Introdução a Geometria

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDEPrograma de Ps-Graduao em Matemtica

Mestrado Profissional - PROFMAT/CCT/UFCG

INTRODUO GEOMETRIA: UM NOVO ENFOQUE DEENSINO E APRENDIZAGEM

Sandro da Silva Lima

Trabalho de Concluso de Curso

Orientador: Prof. Dr. Jaime Alves Barbosa Sobrinho

Campina Grande - PBAgosto/2013

FICHA CATALOGRFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA UFCG.

L732i Lima, Sandro da Silva

Introduo Geometria: Um novo enfoque de Ensinoe Aprendizagem / Sandro da Silva Lima - Campina Grande, 2013.

79f. : il. color.

Trabalho de Concluso de Curso (Mestrado Profissionalem Matemtica) - Universidade Federal de Campina Grande, Centro deCincias e Tecnologia, 2013.

Orientao: Jaime Alves Barbosa Sobrinho.Referncias.

1. Ensino e Aprendizagem em Matemtica 2. Geometria Bsica3. Softwares Educativos de Matemtica. I. Barbosa Sobrinho, JaimeAlves II. Ttulo.

CDU-514:37.026(043)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDEPrograma de Ps-Graduao em Matemtica

Mestrado Profissional - PROFMAT/CCT/UFCG


por


Trabalho Concluso de Curso apresentado ao Corpo Docente doPrograma de Ps-Graduao em Matemtica - CCT - UFCG, namodalidade Mestrado Profissional, como requisito parcial paraobteno do ttulo de Mestre em Matemtica.

Bolsista CAPES


por


Trabalho de Concluso de curso apresentado ao Corpo Docente do Programa de Ps-Graduaoem Matemtica - CCT - UFCG, modalidade Mestrado Profissional, como requisito parcial para ob-teno do ttulo de Mestre em Matemtica.

Aprovado por:

Universidade Federal de Campina GrandeCentro de Cincias e Tecnologia

Unidade Acadmica de MatemticaCurso de Mestrado Profissional em Matemtica em Rede Nacional

Agosto/2013

Dedicatria

s minhas filhas Emilly e Gabrielly,aos meus pais Severino Incio e Luzi-nete da Silva, e toda minha famlia, atodos que acreditaram e confiaram emmim. Quem presta ateno no que lheensinam ter sucesso; quem confia noSENHOR ser feliz. Pv.16:20.

v

Agradecimentos

Primeiramente a Deus, pois Ele est acima de todas as coisas. Agradeo por Ele ter me dadoa vida; uma famlia, um lar, sade. Agradeo por Ele ter me dado a oportunidade de ingressar nesseprograma, por ter dado inteligncia suficiente para aprender e ensinar, por est sempre me guiando eajudando a superar as dificuldades no caminho, me mantendo acordado nas madrugadas no preparopara as avaliaes, pois sem Deus nada sou.

Aos meus pais, por tudo que fizeram por mim.

s minhas filhas Emilly e Gabrielly, meus tesouros, minhas maiores motivaes, que oraramquando eu estava preocupado com as provas.

A meu orientador Professor Jaime pela dedicao, pacincia e orientaes, primordiais para odesenvolvimento e concluso deste Trabalho de Concluso de Curso.

UFCG e todo seu Corpo Docente que participou do Programa PROFMAT e contribuiu imen-samente para o engrandecimento e fortalecimento dos meus conhecimentos e Andrezza por todosseus atendimentos realizados durante o curso.

Ao Coordenador e Professor Aparecido por todo apoio e incentivo, por suas observaes, su-gestes e correes referente ao TCC, e por ter abraado e se comprometido com esse programa.

Banca Examinadora, em especial ao Professor Aldo Trajano Lourdo (UEPB) por toda ajudae observaes que melhoram significativamente esse Trabalho de Concluso de Curso.

Meu muito obrigado a todos os colegas da turma 2011, especialmente Marcos Vinicius e MrioAndr pelo companheirismo e amizade, pela ajuda nos estudos e apoio moral.

s Escolas Estaduais Nina Alves e Solon de Lucena, especialmente s diretoras Maria Mar-garida e Vernica Feitosa por conceder horrios flexveis e apoiar-me em tudo para que eu obtivessexito no mestrado, e Escola Municipal Franco Ribeiro, pelas liberaes concedidas para conclusodesse TCC.

Por fim, agradeo Sociedade Brasileira da Matemtica - SBM pelo oferecimento deste Cursoem Rede Nacional e CAPES pela concesso da bolsa.

vi

Resumo

Neste trabalho apresenta-se uma proposta de ensino com intuito de introduzir a geometria funda-mental de uma forma diferente da tradicional e usual, feita por professores nos primeiros anos doEnsino Fundamental II. Esta proposta inicia-se com alguns fatos histricos, citando alguns matem-ticos que surgem naturalmente no desenvolvimento de alguns dos principais conceitos geomtricos.Apresentam-se os principais tpicos e conceitos de geometria plana e espacial de forma introdu-tria (sem demonstraes). O principal enfoque sero atividades prticas de sala de aula, em quetrabalha-se contedos de geometria bsica, buscando facilitar a compreenso por parte dos alunos.As principais ferramentas que utiliza-se, para provocar um ambiente de geometria dinmico, na abor-dagem dos contedos trabalhados, so os softwares SketchUp e Uma Pletora de Poliedros.

Palavras Chaves: Ensino e Aprendizagem em Matemtica. Geometria Bsica. Softwares Educativosde Matemtica.

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Abstract

This dissertation presents a teaching proposal aiming to introduce the fundamental geometry in a dif-ferent way from traditional and customary, made by teachers in the early years of elementary schoolII. This proposal begins with some historical facts, citing some mathematicians that arise naturallyin the development of some basic geometric concepts. It is Presented the main topics and conceptsof plane geometry and space, in an introductory way (without proofs). The main focus are prac-tical activities, in classroom, working up the contents of the basic geometry, seeking to facilitateunderstanding by students. The main tools that is used to trigger a dynamic geometry environment,in the addressing the contents worked, are the softwares SketchUp and Uma Pletora de Poliedros.

Keywords: Teaching and Learning in Mathematics. Basic geometry. Educational Software of Mathe-matics.

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Sumrio

1 Introduo 41.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Objetivo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Objetivos especcficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Organizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Recomendaes Metodolgicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Fatos histricos, tecnologia e curiosidades 82.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Alguns fatos histricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Grandes nomes da Matemtica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Plato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2 Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3 Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.4 Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.5 Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.6 Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.7 Eratstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Algumas Curiosidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.1 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.2 Maior slido geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.3 Altura de uma pirmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.4 Tringulo de descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.5 Relgio do Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Instrumentos de medio de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.1 Astrolbio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.2 Quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.3 Octante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5.4 Sextante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5.5 Balestilha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5.6 Teodolito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1

3 Principais conceitos e definies de geometria plana e espacial. 173.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Conceitos geomtricos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1 Posies da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.2 ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Polgono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.1 Tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.2 Permetro e semipermetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.3 Quadrilteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.4 Circunferncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.5 Polgonos regulares inscritos na circunferncia . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3.6 reas de Figuras Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.1 Poliedros de Plato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 Frmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6 Volumes de slidos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.7 Teorema de Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.8 Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.8.1 Semelhana de tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Propostas de Atividades 434.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Aspectos das atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 Atividades com o SketchUp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.1 Atividade 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.2 Atividade 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3.3 Atividade 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.4 Atividade 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.5 Atividade 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Atividades com Uma Pletora de Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4.1 Atividade 1 (exerccio de visualizao) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4.2 Atividade 2 (exerccio de contagem/frmula de Euler) . . . . . . . . . . . . 534.4.3 Atividade 3 (exerccio de contagem/frmula de Euler) . . . . . . . . . . . . 534.4.4 Atividade 4 (exerccio de contagem/frmula de Euler) . . . . . . . . . . . . 544.4.5 Atividade 5 (exerccio de contagem/frmula de Euler) . . . . . . . . . . . . 54

4.5 Atividades complementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.6 Atividades com canudinhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7 Respostas da seo 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5 Consideraes finais 69

Referncias Bibliogrficas 70

2

A Ambientes grficos e tutoriais dos softwares 74A.1 SketchUp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

A.1.1 Ambiente do SketchUp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.1.2 Tutorial do SketchUp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.2 Uma Pletora de Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.2.1 Ambiente de Uma pletora de Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

B Construo de teodolito caseiro 78B.1 Como construir um teodolito? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Captulo 1

Introduo

Motivado pelos baixos rendimentos e desinteresse dos alunos em Matemtica, componentecurricular considerada como um bicho papo por grande parte desses alunos, e por lecionar numsistema pblico de ensino tradicional defasado, desatualizado e poucas vezes eficaz, senti-me pro-vocado a propor um trabalho que inove, faa a diferena, atraia, motive e desafie os alunos, com autilizao de meios tecnolgicos e atuais que abordem os mais diversos tpicos da Geometria bsica.

Para ns professores de Matemtica, um conhecimento matemtico mais consistente impor-tantssimo, todavia as atividades dos diversos tpicos da Geometria Plana e Espacial devem contem-plar metodologias e uso de tecnologias que possam auxiliar no aprendizado, ajudando os alunos aserem tambm agentes construtores de seus prprios conhecimentos.

Sabemos que uma aula de campo muito vlida e proveitosa, mais isso nem sempre possvel,por estar um pouco fora da realidade do atual sistema pblico de ensino, mas para amenizar isto,desenvolver atividades que vivenciem situaes reais e cotidianas na sala de aula faz-se muito neces-srio, no ficando preso apenas aos contedos, frmulas e exerccios de certa forma sem propsitose contextos. Devemos levar em conta que o processo de ensino e aprendizagem, tem suas limita-es, principalmente na rede pblica em que as condies de trabalho so precrias e os recursosdisponveis so quase sempre insuficientes.

Apesar das adversidades, senti-me desafiado e motivado a ministrar minhas aulas de formamais eficaz, atingindo todos os alunos com os mais diversos nveis de conhecimento matemtico, eno apenas aos mais interessados ou privilegiados intelectualmente. Vi que para tal, teria que inovar etambm motiv-los, mas para atrair a ateno e interesse dos alunos, algo diferente teria que ser bemplanejado e executado.

Visualizao e Geometria - O VER E O OLHAR

Quando se fala de ver no se fala apenas da capacidade de olhar, essa capacidade espantosaque nos permite registrar as sensaes e percepes visuais. Ver mais do que isso. Ver ir aoencontro das coisas, a coordenao consciente dos diferentes olhares, das diferentes sensaes,das diferentes percepes, das prprias memrias que nos informam os atos e as escolhas. Ver escolher e julgar. Ver compreender.

De fato, duas pessoas, observando atentamente o mesmo objeto, tm dele uma viso diferente.

