Teoria de Conjuntos 11

8/16/2019 Teoria de Conjuntos 11

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TEÓRIA

DE

CONJUNTOS 5ºProfesor: LUIS GONZALO PULGARÍN R

lugopul.wordpress.com

mailto:[email protected]:[email protected]


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INDICEINRODUCCI!N

RELACION DE PERENENCIA

DEER"INACION DE CON#UNOS

DIAGRA"AS DE $ENN

CON#UNOS ESPECIALES

RELACIONES ENRE CON#UNOSCON#UNOS NU"%RICOS

UNION DE CON#UNOS

INERSECCI!N DE CON#UNOS

DI&ERENCIA DE CON#UNOS

DI&ERENCIA SI"%RICA

CO"PLE"ENO DE UN CON#UNO

PRO'LE"AS


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DEFINICIÓN DE CONJUNTOS

U( co()u(*o se puede e(*e(dercomo u(+ colecc,-( o +grup+c,-(,e( def,(,d+ de o)e*os de cu+l/u,er

cl+se. Los o)e*os /ue form+( u(co()u(*o so( ll+m+dos m,emros oeleme(*os del co()u(*o.

E)emplo:E( l+ f,gur+ +d)u(*+ *,e(es u(

Co()u(*o de Perso(+s.


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NOACI!Nodo co()u(*o se escr,e e(*re ll+0es 1 2

3 se le de(o*+ med,+(*e le*r+s"A45SCULAS A6 '6 C6 ...6sus eleme(*osse sep+r+( med,+(*e com+s.

E)emplo:El co()u(*o de l+s le*r+s del +lf+e*o7 +66 c6 ...6 86 36 9. se puede escr,,r +s:

L;1 +6 6 c6 ...6 86 36 92E( *eor+ de co()u(*os (o se +cos*umr+repe*,r eleme(*os por e)emplo: El co()u(*o

186 86 86 36 36 9 2 s,mpleme(*e ser< 1 86 36 9 2.


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RELACION DE PERTENENCIA

P+r+ ,(d,c+r /ue u( eleme(*o per*e(ece+ u( co()u(*o se us+ el smolo: ∈S, u( eleme(*o (o per*e(ece + u(

co()u(*o se us+ el smolo: ∉E)emplo: Se+ " ; 1=6>6?6@6B22 M∈ ...se lee = per*e(ece +l co()u(*o "

5 M∉ ...se lee (o per*e(ece +l co()u(*o "

INDICE


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DETERMINACION DE CONJUNTOS

I POR EENSI!N

F+3 dos form+s de de*erm,(+r u( co()u(*o6por E8*e(s,-( 3 por Compre(s,-(

Es +/uell+ form+ med,+(*e l+ cu+l se(omr+( c+d+ u(o de los eleme(*os delco()u(*o.E)emplos:

A El co()u(*o de los (meros p+res m+3ores/ue 3 me(ores /ue =B.

A ; 1 ?6@6B6=6>6?6@ 2

INDICE


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' El co()u(*o de l+s co(so(+(*es.

' ; 16 c6 d6 f6 g6 H6 )686 36 9 2

II POR CO"PRENSI!NEs +/uell+ form+ med,+(*e l+ cu+l se d+ u(+prop,ed+d /ue c+r+c*er,9+ + *odos los

eleme(*os del co()u(*o.E)emplo:se puede e(*e(der /ue el co()u(*o P es*+ form+do

por los (meros P; 1 B66=6J6>[email protected]$e+mos o*ro e)emplo por compre(s,-( 3 e8*e(s,-(

A ; 1 x M x es u( (mero pr,mo me(or /ue B2 A ; 1=6 J6 6 K6 6 J6 K6 6 =J6 =6 J6 JK6 >6 >J6 >K2

P ; 1 los (meros dg,*os 2


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O*r+ form+ de escr,,r es: P ; 1 8 8 ; dg,*o 2 se lee P es elco()u(*o form+do por los eleme(*os 8 *+l /ue 8 es u( dg,*o

E)emplo:E8pres+r por e8*e(s,-( 3 por compre(s,-( el co()u(*o ded+s de l+ sem+(+.

