EXERCÍCIOS SOBRE A TEORIA DE CONJUNTOS E ARITMÉTICA BÁSICAFonte: Prof. Ezequias

(FATEC) Para a identificação de pacientes com sintomas de gripe influenza A, a Anvisa (Agência Nacional de Vigilância Sanitária) informou hoje que os voos procedentes do Reino Unido, Espanha e Nova Zelândia também serão inspecionados por uma equipe da agência e por médicos da Empresa Brasileira de Infraestrutura Aeroportuária (Infraero). Inicialmente, apenas os voos vindos do México, Canadá e Estados Unidos eram inspecionados. A decisão foi tomada durante reunião da Anvisa com representantes das companhias aéreas, da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) e da Infraero, no Aeroporto Internacional de Cumbica, em Guarulhos, na Grande São Paulo. (Adaptado de: http://noticias.uol.com.br/cotidiano/2009/04/28/ult5772u3774.jhtm, Acesso em: 09.05.2009.)

Em um voo proveniente de Miami, a Anvisa constatou que entre todas as pessoas a bordo (passageiros e tripulantes) algumas haviam passado pela cidade do México. No diagrama, U representa o conjunto das pessoas que estavam nesse voo; P o conjunto dos passageiros; M o conjunto das pessoas que haviam passado pela cidade do México e A o conjunto das pessoas com sintomas da gripe influenza A. Considerando verdadeiro esse diagrama, conclui-se que a região sombreada representa o conjunto das pessoas que, de modo inequívoco, são aquelas caracterizadas como

(A) passageiros com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México. (B) passageiros com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. (C) tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. (D) tripulantes com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México. (E) tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.

Solução: No diagrama, a região sombreada está fora do conjunto P, logo, não representa passageiros, e sim tripulantes. Como essas pessoas estão dentro do conjunto A e do conjunto M (dentro do conjunto interseção AM), então, a região sombreada representa tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México (alternativa C).

(PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?

Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção n(CA) = 8%.

Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então 9% + 8% + 14% + x = 100 %. Daí, vem que 31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é x = 100% - 31% = 69%.

Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule: a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras. b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras. c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

Solução: Começamos sempre colocando o número de elementos da intersecção. Ao colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os da intersecção

200 - 20 = 180 ; 150 - 20 = 130 ; 100 - 20 = 80 ; 600 - 180 - 20 - 130 = 270 ; 400 - 180 - 20 - 80 = 120 ; 300 - 130 - 20 - 80 = 70. 270 + 180 + 120 + 130 + 20 + 80 + 70 = 870Assim:a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras é 270 + 120 + 70 = 460 : b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras é x = 1000 - 870 = 130 ; c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras é 180 + 20 + 130 + 80 = 410

Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de

aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é: a) 4 000                b) 3 700                c) 3 500                d) 2 800            e) 2 500

Solução:  Resposta na altermativa b). Observe o diagrama construído com base no enunciado, onde I é o conjunto dos que apresentavam defeito na imagem, S o conjunto dos que apresentavam problemas de som e N o conjunto daqueles que não apresentavam nenhum defeito citado.

Temos que  4000 - x + x + 2800 - x + 3500 = 10000, onde x é o números de televisores que apresentavam, ao mesmo tempo, os dois problemas citados. Segue que x = 10300 - 10000 = 300. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é 4000 - x = 4000 - 300 = 3700.  

Numa pesquisa sobre as emissoras de tevê a que habitualmente assistem, foram consultadas 450 pessoas, com o seguinte resultado: 230 preferem o canal A; 250 o canal B; e 50 preferem outros canais diferente de A e B. Pergunta-se: a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B? b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao canal B? c) Quantas pessoas assistem ao canal B e não assistem ao canal A? d) Quantas pessoas não assitem ao canal A?

Solução: Seja o diagrama a seguir:

Temos que 230 - x + x + 250 - x + 50 = 450. a) O número de pessoas que assistem aos canais A e B é x = 530 - 450 = 80

b) O número de pessoas que assistem ao canal A e não assistem ao canal B é 230 - x = 150. c) O número de pessoas que assistem ao canal B e não assistem ao canal A é 250 - x = 170. d) O número de pessoas que não assitem ao canal A é 250 - x + 50 = 250 - 80 + 50 = 220.

(PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.

Programas  E   N  H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum

Número de telespectadores 400 1220 1080   220  180  800      100   x

Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é:

(A) 200 (C) 900

(B) os dados do problema estão incorretos. (D) 100                   (E) n.d.a.

Solução: No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pela interseção que tem 100 elementos.

Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800. Segue que, 1600 + x = 1800. Logo, o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: x = 1800 - 1600 = 200.

Assim, (A) é a opção correta.

(PUC) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é ....

Solução: Seja x o valor procurado. Desenhando um diagrama de Venn-Euler e utilizando-se do fato de que a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, temos a equação: 60 - x + x + 80 - x = 100. Daí, vem que, 60 + 80 - x = 100.

Logo, x = 140 - 100 = 40. Assim, o percentual procurado é 40%.

(UFMG) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nessa república, houve eleição para os três cargos em 1989. A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em que ano?

Solução: Temos que encontrar um número que é múltiplo de 3, de 4 e de 6 ao mesmo tempo, e mais, este número deverá ser o menor deles, ou seja, temos que encontrar o mínimo múltiplo comum de 3, 4 e 6.

Fatorando 3 , 4 e 6 simultaneamente encontramos 22× 3. Logo, M.M.C. (3 , 4 , 6) = 12. Assim, a próxima eleição simultânea acontecerá em 1989 + 12 = 2001.

Em uma prova de Matemática com apenas duas questões, 300 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?

Solução: Temos que 100 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 100 = 160 acertaram apenas a segunda questão. Se 300 acertaram somente uma das questões e 160 acertaram apenas a segunda, segue que, 300 - 160 = 140 acertaram somente a primeira. Como 210 erraram a primeira, incluindo os 160 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 160 = 50 erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1 P2 é o conjunto dos que acertaram as duas questões.

Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 450.

Inscreveram-se num concurso público 700 candidatos para 3 cargos - um de nível superior, um de nível médio e um de nível fundamental. É permitido aos candidatos efetuarem uma inscrição para nível superior e uma para nível médio. Os candidatos ao nível fundamental somente podem efetuar uma inscrição. Sabe-se que 13% dos candidatos de nível superior efetuaram 2 inscrições. Dos candidatos de nivel médio, 111 candidatos efetuaram uma só inscrição, correspondendo a 74% dos candidatos desse nível. Qual é então o número de candidatos ao nível fundamental?

Solução: Sejam: #(M) o número de candidatos de nível médio; #(SM) o número de candidatos aos níveis superior e médio; #(S) o número de candidatos ao nível superior; #(F) número de candidatos ao nível fundamental. Da Matemática Financeira sabemos que: 74% = 74/100 = 0,74 e 13% = 13/100 = 0,13. Então, 0,74×#(M) = 111, segue que, #(M) = 111 / 0,74 = 150 e #(SM) = 150 - 111 = 39 . Assim, 0,13×#(S) = 39, implicando em #(S) = 39 / 0,13 = 300 . Observe o diagrama de Venn-Euler com a quantidade de elementos.

Temos: 300 - 39 = 261. Logo, 261 + 39 + 111 + #(F) = 700. Consequentemente, #(F) = 700 - 411 = 289.

No último clássico Corinthians × Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-se que só foram ao estádio paulistas e cariocas e que todos eles eram só corintianos ou só flamenguistas. Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos, 84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas torciam para o Flamengo. Pergunta-se:

a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio?

b) Quantos cariocas foram ao estádio?

c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio?

d) Quantos flamenguistas foram ao estádio?

e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas?

f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos?

g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas?

h) Quantos eram corintianos ou paulistas?

i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas?

Solução: Devemos construir uma tabela com os dados do enunciado e as diferenças:

Cariocas Paulistas Totais

Flamenguistas 11.000 4.000 15.000

Corintianos 5.000 80.000 85.000

Totais 16.000 84.000 100.000

Com base na tabela, podemos responder todas as perguntas, levando em conta que:

I) O conectivo "e" está sempre associado a interseção de conjuntos e o conectivo "ou" está  sempre associado a união de conjuntos.