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Isto quer dizer que, embora o mecanismo da vista seja praticamente o mesmo em todas as pessoas,o juzo que elas fazem do mundo em redor difere de caso para caso. E mais: em certos casos e emcertas condies, uma mesma pessoa retira da realidade concluses visuais diversas, consoante aalterao da sua atitude psicolgica ou cultural, consoante os meios de apoio de que possa dispor,consoante o tempo que decorre entre duas anlises.

Ver portanto uma forma de compreender. um processo de formular juzos, mais ou me-nos completos, sobre as coisas. E parece reduzvel que a viso tanto mais profunda e fecundaquanto maior for o nosso conhecimento e experincia do mundo, das coisas e seres que o constituem.Em princpio, se tivermos um passado rico de experincias, rico de memrias, tanto mais alargadaser a nossa conscincia do meio envolvente e portanto, em princpio tambm, a nossa capacidadede agir e comunicar. (Adaptado de Rocha de Sousa-Coleco Textos Pr-Universitrios. M.E. )[10].

Muitos gostam, mas no sabem desenhar, e sabemos que um bom desenho ajuda num determi-nado problema, mas um desenho ruim, pode at atrapalhar na interpretao do mesmo. Diante dessaperspectiva podemos observar que na era tecnolgica, qualquer criana ou adolescente sabe mexerem celulares, tablets e/ou computadores, e todos esses aparelhos trazem jogos ou aplicativos com oobjetivo de entret-los, e vrios desses aplicativos ensinam a realizar tarefas que nunca fizemos ouno sabamos, ento por que no levar isso a uma aula de matemtica, especificamente em geometria,onde tarefas como ensinar a desenhar formas geomtricas e suas propriedades, podem serem feitascom softwares dinmicos de fcil manipulao que auxiliem na construo de desenhos e explore osmais diversos conceitos e propriedades de geometria? SketchUp e Uma pletora de Poliedros sodois dos softwares escolhidos por mim, que podem transformar o ver numa forma de compreender,num processo de formular juzos, etc., facilitando a introduo dos conceitos bsicos de geometria.Para mais, consultar [10].

O SketchUp um software desenvolvido pelo Google e possui verso bsica gratuita. bastante utilizado por projetistas, professores e estudantes. Estaremos fazendo seu uso em sala deaula, buscando explorar seus vrios conceitos geomtricos em auxlio construo de figuras comopolgonos e poliedros, fixando conceitos e propriedades da geometria plana e espacial.

O software educacional Uma Pletora de Poliedros foi desenvolvido pela UFF, gratuito,dinmico e muito fcil de manipular. Seu pacote traz definies, propriedades, vrios tipos de slidosgeomtricos, fatos histricos e curiosidades, alm de questionrios para alunos, guia do professor etutorial de utilizao, e pode ser trabalhado em modo off line.

Na minha experincia como docente, presenciei dificuldades e dvidas de alunos do EnsinoMdio tpicas de alunos das sries iniciais do Ensino Fundamental II. Essas dificuldades e dvidas,com a utilizao do software SketchUp e do software educacional Uma Pletora de Poliedros,podem ser sanadas e evitadas com uma boa base geomtrica nos anos iniciais do Ensino FundamentalII. Isso pode ser conseguido com a utilizao dessas excelentes ferramentas e com o desenvolvimentode atividades elaboradas com o intuito relatado anteriormente.

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1.1 Objetivos

1.1.1 Objetivo geral

O Uso de softwares no Ensino da Matemtica tem como principal objetivo facilitar a aprendi-zagem atendendo a necessidade de novas prticas didtico-metodolgicas e pedaggicas com o usodas mdias e tecnologias nas escolas.

1.1.2 Objetivos especcficos

Esse trabalho tem como principais objetivos, introduzir a geometria bsica nas sries iniciaisdo Ensino Fundamental II de forma mais prtica e dinmica, motivar os alunos, exercitar a visuali-zao espacial, dando condies de o aluno identificar, comparar e analisar atributos geomtricos etopolgicos dos poliedros, desenvolver o vocabulrio necessrio para descrever estes atributos, inves-tigar, formular e argumentar sobre as propriedades resultantes das operaes geomtricas aplicadasaos polgonos e poliedros.

O intuito tentar exibir maneiras mais eficazes de apresentar a geometria bsica a todos os alu-nos utilizando as Mdias como instrumento transformador e auxiliar na construo do conhecimentogeomtrico, contribuindo para o enriquecimento do ensino da matemtica. Dessa forma este trabalhotem como objetivo desenvolver uma metodologia que visa a melhoraria do ensino de geometria, sejaesse ensino introdutrio, aprofundamento ou como reviso, facilitando o aprendizado dos alunos, epara isso propomos algumas atividades tendo como suporte o software SketchUp e o software edu-cacional interativo Uma Pletora de Poliedros que permite visualizar e manipular vrios tipos depoliedros (os platnicos, os arquimedianos, os prismas, as pirmides, etc.). Vrias operaes geom-tricas esto disponveis: clculo de um slido dual [14], cortes por sees, planificao, truncamentoe estrelamento. O software educacional Uma Pletora de Poliedros tambm informa o nmero devrtices, arestas e faces de cada poliedro e sua caracterstica de Euler.

1.2 OrganizaoEste TCC est organizado da seguinte forma: Alm desta Introduo (Captulo 1), o Captulo

2 traz alguns fatos histricos importantes sobre geometria plana e espacial e nomes de matemticosque contriburam grandemente na Matemtica e nos demais campos da cincia, alm de algumas cu-riosidades que envolvem geometria. O Captulo 3 traz definies, conceitos, simbologia e algumaspropriedades da geometria plana e espacial sem demonstr-las. O Captulo 4 apresenta atividadescom exerccios simulando algumas situaes reais do cotidiano que estimulam e desenvolvem os alu-nos no aprendizado de muitos contedos de geometria plana e espacial, nesse captulo que daremosmaior nfase utilizao dos softwares abordados, pois por apresentarem modelos em trs dimen-ses, fazem com que os usurios construam, interajam e analisem os objetos e conceitos geomtricos,proporcionando uma aula de campo virtual, onde os alunos por si mesmos podem ver a importncia eaplicaes de conceitos, frmulas e teoremas de forma mais atrativa e motivante, alm de sanar suas

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dvidas no desenvolvimento e nas solues das atividades propostas, e o Captulo 5 apresenta as con-sideraes finais do trabalho. Para terminar temos as Referncias Bibliogrficas e os Apndices queapresentam breves comentrios sobre os softwares utilizados, com suas principais finalidades, seusambientes grficos, links de tutoriais sobre suas utilizaes, alm de um passo a passo da construode um teodolito caseiro.

1.3 Recomendaes Metodolgicas recomendado que este material possa ser aplicado em sala de aula em todo o Ensino Funda-

mental, e como reviso ou reforo no Ensino Mdio. Recomenda-se tambm a leitores leigos e/oucuriosos que no tenham nenhum conhecimento matemtico prvio sobre o assunto. recomendveltambm para alunos que tenham ou no, conhecimentos de Geometria Plana e Espacial, Trigonome-tria, Geometria Analtica.

O professor deve iniciar relatando brevemente alguns fatos histricos importantes sobre ge-ometria, apresentar problemas iniciais como desafio e de motivao, j que tais problemas trazemconsigo explorao dos conceitos, em seguida iniciar ou revisar conceitos bsicos de geometria planae espacial, e depois aplicar as atividades com o auxlio dos softwares, fazendo comentrios e obser-vaes importantes ao longo das correes, aps isso, aplicar atividades sem utilizao dos softwaresacompanhando seu desenvolvimento.

Anteriormente, parte desse trabalho foi aplicada como um plano de recuperao bimestral emalgumas de minhas turmas no 6o ano do Ensino Fundamental, onde foram obtidos excelentes resul-tados, sendo estes, constatados na observao dos comportamentos e na motivao dos alunos, nainterao com o mtodo aplicado, nos conceitos e resultados das avaliaes e nos depoimentos dosprprios alunos. Portanto, professores de Matemtica do Ensino Bsico podem usar esse material emsuas turmas, sejam do Ensino Fundamental ou Mdio, como introduo geometria ou mesmo comoum plano de recuperao de unidade ou de bimestre, fazendo as devidas modificaes de acordo como pblico alvo e com o tempo disposto para tal.

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Captulo 2

Fatos histricos, tecnologia e curiosidades

2.1 Introduo.Neste captulo, diante de uma nova perspectiva de ensino e aprendizagem num contexto geom-

trico, apresentaremos alguns fatos histricos importantes sobre geometria plana e espacial, e algunsmatemticos que contriburam grandemente na geometria e nos diversos ramos da cincia. Para mais,consultar [2, 8, 9, 26]. Apresentaremos tambm algumas curiosidades, atualidades e tecnologia queenvolvem geometria.

2.2 Alguns fatos histricos.Desde os tempos de Hamurbi, sexto rei ( 1793-1759 a.C. ) da primeira dinastia da Babil-

nia, os babilnios possuam um sistema numrico e uma geometria. No sistema de numerao elesadotavam tanto a base quanto o modo de ler, e os sinais usados para representar os nmeros eramcuneiformes, isto , antigas escritas (dos Assrios, Persas e Medos) cujos caracteres tem a forma decunha. Os babilnios empregaram sistemas decimais e fraes sexagesimais, os mais usados nas ta-belas para calcular pesos e volumes. Os astrlogos, que procuravam relacionar os acontecimentosdirios com a posio dos astros, promoveram algum aperfeioamento emprico, estabelecendo re-gras operacionais e resolvendo alguns problemas aritmticos. So conhecidos vrios documentos quecontm tbuas de multiplicao, de diviso, de quadrados e razes quadradas, de cubos, de progres-ses aritmticas e geomtricas e algumas tabelas particulares provavelmente empregadas em clculosespeciais [8].

A Geometria como ramo matemtico surgiu enquanto atividade emprica dos povos antigospara atender as suas necessidades da poca, sendo suas primeiras sistematizaes realizadas pelosgregos que muito contriburam para esse ramo do saber.

Os primeiros conhecimentos geomtricos foram elaborados a partir das necessidades do ho-mem em compreender melhor o meio onde ele se encontrava, o que talvez justifique a origem de suapalavra. No sentido prprio da palavra, a geometria deriva do grego geometrein que significamedio de terras, geo significa terra e metrein significa medir, surgindo como cin-

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cia emprica para resolver problemas prticos do homem. Herdoto, o pai da histria, o primeiroa apontar para esta origem da Geometria, localizando no Egito antigo os primeiros momentos dessa,digamos, Geometria Emprica.

Medir as terras para fixar os limites das propriedades era uma tarefa importante nas civilizaesantigas, especialmente no Egito. Ali as enchentes anuais do rio Nilo inundavam as reas frteis ederrubavam os marcos fixados no ano anterior, obrigando os proprietrios de terras a refazer os limitesde suas reas de cultivo. Impunha-se assim a tarefa de refazer os limites com base em informaesparciais ou, quando destrudas por completo as fronteiras, tratava-se de refaz-las de modo a demarcaro desejado nmero de propriedades, conservando as reas relativas que possuam no passado.

