Disciplina:Aerodinâmica

Prof. Fernando Porto

IntroduçãoParte 3

Semelhança

• A solução de muitos problemas da Mecânica dos Fluidos por métodos analíticos é em geral trabalhosa, e por vezes, impossível, devido ao grande número de variáveis.

• Devido a isto, foram desenvolvidos métodos experimentais que permitem produzir modelos matemáticos condizentes com a realidade.

Grandezas Fundamentais e Derivadas

• Grandezas fundamentais: grandezas independentes, a partir das quais podem ser relacionadas todas as demais. O conjunto dessas grandezas recebe o nome de base completa da Mecânica, e conforme o tipo de pesquisa a ser conduzida, pode ser a FLT (força, comprimento e tempo) ou a MLT(massa, comprimento e tempo).

• Por simplicidade e praticidade, será adotada a base completa FLT no material que se segue.

• Todas as demais grandezas que não fazem parte da base completa são denominadas de grandezas derivadas e são relacionadas com as grandezas fundamentais através de equações da Mecânica.

Exemplo 1

• Escreva a equação dimensional da viscosidade cinemática na base FLT (portanto massa será considerada como grandeza derivada).

휈 =휇휌

휏 = 휇.푑푉푑푦

⇒ 휇 = 휏.푑푦푑푉

⇒ 휇 =퐹퐴

.푑푦푑푉

⇒ 휇 =퐹퐿

.퐿퐿푇

=퐹.푇퐿

휌 =푚∀

=퐹푎∀

=퐹푎.∀

⇒ 휌 =퐹

퐿푇 .퐿

=퐹.푇퐿

Viscosidade cinemática

: ni: mi: ro: tal

휇 =퐹.푇퐿

휌 =퐹.푇퐿

휈 =휇휌

=퐹.푇퐿퐹.푇퐿

=퐿푇

• Como FLT é a base utilizada, então

휈 = 퐹 .퐿 .푇

: ni: mi: ro: tal

Números Adimensionais

• Um número é adimensional quando independe de todas as grandezas fundamentais, isto é, sua equação dimensional apresenta expoente zero em todas as grandezas fundamentais (por exemplo, F0 . L0 . T0 ).

• O número de Reynolds é um número adimensional importante para a Mecânica dos fluidos. Este número é representado por Re, mas na análise dimensional os números adimensionais costumam ser representados pela letra grega .

Números Adimensionais e a Pesquisa Física

• Seja a determinação da força F de arrasto exercida por uma esfera lisa inserida em um escoamento.

• O pesquisador verificou esta força depende, qualitativamente, do diâmetro D da esfera, da velocidade V do escoamento, da massa específica e da viscosidade dinâmica do fluido.

F

V

D

• No laboratório, o experimento será conduzido em um túnel de vento (se o fluido for um gás) ou em um canal de prova (se o fluido for líquido), e a medida de força será efetuada por um dinamômetro.

• O experimento será feito para diversos diâmetros de esfera, sendo que, para cada diâmetro de esfera, serão feitas medidas da força de arrasto empregando uma ampla gama de velocidades de escoamento, tudo para um mesmo fluido.

• Após encerrada esta série de medidas, esta será repetida integralmente para uma gama de diferentes viscosidades, assim como para uma variedade de massas específicas.

• A pesquisa visa determinar analítica ou graficamente

퐹 = 푓 퐷, 휈,휌, 휇

• O tempo consumido neste experimento seria grande, além de ser necessário superar diversas dificuldades de ordem prática, tais como obter fluidos de massa específica fixa e viscosidade variável.

• Diante das dificuldades dessa operação, vejamos como ela poderia ser simplificada em termos de tempo e recursos.

• Suponha a existência dos seguintes números adimensionais, contendo todas as variáveis do estudo:

휋 =퐹

휌.푉 .퐷휋 =

휌.푉.퐷휇

• Seja uma única esfera de diâmetro D e um único fluido de massa específica e viscosidade . Varia-se V e medem-se as variações de F no dinamômetro.

• Obtida uma tabela de F em função de V, pode-se tabelar 1 e 2.

Número de Reynolds

• Observe que estes números estão interligados pela existência da velocidade em ambas as expressões. Deste modo, para cada 1 existe um 2, sendo assim possível construir um gráfico 1 = f (2).

