes quando o
numero de colunas da matriz da esquerda for igual ao numero de linhas da matriz
da direita.
Exemplo 11: Calcule, quando possıvel, o produto A × B
a) A =
[
2 0
1 1
]
e B =
[
1
3
]
⇒ AB =
[
2 × 1 + 0 × 3
1 × 1 + 1 × 3
]
=
[
2
4
]
.
b) A =[
0 2]
e B =
[
3 0
1 1
]
⇒ AB =
[
0 × 3 + 2 × 1
0 × 0 + 2 × 1
]
=
=[
2 2]
.
c) A =
[
3 1 4
6 0 5
]
2×3
e B =
7 0 4
4 3 5
−1 5 6
3×3
AB =
[
3 1 4
6 0 5
]
2×3
×
7 0 4
4 3 5
−1 5 6
3×3
=
=
[
3 × 7 + 1 × 4 + 4 × (−1) 3 × 0 + 1 × 3 + 4 × 5 3 × 4 + 1 × 5 + 4 × 6
6 × 7 + 0 × 4 + 5 × (−1) 6 × 0 + 0 × 3 + 5 × 5 6 × 4 + 0 × 5 + 5 × 6
]
=
=
[
21 23 41
27 25 54
]
2×3
Note que nestes casos nao e possıvel calcular B × A pois o numero de colunas
de B nao coincide com o numero de linhas de A.
10
Propriedades da Multiplicacao de Matrizes:
Sejam A, B e C matrizes de dimensao convenientes e α ∈ IR. Entao
• (AB)C = A(BC) (associatividade).
• (A + B)C = AC + BC e A(B + C) = AB + AC (distributividade).
• α(AB) = (αA)B = A(αB).
• AI = A e IB = B (existencia de elemento neutro).
• AO = O e OB = O.
• (AB)T = BTAT .
• A multiplicacao de matrizes nao e, em geral, comutativa, isto e,
geralmente A × B 6= B × A.
Exemplo 12: A =
[
1 0
1 0
]
e B =
[
0 0
1 1
]
AB =
[
1 0
1 0
] [
0 0
1 1
]
=
[
0 0
0 0
]
=⇒ AB 6= BA
BA =
[
0 0
1 1
] [
1 0
1 0
]
=
[
0 0
2 0
]
As matrizes tais que A×B = B×A dizem-se matrizes permutaveis.
• Nao e valida a lei do anulamento do produto
AB = O ⇒ A = O ∨ B = O
no caso de multiplicacao de matrizes.
11
Exemplo 13:
AB =
[
1 0
1 0
][
0 0
1 1
]
=
[
0 0
0 0
]
com
A =
[
1 0
1 0
]
6=[
0 0
0 0
]
e B =
[
0 0
1 1
]
6=[
0 0
0 0
]
• Nao e valida a lei do corte
AX = AY , com A 6= O ⇒ X = Y
no caso de multiplicacao de matrizes.
Exemplo 14: A =
[
1 1
1 1
]
, B =
[
1
2
]
e C =
[
2
1
]
AB =
[
1 1
1 1
] [
1
2
]
=
[
3
3
]
=
[
1 1
1 1
][
2
1
]
= AC
e
B =
[
1
2
]
6=[
2
1
]
= C.
3.4. Resolucao de Sistemas de Equacoes Lineares
3.4.1. Matrizes em Escada
Definicao 13 Uma matriz em escada de linhas e uma matriz tal que,
por baixo do primeiro elemento nao nulo de cada linha, e por baixo dos elementos
anteriores da mesma linha, todas as entradas sao nulas.
Numa matriz em escada de linhas, chama-se pivot ao primeiro elemento nao
nulo de cada linha.
12
Exemplo 15:
• A =
1 2 3 4 5
0 0 −1 2 −3
0 0 0 1 2
- matriz em escada com pivots 1, -1 e 1.
• B =
1 2 3
0 −3 5
0 0 5
- matriz em escada com pivots 1, -3 e 5.
