IOP2(Teoria de Colas)

8/12/2019 IOP2(Teoria de Colas)

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TEORIA DE COLAS

InvestigacinOperativa 2


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Caractersticas de los sistemas

Poblacin que quiere

ingresar al sistema deatencin

Sistema de atencin

Procesode entrada

o dellegada

Procesode salida

o deservicio

Cola


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Proceso de entrada

Se conoce como proceso de llegada.

La llegada son los clientes.

Supuestos:Los clientes llegan individualmente.

El proceso de llegadas no es afectado por el nmero declientes presentes en el sistema.

Se utiliza una distribucin de probabilidad que gobierne eltiempo entre llegadas sucesivas.


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Proceso de salida

Se conoce como proceso de servicio.

Supuestos:

Los clientes salen individualmente.El tiempo de servicio es independiente del nmero declientes presentes en el sistema.

Se utiliza una distribucin de probabilidad que gobierne eltiempo de servicio a un cliente.

Estudiaremos servidores en serie y servidores en paralelo.


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Modelado del proceso de llegada

Se define ti, como el instante en el cual llega el i-simocliente.

El valor: Ti= ti+1

ties el i-simo tiempo entre llegadas.

Asumimos que las Ti son variables independientes,aleatorias y contnuas, descritas por la variable aleatoriaX.

Si X tiene funcin de densidad f(x), entonces:

P(Xc) = 0,cf(x) dx


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Modelado del proceso de llegada Se define 1/ como el tiempo promedio entre llegadas(unidad de tiempo por cliente)

1/= 0,x f(x) dx

A se le llama tasa de llegadas y 1/ es el tiempopromedio entre llegadas. Las unidades de son clientes porunidad de tiempo.

Usualmente se selecciona la distribucin exponencial pararepresentar aX, cuya funcin de densidad es: f(x) = e-x

f(x) decrece rpido para x pequeos, es decir, son pocos

probables tiempos entre llegadas muy grandes.


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Relacin entre la Poisson y laexponencial

TEOREMA 1

Los tiempos entre llegadas son exponenciales conparmetro si y slo si el nmero de llegadas que suceden

en el intervalo t sigue una distribucin de Poisson conparmetro t.

Una variable aleatoria discreta N tiene una distribucin de

Poisson con parmetro si para N = 0, 1, 2, ....P(N=n) = e- n/n!

Se puede demostrar que E(N) = Var(N) =


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Relacin entre la Poisson y laexponencial

Si hacemos que Ntsea el nmero de llegadas que sucedendurante cualquier intervalo de tiempo de longitud t. Se tiene:

P(Nt=n) = e- t(t)n/n!

Se puede demostrar que E(Nt) = Var(Nt) = t

Un promedio de llegadas se suceden durante un intervalode tiempo de longitud t y, entonces se puede pensar que esel nmero promedio de llegadas por unidad de tiempo.


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Ejemplo

El nmero de jarras de cervezas pedidas en un bar,sigue una distribucin Poisson con promedio de 30cervezas por hora.

a) Calcule la probabilidad de que se pidan exactamente60 cervezas entre las 10pm y las 12 de la noche.

= 30 cervezas/horat = 12 10 = 2 horas

t = 60 cervezas

P(Nt=60) = e- 60(60)60/60!


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Ejemplo

b) Determine el promedio y la desviacin estndar delnmero de cervezas pedidas entre las 9pm y la 1am.

= 30 cervezas/horat = 13 9 = 4 horas

E(Nt) = t = 120

Var(Nt) = t = 120

= (120)1/2 = 10.95


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Ejemplo

b) Calcule la probabilidad de que el tiempo entre dospedidos consecutivos sea entre 1 y 3 minutos.

Sea x el tiempo en minutos entre pedidos consecutivosde cerveza.

El nmero promedio de pedidos por minutos esexponencial con parmetro

= 30/60 = 0.5cervezas/minuto

f(X) = e- x= 0.5e-0.5x

P(1x 3) = 1,30.5e-0.5xdx = e-0.5e-1.5= 0.38


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Modelado del proceso de servicioSuponemos que los tiempos de servicio de distintosclientes son VA independientes.