Por E8*e(s,-( : D ; 1 lu(es7 m+r*es7 m,rcoles7 )ue0es70,er(es7 s


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D = { ……………………………………………………… }' = { nombre de los miembros de la sagrada familia }' = { ……………………………………………………………. } = {)*meros naturales ma$ores ue + pero menores ue -} = { }=. Determinar los siguientes conjuntos, escribiendo una propiedadcaracter%stica para todos los elementos. (Por compre(s,-( = { enero, febrero, mar!o}

= { …………………………………………………………………. }/ = { -, +, , 0, 1, 2, 3, 4, 5 }/ = { ……………………………………………………………. }6 = { + 7 0 7 2 7 4 7 8 }

6 = {…………………………………………………………………. }9 = { perro, gato, &aca, ballena }9 = { …………………………………………………………… }P = { :a )iña, la Pinta, :a 6anta "ar%a }P = { }


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pertenece o no pertenece#

$%%%%C 2%%%%%C $%%%%%%& 2%%%%%%&'%%%%%&

(%%%%%& )%%%%%%C '%%%%%%C *%%%%& *%%%%C 5%% C )%%%%&

2% Seg+n el diagrama completa con el !m"olopertenece o no pertenece #A, -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%.&, -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%.

C, -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%.( / & 2 / C 2 / & * / A2 / A * / & $ / C 0 / &' /C $ / & 5 / & $ / A


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AREA .Determinar los siguientes conjuntos, (Por e8*e(s,-(< listando todos sus elementos. = {letras de la palabra amistad} = {…………………………………………………………………. }C = {nombre de las niñas de tu aula}

C= {…………………………………………………………………. } = {nombre del presidente del #olombia $ Eene!uela} = {…………………………………………………………………. }: = {animales dom@sticos }:= {…………………………………………………………………. }

A = {n*meros naturales ma$ores ue 8 pero menores ue +5} A=

=. Determinar los siguientes conjuntos, Qpor compre(s,-(< escribiendo una propiedadcom*n para todos los elementos." = {man!ana, pl?tano, naranja}"= {…………………………………………………………………. }) = {%ndice, pulgar, cordial, anular, meñiue}) = {…………………………………………………………………. }

F = {do, re, mi, fa, sol, la, si}F= {…………………………………………………………………. }P = {norte, sur, este, oeste}P= {…………………………………………………………………. } = {a, b, c, d, e, f, g, G, i, j,…} = {…………………………………………………………………. }


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DIAGRAMAS DE VENN

Los d,+gr+m+s de $e(( /ue se dee( +l

f,l-sofo ,(gls #oH( $e(( Q@J>@@Js,r0e( p+r+ represe(*+r co()u(*os dem+(er+ gr


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A ; o A ; 1 2 se lee: A es el co()u(*o0+co o A es el co()u(*o (ulo

CONJUNTOS ESPECIALESCON#UNO $ACÍO

Es u( co()u(*o /ue (o *,e(e eleme(*os6*+m,( se le ll+m+ co()u(*o (ulo.Ge(er+lme(*e se le represe(*+ por los

smolos: o 1 2φ

φ

E)emplos:" ; 1 (meros m+3ores /ue 3 me(ores/ue 2

P ; 1 2 φ


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CON#UNO UNIARIOEs el co()u(*o /ue *,e(e u( solo eleme(*o.E)emplos:

& ; 1(mero /ue es pr,mo 3 p+r + l+ 0e92 &; 1 = 2G ; 1pr,mer+ le*r+ del +lf+e*o2 G;1+ 2CON#UNO &INIOEs el co()u(*o co( l,m,*+do (mero de eleme(*os.E)emplos:E ; 1 8 8 es u( (mero ,mp+r me(or /ue B 2

E; 16 J6 6 K6 2

N ; 1 8 8 es u( (mero p+r me(or /ue =B

N; 1 =6>6?6 @6B6=6>6?6@2


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CON#UNO IN&INIOEs el co()u(*o co( ,l,m,*+do (mero deeleme(*os.

