001 Modulo Teoria de Conjuntos

Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso

OBJETIVO N° 01

Determinar y representarconjuntos.

ACTIVIDAD N° 01

Así como en la Geometría

admiten sin definición; las

susceptibles de definición.

Conjunto: Intuitivam

de objeto

elementos

conjunto. Notación: Para d

mayúscul

elemento

Relación de Perte

conjunto

que “x e

contrari

A.

Ejemplo: Si A es

1; y

escribim

A = {

En est

8 ∈

Estudie la información destacando losconceptos básicos, notaciones yformas existentes para ladeterminación de conjuntos.

las ideas de Punto, Recta y Plano son conceptos básicos que se

ideas de Conjunto, Elemento y Pertenencia son, también, ideas no

NNOOCCIIÓÓNN DDEE CCOONNJJUUNNTTOO

ente un conjunto es la reunión, colección o agrupación

s reales o ideales, a estos objetos se les denominan

ó miembros del conjunto, y de ellos se dice que pertenecen al

enotar a los conjuntos se usan letras

as: A, B, C, X, etc. y para representar a sus

s se usan letras minúsculas: a, b, c, etc.

nencia: Si un objeto “x” es elemento de un

A, se dice que “x pertenece al conjunto A” ó

stá en A”, y se denota por: x ∈ A. En caso

o, “x no pertenece a A” y se denota por: x ∉

el conjunto formado por: 8, -2, 6, {0,1}, 3 y

B es el conjunto constituido por: 0 y 1;

os:

8, -2, 6, { 0, 1 }, 3 , 1 ]; B = { 0, 1 }.

e caso:

A...( V ) -2 ∈ A...( V )

1 Universidad Nacional del Santa


6 ∉ A...( V ) 1 ∈ A ∧ 1 ∈ B...( V )

0 ∈ A...( V ) 3 ∉ B...( V )

{ 0, 1} ∈ A...( V ) { { 0, 1} } ∉ A...( V )

Se observa, además, que el conjunto B pertenece al

conjunto A.

DIAGRAMAS DE VENN-EULER

Para representar gráficamente a los conjuntos se usan los

Diagramas de Venn-Euler que son regiones planas limitadas por

figuras geométricas cerradas, como se ilustra a continuación con

los conjuntos A y B del ejemplo dado anteriormente.

•1

•0

B

•8

•-2

•6 •1

•3

•{0,1

A

7 ∉ A ∧ 7 ∈ B (V)

9 ∉ B → 0 ∈ B (V)

{ 0, 1 } ∈ B ∨ -2 ∈ A (V)

{ 1 } ∈ B ↓ { 0, 1 } ∉ A (V)

DETERMINACION DE CONJUNTOS

I. POR EXTENSION O EN FORMA TABULAR

Cuando se indica explícitamente cada uno de los elementos del

conjunto.

Ejemplo :

A = { 2, 3, 5, 7, 11 } B = { 1, 4, 9, 16, 25 }

C = { a, e, i, o, u }

II. POR COMPRENSION O EN FORMA CONSTRUCTIVA Cuando los elementos del conjunto son caracterizados mediante

una propiedad común.



Ejemplo:

A = { p / p es un número primo ∧ p < 12 }

B = { x2 / x ∈ Z+ ∧ x ≤ 5 }

C = { x / x es una vocal }

Esquema general:

Conjunto =

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

)(Pr

elemento

opiedadaesticasCaracteris

delForma

Ejemplo:

T = { x / x es un pronombre personal en Inglés }

Nota: Otro diagrama para representar gráficamente a los

conjuntos es el Diagrama de Lewis Carroll.

CCOONNJJUUNNTTOOSS NNUUMMEERRIICCOOSS Hombres que no hablan

Hombres que hablan Inglés

Se observa que :

No hablan Inglés

Hablan Inglés

MUJERESHOMBRES

DIAGRAMA DE LEWIS CARROLL



Son típicos en matemática los siguientes conjuntos

numéricos:

{ }{ }

{ }

{ }2

0,1, 2,3, 4,...

..., 3, 2, 1,0,1, 2,3,...

/ , 0

' exp'

^ / , 1 1

n n d dddecimales que no pueden resarse en forma de fraccion

x iy x y i i

=

= − − −

⎧ ⎫= ∈ ∧ ≠⎨ ⎬⎩ ⎭

=

= ∪ ∪ ∪

= + ∈ ∧ − = ↔ = −

CCLLAASSEESS DDEE CCOONNJJUUNNTTOOSS

CONJUNTO FINITO

Un conjunto es finito cuando posee una cantidad limitada de

elementos, es decir el proceso de contar sus elementos

termina en algún momento.

Ejemplo :

A = { x / x es un hablante nativo de Quechua }

B = { x / x es un mes del año }

CONJUNTO INFINITO

Un conjunto es infinito cuando tiene una cantidad

ilimitada de elementos diferentes, es decir el proceso de

contar sus elementos nunca termina.

Ejemplo :

A = { p / p es un número primo }

B = { x / x ∈ R ∧ 8 < x < 9 }

C = { x / x es una estrella de universo }

CCOONNJJUUNNTTOOSS EESSPPEECCIIAALLEESS

1. CONJUNTO NULO O VACIO

Es aquel conjunto que carece de elementos.

Ejemplo :

A = { x / x es el actual Virrey del Perú }

B = { x / x ∈ N ∧ 7 < x < 8 }

Notación: ∅ = { } = }{ xxx ≠/ .

A = B = ∅ = { }.



2. CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON

Es el conjunto que tiene un sólo elemento.

Ejemplo: A = { x / x ∈ Z ∧ 10 < x < 12 } = { 11 }

B = { 2, 2, 2, 2, 2, .............} = { 2 }

3. CONJUNTO UNIVERSAL

Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular que contiene a todos

los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto.

Ejemplo:

A = { 1, 2, 3 }; B = { 2, 4, 6, 8 }

Pueden ser conjuntos universales:

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, .............}

U = = {x / x ∈ N }

* Gráficamente el conjunto universal se representa

generalmente mediante un rectángulo.

ILUSTRACIÓN RESUMEN

El conjunto B = { x ∈ Z / - 2 < x ≤ 3 }. está por comprensión

POR EXTENSIÓN ES: {-1, 0, 1, 2, 3}

TIENE COMO CUNJUNTO UNIVERSAL A Z

ES FINITO

NO ES VACÍO

NO ES UNITARIO



Compruebe su aprendizaje, resolviendolos siguientes

ACTIVIDAD N° 02

EJERCICIOS GRUPO 1

1. Dado el conjuntos A = { a, { a }, ∅ }. Indicar cuales de

las siguientes proposiciones son verdaderas.

a. { a } ∈ A d. ∅ ∈ A

b. El conjunto ∅ ∈ A e. ∅ = { ∅ }

c. { a, { a } } ∈ A

2. Señalar cuales de las siguientes proposiciones son

verdaderas.

a. ∅ = { }.

b. A = { x ∈ R / x2+1 = 0 } es un conjunto no vacío.

c. B = { x ∈ R / x3 + 2x = 0 } es unitario.

d. El conjunto A = { -1, 1, 3, 5, ..........} por

comprensión es

A = { x / x = 2n - 3, n ∈ Z+ }.

e. Si W = { x / x ∈ R, x2 – 23 = 2 }, entonces –5 ∉ W.

3. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

a. A = { x ∈ N / x - 1 < 5 }

b. C = { x ∈ Z / - 2 < x ≤ 3 }

c. M = { x / x es un pronombre personal en Inglés }

4. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos

a. A = { 4, 6, 8, 10 }

b. X = { 3, 5, 7, 9, ..........}

c. Y = { 1, 4, 9, 16, 25, ..............}



Si sus respuestas no coinciden con la clave,intente nuevamente resolver el problema cuyarespuesta es errónea.

IMPORTANTE

CLAVE DE RESPUESTAS

1. Son verdaderas a y d.

2. Son verdaderas a, b y c.

3. a. A = { 5, 4, 3, 2, 1, 0 } b. C = { -1, 0, 1, 2, 3 }

c. M = { I am, You are, She is, He is, It is, We are, You

are, They are }.