El tiempo de servicio de cada cliente est regido por lavariable aleatoria Z, que tiene funcin de densidad f(Z).

Definimos 1/ como el tiempo promedio de servicio a uncliente:

1/ = 0,z f(z) dz

A se le llama tasa de servicio y 1/ es el tiempopromedio de servicio. Las unidades de son clientes porunidad de tiempo.

La funcin de densidad es: f(x) = e-x (Dist. Exponencial)


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Procesos de nacimiento y muerteSe define como estado del sistema en el tiempo t alnmero de personas presentes en cualquier sistema decolas en el tiempo t.

Definimos un nacimientocomo una llegada de un nuevocliente al sistema.

Definimos una muerte como el trmino del servicio a un

cliente.

Un proceso de nacimiento y muerte es un procesoestocstico continuo en el tiempo para el que el estado del

sistema en cualquier tiempo es un entero no negativo.


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Procesos de nacimiento y muerteTenemos as:

n(t) : tasa de nacimientos en el instante t.

n(t) : tasa de muertes en el instante t.

Pn(t) : probabilidad de que haya n clientes en el sistemaen el instante t.

Suponemos que:

n(t) = n, n(t) = n, Pn(t) = Pn

Sin embargo, t debe ser tal que slo puede ocurrir un

nacimiento o una muerte en el intervalo [t, t+ t]


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Diagrama de tasas

Ecuaciones de balance:0P0= 1P10P0+ 2P2 = (1+ 1)P11P1+ 3P3 = (2+ 2)P2

.........

n-2Pn-2+ nPn = (n-1+ n-1)Pn-1

0 1 n-12 n n+1

0 1 2 n-2 n-1 n n+1

1 2 3 n-1 n n+1 n+2


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Ecuaciones de balance

Resolviendo:

P1= (0/1)P0P2= (0 1 /1 2)P0

P3= (0 1 2 /1 2 3)P0....................

Pn= (0 1 2..... n-2 n-1 /1 2 3..... n-1 n)P0

Sea: Cn= i=1,n(i-1 /i)

Entonces: Pn= CnP0 para n=1, 2, 3, ....


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Ecuaciones de balance

Adems:

n=0,Pn= 1Pero: Pn= CnP0 se da para valores de n mayores que 1

Por tanto:P0+ n=1,Pn= 1

P0+ n=1,CnP0 = 1

P0[1 + n=1,Cn]= 1

P0 = [1 + n=1,Cn]-1


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Relaciones entre Pn, L, W, Lq,

Wq, Lsy Ws

L= n=0,nPn

Lq= n=s,(n-s)Pn , s = nmero de servidores en paralelo

W= L /p , Wq= Lq/p

P= n=0,nPn

Ls= L Lq

Ws= W W

q


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Notacin de KENDALL-LEE

Usaremos la siguiente notacin:

1/2/3/4/5/6

1: Especifica la naturaleza del proceso de llegada

2: Especifica la naturaleza de los tiempos de servicio3: Especifica el nmero de servidores en paralelo

4: Describe la disciplina de la cola (FIFO, LIFO, RS, DG)

5: Especifica el nmero mximo de clientes en el sistema

6: Es el tamao de la poblacin de la cual se toman los clientes

Las caractersticas 1 y 2 pueden ser: M, D, Ek, G


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Modelo de colas con poblacin

infinita y un servidor (1)(M/M/1/DG// )Asumimos que n= para n 0 y que:

n = para n 1

0 1 n-12 n n+1


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infinita y un servidor (1)(M/M/1/DG// )Validar las frmulas siguientes para = /< 1

Sabemos que: Cn= i=1,n(i-1 /i) = i=1,n(/) = (/)n

= n

La probabilidad de encontrar el sistema vaco u ocioso es:

