7/24/2019 Lista Esttica Comparativa

1/3

EAE0207: Matemtica Aplicada EconomiaExerccios: Esttica Comparativa e Otimizao No Condicionada

07/11/2014

1. Calcule @z@x em torno da soluo (x ; y ; z ):

a: 3x + y z = 0

b: xyz + xz3 xy2z5 = 1

c: exyz = xyz

2. Resolva os seguintes exerccios:

a: Considere o sistema de equaes:xu 3 + v = y2

3uv x = 4

onde x e y so variveis exgenas e u e v so endgenas. Calcule @u@x e @v@x em torno da soluo

x = 0 , y = 1 ; u = 43 e v = 1 :

b: Considere o sistema de equaes:

y2 + 2 u2 + v2 xy = 15

2y2 + u2 + v2 + xy = 38

onde u e v so variveis exgenas e x e y so endgenas. Calcule @x@u e @y@u em torno da soluo

x = 1 , y = 4 , u = 1 e v = 1:

c: Considere o sistema de equaes:x + 2 y + z = 15

x2yz = 4

onde z uma varivel exgena e x e y so endgenas e . Calcule dxdz e dydz em torno do ponto

(x;y;z) = (2 ; 1; 1):

7/24/2019 Lista Esttica Comparativa

2/3

3. Suponha que o equilbrio da economia brasileira seja determinado pelo seguinte sistema deequaes:

2xz + xy + z 2p z = 11xyz = 6

onde y representa o produto interno bruto, x denota a taxa de cmbio e z representa a taxa de juros nominal. Uma soluo deste conjunto de equaes x = 3 , y = 2 e z = 1 .

a: Calcule o impacto de uma elevao da taxa de juros sobre o produto interno, @y@z, e sobre ataxa de cmbio, @x@z, em torno do equilbrio x = 3 , y = 2 e z = 1 .

b: Suponha que a taxa de cmbio estivsse sobre o controle do banco central. Explique por queno se pode usar o teorema da funo implcita para se calcular @y@x e

@z@x em torno do equilbrio

x = 3 , y = 2 e z = 1 .

4. Simon & Blume, 17.1.

5. Simon & Blume, 17.2.

6. Para cada uma das seguintes funes, encontre os pontos crticos e classique-os como mximolocal, mnimo local ou ponto de sela:

a: f (x; y) = x2 + xy + 2 y2 + 3

b: f (x; y) = x2 y2 + 6 x + 2 y

c: f (x; y) = e2x 2x + 2 y2 + 3

d: f (x; y) = ( x 2)4 + ( y 3)4

e: f (x1 ; x2 ; x3) = x21 + 3 x22 3x1x2 + 4 x2x3 + 6 x23

f: f (x;y;w) = e2x + e y + ew2

(2x + 2 ew y)

7/24/2019 Lista Esttica Comparativa

3/3

Solues

1.

a: @z@x = 3 :

b: @z@x = y z + z 3 y 2 z 5

x y +3 x z 2 5x y 2 z 4 ; assumindo que x y + 3 x z2 5x y 2z 4 6= 0 :

c: @z@x =zx ; assumindo que x 6= 0 :

2.

a: @u@x = 3u 4 +19xu 3 3v =

28381 e

@v@x =

3xu 2 +3 vu 3

9xu 3 3v =6427 :

b: @x

@u =4u (4 y+ x )+2 u (2 y x )

y(4 y+ x )+ y(2 y x ) = 916 e

@x@u =

2uy +4 uy

y(4 y+ x )+ y(2 y x ) =14 :

c: dxdz = 1 e dydz = 0 :

3.

a: Observe que, neste item, x e y so variveis endgenas e z varivel exgena. Assim, temos:@x@z =

(1=p z 1 2x )xz + x 2 y(2 z + y)xz xyz = 0 e

@y@z =

(2 z + y)xy + yz (1=p z 1 2x)(2 z + y)xz xyz = 2:

b: Neste item, z e y so variveis endgenas e x varivel exgena. Em princpio, temos que:@y@x =

(y+2 z )xy + yz (2x +1 2=p z)x 2 y xz (2x +1 2=p z) e

@z@x =

xyz + xz (y 2z )x 2 y xz (2x +1 2=p z ) . Porm, quando x = 3 , y = 2 e

z = 1 , o denominador de ambas as expresses nulo, i.e. x2y xz (2x + 1 2=p z) = 0 :Assim, o teorema da funo implcita no pode ser utilizado neste caso.

6.

a: (0; 0) ponto de mnimo local.

b: (3; 1) ponto de mximo local.

c: (0; 0) ponto de mnimo local.

d: (2; 3) ponto de mnimo global.

e: (0; 0; 0) ponto de mnimo local.

f: (0; 0; 1) ponto de mnimo local.