4. a. A = { x / x es par ∧ 4 ≤ x ≤ 10 }

b. X = { x / x es impar ∧ x ≥ 3 }

c. Y = { x / x ∈ Z+ ∧ x2}



ACTIVIDAD N° 02

CCUUAA

Una función

proposición

proposición l

asume la vari

Por ejemplo,

preposicional

-2, y es fals

Ahora conside

La proposició

“Existe por l

ó equivalent

es verdadera

0.

Así mismo, la propo

“Para todo x ∈ A, s

no todo elemento d

A la frase: “Existe

universo, se llama

“Para todo”, “Par

llama cuantificador

Analice los ejemplos que sedesarrollan a continuación haciendohincapié en el uso correcto de lasimbolización e identificación deelementos de un conjunto.

NNTTIIFFIICCAADDOORREESS YY CCOONNJJUUNNTTOOSS

proposicional P(x), relacionada con una

cuantificacional, se convierte en una

ógica ( V ó F ) de acuerdo con el valor que

able x.

la función P(x): x2 - 4 = 0 es una función

que se convierte en verdadera si x = 2 ó x =

a cuando x toma otros valores.

remos un conjunto cualquiera A, por ejemplo :

A = { -2, 1, 2, -3, 0 }

n:

o menos un x ∈ A, tal que se verifica P(x)”

emente:“∃ x ∈ A / P(x)”,

, pues existe x = -2 ∈ A, tal que: x2 – 4 =

sición:

e verifica P(x)” ó equivalentemente “∀ x ∈ A / P(x)”, es falsa, pues

e A, verifica x2 - 4 = 0, basta tomar x =1∈ A / 12 - 4 es diferente de 0.

un”, “Para algún” ó ”Algunos”, etc. que denota una parte de un

cuantificador existencial y se denota por ∃; mientras que a la frase:

a cada” ó “Para cualquier”, etc. que denota la totalidad de objetos, se

universal y se denota por ∀.



1. Negar que existe un x ∈A, tal que se verifica P(x); equivale a decir que: Ningún x ∈ A,

verifica P(x), ó que: Todo x, no verifica P(x); simbólicamente:

~[∃ x ∈ A / P(x)] ⇔ ∀ x ∈ A / ~ P(x).

2. Negar que para todo x∈A, verifica P(x), equivale a decir que: Para algunos x∈A, no

se verifica P(x); simbólicamente:

~[∀ x ∈ A / P(x)] ⇔∃ x ∈ A / ~ P(x)

Ejemplo 01: Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones, siendo el conjunto A

= { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }.

a. ∀ x ∈ A / x2 - 5x + 6 = 0.

b. ∃ x ∈ A / x3 + x2 - 2x = 0.

c. ∀ x∈ A,∃ y ∈ A / x + y ≤ 4

Solución:

a. Es falsa, pues x2 -4x + 5 = 0 se cumple sólo para x = 1, y x = 5 y no para todos los

demás elementos de A.

b. Es verdadera, puesto que la ecuación x3 + x2 - 2x = 0 tiene dos soluciones x = 0,

y x = 1 en el conjunto A; bastaba que hubiera una.

c. Es falsa, pues para 5 ∈ A no existe ningún valor y ∈ A / 5 + y ≤ 4.

∀ x ∈ A ∃ y ∈ A / x + y ≤ 4

0 2 0 + 2 ≤ 4

1 3 1 + 3 ≤ 4

2 0 2 + 0 ≤ 4

3 1 3 + 1 ≤ 4

4 0 4 + 0 ≤ 4

5 No existe No se cumple

Ejemplo 02: Determinar el valor de verdad y negar las siguientes proposiciones; dado el

conjunto B = { x / x ∈ Z, x ≤ 4 }.

a. ∀ x ∈ B / x – 1 < 2.

b. ∀ x ∈ B, ∃ y ∈ B / x2 + y2 ≥ 8.

c. ∃ x ∈ B, ∃ y ∈ B / x - y = 0.

Solución:



a. Falsa, pues para x = 3, y para x = 4 no se satisface la inecuación, burlando el

cuantificador ∀. Por otro lado, su negación es:

~ [ ∀ x ∈ B / x – 1 < 2 ] ⇔ ∃ x ∈ B / x - 1 ≥ 2 ….(V)

b. Verdadera.

∀ x ∈ B, ∃ y ∈ B / x2+y2 ≥ 8

1 3 12 + 32 ≥ 8

2 2 22 + 22 ≥ 8

3 1 32 + 12 ≥ 8

4 1 42 + 12 ≥ 8

Su negación es:

~ [ ∀ x ∈ B, ∃ y ∈ B / x2 + y2 ≥ 8 ] ⇔

∀ x ∈ B, ∃ y ∈ B / x2 + y2 < 8....(V)

c. Verdadera.

∃ x ∈ B, ∃ y ∈ B / x - y = 0

1 1 1 - 1 = 0

2 2 2 - 2 = 0

3 3 3 – 3 = 0

4 4 4 – 4 = 0

Su negación es:

~ [∃ x ∈ B, ∃ y ∈ B / x - y = 0] ⇔

∀ x ∈ B, ∀ y ∈ B / x - y ≠ 0 ...........(F)




La proposición ∀ x ∈ B, ∃ y ∈ B / x2 + y2 ≥ 8. donde

B = { x / x ∈ Z, x ≤ 4 }.

Es verdadero

Su negación es (F): ∃ x ∈ B, tq y ∈ B / x2 + y2 < 8.

x2 + y2 ≥ 8 es la función

∃ : es el Cuantificador Existencial

∀ : es el Cuantificador U i l



ACTIVIDAD N° 03

1. Determinar por

proposición qu

a. Z = { x

b. Z = { x /

2. Indicar cuales

verdaderas. As

a. x ∈ R,∀

b. ∃ r ∈ Q,

1. a. Z = { …,

b. Z = { 0,

2. a. V, ∃ x ∈

b. F, ∀ r ∈

Analice los ejemplos que se desarrollan acontinuación haciendo hincapié en el uso correcto de la simbolización eidentificación de elementos de un

j t

EJERCICIOS GRUPO 2

extensión el conjunto Z que satisface la

e se da en cada caso.

/ x ∈ Z , x - 2 < 4 .}.

∃ x ∈ Z, ∃ y ∈ Z / x2 + y2 < 8 }.

de las siguientes proposiciones son

í mismo, escribir la negación en cada caso.

∀ y ∈ R /( - x ) y = - ( x y ).

∀ p ∈ Z / p > r.

¡Compare sus respuestas con la clave!

CLAVE DE RESPUESTAS

-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

± 1, ± 2 }.

R, ∃ y ∈ R / ( - x ) y ≠ - x y.

Q, ∃ p∈ Z / p ≤ r.



OBJETIVO N° 02

Establecer la relación entreconjuntos y demostrar laspropiedades de Inclusión eIgualdad de conjuntos.

ACTIVIDAD N° 01

Entre dos conjuntos c

A. INCLUSIÓN: ⊂

Se dice que un conj

B, si todo elemento d

Es decir: A ⊂ B

Se lee : “A es subcon

x ∈B”.

Observación: A part

para asegurar que A

A ⊄ B.

Ejemplo. Si

Observación: Si un

Ejemplo. Si B =

Analice el siguiente texto remarcandolas definiciones, ilustraciones ypropiedades de la Inclusión e Igualdadde conjuntos.

ualesquiera se pueden establecer las siguientes relaciones:

unto A está incluido, contenido ó es un subconjunto del conjunto

e A es también elemento de B. Se denota por: A ⊂ B.

⇔ [ ∀ x ∈ A / x ∈ A ⇒ x ⊂ B ].

junto de B si y sólo si todo x de A es tal que si x ∈ A entonces

ir de la definición, basta que un sólo elemento de A no pertenezca B

no está incluido o contenido en B; en tal caso se denota por:

.q

⋅ p

⋅ s

⋅ r B

A

A = { q, s }

B = { p, q, r, s }

⇒ A ⊂ B

conjunto tiene “n” elementos entonces tiene: 2n subconjuntos

{ a, b } ⇒



Los subconjuntos de B son: ∅, { a }, { b }, { a, b }.