P0 = [1 + n=1,Cn]1

= [1 + n=1,n]1

= [ n=0,n]1

= 1 -


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infinita y un servidor (1)(M/M/1/DG// )La probabilidad de encontrar n clientes en el sistema, es:

Pn = CnP0= n(1-)

La probabilidad de encontrar el sistema ocupado outilizacin del sistema es:

= P(n s)= P(n 1)

= 1 P0

=


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infinita y un servidor (1)(M/M/1/DG// )El nmero promedio de clientes en el sistema es:

L = n=0,nPn

L= /(1-)

Entonces: L= n=0,nn(1-)

L= (1-) n=0,nn

L= (1-) n=0,nn-1

L= (1-) n=0,(n)/()

L= (1-) ( n=0,n) / ()

L= (1-) [1/ (1-)] / ()

L= (1-) /[(1-)2]

adems, Pn = n(1-)


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infinita y un servidor (1)(M/M/1/DG// )El nmero promedio de clientes en la cola es:

Lq= n=s,(n-s) Pn

Lq= 2/(1)

Entonces: Lq= n=1,(n1)Pn

Lq= n=1,nPn n=1,Pn

Lq= n=0,nPn

( 1

P0)Lq= L( 1 P0)

Lq= = /(1-) ()

adems, P0 = 1- ,s=1


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infinita y un servidor (1)(M/M/1/DG// )El nmero promedio de clientes en el servicio es:

Ls= L Lq

Ls=

Entonces: Ls= /(1-) 2/(1)

Ls= (1-)/(1)

adems, L= /(1-) y Lq= 2/(1)


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infinita y un servidor (1)(M/M/1/DG// )El tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema es:

W= L /p

W= 1/(- )

Entonces: W= /((1-))

W= //((1- /))

W= /((- ))

adems, L= /(1-) ;p= y = /


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infinita y un servidor (1)(M/M/1/DG// )El tiempo promedio que pasa un cliente en la cola es:

Wq= Lq/p

Wq= /[(- )]

Entonces: Wq= 2/(1)/

Wq= 2/((- )2)

adems, Lq= 2/(1); p= y = /


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Problema 1.A

Se tiene una cola rpida que atiende a clientes con 10artculos o menos.

LLEGADAS: proceso Poisson (tasa media de 30 por hora)

SERVICIO: distribucin exponencial (media de un minuto)

L= /(1-)

= 1 persona

SOLUCION ( 1 2 3 4 5 6 )M M 1 DG

Cliente: Persona

Servidor: Caja rpida

= 30 personas/hora1/= 1 minuto

= 60 personas/hora

= /= 30/60 < 1

W= 1/(- )

= 1/30 hora

= 2 minutos


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Modelo de colas con cola de

espera finita y un servidor (2)(M/M/1/DG/K/ )Asumimos que n= para n = 0, 1, 2, ... K-1, y que:

n = para n = 1, 2, ... K

0 1k-2

2k-1 k


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espera finita y un servidor (2)(M/M/1/DG/K/ )Frmulas vlidas s, = /< 1

Cn= n

para n = 1, 2, ... K y adems p= (1

Pk)P0= (1 )/(1 k+1)

P(n 1) = 1 (1 )/(1 k+1)

L = [(1 )] [(K+1)k+1/)/(1 k+1)]

Lq= L (1 P0)Ls= 1 P

W = L / [(1 Pk)]

Wq= Lq / [(1 Pk)]

Ws= (1 P0)/[(1 Pk)]


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Problema 2

Una estacin de servicio tiene lugar para que un mximode 4 autos reciban servicio o lo esperen.