II) n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B).

a) "Cruzando os dados" na tabela, vemos que o número de paulistas e corintianos é 80.000.

b) O total de cariocas é 16.000 .

c)  O total de não-flamenguistas, ou seja , corintianos é 85.000.

d) O total de flamenguistas é 15.000.

e) O número de paulistas e não flamenguista, isto é, paulistas e corintianos é 80.000.

f) O número de cariocas e corintianos é 5.000.

g)  O número de flamenguistas ou cariocas é 15.000 + 16.000 - 11.000 = 20.000.

h)  O número de paulistas ou corintianos 84.000 + 85.000 - 80.000 = 89.000 .

i) O número de cariocas ou corintianos é 16.000 + 85.000 - 5.000 = 96.000.

(UFRJ - adaptado) Um clube oferece a seus associados aulas de três modalidades de esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas destes dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encerradas as inscrições, verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de inscritos para as aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o número de inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o número de inscritos só para as de tênis.

a) Quantos associados se inscreveram  simultaneamente para aulas de futebol e natação?

b) Quantos associados se inscreveram  simultaneamente para aulas de tênis e natação?

Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção. Como nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, então n(TF) = 0  e  n(TNF) = 0.

Observando o diagrama, temos o sistema de equações:

z + y + 50 = 85

z + y = 35

x + y = 17

z  + x +10 = 38

z + x = 28

Somamdo a segunda equação com a terceira obtemos

z + x  + y + y = 35 + 17

z + x + 2y = 52

Como z + x = 28, então:

28 + 2y = 52

2y = 52 - 28

2y = 24

y = 12

Substituindo na terceira equação, segue que:

x + 12 = 17

x = 17 - 12 = 5

Substituindo na quinta equação, ficamos com:

z + 5 = 28

z = 28 - 5 = 23.

Assim, a) 23 associados se inscreveram  simultaneamente para aulas de futebol e natação;

b) 12 associados se inscreveram  simultaneamente para aulas de tênis e natação.

Uma montadora de automóveis lançou no mercado um novo veículo em três versões: a versão simples MS; a luxuosa ML e a super luxuosa SL. Cada versão pode ser adquirida em uma dentre três cores: azul, vermelha ou preta. Consideremos que um consumidor escolha em primeiro lugar uma das versões (MS, ML OU SL). E em segundo lugar umas das cores (azul, vermelha ou preta). Quais as possibilidades de escolha?

Solução : Considerando A o conjunto das versões de automóveis e B o conjunto de suas cores,  o resultado procurado está no produto cartesiano A×B, ou seja, no conjunto dos pares ordenados (x , y), onde o primeiro elemento de cada par pertence a A e o seguinte a B.

Então, as possibilidades de escolha estão no conjunto:

A×B = {(MS, azul), (MS, vermelha), (MS, preta), (ML, azul), (ML, vermelha), (ML, preta), (SL, azul), (SL, vermelha), (SL, preta)}.

Símbolos da Matématica – Simbologia matemática – Lista de

símbolos

= (igual)

≠ (diferente)

∅ ou { } (conjunto vazio)

∈ (pertence)

∉ (não pertence)

⊂ (está contido)

⊄ (não está contido)

⊃ (contém)

⊅ (não contém)

∃ (existe pelo menos um)

∄ (não existe)

∃| (existe e é único)

| (tal que / tais que)

∨ (ou)

∧ (e)

A ∩ B (interseção dos conjuntos A e

A ∪ B (união- A e ∀ (para todo e qualquer, qualquer que seja)

⇒ (implica)

⇔ (implica e a recíproca é equivalente)

∴ (donde se conclui)

Na matemática, tem um conjunto de símbolos comumente usados

nas expressões. Uma vez que os matemáticos são familiarizados com

os símbolos, cada vez que são usados não são explicados. Assim, a

tabela que se segue lista a maioria símbolos comuns. com os seus

nomes conjuntamente, pronúncias e campo com que a matemática se

relaciona.adicional, a segunda linha obtem uma definição informal e a

terceira um exemplo curto.

