Manual do Professor - anglouba.com.br · 3 • Função afim • Aula expositiva ... Você também pode selecionar exercícios resolvidos, de fixação ou propostos para exemplificar

EM 1ª série | Volume 2 | Matemática

Manual do Professor

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Coleção EM1

C689 Coleção Ensino Médio 1ª série: - Belo Horizonte: Bernoulli Sistema de Ensino, 2018. 162 p.: il.

Ensino para ingresso ao Nível Superior. Bernoulli Grupo Educacional.

1. Matemática I - Título II - Bernoulli Sistema de Ensino III - V. 2

CDU - 37CDD - 370

Centro de Distribuição:

Rua José Maria de Lacerda, 1 900 Cidade Industrial Galpão 01 - Armazém 05 Contagem - MGCEP: 32.210-120

Endereço para correspondência:

Rua Diorita, 43, PradoBelo Horizonte - MGCEP: 30.411-084www.bernoulli.com.br/sistema 31.3029.4949

Fotografias, gráficos, mapas e outros tipos de ilustrações presentes em exercícios de vestibulares e Enem podem ter sido adaptados por questões estéticas ou para melhor visualização.

Coleção Ensino Médio 1ª série – Volume 2 é uma publicação da Editora DRP Ltda. Todos os direitos reservados. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

SAC: [email protected] 31.99301.1441 - Dúvidas e sugestões a respeito das soluções didáticas.

ConSElho DirEtorDiretor Administrativo-Financeiro: Rodrigo Fernandes DomingosDiretor de Ensino: Rommel Fernandes DomingosDiretor Pedagógico: Paulo RibeiroDiretor Pedagógico Executivo: Marcos Raggazzi

DirEçãoDiretor Executivo: Tiago Bossi

AutoriAMatemática: Fred Fonseca, Kennedy, Luiz Paulo, Paulo Ribeiro

ProDuçãoGerente de Produção: Luciene FernandesAnalista de Processos Editoriais: Letícia OliveiraAssistente de Produção Editorial: Thais Melgaço

núcleo PedagógicoGestores Pedagógicos: Amanda Zanetti, Vicente Omar TorresCoordenadora Geral de Produção: Juliana RibasCoordenadoras de Produção Pedagógica: Drielen dos Santos, Isabela Lélis, Lílian Sabino, Marilene Fernanda Guerra, Thaísa Lagoeiro, Vanessa Santos, Wanelza TeixeiraAnalistas Pedagógicos: Amanda Birindiba, Átila Camargos, Bruno Amorim, Bruno Constâncio, Daniel Menezes, Daniel Pragana, Daniel Pretti, Dário Mendes, Deborah Carvalho, Joyce Martins, Juliana Fonseca, Júnia Teles, Luana Vieira, Lucas Maranhão, Mariana Campos, Mariana Cruz, Marina Rodrigues, Paulo Caminha, Paulo Vaz, Raquel Raad, Sabrina Carmo, Stênio Vinícios de Medeiros, Taciana Macêdo, Tatiana Bacelar, Thalassa Kalil, Thamires Rodrigues, Vladimir AvelarAssistente técnica em Estatística: Numiá GomesAssistentes de Produção Editorial: Carolina Silva, Suzelainne de Souza

Produção EditorialGestora de Produção Editorial: Thalita NigriCoordenadores de núcleo: Étore Moreira, Gabriela Garzon, Isabela DutraCoordenadora de iconografia: Viviane FonsecaPesquisadores iconográficos: Camila Gonçalves, Débora Nigri, Eloine Reis, Fabíola Paiva, Guilherme Rodrigues, Núbia Santiagorevisores: Ana Maria Oliveira, Gabrielle Ruas, Lucas Santiago, Luciana Lopes, Natália Lima, Tathiana OliveiraArte-Finalistas: Cleber Monteiro, Gabriel Alves, Kátia SilvaDiagramadores: Camila Meireles, Isabela Diniz, Kênia Sandy Ferreira, Lorrane Amorim, Naianne Rabelo, Webster Pereirailustradores: Reinaldo Rocha, Rodrigo Almeida, Rubens Lima

Produção GráficaGestor de Produção Gráfica: Wellington SeabraCoordenador de Produção Gráfica: Marcelo CorreaAnalista de Produção Gráfica: Patrícia ÁureaAnalistas de Editoração: Gleiton Bastos, Karla Cunha, Pablo Assunção, Taiana Amorimrevisora de Produção Gráfica: Lorena Coelho

Coordenador do PSM: Wilson BittencourtAnalistas de Processos Editoriais: Augusto Figueiredo, Izabela Lopes, Lucas Roquerevisoras: Bruna Emanuele Fernandes, Danielle Cardoso, Luísa GuerraArte-Finalista: Larissa AssisDiagramadores: Anna Carolina Moreira, Maycon Portugal, Rafael Guisoli, Raquel Lopes, Wallace Weberilustrador: Hector Ivo Oliveira

rElACionAMEnto E MErCADoGerente Geral de relacionamento e Mercado: Renata Gazzinelli

SuPortE PEDAGóGiCoGerente de Suporte Pedagógico: Heloísa BaldoAssessoras Pedagógicas Estratégicas: Madresilva Magalhães, Priscila BoyGestores de Conteúdo: Luciano Carielo, Marinette FreitasConsultores Pedagógicos: Adriene Domingues, Camila Ramos, Claudete Marcellino, Daniella Lopes, Denise Almeida, Eugênia Alves, Francisco Foureaux, Leonardo Ferreira, Lucilene Antunes, Paulo Rogedo, Soraya OliveiraAnalista de Conteúdo Pedagógico: Paula VilelaAnalista de Suporte Pedagógico: Caio PontesAnalista técnico-Pedagógica: Graziene de AraújoAssistente técnico-Pedagógica: Werlayne BastosAssistentes técnico-Administrativas: Aline Freitas, Lívia Espírito Santo

CoMErCiAlCoordenador Comercial: Rafael CurySupervisora Administrativo-Comercial: Mariana GonçalvesConsultores Comerciais: Adalberto de Oliveira, Carlos Eduardo Oliveira, Cláudia Amoedo, Eduardo Medeiros, Guilherme Ferreira, Ricardo Ricato, Robson Correia, Rossano Rodrigues, Simone CostaAnalistas Comerciais: Alan Charles Gonçalves, Cecília Paranhos, Rafaela RibeiroAssistentes Comerciais: Laura Caroline Tomé, Melissa Turci

ADMiniStrAtivoGerente Administrativo: Vítor LealCoordenadora técnico-Administrativa: Thamirys Alcântara Coordenadora de Projetos: Juliene SouzaAnalistas técnico-Administrativas: Ana Clara Pereira, Bárbara Câmara, Lorena KnuppAssistentes técnico-Administrativos: Danielle Nunes, David Duarte, Fernanda de Souza, Mariana Girardi, Priscila Cabral, Raphaella HamziAuxiliares de Escritório: Jéssica Figueiredo, Sandra Maria MoreiraEncarregado de Serviços Gerais e Manutenção: Rogério Brito

oPErAçõESGerente de operações: Bárbara AndradeCoordenadora de operações: Karine ArcanjoSupervisora de Atendimento: Adriana MartinsAnalista de Controle e Planejamento: Vinícius AmaralAnalistas de operações: Ludymilla Barroso, Luiza RibeiroAssistentes de relacionamento: Amanda Aurélio, Amanda Ragonezi, Ana da Silva, Ana Maciel, Ariane Simim, Débora Teresani, Elizabeth Lima, Eysla Marques, Flora Freitas, Iara Ferreira, Renata Gualberto, Renata Magalhães, Viviane RosaCoordenadora de Expedição: Janaína CostaSupervisor de Expedição: Bruno Oliveiralíder de Expedição: Ângelo Everton PereiraAnalista de Expedição: Luís XavierAnalista de Estoque: Felipe LagesAssistentes de Expedição: Eliseu Silveira, Helen Leon, João Ricardo dos Santos, Pedro Henrique Braga, Sandro Luiz QueirogaAuxiliares de Expedição: Admilson Ferreira, Marcos Dionísio, Ricardo Pereira, Samuel Pena

tECnoloGiA EDuCACionAlGerente de tecnologia Educacional: Alex RosaCoordenadora Pedagógica de tecnologia Educacional: Luiza WinterCoordenador de tecnologia Educacional: Eric LongoCoordenadora de Atendimento de tecnologia Educacional: Rebeca MayrinkAnalista de Suporte de tecnologia Educacional: Alexandre PaivaAnalista de tecnologia Educacional: Vanessa VianaAssistentes de tecnologia Educacional: Augusto Alvarenga, Naiara Monteiro, Sarah CostaDesigner de interação: Marcelo CostaDesigners instrucionais: Alisson Guedes, David Luiz Prado, Diego Dias, Fernando Paim, Mariana Oliveira, Marianna DrumondDesigner de vídeo: Thais MeloEditora Audiovisual: Marina Ansalonirevisor: Josélio VerteloDiagramadores: Izabela Brant, Raony Abade

MArkEtinGGerente de Marketing: Maria Cristina BelloCoordenadora de Marketing: Jaqueline Camargos

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Manual do Professor

3Bernoulli Sistema de Ensino

Planejamento do volume*Disciplina: matemática

sÉRiE: 1ª

sEGMEnTO: em

vOluME: 2

FRENTE CAPÍTulo TÍTulo SugESTõES dE ESTRATégiAS

A

3 • Funçãoafim

•Aula expositiva

•Aplicação de exercícios

•Resolução de exercícios

•Aula prática

•Debate

•Aulamultimídia

•Discussãoemgrupos

• Filmes

4 •Função quadrática

B

3 •Divisibilidade, MDC e MMC

4 •Razões e proporções

C 2 •Semelhançadetriângulos

* Conteúdo programático sujeito a alteração.

Orientações e sugestõesCapítulo A3: Função afim

Nesse capítulo, professor, o foco deve ser colocado no conceito de taxa de variação. Nas funções

f(x) = ax e f(x) = ax + b, o coeficiente aéataxadevariação–queéconstanteemqualquerintervalodo

domínio.Porcausadisso,ospontosdográficoficamalinhados.Alémdisso,destaqueaprincipalpropriedade

da função linear y = ax, que é a proporcionalidade direta entre x e y.Assim,seográficodafunçãoéuma

reta,entãoelapossuitaxadevariaçãoconstante.Seográficodafunçãoéumaretaquepassapelaorigem,

então ela possui taxa constante e indica proporcionalidade.

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4 Coleção EM1

Capítulo A4: Função quadráticaNo estudo da função do 2º grau, dêmaior importância à construção do gráfico e à resolução de

problemas demáximo emínimo. Apresente o esboço da parábola a partir de tabelas de valores (x,y)paradetectaraspossíveisregularidadesdosgráficos.Entretanto,professor,observequeessenãoéomelhormétododeconstruçãodeparábolas.Logo,desenheográficotomandoseuspontosnotáveis(intersecçõescomoseixoscoordenadosevértice).Ressaltetambémoestudodossinaisdafunçãoquadráticanaresoluçãodeproblemascontextualizadosedeinequaçõesdo2ºgrau.

Capítulo B3: Divisibilidade, MDC e MMCApresenteosconceitosdemúltiplosededivisoresnaturaisdeumnúmeronatural. Introduzao lema

dadivisãodeEuclidesresolvendoproblemas.Relembreaexpressãoquepermiteocálculodonúmerodedivisoresnaturaisdeumnúmeronatural.ExpliqueoconceitoeastécnicasparacálculodoMMCedoMDC.Vocêtambémpodeselecionarexercíciosresolvidos,defixaçãooupropostosparaexemplificardiferentesabordagensdotemaemprovasdevestibulares.

Capítulo B4: Razões e proporçõesAo iniciar o estudo do assunto, é importante relembrar os conceitos de razão e proporção. Explicite

as propriedades de proporções e dê exemplos numéricos. Conceitue grandezas direta e inversamenteproporcionaismostrandoosesboçosdeseusgráficos.Emseguida,professor,resolvaproblemasdedivisãodeumnúmeroempartesdiretaeinversamenteproporcionaisaosvaloresdados.Porfim,resolva,emsala,os exercícios de fixação.

Capítulo C2: Semelhança de triângulosOassuntotratadonessecapítuloébastante importantedevidoàsuagrandeocorrênciaemquestões

devestibulares.Professor,inicieaaulaconceituandotriângulossemelhanteseoscasosdesemelhança,comespecialatençãoaocasoAA(ângulo,ângulo).Dessepontoemdiante,conduzaaaulacombasenaresolução de variados exercícios.

Comentário e resolução de questõesCAPÍTULO – A3Função afim

Exercícios de aprendizagem

Questão 01

Comentário:

A) Ográficodasfunçõespolinomiaisdo1ºgrauéumareta,

portantobastaqueconheçamosdoispontospertencentes

àreta.Optamosporencontrarospontosdeinterseçãoda

retacomoseixoscoordenados,fazendox=0e,depois,

y=0.

f(x) = 3x – 6

x y

0 –6

2 0

y

x2

–6

O

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B) f(x) = 5 – x

x y

0 5

5 0

y

x

5

5O

C) f(x) = –2x + 4

x y

0 4

2 0

y

x2

4

O

D) f(x) = 3 – 2x

x y

0 3

32

0

y

x1 2

3

O

Questão 02Comentário:Sef(1)=2ef(2)=5,entãoDy = 3 para Dx=1.Comoataxadevariaçãoéconstante,acadavariaçãode1unidadeemx,háumavariaçãode3unidadesemy.Logo:f(3)=8.

Questão 03Comentário:Ocoeficientedotermoemx é a taxa de variação, logom=2.Paracalcularn,substituímosascoordenadasdeP(2,7)emy=2x+n ⇒ 7 = 4 + n ⇒ n = 3.

Questão 04Comentário:Comoaáguadacaixaé retiradaaumataxaconstante, a fórmula da função que descreve o volumeV de água na caixa, em litros, em função do tempo t,emminutos,édotipoy=ax+b,emquey=Vex=t.

Como,em1minuto,ovolumediminuiem30litros,ataxadevariaçãoénegativa.Logo,a=–30.

Sabendo-sequenoinstanteinicialacaixaestáocupadaatéametadedesuacapacidade,istoé,0,5m3=500litros,entãob=500.

Assim,V=–30t+500.

Questão 05Comentário: A) f(x) = 3x + 6 Raiz:3x+6=0⇒ x = –2 a = 3 ⇒ f é crescente. Sinais: f(x)<0parax<–2 f(x)=0parax=–2

f(x)>0parax>–2

y

x–2

+

–

O

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6 Coleção EM1

B) f(x) = –2x + 2

Raiz: –2x + 2 = 0 ⇒ x = 1

a = –2 ⇒ f é decrescente.

Sinais:

f(x) > 0 para x < 1

f(x) = 0 para x = 1

f(x) < 0 para x > 1

y

x1

+

–O

C) f(x) = –3x – 4

Raiz: –3x – 4 = 0 ⇒ x = – 43


Sinais:

f(x) > 0 para x < –43

f(x) = 0 para x = –43

f(x) < 0 para x > –43

y

x– 4

3

+

–O

D) f(x) = 5 – 2x

Raiz: 5 – 2x = 0 ⇒ x = 52


Sinais:

f(x) > 0 para x < 52

f(x) = 0 para x = 52

f(x) < 0 para x > 52

y

x52

+

–

O

E) f(x) = –7 + 3x

Raiz: –7 + 3x = 0 ⇒ x = 73

a = 3 ⇒ f é crescente.

Sinais:

f(x) < 0 para x < 73

f(x) = 0 para x = 73

f(x) > 0 para x > 73

y

x73

+

–O

Questão 06Comentário:

A) x –1 02 – x 0

≥≥

Resolvendo separadamente cada inequação, temos:

≥≤

x 1x 2

Os valores de x que satisfazem aos dois intervalos ao mesmo tempo são dados pela interseção dos conjuntos. Portanto, a solução do sistema é 1 ≤ x ≤ 2.

B) x 2 0x – 3 0

x –2x 3

–2 x 3+ ≥<

⇒ ≥

<

⇒ ≤ <

C) + <≥

⇒ <

≤

3 x 02 – x 0

x –3x 2

Todo número real menor que –3 também é menor que 2, logo a solução é x < –3.

D) 2 – x < 3x + 2 < 4x + 1Inequações simultâneas podem ser separadas:

2 – x 3x 23x 2 4x 1

–4x 0–x –1

x 0x 1

x 1

< ++ < +

<<

⇒ >

>

⇒ >

E) –3 ≤ 3x –2 ≤ x

≥≤

≥≤

⇒ ≥

≤

⇒ ≤ ≤

3x –2 –33x –2 x

3x –12x 2

x –13

x 1–

13

x 1

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x 2 0x –3 0

x –2x 3

–2 x 3

+ ≥≤

≥≤

⇒ ≤ ≤

AamplitudeéDx = 3 – (–2) = 5.


3 x 02 – x 0

x –3x 2

x –3+ <≥

⇒ <

≤

⇒ <

Omaiorinteiromenorque–3é–4.

Questão 09Comentário: Para isolar o xnadesigualdade–2<x+1<3,

somamos (–1) aos membros da desigualdade. Assim:

–2+(–1)<x+1+(–1)<3+(–1)⇒ –3 < x < 2.

Questão 10Comentário:Parasolucionaradesigualdadex<1–x<3x,montamososistema:

x 1 x1 x 3x

2x 14x 1

x12

x14

14

x12

.< −− <

⇒ <

− < −

⇒

<

>

⇒ < <

Questão 11Comentário:Montamososistema:

2 x 3x 23x 2 4x 1

4x 0x 1

x 0x 1

x 1− < ++ < +

⇒ − <

− < −

⇒ >

>

⇒ >

Portanto,omenornúmerointeiro(estritamentemaiorque1)quepertenceàsoluçãodadesigualdadeé2.

Questão 12Comentário:Deacordocomosistema,temos:

3 3x 23x 2 x

3x 12x 2

x13

x 1

13

x 1− ≤ −− ≤

⇒ − ≤

≤

⇒ ≥ −

≤

⇒ − ≤ ≤

Portanto,nesseintervalo,háduassoluçõesinteiras:0e1.

Questão 13Comentário:Sejamx e yonúmerodeconsultasmensaiseocustodoplanodesaúde,respectivamente.

• FunçãocustomensalnoplanoA:y=6x+30• FunçãocustomensalnoplanoB: y = 4x + 45

Para que o plano Asejamaisvantajoso,devemoster:6x+30<4x+45⇒ 2x<15⇒ x < 7,5

Assim,paraaté7consultas,esseplanoémaisvantajoso.


f(x) = 2x + 4Vamosobterospontosemqueográficointersectaoseixoscoordenados:

x y

0 4

–2 0

y

4

3

2

1

1O 2 x–2

b = 4

Raizx = –2

Sinais:

f(x)<0parax<–2

f(x)=0parax=–2

f(x)>0parax>–2

Questão 15Comentário: y = –x + 2Construímosumatabelafazendox=0ey=0.

x y

0 2

2 0

y

x

1

2

1O 2

Interseçõescomoseixos(0,2)e(2,0)Sinais:y>0parax<2y=0parax=2y<0parax>2

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8 Coleção EM1

Questão 16Comentário: g(x) = 2x – 5Como o gráfico é uma reta, são necessários e suficientes dois pontos.

x y

0 –5

52

0

y

x1O 2 3 4

–5

Sinais:

g(x) < 0 para x < 52

g(x) = 0 para x = 52

g(x) > 0 para x > 52

Questão 17Comentário: y = –2x – 1

Construímos uma tabela contendo as intersecções do gráfico com os eixos coordenados.

x y

0 –1

–0,5 0

–0,5

–1

xO

y

Analisando o gráfico, notamos que, para x > 0, temos y < –1.