Os egpcios tornaram-se hbeis delimitadores de terras e devem ter descoberto e utilizado in-meros princpios teis relativos s caractersticas de linhas, ngulos, e figuras, como por exemplo, ode que a soma dos trs ngulos de um tringulo igual a de dois ngulos retos, e o de que a rea deum paralelogramo igual do retngulo que tenha a mesma base e a mesma altura. Os egpcios selimitaram acumulao de conhecimentos que os habilitavam a resolver problemas de traado de li-mites, de comparao de reas, de projetos arquitetnicos e engenharia de construes, dentre outros[2].

Os egpcios, assim como os babilnios, j tinham uma Geometria, mas somente o que bastassepara as suas necessidades prticas e no para uma cincia organizada. Apesar de todo o materialalgbrico que possuam, s se pode encarar a matemtica como cincia, a partir dos sculos VI e Va.C., na Grcia. A Matemtica grega distingue-se da babilnica e da egpcia pela forma como eraencarada. Contrariamente a estes ltimos, os gregos fizeram-na uma cincia propriamente dita, sema preocupao com suas aplicaes prticas.

Os gregos perceberam que os egpcios eram capazes de fazer e assimilaram seus princpiosempricos. Ao conhecimento assim delimitado, os gregos deram o nome de Geometria. Os gregos,ao contrrio dos egpcios, apreciavam a Geometria no apenas em virtude de suas aplicaes prticas,mas em virtude de seus interesses tericos, desejando compreender a matria por ela mesma, e noem termos de sua utilidade. Aos gregos no bastou apenas o critrio emprico, procuraram encontrardemonstraes dedutivas e rigorosas das leis acerca do espao, que governam aplicaes prticas daGeometria (Greemberg, 1980)[9].

Vrios povos do passado utilizavam no s as propriedades da geometria, caracterizada naGrcia como cincia, como tambm possuam suas prprias regras a fim de realizarem medies dereas e volumes. Os babilnios e os assrios, por exemplo, conseguiram reunir muitos conhecimentosde astronomia, mediante clculos que realizavam sobre observaes sistemticas, sabendo calcularreas de tringulos e quadrilteros, volumes de primas e de pirmides. Ademais, tinham noes arespeito de semelhanas entre tringulos e de algumas relaes entre tringulos e crculos, sabendodividir a circunferncia em arcos iguais.

Os egpcios mediam com perfeio reas de inmeras figuras, volumes de alguns poliedros eat mesmo de corpos redondos. Conheciam, tambm, muitas propriedades dos tringulos, em par-ticular aquela que mostra que o tringulo de lados 3, 4 e 5 retngulo, passando-se a se chamartringulo egpcio, e que empregavam para traar ngulos retos. Todos esses conhecimentos eramobtidos exclusivamente atravs de tentativas constituindo-se apenas um simples conjunto de receitas[8].

9

2.3 Grandes nomes da Matemtica.Nesta seo apresentaremos a ttulo de conhecimento ou curiosidade, um breve resumo sobre

grandes nomes da Matemtica que contriburam de alguma forma para o surgimento e desenvol-vimento do campo da geometria. Os primeiros filsofos gregos trouxeram da terra dos faras oselementos bsicos da Geometria. Dentre os filsofos destacamos abaixo, os gnios, os quais se devea constituio do que chamamos as matemticas elementares [8].

2.3.1 Plato

Plato - viveu entre 429 - 347 a.C., ocupou-se das matemticas, com a genialidade que mar-cou todas as participaes desse sbio, porm no apresentou contribuio pessoal ao conhecimentomatemtico propriamente dito, alm dos slidos geomtricos conhecidos como slidos platnicos.Dedicou-se a realizar crticas sobre mtodos e normas de raciocnio.

Segundo Plato, o cu foi o grande mestre do clculo dos homens.

2.3.2 Thales

Thales - ( viveu entre 640 - 547 a.C. ) Como um dos mais antigos representantes da mais remotafase da matemtica grega, atribuindo-lhe importantes trabalhos referentes semelhana de tringu-los, emprego de arcos de crculos para medio de ngulos, a medida da altura de um monumentopela sombra projetada, a explicao dos eclipses do Sol e da Lua. Entre os discpulos de Thales,destacaram-se Anaximandro, mais astrnomo que gemetra, considerado o primeiro autor de umacarta geogrfica e inventor das esferas celestes; Anaxmenes, que estudou a quadratura do crculo edesenvolveu mtodos de medidas dos ngulos; e Anaxgoras, que se consagrou como filsofo.

2.3.3 Pitgoras

Pitgoras - Nascido em Samos, viveu 80 anos ( cerca de 580 - 500 a.C. ). Conseguiu reunirgrande soma de conhecimentos matemticos. A escola dele, procurava justificar todas as coisas atra-vs dos nmeros e em muitos aspectos se assemelhava a verdadeira seita mstica. O famoso teoremaque afirmava ser o quadrado construdo sobre a hipotenusa de um tringulo retngulo equivalente soma dos quadrados construdos sobre os catetos foi a maior glria e, paradoxalmente, a maiorderrota dessa escola. Como no tinham a noo de nmero irracional, no conseguiram explicar aincomensurabilidade entre o lado e a diagonal de um quadrado.

Os princpios que defendiam foram objetos de severas crticas do gnio presciente de Zenoe terminaram desacreditados. Entre seus mais notveis representantes encontra-se Arquitas de Ta-rento, cujo maior mrito consistiu em apresentar uma soluo para o problema de duplicao docubo; a ele so tambm atribudas numerosas invenes mecnicas.

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2.3.4 Euclides

Euclides - ( sculo III a.C. ) foi o primeiro grande matemtico, organizando uma extraordinriasntese dos conhecimentos anteriores, subordinando-os a regras lgicas convenientes e extraindo suasmais importantes consequncias. Seus Elementos, que fundamentam o mtodo axiomtico, consti-tuem um prodigioso exemplo, nico em toda a histria da cincia, de um livro que serviu a geraessucessivas de estudantes durante mais de dois mil anos.

2.3.5 Arquimedes

Arquimedes - ( 287 - 212 a.C. ) por muitos considerado o maior matemtico de todos os tem-pos, foi o original inventor de mtodos novos em geometria, todos de extraordinrio engenho. De-senvolveu a teoria das alavancas, fundou a hidrosttica e a teoria dos corpos flutuantes, foi inventorde incontveis aparelhos de aplicao prtica, aperfeioou o mtodo da exausto e com ele obteveimportantes resultados. Resolveu inmeros problemas de quadratura, estudou os corpos redondos (esfera, cone e cilindro ), enunciando suas principais propriedades, estudou vrias curvas entre as quaisa espiral, desenvolveu muitas propriedades no campo da aritmtica, sendo sua influncia marcante eat hoje so estudados os teoremas, as suas contribuies fsica e engenharia.

2.3.6 Apolonio de Perga

Apolonio de Perga - ( 262 - 190 a.C. ) - foi outro grande gemetra , criador da teoria das cni-cas, tendo realizado minucioso estudo a respeito destas curvas, servindo de base, seus trabalhos, paraas grandes conquistas da astronomia da era moderna.

2.3.7 Eratstenes

Eratstenes - ( 275 - 195 a.C. ) era um astrnomo, descobriu um sistema para medir a circun-ferncia da terra, interessava-se por filosofia, histria, poesia, geografia e matemtica.

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2.4 Algumas Curiosidades

2.4.1 Trigonometria

A palavra Trigonometria vem do grego, TRI significa trs, GONO significa ngulo e ME-TRIEN significa medida, portanto TRIGONOMETRIA significa medida de tringulos. Trata-se,assim, do estudo das relaes entre os lados e os ngulos de um tringulo.

A origem da Trigonometria anterior era crist. Apesar dos egpcios e dos babilnios te-rem j utilizado as relaes existentes entre lados e ngulos dos tringulos, para resolver problemas,foi o fascnio pelo movimento dos astros que impulsionou a evoluo da Trigonometria. Da que,historicamente a Trigonometria aparece bastante cedo associada Astronomia [12].

2.4.2 Maior slido geomtrico

O maior slido geomtrico feito pelo homem a pirmide de Quops, no Egipto e foi cons-truda no sculo 25 a.C..

Esta construo uma das sete maravilhas do mundo que chegou quase intacta aos nossosdias. Tem 138 m de altura e a base quadrada de lado 230 m. Cobre uma rea de 54000 m2 e foi feitacom mais de dois milhes de blocos de pedra, pesando cada um deles, em mdia, 2,5 toneladas.

Segundo o historiador grego Herdoto, esta pirmide, cujas faces laterais so tringulos issce-les, possui a seguinte propriedade: Cada face lateral triangular tem uma rea igual a rea do quadradoconstrudo sobre a altura da pirmide.

Os egpcios construram cerca de 80 estruturas do tipo desta pirmide.Outra pirmide clebre construda nos nossos dias, ou melhor, em 1988, a pirmide de Louvre

que tem 21m de altura e a base quadrada 34 m de lado.A clebre frase que Napoleo disse aos seus soldados quando da conquista do Egito foi: Sol-

dados, do alto destas pirmides quarenta sculos vos contemplam [26].

2.4.3 Altura de uma pirmide

Thales de Mileto (Sculo VII a. C.) foi um matemtico e filsofo grego e o primeiro da an-tiguidade clssica grega, que um dia visitou o Egito. Conta-se que, para avaliarem a sua sabedoria,os sacerdotes lhe pediram para calcular a altura da pirmide de Quops (a base da pirmide umquadrado).

A forma como Thales resolveu o problema baseia-se na semelhana de tringulos, mas quanto estratgia seguida h vrias verses, sendo a seguinte a mais referida na Histria da Matemtica.Conta-se que Thales verificou que, num certo dia e a uma determinada hora, a sua sombra tinhaexatamente a sua altura. Ento, transferindo para a pirmide, Thales concluiu que:

Altura da pirmide = sombra da pirmide + metade do comprimento do lado da base da pir-mide [12].( Ver Exerccio 5 na seo 4.5).

12

Figura 2.1: Altura de uma pirmide. (Fonte: [12])

2.4.4 Tringulo de descarga

Nos tempos primitivos da civilizao grega, foi usado pelos gregos o tringulo de descarga, umaconstruo que permitia descarregar as presses exercidas por grandes pesos que se encontravam porcima das portas dos tmulos e das cidadelas. Devido ao peso, as portas podiam abater, mas, com otringulo esse peso era suportado pelos postes laterais que eram macios. Os tringulos de descargaeram geralmente abertos, mas podiam ser tapados e decorados, como acontece no caso da cidade deMicenas com a porta dos lees [26].

2.4.5 Relgio do Sol

Um relgio de sol mede a passagem do tempo pela observao da posio do Sol. Os tipos maiscomuns, como os conhecidos "relgios de sol de jardim", so formados por uma superfcie plana queserve como mostrador, onde esto marcadas linhas que indicam as horas, e por um pino ou placa, cujasombra projetada sobre o mostrador funciona como um ponteiro de horas em um relgio comum.

