1 Teoria dos Conjuntos) Lista de resultadosPrincipio da extenso A = B x(x A x B)

Obs.1- i){x, y} = {z, v} (x = z y = v) (x = v y = z)ii)x {x, y}

Obs.2- i)z {x} z = xii){x} = {y} x = y

Obs.3- x,x / Obs.4- x(x / A) A = Def. B A =: x(x B x A)Prop.1- Sejam A,B e C conjuntos

a) Ab)A Ac)A B B A A = Bd)A B B C A C

Def. B & A =: B A B 6= AProp.2- Sejam A,B,C conjuntos

a)v (A & A)b)A & B v(B & A)c)A & B B & C A & C

Obs.5- X P (A) X A, se A possui n elementos P (A) possuir 2n elementos.Prop.3- Seja A um conjunto.

a) P (A)b)A P (A)

Obs.6- x A B x A x BProp. 4- Sejam A,B e C conjuntos.

a)A A Bb)A B = B A (conotativa)c)A (B C) = (A B) C (associativa)d)A B A C A B Ce)A B A B = Bf)A A = A (idempotente)g)A = A (elemento neutro)h)P (A) P (B) P (A B)

Obs.7- x A B x A x BProp.5- Sejam A,B e C conjuntos.

a)A B Ab)A B = B A (comutativa)c)A (B C) = (A B) C (associativa)d)A B A B = Ae)A A = A (idempotente)f)A = g)A B A C A B Ch)P (A) P (B) = P (A B)

Prop. 6- Sejam A,B e C conjuntos.a)A (B C) = (A B) (A C) (distributiva)b)A (B C) = (A B) (A C) (distributiva)

Obs. 8 - x

A y(y A x y)

1

Prop. 7- Sejam A e B famlias de conjuntos.a)

=

b)A B

A

Bc)C B C

B

Obs. 9- x

A y(y A x y) A 6= Prop. 8- Sejam A e B famlias no vazias.

a)A B

B

Ab)C B

B C

Obs. 10- x (AB) x A x / BProp. 9- Sejam A,B e C conjuntos.

a)AB Ab)A A = c)A = Ad) A = e)(AB) C A (B C)f)(AB) = B A A = B

Obs.11- Se B A x CAB x A x / BProp.10- Sejam A,B conjuntos tais que B A.

a)CAB Ab)B CAB = Ac)B CAB = d)CA = Ae)CBB = f)CA(CAB) = B

Prop.11- Sejam A,B e C conjuntos tais que A D e B D.a)CD(A B) = (CDA) (CDB)b)CD(A B) = (CDA) (CDB)

Obs.12- (x, y) = (u, v) x = u y = vObs.13- (x, x) = {{x}}Obs.14- (x, y) AB x A y BProp.12- Sejam A,B, C e D conjuntos:

a)A B C D A C B Db)A = = Ac)A (B C) = (AB) (A C)d)A (B C) = (AB) (A C)e)(AB) C = (A C) (B C)

Obs.15- x pr1G y((x, y) G)Obs.16- y pr2G x((x, y) G)Lema: (x, y) G x pr1G y pr2GCom.: Seja R = (G,A,B) por abuso tem-se xRy (x, y) GLema: xRy x A y BObs.17- Seja R = (G,A,B)Arg. (R) = {x/ y((x, y) G)}Val. (R) = {y/ x((x, y) G)}.Obs.18- (x, y) G1 (y, x) G Coment. xRy yR1xProp.13- Seja G um grfico:

a)pr1G1 = pr2Gb)pr2G1 = pr1G

2

c)(G1)1 = GProp.14- Sejam G1 e G2 grficos:

a)(G1 G2)1 = G11 G12b)(G1 G2)1 = G11 G12c)(G1 G2)1 = G11 G12d)G1 G2 G11 G12

Def. R1 =: (G1, B,A) (sendo R = (G,A,B))Com.: xRy yR1xObs.19- (x, y) G2 G1 z((x, y) G1 (z, y) G2)Prop.15- sejamG1 e G2 grficos:

a)pr1(G2 G1) pr1G1b)pr2(G2 G1) pr2G2

Prop.16- sejam G1, G2, G3, G4 grficos:a)G1 G2 G3 G1 G3 G1 G1 G2b)(G2 G1)1 = G11 G12c)(G3 G2) G1 = G3 (G2 G1)