Questão 18Comentário: Para que as imagens sejam maiores que 7, temos:f(x) > 7 ⇒ 2x – 5 > 7 ⇒ 2x > 12 ⇒ x > 6.

Questão 19Comentário: O gráfico dessa função passa pelos pontos (3, 0) e (0, 12).

Então: ayx

12 – 00 –3

12–3

–4.=∆∆

= = =

Questão 20Comentário: Os valores de x tais que f(x) > 0 e g(x) > 0 são os que resolvem o sistema:

>+ >

<>

⇒ < <

4 – x 02x 6 0

x 4x –3

–3 x 4.

Desafio

Questão 01Comentário: Nos números reais não comporta divisão por zero. Assim, o domínio da função do enunciado é x real, tal que

≠ ⇒ ≠2x –5 0 x52

. Para esboçar o gráfico e encontrar o domínio,

devemos perceber que = = = ≠f(x)6x –152x –5

3(2x –5)

2x –53, para x

52

.

Assim, a imagem da função é I = {3} e o gráfico é o seguinte:

x�

y

3


≤ ⇒

≤ ⇒

≤ ⇒

+≤ ⇒

+≤

1x –20

112 – x

1x –20

–1

12 – x0

12 – x – (x –20)(x –20)(12 – x)

0

–2x 32(x –20)(12 – x)

0

–x 16(x –20)(12 – x)

0

Temos que utilizar o estudo do sinal do produto de três retas lineares: (–x + 16), (x – 20) e (12 – x).

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+ +

–

– –

– –

––

––

–+

+ +

+

–x + 16

–x + 16

x – 20

(x – 20) (12 – x)

12 – x

+16+12 +20

Temoscomosoluçõesinteiraspositivas:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,16,17,18,19.

Observeque16éinclusonasolução,mas12e20não.Assim,temosquinzesoluçõesinteiraspositivas.

Questão 03Comentário: Paraqueomáximodedoisnúmerossejamenorque 35, ambos os números devem sermenores que 35. Assim, sendoS o conjunto do inteiros que satisfazem a condiçãoproposta:

= ∈ + < ∩ <= ∈ < ∩ >=

S {x |(2x 5 35) (8 –3x 35)}S {x |(x 15) (x –9)}S {–8, –7, ...,14}

Logo,Stem23elementos.

Exercícios propostos


A) Sendo y o salário e xonúmerodehorasextrastrabalhadas,temosquey=650+10x.

B) Seu salário yfoidey=650+10.0=650reais.

C) Seu salario yserádey=650+15.10=800reais.

D) = = + ⇒ = =y 890 650 10x x890 – 650

1024 horas extras

trabalhadas.


A) ParaconsumosC≤200,ocustodokWhéde0,30.Logo,V=0,3.C.

B) ParaconsumosC>200,ocustodokWhéde0,45sobreoquepassarde200.Ouseja,paga-se0,30.200mais 0,45.(C–200).Assim,temos:

V=60+0,45(C–200)

V=60+0,45C–90

V=0,45C–30

C) O gráfico é constituído de dois segmentos de reta deinclinações distintas.

1º) V = 0,30C para 0≤C≤200

C V

0 0

200 60

2º) V = 0,45C – 30 para200≤C≤600

C V

200 60

600 240

Gráfico

V

C

240

60

O 200 600

D) ParaC=500,usamos:

V=0,45C–30

V=0,45.500–30

V=195

V=R$195,00.

E) OvalorV=132estánafaixaemqueoconsumoémaiorque200kWh,logo:

0,45C–30=132

0,45C=162

C=360kWh.

Questão 03Comentário: Se o ponto Apertenceàretay=ax+6,entãopodemossubstituirascoordenadasnaexpressãodafunção:

–a – 4 = a(–a – 4) + 6

–a – 4 = –a2 – 4a + 6

a2+3a–10=0

Asraízessãoa=–5ea=2,massomentea=–5correspondeàretadescendentey=ax+6.


A) L (cm)

t (horas)126O

30

20

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10 Coleção EM1

B) Vela 1: = =taxa30 cm

6 h5 cm/h.

Vela 2: = = ≅taxa20 cm12 h

53

1,67 cm/h.

C) Devemos encontrar a lei da função que relaciona o comprimento L da vela, em cm, com o tempo t, em horas, que ela fica acesa. Essas funções são de primeiro grau, com coeficientes angulares opostos algebricamente às taxas calculadas no item anterior e coeficiente linear igual ao comprimento inicial.

Assim, para a vela 1, L = –5t + 30 e, para a vela 2, = +L –5t3

20.

Para encontrar o tempo t, no qual elas têm o mesmo tamanho, devemos verificar para qual valor de t os valores de L se igualam. Assim:

+ = + ⇒

= ⇒ =

–5t 30 –5t3

20

10t3

10 t 3

Logo, elas ficaram com comprimentos iguais às 13 horas.

Questão 05Comentário: C = qx + b

A) x C

500 2 700

1 000 3 800

Na função afim, a taxa de variação é constante em qualquer intervalo do domínio, portanto:

= = =q3 800 –2 7001 000 –500

1 100500

2,20

Para cada variação de 500 unidades em x, o valor de C varia 1 100, então, para x = 0, temos:C = 2 700 – 1 100C = 1 600Logo, o custo fixo é b = 1 600.

B) Façamos x = 800 na expressão:C = 2,20x + 1 600C = 2,20 . 800 + 1 600C = 3 360Logo, o custo é R$ 3 360,00.

Questão 06 – Letra B Comentário:

A) (Verdadeira) A função é constante para x ≥ 20.

B) (Falsa) A taxa de variação no intervalo 0 ≤ x ≤ 20 e x > 20 é diferente.

C) (Verdadeira) A função é constante para x ≥ 20. Assim, tomando-se valores diferentes para x, nesse intervalo, a absorção é sempre y = 18.

Por exemplo: 1820

90%;1830

60%;1840

45%.= = =

D) (Verdadeira) A função é linear quando 0 ≤ x ≤ 20 (o gráfico é um segmento de reta que contém a origem).

Questão 07 – Letra DComentário: Como o gráfico da função é uma reta, ela é da forma y = ax + b. Já que os pontos (0, 2) e (–2, 0) pertencem à função, então b = 2 e 0 = –2a + 2 e a = 1, a função representada pelo gráfico é y = x + 2.

Questão 08 – Letra DComentário: Os pontos (–1, 0) e (0, –2) pertencem à função y = mx + t. Assim, t = –2 e 0 = –m – 2, e m = –2. Logo, m = t.

Questão 09 – Letra AComentário: Como para a variação de uma unidade em x há variação de 7 unidades, o coeficiente angular a vale 7. Como (0, –1) faz parte da função, b = –1 ⇒ y = 7x – 1.

Questão 10 – Letra BComentário: Como B percorre 500 m em 10 min, e sua velocidade não se altera, em 20 min correrá 1 000 m = 1 km.

Questão 11 – Letra B Comentário: A taxa de variação de N é constante entre C = 100 e C = 700.

Logo: aNC

115 97700 100

18600

3100

.=∆∆

=−−

= =

Supondo que a taxa de variação seja a mesma entre C = 0 e C = 100, podemos concluir que N = 94 quando C = 0, porque, a cada variação de 100 unidades em C, há um aumento de 3 unidades em N. Assim, a função y = ax + b procurada é N = 0,03C + 94.

Questão 12 – Letra BComentário:

= +

= +

= ⇒ = ⇒ == +

= + =

198 120a b (I)

170 100a b (II)

(I) – (II):20a 28 a 1,4 b 30y(x) 1,4x 30y(180) 1,4 .180 30 282

Questão 13 – Letra CComentário: Como o gráfico é uma reta, a taxa de variação de y em relação a x é constante e igual a:

∆∆yx

= −−

= =190 2010 0

17010

17

Isso significa que cada litro produzido custa 17 reais. Além disso, há o custo inicial (fixo) de 20 reais.

Analisando as alternativas, temos:

A) (Falsa) Quando x = 0, o custo é y = 20.

B) (Falsa) Substituindo x = 3 na lei y = 17x + 20, obtemos y = 71.

C) (Verdadeira) Para x = 2, o custo é y = 54.

D) (Falsa) A solução da equação 17x + 20 = 170 é x = 8,82. O gráfico também mostra que a afirmativa é incorreta, porque passa pelo ponto (5, 105).

E) (Falsa) A taxa de variação é constante, portanto cada litro tem o mesmo custo.

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Questão 14 – Letra EComentário: t vale zero pois é o valor da ordenada do ponto emqueográficoencontraoeixodasordenadas.Aimagemdasduas funçõesparax=2é igual;paray=3–x,esse

valor é1.Assim,y=kxpassapor(2,1).Então, = ⇒ =2k 1 k12.

Questão 15 – Letra DComentário:

Indicada Real

x y

10 13

20 21

Se a relação entre x e y é linear, então y = ax + b.

ayx

21–1320 –10

810

0,8=∆∆

= = =

Quando a temperatura indicada varia 10 °C, a real varia8°C.Assim,parax=0,temosy=5.Portanto,afunçãoéy=0,8x+5.Fazendoy=x,obtemos:x=0,8x+50,2x=5x=25°C.

Questão 16 – Letra AComentário:Pelaanálisedosdadosdatabela,sãotransferidos2,5hLdecombustívelacada5minutos.Logo,porminutoé

transferido =2,55

0,5 hL.

Questão 17 – Letra DComentário:Ográficocomeçanoponto(0;10,2),logo,opesodoenvelopeé10,2g.Opesodecadafolhaéataxadevariação.

apx

29,4 10,24 0

19,24

4,8 g.=∆∆

=−−

= =

Questão 18 – Letra AComentário: Multiplicando por dois ambos os lados daequaçãodaretafornecida,afimdesechegaràsuaequaçãoreduzida,temosquey=2x+2,queinterceptaoeixox no ponto(–1,0).

Questão 19 – Letra EComentário:Sendoafunçãodaformaf(x)=ax+b:

= = += = +

= ⇒ ==

= =

f(3) 6 3a b (I)f(4) 8 4a b (II)(II)– (I): a 2 b 0f(x) 2xf(10) 2 . 10 20

Questão 20 – Letra BComentário:T(8)=–2.8+18=2°C

Questão 21 – Letra DComentário: Dado que R (receita) e C(custo),temos:

> ⇒> + ⇒

>

R(q) C(q)115q 90q 760q 30,4

Logo,devemservendidasaomenos31unidades.

Questão 22 – Letra BComentário: Sendo 3x a distância percorrida na primeiracorrida e xadistânciapercorridanasegundacorrida,temos:

Custodaprimeiracorrida:C1=3,7+1,2.3x=3,7+3,6x

Custodasegundacorrida:C2=3,7+1,2x

3C2=11,1+3,6x>3,7+3,6x=C1⇒

11,1>3,7

Questão 23 – Letra CComentário: Sendo tonúmerodeminutosdeconversação:

60+0,3x<40+0,8x⇒

0,5x>20⇒x>40minutos

Questão 24 – Letra CComentário:Onúmerodepassageiroséumafunçãodopreçonaformay=ax+b.

Preço x Passageiros y

25 500

20 600

ayx

600 –50020 –25

100–5

–20=∆∆

= = =

Isso significa que cada real de desconto acarreta umincrementode20passageiros.Portanto,reduzindoopreçopara R$18,00,haverá640passageiros.


+ = ⇒ = + ⇒ =+

+ = ⇒ = + ⇒ =+

+>

+⇒ + > + ⇒ >

A: x –2y 6 0 2y x 6 yx 6

2

B: x –3y 15 0 3y x 15 yx 15

3x 6

2x 15

33x 18 2x 30 x 12 anos

Questão 26 – Letra EComentário: Utilizandoasinformaçõesque(–1,3)e(0,–1)são pontos da função f,temos:

= = + ⇒ =

= = ⇒ =

=

≤ ⇒ ≤ ⇒ ≥

f(0) –1 0.k t t –1

f(–1) 3 –k –1 k –4

f(x) –4x –1

f(x) 0 – 4x –1 0 x –14

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12 Coleção EM1


Tempo x Valor y

0 40 000

4 42 000

Como a função é do tipo y = ax + b, a taxa de variação do valor

é constante e igual a: a2 000

4500 reais / ano.= =

Seis anos e 4 meses são 613

+

anos, ou 193

. Multiplicando por

500, temos =193

.500 3 166 reais, aproximadamente. Portanto,

o valor será de R$ 43 166,00.

Questão 28 – Letra CComentário:

Hora Concentração

8 20

12 80

Sendo uma função afim, a taxa de variação é constante:

∆∆yx

= −−

= =80 2012 8

604

15

Assim, a concentração aumenta em 15 partículas por hora. Em 2 horas, aumenta 30; logo, às 10h, há 50 partículas.

Em 13

da hora, ocorrerá um aumento de 13

de 15. Logo,

às 10h20, são 55 partículas.

Questão 29 – Letra AComentário: Devemos achar a interseção entre as soluções das duas desigualdades:

x –112

5 –2x x –11 10 – 4x x215

4,2

5 –2xx4

19x4

4 x169

1,7

< ⇒ < ⇒ < =

< + ⇒ > ⇒ > =

Assim, os inteiros 2, 3 e 4, cuja soma é 9, satisfazem a

desigualdade.


Opção A: y = 1 400 + 40x

Opção B: y = 75x

y é o salário e x, o número de aulas dadas. Devemos ter

75x > 1 400 + 40x ⇒ x > 40. Portanto, são, no mínimo, 41 aulas.

Questão 31 – Letra AComentário: 2

x –10<

A fração tem numerador sempre positivo. Como ela deve

ser negativa, devemos ter o denominador negativo. Assim,

x – 1 < 0 ⇒ x < 1.

Questão 32 – Letra BComentário: Para não ter prejuízo, o faturamento deve ser no mínimo igual ao custo, logo:

2,5n = 0,7n + 360 ⇒

1,8n = 360 ⇒

n = 200, que pertence ao intervalo [198, 203].

Questão 33 – Letra CComentário: A taxa de variação do custo é constante (o gráfico é uma reta).

a Cx

= = − =∆∆

180 8020

5

Assim, o custo de produção de 1 kg é 85 reais (o custo fixo é 80).Para calcular a porcentagem de lucro, dividimos o lucro pelo custo:

= =1785

0,2 20%.

Questão 34 – Letra DComentário: Para não haver prejuízo, devemos ter R > C, o que equivale a 7x + 2 > 3x + 3, cuja solução é:

>x14

toneladas, ou seja, 250 kg.

Questão 35 – Letra CComentário: Como a vazão é constante, o gráfico deve ser uma reta. Como a vazão é de 100 L/min, o tanque ficará vazio

em 5 000100

50= minutos, abscissa do ponto no qual a reta toca

o eixo das abscissas.

Questão 36 – Letra BComentário: A função representada no gráfico é decrescente, logo a < 0. E a reta corta o semieixo negativo dos xy, daí b < 0. Portanto, ab > 0.


A) Nos 7 primeiros dias, a hospedagem custa 130 . 7 = 910. Então, pelos d ias subsequentes, foram pagos 2 210 – 910 = 1 300, que correspondem a 13 diárias de 100,00. Portanto, foram, no total, 20 dias.

B) Se 0 < x ≤ 7, então f(x) = 130x. Para x > 7, pagam-se 100 por dia a partir do 8º dia, daí:

�� f(x) = 130 . 7 + 100(x –7)Dias excedentes

f(x) = 910 + 100x – 700f(x) = 100x + 210, quando x > 7.

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Questão 38Comentário: Inequações simultâneas que apresentam incógnita somente no membro central podem ser resolvidas juntas:0 ≤ 2x – 8 ≤ 50Somamos 8 nos três membros:8 ≤ 2x ≤ 58Dividimos todos os termos por 2:4 ≤ x ≤ 29O comprimento do intervalo é 29 – 4 = 25.


A) Como o gráfico passa pela origem, o coeficiente linear é zero. Sendo a o coeficiente angular, temos:

= ⇒ =50 40a a54

Assim, sendo V volume e m massa, temos =V54.m.

B) Para V = 30 mL, temos:

= ⇒ =3054

.m m 24 g.


A) Como y(0) = 3 000, o coeficiente linear vale 3 000. Também temos y(8) = 3 600 e o coeficiente angular a é tal que 3 600 = 8a + 3 000 ⇒ a = 75. Assim, a expressão procurada é y = 75x + 3 000.

B) Queremos descobrir o valor de x para o qual y = 6 000. Então, 6 000 = 3 000 + 75x ⇒ x = 40. Logo, o gasto será o dobro do inicial em 2 025.

Questão 41Comentário: Nas primeiras 40 horas de trabalho, o operário recebe R$ 120,00. Cada hora excedente renderá R$ 4,50. Assim:S = 120 + 4,50(h – 40)S = 4,5h – 60, para h > 40.

Questão 42Comentário: A lei é da forma y = ax + b, em que a é a taxa de variação.

Gasto Receita

10 000 80 000

20 000 120 000

a yx

= = =∆∆

40 00010 000

4

Isso significa que a receita aumenta em 4 reais para cada real gasto com propaganda.

A) Por isso, um aumento de R$ 10 000 no gasto faz a receita aumentar em R$ 40 000. Logo, se x = R$ 30 000, então y = R$ 160 000.

B) Se diminuirmos R$ 10 000 no gasto, a receita diminui R$ 40 000. Logo, quando x = 0, temos y = R$ 40 000. Portanto, a lei da função é y = 4x + 40 000.

Questão 43Comentário: De acordo com o enunciado, temos:

t y

0 10 000

5 1 000

A taxa de variação do valor é:

= ∆∆

= =a yt

–9 0005

–1 800 reais/ano.

Isso significa que a depreciação em 3 anos será de R$ 5 400,00 ou 54%.

Seção Enem

Questão 01 – Letra CEixo cognitivo: III

Competência de área: 6

Habilidade: 25

Comentário: De A para B, com apenas a primeira bomba ligada, temos a vazão de 1 000 L/h.

De B para C, com as duas bombas ligadas, a vazão é de

=5000 L /h2

2500 L /h.

Portanto, a vazão da segunda bomba ligada será igual à diferença 2 500 L/h – 1 000 L/h = 1 500 L/h.

Questão 02 – Letra BEixo cognitivo: II


Habilidade: 20

Comentário: Os gráficos ilustram a entrada e a saída de água no reservatório. Observe os dois gráficos em um mesmo sistema cartesiano.

(I)

5

20

10 15 20 25(II) (III) (IV) Períodos

Legenda:Ralo

Torneira

t

Q

(V)

x x x x xxx

xxxx

x x x x

xx x x x x x x

x

x

55

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14 Coleção EM1

Para os períodos destacados pelos elementos (I), (II), (III), (IV) e (V), pode-se estabelecer para cada período as propriedades.Períodos:(I) Uma função é constante e a outra crescente. Logo, não será constante o volume do reservatório, pois a quantidade de litros retirada pelo ralo é diferente da entrada de água da torneira.(II) A entrada e a saída de água são constantes.(III) de forma análoga ao período (I).(IV) de forma análoga ao período (I).(V) de forma análoga ao período (I).