A medida que a posio do Sol varia, a sombra desloca-se pela superfcie do mostrador, pas-sando sucessivamente pelas linhas que indicam as horas. Tambm existem relgios de sol mais com-plexos, com mostradores inclinados e/ou curvos. Os relgios de sol normalmente mostram a horasolar aparente, mas, com pequenas alteraes, tambm podem indicar a hora padro, que a hora nofuso horrio em que o relgio est geograficamente localizado [13].

Figura 2.2: Relgio do Sol em Natal-RN. (Fonte: [13])

13

2.5 Instrumentos de medio de ngulosAtualmente na maioria das escolas, poucos instrumentos de medio de ngulos so conheci-

dos pelos alunos, e at mesmo por professores, salvo o transferidor, que bastante conhecido e usadopor ambos. Apresentaremos alguns instrumentos de medio de ngulos muito usados na antiguidadee outros, como o Teodolito, que atualmente muito usado na construo civil, por exemplo.

Figura 2.3: Transferidor 180o. (Fonte: [1])

2.5.1 Astrolbio

O Astrolbio um instrumento de navegao pelos astros conhecido desde cerca de 400 a.C. eque fornecia a altura dos astros na sua passagem meridiana. Foi usado pelos marinheiros at ao sc.XVIII para determinar a latitude geogrfica e o tempo - calcular a hora com base na altura do Sol.Tambm era utilizado para resolver problemas geomtricos, como calcular a altura de um edifcio oua profundidade de um poo.

Figura 2.4: Astrolbio. (Fonte: [12])

2.5.2 Quadrante

O quadrante um instrumento nutico muito antigo, que j no sculo XV era utilizado pelosportugueses. O quadrante permitia determinar a distncia entre o ponto de partida e o lugar onde aembarcao se encontrava, atravs de um clculo que se baseava na altura da Estrela Polar. Tinha aforma de um quarto de crculo, graduado de 0o a 90o. Na extremidade onde estavam marcados os90o tinha duas miras com um orifcio por onde se fazia pontaria ao astro. No centro tinha um fio deprumo. Observando a posio do fio de prumo lia-se a graduao que indicava a altura do astro.

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Figura 2.5: Quadrante. (Fonte: [12])

2.5.3 Octante

O octante ou oitante, chamado assim pela sua forma de um setor circular de 45o, permitia medirngulos at 90o . Utilizando o octante era possvel determinar alturas de astros, em relao linha dohorizonte, por meio de dois espelhos.

Figura 2.6: Octante. (Fonte: [12])

2.5.4 Sextante

O sextante tem uma extenso angular de 60o e est graduado de 0o a 120o. Trata-se de uminstrumento tico elaborado para medir a distncia angular entre objetos, tendo sido utilizado namedio da abertura angular da vertical de um astro e o horizonte.

Figura 2.7: Sextante. (Fonte: [12])

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2.5.5 Balestilha

A balestilha um antigo instrumento que foi usado principalmente na navegao, na pocados descobrimentos, para orientao no mar, ajudando a determinar a latitude a que um navio seencontrava. Esta mede a altura de um astro ou a distncia angular entre dois astros.

Figura 2.8: Balestilha. (Fonte: [12])

2.5.6 Teodolito

O teodolito um instrumento que, provido de dois crculos graduados (de planos perpendicu-lares entre si), utilizado, em geodsia, para medir ngulos verticais e ngulos horizontais e, especi-ficamente para medir as coordenadas horizontais de um astro (altura [ou distncia zenital] e azimute).Tambm muito usado para medir distncias inacessveis, usado pela engenharia, arquitetura e outrosprofissionais e tcnicos em grandes construes de estradas, demarcao de fazendas, stios, etc... .No Apndice B apresentaremos um passo a passo de como construir um teodolito caseiro.

Figura 2.9: Teodolito antigo(esq.) e Teodolito digital(dir.). (Fonte: [12])

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Captulo 3

Principais conceitos e definies degeometria plana e espacial.

3.1 Introduo.Neste captulo, pensando num texto auto suficiente para o leitor, abordaremos a ttulo de co-

nhecimento, curiosidade ou reviso, definies, propriedades e simbologia dos principais conceitosda geometria plana e espacial, mas sem muito detalhes e sem suas demonstraes. A partir da experi-ncia diria, assumimos noes como conhecidas do que vem a ser um ponto, uma reta ou um plano,portanto no definimos esses conceitos. As referncias utilizadas foram [1, 4, 5, 6, 7, 27].

3.2 Conceitos geomtricos bsicosSemirreta: chamada semirreta toda parte da reta que tem origem em um de seus pontos e

infinita em um dos sentidos da reta.

Figura 3.1: SemirretaAB. (Fonte: [1].)

Segmento de reta: Se considerarmos os pontos distintos A e B e todos os pontos da reta r,situados entre A e B, obteremos a parte de reta denominada segmento de reta AB, que indicamos porAB (segmento de reta de extremidades A e B). Dizemos que a reta r a reta-suporte do segmento AB. denominada segmento de reta toda parte da reta situada entre dois de seus pontos, inclusive eles.

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Figura 3.2: Segmento de reta AB. (Fonte: [1].)

Ponto mdio de um segmento de reta: Seja AB um segmento de reta, e considere o pontoM AB tal que M equidista de A e B, ou seja, AM =MB. Ento M denominado o ponto mdio dosegmento AB.

Figura 3.3: Ponto mdio do segmento de reta AB.

Pontos colineares e no-colineares: Considere trs pontos A, B e C no plano. Se C estiversobre a reta

AB, diremos que A, B e C so colineares; caso contrrio, diremos que A, B e C so

no-colineares ( Fig. 3.4)

Figura 3.4: trs pontos no-colineares. (Fonte: PROFMAT - MA13 - Unidade 2.)

3.2.1 Posies da reta

Retas paralelas: So retas que no tm ponto comum.

Figura 3.5: Retas paralelas. (Fonte: [1].)

Retas concorrentes: So retas que tm apenas um ponto comum.

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Figura 3.6: Retas concorrentes. (Fonte: [1].)

Retas perpendiculares: So retas concorrentes e formam um ngulo reto entre si.

Figura 3.7: Retas perpendiculares. (Fonte: [1].)

Regio convexa e no-convexa: Uma regio do plano convexa quando, para todos ospontos A,B , tivermos AB. Caso contrrio, diremos que uma regio no-convexa.

Figura 3.8: regies convexa (esq.) e no-convexa (dir.). (Fonte: PROFMAT - MA13 -Unidade 2.)

3.2.2 ngulo

Dadas duas semirretas de mesma origem (ponto) posicionadas num plano. Essas duas semirre-tas dividem o plano em duas regies. Cada uma dessas regies, junto com as semirretas, formam umngulo (ou regio angular). As semirretas so os lados do ngulo, e o ponto de origem o vr-tice do ngulo. Uma unidade de medida de ngulo muito conhecida e usada o grau e representadapor o.

Figura 3.9: ngulo. (Fonte: [1].)

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Medida de um ngulo: Em tempos muito antigos, as pessoas notaram que as estaes doano se repetiam a cada 360 dias, aproximadamente. Definiram ento o ano com 360 dias. Depoisverificou-se que isso no era correto, mas o nmero 360 permaneceu como base para certas medidas.Por exemplo: para medir os ngulos, a referncia o ngulo de uma volta, que mede 360o (trezentose sessenta graus).

Medidas fracionrias de ngulos: A medida de um ngulo pode ser fracionria, que pode serindicada com os submltiplos do grau. Esses submltiplos so o minuto e o segundo. Assim 1 graucontm 60 minutos (1o = 60) e 1 minuto contm 60 segundos (1 = 60).

Obs.: No confunda com o minuto e o segundo usados para marcar o tempo.

Tipos de ngulos

ngulo reto: O ngulo cuja medida igual a 90o.

Figura 3.10: ngulo reto. (Fonte: [1].)

ngulo agudo: O ngulo cuja medida menor que 90o.

Figura 3.11: ngulo agudo. (Fonte: [1].)

ngulo obtuso: O ngulo cuja medida maior do que 90o e menor do que 180o.

Figura 3.12: ngulo obtuso. (Fonte: [1].)

ngulo raso: O ngulo cuja medida igual a 180o.

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Figura 3.13: ngulo raso. (Fonte: [1].)

ngulos formados por paralelas e transversais

Observe os vrios ngulos quando a reta transversal t corta as retas paralelas u e v.

Figura 3.14: retas paralelas cortadas por uma transversal. (Fonte: [4].)

Muitos desses pares de ngulos recebem nomes especiais, devido posio que ocupam nessasituao. Veja alguns nomes:

os ngulos a e a, b e b, c e c, e d e d so chamados de correspondentes, porque ocupamposies parecidas em relao transversal;

os ngulos c e a, d e b so chamados de alternos internos: alternos porque esto em ladosopostos em relao transversal; internos, porque esto entre as paralelas;

os ngulos c e b, d e a so chamados de colaterais internos: colaterais, porque esto domesmo lado em relao transversal, e internos, porque esto entre as paralelas;

os ngulos a e c, b e d, a e c, e b e d so chamados de ngulos opostos pelo vrtice.

ngulo de incidncia: ngulo de incidncia o ngulo formado entre o feixe de luz que incidesobre o objeto normal. A normal um segmento que forma com a superfcie com um ngulo de90o.

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Figura 3.15: ngulo de incidncia. (Fonte: [27].)

3.3 PolgonoA regio do plano delimitada por segmentos de reta e pela parte interna denominada polgono.

Os segmentos so os lados, a interseo dos segmentos so os vrtices.

Figura 3.16: Polgono. (Fonte: [1].)

Polgono convexo

Um polgono convexo quando qualquer segmento que une dois de seus pontos est inteira-mente contido nele.

Figura 3.17: Polgonos convexos. (Fonte: [1].)

Diagonal do polgono convexo

o segmento que une um vrtice a outro vrtice no consecutivo. Na Fig. 3.18 os segmentosAC e BD so as diagonais.

22

Figura 3.18: Diagonais do polgono ABCD. (Fonte: [1].)

Nmeros de diagonais do polgono convexo

Todo polgono convexo de n lados possui exatamente d diagonais, dada por

d =n(n3)

2(3.1)

Para ver a prova, consulte [7].

Polgono no convexo ou cncavo

Um polgono no convexo ou cncavo quando houver algum segmento com extremidadesnele, mas com pelo menos um ponto do segmento fora dele.

Figura 3.19: Polgonos no convexos. (Fonte: [1].)

Polgono regular

Tem lados e ngulos internos com a mesma medida.

Figura 3.20: Polgonos regular. (Fonte: [1].)

23

Polgono irregular

Tem pelo menos um dos lados ou um dos ngulos internos com medida diferente dos demais.

Figura 3.21: Polgonos irregular. (Fonte: [1].)