E)emplos:R ; 1 8 8 T ? 2 R; 1 K6 @6 6B6 6 =6 J6 2S ; 1 8 8 es u( (mero p+r 2 S ; 1 =6>6?6 @6B6

=6>6 2

CON#UNO UNI$ERSALEs u( co()u(*o refere(c,+l /ue co(*,e(e +*odos los eleme(*os de u(+ s,*u+c,-(

p+r*,cul+r6 ge(er+lme(*e se le represe(*+por l+ le*r+ UE)emplo: U ;1 le*r+s del +lf+e*o 2

U; 1 Nmeros (+*ur+les 2 INDICE


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RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

INCLUSI!N o suco()u(*oU( co()u(*o A es*+ ,(clu,do e( o*ro co()u(*o ' 6s 3s-lo s6 *odo eleme(*o de A es *+m,( eleme(*ode 'NOACI!N : ⊂ A B

Se lee : A es*< ,(clu,do e( '6 A es suco()u(*o de'6 A es*< co(*e(,do e( ' 6 A es p+r*e de '.

REPRESENACI!N GR&ICA : 1 3 5

+- +

+3 +2 +1 ++ +0

+ 0 2 4 8' A

⊂ A B


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E)emplo: A;1 =6 >2 3 ';16 =6 J6 >6 6 ? 2

= J>

?

A

'

Observa que A está

incluido en B, por lo tanto

P = 1 m,u,r,c,i,e,l,a,g,o 2

M = 1 p, e, r, a, s 2

M ⊆ P

M no está incluido en P

⊂ A B


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CON#UNOS CO"PARA'LESU( co()u(*o A es CO"PARA'LE co( o*roco()u(*o ' s, e(*re d,cHos co()u(*os e8,s*e u(+rel+c,-( de ,(clus,-( o co(*e(c,+Qsuco()u(*o

E)emplo:A;16=6J6>62 3 ';1=6>2

=J

>

A

'

Observa que B está

incluido en A , por lotanto Ay B son

COMPARAB!"


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CON#UNOS DIS#UNOSDos co()u(*os so( d,s)u(*os cu+(do (o *,e(e(eleme(*os comu(es.

REPRESENACI!N GR&ICA :

A '

K

J

=

>

@

?

Como puedes

observar los

con#untos A y B no

tienen elementos

comunes, por lo

tanto son

CO$%&$'O"

()"%&$'O"


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CONJUNTOS NUMÉRICOS

N

3

4

I

C


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K?

?

UNION DE CONJUNTOS

A &

El co()u(*o A u(,-( ' /ue se represe(*+ +s,es el co()u(*o form+do por *odos los eleme(*os /ueper*e(ece( + A6 + ' o + +mos co()u(*os.

∪A &

}{∪ = ∈ ∨ ∈A & 6 A &

E)emplo: A ; 1 6 =6 J6 >6 6 ?6 K 2

' ; 1 6 ?6 K6 @6 2

@K

J

>

=

}{∪ =A & $7 27 (7 *7 57 )7 '7 07 1


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REPRESENACIONES GR&ICAS DE LAUNI!N DE CON#UNOS

S, A 3 ' so( (o comp+r+les S, A 3 ' so( comp+r+les

S, A 3 ' so(co()u(*os d,s)u(*os

AU'

U

U

U

A

A

A'

'

'

AU' AU'


24/39


25/39

REPRESENACIONES GR&ICAS DE LAINERSECCI!N DE CON#UNOS



U

U

U

A

A

A'

'

A ' A '; '

'

A ' ; V

U U

U


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K?

?

A &

El co()u(*o A me(os ' /ue se represe(*+es el co()u(*o form+do por *odos los eleme(*os /ueper*e(ece( + A 3 (o per*e(ece( + '.

A &−

}{A & 6 A &− = ∈ ∧ ∉

E)emplo: A ; 1 6 =6 J6 >6 6 ?6 K 2

' ; 1 6 ?6 K6 @6 2

@K

J

>

=

}{A & $7 27 (7 *− =

DIFERENCIA DE CONJUNTOS


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K?

?

A &

El co()u(*o ' me(os A /ue se represe(*+es el co()u(*o form+do por *odos los eleme(*os /ueper*e(ece( + ' 3 (o per*e(ece( + A.