Questão 03 – Letra AEixo cognitivo: IIICompetência de área: 5 Habilidade: 21Comentário: Pela análise do gráfico, em 5 meses houve uma redução de 20% no nível do reservatório, portanto, devemos obter em quanto tempo a redução será de 10% (os 10% finais).

Tempo Nível

5 meses

x

20%

10%

x meses= =50

202 5,

Questão 04 – Letra BEixo cognitivo: IVCompetência de área: 5Habilidade: 22Comentário: O valor da conta de telefone V(n) é uma função do número de ligações n definida por partes:

( )=≤

+ < ≤

< ≤

V(n)12, se n 10012 0,10 n –100 , se 100 n 300

32, se 300 n 500

Logo, o gráfico dessa função é:

0

3Valo

r m

ensa

l pag

o po

r p

lano

em

rea

is

69

1215182124273033

50 100 150 200 250 300 350 400 Número deligações

Questão 05 – Letra EEixo cognitivo: IICompetência de área: 5Habilidade: 20Comentário: Na compra de zero quilograma, paga-se zero real. Portanto, o gráfico começa na origem (0, 0). Se o preço é 1,75 por kg, então a taxa de variação é constante. Assim, a função é linear e o gráfico dessa função corresponde à alternativa E.

Questão 06 – Letra CEixo cognitivo: IIICompetência de área: 5Habilidade: 21Comentário: Se o aumento de trabalhadores é o mesmo no período considerado, então a taxa de variação é constante entre x = 1 e x = 6.

x y

1 876 305

2 880 605

Quando x = 0, temos y = 876 305 – 4 300 ⇒ y = 872 005.

Portanto, a expressão da função é y = 872 005 + 4 300x.

Questão 07 – Letra AEixo cognitivo: IIICompetência de área: 5Habilidade: 21Comentário: Seja y o custo total.

Empresa 1: y = 100 000n + 350 000

Empresa 2: y = 120 000n + 150 000

Queremos encontrar o valor de n que torna os custos iguais, portanto, 100 000n + 350 000 = 120 000n + 150 000.

Dividindo por 1 000, obtemos 100n + 350 = 120n + 150.

Questão 08 – Letra CEixo cognitivo: IIICompetência de área: 5Habilidade: 21Comentário: Seja x o número de selos de R$ 0,65 para os folhetos do 1º tipo. Daí:

0,65x + 1,45 . 500 = 1 000

0,65x + 725 = 1 000

0,65x = 275

x = 423

Portanto, serão usados 423 + 500 = 923 selos de R$ 0,65.

Questão 09 – Letra CEixo cognitivo: IIICompetência de área: 6Habilidade: 25Comentário:

Ano Nº

2004 750

2010 968

Taxa de variação no período 2004-2010:

∆∆yx

= − =968 7506

2186

Mantendo-se a mesma taxa nos próximos 6 anos, em 2016 haverá 968 + 218 = 1 186 favelas.

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Questão 10 – Letra EEixo cognitivo: III


Habilidade: 25

Comentário: Sendo linear o decaimento, concluímos que a

taxa de variação é constante: ∆∆yx

= −−

= −0 189 0

2. Assim, a lei

da função é y = –2x + 18. Fazendo x = 4, obtemos y = 10.

Questão 11 – Letra BEixo cognitivo: III


Habilidade: 25

Comentário: De acordo com o gráfico, a abscissa do ponto de ordenada 19 está entre x = 15 e x = 20. A taxa de variação nesse intervalo é constante (o gráfico é um segmento de reta) e igual a:

yx

25 1520 15

105

2∆∆

=−−

= =

Portanto, o valor aumenta 2 reais para cada m3.

m3 15 16 17

R$ 15 17 19

Assim, completando a tabela, obtemos o consumo de 17 m3.

Questão 12 – Letra DEixo cognitivo: III


Habilidade: 25

Comentário: No período entre 2010 e 2030, a taxa de

variação é constante e igual a yx

5,0 3,520

1,520

0,7510

∆∆

=−

= = .

Isso significa que a população aumentará 0,75 em 10 anos.

Portanto, em 2020, serão 3,5 + 0,75 = 4,25.

CAPÍTULO – A4Função quadrática


Questão 01Comentário: A partir da seguinte tabela, obtemos os pontos dos gráficos de y = x2 e y = 3x2.

x x2 3x2

–2 4 12

–1 1 3

0 0 0

1 1 3

2 4 12

4

3

1O 2–1–2 x

yy = x2

y = 3x2

Fazendo a reflexão horizontal dos gráficos de y = x2 e y = 3x2, obtemos y = –x2 e y = –3x2.

1O 2–1–2x

y

Quanto maior o valor de a em módulo na função y = ax2, “mais fechada” fica a parábola.


A) f(x) = x2 – 2x – 3

y

xO

–4

Mínimo: y = –4 Im = {y ∈ | y ≥ –4}

B) g(x) = –x2 + 4xy

xO

4

Máximo: y = 4 Im = {y ∈ | y ≤ 4}

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16 Coleção EM1

C) h(x)=–x2 + 4y

xO

4

Máximo:y=4

Im={y∈ | y ≤4}

D) p(x) = x2 – 4x + 5y

xO

1

Mínimo:y=1

Im={y∈ | y ≥1}.

Questão 03Comentário: A) f(x) = x2 + 6x + 5 a=1⇒concavidadeparacima c = 5 ⇒passapor(0,5) D=16⇒raízesreais:x=–5oux=–1

Vértice: = = =

= =

x –b2a

–62

–3

y f(–3) –4

v

v

y

xO

–4

5

–3

B) f(x) = –x2+2x+8 a=–1⇒ concavidade para baixo c=8⇒passapor(0,8) D = 36 ⇒ raízes reais: x = –2 ou x = 4

Vértice: = =

= =

x –b2a

1

y f(1) 9

v

v

y

98

41O x

–2

C) f(x) = x2 + 4x + 4 a=1⇒concavidadeparacima c = 4 ⇒passapor(0,4) D=0⇒ raiz real: x = –2

Vértice: = =

= =

x –42

–2

y f(–2) 0

v

v

y

xO–2

4

D) f(x) = x2 – 4x + 5 a=1⇒concavidadeparacima c = 5 ⇒passapor(0,5) D = –4 ⇒ não possui raiz real

Vértice: = =

= =

x42

2

y f(2) 1

v

v

y

x

1

2O

5

Questão 04Comentário: A) a>0:concavidadeparacima. b<0:cortaoeixoynoramodecrescente. c<0:cortaoeixoyabaixodaorigem. D>0:cortaoeixoxemdoispontos.B) a>0:concavidadeparacima. b>0:cortaoeixoynoramocrescente. c>0:cortaoeixoyacimadaorigem. D<0:nãocortaoeixox.

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C) a < 0: concavidade para baixo. b > 0: corta o eixo y no ramo crescente. c < 0: corta o eixo y abaixo da origem. ∆ < 0: não corta o eixo x.

D) a > 0: concavidade para cima. b = 0: corta o eixo y no vértice. c < 0: corta o eixo y abaixo da origem. ∆ > 0: corta o eixo x em dois pontos.

E) a > 0: concavidade para cima. b = 0: corta o eixo y no vértice. c > 0: corta o eixo y acima da origem. ∆ < 0: não corta o eixo x.

F) a < 0: concavidade para baixo. b = 0: corta o eixo y no vértice. c = 0: corta o eixo y na origem. ∆ < 0: corta o eixo x em um ponto.

G) a > 0: concavidade para cima. b < 0: corta o eixo y no ramo decrescente. c > 0: corta o eixo y acima da origem. ∆ = 0: corta o eixo x em um ponto.

H) a < 0: concavidade para baixo. b = 0: corta o eixo y no vértice. c < 0: corta o eixo y abaixo da origem. ∆ < 0: não corta o eixo x.

Questão 05Comentário: Na função C = x2 – 40x + 2 000, temos a = 1,

b = –40 e c = 2 000.

O ponto mínimo ocorre no vértice da parábola, logo,

a abscissa do vértice é o número de peças que minimizam

o custo: x b

aV= − = − − =

2

40

220

( ) .

A ordenada do vértice é o valor mínimo da função, que

representa o menor custo, e será calculada por meio da

substituição de xV na fórmula do custo:

C(20) = (20)2 – 40(20) + 2 000 ⇒C(20) = 1 600.


h(t) = –t2 + 8t + 10

h

tO 4

10

26

O ponto máximo é o vértice: xv indica o instante da altura máxima.

Portanto, = =x–8–2

4sv

, e yv é a altura máxima: h(4) = 26 m.

Questão 07Comentário: Substituindo F(x) e C(x) na equação do lucro, temos:

L = F – C ⇒L(x) = (1 500x – x2) – (x2 – 500x) ⇒

L(x) = –2x2 + 2 000x

A quantidade produzida que maximiza o lucro é:

xb

aV= − = −

−=

2

2 000

4500

( )

Substituindo xV na expressão da função, obtemos o lucro máximo:

L(500) = –2(500)2 + 2 000(500) ⇒L(500) = 500 000.

Questão 08

Comentário: Se a parábola da função f x x px( ) –= + +12

12

possui concavidade voltada para baixo e o conjunto imagem é

y ≤ 3, então o valor máximo da função é 3. Portanto:

y4a

3(p 2)

23 p 2 6 p 2.

V

22= −

∆= ⇒ −

+−

= ⇒ + = ⇒ = ±


A) y = x2 – 6x + 5

Raízes: x2 – 6x + 5 = 0 ⇒ x1 = 1 e x2 = 5

a = 1 > 0 ⇒ concavidade para cima

+ +–

1O 5

y

x

f(x) = 0 para x = 1 ou x = 5 f(x) > 0 para x < 1 ou x > 5 f(x) < 0 para 1 < x < 5

B) y = –x2 + 4x – 3 Raízes: –x2 + 4x – 3 = 0 ⇒ x1 = 1 e x2 = 3 a = –1 < 0 ⇒ concavidade para baixo

y

x

+– –

1O 3

f(x) = 0 para x = 1 ou x = 3 f(x) > 0 para 1 < x < 3 f(x) < 0 para x < 1 ou x > 3

EM1MPV2_MAT.indd 17 05/01/18 15:53

18 Coleção EM1

C) y = x2 – 4x + 4 Raízes: x2 – 4x + 4 = 0 ⇒ x1 = x2 = 2 a = 1 > 0 ⇒ concavidade para cima

y

x2O

f(x) = 0 para x = 2 f(x) > 0 para x ≠ 2

D) y = x2 – x + 2 Raízes: ∆ = –7 ⇒ não possui raiz real a = 1 > 0 ⇒ concavidade para cima

y

xO

++

f(x) > 0 para todo x real.

Questão 10Comentário: A) x2 – 4x + 3 < 0 Podemos entender o 1º membro da desigualdade como

uma função quadrática e, então, estudar seus sinais. Raízes: x2 – 4x + 3 = 0 ⇒ x1 = 1 e x2 = 3. a = 1 > 0 ⇒ concavidade para cima

+ +–

1 3 x

Como a inequação pede os valores de x para os quais a função é negativa, a solução é 1 < x < 3.

B) –x2 + 4 > 0 Como no item anterior, temos que estudar os sinais de

f(x) = –x2 + 4. Raízes: –x2 + 4 = 0 ⇒ x1 = –2 e x2 = 2 a = –1 < 0 ⇒ concavidade para baixo

+– –

–2 2 x

Pelo gráfi co, vemos que a função é positiva quando –2 < x < 2.

C) 2x2 – x + 5 > 0

Raízes de f(x) = 2x2 – x + 5: ∆ = –39 ⇒ não há raiz real. a = 2 > 0 ⇒ concavidade para cima

x

Todos os pontos da parábola têm ordenada positiva, logo, o polinômio 2x2 – x + 5 é sempre positivo qualquer que seja x real. O conjunto solução é .

Questão 11 Comentário: O gráfico de f(x) está abaixo do gráfico de g(x)

nos intervalos em que as imagens f(x) são menores que g(x).

Daí, basta resolvermos a inequação f(x) < g(x).

6 – x2 < x2 ⇒ –2x2 + 6 < 0

Raízes de h(x) = –2x2 + 6:

–2x2 + 6 = 0 ⇒ 2x2 = 6 ⇒ x2 = 3 ⇒ x ou x= − =3 3

Sinais:

¹3–¹3 x

+

––

Portanto, x < –¹3 ou x > ¹3.

Questão 12

Comentário: A função y = px2 + x + p4

é sempre positiva se

seu gráfico tiver a seguinte forma:

x

Para isso, devemos ter p > 0 e ∆ < 0. Logo:

∆ < ⇒ − < ⇒ − <0 1 44

0 1 02 2. .p p p

–1 1p

+

– –

Portanto, para ∆ < 0, temos que p < –1 ou p > 1.

Fazendo a intersecção com p > 0, concluímos que, para a

desigualdade do exercício ser verdadeira, para todo x real,

devemos ter p > 1.

EM1MPV2_MAT.indd 18 05/01/18 15:53

Mat

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Manual do Professor



A) f(x)=kx2+(k–2)x+k≤0paratodox, quando f(x) tiver gráficosdaforma:

x

ou

x

Assim,devemosterD<0ouD=0ek<0.Logo: D ≤ 0⇒ (k–2)2–4.k.k≤0⇒–3k2–4k+4≤0

Raízes:k=–2ouk= 23

Sinais:

k

–223

+

––

Portanto,paraD ≤ 0,temosk ≤–2ouk≥ 23.Entretanto,

comokdevesermenorquezero,asoluçãoék ≤ –2.

B) f(x)=(k–1)x2+4(k–1)x+k>0paratodox quando f(x)possuirumgráficodotipo:

x

Portanto,devemoster(k–1)>0eD< 0.Assim:

k>1e[4(k–1)]2–4.(k–1).k<0⇒

16(k–1)2–4k2+4k<0⇒

12k2–28k+16<0⇒3k2–7k+4<0

Raízes:k=1ou 43

Sinais:

k1 43

+ +

–

Portanto, fazendoa intersecçãodosvaloresencontrados

para k,temos1 43

< <k .

C) f(x)=(k2–1)x2+2(k–1)x+1>0paratodox quando ográficodef(x)édaforma:

x

Paraisso,ascondiçõessão: ( )( )IkII

2 1 00

− >∆ <

(I) k2–1>0

Raízes:k=–1ouk=1

Sinais:

k–1 1

++

–

Logo,k<–1ouk>1.

(II)D < 0⇒[2(k–1)]2–4(k2–1).1<0⇒

4(k–1)2–4k2+4<0⇒–8k+8<0⇒k>1

Fazendoainterseção,temosk>1.

Questão 14 – Letra BComentário:Paraanalisaradesigualdade,vamosordenarosvaloresdadosefazeroestudodossinais:

–42+ + ––

Logo,ográficoédaforma:

xO

y

Como a função possui duas raízes reais e distintas, temos ∆ > 0,logo,b2–4ac>0.

Questão 15 – Letra AComentário: Resolvendo a inequação 2n2–75n+700≤0,

temos:

Raízes:n=17,5oun=20

Estudodossinais:

n17,5 20

+ +

–

Osnúmerosnaturaisquepertencemàsoluçãosão18,19e20.


A) 3– x2

0≥

Odenominadoréconstanteepositivo,portanto,paraquea

fraçãofiquemaiorouigualazero,devemosteronumerador

nãonegativo:

3 – x ≥0⇒ x ≤ 3

EM1MPV2_MAT.indd 19 10/01/18 10:43

20 Coleção EM1

B) –35 – x

0≥

Umafraçãoalgébricasetornaigualazerosomenteseseu

numeradorforzero.Contudo,sabemosque(–)(–)

( )= + .

Assim,devemoster5–x<0oux>5.

C) ++

<2x 1x 2

0

Inequaçõesnaformaf(x).g(x)<0ou f(x)g(x)

0< podemser

resolvidascomousodoquadrodesinais.Antes,estudamosossinaisseparadamente.

f(x)=2x+1

Raiz:2x+1=0⇒ x –12

=

a=2>0⇒ reta ascendente

+–x–1

2

g(x)=x+2 Raiz:x+2=0⇒ x = –2 a=1>0⇒ reta ascendente

+–

x–2

Quadrodesinais:

–

+

+

–

+

+–

+

–

2x + 1

x + 2

Quociente

–2 –12

Oquocienteénegativopara–2<x<–12

.

D) (2–x).(5–x)>0 O produto resulta em uma inequação do 2º grau, cuja

resoluçãoenvolveestudodossinaisdafunçãoquadrática: 10–2x–5x+x2>0 x2–7x+10>0 Raízes:(2–x)(5–x)=0⇒ x1 = 2 e x2 = 5 a=1>0⇒concavidadeparacima

+ +

2 5 x

A função é positiva quando x < 2 ou x > 5.

E) (x+2).(–2+x).(3–x)≥0 Nesse caso, faremos o estudo de sinal de cada função

afimseparadamente. f(x) = x + 2

Raiz:x=–2

+–

x–2

g(x)=–2+x Raiz:x=2

+–

x2

h(x)=3–x Raiz:x=3

+ –x3

No quadro de sinais, escrevemos as raízes em ordemcrescente:

–

+

+

–

+

–

+

+–

+

+

–

g (x)

– ++ +

–2 2 3

f (x)

h (x)

Produto

Temosf(x).g(x).h(x)≥0parax≤ –2 ou 2 ≤ x ≤ 3.

EM1MPV2_MAT.indd 20 10/01/18 10:43

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Manual do Professor


F) x(4 – x)2 – x

0–x 4x

2 – x0

2

≤ ⇒+

≤

Observequearaizdodenominadornãopoderápertenceràsolução.

Sinais de –x2 + 4x: Raízes: –x2+4x=0⇒ x1=0ex2 = 4

a=–1<0⇒ concavidade para baixo

+

– –

0 4x

Sinais de 2 – x: Raiz: x = 2 a=–1<0⇒ reta descendente

+ –

x2

Quadro de sinais:

–

–

–

–

–

+

+

–+

+

+

+

0 2 4

–x2 + 4x

2 – x

Quociente

O quociente émenor ou igual a zero para x ≤ 0 ou 2 < x ≤ 4.

G) 1x

x

1x

– x 0

1– xx

02

<

<

<

Sinaisde1–x2: Raiz:1–x2=0⇒ x1=–1ex2=1 a=–1<0⇒ concavidade para baixo

+– –

–1 1 x

Sinais de x: Raiz:x=0

+–

x0

Quadro de sinais:

–

+

–

+

+

+

–

+–

+

–

–

–1 0 1

1– x2

x

Quociente

Solução:–1<x<0oux>1.

H) ≥≥

x xx – x 0

3

3

Gráficosdepolinômiosdo3ºgraunãosãotriviais,portanto

fatoramoseobtemosumainequação-produto:

x(x2–1)≥0

Quadro de sinais:

–

–

+

+

–

–

–

–+

+

+

+

–1 0 1

x

x2 – 1

Produto

Solução:–1≤ x ≤0oux≥1.


A) =+

f(x)2 – x

x 3 Aexpressãodafunçãorepresentaumnúmerorealquando

asseguintescondiçõessãoverificadas:

2 – x 0x 3 0

x 2x –3

–3 x 2≥+ >

⇒ ≤

>

⇒ < ≤

B) =f(x)x

x –1

A função existe quando ocorrer ≥>

x 0x 1

. Portanto,

D={x∈ |x>1}porquetodonúmeromaiorque1émaior

que zero.