Símbolo Nome como se lê Categoria

+ adição mais aritmética 5 + 5 = 10 significa que a somar 5 a 5, o

resultado, será 10. Exemplos: 110 + 34 = 144; 3 + 27 = 30

– subtração menos aritmética 5 – 4 = 1 significa que se subtrair 5 de 4,

o resultado é 1. O sinal – é único porque também denota que algum

número é negativo. Exemplo, 6 + (-3) = 3 significa que se somar cinco e

menos três, o resultado será dois. Exemplo: 102 – 32 = 70

⇒

→ implicação material implica; se … então lógica proposicional A ⇒ B

significa: se A for verdadeiro então B é também verdadeiro; se A for

falso então nada é dito sobre B.

→ pode ter o mesmo significado de ⇒, ou pode ter o significado sobre

funções mais abaixo x = 2 ⇒ x² = 4 é verdadeiro, mas x² = 4 ⇒ x = 2 é

em geral falso (visto que x pode ser −2)

⇔

↔ equivalência material se e só se; sse lógica proposicional A ⇔ B

significa: A é verdadeiro se B for verdadeiro e A é falso se B é falso x + 5

= y + 2 ⇔ x + 3 = y

∧ conjunção lógica e lógica proposicional a proposição A ∧ B é

verdadeira se A e B foram ambos verdadeiros; caso contrário, é falsa

Exemplo: n < 4 ∧ n > 2 ⇔ n = 3 quando n é um número natural

∨ disjunção lógica ou lógica proposicional a proposição A ∨ B será

verdadeira se A ou B (ou ambos) forem verdadeiros; se ambos forem

falsos, a proposição é falsa Exemplo: n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 quando n é

um número natural

¬

/ negação lógica não lógica proposicional a proposição ¬A é

verdadeira se e só se A for falso

Uma barra colocada sobre outro operador tem o mesmo significado

que “¬” colocado à sua frente Exemplos: ¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); x ∉ S

⇔ ¬(x ∈ S)

∀ quantificação universal para todos; para qualquer; para cada lógica

predicativa ∀ x: P(x) significa: P(x) é verdadeiro para os x Exemplos: ∀

n ∈ N: n² ≥ n

∃ quantificação existencial existe lógica predicativa ∃ x: P(x)

significa: existe pelo menos um x tal que P(x) é verdadeiro Exemplo: ∃

n ∈ N: n + 5 = 2n

= igualdade igual a todas x = y significa: x e y são nomes diferentes

para a exata mesma coisa Exemplo: 13 + 23 = 46 − 10

:=

:⇔ definição é definido como todas x := y significa: x é definido como

outro nome para y

P :⇔ Q significa: P é definido como logicamente equivalente a Q

Exemplos: cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)); A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A

∧ B)

{ , } chavetas de conjunto o conjunto de … teoria de conjuntos {a,b,c}

significa: que consiste de a, b, e c Exemplo: N = {0,1,2, 3, 4, 5…}

{ : }

{ | } notação de construção de conjuntos o conjunto de … tal que …

teoria de conjuntos {x : P(x)} significa: todos os x, para os quais P(x) é

verdadeiro. {x | P(x)} é o mesmo que {x : P(x)}. Exemplo: {n ∈ N : n² <

20} = {0,1,2,3,4}

∅

{} conjunto vazio conjunto vazio teoria de conjuntos {} significa: sem

elementos; ∅ é a mesma coisa Exemplo: {n ∈ N : 1 < n² < 4} = {}

∈

∉ pertença a conjunto em; está em; é um elemento de; é um membro

de; pertence a teoria de conjuntos a ∈ S significa: a é um elemento do

conjunto S; a ∉ S significa: a não é um elemento de S Exemplo: (1/2)−1

∈ N; 2−1 ∉ N

⊆

⊂ subconjunto é um subconjunto [próprio] de teoria de conjuntos

Exemplo: A ⊆ B significa: cada elemento de A é também elemento de B

(A é um subconjunto de B)

A ⊂ B significa: A ⊆ B mas A ≠ B (A é um subconjunto próprio de B)