∴ Numero de subconjuntos de B es: 22 = 4.

Ejemplo. Siendo B = { 3, { 3 }, { 4 }, { { 4 } } }.

Dar el valor de verdad a las siguientes proposiciones :

- { 3 } ∈ B …………. (V)

- { 3 } ⊂ B …………. (V)

- { { 3 } } ⊂ B …………. (V)

- { { { 4 } } } ⊂ B …………. (V)

- { { 4 } } ⊂ B …………. (V)

- 7 ⊂ B …………. (F)

- 7 ⊄ B …………. (F)

Gráficamente se representa:

U

H A

U

B

A

A ⊄ H A ⊂ B

Ejemplo: Demostrar que la proposición A ⊄ B, equivale a demostrar que:

“Existe al menos un x ∈ A tal que x ∉ B”.

En efecto, la proposición: A ⊄ B equivale a decir: “No es cierto que A está

contenido en B”; esto es :

A ⊄ B ⇔ ~ [ A ⊂ B ]

⇔ ~ [∀ ∈ A / x ∈ A ⇒ x ∈ B ] Definición

⇔ ∃ x ∈ A / ~ ( x ∈ A ⇒ x ∈ B ) Aplicando la negación

⇔ ∃ x ∈ A / x ∈ A ∧ ¬ ( x ∈ B ) ] Ley de p ⇒ q

⇔ ∃ x ∈ A / [ x ∈ A ∧ x ∉ B ] Negación

∴ A ⊄ B ⇔ ∃ x ∈ A / (x ∈ A ∧ x ∉ B )

Propiedades de la Inclusión.

La relación de Inclusión entre conjuntos goza de las siguientes propiedades:

1.1 Reflexiva: A ⊂ A, ∀ conjunto A.



1.2 Antisimétrica: Si A ⊂ B y B ⊂ A entonces A = B. (*)

1.3 Transitiva: Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces A ⊂ C.

1.4 ∀ A, ∅ ⊂ A.

(*) Corresponde a la definición de Conjuntos Iguales, que se verá mas adelante.

Demostración de 1.1

Demostrar que: A ⊂ A equivale a demostrar que,

∀ x ∈ A / x ∈ A ⇒ x ∈ A, la cual es una proposición siempre verdadera, pues: p ⇒ p es

una tautología como se ilustra a continuación:

P P ⇒ P

V V

F V

∴ A ⊂ A


Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces A ⊂ C.

∀ x ∈ A / x ∈ A ⇒ x ∈ B pues A ⊂ B.

Además, ∀ x ∈ B / x ∈ B ⇒ x ∈ C pues B ⊂ C.

Por la propiedad transitiva de la Condicional:

[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r )] ⇒ [p ⇒ r].

En consecuencia, ∀ x ∈ A / x ∈ A ⇒ x ∈ C.

Es decir A ⊂ B

Demostración de 1.4 ∅ ⊂ A, ∀ A.

Recuerde que la proposición p ⇒ q es falsa sólo si p es

verdadera y q es falsa. Luego,

∅ ⊂ A ⇔ ∀ x ∈ ∅ / ( x ∈ ∅ ) ⇒ ( x ∈ A), esta ultima

proposición es verdadera puesto que el antecedente ( x ∈ ∅

) es falso, por que el conjunto vacío carece de elementos.

Conjuntos Comparables.

Los conjuntos A y B son comparables si: A ⊂ B ó B ⊂ A.

Si A ⊄ B ó B ⊄ A se dice que A y B son no comparables.

B. IGUALDAD DE CONJUNTOS: =

Los conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen exactamente los mismos elementos.

Se denota por: A = B ⇔ [(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)].

En caso contrario se escribe: A ≠ B.



Nota: La definición establece la necesidad de demostrar la doble inclusión a fin de

demostrar la igualdad de dos conjuntos.

Ejemplo. Establecer si los siguientes conjuntos son iguales:

A = { 1, -2, 6 }, B = { 1, -2, 6, 1, 6 }.

Se verifica que A = B pues todo elemento de B es también elemento de A,

B ⊂ A; y todo elemento de A es elemento de B, A ⊂ B.

Observación. Del ejemplo se concluye que un conjunto no varía si sus elementos

repetidos se escriben una sola vez, en este caso { 1, -2, 6, 1, 6 } = { 1, -2, 6 }.

Propiedades de la Igualdad

2.1 Reflexiva: A = A, ∀ A.

2.2 Simétrica: A = B ⇒ B = A.

2.3 Transitiva: A = B ∧ B = C ⇒ A = C.


Debemos demostrar que B = A, es decir. B ⊂ A y A ⊂ B.

Por hipótesis A = B y por definición:

A = B ⇔ ( A ⊂ B ) ∧ ( B ⊂ A )

⇔ ( B ⊂ A ) ∧ ( A ⊂ B ) Prop. Conmutativa de ∧

⇔ B = A.

∴ A = B ⇒ B = A.

C. SUBCONJUNTO PROPIO.

Se dice que el conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B, si A ⊂ B ∧ A ≠ B.

En otras palabras, A es subconjunto propio de B, si A ⊂ B ∧ B tiene uno ó más elementos

que no pertenecen a A. Gráficamente,

U

B

A

Ejemplo. Dados los conjuntos:

A = { x / x ∈ Z ∧ x + 3 = x2 – 9 }

B = { -3, 4 }.

De A : x + 3 = x2 - 9



B A

•4

•-3 x2 – x –12 = 0

x -4

x 3

( x – 4 )( x + 3 ) = 0

x = -3 ó 4

∴A = B

D. CONJUNTOS DIFERENTES: ≠

Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee

el otro.

A ≠ B ⇔ A ⊄ B ∨ B ⊄ A Se define :

Ejemplo. Dados:

A = { x / ( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 ) x = 0 }

B = { 0, 1, 2, 3, 4 }

De A: ( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 ) x = 0

x = 0; 1; 2; 3

∴ A B. ≠

E. CONJUNTOS DISJUNTOS

Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos cuando no poseen elementos comunes

Simbólicamente :

A y B son disjuntos ⇔ ∃ x / x ∈ A ∧ x ∈ B

Ejemplo. Siendo: A = {2,3,4} y B = {5,6,7}. ∴ A y B son disjuntos A

•4 •3

•2

B

•7 •6

•5 Gráficamente :

`

F. CONJUNTOS EQUIPOTENTES O COORDINABLES.

Para hablar de estos conjuntos de alguna forma, el proceso de contar sus elementos

siempre termina.

Dos conjuntos son equipotentes o coordinables cuando el número de sus elementos son

iguales.

Ejemplo. Siendo:

A = { 10, 11, 12 }



B = { m, n, p }

∴ A y B son equipotentes.

Simbólicamente: A <> B ⇔ n( A ) =n( B )

DIAGRAMAS LINEALES

Son representaciones graficas que sirven para indicar relaciones de inclusión entre

conjuntos

A

Si : A ⊂ B ⇒

Si : A = B ⇒ A B

B

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C PROPIEDAD


Dado el conjuntoA = {{φ}}

Tiene 21=2 subconjuntos

Sus subconjuntos son { A, conjunto φ }

Es unitario

∅es sólo un símbolo



Resuelva los siguiereafirmar su aprenresultados con la cl

ACTIVIDAD N° 02

EJERCICIOS GRU

1. Si A = { 2, 4, 6, 0, 5 }, ind

las siguientes proposiciones.

a.{ 2 } ⊂ A b.{ x / ( x2 – 5 )( x

b. 4 ⊂ A c. A ⊂ R e.

f. 5 ∈ A g. ∅ ∈ A h.

i. { ∅ } ⊄ A

2. Dados los conjuntos A = { x / x ∈

B = { 2, 4, 6, 8 }

C = { 3, 5, 7 }, D = { 2, 4 }, E = {

caso, cuál de estos conjuntos p

que:

a. X ⊂ A y X ⊂ B b.

c. X ⊄ B y X ⊄ E d.

e. X ⊄ C y X ⊂ D.