C) =f(x)2x –3

x–1

Nessecaso,devemosterx≠0e:

2x –3x

–1 0

x –3x

0

≥ ⇒

≥

EM1MPV2_MAT.indd 21 22/12/17 07:32

22 Coleção EM1

Sinais de x – 3 Raiz: x = 3

+–

x3

Sinais de x Raiz:x=0

+–

x0

Quadro de sinais:

–

+

+

–

+

+–

+

–

0 3

x – 3

x

Quociente

Resposta:x<0oux≥ 3

D) =f(x) x – 42

A condição é x2 – 4 ≥0. Raízes: x2–4=0⇒ x1 = –2 e x2 = 2

a=1>0⇒concavidadeparacima

+ +–2 2 x

Domínio:x≤ –2 ou x ≥ 2

E) =f(x)x – 91– x

2

Deve ocorrer, aqui, ≥x – 91– x

02

e x ≠1.

Estudaremosossinaisseparadamente.

g(x)=x2–9 Raízes: x2–9=0⇒ x1 = –3 e x2 = 3

+ +–

–3 3 x

h(x)=1–x Raiz:1–x=0⇒x=1

+ –

x1

Quadro de sinais:

+

–

+

–

+

–

+

+–

–

+

–

–3 1 3

x2 – 9

1 – x

Quociente

Domínio:x≤–3ou1<x≤ 3.

Questão 18 – Letra A

Comentário:Comosetratade inequaçãodotipo ≥f(x)g(x)

0,

usaremosoquadrodesinais:

+

–

–

+

+

+

–

+–

–

+

–

–3 –1 2

f(x)

g(x)

Quociente

Asraízesdeg(x)nãopodemsersoluções, logo,oconjuntosoluçãoé{x∈ |x<–3ou–1≤x<2}.

Questão 19 – Letra BComentário: Queremosencontrarosvaloresdex para que

0<f(x)≤4.Assim:

2 2

30

2 2

34

x

xI

x

xII

+−

>

+−

≤

( )

( )

Soluçãode(I):

g(x)h(x)

02x 2x – 3

0> ⇒+

>

Estudodesinaisdeg(x)eh(x):

–1g(x) = 2x + 2

–

+

3h(x) = x – 3

–

+

EM1MPV2_MAT.indd 22 22/12/17 07:32

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Manual do Professor


Quadro de sinais:

h(x)

g(x)

g(x) = 2x + 2

–1 3

h(x) = x – 3

–

–

––

+

+ +

+

+

Logo,x<–1oux>3.

Soluçãode(II):

2x 2x 3

42x 2x 3

– 4 0–2x 14

x 30

p(x)h(x)

0+

−≤ ⇒

+−

≤ ⇒+

−≤ ⇒ ≤

Estudodesinaisdep(x)eh(x):

7p(x) = –2x + 14

–

+

3h(x) = x – 3

–

+

Devemoslembrarqueh(x)≠0.

Quadro de sinais:

h(x)

p(x)

p(x) = –2x + 14

3 7

h(x) = x – 3

–

–

–

–

+

+

+

+

+

Logo,x<3oux≥ 7.

Portanto,asoluçãoéaintersecçãode(I)e(II):x<–1oux≥ 7.

Questão 20 – Letra AComentário: Se o gráfico passa pelo ponto (1, 0), então

f(1)=0.

Logo, f(1) = (k2 – 4).1+ 3k= 0⇒ k2 + 3k – 4= 0⇒

k=–4ouk=1(I)

Comofédecrescente,temos:

k2–4<0⇒–2<k<2(II)

Assim,obedecendoàsrestrições(I)e(II),temosquek=1.

Portanto, a lei da função é f(x) = –3x + 3.

Parax=–2,obtemosy=9,portanto,ográficopassapor

(–2,9).

Desafio

Questão 01 – Letra DComentário: A condição do enunciado equivale a descobrir os valores de a para os quais a solução positiva de ax2+x–1=0estejaentre0,5e1.Assim:

<+ +

<12–1 1 4a

2a1

• <+ +

⇒ <+ +

⇒ + ≤ + ⇒

+ + < + ⇒ < ⇒ < <

1

2

–1 1 4a

2a1

–1 1 4aa

a 1 1 4a

a 2a 1 4a 1 a –2a 0 0 a 22 2

• + +

< ⇒ + > + ⇒ + + > + ⇒

> ⇒ ∈

–1 1 4a2a

1 2a 1 1 4a 4a 4a 1 4a 1

4a 0 a *

2

2

Aintersecçãoentreasduascondiçõesé0<a<2.

Questão 02Comentário:Oenunciadopergunta,emoutrostermos,ovalor

mínimo da função = = +f(x)– g(x) h(x)x2

–3x 5,2

valor que é

dado por =

= = + =h(x ) h3

2.12

h(3)32

–3.3 512

.v

2

Questão 03 – Letra DComentário: Para qualquer mpertencenteaodomínio,temosqueg(m)=f(–m)=am2–bm+c.AalturarelativaaoladoPQmedec.AmedidadabasePQénumericamenteigualaomódulodadiferençaentreasmaioresraízesdasequações:

+ + + +=

b b 4ac2a

––b b 4ac

2aba

2 2

Assim,aáreaS é dada por:

=Sc2.ba

Assim,apenasaalternativaDpodeestarcorreta.


Questão 01 – Letra AComentário:Comoaparábolatemconcavidadevoltadaparacima,ográficodeveserdaseguinteforma:

3

y

x

ou 3

y

x

Nesses casos,ovalormínimodeve sermaiorque3. Logo:

> ⇒ −∆

> ⇒ ∆ < −

− < − ⇒ − <

y 34a

3 12a

m 40 24 m 16 0

v

2 2

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24 Coleção EM1

4 m–4+ +

–

Assim,paraqueaparábolanãointerceptearetay=3,devemoster–4<m<4.

Questão 02 – Letra AComentário:Comoasraízessãox1=0ex2 = 2, a expressão da funçãoédaformay=a(x–0)(x–2)ouy=ax2–2ax,coma>0.Logo,aalternativacorretaéaA,poisy=(x–1)2–1⇒ y = x2 – 2x.

Questão 03 – Letra DComentário:Usandoaformafatoradadafunçãodesegundograu,cujasraízessão2e5enaqualf(0)=10,f(x) = a(x – 2)(x – 5)f(0)=10=a(0–2)(0–5)⇒a=1y=1.(x–2)(x–5)=x2 –7x+10

Questão 04 – Letra DComentário:Dafórmulageraldafunçãoquadrática,temosqueográficotemconcavidadevoltadaparabaixo(a<0)econtémoponto(0,–1),portantoc=–1.Aabscissadovérticeéxv=1,

logo, –b2a

1 b –2a= ⇒ = .

Assim,y=ax2–2ax–1.Comooeixoxétangenteàparábola,então D=0:(–2a)2–4a(–1)=04a2+4a=04a(a+1)=0⇒a=–1oua 0= (a<0)Portanto,b=2.


A) Sendo x e yasmedidasdedoisladosnãoparalelos,temos2x+2y=10e,logo,x+y=5.Assim,y=5–x,eaáreaSpodeserexprimidacomo:

S = x.y = x(5 – x) = –x2 + 5x Comoasmedidassãopositivas,temos: x>0ey>0⇒y=5–x>0⇒ x < 5 Assim,0<x<5.B) O valor de xquemaximizaaáreaS é o vértice da função

desegundograuy=–x2 + 5x, dado por = =x–5–2

2,5 cm.V


54 A

1

2 xxAO

y

ParacalcularaabscissaxA,vamosdeterminaroscoeficientesda função y = ax2 + bx + c.c 1

–b2a

2

4a 2b c 5

b –4a4a 2b 4

4a–8a 4 a –1, b 4

=

=

+ + =

⇒ =+ =

⇒ = ⇒ = =

Assim,obtemosy=–x2+4x+1.Paray=4,temos–x2+4x+1=4,cujasraízessãox=1oux=3.Logo,acoordenadax do aro é 3.

Questão 07 – Letra DComentário: Receita – custo = lucro10x–(–x2+22x+1)=44x2–12x–45=0Asoluçãopositivaéx=15.

Questão 08 – Letra DComentário:Ocomprimentodatelaéde36m,logo3x+4y=36. Agrandezaasermaximizadaéaárea,daíescrevemosA=2xy.

Isolandoyem3x+4y=36,temos =y 9 –34

x . Substituindo emA,

obtemos:

=

= +

A 2x 9 –34

x

A –32

x 18x (função área)2

Aáreamáximaédadapor ∆–4a:

= =A–324–6

54 m .Máx

2

Questão 09 – Letra DComentário: Conforme o enunciado, o gráfico deve ter aseguinteforma:

4x

y

Portanto,temosacondiçãof(4)<0.

Assim,16+4m–28<0⇒4m<12⇒m<3.

Questão 10 – Letra AComentário: Ummodelomatemáticoparaasituaçãodadapodeseroseguinte:

y

x

3

O 4 32 64

Vamosencontraraequaçãodaparábolaapartirdey=ax(x–64).

Comoelapassapor(4,3),temos4a(4–64)=3⇒ =a –180

.

Assim, =y –x80

(x – 64).

Substituindo =+

=+

=xx x

20 64

232

v1 2 ,obtemosaalturamáxima:

=

=

y –3280

(32 – 64)

y 12,8 m.

v

v

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Manual do Professor


Questão 11 – Letra AComentário:A) Falsa. Resolvendo a equação –3t2 + 24t + 27 = 63,

encontramos t = 2 e t = 6 como soluções. Assim, oreservatóriocontém63000litrosdeáguaàs10horaseàs14horas.

B) Verdadeiro. –3t2 + 24t + 27 = 0 possui raízes t=–1et=9sendoqueodomínioé0<t<8.Logo,V(t)ésemprepositivonohorárioestipulado.

C) Verdadeiro.Encontrandoasraízesdaequaçãoaseguir: –3t2 + 24t + 27 = 75 ⇒ –3t2+24t–48=0 D = 242–4.(–3)(–48)=576–576=0 O que indica que a função nunca é positiva.

D) Verdadeiro. O vértice da abscissa é:

= =t–(24)2.(–3)

4v

Assim,8h+4h=12h.Confirmandoquenapartedamanhã(t<4)afunçãoécrescenteenapartedatarde (t > 4) é decrescente.

Questão 12 – Letra BComentário: A abscissa do vértice da função determina omêsparaoqualonúmerodehorasdeestudofoimáximo,no

caso, =–14–2

7.Assim,eleestudouomaiornúmerodehoras

emjulho,osétimomês.

Questão 13 – Letra CComentário:Aalturamáximah queabolaatingeédada

pela ordenada do vértice da função = +y –x2

4x2

, dada por

h y –

4.a

–4

4. –1

2

16

28

v

2

= = ∆ =

= =

Questão 14 – Letra DComentário: Observe o esboço da parábola.

y

x

43

1O 5 9

A) Verdadeira:simetria.B) Verdadeira:concavidadeparacima.C) Verdadeira:oeixodesimetriapassapelovértice.D) Falsa: a parábola corta o eixo yemumpontodeordenada

acimade4.

Questão 15 – Letra DComentário: A temperaturamáximaT atingida é tal que

= =

= = + + =T f(t ) f–8–2

f(4) –4 8 . 4 20 36.v

2

Questão 16 – Letra BComentário:Comof(0)=–1,c=–1,ea funçãotemummínimo,a>0,issoérepresentadopelaalternativaB.

Questão 17 – Letra BComentário:Asraízessãox=0oux=a.Então,aabscissa

do vértice é a2

.

Etemosaordenadadovérticetambémigualaa2

. Substituindo essevalornafunção,obtemos:y ax a x

a2

a.a2a

a2

1 a.a2

a 2 a 22

( )= −

= −

⇒ = ⇒ = ⇒ = ±

Comoa>0⇒ a = ¹2.


L(q)=100(10–q)(q–2)

A condição é L(q) ≥1200.

100(10–q)(q–2)≥1200

–q2+12q–32≥0

Raízes: –q2+12q–32=0⇒ q1 = 4 e q2=8

a=–1<0⇒ concavidade para baixo

+

4 8 q

Há lucro quando 4 ≤ q ≤8,oquelevaàalternativaC.

Questão 19 – Letra DComentário: Observeoesboçodográfico.

y

x

3

30 6

AalternativaDéfalsa,porquey<0quandox<0oux>6.

Questão 20 – Letra DComentário: Sendo x e y asmedidas de dois lados nãoparalelosdoretângulo,2x+2y=60,assim,x+y=30.SendoS aáreadoretângulo,S=x.y=x(30–x)=–x2+30x=f(x). A áreamáximaA é dada pela ordenada do vértice desta

função f,ouseja, =

= = + =A f–30–2

f(15) –15 30 . 15 225 m .2 2

Questão 21 – Letra DComentário: Dada a função f(x) = 6x2–24x+2,deseja-seencontrar f(a + x) = f(a – x) para todo xrealcoma constante.Assim:

+ = ⇒

+ + + = + ⇒

+ + = + + ⇒= + ⇒ = ⇒ =

≠ ⇒ = ⇒ =

f(a x) f(a– x)

6(a x) –24.(a x) 2 6(a– x) –24.(a– x) 2

6a 12ax 6x – 24a –24x 6a –12ax 6x – 24a 24x12ax –24x –12ax 24x 24ax 48x ax 2x

x 0 ax 2x a 2

2 2

2 2 2 2

Logo,f(2+x)=f(2–x).

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26 Coleção EM1

Questão 22 – Letra CComentário: A profundidade a ser alcançada é dada, em

metros, por = +

=–f(6) – –6

4– 6

22 10 m.

2

Questão 23 – Letra EComentário: Sendo x o número de diminuições de 10 centavos no preço do sanduíche, a receita R(x) será dada por R(x) = (4 – 0,1x)(150 + 5x) = –0,5x2 + 5x + 600, que será

maximizada para = =x–5

2(–0,5)5

v, o que implica sanduíches

custando R$ 3,50.

Questão 24 – Letra CComentário: A função f(x) = x2 + 10x + 16 cruza o eixo y em x = 2 e x = 8. Como a concavidade dela está apontada para cima, a solução de f(x) < 0 é 2 < x < 8 e, logo, cinco inteiros (3, 4, 5, 6, 7), satisfazem a inequação constante do enunciado.

Questão 25 – Letra CComentário: Como o gráfico da parábola é simétrico em relação ao eixo vertical que passa pelo vértice, além de x = 0,

=x –12

é raiz da função f. Usando a forma fatorada da função

quadrática:

= +

= = +

⇒ =

= +

=

f(x) a(x – 0) x12

f(2) 1 a(2 – 0) 212

a15

f(1)15

(1– 0) 112

310


A abscissa de V é x bv

= −2

. Se OA = 2(OV), então OA = –b.

Assim, temos os pontos –b2

, 0 e 0, –b( )

.

b4

–b2

c 0

c –b

–b4

–b 0 –b – 4b 0 b b 4 0

b 0 ou b –4

2 2

22 ( )

+ =

=

= ⇒ = ⇒ + =

= =

Como xv ≠ 0, devemos ter c = 4.


x Mês Quantidade Preço Receita

0 Dezembro 124 15,00 1 860,00

1 Janeiro 120 16,00 1 920,00

Após x meses, sua receita será:

R(x) = (124 – 4x)(15 + x)

R(x) = –4x2 + 64x + 1 860

O valor de x que fornece a receita máxima é a abscissa do

vértice: = = =x –b2a

–64–8

8v (mês de agosto).

Questão 28 – Letra CComentário: Se existem 2 raízes distintas, então x1 < x2 e x1 < xv < x2. Dado que –2 < x1 < xv < x2 < 3, temos que:

–2 < –b2a

< 3 ⇒

–4 < –b < 6 ⇒

4 > b > –6 ⇒ –6 < b < 4.

Questão 29 – Letra AComentário: O tempo t decorrido até o contato com a água

é dado por h(t) = 30t – 3t2 = 0, ou seja, t = 10s. Sua altura

máxima H é dada pela ordenada do vértice da função h,

ou seja, =

= = =H f–30

2(–3)f(5) 30.5 –3.5 75.2


• a > 0, pois a concavidade da parábola está apontada para

cima.

• b < 0, pois a parábola esta “descendo“ ao interceptar o

eixo y.

• c > 0, pois o ponto de encontro do gráfico da função com

o eixo das ordenadas está acima do eixo das abscissas.

Questão 31 – Letra DComentário: O valor máximo de y é a ordenada do vértice

de y. Assim:

= =∆

= =+

⇒

= ⇒ =

y78

–4a

–(b – 4ac)4a

–(225 4m)4m

28m –32m–1 800 m –30

V

2

Questão 32 – Letra AComentário: Pelos dados do enunciado, f(0) = b = 300 e f(10) = 0. Assim:

= = + ⇒ == + =

f(10) 0 a.10 300 a –3f(8) (–3).8 300 108

2

2

Questão 33 – Letra AComentário: O enunciado pergunta para quais valores de x f(x) > g(x), ou, equivalentemente, x2 + x – 2 > x + 2, ou seja,

x2 – 4 > 0, cuja solução é S {x |x (– , –2) (2, )}.= ∈ ∈ ∞ ∪ + ∞


A) f(x) > g(x) x – 14 > –x2 + 6x – 8 x2 – 5x – 6 > 0

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Raízes: x2 – 5x – 6 = 0 ⇒ x1 = –1 e x2 = 6

+ +

–1 6 x–

Solução: x < –1 ou x > 6.

B) f(x) + k ≥ g(x) x – 14 + k ≥ –x2 + 6x – 8 x2 – 5x – 6 + k ≥ 0 para todo x. O gráfi co deve ser como indicado a seguir:

x

x

Portanto, deve ocorrer ∆ ≤ 0. b2 – 4ac ≤ 0 25 – 4(–6 + k) ≤ 0 25 + 24 – 4k ≤ 0 – 4k ≤ –49

≥k494

O menor valor é =k494

.

Questão 35 – Letra DComentário: A soma S das área dos retângulos indicados é dada por:

S = x(27 – x) + x(21 – x)= x(48 – 2x) = –2x2 + 48x

O valor de x que maximiza S é dado por = =x–482.(–2)

12.

Questão 36 – Letra AComentário:

4y 4 – x y4 – x

4– x 5x – 4

4 – x4

–4x 20x –16 4 – x 4x –21x 20 0

Raízes :x 4 y 0

x54

y1116

2

2 2

= ⇒ = ⇒ + = ⇒

+ = ⇒ + =

= ⇒ =

= ⇒ =

Com estas coordenadas, o gráfico delimitado é:

y

xO

Questão 37 – Letra CComentário: Alguns dos possíveis gráficos são os seguintes:I.

x

y

1O

II.

x

y

1O

III.

x

y

1O

Se a > 0, então as raízes são menores ou maiores que 1 (Por I e II).Se a < 0, só existirá valores negativos de f(x) para valores de x entre as raízes.Se a < 0, então x = 1 está entre as raízes (Por III).