Prop.17- Sejam G1, G2, G3 grficos:a)(G1 G2) G3 = (G1 G3) (G2 G3)b)G1 (G2 G3) (G1 G2) (G1 G3)c)(G1 G2) (G1 G3) G1 (G2 G3)

Def.- Sejam R1(G1, A,B) e R2(G2, B, C) R2 R1 (G2 G1, A, C)(x, y) IA x A x = y(x, x) IA x A

Com.: Seja R1(G1, A,B) R2 = (G2, C,D) se val.R1 arg.(R2) 6= R2 R1 6= Def. Diz-se que R reflexiva em A se x(x A xRx)Def. Diz-se que R irreflexiva em A se x(x Av (xRx))Prop.18- Seja R = (G,A,A)

a)R reflexiva em A IA Gb) R irreflexiva em A G IA =

Def. Diz-se que R simtrica em A se x y(x, y A xRy yRx)Def. Diz-se que R assimtrica em A se x y(x, y A xRy (yRx))Def. Diz-se que R antissimtrica em A se x y(x, y A xRy yRx x = y)Prop.19- Seja R(G,A,A)

a)R simtrica em A G = G1b)R assimtrica em A G G1 = c)R antissimtrica em A G G1 IA

Def. Diz-se que R transitiva em A se x y z(x, y, z A xRy yRz xRz)Prop.20. Seja R = (G,A,A) , R transitiva em A G G GDef. Seja R uma relao em A. Diz-se que R uma relao de equivalncia em A se R reflexiva, simtrica e transitiva em A.Def. Seja R uma relao de equivalncia em A e y A.

Chama-se classe de equivalncia de y por R ao conjunto de todos os elementos x deA | xRy. Ou seja:R[y] {x | x A xRy}Obs.20- x R[y] x A xRyProp.21- Seja R uma relao de equivalncia em A.Seja x, y A.

a)R[x] 6= b)xRy R[x] = R[y]

3

c)R[x] R[y] 6= R[x] = R[y]Obs. 21- z A | R y(y A z = R[y])Def. Seja P uma famlia de conjuntos. Diz-se que P uma partio de A se:

a)

P = Ab)x y(x, y P x 6= y x y = )c)x(x P x 6= )

Coment.: Toda relao de equivalncia em A determina uma partio de A e reciproca-mente.Def. seja R uma relao em A. diz-se que R uma relao de ordem:

i) Parcial em A: se R reflexiva, antissimtrica e transitiva em A.ii) Total em A: se R uma relao de ordem parcial em A e xy(x, y A

xRy yRx)iii)Estrita em A: se R assimtrica e transitiva em A.

Def. Seja F um grfico. Diz-se que F um grfico funcional se para todo x, existe umunico y correspondente a x por F.Coment.: Seja F um grfico funcional tem-se: x y z((x, y) F (x, z) F y = z)Def.: Seja f = (F,A,B).Diz-se que f uma funo( ou aplicao) de A em B se :

i)A = Arg.(f)ii)F um grfico funcional.

Lema: f : A B x A f(x) B.Coment.: f : A B f = (F,A,B)

f(a) = b afbxfy equivalente a f(x) = y

Def.: Seja f : A B e C A.Diz-se que g : C B | g(x) = f(x) qualquer que seja x C uma restrio de f a

C.Coment.: f/C = (G,C,B);G = {(x, y) | x c xfy}Def.: Seja f : A B e D A

Diz-se que h : D B | h(x) = f(x), qualquer que seja x A uma extenso de f aD.Def.: Seja f : A B,C A.