3.3.1 Tringulo

Denominamos tringulo regio limitada do plano, delimitada por trs pontos no-colineares.Sendo A, B e C tais pontos, diremos que A, B e C so os vrtices do tringulo ABC, os segmentos AB,AC e BC(ou seus comprimentos) so os lados do tringulo ABC ( Fig. 3.22).

Desigualdade tringular

(Existncia de tringulo) Em todo tringulo, cada lado tem comprimento menor que a somados comprimentos dos outros dois lados. Para prova detalhada consultar [7].

Figura 3.22: o tringulo ABC de vrtices A, B e C. (Fonte: PROFMAT - MA13 - Unidade 2.)

Classificao dos tringulos:

Quanto aos lados

Equiltero: Os trs lados tm medidas iguais.

Issceles: Pelo menos dois lados tm a mesma medida.

Escaleno: Os trs lados tm medidas diferentes.

24

Figura 3.23: Equiltero (esq.), Issceles (centro) e Escaleno (dir.).(Fonte: [1].)

Quanto aos ngulos

Acutngulo: Os trs ngulos so agudos.

Retngulo: Um ngulo reto.

Obtusngulo: Um ngulo obtuso.

Figura 3.24: Acutngulo (esq.), Retngulo (centro) e Obtusngulo (dir.).(Fonte:[1].)

Base mdia de um tringulo

Definimos a base mdia de um tringulo como um segmento que une os pontos mdios de doisde seus lados (segmentos MN, NP e MP da Fig. 3.25). Assim todo tringulo possui exatamente trsbases mdias. Nas notaes da Fig. 3.25, dizemos que o tringulo MNP o tringulo medial dotringulo ABC e temos

MN =BC2

. (3.2)

MP=AC2

. (3.3)

NP=AB2

. (3.4)

25

Figura 3.25: bases mdias de um tringulo. (Fonte: PROFMAT - MA13 - Unidade 6).

3.3.2 Permetro e semipermetro

A soma dos comprimentos dos lados do polgono seu permetro, onde denota-se por 2p, eassim, p o semipermetro do polgono. Peri, em grego, significa ao redor, e metrein significamedida. Nas notaes da Fig. 3.22, temos

p=a+b+ c

2. (3.5)

3.3.3 Quadrilteros

So polgonos que possuem quatro lados.

Quadrilteros Notveis: Dentre os vrios tipos de quadrilteros existentes, separaremos osconvexos em dois grupos: os trapzios e os paralelogramos.

Trapzios: Os trapzios so quadrilteros que tm apenas um par de lados paralelos.

Figura 3.26: Trapzios. (Fonte:[1].)

Paralelogramos: Os Paralelogramos so quadrilteros que possuem dois pares de lados para-lelos.

26

Figura 3.27: Paralelogramos: Retngulo (esq.), Losango (centro) e Quadrado(dir.).(Fonte:[1].)

3.3.4 Circunferncia

uma linha fechada plana cujos pontos esto mesma distncia de um ponto O desse plano,chamado centro.

Figura 3.28: Circunferncia.(Fonte:[1].)

Raio: Todo segmento que une o centro a qualquer ponto da circunferncia denominado raio(r).

Ponto interno e ponto externo circunferncia: Um ponto A, cuja distncia ao centro dacircunferncia menor que a medida do raio, um ponto interno circunferncia. Um ponto B,cuja distncia ao centro da circunferncia maior que a medida do raio, um ponto externo cincuferncia.

Figura 3.29: pontos interno e externo circunferncia. (Fonte:[1].)

Crculo: A reunio de uma circunferncia com os pontos internos a ela forma o crculo.

Corda: A um segmento com extremidades em dois pontos quaisquer da circunferncia denomina-se corda.

27

Dimetro: Toda corda que passa pelo centro chama-se dimetro. A medida d do dimetro igual ao dobro da medida r do raio.

Figura 3.30: crculo (esq.), corda (centro) e dimetro (dir.).(Fonte:[1].)

Semicircunferncias: O dimetro divide a circunferncia em duas parte chamadas semicir-cunferncias.

Figura 3.31: Cirfunferncia (esq.) e semicircunferncias (dir.).(Fonte:[1].)

Semicrculos: O dimetro divide o crculo em duas parte chamadas semicrculos.

Figura 3.32: Crculo (esq.) e semicrculos (dir.).(Fonte:[1].)

Comprimento da circunferncia

Na antiguidade, os matemticos j se perguntavam: o comprimento de uma cirncuferncia quantas vezes o seu dimetro? Eles perceberam que duas circunferncias quaisquer tm a mesmaforma e, por isso, so figuras semelhantes. Assim, concluram que a razo entre o comprimentoda circunferncia e o seu dimetro sempre o mesmo nmero. Esse nmero indicado pela letragraga pi (pi). O valor de pi pertence aos nmeros irracionais. Para a maioria dos clculos simples comum aproximar pi por 3,14. Uma boa parte das calculadoras cientficas de 8 dgitos aproxima pipor 3,1415926.

Para clculos mais precisos pode-se utilizar o nmero pi com 52 casas decimais, ou seja,pi = 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058. Para clculos ainda mais

28

precisos pode-se obter aproximaes de pi atravs de algoritmos computacionais [4, 28].

Figura 3.33: comprimento da cincunferncia.(Fonte:[4].)

Assim, sempre temos C = pid. Como d = 2r (o dimetro o dobro do raio), podemos escrever

C = 2pir. (3.6)

3.3.5 Polgonos regulares inscritos na circunferncia

Tringulo equiltero: Considere o tringulo equiltero ABC inscrito numa circunferncia decentro O.

Cada ngulo central mede: 360o 3 = 120o. O segmento que liga O ao ponto mdio M deum lado do tringulo ABC chama-se aptema. Como OBC um tringulo issceles, OM altura,mediana e bissetriz desse tringulo.

OB raio da circunferncia. OM aptema do tringulo ABC. MB metade do lado BC dotringulo ABC.

Figura 3.34: tringulo equiltero inscrito.(Fonte:[4].)

29

Figura 3.35: (Fonte:[4].)

Nas notaes da Fig. 3.35, temos

a3 =r2. (3.7)

Quadrado: Considere o quadrado ABCD inscrito numa cincunferncia de centro O.Cada ngulo central mede: 360o4 = 90o. Agora, observe o tringulo OMC. Nele, podemos

calcular o lado do quadrado l4 e o aptema a4.

Figura 3.36: quadrado inscrito. (Fonte:[4].)


a4 =r

22

. (3.8)

Hexgono regular: Considere o hexgono regular ABCDEF inscrito numa cincunferncia decentro O.

Cada ngulo central mede: 360o6 = 60o. Indicamos o lado do hexgono por l6 e o aptemapor a6.

30

Figura 3.37: hexgono inscrito. (Fonte:[4].)


a6 =r

32

. (3.9)

De modo anlogo faz-se para polgonos regulares de n lados.

3.3.6 reas de Figuras Planas

Medidas de Superfcies: Fixada uma unidade de medida de superfcie u, quando dizemos queessa unidade de medida cabe x-vezes numa determinada superfcie, estamos informando que a reada superfcie possui x.u unidades. Dependendo da unidade de medida de superfcie escolhida, osresultados obtidos so diferentes. Para facilitar o entendimento e a comunicao entre as pessoas, foiestabelecida tambm uma unidade de medida de superfcie: o metro quadrado (simbolizado porm2)[1, 4]. Outras unidades de medida muito utilizadas so:

a superfcie de um quadrado com 1 cm de lado, seu nome o centmetro quadrado, seusmbolo cm2;

para medir superfcies muito grandes, como as superfcies de cidades ou pases, utilizamosoutra unidade: o quilmetro quadrado (simbolizado por km2), que corresponde superfciede um quadrado com lados de 1 km;

para medir superfcies de fazendas, reas de reflorestamento, reas de desmatamento, etc.,utilizamos uma unidade de medida agrria, o hectare (ha). Um hectare (ha) corresponde superfcie de um quadrado com lados de 100 metros. Note que um hectare o mesmo que umhectmetro quadrado.

rea do retngulo: A rea (A) de um retngulo dada pelo produto da medida da base (b)pela medida da altura (h). Algumas vezes, o termo base substitudo por largura, e o termo altura,por comprimento.

31

Figura 3.38: rea de um retngulo.


A= b.h. (3.10)

rea do quadrado: Seja (l) a medida do lado de um quadrado. A rea (A) desse quadrado dada pelo produto da medida do lado (l) por ela mesma [1].

Figura 3.39: rea de um quadrado.


A= l.l = l2. (3.11)

rea do paralelogramo: A rea de uma paralelogramo de base (b) e altura (h) igual a bh[6].

A= b.h. (3.12)

Figura 3.40: rea de um paralelogramo.

rea do trapzio: Se ABCD um trapzio de bases AB= a, CD= b e altura h, ento

32

Figura 3.41: rea de um trapzio.


A=(a+b)h

2. (3.13)

rea de tringulos: Considere o tringulo ABC nas notaes da Fig. 3.42, temos:

Produto da base pela alturaA=

b.h2. (3.14)

Semipermetro (Frmula de Heron)

A=

p.(pa).(pb).(p c). (3.15)

LadosA=

b.c.sen()2

. (3.16)

Tringulo equiltero. Se a= b= c= l, temos:

A=l2

34

. (3.17)

Figura 3.42: rea de tringulos.

rea dos polgonos regulares: Considere um pentgono regular. A partir de seu centro, vamosdivid-lo em cinco tringulos issceles e congruentes [4].

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Figura 3.43: rea de polgonos regulares. (Fonte:[4].)

Em cada tringulo, a base tem medida l5 dos lados do pentgono e a altura tem a medida a5dos aptemas do pentgono. Portanto nas notaes da Fig. 3.43, temos

A=l5.a5

2. (3.18)

APENTAGONO = 5A= 5.l5.a5

2=

5.l52

.a5. (3.19)

Note que 5.l5 o permetro do pentgono e 5.l52 o semipermetro p. Ento

APENTAGONO = p.a5. (3.20)

O raciocnio feito para o pentgono pode ser feito para qualquer polgono regular. Por isso, numpolgono regular de n lados, semipermetro p e aptema an, temos

APOLIGONO = p.an. (3.21)

rea do crculo: Uma ideia para se obter a rea do crculo considerar polgonos regularesinscritos na circunferncia, com um nmero cada vez maior de lados. Desse modo, a rea do polgonovai se aproximando da rea do crculo.

Figura 3.44: polgonos regulares inscritos. (Fonte:[4].)

34

J sabemos que a rea de um polgono regular inscrito numa circunferncia o produto dosemipermetro pelo aptema (ver equao 3.21).

Observe abaixo o que acontece com o polgono se continuarmos aumentando o nmero delados:

seu permetro 2p se aproxima do comprimento da circunferncia C = 2pir e, por isso, seusemipermetro p se aproxima de pir;

seu aptema se aproxima de r.