Sugerencia: Apóyese con un diagra

3. Representar gráficamente las sigu

a. A ⊂ B b. B ⊂ A c.

d. A y B son comparables.

4. Hallar todos los subconjuntos de

a. A = { 2, -3, 4 } b. A =

¿Cuántos subconjuntos tiene A en

5. Demostrar las siguientes propieda

19

ntes ejercicios paradizaje, compare susave.

PO 3

icar el valor de verdad de

– 2 ) = 0; x ∈ Z+ } ⊄ A

{ 6 } ⊄ A

∅ ⊂ A

N, 2 ≤ x ≤ 9 },

1, 3 }. Determinar en cada

uede ser el conjunto X tal

X ⊄ A y X ⊂ E

X ⊂ A y X ⊂ E

ma.

ientes relaciones:

A = B

A, si:

{ { ∅ } } c. A = ∅

cada caso?

des:

Universidad Nacional del Santa


a. Si A ⊂ B y B ⊂ A, entonces A = B.

b. A = A, ∀ A.

c. Si A = B y B = C, entonces A = C.

d. Si H ⊂ M ∧ M ⊂ N, entonces H ⊂ N.

e. Si A ⊂ ∅, entonces A = ∅.

CLAVE DE RESPUESTAS

1. Son verdaderas: a, d, e, f, h, i.

2. X puede ser igual al conjunto que se indica en cada caso

a. D ó B b. Sólo B c. Sólo C

d. Ninguno e. D

•2 •3

•5C

•9 •1

E

BD •6

•2•4

A Gráficamente:

3. a. b. c. A

A = B

A B

A

B A

B

d. e.

B A



OBJETIVO N° 03

Efectuar operaciones conconjuntos e interpretargráficamente los resultados.

ACTIVIDAD N° 01

Entre conjuntos se

Diferencia.

1. UNIÓN DE CONJU

La Unión de lo

por A B for

A, a B ó a amb

U

Para represent

relaciones e

particular.

BA

Observación.

B ⊂ (A B).U

Ejemplo. Si A

Infórmese sobre las operaciones entreconjuntos: definición, notación,representación e ilustración gráfica,leyendo el siguiente texto.

pueden realizar las siguientes operaciones: Unión, Intersección y

NTOS

s conjuntos A y B es otro conjunto, denotado

mado por todos los elementos que pertenecen a

os.

A B = { x / x U ∈ A x ∨ ∈ B}; ∨ = Símbolo de la di ió

ar gráficamente A U B, se tendrá presente las

ntre los conjuntos dados en cada caso

U

B A

U

B A

U

De la definición se deduce que A ⊂ (A U B) y

= { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, B = { 3, 4, 5, 6 },




C = { 2, 3, 6, 8, 10 }. Hallar (a) A U B (b) B

C. Representar gráficamente cada caso. U

Solución.

A U B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B } = { 2, 3, 4, 5, 6,

7 }

B U C = { x / x ∈ B ∨ x ∈ C} = { 3, 4, 5, 6, 2, 8, 10 }

Se observa que B ⊂ A, y que B y C son no comparables con

algún elemento común, luego se tiene:

Ejemplo. Sea A = {x ∈ R / x2 – 1 = 0},

B = {x ∈ R / x2 + 3 = 0} y M = R.

Hallar (a) A B (b) M U B (c) A U M U

Solución.

A = {-1, 1 }, B = ∅, M = R;

luego:A B = A ∅ = { x / x ∈ A ∨ x ∈ ∅ }

pero no existe x ∈ ∅.

U U

Entonces:

a. A U B = {-1, 1}, es decir A U ∅ = A, ∀ A.

b. M U B = R

c. A U M = { x / x ∈ A ∨ x ∈ M } } = R.

2. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

La Intersección de los conjuntos A y B es el conjunto

denotado con A ∩ B formado por los elementos comunes a ambos

conjuntos. Es decir,

Gráficamente.

A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B }

• 3

7

• 5

• 4• 6

• 7 B

A ∪ B

•

• 2

• 10

• 8

56

••

•3

B ∪ C

• 2

2•

• 4

B

U

A B

U

A B

U

A


Nota : ( A ∩ B ) ⊂ A y ( A ∩ B ) ⊂ B

Conjuntos Disjuntos: A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅.

Ejemplo. Siendo A = { 2, 4, a }, B = { a, b, c, d }, C = {

b, c }. Hallar

a. A ∩ B, b. B ∩ C c. A ∩ C

Representar gráficamente cada caso.

Solución.

A ∩ B = { x / { x / x ∈ A ∧ x ∈ B } = { a }

B ∩ C = { x / x ∈ B ∧ x ∈ C } = { b, c }

A ∩ C = { x / x ∈ A ∧ x ∈ C } = ∅

Tenemos:

•c U

B A •b •2

•4 •a

•d •a •4 •6

U

C B

`` •4 •2

4 •b •c

•d U

B A

a. A ∩ B, b. B ∩ C c. A ∩ C

Nota. Si X ⊂ Y, entonces X ∩ Y = X.

3. DIFERENCIA DE CONJUNTOS

La Diferencia de los conjuntos A y B, en ese orden, denotado

por A – B, es el conjunto formado por todos los elementos de

A que no pertenecen a B. Es decir,

Se lee : “A

Gráficamente

A

A partir de

a. A – B ≠

Complemento

El complemen

U, es el co

que no están

A – B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B }

diferencia B” ó “A menos B”

:

U

B A

U

B A

U

B

la definición se deduce que:

B – A b. A – A = ∅ c. A – B = A ∩ B´

de un Conjunto.

to del conjunto A respecto al conjunto universal

njunto A’ formado por todos los elementos de U

en A. Es decir,

A - B

A’ = { x / x ∈ U ∧ x ∉ A }



En otras palabras, el complemento de A es el conjunto

formado por los x ∉ A, esto es:

A’ = U – A. Gráficamente:

A’ A

Otras notaciones : C A ó Aº.

Observaciones : a. A U A’ = U

b. A ∩ A’ = φ

Ejemplo. Demostrar que A – B = A ∩ B’.

Solución.

A - B = A ∩ B’ equivale a demostrar que:

( I ) ( A – B )⊂( A ∩ B’ ) y ( II ) ( A ∩ B’)⊂(A – B ).

Demostración de ( I ):

[( A – B ) ⊂ ( A ∩ B’ )] ⇔ x ∈ ( A – B ) / x ∈ ( A – B ) ⇒

x ∈ ( A ∩ B’ )

Pero x ∈ (A – B)⇒(x ∈ A) ∧ ( x ∉ B) Def. de diferencia

⇒ ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B’ ) Def. de B’

⇒ x ∈ ( A ∩ B’ ) Def. de intersección

Se ha demostrado que si un elemento cualquiera x, tal que x

∈ ( A – B ) implica que x ∈ ( A ∩ B’ ).

Por definición de inclusión, se concluye que :

( A – B ) ⊂ ( A ∩ B’ ).

Demostración de ( II ):

[(A ∩ B’) ⊂ (A – B)] ⇔ x ∈(A ∩ B’)/x∈(A ∩B´)⇒x∈(A – B).

Pero x ∈ (A ∩ B’) ⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B´) Def. Intersección

⇒ ( x ∈ A ) ∧ ( x ∉ B´ ) Def. de B´

⇒ x ∈ ( A – B ) Def. Diferencia

Luego,x ∈ ( A ∩ B’ ) ⇒ x ∈ ( A - B ).

De ( I ) y ( II ) se concluye la demostración.

Ejemplo. Hallar A´, si A = { x / x ∈ Z, x es impar }.

