Introdução a planejamento e otimização de experimentos

Aula 2 – Planejamentos -

Conceitos e Introdução

Prof. Ricardo de Freitas Branco

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Aula anterior• O que é um planejamento ? Para que serve ?

• Vantagens em relação a análise univariada ou combinação

sem análise estatística ?

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Conceitos e nomenclaturas em planejamento

• Parâmetros que serão estudados = fatores ou variáveis de

entrada

▫ Temperatura, pH, agitação, concentração, tempo, nota

Variáveis quantitativas contínuas

• Parâmetros que serão avaliados = resposta ou variáveis

resposta (contínuas )

• Valores que serão empregados = níveis (reais e codificados)

• Tabela contendo as condições experimentais = matriz do

planejamento

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n Valor

codificado

Xilose

(M)

Valor

codificado

NADPH

(mM)

1 -1,0 0,10 -1,0 0,60

2 1,0 0,40 -1,0 0,60

3 -1,0 0,10 1,0 2,4

4 1,0 0,40 1,0 2,4

5 -√2 0,039 0 1,5

6 +√2 0,46 0 1,5

7 0 0,25 -√2 0,23

8 0 0,25 +√2 2,8

9 0 0,25 0 1,5

10 0 0,25 0 1,5

11 0 0,25 0 1,5

Conceitos e nomenclaturas em planejamento

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Qual o planejamento ideal ?

• Qual o planejamento ideal ? Ou qual devemos escolher ?

▫ Depende do que se quer

• Planejamentos fatoriais completos = Avaliação de efeitos, interações e

modelos de primeira ordem (comportamento)

• Ampliação para modelos quadráticos (otimização) - DCCR

• Planejamentos fatoriais fracionado ou Plackett & Burman = para seleção,

screening variáveis (muitos fatores, novos processos)

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Montando um planejamento

• Vamos começar com um 22 (porque)

• Mas antes codificação dos níveis: nível inferior (-1) e superior (+1) outros

(falar)

xi = (Vr-Vc)/ΔV xi = valor codificado

Vr = Valor real (inferior, superior etc.)

Vc = Valor central (ponto 0) ou a média entre os valores

reais inferior e superior

ΔV = (Vs-Vi)/2; Vs = valor real superior

Vi = valor real inferior

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Montando um planejamento

• Exemplo: Efeito da temperatura e pH numa reação

▫ Temperatura faixa de 20-50 C e pH 3 a 6

▫ Calcular os termos e qual serio o ponto central

▫ Calcular os valores reais para raiz de 2 positivo e negativo

xi = (Vr-Vc)/ΔV

Resposta:

Temperatura: (0;35,0) ; (-1,42; 13,7); (1,42; 56,3) (-2; 5,0); (2; 65,0)

pH: (0;4,5) ; (-1,42; 2,4); (1,42; 6,6) (-2; 1,5); (2; 7,5)

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Montando e Apresentando o planejamento

• Tabela relacionando valores reais e codificados

Níveis codificados -1 0 1

Variável 1 (unidade) X Y Z

Variável 2 (unidade) W K N

... ... ... ...

Níveis codificados

-2 -1,42 -1 0 1 1,42 2

Temperatura (°C) 5,0 13,7 20,0 35,0 50,0 56,3 65,0

pH 1,5 2,4 3,0 4,5 6,0 6,6 7,5

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Montando e Apresentando o planejamento

• Experimentos = primeira coluna alternada de - +; a segunda

dois – e dois +; a terceira coluna quatro – e quatro +.Obs: Os

experimentos de ponto central normalmente são colocados por

último.

• Matriz do planejamentoEnsaio Variável 1 Variável 2 Variável 3 ...

1 -1 -1 -1

2 1 -1 -1

3 -1 1 -1

4 1 1 -1

5 -1 -1 1

6 1 -1 1

... ... ... ...

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Montando e Apresentando o planejamento

• Fazer o do exemplo anterior, mais 3 pontos centrais

Ensaio Temperatura pH

1 -1 -1

2 1 -1

3 -1 1

4 1 1

5 0 0

6 0 0

7 0 0

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Exemplo – 22 para cálculo de efeitos• Efeito da temperatura e pH na atividade de um catalisador

• Interpretar – (noção do efeito, o q é efeito)

Ensaio pH TemperaturaResposta (atividade, U)

Totais MédiasRepetições

1 -1 -1 218 212 170 600 200

2 1 -1 73 76 67 216 72

3 -1 1 399 411 402 1212 404

4 1 1 222 258 270 750 250

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Exemplo – 22 para cálculo de efeitos• Representação gráfica dos resultados obtidos

• Interpretar – (noção do efeito, o q é efeito)

pH

Temperatura

+

+

-

-

200 72

250404

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Exemplo – 22 para cálculo de efeitos• Efeito é de um fator pode ser entendido como a variação causada na

resposta, quando percorremos todos os níveis desse fator.