Exemplo: A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R

∪ união teórica de conjuntos a união de … com …; união teoria de

conjuntos A ∪ B significa : que contém todos os elementos de A e

também todos os de B, mas mais nenhuns Exemplo: A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B

∩ intersecção teórica de conjuntos intersecta com; intersecta teoria de

conjuntos A ∩ B significa: que contém todos os elementos que A e B

têm em comum Exemplo: {x ∈ R : x² = 1} ∩ N = {1}

\ complemento teórico de conjuntos menos; sem teoria de conjuntos

A \ B significa: que contém todos os elementos de A que não estão em B

Exemplo: {1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}

( )[ ]{ } aplicação de função; agrupamento de teoria de conjuntos para a

aplicação de função: f(x) significa: o valor da função f no elemento x

para o agrupamento: execute primeiro as operações dentro do

símbolo. Exemplo: Se f(x) := x², então f(3) = 3² = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1,

mas 8/(4/2) = 8/2 = 4

f:X→Y seta de função de … para funções f: X → Y significa: a função f

mapeia o conjunto X no conjunto Y Exemplo : a função f: Z → N definida

por f(x) = x²

N números naturais N números N significa: {1,2,3,…} Exemplo: {|a| : a

∈ Z} = N

Z números inteiros Z números Z significa: {…,−2,−1,0,1,2,…} Exemplo:

{a : |a| ∈ N} = Z

Q números racionais Q números Q significa: {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0} 3.14

∈ Q; π ∉ Q

R números reais R números R significa: {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, o

limite existe} π ∈ R; √(−1) ∉ R

C números complexos C números C significa: {a + bi : a,b ∈ R} i =

√(−1) ∈ C

< > comparação é menor que, é maior que ordenações parciais x < y

significa: x é menor que y; x > y significa: x é maior que y Exemplo: x < y

⇔ y > x

≤≥ comparação é menor ou igual a, é maior ou igual a ordenações

parciais x ≤ y significa: x é menor que ou igual a y; x ≥ y significa: x é

maior que ou igual a y Exemplo: x ≥ 1 ⇒ x² ≥ x

√ raiz quadrada a raiz quadrada principal de; raiz quadrada números

reais √x significa: o número positivo, cujo quadrado é x Exemplo: √(x²)

= |x|

∞ infinito infinito números ∞ é o elemento linha numérica estendida

que é maior que qualquer número real; ocorre com frequência em

limites Exemplo: limx→0 1/|x| = ∞

π pi pi geometria euclidiana significa: a razão de uma circunferência π

e de um círculo e o seu diâmetro Exemplo: A = πr² é a área de um

círculo de raio r

! factorial factorial análise combinatória n! é o produto 1×2×…×n

Exemplo: 4! = 24

| | valor absoluto valor absoluto de; módulo de números |x| significa:

a distância no eixo dos reais (ou no plano complexo) entre x e zero

Exemplo: |”a” + ”bi”| = √(a² + b²)

|| || norma norma de; comprimento de análise funcional ||x|| é a

norma do elemento x de um espaço vectorial Exemplo: ||”x”+”y”|| ≤

||”x”|| + ||”y”||

∑ soma soma em … de … até … de aritmética ∑k=1n ak significa: a1 + a2 +

… + an Exemplo: ∑k=14 k² = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

∏ produto produto em … de … até … de aritmética ∏k=1n ak significa:

a1a2···an Exemplo: ∏k=14 (k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5

× 6 = 360

∫ integração integral de … até … de … em função de cálculo ∫ab f(x) dx

significa: a área entre o eixo dos x e o gráfico da função f entre x = a e x

= b ∫0b x² dx = b³/3; ∫x² dx = x³/3

f ‘ derivada derivada de f; primitiva de f cálculo f ‘(x) é a derivada da

função f no ponto x, i.e. o declive da tangente nesse ponto Exemplo: Se

f(x) = x², então f ‘(x) = 2x

∇ gradiente del, nabla, gradiente de cálculo ∇f (x1, …, xn) é o vector

das derivadas parciais (df / dx1, …, df / dxn) Exemplo: Se f (x,y,z) = 6xy +

z² então ∇f = (6y, 6x, 2z)