LLEGADAS: proceso Poisson (tasa de 24 por hora)

SERVICIO: distribucin exponencial (media de 3 minutos)

Hay que aplicar lasfrmulas bsicas o lasecuaciones de balance

SOLUCION ( 1 2 3 4 5 6 )M M 1 DG 4

Cliente: Autos

Servidor: Estacin

= 24 clientes/hora1/= 3 minutos

= 20 clientes/hora

= /= 24/20 > 1


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Problema 2

Se tiene: = 24 clientes/hora; = 20 clientes/hora; k=4

Las ecuaciones de balance:

24P0 = 20P1

24P0+ 20P2 = (24+20)P124P1+ 20P3 = (24+20)P224P2+ 20P4 = (24+20)P324P3 = 20P4P0+ P1+ P2+ P3+ P4 = 1

0 1 32 4

De donde:

P0= 0.1344

P1 = 0.1612P2 = 0.1935P3 = 0.2322P4= 0.2786


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infinita y varios servidores (3)(M/M/s/DG// )Asumimos que n= para n 0 y que:

n = para n = 1, 2, 3,.... s 1= s para n = s, s+1,s+2,....,

0 1 s-12 s s+1

2 3 (s-1) s s s

= /< 1


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Problema 3Se tiene actualmente dos confesionarios con colas

separadas. Se quiere cambiar a un sistema con cola nica.LLEGADAS: proceso Poisson (tasa media de 30 por hora).Distribuidas en forma equitativa entre las dos colas.

SERVICIO: distribucin exponencial (media de 3 minutos)

SOLUCION ( 1 2 3 4 5 6 )M M 1 DG

= 15 personas/hora

1/= 3 minutos = 20 personas/hora

= /= 15/20 < 1

W= 1/(- )

Actual: 2 modelos

W= 1/5 horas = 12 minutos

SOLUCION

= 30 personas/hora = 20 personas/hora

W= P(ns)/(s- ) + 1/

Propuesta: 1 modelo

W= 0.1143 horas = 6.8 min

s = 2

( 1 2 3 4 5 6 )M M 2 DG

= 3/4

W= 0.1143 horas = 6.8 min


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espera finita y varios servidores (4)(M/M/s/DG/K/ )Asumimos que n= para n 0 y que:

n = n para n = 1, 2, 3,.... s 1= s para n = s, s+1,s+2,....,K

0 1 ss-1 k-1 k

2 s s s s

(K s)= /s< 1

(s-1)


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Problema 4Dos empleadas constestan llamadas telefnicas.

Una llamada se puede poner en espera hasta que unaempleada est desocupada.

Si las tres lneas estn ocupadas la llamada se pierde.

LLEGADAS: proceso Poisson (tasa media de 15 por hora)SERVICIO: distribucin exponencial (media de 4 minutos)

SOLUCION ( 1 2 3 4 5 6 )M M 2 DG 3

Cliente: Persona Servidor: empleadas

= 15 llamadas/hora 1/= 4 minutos

= 15 llamadas/hora

= /s= 15/[2(15)] < 1


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Problema 4Se tiene:

= 15 llamadas/hora; = 15 llamadas/hora; s=2; k = 3; =0.5

0 1 32

=15 =15 =15

=15 2=30 2=30

P0= [1 + n=1,s-1(s)n/n! + (s)s/s!n=s,k()n-s]-1

Pn= [(s)n/n!]P0 para n= 1, 2, 3, ....s-1

Pn= [(s)n/s!s(n-s)]P0 para n= s, s+1, s+2, ......k

De donde: P0

=0.364; P1

=0.364; P2

=0.182; P3

=0.091


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finita y un servidor (5)(M/M/1/DG/N/N)Asumimos que n= (N n) para n = 0, 1, 2, ... N 1

n = para n = 1, 2, ... N

0 1N-2

2N-1 N

N (N 1) (N 2) 3 2

= /< 1


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Problema 5

Una persona debe dar mantenimiento a dos mquinas.LLEGADAS: tiempo que trabaja una mquina antes dedescomponerse, dist. exponencial (media de 10 horas)

SERVICIO: distribucin exponencial (media de 8 horas)

n= (N n)