Solución: A´ = { x / x ∈ U ∧ x ∉ A }

Siendo: U = Z

A´ = { x / x ∈ Z, x es par .}



4. DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS.

La Diferencia Simétrica de los conjuntos A y B, denotado por

A ∆ B, es el conjunto formado por todos los elementos que

pertenecen solamente a A ó solamente a B, es decir:

A ∆ B = ( A – B ) ∪ ( B – A )

Gráficamente:

U

B A

A ∆ B

Ejemplo. Si A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {1, 4, 6, 7, 9 } y

C = { 1, 9 }. Hallar:

a. A ∆ B b. B ∆ C c. A ∆ C

Solución.

a. A ∆ B = ( A – B ) ( B – A ), donde: U

A – B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B } = { 2, 3, 5 } B – A = { x / x ∈ B ∧ x ∉ A } = { 1, 9 } Entonces A ∆ B = { 2, 3, 5, 1, 9 }.

b. B ∆ C = ( B – C ) U ∅ = B – C;

es decir: B ∆ C = {x /x ∈ B ∧ x ∉ C }={4, 6, 7}

C – B = {x / x ∈ C ∧ x ∉ B} = x ∉ ∅ pues C ⊂ B. Luego, B ∆ C = ( B – C ) ∅ = B – C, U

es decir: B ∆ C = { 4, 6, 7 }.

b. Análogamente, siendo A y C conjuntos disjuntos: A ∆ C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 9 } Gráficamente,

A B A B

A B



a. A ∆ B

Observaciones :

1. Si C ⊂ B entonces B ∆ C es el complemento de C

con respecto a B.

2. Si A y B son conjuntos disjuntos entonces

A ∆ B = A ∪ B.

3. A ∆ B = ( A ∪ B ) - ( A ∩ B).



Analice los ejercioperaciones con interpretación grafi

ACTIVIDAD N° 02

EJEMPLOS DE APLI

A continuación se presentan algunos ej

uso de las definiciones y operaciones

1. La proposición x ∈ ( A ∩ B’) es

a. ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B )

b. ( x ∈ A ) ∧ ( x ∉ B’ )

c. x ∈ (A - B )

d. ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B’ )

Solución.

x ∈ (A ∩ B’) ⇔ [(x ∈ A) ∧ (x ∈

⇔ [( x ∈ A ) ∧ (

⇔ [ x ∈ ( A- B )]

Luego, las expresiones equivalent

y( d).

2. ¿A cuál de las expresiones corres

a. [B – ( A ∩ C )] U [( A ∩ C

b. [B – ( A ∪ C )] U [( A ∩ C

c. [B ∩ ( A ∪ C )] [( A ∩ B )U

Solución.

Distinguimos la reunión de dos re

- La superficie formada por el

y no en A ó C; esto se expre

27

cios resueltos sobreconjuntos y su

ca.

CACIÓN

ercicios resueltos sobre

con conjuntos.

equivalente a:

B’)] Def. de Intersec.

x ∉ B )] Def. de B’

Def. de diferencia.

es a x ∈ (A ∩ B’) son (c)

ponde la región sombreada?

) – B ]

) – B ]

C

AB

∩ C]

giones sombreadas:

ementos que solo están en B

sa por: B – ( A U C ).



- La inferior formada por los elementos que están en la

intersección de A con C pero que no pertenecen a B;

esto es: (A ∩ B) – B.

Luego la expresión dada es (b) correspondiente a la

región sombreada.


Operaciones con conjuntos

AB = A-B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B }

A

A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ A ∆ B = ( A – B ) ∪ ( B – A )

A B = { x / x ∈ A U



Resuelva los sigpara autoevaluar

ACTIVIDAD N° 02

EJERCICIOS GRU

1. Dados los conjuntos: A = { :x Z +∈

C = { }2 1: , 5x x Z x+− ∈ ≤ , D =

Hallar:

a. ( ) ( )''

A DC B D E⎡ ⎤∆ ∩ ∪⎣ ⎦ b.

c. ( ) ( ) ({ ' ' ''B E C AD E A B C E⎡∪ ∩ ∆ ∆ ∪⎣

d.{( ) ( ) ( ) ( )'' ' '' 'B E C EA ED C D B B C

∆⎡ ⎤∆ ∩ ∩ ∆ ∪⎢ ⎥⎣ ⎦

2. ¿Qué condiciones deben cumplir lo

se verifiquen las siguientes rela a. A∩ B = b. A B = B Φ ∪ d. A∪ Φ = U e. A – B = g. A – B = B – A h. A ∆ 1. Si

{ }{ }{ }2

: 4 6

: 0 6

/ ( 1 4 3)

A x x x

B x x x

C x x x x

+

+

= ∈ > → =

= ∈ > ∧ ≤

= ∈ ≥ → ≠ − Hallar:

a. b. ( ) ( )'' '

A BC B A C⎡ ⎤∆ ∩ ∪⎣ ⎦ ( A⎡

⎣

c. {( ) ( ) ( ) ('' '' 'B C C A CA C A B B C

∆⎡∆ ∩ ∩ ∆ ∪⎢⎣

29

uientes ejerciciossu aprendizaje.

PO 4

}1x < 0 , B = { }2 : , 5x x Z x+∈ < ,

{3, 4, 5}, E = {3, 5}.

( ) ( ) ( )'

D EA E B C

∆⎡ ⎤∩ ∆ −⎣ ⎦

) } ( ) ( )''

A⎤⎦ U

DC B D E⎡ ⎤∆ ∩ ∪⎣ ⎦

} I ( ) ( ) ( )'

D EA E B C

∆⎡ ⎤∩ ∆ −⎣ ⎦

s conjuntos Ay B para que ciones? c. A B = U ∩

A f. A B’ = B’ ∩

B A B= ∪ i. A B B A∆ = −

) ( ) ( )''

D EC B C

∆⎤∩ ∆ − ⎦

) }'B ( ) ( ) ( )

''A C

A C B A∆

⎤⎥⎦

I ⎡ ⎤∩ ∆ −⎣ ⎦



OBJETIVO N° 03

Demostrar las leyes

del álgebra de

conjuntos.

ACTIVIDAD N° 01

Las definiciones d

1) A ⊂ B ⇔

2) A = B ⇔

3) A ∪ B =

4) A ∩ B =

5) A – B =

6) A ∆ B =

7) A’ =

A continuación se

con conjuntos, ba

Conjuntos. Se demu

LEYES B

1. Idempotencia

1 a) A ∪ A = A

2. Conmutativa

2 a) A ∪ B = B ∪ A

3. Asociativa

3 a) A ∪ ( B ∪ C )

3 b) A ∩ ( B ∩ C )

4. Distributiva

Analice la siguiente información sobrelas propiedades de las operaciones conconjuntos y las demostracionesrealizadas.

e las operaciones con conjuntos, son:

∀ x ∈ A / x ∈ A ⇒ x ∈ B

A ⊂ B ∧ B ⊂ A

{ x / x ∈ A ∨ x ∈ B }

{ x / x ∈ A ∧ x ∈ B }

{ x / x ∈ A ∧ x ∉ B } ó A – B = A ∩ B’

( A – B ) ∪ ( B – A )

{ x / x ∈ U ∧ x ∈ A} ó A’ = { x / x ∉ A }

presentan las Propiedades de las Operaciones

jo el título de Leyes Básicas del Álgebra de

estran algunas de ellas.

ÁSICAS DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

1 b) A ∩ A = A

2 b) A ∩ B = B ∩ A

= ( A ∪ B ) ∪ C

= ( A ∩ B ) ∩ C



4 a) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )

4 b) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )

5.

5 a) A ∪ ∅ = A 5 a) A ∩ ∅ = A

6.

6 a) A ∪ U = A 6 b) A ∩ U = A

7.

7 a) A ∪ A’ = U 7 b) A ∩ A’ = ∅

8.

8 a) ( A’ ) ’ = A 8 b) U’ = ∅ , ∅ ’ = U

9. Leyes de D' Morgan

9 a) ( A ∪ B )' = A' ∩ B'

9 b) ( A ∩ B )' = A' ∪ B'

10. Leyes de Absorción

10 a) A ∪ ( A ∩ B ) = A

10 b) A ∩ ( A ∪ B ) = A

A continuación se demuestran: 2 (a), 4 (b), 8 (a) y 9 (b).

Demostración (2a) A ∪ B = B ∪ A.