Questão 38 – Letra AComentário: Função receita: y = a(q – q1)(q – q2)y = aq(q – 500)O ponto (250, 125 000) pertence à parábola, logo:a.250.(250 – 500) = 125 000 ⇒ a = –2Função custo: y = mq + nOs pontos (50, 45 000) e (350, 105 000) pertencem à reta, logo:

=∆∆

= = =myq

105 000 – 45 000350 –50

60 000300

200

Para calcular n, substituímos o ponto (50, 45 000): 200 . 50 + n = 45 000, n = 35 000 (o que pode ser observado também por meio do gráfico).Função lucro:L(q) = –2q(q – 500) – (200q + 35 000)L(q) = –2q2 + 800q – 35 000.

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28 Coleção EM1

Questão 39 – Letra DComentário: Seja x o preço unitário. A função que descreve a quantidade vendida é do tipo y = ax + b, em que:

ayx

600 90016 10

50=∆∆

=−−

= −

Para calcular b, escolhemos o ponto (10, 900):

900 = –50 . 10 + b ⇒ b = 1 400

Receita = (preço unitário).(quantidade vendida)

R(x) = x.(–50x + 1 400)

R(x) = –50x2 + 1 400x

O preço que fornece a receita máxima é dado pela abscissa do vértice:

xb2a

x1 400

100x R$14,00.

v v v= − ⇒ = −

−⇒ =


A) g(x) = ax + b g(0) = 1 = a.0 + b ⇒ b = 1 g(–1) = 0 = –a + 1 ⇒ a = 1 g(x) = x + 1

B) Como 2 é raiz da função quadrática e a abscissa do vértice é 3, 4 também será raiz. Usando a forma fatorada:

=

= = ⇒ =

=

f(x) a(x –2)(x – 4)

f(0) 3 a(0 –2)(0 – 4) a38

f(x)38

(x –2)(x – 4)

C) ≤ ⇒ + ≤ + ⇒

+ ≤ + ⇒

+ ≤ ⇒ ∈

f(x) g(x)38

(x – 6x 8) x 1

3x –18x 24 8x 8

3x –26x 16 0 x23

,8

2

2

2

Questão 41 – Letra CComentário: Tanto no primeiro quanto no segundo trecho, a concavidade da parábola está voltada para baixo, pois a < 0.

Questão 42 – Letra BComentário: f(x) > 0 para todo x significa ∆ < 0:

100 – 20 µ < 0 ⇒ µ > 5. Logo, µ ⇒ ]5,+∞[.

Questão 43 – Letra AComentário: Peso da pedra antes de se quebrar:C(x) = 110x2 + 10 = 110x = 10 gramasEle a venderia por V(10) = 129,00. Mas ela se partiu em duas: a e (10 – a) gramas. O valor de venda será, então:V(a) + V(10 – a) = (a + 1)2 + 8 + (10 – a + 1)2 + 8V = 2a2 – 20a + 138

O valor mínimo ocorre quando =a204

⇒

a = 5 (abscissa do vértice)

Assim, ele venderia as duas por 2.V(5) = 2 . 44 = R$ 88,00. Como ele pagou R$ 110,00, seu prejuízo foi de R$ 22,00.

Seção EnemQuestão 01 – Letra DEixo cognitivo: III


Habilidade: 21

Comentário: Considere a imagem a seguir para a resolução da questão.

10X

Y

h

3

9XV

x1 = 0

x2 = 10

Y = a ⋅ (x – x1) ⋅ (x – x2)

Y = a ⋅ (x – 0) ⋅ (x – 10)

Y = a ⋅ x ⋅ (x – 10)

P/(9,3) ⇒ 3 = a ⋅ 9 (9 – 10) 3 = – 9a

a = 13

−

Y = 13

− ⋅ x ⋅ (x – 10)

P/x = 5 ⇒ y = h = 13

− ⋅ 5 ⋅ (5 – 10)

h = 253

m .



Habilidade: 21

Comentário: Para desenhar o gráfico da função y = 9 – x2, devemos determinar suas raízes, ou seja:

Raízes: 9 – x2 = 0 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = ± 3

Como o gráfico toca o eixo y no termo independente de x, temos o gráfico a seguir:

–3 3

6

9

Retângulo

9

6

9y

x

A área da parte frontal é 23

da área do retângulo de base 6 e

de altura 9, portanto 23

. 6 . 9 = 36 m2.

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Habilidade: 25

Comentário:Atemperaturamáximadaestufaédadapelacoordenada ydovérticedográficodafunçãodesegundograuquemodelaatemperaturadaestufaemfunçãodohorário:

y –4a

–(22) – 4.(–1).(–85)4.(–1)

36V

2

= ∆ = =

Logo,como30≤36≤43,atemperaturanaestufaéclassificadacomoalta.



Habilidade:21

Comentário:Considerandoqueatemperaturaatinge48°Cparaalgumt,talque0≤t<100,temos:

+ = ⇒ + = ⇒ =75

t 20 48 7t 100 240 t 20

ConsiderandoqueT=200quandot≥100,podemosmontaraequação:

2125

t165

t 320 200

t 200t 7 500 0

40 000 30 000 10 000

t200 100

2

t 150

t 50 (não compatível com t 100)

2

2

1

2

− + =

− + =

∆ = − =

=±

⇒=

= ≥

Portanto, a peça permanece no forno entre t = 20min e t=150min.

150–20=130minutos.



Habilidade: 25

Comentário:

R(x)=kx(P–x)

R(x)=–kx2+kPx,comk>0⇒–k<0

Ográficodessafunçãoéumaparábolacôncavaparabaixo, easraízessãoiguaisazeroeaP.



Habilidade:21

Comentário:

R(x)=–kx2+44000kx

Ovalormáximoocorrequandoxforiguala:

x ba

kkv

= − = −−( ) =

244 000

222 000

22 000 44 000O

y

x



Habilidade:21

Comentário:QuandoC(p)=R(p),temos:

2p+68=–2p2+40p

2p2–38p+68=0

p2 – 19p + 34 = 0, cujas raízes são p = 2 e p = 17. Portanto,omenorbreak-even point ocorre para p = 2.

Questão 08 – Letra CEixo cognitivo: IIICompetência de área: 5Habilidade:21Comentário:

Preço unitário Quantidade vendida

60 30

60–2 30+3

60–2.2 30+3.2

60–2x 30+3x

Afunçãoreceitaéexpressapor:R(x)=(60–2x)(30+3x)R(x) = –6x2+120x+1800

O valor de xparaoqualareceitaassumeseumaiorvaloré:

x bav

= − = −−( ) =

212012

10

Portanto,alojadeverávender30+3.10=60camisasaopreçode60–2.10=40reaiscadauma.

Questão 09 – Letra AEixo cognitivo: III


Habilidade:21

Comentário:Sejay=a(x–x1)(x – x2) a equação procurada, emque x1 e x2 são as raízes.De acordo como referencialescolhidonafigura,temosy=a(x+80)(x–80).

Paracalcularovalordea,tomamosoponto(0,64)pertencenteàparábola:64=a(0+80)(0–80)⇒ 64=a.80(–80)⇒ 64=–6400a⇒

a = − 1100

Portanto, = +y –1

100(x 80)(x – 80).

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30 Coleção EM1



Habilidade:21

Comentário:

Integrantes Valor por pessoa

30 12

30–1 12+2

30–2 12+2.2

30–x 12+2x

Funçãoreceita:R(x)=(30–x)(12+2x)

R(x) = –2x2+48x+360

Ovalormáximoéatingidopara x bav

= − = −−( ) =

2484

12.

Portanto,onúmerodeintegrantesdeveser30–12=18.



Habilidade:21

Comentário:

T(n)=(40–n)(40+2n)

T(n) = –2n2+40n+1600

O valor de nquedáamaiorreceitaén bav

= − = −−( ) =

2404

10.

Portanto,areceitamáximaé:

T(10)=(40–10)(40+20)

T(10)=1800reais.

CAPÍTULO – B3Divisibilidade, MDC e MMC


Questão 01 Comentário: De acordo com os dados do enunciado eutilizandoapropriedadedadivisão,temos:

D dr q

d.q r

x y7 11

x y.11 7

⇒ +

⇒ = +

Sabemosque,obrigatoriamente,0≤r<d⇒ d > r ⇒ y > 7.

Assim, observe que o menor valor de x ocorre quando substituímosy pelomenor valor que satisfaça à restrição, ouseja,y=8.Portanto,x=8.11+7=95.

Questão 02 Comentário: De acordo com os dados do enunciado eutilizandoapropriedadedadivisão,temos:

604 dr

d r14

604 14⇒ = +

Sabemosque,obrigatoriamente,0≤r<d,parar e d ∈ . Entretanto,comor=0nãoatendeàequação,temos:0<r<d

Assim:

14d 14d r 15d 14d 604 15d

14d 604

604 15d

d 43,1

d 40,341 d 43

< + < ⇒ < < ⇒

<

<

⇒<

>

⇒ ≤ ≤

Logo,dpodeassumirosseguintesvaloresnaturais:41,42e43. Portanto, N = 3 divisões possíveis.

Questão 03Comentário:Pelapropriedadedadivisão,temos:

320=x.q1 + 5 ⇒315=x.q1(315émúltiplodex)

248=x.q2 + 3 ⇒ 245 = x.q2(245émúltiplodex)

Assim, comox é divisor tanto de 245 quanto de 315, elepodeassumirovalordequalquerfatorprimooudequaisquercombinaçõesdefatoresprimoscomunsentre315e245,sendo,nomáximo,igualaoMDCde315e245.ObservequeissoéoequivalenteatodososdivisoresdoMDCde315e245.

Assim:

315 3 .5 . 7245 5 .7

MDC(315, 245) 5 . 7 352

2

==

⇒ = =

Divisoresde35:(1,5,7,35)

Porém, esses divisores, para satisfazerem às condições doproblema, devem sermaiores que os restos apresentadosinicialmente.

Assim,x=7oux=35.Portanto,asomadospossíveisvaloresdex é 42.

Questão 04Comentário:Deacordocomapropriedadedadivisãoecomosdadosdoenunciado,temos:

⇒ = + ∈D 12r q

D 12q r, comD, q e r

Comoq=¹r ⇒ q2=r,esabendoque0≤r<12,temos:

0 q 12 0 q 3

q 0q 1q 2q 3

2≤ < ⇒ ≤ ≤ ⇒

====

Logo:

D q q

DDDD

= + ⇒

====

12

0132845

2

Portanto, a soma dos possíveis valores dos dividendos é:S=13+28+45=86.

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Questão 05Comentário: A divisão entre o dividendo D e o divisor d pode ser representada na forma D = d.q + r, em que q e r são o quociente e o resto da divisão, respectivamente. Como o quociente é sucessor do divisor q = d + 1, e como o resto é tal que 0 ≤ r < d, o maior resto r possível é tal que r = d – 1. Como D = 62, podemos escrever:

62 = d(d + 1) + (d – 1) = d2 + 2d –1 ⇒ d2 + 2d – 63 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau, vemos que sua única raiz positiva é d = 7. Logo, q = 7 + 1 = 8.

Questão 06 – Letra DComentário: Considerando que o resto é sempre menor que o divisor, que o quociente é o maior entre os três valores e que estes são consecutivos, podemos expressá–los por:

D xx x

++12

D = (x + 2).(x + 1) + x = x2 + 4x + 2

Para x = 2, D = 14; para x = 3, D = 23; e para x = 4, D = 34. Se D = 49, a equação do segundo grau x2 + 4x – 47 não tem soluções inteiras. Assim, 49 não pode ser dividendo dessas divisões.

Questão 07 – Letra DComentário: Considerando a propriedade da divisão e os dados do enunciado, temos:

Dr

dq

n7

12q

n 12q 71

1⇒ ⇒ = +

Queremos encontrar o valor do resto r, tal que n = 4q2 + r, com 0 ≤ r < 4. Assim:

12q1 + 7 = 4q2 + r ⇒ 12q1 + 4 + 3 = 4q2 + r ⇒

4 3 1 3 4 31 2

( )q q r r+ + = + ⇒ = .

Questão 08 – Letra DComentário: Num período de 4 anos, há exatamente 1 ano bissexto (a não ser no caso de um desses anos ser terminado em 00, mas essa opção não foi considerada na questão). Em um ano não bissexto há 365 dias. Dividindo esse número por 7, obtemos resto 1. Analogamente, o resto da divisão de 366 por 7 é dois. Logo, num período de 4 anos, temos 3 anos em que uma data qualquer “pula” um dia de semana de um ano para o próximo e um ano em que o “pulo” é de dois dias. Assim, em quatro anos, o pulo será de 5 dias, e o Natal será numa sexta-feira.


A) A soma dos algarismos de 32 145 é 15 (divisível por 3). Portanto, 32 145 é também divisível por 3.

B) Efetuando a subtração entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par, obtemos (1 + 8 + 6 + 9) – (3 + 3 + 7) = 11, que é divisível por 11. Assim, 1 383 679 é divisível por 11.

C) Para que um número seja divisível por 12, é necessário que seja divisível por 3 e 4. Como o número termina em 56, é divisível por 4. A soma de seus algarismos é 45 (divisível por 3). Então, 54 947 556 é divisível por 3 e 4 e, logo, por 12.

Questão 10 – Letra BComentário: Para um número ser divisível por 4 e por 9,

deve ser divisível pelo MMC desses dois números, ou seja, 36.

O menor número de três algarismos divisível por 36 é

108 = 36 . 3. O maior número natural de três algarismos

distintos é 987. Assim, 987 + 108 = 1 095, que, quando dividido

por 15, resulta em 73, número com apenas dois divisores

naturais (1 e 73).

Questão 11 – Soma = 10Comentário:

01. (Falso) Basta verificar como contraexemplo m = 6 e n = 10.

02. (Verdadeiro) Um número inteiro n divisível por 7 pode ser

escrito como n = 7.p, em que p ∈ . O quadrado de n

é tal que n2 = 72.p2, que tem 7 como fator primo. Logo,

o quadrado de n também é divisível por 7.

04. (Falso) Basta verificar como contraexemplo n = 4.

08. (Verdadeiro) Isso decorre do fato de os naturais serem

ilimitados “para cima”. Uma demonstração pode ser feita

da seguinte maneira: chamando de m o maior inteiro

menor que yx

(ou seja, m é a parte inteira de yx, e esse

número com certeza existe), basta tomarmos n = m + 1

(que pela indutividade dos inteiros também existe) e, então,

encontramos o n desejado.

16. (Falso) Basta verificar como contraexemplo qualquer

x real tal que 0 < x < 1.

32. (Falso) Basta verificar como contraexemplo = =m 2 en 2 2.

Questão 12 – Letra DComentário: 1015 = 215 . 515. Para o número ser divisor de

1015, ele deve ter como fatores primos apenas os números 2 e

5. Como 75 = 3 . 52, este não é divisor de 1015.

Questão 13 – Letra CComentário: Para que o número 7n6 seja divisível por

9, 7 + n + 6 = 13 + n, deve ser divisível por 9, logo, n = 5.

Como 56 é divisível por 4, o número 756 satisfaz as condições

do enunciado.

Questão 14 – Letra DComentário: Se ab000 é um quadrado perfeito, ab0 também

o é, pois resulta da divisão de n por outro quadrado perfeito,

no caso, 100. Se ab0 é divisível por 3, ele também o é por 9,

logo, a soma a + b deve ser divisível por 9. Como 990 não é

um quadrado perfeito, a + b = 9.

Questão 15 – Letra AComentário: Como 105 = 3 . 5 . 7, os divisores de 105 são 1,

3, 5, 7, 15, 21, 35, 105, cuja soma é 192.

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32 Coleção EM1

Questão 16 – Letra CComentário:Paradescobrirmosovalordenquegaranteque 3n seja divisor do produto dado, primeiro devemosfatorartodososnúmerosdesseprodutoquepossuemo3nasuacomposição.Assim,comosãocontados6múltiplosde3(3,6,9,12,15,18),utilizandoaspropriedadesdepotenciação,temos:3.6.9.12.15.18=31.(2 . 3).32.(22 . 3).(5 . 3).(2 . 32) = 24 . 38 . 5

Portanto,comooexpoentede3nadecomposiçãoemfatoresprimosdoprodutodadoé8,então,paraque3n divida esse número,ovalormáximoquenpodeassumiré8.

Questão 17 – Letra AComentário: O número de divisores de n é dado por 6=(a+1)(b+1).Comoa e bsãoestritamentepositivos,oua=1eb=2oua=2eb=1.Claramenteaprimeiraopçãogeraomaiornúmero,147,cujasomadosalgarismosé12.

Questão 18 – Letra DComentário: Para que um número seja divisível por 84=7 . 3 . 22, ele deve conter exatamente esses fatoresprimos.Como180=32 . 22.5,oúnicofatorprimofaltanteé7, que deve ser o númeromultiplicado por 180 (observe que 7.180=1260=84.15).

Questão 19 – Letra DComentário: 2a.3.6.20=2a+3 . 32.5.Assim,essenúmerotem(a+4).3.2=48divisoresea=4.

Questão 20 – Letra DComentário:Paraqueoscomprimentossejaminteiros,iguaiseosmaiorespossíveis,devemoscortarosfiosemcomprimentosiguaisaomáximodivisorcomumde36,48e72,queé12.Assim,

teremos + + = + + =3612

4812

7212

3 4 6 13 pedaços.

Questão 21 – Letra CComentário: Considere um númerox que seja divisívelpor 2, 3, 5 ou 7. Então, podemos escrever x comox = 2q1 = 3q2 = 5q3 = 7q4,comq1, q2, q3 e q4 ∈ .Aosomarmos1 aonúmerox, temos:

x+1=2q1+1=3q2+1=5q3+1=7q4+1

Dessemodo,(x+1)deixaresto1quandodivididopor2,3,5ou7.Comoqueremosomenornúmeroquesatisfaçaaessapropriedade, basta encontrarmos oMMC entre 2, 3, 5 e 7 esomar1aele.Logo,MMC(2,3,5,7)=2.3.5.7=210.

Portanto,onúmeropedidoé210+1=211.

Questão 22 – Letra BComentário: Considere totempodecorrido,emsegundos,apósas2horas.Nosinstantes4t,cairãogotasdaprimeiratorneira,assimcomonosinstantes6te10t,dasegundaeterceiratorneiras,respectivamente.Issosignificaqueosinstantesemqueaprimeira,asegundaeaterceirapingarãosãomúltiplosde4,6e10,nessaordem.Seastrêstorneiraspingamjuntasemuminstantet1, talvalordevesermúltiplode4,6e10,simultaneamente.Omenorvalor de t1éoMMCentre4,6e10,ouseja,60.Assim,deminutoemminuto,astorneiraspingamjuntase,portanto,das2hatéas 2h27min3s,elaspingaramjuntas27vezes.

Questão 23 – Letra DComentário:Considerandoas6horascomomarcozerodotempo,contadoemminutos,oônibusApartiráemhoráriosmúltiplosde 45 e o ônibus Bemhoráriosmúltiplosde50.Paraqueelessaiam juntos, énecessárioqueohorário sejamúltiplode45 e50simultaneamente,eoprimeirohorárioemqueissoacontececorrespondeaomínimomúltiplocomumde45e50,queé450.Como450minutosequivalema7horase30minutos,opróximohorárioemqueelespartirãojuntosseráàs13horase30minutos.

Questão 24 – Letra DComentário:Sejama e bdoisnúmerosnaturais.Sabemosque:

• MMC(a,b)=300eMMC≥ a, b ⇒ a, b ≤300;

• MDC(a,b)=6eMDC≤ a, b ⇒ a, b ≥6;

• Obrigatoriamente,a e bpossuem6=2.3nasuafatoração;

• MMC(a, b).MDC(a, b) = a.b⇒ 6 . 300 = a.b⇒ a.b = 23 . 32 . 52.

