INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃOAula 03 – Matemática II

Agronomia

Prof. Danilene Donin Berticelli

A maioria das funções que aparecem em aplicações práticas podeser derivada usando regras e fórmulas como as que foram vistas noestudo das Derivadas na Matemática I.

A integração, por outro lado, é mais uma arte que uma ciência emuitas integrais aparentemente simples podem exigir o uso demétodos especiais ou artifícios apropriados.

POR EXEMPLO

Determinar 𝑥7𝑑𝑥

Determinar (3𝑥 + 5)7𝑑𝑥

• expandir o integrando (3𝑥 + 5)7

• Usar a regra da substituição e

fazer uma mudança de

variável.

USANDO A REGRA DA SUBSTITUIÇÃO

(3𝑥 + 5)7𝑑𝑥𝑢 = 3𝑥 + 5

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 3

𝑑𝑢 = 3𝑑𝑥 𝑑𝑥 =1

3𝑑𝑢

(3𝑥 + 5)7𝑑𝑥 𝑢7𝑑𝑥 𝑢7(1

3𝑑𝑢)

1

3 𝑢7𝑑𝑢

Podemos verificar que o cálculo está corretoderivando a expressão com o auxílio da regra dacadeia.

USO DA SUBSTITUIÇÃO PARA INTEGRAR 𝑓 𝑥 𝑑𝑥O método de mudança de variável é chamado de integração por substituição e pode serencarado como o inverso da regra da cadeia para a derivação.

Escolha uma substituição 𝑢 = 𝑢(𝑥) que “simplifique” o integrando f(x).

Expresse toda integral em termos de 𝑢 e 𝑑𝑢 = 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑥. Isto significa que todos os termos que envolvem 𝑥 e 𝑑𝑥 devem ser transformados em termos que envolvem 𝑢

e 𝑑𝑢.

Depois de executado o 2º passo, a integral deve estar na forma

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑢 𝑑𝑢. Se possível, calcule o valor desta integral transformada determinando uma antiderivada 𝐺(𝑢) de 𝑔(𝑢).

Substitua 𝑢 por 𝑢(𝑥) em 𝐺(𝑢) para obter uma antiderivada de 𝐺(𝑢(𝑥)) para 𝑓(𝑥), de modo que 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐺 𝑢 𝑥 + 𝐶

Já diz o velho ditado:

“O primeiro passo para fazer um

ensopado de coelho é arranjar o coelho”.

“O PRIMEIRO PASSO PARA INTEGRAR POR SUBSTITUIÇÃO É DESCOBRIR UMA MUDANÇA DE VARIÁVEL 𝑢 =𝑢(𝑥) QUE SIMPLIFIQUE O INTEGRANDO DA INTEGRAL DADA, 𝑓(𝑥) , SEM COMPLICA-LO EXCESSIVAMENTEQUANDO 𝑑𝑥 É SUBSTITUÍDO POR 𝑑𝑢 = 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑥.

1. Se possível, escolha u de tal forma que u’(x) seja parte do integrando f(x).

2. Procure escolher u como a parte do integrando que torna a função f(x) difícil de integrardiretamente, como um radicando, um denominador ou um expoente.

3. Não exagere nas substituições. Em nosso exemplo introdutório, (3𝑥 + 5)7𝑑𝑥 , um errocompreensível consiste em fazer 𝑢 = (3𝑥 + 5)7. Isto certamente simplifica o integrando, mas nessecaso 𝑑𝑢 = 7 3𝑥 + 5 6 3 𝑑𝑥 e ficaríamos com uma integral transformada que é mais difícil deresolver que a original.

4. Não desista. Se a substituição que você experimentou não

resultar em uma integral fácil de resolver, use uma substituição

diferente.

EXEMPLOS

1) Determine 2𝑥 + 7𝑑𝑥

2) Determine 8𝑥(4𝑥2 − 3)5𝑑𝑥

3) Determine 𝑥³𝑒𝑥4+2𝑑𝑥

4) Determine 𝑥

𝑥−1𝑑𝑥

5) Determine 3𝑥+6

2𝑥2+8𝑥+3𝑑𝑥

6) Determine (𝑙𝑛𝑥)²

𝑥𝑑𝑥

Observação:

Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥

A Derivada 𝑓´ 𝑥 =𝑥′

𝑥

7) Determine 𝑒5𝑥+2𝑑𝑥

8) Determine 𝑥2+3𝑥+5

𝑥+1𝑑𝑥

A substituição em sempre

funciona!

Determine 𝑥4𝑒𝑥4+2 𝑑𝑥

PROBLEMAA taxa de variação do preço unitário p (em reais) de um produto é dada por:

𝑑𝑝

𝑑𝑥=−135𝑥

9+𝑥²

Onde x é a demanda do produto (número de unidades vendidas) em centenas de unidades. Suponha que a demanda seja de 400 unidades (x = 4) para um preço de R$ 30,00 a unidade.

a) Determine a função da demanda p(x).

b) Para que preço a demanda é de 300 unidades? Para que preço a demanda ézero?

c) Qual é a demanda para um preço unitário de R$ 20,00?