Recuerde que dos conjuntos son iguales si y sólo si se verifica la doble inclusión:

(I) ( A ∪ B ) ⊂ ( B ∪ A ) y (II) ( B ∪ A ) ⊂ ( A ∪ B )

Entonces debe demostrarse (I) y (II); recurriendo a la definición de Inclusión.

(I) (A ∪ B) ⊂ (B ∪ A) ⇔ ∀ x ∈ (A ∪ B) / x ∈ (A ∪ B) ⇒ x ∈ (B∪A)

Pero, x ∈ ( A ∪ B) ⇒ ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B ) Def. Unión

⇒ ( x ∈ B ) ∨ ( x ∈ A ) Conmut. de ∨

⇒ x ∈ ( B ∪ A ) Def. Unión

Luego, x ∈ ( A ∪ B ) ⇒ x ∈ ( B ∪ A).

Con lo que queda demostrado: (A ∪ B) ⊂ (B ∪ A) Def. Inclusión

II) ( B ∪ A) ⊂ ( A ∪ B) ⇔ ∀ x (B ∪ A)/ x ∈ (B ∪ A) ⇔ x ∈ (A ∪ B)

Pero, x ∈ ( B ∪ A ) ⇒ ( x ∈ B ) ∨ ( x ∈ A ) Def. Unión

⇒ ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B ) Conmut. de ∨

⇒ x ∈ ( A ∪ B ) Def. Unión

∴ x ∈ ( B ∪ A) ⇒ x ∈ ( A ∪ B) , esto es ( B ∪ A ) ⊂ ( A ∪ B ) por

definición de Inclusión.

De (I) y (II) se sigue: A ∪ B = B ∪ A.



Demostración (4b) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )

Equivale a demostrar:

(I) [ A ∩ ( B ∪ C ) ⊂ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) y ] [ ](II) [ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ⊂ ] [ A ∩ ( B ∪ C ) . ]

(I) ∀ x ∈ A ∩ ( B ∪ C ) / x ∈ A ∩ ( B ∪ C) ⇒ x ∈ ( A ∩ B) ∪ (A ∩C)

Pero x ∈ A ∩ ( B ∪ C ) ⇒ x ∈ A ∧ ( x ∈ B ∪ C ) Def. Intersec

⇒ x ∈ A ∧ [ x ∈ B ∨ x ∈ C] Def. Unión

⇒ ( x ∈ A ∧ x ∈ B ) ∨ ( x ∈ A ∧ x ∈ C ) Propiedad

distributiva de ∧ con respecto a ∨:

[p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )].

⇒ ( x ∈ A ∩ B ) ∨ ( x ∈ A ∩ C ) Def. Intersec

⇒ x ∈ [ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ] Def. Unión

Entonces x ∈ A ∩ ( B ∪ C ) ⇒ x ∈ [ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ] [ ]

[ A ∩ ( B ∪ C) ] ⊂ [ ( A ∩ B ) ∪( A ∩ C )] Def. de . ⊂

Análogamente se demuestra (II). En efecto,

∀ x ∈ [ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) / x ∈ ] [ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ]

⇒ x ∈ (A ∩ B ) ∨ x ∈( A ∩ C) Def. de Intersección

⇒ [ x ∈ A ∧ x ∈ B ] ∨ [ x ∈ A ∧ x ∈ C ]

(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⇔ p ∧ ( q ∨ r) ⇒ x ∈ A ∧ ( x ∈ B ∨ x ∈ C ) [ ]

Def. de Unión ⇒ x ∈ A ∧ [ x ∈ ( B ∪ C ) ]

Def. de Intersección ⇒ x ∈[ A ∩ ( B ∪ C ) ]

Luego x ∈[ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ⇒ x ∈ ] [ A ∩ ( B ∪ C ) ] Def. de Inclusión

∴ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ⊂ [ ] [ A ∩ ( B ∪ C) . ]

De (I) y (II) se concluye que:

A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C).

Demostración (8a) ( A’ ) ’ = A.

Debe demostrarse que : ( I ) ( A’ ) ’ ⊂ A y ( II ) A ⊂ ( A’ )’.



(I) ∀ x ∈ ( A’ ) ’ / x ∈ ( A’ )’ ⇒ x ∉ A’ Def. Complemento

⇒ ∼ [ x ∈ A’] Negación de ∈

⇒ ∼ [ x ∉ A ] Def. Complemento

⇒ ∼ [∼( x ∈ A ) ] Negación de ∈

⇒ ∼ x ∈ A pues: ∼(∼ p) ⇔ p

Luego ( A’ )’ ⊂ A por definición de Inclusión.

(II) ∀ x ∈ A / x ∈ A ⇒ ∼ [∼( x ∈ A ) ] Doble Negación

⇒ ∼ [ x ∉ A] Negación de ∈

⇒ ∼ [ x ∈ A’ ] Def. Complemento

⇒ x ∉ A’ Negación de ∈

⇒ x ∈ ( A’ )’ Def. Complemento

∴ A ⊂ ( A’ )’ por definición de Inclusión.

De (I) y (II) se sigue la igualdad.

Demostración (9b) ( A ∩B )' = A' ∪ B'.

Debe demostrarse:

(I)( A∩B )’ ⊂ A’∪B’ y (II)A’∪B’ ⊂ ( A∩B )’

Para I

∀ x ∈ ( A∩B )’ / x ∈ ( A∩B )’ ⇒ x ∉ A∩B Def. Complemento

⇒ ∼ [ x ∈ (A∩B)] Negación de ∈

⇒ ∼ [x ∈ A ∧ x ∈ B] Def. Intersección

Recuerda que: ∼ (p ∧ q) ⇔ ∼p ∨ ∼q.

⇒ ∼ ( x ∈ A ) ∨ ∼ ( x ∈ B )

⇒ ( x ∉ A ) ∨ ( x ∉ B ) Negación de ∈

⇒ ( x ∈ A’ ) ∨ ( x ∈ B’ ) Def. Complemento

⇒ x ∈ ( A’ ∪ B’ ) Def. Unión

Luego, x ∈ ( A∩B )’ ⇒ x ∈ ( A’ ∪ B’ )

∴ ( A∩B )’ ⊂ A’∪B’ Por Def. de Inclusión

Para II

∀ x ∈ (A’ ∪ B’)’ / x ∈ (A’ ∪ B’) ⇒ (x ∈ A’) ∨ (x ∈ B’) Def. Unión

⇒ ( x ∉ A ) ∨ ( x ∉ B ) Def. Complemento

⇒ ∼ ( x ∈ A ) ∨ ∼ ( x ∈ B ) Negación de ∈

⇒ ∼ [ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ]



Por que ( ∼p ∨ ∼q ) ⇔ ∼ (p ∧ q)

⇒ ∼ [ x ∈ A ∩ B ] Def. Intersección

⇒ x ∉ A ∩ B Negación de ∈

⇒ x ∈ ( A ∩ B )’ Def. Complemento

Luego, x ∈ ( A’ ∪ B’ ) ⇒ x ∈ ( A ∩ B )’, lo cual demuestra que:

( A’ ∪ B’ ) ⊂ ( A ∩ B )’.

De ( I ) y ( II ) ( A ∩ B )’ = A’ ∪ B’.


Leyes del Álgebra de conjuntos

Distributiva A (B∪ ∩ C) =(A B)∪ ∩ (A C) ∪Asociativa

A (B C) = (A ∩ B) C ∩ ∩ ∩A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C

Morgan (A B) ’ = A’∪ ∩ B’ (A ∩ B) ’ = A’ ∪ B’

Conmutativa A B = B A ∪ ∪A ∩ B = B A ∩

Absorción A (A B) = A ∪ ∩A ∩ ( A B) = A ∪

A ∪ (A’ B) = A ∪ B ∩ A ( A’ B) = A B ∩ ∪ ∩



Demuestre a continuación las leyesdel álgebra que se mencionan

ACTIVIDAD N° 02

EJERCICIOS GRUPO 5

I. Utiliza convenientemente las definiciones de las operaciones con conjuntos para

resolver los problemas que se plantean a continuación.

