Lista 3 - parte 2

12. Considere duas partículas A e B cada uma com massa m conectadas por uma mola de constante elástica k e comprimento natural. Cada partícula está ligada a dois suportes C e D por duas molas com as mesmas características da primeira mola.Os dois suportes são separados por uma distância 3b, como mostrado na figura (a). Em um dado instante de tempo t o deslocamento das partículas A e B é x e y a partir da posição de equilíbrio resultando nas forças mostradas na figura.

Calcule as frequências de oscilação do sistema.

0)(

0)(

21222

2

12121

2

xxkkxdtxd

m

xxkkxdtxd

m

c

c

0)(

0)(

1222

2

2121

2

xmk

xmkk

dtxd

xmk

xmkk

dtxd

cc

cc

2 equações acopladas

0)(

0)(

1222

2

2121

2

xmk

xmkk

dtxd

xmk

xmkk

dtxd

cc

cc

0

0

2222

22

1212

12

qdtqd

qdtqd

2

221

221

1qq

xqq

x

Desacoplando as 2 equações

0 0 2222

22

1212

12

qdtqd

qdtqd

mkk

mk c )2(

21

2

221

2

211

qqx

qqx

tCtCtqtCtCtq

24232

12111

sincos)(sincos)(

mk

mk )3( 21

Modo Simétrico

Modo Anti - Simétrico

11. Duas partículas de mesma massa, igual a 250 g, estão suspensas do teto por barras idênticas, de 0,5 m de comprimento emassa desprezível, e estão ligadas uma à outra por uma mola de constante elástica 25 N/m. No instante t = 0, a partícula 2 (figura abaixo) recebe um impulso que lhe transmite uma velocidade de 10 cm/s.

Determine os deslocamentos x1(t) e x2(t) das posições de equilíbrio das duas partículas (em cm) para t > 0.

R: x1(t) = 1,13 sen(4,43t) − 0,34 sen(14,8t) x2(t) = 1,13 sen(4,43t) + 0,34 sen(14,8t)

k/mK )(

/ )(

212202

22

20211

202

12

xxKxdtxd

lgxxKxdtxd

)( 21 xxkFmola x2

0Grav. -m-mgx/mg- F

212212202

22

211211202

12

21q )(

21q )(

xxxxKxdtxd

xxxxKxdtxd

Kqdtqd

gqdtqd

2 0

0

022222

22

01202

12

desacoplando as 2 equações

)cos()( 0

)cos()( 0

22222222

22

10111202

12

tAtqqdtqd

tAtqqdtqd

)(q)(q)( )(q)(q)( 212211 tttxtttx

smscmdt

dxmNk

mkgm

/10,0/10)0(

/25

5,0 250,0250

2

212211 21q

21q xxxx

24. Uma corda, submetida a uma tensão de 200 N e presa em ambas as extremidades, oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária.O deslocamento da corda é dado por:

y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t) onde x = 0 numa das extremidades da corda, x é dado em metros e t em segundos.

(a) Qual é o comprimento da corda? y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)

(b) Qual é a velocidade escalar das ondas na corda? y = (0, 10) sen(x/ 2) sen(12 t)

(c) Qual é a massa da corda? y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)

(d) Se a corda oscilar num padrão de onda referente ao terceiro harmônico,qual será o período de oscilação? y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)

R: (a) L = 4 m, (b) v = 24 m/s, (c) μ = 0, 347 kg/m e (d) T = 0, 11 s

)cos(1 nn xktAy

)cos(2 nn xktAy

)]2(2/1cos[)]2(2/1cos[2)](2/1cos[)](2/1cos[2)cos()cos()cos()cos(21

txkAybababaxktAxktAyyy

nn

nnnn

y = (0, 10)cos(x/2 + /2))cos(12t + /2)

)()(2 22 tsenxkAseny

Ondas estacionárias numa corda segundo harmônico.

y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)

Qual o valor de L ?l

mLLL

nkn 422

2

)()(2 22 tsenxkAseny

Qual o valor de v ?l

)()(2 22 tsenxkAseny

y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)

24m/s vv212 L

Qual o valor de m?

g12.056,32K massa a e /347.0122004

22 mKgNm

)()(2 22 tsenxkAseny

y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)

T3 = ?

)()(2 33 tsenxkAseny

ssmmT

VL

nTn

n 11,0/244

322

3

y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t) Terceiro harmônico

Ondas estacionárias numa corda terceiro harmônico.

A velocidade do som e a temperatura do gás(caso gás ideal).