• Quando se tratar de efeito principal, independente dos outros fatores

O efeito principal é sempre em relação a somente um dos fatores.

• Como calcular ?

• Diferença das médias da resposta dos níveis superior (1) e inferior (-1)

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Exemplo – 22 para cálculo de efeitos

Níveis de temperatura

Níveis de pHMédias marginais

segundo a temperatura- +

- 200 72yT + = 136

+ 404 250yT - = 327

Médias Marginais

segundo o pHypH -= 302 ypH + = 161 y = 231

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Exemplo – 22 para cálculo de efeitos

• Efeito para o pH (fator A)

 = ẏpH+ - ẏpH - = 161 – 302 = -141

• Efeito para a temperatura (fator B)

Ḃ = ẏT+ - ẏT- = 327 – 136 = 191

• E a interação ?

Efeito de Interação de primeira ordem = variação causada na resposta

quando se faz variar os níveis de um dos fatores “dentro” de cada nível do

outro

Será subtração das médias das interações positivas e das

interações negativas (voltar no gráfico)

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Exemplo – 22 para cálculo de efeitos

• Simplificando: é só somar os efeitos de interação positiva

(multiplicação resulta em sina +) e subtrair dos efeitos de

interação negativa (multiplicação resulta em sina -) e dividir por

dois.

AB = (200+ 250 – 72 – 404)/2 = -13

Discutir o efeito da interação (voltar no gráfico)

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18

Estudo de caso 1• Avaliar a influência da temperatura e tipo de catalisador na

eficiência de uma reação química

Catalisador A(-1) e B (1) – Fator A

Temperatura de 40(-1) a 60 (1) – Fator B

Fazer as tabelas (valores reais e codificados e matriz do

planejamento 22)

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Estudo de caso 1• Tabela de resultados

Fazer todos os cálculos anteriores (totais, medias, efeitos principais,

efeito de interação de primeira ordem, gráfico dos resultados)

Ensaio Temperatura CatalisadorResposta (Efic, %)

Repetições

1 -1 -1 57 61

2 1 -1 92 88

3 -1 1 55 53

4 1 1 66 70

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Estudo de caso 1

• Resolução

Ensaio Temperatura CatalisadorResposta (Efic, %)

Totais MédiasRepetições

1 -1 -1 57 61 118 59

2 1 -1 92 88 180 90

3 -1 1 55 53 108 54

4 1 1 66 70 136 68

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Estudo de caso 1• Gráfico

Catalisador

Temperatura

+

+

-

-

59 54

6890

22

Estudo de caso 1• Tabela

Níveis de temperatura

Níveis de catalisador Médias marginais

segundo a temperatura- +

+ 90 68 ẏT + = 79

- 59 54 ẏT - = 57

Médias Marginais segundo o

catalisador

ẏC -= 75 ẏC + = 61 ẏ = 68

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Estudo de caso 1• Resultados

• Efeitos

 = - 14 %

B = 22 %

AB = - 8,5 %

Discussão (lembrar da interação)

Quando há interação os não se pode discutir os efeitos

principais isoladamente.

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Construção de modelos• Modelo linear

Y = a0 + a1x1 + a2x2 + a12x1.x2...

a0; a1;a2;a12... são constantes (termos) calculadas a partir dos

efeitos dos fatores e suas interações

x1;x2...são as variáveis envolvidas (valor codificado)

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Exemplo 1• Modelo linear

O cálculo dos termos é baseado nos efeitos

a0 = média total = 231,5

a1 = Â/2 = -141/2 = -70,5

a2 = B/2 = 191/2 = 95,5

a12 = AB/2 = -13/2 = -6,5

• Como fica o modelo:

• y = 231,5 – 70,5.x1(pH) + 95,5. x2(T°) – 6,5.x1.x2

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Para fazer em casa• Fazer os mesmos cálculo para o estudo de caso 1

• Fazer o gráfico da função calculada, fixando o valor de pH em -1 e variando

a temperatura e no mesmo gráfico fixar o valor de pH em 1 e variar a

temperatura. (fazer também para o estudo de caso 1)

▫ O que você observou ? Qual a diferença entre os gráficos obtidos no exemplo e

no estudo de caso ?

• Entregar impresso na próxima semana

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Conclusão

Delineamento possui termos característicos

Mais importante saber do processo do que de

planejamento

Conceito de efeitos principais e de interação de primeira

ordem

Quando há interação significativa não se pode discutir os

efeitos principais envolvidos separadamente

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Próxima aula

• Erros, significância de resultados e testes de hipótese (será

que os efeitos calculados podem ser levados em

consideração ? Será que são realmente significativos ?)