Revisão de Pré-Cálculo

INTERVALOS, INEQUAÇÕES

E MÓDULO

Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni

Departamento de Matemática, FEG, UNESP

Lc. Ismael Soares Madureira Júnior

Guaratinguetá, SP, outubro 2016 Direitos reservados. Permitida a reprodução desde que citada a fonte.

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A Reta RealPara cada ponto da reta real corresponde um número real. A origem corresponde o número real zero, 0. Números positivos estão à direita da origem e números negativos, à esquerda, como mostrados na figura

Ordem dos números reais - DesigualdadesSejam a e b dois números reais quaisquer. Símbolo Definição Geometria da Reta a<b a – b é negativo a está à esquerda de b a≤b a – b é negativo ou zero a está à esquerda de b ou coincide com b De maneira similar se define > (maior que) e ≥ (maior ou igual a)

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Intervalos da Reta

Intervalos são subconjuntos dos números reais (segmentos de reta).

Sejam a e b números reais.

Notação Desigualdade Tipo de Intervalo

● [ a, b ] a ≤ x ≤ b Fechado

● ( a, b ) a < x < b Aberto

a e b são ditas as extremidades do intervalo (limitado).

De maneira similar se define [a, b) e (a, b].

Desenho no próximo slide.

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Dupla Desigualdade - observações

a ≤ x ≤ b equivale a a ≤ x e x ≤ b

(ambas as condições devem ser satisfeitas)

● Não se usa o sinal de > ou ≥ em duplas desigualdades

como por exemplo a ≤ x ≥ b ou ainda a ≥ x ≤ b.

● Observe que a ≥ x ≥ b equivale a b ≤ x ≤ a

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Intervalos não limitados - Semiretas

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Notação Desigualdade

( a,+ ∞) x > a

(- ∞, b) x < b

De maneira análoga se define [a, + ∞ ) e ( - ∞ , a].

O símbolo para infinito ∞ (não é um número real) tem por significado que o valor (em módulo) pode ser arbitrariamente grande (tão grande quanto se queira).

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Conjuntos, Relações e Operações

Sejam A e B dois conjuntos.

Notação Leitura Equivalente

A c B A está contido em B x ε A => x ε B

A U B união de A e B x ε A ou x ε B

A ∩ B interseção de A e B x ε A e x ε B●

● Dois conjuntos são disjuntos se A ∩ B = Ø

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Desigualdades – Propriedades

● Regra dos sinais

se a.b < 0 então a e b têm sinais contrários.

se a.b > 0 então a e b têm o mesmo sinal.

O mesmo vale para o quociente a/b.

● Sejam a, b e r números reais positivos.

a < b se e somente se a^r < b^r.

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Desigualdades - Propriedades

Sejam u, v, w, z e c números reais, variáveis ou expressões algébricas.

1. Transitiva Se u < v e v < w então u < w

2. Adição u < v se e somente se u + w < v + w. Se u < v e w < z então u + w < v + z

3. Multiplicação Se c >0 então u < v <=> u.c < v.c Se c < 0 então u < v <=> u.c > v.c

As propriedades acima são verdadeiras se o símbolo < é substituído por ≤. Existem propriedades similares para > e ≥.

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Inequação Linear

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Dados a (a ≠ 0) e b números reais, resolva para x (incógnita)

a.x + b < 0

Resolução passo a passo

1. Some -b a desigualdade: a.x < - b2. Divida por a considerando um dos dois casos2.1 se a > 0: x < - b/a2.2 se a < 0: x > b/a

Inequação poderia ter sido formulada com >, ≤ ou ≥.

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Inequação Quadrática

Dados a (a ≠ 0), b e c números reais, resolva para x (incógnita)

Obs: alunos provavelmente vão resolver de forma gráfica, esboçando o gráfico

da parábola e determinando os intervalos onde ela é negativa.

Método do Varal

1o Passo: Fatore a expressão

2o Passo: monte o diagrama para análise de sinal (varal).

a.x2+b.x+c<0

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Inequação Quadrática

Exemplo: considere que a equação

tem duas raízes reais e distintas indicadas por r1 e r2.

Fatoração da expressão:

Diagrama de sinais (varal) considerando a > 0 (e r1 < r2).

a.x2+b.x+c=0

a.x2+b.x+c = a.(x−r1)(x−r2)

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Inequação Polinomial

i) Resolução alternativa: testar os valores da expressão em cada intervalo

x < r1, r1 < x < r2, x > r2.

Teorema (permanência do sinal): se um polinômio não tem raiz em um intervalo, então o sinal do polinômio é o mesmo em todos os pontos do intervalo.

ii) o método do varal (e também o teste de valores) pode ser usado para resolver uma inequação polinomial de grau >= 2 (desde que se consiga fatorar o polinômio).

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Exercícios

1) Considere os pontos a e b da reta real, a < b.

a) Determine o ponto médio do segmento [a, b].

b) Determine os pontos que dividem este segmento em 3 partes iguais.

2) Determine todos os pontos cuja distância ao ponto 2 é igual ou menor que 4.

3) Mostre que se 0 < a < b então a² < b².

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Inequações – Exercícios

1) Resolva as seguintes inequações

a) x (x -1) > 0. b) 1 – x ≤ 2 x².

c) 2 x² + x < 3. d) x² + x + 1 < 0.

e) x³ – x² – 2x < 0. f) x³ – x² – x + 1 < 0.

g) x³ – 6x – 4 > 0. h) x⁴ < x².

● Veja também o exemplo do Simmons, cap. 1, seção 2: x³ > x.

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Exercícios

2) Para cada item, determine os valores de x para que a expressão seja positiva.

a) b)

3) Resolva a inequação

4) Para quais valores de x a expressão está definida (é um número real)

a) b)

x+1x−3

.x

x2−4

.

x2

< 1 +4x

.

√ x ² − x − 12 .√4 − x ² .

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Módulo (ou valor absoluto)

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O módulo de um número real a é definido por

0

0

asea

aseaa

Observações: • |a| ≥ 0 e |a| = 0 se e somente se a = 0.

• |a – b| é igual a distância entre os pontos a e b da reta.

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Módulos e desigualdades

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Seja u uma expressão algébricas e a um número real

com a≥0.

1. I u I < a se e somente se –a < u < a

São os pontos u cuja distância a origem é menor que a

2. I u I > a se e somente se u < -a ou u > a.

São os pontos u cuja distância a origem é maior que a.

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Vizinhança de um ponto a

● Intervalo aberto de centro a e raio r:

( a – r, a + r) ou a – r < x < a + r ou | x – a | < r

São os pontos cuja distância ao ponto a é menor que r.

● De maneira similar pode-se definir vizinhança fechada de um ponto, vizinhança à esquerda e vizinhança a direita.

● Vizinhança própria: x ≠ a.

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Módulos - Exercícios do Simmonscapítulo 1, seção 2

Exercício b resolvido em sala de aula.