& A−

}{& A 6 & A− = ∈ ∧ ∉

E)emplo: A ; 1 6 =6 J6 >6 6 ?6 K 2

' ; 1 6 ?6 K6 @6 2

@K

J

>

=

}{& A 07 1− =

8A9&,&9A:


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REPRESENACIONES GR&ICAS DE LADI&ERENCIA DE CON#UNOS



U

U

U

A

A

A'

'

A ' A '

'

A ';A

INDICE

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO


29/39

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTOD+do u( co()u(*o u(,0ers+l U 3 u( co()u(*oA6 se ll+m+ compleme(*o de A +l co()u(*o

form+do por *odos los eleme(*os delu(,0erso /ue (o per*e(ece( +l co()u(*o A.No*+c,-(: AW o AC

E)emplo:

U ;16=6J6>66?6K6@62

A ;16J6 6 K6 2

AW;1=7>7?6@2

S,m-l,c+me(*e: }

{A ; 5 6 5 U 5 A= ∈ ∧ ∉ AW ; U A

= @

? >

U

J K


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31/39

D+dos los co()u(*os: A ; 1 6 > 6K 6B 6 ... 6J>2

' ; 1 = 6>6?6...6=?2 C ; 1 J6 K666...6J2+ E8pres+r A6 ' 3 C por

compre(s,-(

$

SOLUCIÓN


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A ; 16>6K6B6J6?66==6=6=@6J6J>2

' ; 1=6>6?6@6B6=6>6?6@6=B6==6=>6=?2C ; 1J6K6666=J6=K6J2

F+ll+r: A ' 6 C A6 'UC

A ' ; 1 2

C A ; 1 2' U C ; 1

S+emos /ue A ' es*+ form+do por loseleme(*os comu(es de A 3 '6 e(*o(ces:

U U

U

U

U


33/39

2 E8pres+r l+ reg,-( somre+d+ e(*rm,(os de oper+c,o(es e(*re los

co()u(*os A6' 3 C.

A '

C

A

'

C

SOLUCIÓN

A


34/39

A '

C

A '

CA

'

CA

'

C

A '

' C

A C

U

U

U

'


35/39

A '

A

'

C

Oser0+ como seo*,e(e l+ reg,-(

somre+d+

od+ l+ 9o(+ de +m+r,llo esAU'L+ 9o(+ de 0erde es A '

C

&,(+lme(*e le +greg+mos C 3 se o*,e(e:

A ' C C;

U

U

U

S l f , d >=B


36/39

Seg( l+s prefere(c,+s de >=Bperso(+s /ue 0e( los c+(+les A6' oC se oser0+ /ue @B 0e( el c+(+lAQRCN 6=>B 0e( el c+(+l'QCARACOL 3 B (o 0e( el c+(+lCQCANAL UNO6los /ue 0e( por lo

me(os = c+(+les so( =JBXcu


37/39

El u(,0erso es: >=B

$e( el c+(+l A: @B $e( el c+(+l ': =>B

No 0e( el c+(+l C: BE(*o(ces s, 0e( el c+(+l C: >=B B ; =KB

A '

C

+

d

QI + [ e [ d [ 8 ;@B

e

8f

QII [ e [ f [ 8 ; =>B

c

QIII d [ c [ f [ 8 ; =KB

D+*o: $e( por lo me(osdos c+(+les =JB 6e(*o(ces:

QI$ d [ e [ f [ 8 ; =JB


38/39

QI + [ e [ d [ 8 ;@BQII [ e [ f [ 8 ; =>BQIII d [ c [ f [ 8 ; =KB

Sum+mos l+s ecu+c,o(es QI6QII 3 QIII

S+emos /ue : +[[c[d[e[f[8 ;>=B

=JB

e(*o(ces : +[[c ;B

+ [ [ c [ =Qd [ e [ f [ 8 [ 8 ; ?B

B =JBB [ ?B [ 8 ;?B 8 ; >B

Es*o s,g(,f,c+ /ue >B perso(+s 0e( los *res c+(+les


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