• C =
1 2 3 4
0 0 2 5
0 0 4 6
0 0 0 0
nao e uma matriz em escada.
3.4.2. Eliminacao de Gauss
Definicao 14 Dada uma matriz, designam-se por operacoes elementares
sobre linhas, as seguintes transformacoes:
• Troca de duas linhas i e j (Li ↔ Lj);
• Multiplicacao de uma linha i por um numero α diferente de zero (αLi);
• Substituicao de uma linha j pela que se obtem adicionando-lhe o produto de
outra linha i por um numero real α (Lj + αLi).
Nota: De forma analoga se definem as operacoes elementares
sobre colunas e representam-se por Ci ↔ Cj, αCi e Lj + αLi.
13
Exercıcio 3: Identifique as operacoes elementares efectuadas em cada caso:
3.1.
[
−1 3
2 0
]
→[
3 −1
0 2
]
3.2.
[
4 −3
−1 1
]
→[
4 −3
0 14
]
3.3.
4 2 0
2 0 −1
−6 0 6
→
1 12
0
2 0 −1
0 0 3
Definicao 15 A condensacao ou eliminacao de Gauss de uma matriz
consiste em efectuar operacoes elementares sobre linhas e/ou colunas de modo a
transformar a matriz dada numa matriz em escada de linhas.
Exercıcio 4: Utilize a eliminacao de Gauss para transformar as matrizes
seguintes em matrizes em escada:
4.1.
1 2 0 1
2 0 1 3
−1 1 0 2
4.2.
0 2 3 −1 4
1 −1 2 3 0
−3 1 1 2 1
3.4.3. Caracterıstica de uma Matriz
Chama-se caracterıstica de A, e denota-se por car(A), ao numero de linhas
nao nulas da matriz em escada de linhas que se obtem de A atraves da sua
condensacao.
14
Em sıntese temos:
A =
a11 a12 ... a1k ... a1n
a21 a22 ... a2k ... a2n
... ... ... ... ... ...
ak1 ak2 ... akk ... akn
... ... ... ... ... ...
am1 am2 ... amj ... amn
−→O.E.
a11 a12 ... a1k ... a1n
0 a22 ... a2k ... a2n
... ... ... ... ... ...
0 0 ... akk ... akn
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
⇒ car(a) = k
Nota: Como e obvio, car(A) ≤ min{m, n}.
Exemplo 16: Calcule a caracterıstica das seguintes matrizes:
• A =
1 0 1
2 3 1
−1 −3 2
−−−−−−−→L2 − 2L1
L3 + L1
1 0 1
0 3 −1
0 −3 3
−−−−−→L3 + L2
→
1 0 1
0 3 −1
0 0 2
⇒ car(A) = 3
• B =
0 −1 2
1 1 0
2 2 0
3 3 0
−−−−−→L1 ↔ L2
1 1 0
0 −1 2
2 2 0
3 3 0
−−−−−−−→L3 − 2L1
L4 − 3L1
→
1 1 0
0 −1 2
0 0 0
0 0 0
⇒ car(B) = 2
15
Exercıcio 5: Calcule a caracterıstica da matriz
0 1 −1
2 1 2
−1 −1 −1
−1 0 1
2 3 2
.
Definicao 16 Uma matriz A quadrada de ordem n diz-se singular se
car(A) < n.
Exercıcio 6: Verifique se a matriz
0 2 3
1 −1 2
−3 1 1
e singular.
3.4.4. Algoritmo de Gauss
Consideremos um sistema de m equacoes lineares a n incognitas:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
⇔
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1 am2 ... amn
x1
x2
...
xn
=
b1
b2
...
bm
⇔ AX = b
Na resolucao de sistemas de equacoes lineares vamos considerar a matriz am-
pliada [A|b] , onde A e a matriz dos coeficientes do sistema, x e a matriz das
incognitas e b e a matriz dos termos independentes.