1

2

• Note que, como 1 e 2 são adimensionais, as coordenadas de cada ponto da curva independem dos valores individuais de F, D, V, , e . Assim, o fato de ter sido utilizado um único fluido e uma única esfera não anulará a generalidade da pesquisa.

1

2

• Cada ponto da curva envolve as infinitas combinações de valores das variáveis do fenômeno, e o problema da determinação da força de arrasto sobre a esfera fica assim resolvido.

휋 =휌.푉.퐷휇

휋 =퐹

휌.푉 .퐷

100

0,4

Exemplo 2

• Determinar a força de arrasto F para uma esfera D = 10 mm em um escoamento de V = 0,01 m/s. Fluido água. Utilize os números adimensionais 1 e 2 apresentados anteriormente.

휋 =휌.푉.퐷휇

휋 =퐹

휌.푉 .퐷

= 998 kg/m3

= 0,001 N.s/m2

100

0,4

Teorema dos

• Seja um fenômeno físico em que intervêm n variáveis x1, x2, x3, ..., xn, interligadas por uma função 푓 푥 , 푥 ,푥 , … 푥 = 0.

• Existe outra função 휙 휋 ,휋 ,휋 , …휋 = 0, rigorosamente equivalente à anterior para o estudo do fenômeno indicado, onde:

a) Os i são números adimensionais independentes, construídos por combinações adequadas das grandezas ou variáveis influentes no fenômeno.

b) A quantidade de números adimensionais é m = n – r, onde né o número de grandezas envolvidas no fenômeno, e r é o número de grandezas fundamentais. Neste caso, r 3.

c) Os números adimensionais são obtidos por expressões do tipo

휋 = 푥 . 푥 . … . 푥 .푥

휋 = 푥 . 푥 . … . 푥 .푥

...

휋 = 푥 .푥 . … . 푥 .푥

Se r = 3, então cada número adimensional será composto por no máximo 4 fatores!

• Note que em todos os adimensionais de um mesmo fenômeno, os primeiros r fatores são os mesmos com exceção dos expoentes.

• Este conjunto de r fatores é denominado de base das grandezas envolvidas. As grandezas da base devem ser independentes.

• Para sua escolha, escreve-se a equação dimensional de todas as grandezas e seleciona-se um número delas, de forma que cada uma difira da anterior por, pelo menos, uma grandeza fundamental.

• Por exemplo, num fenômeno em que existem as grandes fundamentais FLT, a base poderia ser constituída por

• 휌 = 퐹. 퐿 .푇• 푉 = 퐿.푇• 퐷 = 퐿

Independe de F que comparece em

Independe de T que comparece em V

• Neste grupo, L é um comprimento característico, por exemplo o diâmetro de uma esfera, a corda de uma asa, o comprimento de uma placa, etc.

• Quando esta trinca estiver presente entre as grandezas de um fenômeno, deverá ser preferida, pois a maioria dos adimensionais conhecidos dela tem origem (número de Reynolds, por exemplo).

• O último fator de cada adimensional será constituído de cada uma das grandezas não incluídas na base.

Exemplo 3

• Verificou-se em laboratório que a força de arrasto, que age numa esfera lisa que se movimenta num fluido, é dada por uma função do tipo 퐹 = 푓 푉,퐷,휌,휇 . Determine a função de números adimensionais equivalente a função indicada.

• 1º passo: análise dimensional das grandezas que intervêm no fenômeno:

퐹 = 퐹 휌 = 퐹. 퐿 .푇 푉 = 퐿.푇퐷 = 퐿 휇 = 퐹. 퐿 .푇

• 2º passo: número de adimensionais independentes:푚 = 푛 − 푟

• O número de grandezas envolvidas é 5 (푉,퐷,퐹,휌, 휇), portanto n = 5; a base completa da Mecânica empregada é a FLT, portanto r = 3 (número de grandezas fundamentais).

• Assim, m = 2.

• 3º passo: seleção das grandezas que integrarão os números adimensionais. Procura-se sempre selecionar inicialmente a trinca tradicional recomendada (푉,퐷,휌).