Assim,comoa e bpossuem2.3nasuafatoração,osfatoresrestantes (2 . 52)devemserdistribuídosentreambos.Aúnicaformadeoquocienteentrea e b ser inteiro, respeitando os valoresdoMMCedoMDC,ésetivermosa=22 . 3 . 52=300e b = 2 . 3 = 6.

Portanto, oquociente entre eles é50=2 . 52, que possui (1+1).(2+1)=6divisores.

Questão 25 – Letra DComentário: Se n,quandodivididopor12,15e18,dáresto9, issosignificaque(n–9)édivisívelpor12,15e18.Como180 éomínimomúltiplocomumdessesnúmeros,n=189,cujasomadosalgarismosé18.

Questão 26 – Letra DComentário: Para colocar ladrilhos quadrados iguais, semrecortarnenhumdeles,énecessárioqueamedidadoladodessapeça,emcm,sejadivisívelpor880epor760.Comoqueremosacharomaiorladopossívelparaoquadrado,devemosacharomaiornúmeroquedivide880e760,ouseja,oMDCentreeles,quevale40.Assim,oladodoladrilhovale40cm.

Desafio

Questão 01Comentário: Para resolver o problemamais facilmente,devemos usar fórmulas relacionadas ao conteúdo deprogressõesaritméticas.Noentanto,issoéfeitoapenasparafacilitarascontas,quepoderiamserfeitascomoauxíliodeumacalculadora.

Osmúltiplosextremosde6entre200e500são204e498, eosde14são210e490.Devemostomarasomadessesdoisgruposdenúmeros,massubtrairosmúltiplosde42,queéomínimomúltiplocomumde6e42,contadosnassomasduasvezes.Assim,pelafórmuladaP.A.:

S(204 498).50

217 550

S(210 490).21

27 350

S(210 462).7

22 352

S S – 2S 17 550 7 350 –2(2 352) 20196.

6

14

42

6 14 42

=+

=

=+

=

=+

=

+ = + =

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Questão 02Comentário: Como3 600=24 . 3² . 5², necessariamente c=5,0<a<5e0<b<3.Comon tem16divisores, (a+1)(b+1)(1+1)=16e(a+1)(b+1)=8.Comob podeassumir,nomáximo,ovalor2,b=1ea=3.Portanto,

a+b–c=3+1–5=–1.


Questão 01 – Letra AComentário:Tempototalatéacolheita:

V1 ⇒4+3+1=8semanas



OtemponecessárioparaqueacolheitasejasimultâneaéigualaoMMCde8,6e4.

MMC(8,6,4)=24

Logo,sãonecessárias24semanas.

Questão 02 – Letra BComentário:Paraqueumnúmerosejaquadradoperfeito,todosos expoentesdos seus fatoresprimosemsuadecomposiçãodevemserpares.Como2520=23 . 32.5.7,devemosmultiplicar2.5.7=70,cujasomadosalgarismosé7.

Questão 03 – Letra CComentário: Os pontos de quilometragemy nos quais hápostosdetelefonesãodadospory=40+3xcomx positivo, ouseja,naturaismaioresque40equedeixamresto1quandodivididosportrês.Ovalordeymaispróximode750quesatisfazessapropriedadeé751,logo,adistânciaprocuradaéde1km.

Questão 04 – Letra BComentário: m15

7q ⇒m=15q+7

• Restodadivisãopor3:m3

r1 q1 ⇒m=3q1 + r1 ⇒15q+7=3q1 + r1 ⇒

15q+6+1=3q1 + r1⇒3(5q+2)+1=3q1 + r1 Igualandoostermoscorrespondentes,temosr1=1.

• Restodadivisãopor5:m5

r2 q2

⇒m=5q2 + r2 ⇒15q+7=5q2+ r2 ⇒

15q+5+2=5q2 + r2 ⇒5(3q+1)+2=5q2 + r2

Igualandoostermoscorrespondentes,temosr2 = 2.

Portanto,asomadosrestoséiguala1+2=3.

Questão 05 – Letra DComentário:30p = 2p . 3p . 5p.Paraque36divida30p,p≥2.Noentanto,como144=24 . 32, para p = 3 o MDC será 23 . 32 eparap≥4,oMDCserá24 . 32.Logo,p=2.

Questão 06 – Letra CComentário: Para que um número seja divisível por 72=23 . 32,eledeveteressesfatoresprimos,comexpoentesmaioresiguaisaestes.Como2m.162=2m . 34 . 2 = 2m+1 . 34, paraqueessenúmerosejadivisívelpor72=23 . 32,temos

m+1≥3em≥2.

Questão 07 – Letra AComentário: OsremédiossãotomadossimultaneamenteacadaMMC(4,5,6)=60horas.Portanto,em30dias,ostrês

remédiosforamingeridossimultaneamente =30 .24

6012 vezes.


A) Equivalentemente,asalatemdimensões300cm×425cm.A dimensãomáxima dos ladrilhos é omáximo divisorcomumde300e425,nocaso,25.Adimensãomáximadosladrilhoséde25cm.

B) Há =30025

12 ladrilhosemumadireçãoe =42525

17 ladrilhos

naoutra,totalizando12.17=204ladrilhos.

Questão 09 – Letra AComentário: Sendo NonúmerodebombonseB a quantidade decaixas,temosque:

=+ =

+ = ⇒ = =

N 3(B –1)2B 3 N

2B 3 3B –3 B 6 e N 15

Como 15 não émúltiplo de 6, temos que não é possívelacondicionartodososbombonsnascaixasdetalformaquecadacaixatenhaomesmonúmerodebombons.

Questão 10Comentário: A)SabemosqueMDC(a,b).MMC(a,b)=a.b.

Logo,podemosescrever:

MDC(a, b).MMC(a, b) a.b 5 .105 35.b b 15= ⇒ = ⇒ =

B)Onúmero5é fatordea e b, pois é o MDC entre esses números.Temosaindaque:

MDC(a, b).MMC(a, b) a.b 5 .105 a.b5.(5 . 7 . 3) a.b 3 . 5 . 72

= ⇒ = ⇒⇒ =

Portanto,ospossíveisvaloresdea e bsão:

a 5 . 3

b 5 . 7(a, b) (15, 35)

a 5 . 7

b 5 . 3(a, b) (35,15)

a 5

b 5 .7 . 3(a, b) (5,105)

a 5 . 3 . 7

b 5(a, b) (105, 5)

=

=

⇒ =

=

=

⇒ =

=

=

⇒ =

=

=

⇒ =

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Questão 11 – Letra AComentário: Comox deixa resto 1 quando dividido por2,5e7, (x–1)émúltiplodomínimomúltiplocomumde 2,5e7,nocaso,70.Assim,x=70n+1,paran natural. Comoxémúltiplode3,por inspeção,n=2,5,8...Logo, omenorvalordexé141.

Questão 12 – Letra CComentário: Comoxéímparemúltiplode5,eleterminaem5.

Questão 13 – Letra EComentário: Considere um númeron, formado por trêsalgarismosa.Elepodeserescritocomon=100a+10a+a= 111a=3.37.a,ouseja,émúltiplode37.

Questão 14 – Letra AComentário: A quantidade de tipos de caixas possível é o númerodedivisorespositivosde2004=22 .3.167,ouseja,(2+1)(1+1)(1+1)=3.2.2=12.

Questão 15 – Letra AComentário:Porinspeçãoempotênciaspequenasdedezesubsequenteindução,percebemosqueonúmeroconstantedoenunciadoéformadode63algarismosnoveeumalgarismooito (alémdeumzero).Assim,asomadeseusalgarismosserá63.9+8=575.

Questão 16 – Letra AComentário: Sendo a o número procurado em e n os quocientesdasdivisõesrelevantes,temos:

a.m+15=200⇒a.m=185

a.n+28=250⇒ a.n = 222

Onúmeroprocuradoéomáximodivisorcomumde185e22,nocaso,37.

Questão 17 – Letra DComentário:Deixarrestodoisaoserdivididopor3,5e7éequivalenteadeixarresto2aoserdivididopor3.5.7=105, mínimomúltiplocomumde3,5e7.Onúmeroprocuradoé4.105+2=422.

Questão 18 – Letra BComentário: Os números que possuem exatamente trêsdivisores positivos são os quadrados dos números primos.Portanto,essesnúmerossão4,9,25,49,121,cujasomaéiguala4+9+25+49+121=208.

Questão 19 – Letra CComentário: Os aviões se encontrarão novamente emumnúmerodediasigualaomínimomúltiplocomumde4,12e15,ouseja,em60dias.Comoagostotem31dias,odiaprocuradoé29desetembro.

Questão 20 – Letra CComentário: o MDC de m e n é a.b e o MMC, a2b2c2.Assim,a.b=21,a=7eb=3.Comoa2b2c2=1764,temosque32.72.c2=1764ec=2.Logo,a+b+c=2+3+7=12.

Questão 21 – Letra AComentário: Temos que x.y= 570= 2 . 3 . 5 . 19, queterá (2)4=16divisores.Comox,y≠1,desses16divisores, x não pode assumir os valores 1 e 570. Havendo, assim, 14valorespossíveisparax.

Questão 22 – Letra BComentário: Sejaxonúmerodeações.Temos:x 3

1q ⇒x–1émúltiplode3

x 4

3m ⇒x+1émúltiplode4

• Sabemosque30<x<40;então,29<x–1<39.Como x–1émúltiplode3,temosasseguintespossibilidades:

x–1=30⇒x=31 x–1=33⇒ x = 34 x–1=36⇒x=37

• Alémdisso,temos31<x+1<41,comx+1múltiplode4. Assim:

x+1=32⇒x=31 x+1=36⇒ x = 35 x+1=40⇒x=39

Oúnicovalorquesatisfazasduascondiçõeséx=31.Portanto:

314

37Cadanetoreceberá7ações.

Questão 23 – Letra EComentário:Comooprodutoéummúltiplode3menorque3000(jáqueatemtrêsalgarismos),oprimeiroalgarismodoprodutosópodeseronúmero2.Assima=2721:3=907,easomadosalgarismosdeaé16.

Questão 24 – Letra BComentário: Temosque5n9édivisívelpor9,ou,pelocritériodedivisibilidadepor9,que5+n+9édivisívelpor9,ouseja,5+nédivisívelpor9.Comonéumalgarismodeumnúmero,0≤n≤9e,então,5≤5+n≤14.Oúnicomúltiplode9,nesseintervalo,éopróprio9.Assim,5+n=9⇒ n = 4Foidadoaindaque:2m3+326=5n9Reescrevendo a expressão anterior, utilizando a notação de valorrelativodosalgarismos,temos:2.100+m.10+3+3.100+2.10+6=5.100+n.10+9⇒m+2=n⇒m=2Logo,m+n=2+4=6.

Questão 25 – Letra AComentário:Comoorestodevesermenorqueodividendo,nocaso,17,eosrestossãoquadradosperfeitos,osrestossópodemser1,4,9ou16,eosquocientes1,2,3ou4,cujasomaé10.

Questão 26 – Letra CComentário: Sendo d odividendo,o resto,queéomaiorpossível,valer=d–1.Alémdisso,D=125–d,então,temos125–d=16.d+d–1ed=7.Logo,orestovale6.

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Questão 27 – Letra AComentário: O padrão que se repete é o das letras AMOROM, compostaporseis letras.Logo,comoo restodadivisãode 2001por6é6,o2001ºtermoequivaleaoterceiro,ouseja,àletraO.

Questão 28 – Letra DComentário:Acondiçãode2nserdivisorde150éequivalenteàcondiçãodenserdivisorde75.Comon=52.3,75tem3 . 2= 6 divisores, número de valores distintos possíveis aseremassumidosporn.

Questão 29 – Letra AComentário:Multiplicandoasduasequações,temosque:a2 = 24 . 32

Logo,a=12.Assim,b=30eoM.D.C.dessesnúmerosé6.

Questão 30 – Letra DComentário: Percebaquecadaumdossinaispossuiumciclocompleto.

Primeiro sinal: 40 + 10 = 50 segundos

Segundo sinal: 30 + 10 = 40 segundos

Tempoaberto

Tempofechado

Tempoaberto

Tempofechado

Logo,onúmeromínimodesegundosparaqueeles fechemjuntosnovamenteserá:

MMC(40,50)40=2 .550=2.5

MMC(40,20)=2 .5 =200.3

23 2⇒

⇒

Questão 31Comentário:Peloconstantenoenunciado,cadafuncionárioexaminouumnúmerodepeçasNtalque:N=M.D.C.(2700,4050,9000)=450Assim,háumtotaldefuncionáriosiguala:(2700+4050+9000):450=35funcionários.

Questão 32 – Letra DComentário:Comoomaiornúmeropossíveldealunosdeverásercontemplado,onúmerodealunoscontempladosé igualaomáximodivisorcomumentre1260e9072,nocaso,252.

Assim,cadaalunoreceberá =1 260252

5 bolasdegudeamarelas

e =9 072252

36 bolas de gude verdes, num total de 41 bolas

degude.

Questão 33Comentário: Os valores possíveis são os divisores positivos domáximo divisor comumentre as dimensões da sala, nocasoM.D.C.(200,500)=100.Essesvaloressão1,2,4,5,10,20,25,50e100.


• Em2007→ 365 dias

Apartirdodia01/01/07(segunda-feira),temos364dias:

3647

052Logo,o1ºdiade2008serásegunda-feira+1=terça-feira.

• Em2008→ 366 dias (bissexto)

A partir do dia 01/01/08 (terça-feira), temos 365 dias:

3657

152

Logo,o1ºdiade2009seráterça-feira+2=quinta-feira.Observamos, pelos exemplos apresentados, que, a cadapassagemdeumanocomum,avançamosumdianasemanaemrelaçãoaoprimeirodiadoanoanterior.Seoanoforbissexto,avançamosdoisdiasnasemana.

Em2008→ terça-feira

Em2009→quinta-feira(2008foibissexto)

Em2010→ sexta-feira

Em2011→ sábado

Em2012→domingo

Em2013→terça-feira(2012foibissexto)

Em2014→ quarta-feira

Em2015→ quinta-feira

Em2016→ sexta-feira

Em2017→domingo(2016serábissexto)

Em2018→segunda-feiraPortanto,opróximoanoacomeçaremumasegunda-feiraserá2018.

Questão 35Comentário: ComoMMC (2, 3, 5, 9) = 90, os númerosnaturais ycomapropriedadededeixarsempreresto1quandodivididospor2,3,5ou9sãodaformay=90n+1, ∀ ∈n .

Assim, o segundomenor natural com essa propriedade éy=90.1+1=91.

Questão 36Comentário: Sendo nonúmeroprocurado,existemq1, q2 e q3naturaistaisque:

n = 5q1 + 3 ⇒ n + 2 = 5q1 + 5 = 5(q1+1)

n=7q2 + 5 ⇒ n+2=7q2+7=7(q2+1)

n=8q3 + 6 ⇒n+2=8q3+8=8(q3+1)

Logo,n+2émúltiplode5,7e8simultaneamentee,assim,émúltiplodoMMCdessesnúmeros,queé280.Então,n=278é omenor natural que satisfaz as propriedades descritas no enunciado.

Questão 37Comentário:Onúmerodefrutasemcadagrupoédadopor

MDC(1260,735,840)=105.Assim,há =1 260105

12 grupos

de bananas, =735105

7 gruposdelaranjase =840105

8 gruposde

caquis,numtotalde27grupos.

Questão 38Comentário: O número de maneiras de se fazer essaplantaçãoéonúmerodedivisoresdoMDC.(24,16)=8=23, ouseja,(3+1)=4maneiras.

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36 Coleção EM1

Questão 39 – Letra AComentário: Pela fórmula da divisão, a = 8.b + (b – 1) = 9b – 1, já que o resto é o maior possível. Substituindo esse valor de a na expressão dada no enunciado, temos (9b – 1) – b = 23 e b = 3. Assim, a = 26 e a + b = 29.

Questão 40Comentário: Deixar resto 2 na divisão por 3 e resto 3 na divisão por 5 é equivalente a deixar resto 8 na divisão por 15. Deixar resto 8 na divisão por 15 e resto 5 na divisão por 7 é equivalente a deixar resto 68 na divisão por 105. Assim, 68 é o menor inteiro positivo com as propriedades constantes do enunciado.

Questão 41 – Letra DComentário: Sendo m e n dois naturais, temos que MDC(m, n) . MMC(m, n) = m.n. Assim, podemos facilmente verificar que o produto dos números em tela é 120.

Questão 42 Comentário: n = 49a . 5b = 72a . 5b. Logo, n tem (2a + 1)(b + 1) = 20. Como (2a + 1) é necessariamente ímpar, (2a + 1) é necessariamente 5, e a = 2 (já que a > 0). Portanto, b + 1 = 4, b = 3 e a + b = 5.

Questão 43 – Letra CComentário: Como o resto da divisão de 218 e 172 por n é 11, 218 – 11 = 207 e 172 – 11 = 161. Então, 207 e 161 são divisíveis por n; e, portanto, n = 23, já que n > 11. Assim, o resto da divisão de n por 11 é 1.

Seção Enem



Habilidade: 3

Comentário: Para escolhermos o número mínimo de escolas, devemos distribuir o maior número possível de ingressos para cada escola. Portanto, o número de ingressos que cada escola vai receber é o MDC (320, 400).

MDC (320, 400) = 80

Assim, =40080

5 escolas e =32080

4 escolas.

5 + 4 = 9 escolas serão contempladas no total.



Habilidade: 3

Comentário: Conforme o enunciado, as tábuas são de 540 cm, 810 cm e 1 080 cm. Já os pedaços solicitados pelo arquiteto devem ter o mesmo tamanho, não havendo sobra. Portanto, o valor do comprimento dos pedaços deve ser divisor de 540, 810 e 1 080.

Fatorando os valores:

540270 90 30 10 2

,,,,,,

810405135 45 15 3

,,,,,,

1080 540 180 60 20 4

23335

Pelo exposto, o MDC entre os valores é dado por 2 . 33 . 5 = 270 cm.Como o valor n deve satisfazer, ainda, a condição de ser menor que 2 m, tem-se: n < 200 cm, n ∈ div (270) e n é o maior valor natural. Logo, n é dado por 135 cm.Calculando o número de tábuas após o corte:

� �� + + =40 .

540135

160

30 .810135

180

10 .1 080135

80

420 peças

Questão 03 – Letra BEixo cognitivo: IIICompetência de área: 1Habilidade: 3Comentário: Do dia 31 de março ao dia 12 de outubro, foram decorridos 195 dias. Temos:195 7

6 27

Ou seja, no período de 195 dias, ocorreram 27 terças-feiras e sobraram 6 dias. Contando esses 6 dias a partir da última terça-feira considerada, temos que o dia 12 de outubro cairá numa segunda-feira.

Questão 04 – Letra EEixo cognitivo: IIICompetência de área: 1Habilidade: 3Comentário:

24 685

2 . 1 4 . 2 6 . 1 8 . 2 5 . 1

2 + 8 + 6 + 17 + 5 = 38

<10 <10 <10 ≥10 <10

Como 38 = 3 . 10 + 8, 8 é o resto da divisão de 38 por 10, sendo, então, o referido dígito verificador.