Algoritmo de Gauss: Ao proceder a eliminacao de Gauss da matriz ampliada
[A|b] (efectuando operacoes elementares sobre linhas e/ou troca de colunas), de
modo a obtermos uma matriz em escada de linhas, ficamos com um novo sistema
de equacoes de mais simples resolucao.
16
[A|b] =
a11 a12 ... a1k ... a1n b1
a21 a22 ... a2k ... a2n b2
... ... ... ... ... ... ...
ak1 ak2 ... akk ... akn bk
... ... ... ... ... ... ...
am1 am2 ... amj ... amn bm
−−→O.E.
a11 a12 ... a1k ... a1n b1
0 a22 ... a2k ... a2n b2
... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... akk ... akn bk
0 0 0 0 0 0 ...
0 0 0 0 0 0 bm
3.4.5. Classificacao de sistemas
O sistema Ax = b de m equacoes a n incognitas, pode ser classificado da
seguinte forma:
• Se car(A) = car([A|b]) = n, o sistema e possıvel determinado
• Se car(A) = car([A|b]) < n, o sistema e possıvel indeterminado
• Se car(A) < car([A|b]), o sistema e impossıvel.
Exercıcio 7: Classifique e resolva, quando possıvel, os seguintes sistemas u-
sando o algoritmo de Gauss.
7.1.
x + y + 2z = 7
x − 2y − 3z = 1
x − y + z = 0
7.2.
x1 + 2x2 + x3 = 1
−x1 − 2x2 = 5
−2x1 − 4x2 − 2x3 = 1
7.3.
x1 + x2 + x3 = 1
−x1 + x2 − x3 = −1
2x1 + 2x3 = 2
17
INSTITUTO POLITECNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU
Departamento Matematica Disciplina Matematica I
Curso Gestao de Empresas Ano 1o
Ano Lectivo 2007/2008 Semestre 1o
Caderno de Exercıcios: Matrizes e Sistemas de Equacoes Lineares
Autores:
Maria Cristina Peixoto Matos
Nuno Conceicao
Joana Fialho
Paula Sarabando
18
1. Considere as matrizes
A =
1 2 3
0 3 1
1 2 2
e B =
−1 0 −1
2 1 1
1 2 0
.
Calcule a matriz 2(A + B) − AB.
2. Considere A =
[
−1 0 1
2 1 −1
]
, B =
[
3
−1
]
e C =
[
1
1
]
.
Calcule (BT A + CT A)T .
3. Calcule os produtos AB e BA, quando definidos, nos seguintes casos:
a)A =
1 2 −1
2 0 2
3 1 3
e B =
2 1
0 3
4 2
b) A =
[
1 0 −1]
e B =
3
2
1
c) A =
1 2 −2
−2 1 2
−2 −4 4
e B =
6 3 2
2 1 2/3
5 5/2 5/3
4. Considere as matrizes
A =
1 −3 2
2 1 −3
4 −3 −1
, B =
1 4 1 0
2 1 1 1
1 −2 1 2
, C =
2 1 −1 1
3 −2 −1 2
2 −5 −1 3
e D =
2
1
0
1
.
Verifique que AB = AC e BD = CD.
5. Considere as matrizes A =
[
1 0 1
−1 1 1
]
, B =
[
1 1
1 −1
]
, C =
[
1
2
]
, D =
1 0
0 1
1 1
.
Escolha uma maneira de as ordenar de tal modo que o produto das quatro matrizes esteja definido e calcule
esse produto.
6. Mostre que se os produtos AB e BA estao ambos definidos e A e do tipo m × n, entao B e do tipo n × m.
7. Calcule:
(a)
2 0 1
1 1 1
0 3 2
2
; (b)
[
3 2
−4 −2
]5
; (c)
[
1 1
0 −1
]k
; (d)
[
2 −1
3 −2
]k
.