• 4º passo: Construção de adimensionais

휋 = 휌 .푉 .퐷 .퐹

휋 = 휌 .푉 .퐷 . 휇

• 5º passo: Determinação dos expoentes e :

휋 = 휌 . 푉 . 퐷 . 퐹 = 퐹 . 퐿 .푇

휋 = 퐹. 퐿 .푇 . 퐿.푇 . 퐿 . 퐹 = 퐹 . 퐿 .푇

휋 = 퐹 . 퐿 . 푇 = 퐹 . 퐿 .푇

훼1 = −1 훼2 = −2 훼3 = −2

Similarmente

훽1 = −1 훽2 = −1 훽3 = −1

• 6º Passo: Montagem dos adimensionais:

휋 = 휌 .푉 .퐷 .퐹 =퐹

휌.푉 .퐷

휋 = 휌 .푉 .퐷 . 휇 =휇

휌.푉.퐷

• A função equivalente será

휙퐹

휌.푉 .퐷,

휇휌.푉.퐷

= 0

Números Adimensionais Típicos

• Alguns exemplos de números adimensionais:

• Número de Reynolds: 푅푒 = . .

• Número de Euler: 퐸푢 =.

• Número de Freude: 퐹푟 =.

• Número de Mach: 푀 = Escoamentos compressíveis

Relação entre forças de inércia e forças devido a aceleração da gravidade: escoamento superficial com ondas.

Relação entre forças de pressão e forças de inércia em escoamentos

Relação entre forças de inércia e forças viscosas em escoamentos

Semelhança ou Teoria dos Modelos

• Para que os resultados de grandezas medidas em ensaios com modelos em escala reduzida tenham valor prático em relação ao objeto de estudo em tamanho real (chamado aqui de protótipo), certas condições devem ser cumpridas:

1. Semelhança geométrica entre modelo e protótipo.2. Semelhança cinemática entre modelo e protótipo, isto é, as

velocidades das partículas de fluido homólogas deverão manter uma relação constante.

3. Semelhança dinâmica entre modelo e protótipo, isto é, as forças que agem em pontos homólogos devem manter relações constantes.

• Para que todas estas condições sejam obtidas, verifica-se que os números adimensionais referentes ao protótipo devem ser iguais aos referentes ao modelo. Nestas condições, diz-se que existe uma semelhança completa entre modelo e protótipo.

• Entretanto, isto nem sempre é possível, e dependerá da experiência do pesquisador associar ao protótipo os resultados obtidos através do modelo.

F

V

D

F

V

D

푉푉

=푉푉

= ⋯ =푉푉

modeloprotótipo

Escalas de Semelhança

• As escalas de semelhança são indicadas pela letra K:

• Escala geométrica: 퐾 =

• Escala de velocidades: 퐾 =

• Escala de viscosidades: 퐾 =

• Genericamente: 퐾 =

Relação entre Escalas

• Para que modelo e protótipo mantenham semelhança completa, é necessária igualdade dos respectivos números adimensionais.

• Tal igualdade conduz a relações entre escalas que devem ser observadas para que os ensaios com modelos tenham significado em relação ao protótipo.

• São apresentadas a seguir estas relações quando Re, Eu e Frforem selecionados como adimensionais característicos do fenômeno.

• 푅푒 = 푅푒

휌 .푉 . 퐿휇

=휌 .푉 . 퐿

휇표푢

휇휇

=휌 .푉 .퐿휌 .푉 . 퐿

Logo퐾 = 퐾 .퐾 .퐾

• 퐸푢 = 퐸푢

퐹휌 .푉 . 퐿

=퐹

휌 .푉 . 퐿표푢

퐹퐹

=휌 .푉 .퐿휌 .푉 .퐿

Logo퐾 = 퐾 .퐾 .퐾

Número de Reynolds

Número de Euler

• 퐹푟 = 퐹푟

푉퐿 .푔

=푉

퐿 .푔표푢

푉푉

=퐿 .푔퐿 .푔

Logo

퐾 = 퐾 .퐾

• Como a gravidade é normalmente considerada como uma constante, então Kg = 1.

Número de Froude

Exemplo 4

• Deseja-se determinar a força de arrasto que age no sonar de um submarino por meio de testes efetuados com um modelo na escala de 1:5. Testes foram realizados em água a 20oC, a uma velocidade de 60 km/h, e a força de arrasto medida foi de 30 N. Sabendo-se que o protótipo (submarino real) será utilizado em água a 4oC, calcular (a) a velocidade do submarino em condição de semelhança completa e, nessas condições, (b) determine a força de arrasto correspondente.