0= (2 0)/10 = 1/51= (2 1)/10 = 1/10

SOLUCION ( 1 2 3 4 5 6 )M M 1 DG N N

Cliente: Mquina a reparar

Servidor: Persona que repara

1/ = 10 horas

1/= 8 horas

= 1/8 mquinas/hora

= /= 8/10 < 1

n =

1= 2= = 1/8

N = 2

= 1/10 mquinas/hora


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Problema 5

Tenemos:N = 2; = 1/10; = 1/8; = 0.8

P0= 0.258; P1= 0.412; P2 = 0.330

L = N

(1

P0)/= 2

(1

0.258)/0.8= 1.702 mquinas

Lq = N (1 P0)(+ 1)/= 2 (1 0.258)(1 + 0.8)/0.8= 0.33 mquinas

W = L / [(N L)] = 1.072 / [0.1(2-1.702)]= 11.556 horas

Wq = Lq/ [(N L)] = 0.33 / [0.1(2-1.702)]

= 3.556 horas


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Problema 5

Tenemos:N = 2; = 1/10; = 1/8; = 0.8

P0= 0.258; P1= 0.412; P2 = 0.330

Porcentaje de tiempo que la persona de mantenimiento estocupada:

Tenemos una o ninguna mquina(s) malograda(s)

= P0+ P1= 67%

Porcentaje de tiempo que trabaja una mquina dada:

Tenemos una o las dos mquinas malogradas

= P1+ P2

= 74.23%


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finita y varios servidores (6)(M/M/s/DG/N/N)Asumimos que n= (N n) para n = 0, 1, 2, ... N 1

n = n para n = 1, 2, ... s

1n = s para n = s, s+1, s+2,..., N

= /s< 1

0 1 ss-1 k-1 k

N (N-1) (N-s+1) (N-s) 2

2 s

s

s

s

(s-1)

(N-s+2)


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Modelado del proceso de llegada

Si modelamos los tiempos entre llegadas como unadistribucin de Erlang con parmetro de forma k, estamosdiciendo que:

El proceso entre llegadas es equivalente a que un cliente

pase a travs de k fases, cada una de las cuales conpropiedad de amnesia antes de llegar.

Fase 1Fase 2Fase 3Fase k

........

Servicios con distribucin Erlang

Por esta razn, al parmetro de forma se le llama con

frecuencia nmero de fases de la distribucin Erlang.


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Modelo de colas con distrib. de

servicio desconocida y un servidor(7) (M/G/1/DG// )

Asumimos que:

Llegadas: POISSON

n= para n 0

Servicio: DESCONOCIDO

media 1/y varianza 2 para n 1

M d l d l di t ib d


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Modelo de colas con distrib. deservicio desconocida y un servidor

(7) (M/G/1/DG// )Frmulas vlidas s, = /< 1

P0= 1

Lq= (22 + 2)/2(1 )

L = + Lq

Wq= Lq /

W = Wq+ 1/


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Modelo de colas con distrib. de

servicio Erlang y un servidor (8)(M/Ek/1/DG// )

Asumimos que:

Llegadas: POISSON

n= para n 0

Servicio: DESCONOCIDO

media 1/y varianza 1/(k2) para n 1

M d l d l di t ib d


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Modelo de colas con distrib. deservicio Erlang y un servidor (8)

(M/Ek/1/DG// )Frmulas vlidas s, = /< 1

P0

= 1

Lq= { 2/ [(- )]} (k+1) / 2k

L = W

Wq= { / [(- )]} (k+1) / 2k

W = Wq+ 1/


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Anlisis econmico de los

modelos de colasTOMA DE DECISIONES:

La toma de decisiones en modelos de colas, se refieren adeterminar:

Nmero de servidores en paralelo en cada instalacin (s)

Eficiencia de los servidores ()Nmero de instalaciones de servicio (n)


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La funcin de costo total esperado es:minimizar E(CT) = E(CS) + E(CW)

Donde:

E(CT): costo total esperadoE(CS): costo de servicio

E(CW): costo de espera


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minimizar E(CT) = E(CS) + E(CW)

Donde:

E(CS): sCs s es el nmero de servidores

Cses el costo de cada servidor

E(CW): CwL donde Cwes el costo de espera unitario

L es el nmero promedio de clientes


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Solucin: sistema actual

E(CT) = E(CS) + E(CW)