19
8. Considere que a ESTV, no ano lectivo de 2006/2007, comeca uma nova licenciatura, com numeros clausus
de 100 alunos por ano, e duracao de tres anos. Considere que, em cada ano lectivo, 70% dos estudantes
transitam de ano (ou terminam o curso caso estejam no 3o ano), e 30% ficam retidos no mesmo ano.
Representemos por um vector estado,
Xk =
xk1
xk2
xk3
,
os alunos que frequentam a licenciatura no ano lectivo k, divididos por ano escolar (assim, por exemplo, o
numero xk2 representa o numero de alunos que frequentam o segundo ano no ano lectivo k).
Tomemos k = 0 para representar o ano lectivo 2006/2007, em que a licenciatura arranca. Temos
X0 =
100
0
0
.
(a) Encontre uma matriz A, 3×3, tal que, Xk+1 = X0 +AXk (isto e, somando os alunos novos ao resultado
de multiplicar A pelo vector estado de um determinado ano lectivo, obtemos o vector estado do ano
lectivo seguinte).
(b) Escreva a formula da alınea anterior, que permite obter o vector estado para determinado ano lectivo n,
mas sem ser por recorrencia, ou seja, uma formula em funcao de X0 e das potencias de A.
(c) Em Agosto de 2009/2010, quantos alunos tem o diploma desta nova licenciatura?
9. (a) Verifique que as identidades algebricas
(A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2, (AB)2 = A2B2, (A + B)(A − B) = A2 − B2
nem sempre sao verdadeiras quando A e B sao matrizes.
Considere, por exemplo, os casos seguintes:
(a) A =
[
1 −1
0 2
]
, B =
[
1 0
1 2
]
; (b) A =
[
2 0
−1 1
]
, B =
[
1 0
3 4
]
.
(b) Transforme os segundos membros das identidades anteriores de forma a obter identidades sempre validas
para A e B matrizes quadradas quaisquer da mesma ordem.
10. Em cada uma das alıneas de exemplo de matrizes reais 2 × 2 com a propriedade indicada:
(a) A2 = −I; (b) A2 = 0, sendo A nao nula;
(c) AB = 0, nao tendo A nem B nenhum elemento nulo.
20
11. Foi feito um estudo com o objectivo de detectar que parte do rendimento destinam os indivıduos para a sua
formacao e informacao. O preco de revistas, livros, jornais e cd’s e dado respectivamente pelo seguinte vector
[50 220 45 600] (em unidades monetarias. Em tres grupos seleccionados (A, B e C) verificou-se que o consumo
dos quatro produtos era o seguinte:
R L J CD
A 2 1 3 0
B 4 3 2 1
C 2 3 5 1
Utilize o calculo matricial para determinar a despesa de cada um dos grupos.
12. Uma companhia de navegacao tem tres tipos de recipientes A, B e C e carrega cargas em contentores de tres
tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes sao dadas pela matriz:
I II III
A 4 3 2
B 5 2 3
C 2 2 3
Utilizando a teoria das matrizes determine o numero de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C,
se a companhia deve transportar 42 contentores do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III.
13. As firmas A, B e C partilham o mercado de um certo produto. Cada uma detem a seguinte quota de marcado:
A detem 20% do mercado, B detem 60% do mercado e C detem 20% do mercado.
No ano seguinte ocorreram as seguintes alteracoes:
A mantem 80% dos clientes, perde 10% para B e 10% para C;
B mantem 40% dos clientes, perde 10% para A e 50% para C;
C mantem 70% dos clientes, perde 20% para A e 10% para B.
Associando o numero 1 a firma A, 2 a firma B e 3 a firma C determine a matriz de transicao, T, definida
da seguinte forma:
T = [tij ], i,j=1,2,3 com
tij = percentagem de clientes da firma j, que se tornam clientes da firma i no proximo ano.
Com a mesma associacao de valores as firmas, determine a matriz coluna, s, designada por matriz quota de
mercado, que se caracteriza por ter todas as componentes positivas e soma igual a 1:
si1= percentagem de mercado inicial que a firma i detem.