Questão 05 – Letra DEixo cognitivo: IIICompetência de área: 1Habilidade: 3Comentário: Temos que o MMC(40, 12) = 120, ou seja, a cada 120 m, um poste coincide com a extremidade de um trilho. Então, temos:18 000 120

0 150Ou seja, há 150 coincidências entre postes e trilhos, considerando o ponto final e sem contar com o ponto inicial. Se desconsiderarmos o ponto final, teremos 149 coincidências entre trilhos e postes ao longo da extensão da linha férrea.

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Manual do Professor


Questão 06 – Letra DEixo cognitivo: IIICompetência de área: 1Habilidade: 3

Comentário: Seja x o número de melancias produzidas. Então:

x 72

3 q1

x 84

3 q2

x 126

3 q3

Logo, x – 3 é múltiplo comum de 72, 84 e 126.MMC(72, 84, 126) = 504.Então, x – 3 é um múltiplo de 504.Considerando x – 3 = 504, temos x = 507.

Questão 07 – Letra BEixo cognitivo: IIICompetência de área: 1Habilidade: 3

Comentário: Sejam J, P e L os números pensados por João, Pedro e Lucas, respectivamente. Assim, temos:J.P.L = 231J.P.L = 3 . 7 . 11Como o número pensado por Pedro não é primo, P pode ser 1, 21, 33 ou 77.

J LSoma dos dois

maiores valores

P = 1

3 77 80 (não convém)


11 21 32 (convém)

21 11 32 (convém)



P = 211 11 32 (convém)

11 1 32 (convém)

P = 331 7 40 (não convém)


P = 771 3 80 (não convém)


Analisando a tabela anterior, concluímos que os números são 1, 11 e 21. A soma dos algarismos do maior deles é 2 + 1 = 3.

Questão 08 – Letra AEixo cognitivo: IIICompetência de área: 1Habilidade: 3

Comentário: Temos que a = 37 . 104 . 123 . 225.

Então:a = 37.(2 . 5)4.(22 . 3)3.(2 . 11)5

a = 37 . 24 . 54 . 26 . 33 . 25 . 115

a = 215 . 310 . 54 . 115

Para que a seja divisível por b, devemos ter y = 0 e 0 ≤ x ≤ 4. Então, Bruna está correta, enquanto Marcos e Ricardo estão errados.

Questão 09 – Letra CEixo cognitivo: IIICompetência de área: 1Habilidade: 3Comentário: N = 7548ab, sendo a o algarismo das dezenas e b o das unidades. N é divisível por 45. Então, N é divisível por 5 e por 9. Verificando a divisibilidade por 5, nesse caso, b = 0 ou b = 5. Porém, como o número N é ímpar, concluímos que b = 5. Substituindo esse valor de b, temos N = 7548a5. Verificando a divisibilidade por 9, temos:7 + 5 + 4 + 8 + a + 5 = 29 + a (divisível por 9). Então, a = 7 (para que 29 + a seja igual a 36). Logo, 21 = 3 . 7 ⇒ 7 é divisor de 21.

Questão 10 – Letra AEixo cognitivo: IIICompetência de área: 1Habilidade: 3Comentário: Se x é o valor gasto na quarta banca, o valor

que sobrou após a compra é x22– . Como ele gastou todo o

dinheiro, x2

–2 0x2

2 x 4= ⇒ = ⇒ = .

Seja y o valor que Samuel tinha ao chegar à terceira banca.

Então, y2–2 4

y26 y 12= ⇒ = ⇒ =

Seja z o valor que Samuel tinha ao chegar na segunda banca.

Então, z2–2 12

z214 z 28= ⇒ = ⇒ =

Sendo N o valor que Samuel tinha ao chegar à primeira banca.

Então, N2

–2 28N2

30 N 60= ⇒ = ⇒ =

Número de divisores de N:N = 60 = 22 . 3 . 5O número de divisores naturais é (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12.



Habilidade: 3Comentário: A = 2 000

2 000 19

5 105 → a = 5

2 000 4

0 500 → b = 0

2 000 7

5 285 → c = 5

19a + m = 19 . 5 + 24 = 119

119 30

29 3 → d = 29

2b + 4c + 6d + n = 0 + 20 + 174 + 5 = 199

199 7

3 28 → e = 3

Páscoa → d + e – 9 = 29 + 3 – 9 = 23 de abril.

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38 Coleção EM1

CAPÍTULO – B4Razões e proporções


Questão 01Comentário: Utilizaremos a propriedade a

bcd

ad bc= ⇒ = . Assim:

A) =

=

=

74

3x

7x 12

x127

B) =

=

=

1251

x153

51x 153 .12

x 36

C) +=

= +

= +

=

x 4125

450

500 50(x 4)

10 x 4

x 6

D)

32

x 12

23

1012

32

.1012

23

x12

54

.32

158

x12

x118

+=

= +

= = +

=

Questão 02

Comentário:Aquartaproporcionalentre4,9e8éonúmerox,

tal que 498x.= Como o produto dos extremos é igual ao

produtodosmeios,temos4x=72⇒x=18.Assim,aquarta

proporcionalentreessesnúmerosvale18.

Questão 03 Comentário:Aterceiraproporcionalentre4e5éonúmerox,

tal que 455x.= Comooprodutoentreosextremoséigualao

produtodosmeios,temos25=4x⇒ x = 254

. Assim,aterceira

proporcional vale 254

.

Questão 04 Comentário:Amédiaproporcionalentreosnúmeros9e16éo

númerox, tal que 9x

x16.= Comooprodutoentreosextremosé

igualaoprodutodosmeios,temos:x2=9 . 16=144⇒x=12Assim,amédiaproporcionalvale12.

Questão 05 Comentário:

A) A segunda equação pode ser reescrita como: a b4 7

=

Sabemos, pelas propriedades das proporções, que:a b a b a b4 7 4 7 11

= = ++

= +

Como,pelaprimeiraequação,a+b=11,temos:

= = = ⇒= ⇒ =

= ⇒ =

a4b71111

1

a41 a 4

b71 b 7

B) A segunda equação pode ser reescrita como: a b8 5

= –

Sabemos, pelas propriedades das proporções, que:

a b a b a b8 5 8 5 13

= =+

=– – –

Como,pelaprimeiraequação,a–b=13,temos:

a8

–b5

1313

1

a8

1 a 8

–b5

1 b –5= = = ⇒

= ⇒ =

= ⇒ =

C) Elevando ambos os membros da primeira equação

ao quadrado, temos que ab

2

2

925

= . Sabemos, pelas

propriedades das proporções, que:

a b b b2 2 2 2

9 25 9 25 34= = +

+= +a a2 2

Comoa2 + b2=136,temos:

= = = ⇒= ⇒ = ±

= ⇒ = ±

a9

b25

13634

4

a9

4 a 6

b25

4 b 10

2 2

2

2

Portanto, temosduassoluções:(6,10)e(–6,–10).

D) Sabemos,pelaspropriedadesdasproporções,que:

a b c a b c a b c3 5 9 3 9 5 17

= = = + ++ +

= + +

Comoa+b+c=34,temos:

= = = = ⇒

=

=

=

⇒

=

=

=

a3

b5

c9

3417

2

a3

2

b5

2

c9

2

a 6

b 10

c 18

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Manual do Professor


E) Sabemos,pelaspropriedadesdasproporções,que:

a b c a b c a b c3 2 5 3 2 5 10

= = = + ++ +

= + +

Comoa+b+c=30,temos:

= = = = ⇒

=

=

=

⇒

=

=

=

a3

b2

c5

3010

3

a3

3

b2

3

c5

3

a 9

b 6

c 15

F) Multiplicarodenominadoreonumeradordeumarazãoporummesmonúmeroreal,diferentedezero,nãoalterao valor do quociente.

Assim, b b e c c4

312 2

24

= = .Logo, a b c3

312

24

= = .

Tambémpodemosescreverque:

a b c a b c a b c3

312

24

3 23 12 4

3 211

= = = ++

= +––

–

Comoa+3b–2c=22,temos:

a b c

a

b

c

a

3312

24

2211

2

32

312

2

24

2

= = = =

=

=

=

⇒= 66

84

bc

==

Questão 06

Comentário: Se x e y estão na razão 34,podemosescrever,

pelaspropriedadesdasproporções:

=

= =++

= =

= == =

xy

34

x3

y4

x y3 4

287

4

x 4 . 3 12y 4 . 4 16.

Questão 07

Comentário: Se x e y estão na razão 54,podemosescrever,

pelaspropriedadesdasproporções:

=

= = = =

= == =

xy

54

x5

y4

x – y5 – 4

31

3

x 5 . 3 15y 4 . 3 12.

Questão 08Comentário:Devemosencontrardoisnúmerosa e b,taisque:

a bab

2 2 4013

+ =

=

Elevandoambososmembrosdasegundaequaçãoaoquadrado,temos:

= ⇒ = =++

=+a

b19

a1

b9

a b1 9

a b10

2

2

2 2 2 2 2 2

Comoa2 + b2=40,temos:

= = ⇒= ⇒ = ±

= ⇒ = ±

a1

b9

4010

a1

4 a 2

b9

4 b 6

2 2

2

2

Portanto,assoluçõespossíveissão(2,6)e(–2e–6).

Questão 09Comentário: Sendo x a quantidade demeninas ey a de

meninos,temosquex+y=25.Daproporçãoentreossexos,

podemosescrever:

= =++

= =

= == =

x3

y2

x y3 2

255

5

x 3 . 5 15y 2 . 5 10

Assim,deverãoserconvocados15meninase10meninos.

Questão 10Comentário:Chamandodexaquantidadedehomensey

aquantidadedemulheresquetrabalhamnaempresa,pelos

dados do enunciado e pelas propriedades das proporções,

temos:

= =++

= =

= == =

x30

y40

x y30 40

28070

4

x 30 . 4 120y 40 . 4 160

Assim,trabalhamnessaempresa120homense160mulheres.

Questão 11Comentário: Sendo x, y e z as partes de 60 diretamente

proporcionaisa3,5e7,temosquex+y+z=60eque:

x3

y5

z7

x y z3 5 7

6015

4

x 4 . 3 12y 5 . 4 20z 7 . 4 28

= = =+ ++ +

= =

= == == =

Questão 12Comentário: Sendo x, y e zaspartesde45inversamente

proporcionaisa3,4e6,temosquex+y+z=45eque:

x13

y14

z16

x y z13

14

16

4534

60

x 60.13

20

y 60.14

15

z 60.16

10

= = =+ +

+ += =

= =

= =

= =

EM1MPV2_MAT.indd 39 10/01/18 10:44

40 Coleção EM1

Questão 13Comentário: Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, sendo x, y e z os ângulos internos do triângulo, temos que x + y + z = 180 e que:

x3

y4

z5

x y z3 4 5

18012

15

x 15 .3 45°y 15 . 4 60°z 15 . 5 75°

= = =+ ++ +

= =

= == == =

Questão 14Comentário: A) Dividir 560 em partes diretamente proporcionais a 3, 6 e 7

é encontrar os números x, y e z, tais que:

x y z

x y z3 6 7

560

= =

+ + =

Logo:

= = =

+ ++ +

= ⇒

=

=

=

⇒

=

=

=

x3

y6

z7

x y z3 6 7

56016

x3

56016

y6

56016

z7

56016

x 105

y 210

z 245

Assim, os números que dividem 560 em três partes diretamente proporcionais a 3, 6 e 7 são 105, 210 e 245, respectivamente.

B) Dividir 560 em partes inversamente proporcionais a 5, 4

e 2 equivale a encontrar números a, b e c, tais que:

a b c

a b c

15

14

12

560

= =

+ + =

Logo:

= = =+ +

+ += ⇒

=

=

=

⇒

=

=

=

a15

b14

c12

a b c15

14

12

5601920

a15

5601920

b14

5601920

c12

5601920

a2 240

19

b2 800

19

c5 600

19

Assim, os números que dividem 560 em três partes

inversamente proporcionais a 5, 4 e 2 são 2 24019

,2 800

19,5 600

19,

respectivamente.

Questão 15Comentário: Como os lucros serão divididos proporcionalmente

ao investimento de cada sócio, e chamando as parcelas

do lucro destinadas a cada sócio de x, y e z, temos que

x + y + z = 30 000, sendo:

x60000

y75000

z45000

x y z60000 45000 75000

30000180000

16

x60000

610000

y75000

612500

z45000

67500

= = =

+ ++ +

= =

= =

= =

= =

Questão 16Comentário: Sendo x e y as idades dos filhos, temos:

x yx y

+ =

=

30

38 000 22 000

Logo:x

38 000y

22 000x y

38 000 22 00030

60 0001

2 000

x38 000

12 000

x 19

y22 000

12 000

y 11

= =++

= = ⇒

= ⇒ =

= ⇒ =

Portanto, eles têm 19 anos e 11 anos.

Questão 17Comentário: A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360°. Assim, sendo a, b, c e d os ângulos internos desse quadrilátero e como são inversamente proporcionais a 5, 8, 10 e 40, respectivamente, temos:

a b c da b c d

+ + + =

= = =

360

15

18

110

140

Logo:

= = = =+ + +

+ + += = ⇒

====

⇒

====

a15

b18

c110

d140

a b c d15

18

110

140

3601840

800

5a 8008b 80010c 80040d 800

a 160°b 100°c 80°d 20°

Questão 18 – Letra DComentário: Pelo gráfico, 1 litro de gasolina possibilita que 14 km

sejam rodados, enquanto que 1 litro de álcool possibilita 10 km.

Assim, com 114

litros de gasolina é possível percorrer 1 km, com

custo de 1,514

reais. Para o álcool, é possível percorrer 1 km com 110

litros, com custo de 0,7510

. A razão entre os custos é tal que:

= =

0,75101,514

0,7510

.141,5

710

.

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Manual do Professor


Questão 19Comentário:Sejamx e yasproduçõesdesoja,emkg,deJoséeJoão,respectivamente.Comoambosproduziramjuntos1500kgdesoja,eJoséproduziu250kgamaisqueJoão,temos:

x y 1 500x y 250

x 875y 625

+ =− =

⇒ =

=

SeJosérecebeuaalqueireseJoão,b alqueires, na divisão da propriedade,temos:

a ba b+ =

=

30

875 625

Logo:a

875b

625a b

875 62530

1 500150

a875

150

b625

150

a 17,5b 12,5

= =++

= = ⇒

=

=

⇒ ==

Portanto,Josérecebeu17,5alqueires,eJoão,12,5alqueires.

Questão 20 – Letra BComentário: Se, para encher um recipiente de 5 litros, aprimeiratorneiragasta12segundos,paraencher1000litros,elagastará: 1000litros x

5 litros 12segundosx=2400segundos=40minutosDamesmaforma,se,paraencherumrecipientede5litros, asegundatorneiragasta18segundos,paraencher1000litros,elagastará: 1000litros y

5 litros 18segundosy=3600segundos=60minutos

Emum tempo de tminutos, a primeira torneira enche t40

da capacidade do recipiente, e a segunda torneira,t

60 da

capacidadedorecipiente.Assim,orecipienteficarácheioem:

t60

t40

1 t 24 minutos.+ = ⇒ =

Questão 21 – Letra CComentário: Pedreirosediastrabalhadossãoinversamenteproporcionais.Logo:

= ⇒ = =

Pedreiros Dias2 155 x

15x

52

x25.15 6 dias

Questão 22 – Letra AComentário: Se a velocidade é constante, a distância é oprodutodavelocidadecomotempo.Logo:

= ⇒

== = + = +

D v.t

180 km 80 km /h . tt 2,25 h 2 h 0,25 h 2 h 15 min.


Fábricas h/dia Gases Dias

12 8h 800m3 15

x 7h12min 600m3 10

Utilizando“Fábricas”comoreferência,temos:

GIPcomh/dia,edias.

GDPcomGases.

Logo:

= + =

= ⇒

= = = ⇒

= ⇒ =

7 h12 min 7 h1260

h 7,2 h

12x

7,2 h

8 h.800 m

600 m.1015

x12

8072

.68

.1510

2 .5 . 2 . 3 . 3 . 52 . 3 . 2 . 2 . 5

2 . 3 . 52 . 3 . 5

x

2 . 3

5

2x 15 fábricas

3

3

4

3 2 3

5 2 2

7 2

2 2


Costureiras Horas Camisas

6 8 12

x 10 20

Utilizandoagrandeza“Costureiras”comoreferência,temos:

GIP:Horas.

GDP:Camisas.

= ⇒

= ⇒

=

6x

108

.1220

x6

810

.2012

x 8 costureiras

Questão 25 – Letra B

Comentário:Sefoiremovido 58dovolumedeterra,sobram

=8 –5

838 de terra. Como as grandezas são diretamente

proporcionais,temos:

Tempo Volume

45min 58

x 38

= ⇒ = =45 minx

5

83

8

x 35

.45 min 27 min.

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42 Coleção EM1

Questão 26 – Letra DComentário: O criador contém 30 dias de ração para 42frangos.Masfaltando(30–6)diasadquirimais30frangos.Comoagrandeza“frangos”éinversamenteproporcionaladiasderação,temos:

+= ⇒

= =

(42 30) frangos

42 frangos

24 diasx

x4272

.24 dias 14 dias


Máquinas Horas/dia Dias Produto

(toneladas)

4 4 4 4

6 6 6 x

Utilizandoagrandeza“Produto”emtoneladascomoreferência,temos:GDP:Máquinas,Horas/dia,Dias.

= ⇒ = ⇒

= ⇒ = =

4x

46

.46

.46

1x

16

.23

.23

1x

13

.13

.23

x272

13,5 toneladas

Questão 28Comentário: Seja TotempogastoemhorasparaoaviãoahéliceirdeSãoPauloatéBoaVista.

Velocidade Tempo

Jato 660km/h T–7h

Hélice 275km/h T

Agrandeza“Velocidade”éinversamenteproporcionalaotempogastoparairdeumpontoaooutro.Logo:

= ⇒

= ⇒ = ⇒

= ⇒ =

660 km/h

275 km/h

TT –7 h

125

TT – 7 h

12T – 84 h 5T

7T 84 h T 12 h

Adistânciapercorridaé:

=275 km/h .12 h 3 300 km.


Macacos Bananas Tempo

x2 x3 x

5 90 t

Utilizandoagrandeza“Tempo”comoreferência,temos:GIP:Macacos.GDP:Bananas.

= ⇒ = ⇒ =xt

5x

. x90

x 5t90

x t 18 min.2

33 3

Questão 30 – Letra CComentário:Comnoveadultos,oelevadorpoderiatransportarmais3adultos,queequivalema5crianças.

= ⇒ =12 adultos

3 adultos

20 criançasx

x 5 crianças

Desafio


A) Imaginandoqueaescaladafotosejaigualparatodos, jáqueacâmeraestáàmesmadistânciadetodos,sendoPaalturadePabloeMaalturadeMarta,temos:

= = =

=

=

1246,2

20P

8,1M

5,7

P 1,62 m

M 1,14 m

B) O triângulo formadonocartãoàdireitaé semelhanteaambosostriânguloscongruentesdocartãodaesquerda.Assim,epercebendoqueocatetoverticalnotriângulodadireitamede(a–b):

ab

ba–b

a – ab –b 02 2

=

=

Resolvendoaequaçãoparamétricaema,temos:

=

±=

±⇒ =

+>a

b b 52

b.1 5

2ab

1 52

0.