E(CS) = sCs

s = 1, Cs= $20/horaE(CS) = $20/hora

E(CW) = CwL

Cw= $10/hora

L = /(1-) = 3 subensambles

E(CW) = $30/hora

( 1 2 3 4 5 6 )M M 1 DG

Cliente: subensamble

Servidor: inspectores

= 3 subensambles/hora

1/= 15 minutos


= /= 3/4 < 1

E(CT) = $20/hora +$30/hora = $50/hora


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Solucin: sistema propuesto( 1 2 3 4 5 6 )M Ek 1 DG

Cliente: subensamble

Servidor: inspector


1/1= 6 min = 0.1 horas

= 10/3 subensambles/hora

= /= 9/10 < 1

1/2= 12 min = 0.2 horas1/= 18 min = 0.3 horas


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Solucin: sistema propuesto

Forma 2: Pasar al modelo de servicio desconocido (1 servidor)( 1 2 3 4 5 6 )M G 1 DG

E(CT) = $75.75/hora

E(CT) = E(CS) + E(CW)E(CS) = sCs ,donde: s = 1, Cs= $15/hora

E(CS) = $15/hora

E(CW) = CwL , donde: Cw= $10/hora, L = L = + LqLq= (22 + 2)/2(1 ) = 5.175 subensambles

Donde: L = 6.075 subensambles E(CW) = $60.75/hora

2 = 0.025 ,1/= 0.3 horas y = 9/10


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Modelo de colas con disciplinas

de prioridadesSon aquellos en los que la disciplina de cola se basa en unsistema prioritario.

Suponen que existen N clases de prioridad (1 la ms alta,

N la ms baja).

Tenemos:

Modelos sin prioridad adquirida.

Modelos con prioridad adquirida.


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Modelo de colas sin prioridad

adquirida (9)Una vez que el servidor ha comenzado el servicio a uncliente, este debe terminarse sin interrupcin.

Llegadas: POISSON

ipara la prioridad de clase i (i = 1, 2, 3, ...N)

Servicio: EXPONENCIAL

Nmero de servidores en paralelo

s


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adquirida (9)Frmulas vlidas s, = /s< 1

= i=1,NiWqk= 1/(ABk-1Bk) para k=1, 2, 3, .....N

Donde:

A = s![(s- )/(s)s

] (j=0,s-1(s)j

/j!) + sB0= 1

Bk = 1 (i=1,ki) / (s) para k=1, 2, 3, .....N


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adquirida (9)El tiempo promedio que pasa un cliente de la clase deprioridad k en el sistema, es:

Wk= Wqk+ 1/ ;k = 1,2,...N

El nmero promedio de clientes de la clase de prioridad ken el sistema, es:

Lk= kWk ;k = 1,2,...N

El nmero promedio de clientes de la clase de prioridad ken la cola, es:

Lqk= kWqk ;k = 1,2,...N


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Modelo de colas con prioridad

adquirida (10)Se interrumpe el servicio de un cliente para mandarlo deregreso a la cola, si llega al sistema un cliente de prioridad

ms alta.

Llegadas: POISSON

ipara la prioridad de clase i (i = 1, 2, 3, ...N)

Servicio: EXPONENCIAL

Nmero de servidores en paralelo

s


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adquirida (10)Frmulas vlidas s, = /s< 1

= i=1,NiWk= 1/(Bk-1Bk) para k=1, 2, 3, .....N

Donde:

B0= 1Bk = 1 (i=1,ki) / (s) para k=1, 2, 3, .....N


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adquirida (10)El tiempo promedio que pasa un cliente de la clase deprioridad k en la cola, es:

Wqk

= Wk1/ ;k = 1,2,...N

El nmero promedio de clientes de la clase de prioridad ken el sistema, es:

Lk= kWk ;k = 1,2,...N

El nmero promedio de clientes de la clase de prioridad ken la cola, es:

Lqk= kWqk ;k = 1,2,...N


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ProblemaUn taller tiene problemas en el departamento de torneado.