Depois de determinadas ambas as matrizes, calcule Ts. Verifique tratar-se de uma matriz coluna de quotas
de mercado e interprete o resultado. Justifique.
21
14. Resolva e classifique os seguintes sistemas de variaveis reais usando o metodo de eliminacao de Gauss.
(a)
2x1 − x2 + 3x3 = 8
−3x1 + 2x2 + x3 = −7
−2x1 + x2 + 2x3 = −3
(b)
x1 + x2 + x3 = 0
x1 + 2x2 + 3x3 = 0
3x1 + 5x2 + 7x3 = 1
(c)
x1 − x2 − 3x3 + 4x4 = 1
x1 + x2 + x3 + 2x4 = −1
−x2 − 2x3 + x4 = 1
(d)
−x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 1
2x1 − 3x2 − x3 + 2x4 = 7
x1 − 5x2 + 2x3 − x4 = −4
(e)
2x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 0
3x1 − x2 + 2x3 − 7x4 = 0
4x1 + x2 − 3x3 + 6x4 = 0
x1 − 2x2 + 4x3 − 7x4 = 0
(f)
−x1 + x2 + x3 = 2
2x1 + 2x2 + 8x3 = 16
x1 + x3 = 3
−x1 − 2x2 = −13
(g)
x1 + x2 = 1
x1 + x2 + x3 = 4
x2 + x3 + x4 = −3
x3 + x4 + x5 = 2
x4 + x5 = −1
(h)
x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 + 2x5 = −2
x1 + 2x2 − x3 − x5 = −3
x1 − x2 + 2x3 − 3x4 = 10
x2 − x3 + x4 − 2x5 = −5
2x1 + 3x2 − x3 + x4 + 4x5 = 1
15. (a) Usando o metodo de eliminacao de Gauss encontre a parabola f(x) = ax2 + bx + c que passa pelos
pontos (1,4), (2,7) e (3,4).
(b) Verifique, usando derivadas, que a parabola referida na alınea anterior tem o vertice em (2,7).
(c) Faca um esboco para uma possıvel funcao l(x) tal que l′(x) = f(x).
16. Determine os valores de α para os quais o sistema
{
αx + y = 1
x + αy = 1
(a) nao tem solucao; (b) tem uma solucao; (c) tem uma infinidade de solucoes.
17. Discuta os seguintes sistemas em funcao dos respectivos parametros
(a)
x1 + x2 + x3 = β + 1
x1 + βx2 + x3 = 1
βx1 + x2 = β + 2β2
(b)
x1 + x2 + (1 − β)x3 = β + 1
(1 + β)x1 − x2 + 2x3 = 0
2x1 − βx2 + 3x3 = β + 2
(c)
x1 + x2 + x3 = 0
βx1 + x2 + βx3 = γ
x1 + γx3 = β
(d)
x1 + 2x2 + x3 = 5
βx1 − x2 + 3x3 = 6
2x1 + x2 − x3 = γ
22
(e)
x + z + 2v = 1
2x + 3y + 2z + 3w + αv = 0
y + w + v = −γ
−2x + y − 2z + w + βv = −2
(f)
x + y + z + w = 1
2x + 2y + 4z − 2w = 0
−x − y + z + αw = β
x + y + 3z − 3w = γ
18. (Exame Epoca Especial, 2006-2007)
Considere o sistema Ax = b com A =
1 0 α
1 α α + γ
1 0 2α
, b =
0
β + 1
β
, α, β, γ ∈ IR
(a) Discuta o sistema em funcao dos parametros considerados.
(b) Considere α = −1, β = 0, e γ = 2.
Resolva o sistema anterior atraves do metodo de Gauss.
19. Determine um sistema A× = b com duas equacoes e tres incognitas cuja solucao geral seja
× =
1
1
0
+ α
1
2
1
.