Assim, para obter a rea do crculo, usamos a frmula da equao 3.21, substituindo p por pire an por r, temos

AC = pir2. (3.22)

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3.4 PoliedrosPoliedros: Possuem contornos retos e sua superfcie formada por polgonos. Cada um destes

polgonos chama-se uma face do poliedro, cada lado comum a duas faces chama-se uma aresta dopoliedro e cada vrtice de uma face tambm chamado vrtice do poliedro [Lima et al, 2006]. OPoliedro assim chamado devido ao nmero de faces que possui. Em grego, poli significa muito, eedro, face. Portanto, poliedros significa muitas faces.

Figura 3.45: octaedro: 8 faces .(Fonte:[1].)

Poliedros Convexos:. Todo poliedro limita uma regio do espao chamada de interior destepoliedro. Dizemos que um poliedro convexo se o seu interior C convexo, isto , quando qualquersegmento de reta que liga dois pontos deC est inteiramente contido emC. Em um poliedro convexotoda reta no paralela a nenhuma de suas faces o corta em, no mximo, dois pontos [6].

De acordo com a definio dada acima, um poliedro a reunio de um nmero finito de polgo-nos planos satisfazendo certas condies. Se o poliedro convexo, ele limita uma regio do espao:o seu interior. A reunio do poliedro com seu interior constitui o que chamamos de um slido. Umpoliedro oco, enquanto que um slido macio. No que se segue, intercambiaremos livrementeos termos poliedro e slido. No existe perigo de confuso (pelo menos para os objetos que aquiestudaremos), pois um slido fica definido sem ambiguidades a partir da descrio de sua superfcie(isto , da sua casca, que o poliedro correspondente) e vice-versa [5].

Poliedros Convexos Regulares: Um poliedro convexo regular quando todas as suas facesso polgonos regulares congruentes e em todos os vrtices concorrem o mesmo nmero de arestas [6].

Planificaes: Uma planificao de um poliedro o resultado do processo de se cortar o po-liedro ao longo de curvas e, ento, abr-lo de forma que ele possa ser disposto sobre uma superfcieplana, sem sobreposies e sem deformaes das faces. Uma planificao por arestas aquela obtidapor cortes ao longo das arestas do poliedro [14].

3.4.1 Poliedros de Plato

So cinco os poliedros regulares, conhecidos como poliedros de Plato ou slidos platnicos,o tetraedro, o hexaedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro.

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Tetraedro: Possui 4 faces triangulares equilteras.

Figura 3.46: tetraedro (esq.) e tetraedro planificado (dir.).(Fonte:[1].)

Hexaedro: Possui 6 faces quadradas.

Figura 3.47: hexaaedro ou cubo (esq.) e cubo planificado (dir.).(Fonte:[1].)

Octaedro: Possui 8 faces triangulares equilteras.

Figura 3.48: octaedro (esq.) e octaedro planificado (dir.).(Fonte:[1].)

Dodecaedro: Possui 12 faces pentagonais.

Figura 3.49: dodecaedro (esq.) e dodecaedro planificado (dir.).(Fonte:[1].)

Icosaedro: Possui 20 faces triangulares equilteras.

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Figura 3.50: icosaedro (esq.) e icosaedro planificado (dir.).(Fonte:[1].)

3.5 Frmula de EulerO grande matemtico suo Leonhard Euler (1707 - 1783), em 14 de novembro de 1750, escre-

veu uma carta para seu amigo (tambm matemtico) Christian Goldbach (1690 - 1764) apresentandouma propriedade geral de estereometria que hoje, em sua homenagem, conhecida como a frmulade Euler: se V , A e F so, respectivamente, o nmero de vrtices, arestas e faces de um poliedro,ento a relao

V A+F = 2. (3.23)

vlida para a classe de poliedros que so homeomorfos a uma esfera (homeo= mesmo, morfo=forma)[14].

3.6 Volumes de slidos simplesIntuitivamente, o volume de um slido a quantidade de espao por ele ocupado. Para expri-

mir essa quantidade de espao atravs de um nmero, devemos compar-la com uma unidade; e oresultado dessa comparao ser chamado de volume. Para cada unidade de comprimento, temos umaunidade correspondente de volume. A unidade de medida de volume mais usada o metro cbico(m3).

Paraleleppedo Retngulo: O paraleleppedo retngulo (ou simplesmente um bloco retangu-lar) um poliedro formado por 6 retngulos. Ele fica perfeitamente determinado por trs medidas: oseu comprimento (a), a sua largura (b) e a sua altura (c).

Figura 3.51: paraleleppedo retngulo.(Fonte: SketchUp.)

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Volume do paraleleppedo = (rea da base) x (altura).

V = a.b.c (3.24)

Prisma: Volume do prisma = (rea da base) x (altura).

V = A.h (3.25)

Onde A representa a rea da base.

Figura 3.52: prisma de base pentagonal.(Fonte: SketchUp).

Pirmide: Volume da pirmide = 13 (rea da base) x (altura).

V =13.A.h (3.26)


Figura 3.53: pirmide de base pentagonal.(Fonte: SketchUp).

Cone: Volume do cone = 13 (rea da base) x (altura).

V =13.A.h (3.27)


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Figura 3.54: cone.(Fonte: SketchUp ).

Cilindro: Volume do cilindro = (rea da base) x (altura).

V = A.h (3.28)


Figura 3.55: cilindro.(Fonte: SketchUp).

Esfera: Volume da esfera = 43 x pi x (raio)3.

V =43.pi.R3. (3.29)

Figura 3.56: esfera.(Fonte: SketchUp).

3.7 Teorema de PitgorasEm todo tringulo retngulo a soma dos quadrados das medidas dos catetos igual ao quadrado

da medida da hipotenusa. Sejam a, b e c, a hipotenusa e os catetos, respectivamente, ento

40

a2 = b2 + c2. (3.30)

Poderemos verificar essa relao por meio de figuras. Para isso, considere trs quadrados, cadaum construdo a partir de um lado do tringulo retngulo.

Figura 3.57: Representao grfica do Teorema de Pitgoras.(Fonte:[11].)

Note que a rea do quadrado construdo a partir da hipotenusa igual soma das reas dosquadrados construdos a partir dos catetos.

3.8 Teorema de ThalesSejam u, u duas retas transversais que cortam r, s, t retas paralelas. Escolhemos pontos A,

A r, B, B s e C, C t, de modo que A, B, C e A, B, C sejam dois ternos de pontos colineares[6]. Ento

ABBC

=AB

BC. (3.31)

Figura 3.58: Paralelas cortadas por transversais.

3.8.1 Semelhana de tringulos

Na geometria, a palavra semelhante est ligada ideia de mesma forma. Assim, uma ampli-ao, uma reduo e at mesmo uma congruncia so exemplos de semelhana [4].

41

Figura 3.59: dois tringulos semelhantes. (Fonte: PROFMAT - MA13 - Unidade 10).

Na Fig. 3.59, os tringulos ABC e ABC so semelhantes, com a correspondncia de vrticesA A, B B, CC. Assim, A= A, B= B, C = C e existe k > 0 tal que

ABAB

=BCBC

=ACAC

= k . (3.32)

Tal real positivo k denominado a razo de semelhana entre os tringulos ABC e ABC,nessa ordem (observe que a razo de semelhana entre os tringulos ABC e ABC, nessa ordem, 1k ).

Casos de semelhana de tringulos

Caso de semelhana LLL: Sejam ABC e ABC tringulos no plano, tais que

ABAB =

BCBC =

ACAC .

Ento, ABC ABC, com a correspondncia de vrtices A A, B B, CC. Em parti-cular, A= A, B= B e C = V .

Caso de semelhana LAL: Sejam ABC e ABC tringulos no plano, tais que

ABAB =

BCBC = k e B= B

.

Ento, ABC ABC, com a correspondncia de vrtices A A, B B, CC. Em parti-cular, A= A, C = V e AC

AC = k.

Caso de semelhana AA: Sejam ABC e ABC tringulos no plano, tais que

A= A e B= B.

Ento, ABC ABC, com a correspondncia de vrtices A A, B B, CC. Em parti-cular, AB

AB =BCBC =

ACAC .

42

Captulo 4

Propostas de Atividades

4.1 Introduo.Neste captulo apresentaremos atividades com exerccios onde os alunos podem desenvolver e

fixar o aprendizado de contedos como vistas de frente, de lado e de cima, ngulos, tipos e no-menclatura de polgonos e poliedros, clculo da quantidade de diagonais de polgonos convexos,Clculos de reas e de volumes, o Teorema de Pitgoras e o Teorema de Thales, exercitando aconstruo de desenhos, uso de propriedades, etc.

4.2 Aspectos das atividadesAs atividades a seguir foram elaboradas com a finalidade dos mais variados conceitos geomtri-

cos serem bastante explorados, entendidos e aplicados pelos alunos no desenvolvimento das mesmasusando o SketchUp e Uma Pletora de Poliedros, como ferramentas auxiliares.

Justificativa

Queremos que os alunos entendam a importncia da geometria na sociedade, e para isso asatividades contemplam vrias situaes reais que encontramos diariamente, e apesar dos alunos vi-rem isso, eles no esto cientes da quantidade clculos, frmulas e propriedades geomtricas que soaplicadas nessas situaes. Tambm daremos nfase ao fato de que os prprios alunos identifiquem eeliminem suas maiores dificuldades referentes aos conceitos bsicos enfocados. importante ressal-tar que numa mesma atividade, mais de um conceito, at mesmo vrios, so explorados.

Objetivos

Fazer com que os alunos percebam quais conceitos geomtricos esto sendo enfocados nasatividades;

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Explorar e ampliar conceitos de ponto, reta e plano, paralelismo e perpendicularismo, segmen-tos, ponto mdio;

Reconhecer grandezas de comprimento, superfcie e capacidade;

Calcular a rea de retngulos, quadrados, tringulos e polgonos regulares;

Obter medidas por estimativas e aproximaes;

Estabelecer converses entre as unidades de medida mais usuais;

Calcular nmero de diagonais de um polgono convexo;

Reconhecer situaes que envolvem a ideia de ngulo;

Utilizar a linguagem adequada descrio de ngulos;

Saber efetuar medies de ngulos;

Reconhecer e saber quando e como aplicar os teoremas de Pitgoras e de Thales.

Dificuldades previstas

Esperamos que os alunos desenvolvam bem todas as atividades, pois estaro motivados pelofato de estarem trabalhando matemtica no computador, com softwares bem dinmicos, onde elespodem explorar todas as ferramentas, e de forma livre exercitar a construo de desenhos diversos,sejam eles formas geomtricas simples ou poliedros quaisquer.

Mas certas dificuldades podem surgir no desenvolvimento das atividades, e dentre elas, a faltade computador para cada aluno, o que acarretaria formao de duplas ou trios, onde sabemos quetrabalho em equipe importante e bastante vlido, mas uns participam mais que outros, pois apesarde motivados, isso pode causar desinteresse em alguns alunos por no est desenvolvendo efetiva-mente e participando das atividades individualmente, tendo uma autonomia mais consistente para seuaprendizado.