1. ¿Cuál es la expresión equivalente a: x ∈ [A (A∩B )]? ∪

a. x ∈ A ∧ x ∈ B

b. x ∈ A

c. ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B )

2. ¿Cuál es la expresión equivalente a: x ∈ [A∩(B – C)]?

a. x ∈ A ∧ ( x ∉ B ∧ x ∉ C )

b. x ∈ ( A ∩ B ) ∨ x ∉ ( A B ) ∪

c. x ∈ ( A ∩ B ) ∧ ( x ∈ C’ )

d. x ∈ A ∧ x ∉ B ∧ x ∉ C

3. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son siempre

verdaderas?

a. A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B b. A ∆ B’ = B’ ∩ A’

c. A ⊂ B’ ⇒ B’ ∩ A’ = ( A ∩ B )’

d. A ⊂ B ⇒ A’ ⊂ B’

II. Desarrollar:

1. Dados los conjuntos A, B, C y D, efectuar las

operaciones indicadas y representar gráficamente los

resultados, siendo:

A = { x / x = 3

12 −n, n ∈ }

B = { x / x2 – 7x = 0 }



C = { x / ( x – 2 )( x2 – 9 )( x – 4 ) = 0 }

a. ( B – A ) C b. ( B ∪ C ) - A ∪

c. ( B ∆ C ) ∩ A’ d. A’ ∩ C

Nota. U = .

2. Con los conjuntos A y B se define una nueva operación

Ξ, tal que :

A Ξ B = ( A – B ) ∩ B’.

Si A = { 5, 4, 7, 6, 2 }, B = { 1, 3, 5, 7, 9 }.

Hallar:

a. A Ξ B b. B Ξ A c. ( B Ξ A ) Ξ B

II. Repetir el siguiente diagrama y sombrear la región que

se solicita en cada caso.

UC

A B

a. A ∩ ( B ∪ C )

b. A ∪ ( B ∩ C )

c. ( A ∩ B ) – C

d. ( A ∆ C ) ∩ A’

III. Hallar la expresión que representa la siguiente región sombreada.

C

BA

IV. ¿Qué relación conjuntista representa la región sombreada?.

a) [ ] ( )( ) ' ' ' 'A B C A B C∪ ∩ ∪ ∪U '

b) ( )A B C∆ ∪

)

c) ( ) (B C A B C∆ ∪ ∩ ∩

d) ( ' ' ') ' ( ') ( ')A B C A C B C∪ ∪ ∩ ∩U U

A

B

C

e) ( ) ( ') (A B C C A C B ')∩ ∩ ∩ ∩U U



V. Deducir del siguiente diagrama las operaciones que se han realizado para obtener la

región sombreada.

a) ( ) ( ' )P Q H M∪ ∆ ∩

b) ( )' (H M P Q∩ ∆ ∪ )

)

c) ( ) (P Q H M∩ ∆ ∪

d) ( ) (H M P Q∪ ∪U

P H M

Q )

) e) ( ) (P Q H M∪ ∆ ∪



OBJETIVO N° 03

Hallar el Conjunto Potenciade un Conjunto cualquiera ydemostrar sus propiedades.

Estudie la siguiente información quese ofrece sobre el Conjunto potencia ysus propiedades.

ACTIVIDAD N° 01

Definición. El Conjunto Potencia de un conjunto A, denotado por P (A), es el conjunto

formado por todos los subconjuntos de A. Es decir,

P ( A ) = { X / X ⊂ A }

Nota. 1) X ∈ P (A) ⇔ X ⊂ A.

2) A ∈ P (A) , ∅ ∈ P (A); pues: A ⊂ A , ∅ ⊂ A.

Ejemplo 1. Si A = { 1, 2 , 3 } , entonces { 1 } ⊂ A , { 2 } ⊂ A, etc.

Entonces:

P (A) = { ∅ , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1, 2 } , { 1, 3 } , { 2, 3 } , A }.

Ejemplo 2. P (∅) = { ∅ }.

Ejemplo 3. A = { x / x – 4 = 0 } ⇒ P (A) = { ∅ , A }.

Ejemplo 4. Dado el siguiente conjunto:

A = { ∅, { ∅ }, { { ∅ } }, { { { ∅ } } } }

Determinar el valor de verdad de cada proposición.



• ∅ ∈ A ......... ( V )

• ∅ ⊂ A ......... ( V )

• { { ∅ } } ∈ A ......... ( V )

• { { ∅ } } ⊂ A ......... ( V )

• { { ∅ } } ∈ P (A) ......... ( V )

• { { { ∅ } } } ⊂ P (A) ......... ( V )

• { { { { ∅ } } } } ∈ P (A) ......... ( V )

Propiedades del P (A):

1) A ⊂ B ⇔ P (A) ⊂ P (B).

2) A = B ⇒ P (A) = P (B).

3) [P (A) ∪ P (B) ] ⊂ P (A ∪B).

4) P (A ∪ B) = P (A) ∩ P (B).

Demostración de ( 1): A ⊂ B ⇔ P (A) ⊂ P (B).

⇒ ) Si A ⊂ B ⇒ P (A) ⊂ P (B).

En efecto, sea X ∈ P (A) ⇒ X ⊂ A Def. de P (A)

⇒ X ⊂ B Prop. Transitiva de

la Inclusión.

⇒ X ∈ P (B) Definición de P (B)

Luego, X ∈ P (A) ⇒ X ∈ P (B)

∴ P (A) ⊂ P (B).

⇐)P (A) ⊂ P (B) ⇒ A ⊂ B

Sea x ∈ A ⇒ { x } ⊂ A Subconjunto de A



⇒ { x } ∈ P (A) Def. P (A)

⇒ { x } ∈ P (B) pues P (A) ⊂ P (B)

⇒ { x } ⊂ B Def. P (B)

⇒ x ∈ B Sub conjunto de B

∴ A ⊂ B por definición de Inclusión.

Demostración de (3) [ P (A) ∪ P (B) ] ⊂ P (A ∪ B).

Sea X∈ P(A) ∪P(B) ⇒ [ ] [ X∈P(A) ∨ [ X ∈P(B)

Def. Unión

] ]

⇒ ( X ⊂ A ) ∨ ( X ⊂ B ) Def. Conj. Pot.

⇒ X ⊂ ( A ∪ B ) ⇒ X ∈ P (A ∪ B)

Luego P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪ B)




Tiene 2n elementos, n es el número de letras de A

A∈ P(A) Si X = φ, ∈ P(A) = {φ}

φ∈ P(A)

Conjunto potencia de A

Se denota por P(A)

Se define por {X/X⊂A}

X ⊂ P(A) ↔ X ⊂ A



Resuelva los sigpara evaluar su a

ACTIVIDAD N° 02

EJERCICIOS GRUP

1) Hallar el Conjunto Potencia de C, siendo C = { ∅

2) ¿En qué caso se cumple que: A ⊂ P (A) ?

3) Siendo A = { a , ∅ } y B = { { ∅ } , { a } } , ha

a. P (A) ∩ P (B)

b. P (A ∪ B)

4) Demostrar que:

a. A = B ⇒ P (A) = P (B)

b. P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B).

CLAVE DE RESPUESTAS

1) P (C) = { ∅ , { ∅ } ,{ c }, { { ∅ } } , { ∅,c } , { ∅

2) Si A = ∅ ó A = {∅}

3) P (A) ∩ P (B) = ∅

P (A) = {∅,{a},{∅},{{∅}},{{a}},{a,∅

{∅}},{∅,{{a}},{{∅}},{a}},{a

{∅,{∅},{a}},{a,∅,{a}},A∪B}

42

uientes ejerciciosprendizaje.

O 5

, c , { ∅ } }.

llar:

,{ ∅ } } , { c, { ∅ } } , C}

},{a,{∅}},{a,{a}},{∅,

,∅,{∅}},{a,{∅},{a}},



OBJETIVO N° 06

Resolver problemas diversos relativos al Número Cardinal de Conjuntos.

Infórmese sobre las propiedades delnúmero cardinal de conjuntos y susaplicaciones que se ofrecen en elsiguiente texto.