Variação da velocidade do som com a temperaturaA velocidade do som em um gás não é constante, e sim que depende da temperatura.

Da equação de um gás ideal pV=nRT ou então,

A fórmula da velocidade do som é expressa em função da temperatura t do gás em graus centígrados.Para obter esta expressão aproximada, tomamos os dois primeiros termos do desenvolvimento de (1+t/T0)1/2 do binômio de Newton

Sabendo que T0=273.15 K, γ=1.4, R=8.314 J/(K·mol) e M=28.95·10-3 kg/mol, temos que

vs≈331.4+0.61·t onde 331.4 m/s é a velocidade do som no ar a 0ºC.

= Cp/Cv - processo adiabático

O afinador compara o som da corda do piano com um diapasão e por batimento ele acerta a nota desejada. TOINHoIIIIINHOIIIIIIINHOIIII...!

TONNN.iiii....

Toonnnnnn.iii.....

O caso do Batimento

)](21cos[)](

21cos[2),(

)()(k )()(

)])(21)(

21cos[)]

22cos[(2),(

)](2/1cos[)](2/1cos[2)cos()cos(

)cos()cos(

),(

21212121

2121

221121

txktkxAtxy

kkkkk

txkktxk

Atxy

bababa

xktAxktAyyy

txA

Duas oscilações(TONNNNN e TOoNNNNN) com pequena diferençanas suas freqüências quando somadas, produzem o fenômeno do: BATIMENTO!!! - TOINHoIINHIINHoIINHoIIII....!

TOINHoIIIIINHOIIIIIIINHOIIII...!

TONNN.iiii....

Toonnnnnn.iii.....

)](21cos[)](

21[2),(

),(

txktkxAsentxy

txA

16. Um pulso, que se desloca com uma velocidade de 50m/s em uma corda de 10m de comprimento, é descrito pela função

y(x, t) = 2e−2(x−vt)2 + e−2(x+vt)2 (SI) .

(a) Qual o valor de x para o qual a velocidade transversal da corda seja extremal em t = 0?

(b) Se a massa da corda for 1kg, qual a tensão nesta?

R: (a) x = 0, 5m

(b) 250N

y(x, t) = 2e−2(x−vt)2 + e−2(x+vt)2

dy(x, t=0)/dt = 0Se v=50m/s x=0,5m

NFkgmFsm

mKgFFv 2501/10/50

101

Várias ondas, quando convenientemente somadas podemtomar a forma de um pulso:

+ +

+ + .... =

Análise de Fourier

an = 0

bn = 2 (-1)n+1 / n.

O fenômeno da dispersão de um pulso pode não ocorrer devido a não linearidades. Aí temos um SÓLITON que também é um pulso dispersivo mas neste caso há uma compensação.

Como cada onda tem diferente freqüência, a sua velocidade depropagação será diferente e, com o tempo, o pulso perde a sua amplitude original.

18. Determine a amplitude da onda resultante da combinação de duas ondas senoidais que se propagam no mesmo sentido, possuem mesma frequência,

têm amplitudes de 3, 0 cm e 4, 0 cm e diferença de fase de /2 rad

R: y(x, t) = 0, 05 sen(kx − t + 0, 64)

A 2 = 4 sen(kx − t)

A 1 =

3 s

en(k

x − t

+

/2)

A 2 = 4 sen(kx − t)

A 1 = 3 sen(kx − t + /2)

A 1 = 3 sen(kx − t + /2)

A 2 = 4 sen(kx − t)

)cos(2 122122

21 AAAAA

A 1 = 3 sen(kx − t + /2)

A 2 = 4 sen(kx − t)

)( 12

2 senAA

arcsen

A 1 = 3 sen(kx − t + /2)

A 2 = 4 sen(kx − t)

)(

)cos(2

)cos()(

122

122122

21

1

senAA

arcsen

AAAAA

tkxAtX

y =

Ysen

(n t

)

x = Xsen(n´ t)

Figuras de Lissajus

2

22

2

2

2

2

tA

vyA

xA

Para tratar de oscilações em placa temos que usar a equação de d´Alembert bidimencional

A solução da equação de d´Alembert necessita do conhecimento das condições de contorno seus valores iniciais.

Quando são dadas as condições de contorno para a livre

oscilação teremos situações em que os máximos e mínimos

serão regidos por suas freqüências harmônicas características ou tons e também sobretons.

Você sabe o que é superheterodinagem?

Neste caso multiplicamos dois sinais:

Dr. Sebastião Simionatto FEP 2196 - 2009