Chama-se imagem ou imagem direta de C por f ou conjunto dos y os quais existex C tal que f(x) = y. Ou seja f(c) {y | x(x C f(x) = y)}Obs.22- y f(c) x(x c f(x) = y)Coment.

a)f : A B = V al.(f) = f(A)b)f : A B f(A) B

Prop.22. Seja f : A B e X1 A e X2 A:a)X1 X2 f(X1) f(X2)b)f(X1 X2) = f(X1) f(X2)c)F (X1 X2) f(X1) f(X2)d)f(X1) f(X2) f(X1 X2)

Def. Seja f : A B e D B f1(D) {x | x A f(x) D}Obs.23- x f1(D) x A f(x) DProp.23- Seja f : A B.Seja y1 B e y2 B.

a)y1 y2 f1(y1) f1(y2)b)f1(y1 y2) = f1(y1) f1(y2)

4

c)f1(y1 y2) = f1(y1) f1(y2)d)f1(y1 y2) = f1(y1) f1(y2)

Prop.24- Seja f : A B. Seja X A e Y Ba)f(X) Bb)f1(Y ) Ac)f(f1(Y )) Yd)X f1(f(X))

Def.: f injetiva x1 x2(x1, x2 A x1 6= x2 f(x1) 6= f(x2))Com.: f injetiva x1 x2(x1, x2 A f(x1) = f(x2) x1 = x2)Def.: Sejaf : A B

f sobrejetiva V al.(f) = BDef.: Sejaf : A B

Diz-se que f uma funo bijetora(ou bijetiva) se f injetiva e sobrejetiva.Def.: seja f = (F,A,B) uma funo bijetiva

Diz-se que g a funo inversa de f se g = f1(f1 = (F1, B,A))Obs.24- Se f = (F,A,B) e g a funo inversa de f ento g uma funo de B em A.Def.: Seja f = (F1, A,B) e g = (F2, C,D) funes tais que V al.f Arg.(g).

Diz-se que h a composta de f e g se h = (f2 F1, A,D)Com.: Por abuso tem-se (g f)(x) g(f(x))Obs.25- Se f : A B e g : C D e V al(f) Arg(g) ento g f. uma funo de Aem D.Prop.25- seja f1 : A B e f2 : B C

a)Se f1 e f2 so injetivas ento f2 f1 injetiva.B)Se f1 e f2 so sobrejetivas ento (f2 f1 sobrejetiva.c)Se f1 e f2 so bijetivas ento f2 f1 bijetiva.d)Se f2 f1 injetivas ento f1 injetiva.e)Se f2 f1 sobrejetivas ento f2 sobrejetiva.f)Se f2 f1 bijetivas ento f1 injetiva e f2 sobrejetiva.

Prop.26- seja f = (F,A,B) uma funo bijetiva.a)f1 f = IAb)f f1 = Ib

Prop.27- Seja f = (F,A,B) e g = (G,B,C) funes bijetivas .(g f)1 = f1 g1Def.28- Seja f = (F,A,B), g = (G,B,C) e h = (H,C,D).Funes:h (g f) = (h g) tDef.: Seja I um conjunto, A uma coleo de conjunto e F um grfico funcional.

Diz-se que F uma famlia indexada por I se f=(F,I,A) uma funoComent.:

a)Se F uma famlia indexada por I I o conjunto de ndices de F.b)F uma famlia indexada por I e f = (F, I, A) Por absurdo:1)Ai f(i)2)F {Ai}iI {Ai | i I} {(i, Ai | i I} (Ai)iI

Def.

i=I Ai {x | i(i I x Ai)}Obs.26- x

i=I Ai i(i I x Ai)}

Def.

i=I Ai {x | i(i I x Ai)} (I 6= Obs.27- x

i=I Ai i(i I x Ai)} (I 6= )

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