20. Considere o seguinte sistema AX = B de equacoes lineares com parametros reais a, b:
1 a a + 1
0 a − 1 2a
2 2 2
.
x
y
z
=
b
1
0
.
(a) Seja Y = [1 4 − 5]T . Calcule A.Y e diga, justificando, os valores dos parametros a, b para os quais
Y e solucao do sistema.
(b) Classifique o sistema para todos os valores reais dos parametros a, b.
(c) Resolva o sistema quando a = 2 e b = 0.
21. Determine um sistema A× = b com tres equacoes e tres incognitas cuja solucao geral seja a mesma do
exercıcio anterior e que nao tenha solucao quando b1 + b2 6= b3.
22. Determine todas as matrizes permutaveis com A, sendo:
(a) A =
[
1 2
−1 −1
]
; (b) A =
[
1 1
0 1
]
.
23. Uma empresa produtora de componentes para automoveis fez uma pesquisa de mercado e concluiu que para
maximizar os seus lucros deveria, apenas, passar a produzir tres produtos: pneus, volantes e “jantes”. A
diferenca entre o numero de pneus e o numero de “jantes” a produzir deve ser igual ao dobro do numero de
volantes produzido. O numero de volantes a produzir deve ser a quarta parte das “jantes” fabricadas.
Utilizando a teoria das matrizes, determine duas quantidades possıveis para cada um dos produtos que a
empresa fabrica de forma que responda as condicoes deduzidas da pesquisa de mercado.
23
24. No centro de uma cidade ha um conjunto de ruas de um so sentido e que se intersectam como na figura. O
volume de trafego que entra e sai nessa zona durante a hora de ponta e o indicado na figura. Que conclui
quanto ao volume de trafego en cada um dos 4 cruzamentos?
25. Uma empresa explora simultaneamente duas minas, A e B. Num dia de trabalho na mina A extrai 20
toneladas de cobre e 550 quilos de prata enquanto que, num dia de trabalho na mina B extrai 30 toneladas
de cobre e 500 quilos de prata.
a) Supondo que a empresa explora a mina A durante x dias e a mina B durante y dias, estabeleca um
sistema de equacoes lineares que permita determinar o numero de dias necessarios a extraccao de 190
toneladas de cobre e 4250 quilos de prata.
b) Escreva o sistema da alınea anterior na forma matricial e resolva-o utilizando o metodo de eliminacao
de Gauss.
26. Considere as matrizes Ak =
0 k 0
1 0 k
1 −1 0
e bn =
0
0
n
a) Discuta em funcao dos parametros k e n o sistema Akx = bn
b) Determine, se possıvel, uma matriz D tal que:
i) A0D − 2I3 = A1
ii) A0D seja uma matriz simetrica
iii) A0D seja uma matriz triangular inferior
iv) A0D seja uma matriz diagonal
27. Indique, justificando, qual o valor logico das seguintes afirmacoes:
a) Se A ∈ M3×4(IR) e B ∈ M4×3(IR) entao e possıvel efectuar os produtos AB e BA mas AB 6= BA.
b) A matriz
[
0 −1
1 0
]
e ortogonal.
c) Todo o sistema homogeneo e possıvel.
24
d) O produto de matrizes ortogonais e ainda ortogonal.
e) Todo o sistema de n equacoes e n incognitas cuja caracterıstica da matriz dos coeficientes e igual ao
numero de equacoes do sistema e sempre possıvel determinado.
f) Se A ∈ Mn×n(IR) e x e y sao matrizes n × 1 entao a igualdade Ax = Ay =⇒ x = y
28. Sabendo que A(0, 10), B(1, 7), C(3,−11) e D(4,−14), determine os coeficientes a, b, c, e d de modo que a
figura abaixo possa representar o grafico da funcao y = ax3 + bx2 + cx + d,
10
−10
−20
1 2 3 4 5−1−2
y
x
y = f(x)A
B
C
D
25
