Integrais de Funes Trigonomtricas
Para resolver muitas integrais envolvendo funes trigonomtricas
basta utilizar convenientemente as identidades que essas funes
satisfazem.
;
Integrais de Funes Racionais em Seno e Cosseno
Muitas integrais de funes trigonomtricas identificadas como
funes racionais de seno e cosseno podem ser integradas atravs da
substituio:
Donde;
Essa substituio transforma uma funo racional em seno e cosseno
numa funo racional simples, cuja integral pode ser calculada pelo
mtodo das fraes parciais. Portanto, esse mtodo permite calcular
todas as integrais de funes racionais em seno e cosseno, embora
para alguns casos no seja mtodo mais eficiente!
Prova das relaes definidas pela substituio Se , ento:
e
Agora, a relao entre as diferenciais:
donde
Frmulas de Recorrncia
Algumas integrais podem ser expressas por frmulas de recorrncia,
que nesses casos so regras indutivas exprimindo o resultado de uma
integral em termos de outra integral. Em geral, as frmulas de
recorrncia so deduzidas para integrais cujos integrandos possuem
potncias inteiras de funes bsicas.
Deduza a frmula de recorrncia
Outras integrais podem se expressas em termos de frmulas no
recorrentes, mas que indicam um caminho de resoluo:,
As integrais
As integrais indefinidas da funo seno e da funo cosseno esto
indicadas na tabela. Temos: e
As integrais
As integrais indefinidas da funo tangente e da funo cotangente
so resolvidasusando o mtodo da substituio. Temos:
e
As integrais Nestas integrais usamos um artificio de calculo
para podermos aplicar o mtodo da substituio. Na integral da
secante, multiplicamos e dividimos o integrando por Temos:
Fazemos Ento, Portanto,
Na integral da cossecante, multiplicamos e dividimos o
integrando por Temos:
Fazemos Ento, Portanto,
Exemplo 1
Exemplo 2
Observao:
De modo geral, na integral.
Onde m e n so inteiros e pelo menos um deles mpar, digamos m
mpar, tomamos m = 2p +1 e
Com a substituio, obtemos uma integral de funo racional em
t.
Exemplo 3(i) Usando o mtodo da substituio, fazemos Ento,
(ii) Vamos primeiro, encontrar a integral indefinida.
Para isso, fazemos a substituio .Temos ento, dx. Portanto:
Logo, pelo Teorema Fundamental do Calculo, temos:
Exemplo 4
A = 1/2, B = -1/2, C = 1/2
Exemplo 5.1
cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) = cos2(x) - (1- cos2(x))(I)
Exemplo 5.2
cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) =(1 - sen2(x)) - sen2(x)(II)
Observao:De modo geral, na integral.
Onde m e n so inteiros no negativos e ambos pares usaram as
frmulas (I) e (II).