Dificuldades como calcular reas de polgonos no convexos, ou calcular volumes de poliedrosresultantes de dois ou mais poliedros surgiro, pois no existem frmulas especficas para fazer taisclculos, e isso propositalmente foi proposto para desafiar e despertar curiosidades nos alunos refe-rentes a esses tipos de clculos.

Metodologia

As atividades devero ser aplicadas nos primeiros anos do Ensino Fundamental II, especifica-mente 6o e 7o anos, mas pode e deve ser estendido aos 8o e 9o anos, aumentando o nvel e exignciadas mesmas. Antes deve-se explanar na sala de aula os conceitos a serem enfocados, com as devidasdefinies, propriedades, nomenclaturas e simbologias, exemplificando sempre situaes reais. Paraisso ser disposto no mnimo cinco aulas de 50 minutos, e para o desenvolvimento das atividades,uma aula de 50 minutos para apresentar os softwares SketchUp e Uma Pletora de Poliedros,

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mostrando seus ambientes grficos, suas ferramentas e aplicaes, e para cada atividade com o Ske-chUp tambm uma aula de 50 minutos, j para as atividades com Uma Pletora de Poliedros duasaulas de 50 minutos, e mais duas aulas de 50 minutos para a atividade prtica com canudos.

4.3 Atividades com o SketchUp

4.3.1 Atividade 1.

Questo 1. Desenhe no SketchUp um quadrado de lado 2,5m e calcule sua rea.

Questo 2. Qual ser a medida do lado de um quadrado que possui uma rea de 16 m2?

Questo 3. Usando a ferramenta empurrar/puxar, puxe o quadrado construdo na Questo2 a uma altura igual a 4m. Que poliedro voc acabou de construir? Ele convexo ou no convexo?Justifique.

Questo 4. Tente desenhar manualmente com lpis e rgua no seu caderno, o poliedro daquesto anterior.

Questo 5. Qual a rea total da superfcie do poliedro da Questo 3? Existe uma forma maisrpida de calcular a rea pedida?

Questo 6. Observe a Fig. 4.1, no SketchUp, usando a ferramenta orbitar coloque na vistade cima, aproxime usando a ferramenta zoom. Agora coloque na vista inferior e com a ferramentadimenses, mea cada lado do polgono representado pela rea construda da residncia e calcule-a.

Figura 4.1: casa. (Fonte: SketchUp).

Questo 7. Usando uma fita mtrica ou uma trena, mea as dimenses de um dos cmodos desua casa e em seguida calcule sua rea de superfcie e seu volume.

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Questo 8. Quais foram os conceitos enfocados nas questes anteriores? A utilizao doSketchUp facilitou seu aprendizado no desenvolvimento da atividade?

4.3.2 Atividade 2.

Figura 4.2: salo hexagonal. (Fonte: SketchUp).

Questo 1. Deseja-se colocar uma cobertura num salo em forma de um hexgono regular( Ver Fig. 4.2), para isso deve-se colocar vigas de ferro apoiadas na coluna de mesma altura dasparedes fixada no centro do hexgono para sustentao do teto. Dispomos de vigas que medem 26mcada que devem ser cortadas caso seja necessrio, para que o desperdcio seja o mnimo possvel.Quantas vigas sero necessrias pra colocar no salo? (Sugesto: use a equao 3.1, Captulo 3).Essa sugesto pode ser utilizada? Justifique.

Questo 2. Se o formato do salo fosse um dodecgono com o mesmo dimetro da questoanterior, quantas vigas de ferro seriam necessrias pra serem colocadas entre os vrtices do dodec-gono e a coluna com mesma altura das paredes fixada no centro do dodecgono?

Questo 3. Se a coluna fixada no centro do hexgono medisse 11 m ( Ver Fig. 4.3), o com-primento das vigas adquiridas na Questo 1 seria suficiente para ser colocada para sustentar o tetodo salo desperdiando o mnimo de material possvel? Justifique. (Sugesto: use a equao 3.30,Captulo 3).

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Questo 4. Qual seria a medida da coluna fixada no centro do hexgono para que o compri-mento das vigas adquiridas na Questo 1 no fosse suficiente para servir de sustentao do teto dosalo?

Questo 5. Depois de colocadas as vigas, quais sero as reas de superfcie necessrias paracobrir todo o salo de acordo com as Questes 1 e 3, respectivamente? (Ver Fig. 4.4 e Fig. 4.5,respectivamente.).

Questo 6. Calcule a rea construda do salo da Fig. 4.3. Use a equao 3.21.


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Questo 7. Desprezando as espessuras das paredes e do telhado, as vigas de sustentao doteto, a coluna fixada do centro do hexgono, a janela e o porto de entrada, calcule o volume dospoliedros das Fig. 4.4 e Fig. 4.5.

Questo 8. Desprezando as espessuras das paredes e do telhado, as vigas de sustentao doteto e a coluna fixada do centro do hexgono, a janela e o porto de entrada, qual a quantidade dediagonais dos poliedros das Fig. 4.4 e Fig. 4.5?

Questo 9. Desprezando as espessuras das paredes e do telhado, as vigas de sustentao doteto e a coluna fixada do centro do hexgono, a janela e o porto de entrada, use a ferramenta orbitardo SketchUp e conte quantas arestas, faces e vrtices os poliedros das Fig. 4.4 e Fig. 4.5 possuem.

Questo 10. Responda as perguntas abaixo considerando as questes anteriores.(a) Quais so os principais conceitos matemticos enfocados?(b) Na sua opinio, quais so os objetivos das atividades?(c) Que vantagens e desvantagens o uso do SketchUp pode trazer para a aprendizagem dos concei-tos enfocados?(d) Faa um breve relato sobre o que o desenvolvimento dessa atividade contribuiu para o enriqueci-mento dos seus conhecimentos?

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4.3.3 Atividade 3.

Figura 4.6: piscina. (Fonte: SketchUp).

Questo 1. Deseja-se ladrilhar com cermica uma piscina de dimenses como na Fig. 4.6. Secada caixa de cermica possui 2,5 m2, responda:a) Qual a rea total a ser ladrilhada?b) Se cada caixa de cermica custa 23,50 reais, qual ser o custo para comprar todas as caixas decermica suficientes para ladrilhar toda a piscina?

Questo 2. Se um metro cbico (m3) de gua custa 2,45 reais, quanto ser o custo total paraencher toda a piscina da Fig. 4.6? (0bs.: Para esse clculo despreze a argamassa e a espessura dacermica).

Questo 3. Na rea externa da piscina, deseja-se colocar pedras antiderrapantes (ver dimen-ses da Fig. 4.7). Quantos metros quadrados de pedra sero necessrios?

Figura 4.7: piscina. (Fonte: SketchUp).

Questo 4. Responda as perguntas abaixo considerando as questes anteriores.

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(a) Quais so os principais conceitos matemticos enfocados?(b) Na sua opinio, quais so os objetivos das atividades?(c) Que vantagens e desvantagens o uso do SketchUp pode trazer para a aprendizagem dos concei-tos enfocados?

4.3.4 Atividade 4.

Questo 1. Numa rea retangular de dimenses 25m por 35m, ser construda uma praa, e nointerior dessa praa deseja-se construir um coreto de forma circular cuja rea da base ocupe uma reaigual a 530 m2. Isso ser possvel? Justifique sua resposta.( ver Fig. 4.8).

Figura 4.8: praa. (Fonte: SketchUp).

Questo 2. Para que possa ser possvel construir o coreto com rea da base de forma circular(ver questo anterior) no interior da rea retangular da praa, de quanto sero as medidas mximasda rea de superfcie da base do coreto, do comprimento do raio e do permetro da rea da base docoreto, respectivamente? (Sugesto: ver equao 3.22).

Questo 3. No interior da rea da base do coreto da Questo 1, h um projeto para a construode um palco para eventos diversos, se o comprimento da corda for 2,13m (ver Fig. 4.9), qual ser area de superfcie desse palco? (OBS.: Para os clculos, despreze a espessura da parede).

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Figura 4.9: praa. (Fonte: SketchUp).

Questo 4. Responda as perguntas abaixo considerando as questes anteriores.(a) Quais so os principais conceitos matemticos enfocados?(b) Na sua opinio, quais so os objetivos das atividades?(c) Que vantagens e desvantagens o uso do SketchUp pode trazer para a aprendizagem dos concei-tos enfocados?

4.3.5 Atividade 5.

Figura 4.10: sof. (Fonte: SketchUp).

Questo 1. Observe a Fig. 4.10, desprezando as almofadas do sof desenhe com lpis as vistasde frente, de lado e de cima. Em seguida usando o SketchUp veja se seus desenhos esto corretos.Em caso de erro, corrija-os.

Questo 2. De acordo com as vistas verificadas no SketchUp, use a ferramenta dimenses,mea as dimenses da figura e em seguida calcule as reas de cada vista.

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Questo 3. Qual a rea que o objeto da Fig. 4.10 ocupa numa sala por exemplo?

Questo 4. Qual a rea total da superfcie do sof da Fig. 4.10?

Questo 5. Calcule o volume do sof da Fig. 4.10, e o espao total que ele ocupa numa salapor exemplo.

Questo 6. Quantas faces, arestas e vrtices possui o slido da Fig. 4.10? Use a ferramentaOrbitar para contar.

Questo 7. A quantidade de faces, arestas e vrtices do slido da Fig. 4.10 satisfazem a rela-o de Euler? Justifique.

Questo 8. O sof da Fig. 4.10, um polgono convexo ou no convexo? Justifique.

Questo 9. Quantos e quais tipos de ngulos so observados no sof da Fig. 4.10?

Questo 10. Observe a incidncia de luz que o sof da Fig. 4.10 projeta a sombra sobre o pisoe calcule o ngulo de incidncia usando a ferramenta transferidor do SketchUp.

Questo 11. Que propriedade de ngulos pode ser usada para realizar a tarefa da questo ante-rior?

Questo 12. Responda as perguntas abaixo considerando as questes anteriores.

a) Quais so os principais conceitos matemticos enfocados?

b) Na sua opinio, quais so os objetivos das atividades?

c) Que vantagens e desvantagens o uso do SketchUp pode trazer para a aprendizagem dos conceitosenfocados?

d) Em sua casa, refaa manualmente as questes 1 a 11 usando qualquer mvel ou eletrodomstico.(Sugesto:use transferidor, rgua, trena ou fita mtrica para medir ngulos e dimenses).

e) Faa um breve relato sobre o que essa atividade contribuiu para o enriquecimento dos seus conhe-cimentos?

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4.4 Atividades com Uma Pletora de Poliedros

4.4.1 Atividade 1 (exerccio de visualizao)

No software Uma Pletora de Poliedros, voc encontrar a categoria dos Cosmogramas deLeonard, que so modelos dos slidos platnicos com as faces esburacadas e colocados um dentrodo outro. Tente identificar a ordem em que cada slido platnico aparece um dentro do outro emcada cosmograma, preenchendo a tabela abaixo. Lembre-se que, no software, voc pode usar o botodireito do mouse para ampliar ou reduzir o tamanho da figura.