Submarino Classe Akula, Rússia

sonar

• Sabe-se que a força de arrasto Fs é influenciada principalmente pelas grandezas V, L, e , portanto

푓 퐹 ,푉, 퐿,휌, 휇 = 0• Isto nos leva aos adimensionais

휙퐹

휌.푉 . 퐿,휌.푉. 퐿휇

= 0

• Propriedades da água a 20oC e a 4oC:

Propriedade 4oC 20oC [kg/m3] 1000 998 [N.s/m2] 1,6 10-3 1,0 10-3

(Eu, Re) = 0

Fonte: Fox & McDonald

Propriedades da Água vrs. Temperatura (SI)

(a) • Da relação entre escalas, relativa ao número de Reynolds:

퐾 = 퐾 .퐾 .퐾• ou

휇휇

=휌 .푉 . 퐿휌 .푉 . 퐿

• Logo

1,0 × 101,6 × 10

=998.푉 . 11000.푉 . 5

⇒ 푉푉

= 3,1313

• Como Vm = 60 km/h, então Vp = 19,16 km/h.16,67 m/s 5,32 m/s

(b) • Da relação entre escalas, relativa ao número de Euler:

퐾 = 퐾 .퐾 .퐾• ou

퐹퐹

=휌 .푉 . 퐿휌 .푉 . 퐿

• Logo

퐹퐹

=998. 16,67 . 1 1000. 5,32 . 5

⇒퐹퐹

= 0,3920

• Como Fm = 30 N, então Fp = 76,5 N.

Exemplo 5

• Um dirigível deverá operar a 20 m/s em atmosfera padrão. Um modelo em escala 1/20 é testado em túnel de vento, na mesma temperatura do ar, para determinar o arrasto. (a) Qual o critério a ser considerado para obter similaridade dinâmica? (b) Se o modelo é testado a 75 m/s, qual é a pressão a ser usada no túnel de vento? (c) Se a força de arrasto do modelo é de 250 N, de quanto seria o arrasto do protótipo?

Zeppelin NT ("Neue Technologie“) Alemanha

a) Sabe-se que a força de arrasto Fs é influenciada principalmente pelas grandezas V, L, e , portanto

푓 퐹 ,푉, 퐿,휌, 휇 = 0

• Isto nos leva aos adimensionais

휙퐹

휌.푉 . 퐿,휌.푉. 퐿휇

= 0

• Da relação entre escalas, relativa ao número de Reynolds, tem-se o critério de similaridade:

퐾 = 퐾 .퐾 .퐾

(Eu, Re) = 0

b) Tem-se, portanto, que휇휇

=휌 .푉 . 퐿휌 .푉 . 퐿

• Do enunciado do problema, sabe-se que 퐿 /퐿 = 1/20:휇휇

=휌 × 75 × 1휌 × 20 × 20

=휌휌

×3

16

• O ar empregado no túnel de vento estará na mesma temperatura em que o protótipo deverá operar, porém em pressões diferentes. Tanto a viscosidade como a densidade sofrem variação em função da temperatura. Entretanto, como na prática o efeito da pressão sobre a viscosidade é desprezível (equação de Sutherland), então neste caso pode-se considerar 휇 = 휇 .

• Lembrando a equação de Sutherland para viscosidade:

휇 =푏푇푆 + 푇

• Para o ar

푏 = 1,458 × 10 푘푔

푚. 푠.퐾 ,

푆 = 110,4퐾

휇휇

= 1 ⇒ 1 =휌휌

×3

16⇒ 휌 =

163휌

• Para um gás ideal, 푝 = 휌.푅.푇

푝푅.푇

=163

×푝푅.푇

푝 =163

× 푝

• Considerando a pressão atmosférica como sendo a do nível do mar, padrão (푃 = 101,325푘푃푎), a pressão no túnel de vento deverá ser aproximadamente 540,4푘푃푎.

c) Da relação entre escalas, relativa ao número de Euler:

퐾 = 퐾 .퐾 .퐾• ou

퐹퐹

=휌 .푉 . 퐿휌 .푉 . 퐿

• Logo

퐹퐹

=16 × 75 × 1 3 × 20 × 20

⇒퐹퐹

= 0,1875

• Como Fm = 250 N, então Fp 1333 N.

Bibliografia

Franco BrunettiMecânica dos Fluidos; 1ª ed., Editora Pearson,

Prentice Hall, 2005.

ISBN 85.87918-99-0

Bibliografia

Robert W. Fox, Alan T. McDonaldIntrodução à Mecânica dos Fluidos. Rio de Janeiro RJ, 4ª.Ed.; Editora Afijada.

ISBN-10: 8521610785ISBN-13: 978-8521610786