ACTIVIDAD N° 01

Naturalmente que la idea del número de elementos de un conjunto finito cualesquiera, es

primitiva por lo que se admite como la cantidad de elementos que hay en un conjunto. Se

denota por,

n( A ) = card (A). Nota.( A ) también se llama número cardinal del conjunto A.

Ejemplo. Si A = {a,b,c} y B = {1,-3,5,{3},2}, entonces

n(A)= 3, n(B)= 5, n[P(A)] = 23 = 8, n[P(B)]=5 = 32.

Propiedades: 1) Si A y B son conjuntos finitos disjuntos, entonces:

n(A ∪ B) = n( A ) + n( B ), si A ∩ B

Obviamente que si A ∩ B = ∅ , entonces n ( A ∩ B ) = 0.

A ∪ B es la parte sombreada del gráfico,

entonces:

U

B A

n(A ∪ B) = n( A ) + n( B ).

2) Si A y B son conjuntos finitos

arbitrarios, no necesariamente

disjuntos, expresamos: B – A

U

B A

A ∩ B A – B



A = ( A – B ) ∪ ( A ∩ B ),

Con ( A – B ) ∩ ( A ∩ B ) = ∅.

Entonces por (1):

n(A) = n(A – B) + n(A ∩ B)

n(A – B) = n(A) + n(A∩B) ó

3) Si A y B son conjuntos finitos

arbitrarios, no necesariamente

disjuntos, entonces:

B – A

U

B A

A ∩ B A – B

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

En efecto, en el gráfico dado observamos que:

A ∪ B = [(A – B) ∪(A ∩ B)] ∪ (B – A); es decir

A ∪ B es la unión de tres conjuntos disjuntos entre sí.

Luego:

n(A ∪ B) = n[(A – B) ∪ (A ∩ B)]+ n(B – A) por (1)

= n(A – B) + n(A ∩ B)+ n (B – A) por (1)

= [n(A)– n(A ∩ B)]+ n(A ∩ B)+ n(B)– n(A ∩ B)

por (2)

∴ n( A ∪ B ) = n(A) + n(B) – n(A∩B). Nota .- Ud. puede tomar A ∪ B = (A – B) ∪ B y demostrar

lo mismo.

4) Si A, B y C son conjuntos finitos tales que: A ∩ B ∩ C ≠ ∅

entonces:

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)– n(A∩B) – n(A∩C) –

n(B∩C) + n(A ∩ B ∩ C).

Basta tomar: (A ∪ B ∪ C) = A ∪ (B ∪ C) y aplicar (1) y (3).

Para fines prácticos es conveniente representar A ∪ B en un diagrama de Venn compuesto

por zonas disjuntas como se ilustra a continuación:

c

U

B A

b a



Donde: a = n( A – B )

b = n( A ∩ B )

c = n( B – A )

Ejemplo 1. De un grupo de 100 alumnos: 49 no hablan Inglés, 53 no hablan Francés y 27

no hablan Inglés ni Francés.¿Cuántos alumnos hablan uno de los idiomas?

Solución:

Hablan Inglés = I Hablan Francés = F

n( I ’ ) = 49 ⇒ n( I ) = 51,

n( F ’ ) = 53 ⇒ n( F ) = 47.

Gráficamente:

I F

U

a c b

Hablan un solo idioma

Por dato:

c + 27 = 49 ⇒ c = 22,

a + 27 = 53 ⇒ a = 26.

Luego:

a + c = 48.




Es el número de elementos de un conjuntos

Cardinal de un conjunto

3P

2P 1P



Resuelva los sigpara evaluar su a

ACTIVIDAD N° 02

EJERCICIOS GRUP

1) Los conjuntos A, B y C, tienen k, 3k y ( k-1) elem

A y B tienen k/2 elementos comunes; A y C tie

Si existe un único elemento común a los tres con

de: [ ( A ∪ B ) – ( A ∩

2) En una encuesta realizada a 150 personas sobre s

y C, se encontró el siguiente resultado:

• 82 consumen el producto A.

• 54 consumen el producto B.

• 50 sólo consumen el producto A.

• 30 sólo consumen el producto B.

• El número de personas que consu

personas que consumen sólo A y C.

• El número de personas que consu

personas que consumen los tres pro

• El número de personas que no cons

tantos como los que consumen sólo

Determinar:

a) El número de personas que cons

b) El número de personas que no c

c) El número de personas que p

productos.

47

uientes ejerciciosprendizaje.

O 7

entos, respectivamente.

nen k/4, y B y C tienen 2.

juntos. Hallar el número de elementos

B) ] – C.

us preferencias de tres productos A, B

men sólo B y C es la mitad de las

men sólo A y B es el triple de las

ductos.

umen los productos mencionados son

C.

umen sólo dos de los productos.

onsumen A, B ni C.

or lo menos consumen uno de los



3) Un club consta de 78 personas; de ellas 50 juegan fútbol , 32 básquet y 23 vóley. Seis

figuran en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno. Entonces:

a) ¿Cuántas personas practican sólo un deporte?

b) ¿Cuántas personas practican sólo dos deportes?

c) ¿Cuántas personas practican al menos dos deportes?

d) ¿Cuántas personas practican como máximo dos deportes?

4) En un Congreso Internacional de Medicina, se debatió el problema de la Eutanasia,

planteándose una moción:

115 europeos votaron a favor de la moción,

75 cardiólogos votaron en contra,

60 europeos votaron en contra,

80 cardiólogos votaron a favor.

Si el número de cardiólogos europeos excede en 30 al número de americanos de otras

especialidades y no hubo abstenciones. ¿ Cuántos médicos participaron en el congreso?

5) Se hizo una encuesta a 160 alumnos del CEPUNS sobre la preferencia de 4 carreras

profesionales: Ingeniería de Sistemas (S), Enfermería (E), Comunicación Social (C) y

Biología en Acuicultura (B), obteniéndose los siguientes datos:

• Ninguno de los que prefieren (C) simpatizan con (B).

• 22 sólo con (S)

• 20 sólo con (E)

• 20 sólo con (C)

• 20 con (S) y (B) pero no con (E)

• 6 sólo con (C) y (E)

• 4 con (S) y (C)

• 24 con (B) y (E)

• 28 sólo (B).

¿Cuántos prefieren sólo (S) y (E), si a todos por lo menos les gusta una carrera

profesional?

6) De 700 postulantes que se presentaron a la UNS o a la UNT, 400 lo hicieron a la

UNT, igual número a la UNS, ingresando la mitad del total de postulantes. Los no

ingresantes se presentaron a la UNMSM, de éstos 90 no se presentaron a la UNS y

1800 no se presentaron a la UNT. ¿Cuántos postulantes ingresaron a la UNT y a la

UNS?.



7) Suponga que los brevetes sólo se consiguen legalmente, los que tienen brevete

profesional saben mecánica mientras que los que tienen brevete particular sólo están

autorizados a manejar automóviles y así lo hacen.

Si tienen los siguientes datos referente a un grupo de personas:

• 21 no tienen brevete profesional o no manejan camiones.

• 13 saben encender un vehículo pero no tienen brevete.

• 8 saben manejar vehículos pero no tienen brevete.

• 2 saben mecánica y manejan camiones. El mismo número sabe manejar

vehículos pero no maneja camiones ni tiene brevete.

• 11 no tienen brevete pofesional y no manejan camiones.

• 3 tienen brevete particular.

Además, téngase en cuenta que los que saben mecánica tienen brevete profesional.

Se pregunta lo siguiente:

a) ¿Cuántos son en total?.

b) ¿Cuántos no tienen brevete?.

c) ¿Cuántos cometen infracción de manejar vehículos sin tener brevete?.

d) ¿Cuántos saben encender un vehículo pero no manejarlos?.

8) En un avión hay 9 jóvenes, 5 niños peruanos, 9 hombres, 7 jóvenes extranjeros, 14

peruanos, 6 peruanos varones, y 7 mujeres extranjeras.

a) ¿Cuál es el número de personas del avión?

b) ¿Cuántos son solamente peruanos?


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001 Modulo Teoria de Conjuntos