La decisin est en optar por 4 por 5 tornos.

El taller realiza tres tipos de trabajos:

Trabajos para el gobierno (1)

Trabajos comerciales (2)Productos estndar (3)

Se quiere trabajar 8 horas diarias, 5 das a la semana.

SERVICIO (Exponencial) con media de 10 horas.

LLEGADAS (Poisson) con tasas de 6, 4 y 2 trabajos porsemana para los tipos (1), (2) y (3) respectivamente.

CW :$750, $450 y $150 para los trabajos tipo (1), (2) y (3).

El costo de cada torno se estima en $250 por da laborable.

Se quiere minimizar E(CT). Tornos adicionales a comprar?


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ProblemaModelo de colas con prioridades sin prioridad adquirida.

Se tiene:

1/= 10 horas

1= 6 trabajos/semana



= 4 trabajos/semana

= 12 trabajos/semana


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ProblemaPara s = 4: A = 31.41, B0= 1, B1= 5/8, B2= 3/8, B3= 1/4

W1= 0.30094

W2= 0.38585

W3= 0.58962

L1= 1W1= 1.80564

L2 = 2W2= 1.5434

L3= 3W3= 1.17924


E(CS) = sCs ,donde: s = 4, Cs= $1250/semana

E(CS) = $5000/semana

E(CW) = CW1L1+ CW2L2 + CW3L3, donde:

CW1= $3750, CW2= $2250, CW3= $750 (semanales)

E(CW) = $11128.23/semana

E(CT) = $16128.23/semana


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ProblemaPara s = 5: A = 52.35, B0= 1, B1= 7/10, B2= 1/2, B3= 2/5

W1= 0.27729

W2= 0.30458

W3= 0.34552

L1= 1W1= 1.66374

L2 = 2W2= 1.21832

L3= 3W3= 0.69104


E(CS) = sCs ,donde: s = 5, Cs= $1250/semana

E(CS) = $6250/semana

E(CW) = CW1L1+ CW2L2 + CW3L3, donde:

CW1= $3750, CW2= $2250, CW3= $750 (semanales)

E(CW) = $9498.52/semana

E(CT) = $15748.52/semana


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Redes de colas

Propiedad de equivalencia

Suponga que una instalacin de servicio tiene s servidores,las entradas Poisson (con parmetro ) y la misma

distribucin de tiempos de servicio para cada servidor conparmetro , en donde: s> .

Entonces la salida en estado estable de esta instalacin deservicio tambin es un proceso Poisson con parmetro .

s>


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Colas infinitas en serie (11)

Sea mel nmero de servidores en serie:

Llegadas: POISSON i= para i = 1,2,3,....m

Servicio: EXPONENCIAL para i = 1,2,3,....m

Por la propiedad de equivalencia, cada instalacin deservicio se puede analizar usando los modelos:

(M/M/1/DG//) o (M/M/s/DG//)

Segn corresponda y de manera independiente.


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Redes de Jackson (12)

Una Red de Jackson es un sistema de minstalaciones, endonde en la instalacin i (i = 1,2,3,...m) se tiene:

Una cola infinita

Clientes que llegan de fuera del sistema segn entradasPoisson con parmetro aisi servidores con la misma distribucin exponencial paralos tiempos de servicio con parmetro

Un cliente que deja la instalacin i se encamina despus ala instalacin j (j = 1,2,3,...m, pero j i) con probabilidad pij,o sale del sistema con probabilidad qi= 1 j=1,mpij


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Cualquier red de este tipo tendr la siguiente propiedad:

Bajo condiciones de estado estable, cada instalacin j(j=1,2,3,...m) en una red de Jackson se comporta como si

fuera un sistema de colas (M/M/s/DG// ) independientecon tasa de llegadas

j= aj+ j=1,mipij

En donde: sjj> j


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a1

a2 a3

s1

s2

s3

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Documents

IOP2(Teoria de Colas)