Nmero do cosmograma Poliedro 1 Poliedro 2 Poliedro 3 Poliedro 4 Poliedro 5

12345

Tabela 4.1: (Fonte: [14]).

4.4.2 Atividade 2 (exerccio de contagem/frmula de Euler)

Usando o software Uma Pletora de Poliedros, conte o nmero de vrtices, arestas e faces daspirmides indicadas abaixo, anotando os resultados na tabela. Lembre-se que, no software, voc podeusar o boto esquerdo do mouse para girar a figura.

Pirmide com base No de vrtices No de arestas No de faces Valor de V - A + F

TriangularQuadrangularPentagonalHexagonalHeptagonalpolgono de n lados



Usando o software Uma Pletora de Poliedros, conte o nmero de vrtices, arestas e faces dosprismas indicados abaixo, anotando os resultados na tabela. Lembre-se que, no software, voc podeusar o boto esquerdo do mouse para girar a figura.

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Prisma com base No de vrtices No de arestas No de faces Valor de V - A + F

TriangularQuadrangularPentagonalHexagonalHeptagonalpolgono de n lados



Usando o software Uma Pletora de Poliedros, conte o nmero de vrtices, arestas e facesdos slidos platnicos. Anote os resultados na tabela abaixo. Dica: voc pode usar os recursos deexibio de faces e de marcao de vrtices para auxiliar na contagem. Para contar o nmero de facesmais facilmente, voc pode planificar o slido usando a operao da aba Montar.

Poliedro regular No de vrtices No de arestas No de faces Valor de V - A + F

TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedro



No software Uma Pletora de Poliedros, a operao geomtrica de estrelar, disponvel na abaModelar, faz o seguinte: (1) ela constri pirmides cujas bases so as faces originais do poliedro e,em seguida, (2) ela remove estas bases.

a) Familiarize-se com esta operao geomtrica no software. Note como o valor do parmetro (con-trole deslizante) muda a altura da pirmide. O que acontece quando o valor do parmetro negativo?

b) Quantos vrtices, arestas e faces possui um estrelamento do tetraedro? E do cubo? E dos demaisslidos platnicos? possvel obter estes nmeros sem contar um a um os vrtices, arestas efaces? Tente montar uma estratgia!

c) Quantos vrtices, arestas e faces tem um estrelamento do slido arquimediano icosaedro truncado(poliedro que se assemelha a bola de futebol)?

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d) Os estrelamentos dos slidos platnicos satisfazem a relao de Euler V - A + F = 2? Por qu?

e) Fazendo um estrelamento no tetraedro regular, possvel obter um poliedro cujos vrtices sovrtices de um cubo?

f) Verdadeiro ou falso? O estrelamento de um poliedro convexo sempre um poliedro convexo.Justifique a sua resposta!

g) Verdadeiro ou falso? O estrelamento de um poliedro convexo nunca um poliedro convexo.Justifique a sua resposta!

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4.5 Atividades complementares.Apresentaremos algumas atividades que simulam situaes reais do cotidiano que tratam sobre

alguns contedos envolvendo geometria bsica, a serem resolvidas como desafio e sem auxilio desoftwares, aps uma certa experincia com os mesmos. Enfatizo a importncia das figuras para reso-luo das atividades, pois norteiam e do uma base, que posteriormente daro uma certa maturidadepara as resolues de problemas que no venham acompanhados de tais figuras, fazendo com que osalunos interpretem e faa seus prprios desenhos. Utilizamos como base a referncia [4].

1. Para proteger um terreno circular com raio de 12 m, amarra-se um feroz cachorro num pontoda circunferncia que contorna o terreno. A corda que prende o co tambm tem 12 m; logo, s umaparte do terreno fica protegida. Determine a rea do terreno que est sob a proteo do co.

Figura 4.11: (Fonte: [4]).

2. Um sitiante quer fazer um galinheiro, usando uma tela com 24 m de comprimento. De quemodo esse viveiro conter rea maior: tendo a forma de um quadrado, de um hexgono regular ou deum crculo?

Figura 4.12: galinheiros. (Fonte: [4]).

3. As trs latas apresentadas na Fig. 4.13 tm praticamente a mesma capacidade: 1 L.

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Figura 4.13: latas. (Fonte: [4]).

A primeira tem a forma de um paraleleppedo ratangular: suas faces so retngulos; a segundatem a forma de um cubo: suas faces so quadrados; a terceira feita com dois crculos e um retngulo.


Calcule e responda: qual dessas embalagens necessita de menor quantidade de material paraser feita?

4. Uma pessoa disse que viu um disco voador. Para marcar a posio do disco, ela enfiou nocho um cabo de vassoura apontado para o disco. Depois, viu que esse cabo formava um ngulo de30o com a horizontal. Outra pessoa disse que viu o mesmo disco, na mesma hora. S que o discoestava sobre sua cabea, na vertical.

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Usando um esquadro, desenhe um tringulo com um ngulo de 30o e outro de 90o. Observeque ele ser semelhante ao indicado na figura. Agora, acreditando no que as duas pessoas disseram, eusando as medidas do seu desenho, e sabendo que a distncia entre essas pessoas era 600 m, calculeaproximadamente a altura em que se encontrava o disco voador.

5. Thales, o grande matemtico do sculo VI a.C., foi tambm um prspero comerciante.Certa vez, visitou o Egito em viagem de negcios. Nessa ocasio, ele assombrou o fara e toda acrte egpcia: medindo a sombra da pirmide de Quops, ele calculou a altura da pirmide. Seu nicoauxiliar foi um basto de madeira, que ele cravou verticalmente no solo.


Thales considerou esses dois tringulos imaginrios:


Usando semelhana de tringulos, como foi que Tales conseguiu calcular a altura da pirmide?

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6. Observe a Fig. 4.18 e calcule a altura da rvore.


7. O professor de Matemtica passou este trabalho para meu grupo: medir a altura da escola,sem subir no telhado.


Para isso, ns medimos:

a altura de nossa colega Karen, obtendo 1,50 m;

o comprimento da sombra de Karen, obtendo 1,80 m;

a sombra do prdio da escola, obtendo 12 m.

Com essas medidas, calculamos a altura da escola. Qual essa altura? Calcule voc tambm aaltura da sua escola.

8. Valdemar tem um terreno na forma de um trapzio. Um riacho paralelo estrada em que sesitua divide o terreno em duas partes, como mostra a Fig. 4.20.

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Ele j cercou quase todo o limite extreno do terreno e s falta o trecho x, cuja medida em metros:

a) 14

b) 20

c) 36

d) 45

9. Nesta planta, temos terrenos com a forma de trapzios. Uma das frentes de cada terreno temmedidas conhecidas. Calcule as medidas das frentes que do para a Rua B.


10. Na construo de uma casa, os pedreiros marcam a direo das paredes com barbantes,presos por estacas. Para verificar se os barbantes esto perpendiculares, eles fazem um teste: medem3 m e 4 m, a partir do canto A. Depois, eles ligam com barbante as estacas B e C.

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Os pedreiros sabem que, se BC medir 5 m, o ngulo A ser reto, porque valer a relao dePitgoras: 32 +42 = 52. Agora, responda:

a) Se BC medir 4 m e 94 cm, o ngulo A ser agudo ou obtuso? Por qu?

b) E se BC medir 5,2 m, que tipo de ngulo ser A?

11. Na Fig. 4.23, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, ocomprimento total do corremo igual a quanto?


12. A Fig. 4.24 formada de oito tringulos retngulos, todos eles com um cateto de medidaigual a 1 cm. Calcule a medida de AB. (As medidas esto em centmetros.).

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13. A Fig. 4.25 mostra uma antena retransmissora de rdio de 72 m de altura. Ela sustentadapor 3 cabos de ao que ligam o topo da antena ao solo, em pontos que esto a 30 m do p da antena eque formam ngulos retos com ela. Quantos metros de cabo foram gastos para sustentar a antena?


14. No mapa, as cidades A, B e C so vrtices de um tringulo retngulo, sendo que o nguloreto A. A estrada AB tem 40 km e a estrada BC tem 50 km. As montanhas impedem a construode uma estrada que ligue diretamente A com C.

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Por isso, ser construda uma estrada da cidade A para a estrada BC, de modo que a distnciaseja mnima, ou seja, a estrada ser perpendicular a BC.

a) Qual o comprimento da estrada que ser construda?

b) O ponto onde essa estrada encontra a estrada BC dista quantos quilmetro da cidade C?

15. No cubo todas as faces so quadrados. Considere um cubo em que as arestas medem 10cm. Calcule a medida:

a) da diagonal de uma das faces do cubo;

b) de uma diagonal do cubo.

(Sugesto: no cubo representado na Fig. 4.27, HF a diagonal de uma das faces e HB uma diagonaldo cubo.).


16. Do alto de uma colina de 50 m de altura, uma pessoa observa na linha do horizonte umacidade que est a 25 km de distncia. Com esses dados, ela calculou o raio do planeta Terra. Mostreque clculos ela deve ter feito e diga que medida deve ter encontrado.

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17. Este problema aparece num livro do sculo XII, de autoria do matemtico Bhaskara.Resolva-o. Um pavo est no alto de uma coluna vertical de 6 m de altura, ao p da qual fica atoca de uma cobra. De repente, o pavo v a cobra, que est a 18 m da toca. A cobra tambm v opavo, e corre para a toca. O pavo faz um voo em linha reta e alcana a cobra antes que ela atinja atoca. Pobre cobra!


Sabendo que o pavo voou a mesma distncia percorrida pela cobra, diga a quantos metros datoca a cobra foi alcanada.

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4.6 Atividades com canudinhosO objetivo dessas atividades desenvolver nos alunos a capacidade de visualizao e represen-

tao geomtrica de figuras espaciais, construindo com material concreto alguns poliedros de Plato.Para isto utilizaremos canudos de plstico para construirmos as estruturas que iro representar asarestas dos seguintes poliedros: tetraedro, octaedro, icosaedro e cubo [25].

Atividade 1: Construo do tetraedro

Com seis pedaos de canudos de mesma cor de comprimento 8 cm e um pedao de linha comum metro de comprimento faremos a construo do tetraedro. Comeamos passando a linha por trspedaos de canudos formando um tringulo, que fechamos com um n. Depois passamos a linha pormais dois pedaos de canudos e formamos outro tringulo com um dos lados do primeiro tringulo.Passamos a linha por este lado do tringulo e pelo canudo restante e fechamos a estrutura com outron.

Figura 4.30: Esquema de construo do tetraedro. (Fonte: [25]).

Atividade 2: Construo do octaedro regular

Separamos 12 pedaos de canudos de mesma cor e comprimen

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Introdução a Geometria