A) (Verdadeiro) x e yinversamenteproporcionais:

= = ∈y g (x)c

x,c *

11

1

y e zinversamenteproporcionais:

= = ∈z g (y)c

y,c *

22

2

= = =zc

y

c

cx

c

c.x2 2

1

2

1

B) (Verdadeiro) x e ydiretamenteproporcionais:

y = f(x) = c1x, ∈c1

w e zinversamenteproporcionais:

= = ∈w g(z)c

z, c *22

= =x.zyc.c

wyw.c

c1

2 2

1

C) (Falso) =A3 3.L

2

2

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D) (Verdadeiro) x cy cx

y

x cy cx

y

c cx

y

x

yx y x y .

1 11

1

2 22

2

1

1

2

21 2 2 1

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =


A) Sendo B, C, D e EosaumentospercentuaisdosprodutosB, C, D e E,quesomam20%,temos:

= = = =+ + +

+ + += = =

B15

C110

D115

E120

B C D E15

110

115

120

20512

48 k

B) OdescontoobtidoemumamercadoriaAé0,2.50=10reais.

OaumentoemC é de 4810=4,8%,e10.0,048=0,48reais.

Logo,como ≈10

0,4820,9,devemservendidas21unidades

damercadoria.


Questão 01 – Letra CComentário: Ototaldesorvetedechocolateéigualaumterço

doprimeiropotemaisametadedosegundopote,o que dá

umtotalde13

12

56

+ = dopote.Assim,afraçãocorrespondente

àquantidadedesorvetedechocolatecomprado é

56

2512

= .

Questão 02 – Letra BComentário:Chamandodex, y e z as quantidades recebidas pelostrêsfilhoselembrandoquex+y+z=33(I),temos:

x.2 = y.4 = z.6

Essaforma,noentanto,nãoéaidealparatrabalharmos,poisnãohánenhumapropriedadedasproporçõesqueseencaixenela.Assim:

x y z x y z x y z

x y z

. . .

; ;

2 4 612

14

16

12

14

16

331112

36

18 9

= = ⇒ = = =+ +

+ += = ⇒

= = == 6

Ouseja,omaisnovorecebeu18reais.


+= ⇒ = +

−= ⇒ = = + ⇒ = ⇒ =

+=

+= = =

A 4B

1 B A 4

AB 1

12

2A B –1 (A 4)–1 A 3 B 7

BA B

73 7

710

0,7 70%

Questão 04 – Letra CComentário: Sendo P, A e LosrendimentosaseremrecebidosporPaulo,AnaeLuís,respectivamente,elembrando-sedeque

elessomarão12500–10000=2500reais,temos:

= = =+ +

+ +⇒

+ += =

P2 500

A3 500

L4 000

P A L2 500 3 500 4 000

P A L10 000

2 50010 000

0,25

A=3500.0,25=875

P=2500.0,25=625

A–P=875–625=R$250,00

Questão 05 – Letra EComentário:

= = = =+ +

+ += =

= =

= =

= =

= = = =

x112

x2

y12

z14

x y z

2 12

14

176114

64

x 64 .2 128

y 64 .12

32

z 64 .14

16

x – y 128 –32 96 6.16 6z

Questão 06 – Letra AComentário:ALeideBoyle-MariottenosdizquePV=kparaalgumaconstantek real positiva. Pelo enunciado, conclui-se

queP.V=0,6.5=3,ouseja, =V3P

.


y

O

P Q

x

Sabe-se que x e ysãograndezasinversamenteproporcionais.Assim,dadaumaconstanterealk,temosquexy=k.

Como 53

480,

éumpontodacurvadefinidapory=f(x),

temos,k= 53.480⇒k=800.

A área SdotriânguloOPQédadaporS=PQ OP.2

.

SendoQ=(x,y)umpontodacurva,concluímosque:

PQ = x e OP = y ⇒ S = xy k2 2

8002

400= = = .

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44 Coleção EM1

Questão 08 – Letra C

Comentário:Deacordocomasinformaçõesdadas,temos:

x4 . 10

1,6 . 102 500

y2 . 101 . 10

20 000

y 20 000 8 . 2 500 8x

10

7

10

6

= =

= =

= = =

Questão 09

Comentário:Joãoleva7,5horasparaaparartodoogramado,

eJosé,6horas.Assim,sendoVJoãoavelocidadedeJoãoao

apararogramadoeVJoséavelocidadedeJosé,temos:

VJoão = 17 5Gh,

e VJosé = 16Gh

Note que Grepresenta100%dogramado.

ColocandoJoãoeJoséparatrabalharemjuntoseconsiderando

queavelocidadedetrabalhodecadaumnãosealterarápor

essemotivo,teremosumavelocidadedetrabalhoequivalente

VEquivalentedadapor:

VEquivalente = VJoão + VJosé = 17 5Gh,

+ 16Gh

⇒ VEquivalente = 310

Gh

Sejax o tempo que João e José levarão para aparar 75%

dogramado:

VEquivalente = 310

Gh =

0 75, G

x ⇒x=2,5horas.

Questão 10 – Letra BComentário:Emxminutos,Josélimpaumaparcelade x

30

dovestiário,enquantoJairlimpa x45

dovestiário.Assim:

+ = ⇒+

= ⇒ =x45

x30

12x 3x

901 x 18

Logo,juntos,levarão18minutosparalimparovestiário.

Questão 11 – Letra A

Comentário: Com 1 litro de álcool, percorrem-se 8 km.

Então,com0,25Ldeálcool,percorrem-se0,25.8=2km.

Com1litrodecombustível,gasolina+álcool,percorrem-se

11 km.Desse 1 litro, temos 0,25 L de álcool e 0,75 L de

gasolina.Com0,25Ldeálcool,épossívelpercorrer2kme,

com0,75Ldegasolina,9km.Agora,com0,20Ldeálcool,

ocarropercorrerá0,20.8=1,6km.Com0,80Ldegasolina,

o carro percorrerá 0 800 75,,

.9= 9,6km.

Logo,comaporcentagemde20%deálcoole80%degasolina,

umcarropercorrerá1,6km+9,6km=11,2kmcomumlitro

dessamistura.

Questão 12 – Letra CComentário: Sendo xocomprimentodotecido,opalmode

Joãomede x30

e o de Alfredo x27. Assim,10palmosdeJoão

medem =10x30

x3

, o que equivale a 9. x27,ouseja,9palmos

de Alfredo.

Questão 13 – Letra EComentário: Sendo x o número de alunos ey o númerode professores, temos x = 50y. Da segunda condição doenunciado,podemosconcluirquex+400=40(y+16),ouseja,50y+400=40y+640,deondeobtemosy=24.Logo,onúmeroxdealunosétalquex=50.24=1200alunos.

Questão 14 – Letra CComentário: Sendo x, y e z as quantidades recebidas pelo primeiro, segundo e terceiro colocados, respectivamente,temosquex+y+z=310,e,pelaproporcionalidadeinversa:

x12

y13

z15

x y z12

13

15

3103130

300

x 300.12

150

y 300.13

100

z 300.15

60

= = =+ +

+ += =

= =

= =

= =

Questão 15 – Letra BComentário: Sendo dadensidadedemográfica,nonúmerode

habitanteseAaáreadaregião,temosque =dnA.Assim,para

nconstante,áreaedensidadedemográficasãoinversamenteproporcionais.

Questão 16 – Letra CComentário: Chamando dex, y e z as quantias devidas por Paulo, Pedro e Antônio, respectivamente, temos que x+y+z=486eque:x4y6z8x y z4 6 8

48618

27; y 27 . 6 162= = =+ ++ +

= = = =

Então,Pedrodevepagar162reais.

Questão 17Comentário:Usandoaigualdadeentreaprimeiraeaterceirarazões,temos:x –3

58x

x –3x – 40 02

=

=

Assoluçõesdessaequaçãosãox=8oux=–5.Achandoosvalores de y relativos a cada valor de x,temos:• x=8

+=

+ ==

3y 17

88

3y 1 7y 2

• x=–5

+=

=

=

3y 17

8–5

56 –15y –5

y –6115

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Questão 18 – Letra DComentário:Semprequeomaisnovotiverx anos de idade, omaisvelhoterá(x+4)anosdeidade.Comoosvaloressãoproporcionaisàsidades:

+≥ ⇒

≥ + ⇒≥ ⇒ ≥

xx 4

0,75

x 0,75x 30,25x 3 x 12

Assim,otestamentopoderásercumpridoapartirdomomentonoqualofilhomaisnovocompletar12anosdeidade,ouseja,nodia1/1/2016.

Questão 19 – Letra DComentário:Observeatabelaaseguir:

ModeloLargura

(cm)Altura (cm)

Preço (R$)

Área (cm2)

Preço/Área (R$/cm2)

23" 50 30 750,00 1500 1/2

32" 70 40 1400,00 2800 1/2

40" 90 50 2250,00 4500 1/2

Assim,percebemosquearazãoentreaáreadecadatelevisoreseupreçopermanececonstante.

Questão 20Comentário:Emumlitrodecombustível,há0,8Ldegasolina,comcusto0,8a,e0,2Ldeálcool,comcustode0,2.0,75a=0,15a.Logo,olitrodecombustívelcusta0,8a+015a=0,95a.

Questão 21Comentário: Sendo A, P e Fosnúmerosdealunos,professoresefuncionários,respectivamente,temosqueA=6Pe3P=10Fou,equivalentemente,6P=20F.Assim,A=20F,ouseja,há20alunosparacadafuncionário.

Questão 22Comentário: Calculando o quociente entre preço e quantidade derefrigerante,temosqueamenorrazãoequivaleàopçãomaisvantajosa:

=

=

< ⇒ < ⇒

< ⇒ <

90300

4501 500

170500

5101 500

450 510450

1 500510

1 50090300

170500

0,90300

1,70500

Logo,aopçãode300mLémaisvantajosa.

Questão 23Comentário:Chamandodexapartedaherançaquecabe àmãe, cadamenino receberá 2x e amenina receberá 3x.

Assim,x+2x+2x+3x=1e =x18.Logo,1

8ficoucomamãe,

14comcadanetoe 3

8comaneta.

Questão 24Comentário:Aprimeiratorneiraenche 1

12dotanqueemum

minuto,enquantoasegundaenche 118

dotanqueemumminuto.

Assim, a primeira torneira encheu, emxminutos, x12

do

tanque, e a segunda torneira encheu +x 318

do tanque em

(x+3)minutos. Comoo tanque foi completamente cheio,

temos:

x 318

x12

1

2(x 3) 3x 36

x 6

++ =

+ + =

=

Assim,foramgastos2x+3=2.6+3=15minutosparaencherotanque.

Questão 25 – Letra BComentário:Comosegasta50centavosparasepercorrer 10kmcomgasolina,gasta-se5centavosparasepercorrerumkmcomestecombustívelfóssil.Seumlitrodeálcoolcustax centavos,comxcentavospercorre-se8km,logo,percorre-se

1kmcomx8 centavos. Paraqueambos sejam igualmente

econômicos:

= ⇒ =x8

5 x 40

Então,olitrodeálcooldevecustar40centavos.

Questão 26 – Letra DComentário:84anospossuem84.365.24=735840horas.Tendo emmente que 16 horas e 48minutos equivalem a

16,8horas,umanoemUranopossuirá ≅735 840

16,844 000 dias.

Questão 27 – Letra BComentário: Sendo x, y e zaspartesde70proporcionaisa2,3e5,temosquex+y+z=70eque:

x2

y3

z5

x y z2 3 5

7010

7x z2 5

x z7

x z 7 . 7 49.

= = =+ ++ +

= = =++

=+

+ = =

Questão 28 – Letra AComentário:Em40minutoshá40.60=2400segundos. Ass im, o ve ícu lo percorrerá nesses 40 minutos

= = = =

x4

.2400

y600x

ym

0,6xy

km6x

10ykm

3x5y

km.

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46 Coleção EM1

Questão 29 – Letra DComentário: Sendo O, P e Baquantidadedemedalhasdeouro,prataebronzedesseatleta,respectivamente,temos:

= = =+ ++ +

= =O3

P4

B7

O P B3 4 7

7014

5

O=3.5=15

P=4.5=20

B = 7 . 5 = 35

Questão 30 – Letra EComentário: Cada apostador da cidade Breceberáumsexto

dametadedoprêmio,ouseja, =12.16

112doprêmio.

Questão 31 – Letra EComentário: Sendo A, B e Caquantidadededocumentosarquivados respectivamente por Adilson, Bento e Celso,teremos:

24A=30B=36C⇒ 4A = 5B = 6C ⇒

=

=

+ = + ⇒ + = + ⇒ = ⇒

= = =

= = =

B4A5

C2A3

A C B 26 A2A3

4A5

26 A 30

B4A5

4 .305

24

C2A3

2 .303

20

A+B+C=74>60.

Questão 32 – Letra CComentário:QuandoD=44m,V=80km/h.Assim,como

D=kV2,k= 44802

.QuandoV=160km/h,temos:

= =

= =D 44

80.160 44. 160

8044 . 4 176 m.

22

2

Logo,adistânciadefreagemé4vezesmaior.

Questão 33 – Letra EComentário:Cadaumdeveriapagar18litrosdecombustível.AssimXdeveserressarcidopor14litrosdagasolinaeY por 4litros.Osvaloresaseremrecebidosporcadaumsão:

=X: 50,22.1418

R$39,06

=Y: 50,22.4

18R$11,06

Questão 34 – Letra BComentário: Duas grandezas a e b são inversamenteproporcionais quando o produto entre os possíveis valores assumidosporelaséigualaumaconstante,ouseja,a.b=k,

∈k , oqueequivaleàformulaçãoconstantedaalternativaB.

Questão 35 – Letra AComentário: Correndo a uma velocidade de 10 km/h, omaratonistachegaráàs10horas.Correndoaumavelocidadede15km/h,elechegaráaofinaldopercursoàs8horase,portanto,2horasmaiscedo.ComoavelocidadeéarazãoentreadistânciaDpercorridaeotempoTgastonopercurso,temos:

10= DTe15= D

T −2

Note que Téotempogastopelomaratonistaquandoelecorreaumavelocidadede10km/h.Assim,parachegaràs 9 horas, ele deverá ter uma velocidade V, tal que

V = DT −1

.

Util izando as relações anteriores, concluímos que: 10T=15(T–2)⇒T=6horas

SabendoqueT=6horasequeD=10T,temosD=60km.

Assim,V= 606 1−

=12km/h.

Questão 36Comentário:UmlitrodasubstânciaXtem0,2LdeA,0,3Lde Be0,5LdeC.Comoamassaéoprodutoentredensidadee volume, chamando a densidade deC de y, a densidade de A é 3y e a de B,2y.Assim,enquantoumlitrodeC pesa 1.y=y,umlitrodamisturapesa0,2.3y+0,3.2y+0,5y=1,7y, e a razão xvale1,7.


A) Sejam v1 e v2 as velocidades dos navios em km/h.Após 30min= 0,5 h, os navios terão percorrido 0,5.v1 e 0,5.v2 km. Como a distância entre eles, nesseinstante,éde15km,peloTeoremadePitágoras,temos

(0,5.v1)2+(0,5.v2)2=152 ⇒ + =v v 90012

22 .

Após45min=0,75h,osnaviosterãopercorrido0,75.v1 e 0,75.v2km,sendoque0,75.v1=0,75.v2+4,5,ouseja,

v1 – v2=6.Essasequaçõescompõemosistema+ =

− =

v v 900

v v 612

22

1 2

,

cujasoluçãofornecev1=24km/hev2=18km/h.

B) Após 270 min = 4,5 h, os navios terão percorrido 4,5.24=108kme4,5.18=81km.

Questão 38 – Letra AComentário:Dos30,6Ldegasolinaqueestãonotanque,umaparte (xlitros)seráutilizadapelopróprioconsumodocarroeo restante (y litros) vazará do tanque.

Suponhaqueocarropercorreuumadistânciad,emkm.

Daí,temos:

10 1km litrod x

−−−−−−−−

⇒ x = d10

litros

Comot= dv

, então t = d50horas.

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Logo,agasolinaquevazarádotanqueé:

0 1 1

50

, L h

y d h

−−−−

−−−−

⇒ y = d

500 litros

Assim,x+y=30,6L ⇒ d d10 500

+

=30,6L ⇒

50500

30610

d d+ = ⇒ d=300km.

Questão 39Comentário:Sabendoqueovolumeinicialdevinhoéde100litros,apósaprimeiraretiradadex litros, a quantidade restante passaaser100–x.

Emseguida,aquantidadedevinhoqueseráretirada,seráde

100 – x

100.x.Aquantidaderestanteserá(100–x)–

100 – x

100.x.

Portanto,podemosconcluirque:

= ⇒

= ⇒

+ = ⇒

= =

(100 – x) –100 – x

100.x 64

(100 – x). 1 –x

10064

x – 200x 3 200 0

x 20 ou x 180

2

Comoovolumeinicialdobarrilerade100L,ovalorcoerentepara xéde20L.


Nº de máquinas

Nº de peças

Nº de diasNº de

horas/dia

5 500 5 5

10 x 10 10

Considerandoo “Nºdepeças” comoagrandeza referência,temosque:

= ⇒ = ⇒ =500x

510

.510

.510

500x

125

1 000x 4 000

Portanto,seriamproduzidas4000peças.


Nº de operários Nº de diasComprimento

do canal

10 12 20

16 x 24

Considerando o “Nº de dias” como a grandeza referência,temosque:

= ⇒ = ⇒ =12x

1610

.2024

6x

46

x 9

Os operários gastarão 9 dias para abrir o canal, ou seja,

=930

310

domês.


Nº de operáriosNº de pares de calçados

Nº de horas/dia

16 120 8

x 300 10

Considerandoo“Nºdeoperários”comoagrandezareferência,temosque:

16x

120300

.108

4x

18

x 32= ⇒ = ⇒ =

Portanto, nesse novo contexto, serão necessários 32 operários.


Nº de dias Nº de peças Nº de horas/dia

3 1200 5

n 640 4


= ⇒ = ⇒ =3n

1 200

1 840.4

5

1n

80460

n 5,75

Sea cargahorária fossede cincohorasdiárias,amáquina

produziriaas1840peçasem5,75dias,ouseja, +534

dias.

Portanto,no6ºdiaamáquinatrabalharia + =534

.4 3 horas.


Nº de professores

Nº de provas Nº de Dias

13 3000 6

15 5500 n


= ⇒ = ⇒ ≅6n

1513

.3 000

5 500

1n

15143

n 9,53

Portanto, < ≤8 n 10.

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48 Coleção EM1


Fração do relatório

Nº de diasNº de alunos

Nº de horas/dia

2/5 10 24 7

3/5 x 20 6

Considerando o “Nº de dias” como a grandeza referência, temos que:

= ⇒ = ⇒ =10x

20

24.67

.

25

35

10x

5.221

x 21

Portanto, serão necessários 21 dias para os alunos terminarem a tarefa.


Nº de

dias

Nº de funcioná-

rios

Nº de horas/

dia

Fração concluída

do ser-viço

Produtivi-dade

8 6 6 3/5 y

x 8 9 2/5 2y


8x

8

6.9

6.

35

25

.2y

y

1x

14

.32

.2 x 1,3= ⇒ = ⇒ =

A nova equipe gastou, portanto, +113

de um dia para terminar

o serviço. Ou seja, h corresponde a um terço da jornada de

trabalho dos funcionários, logo =13

.9 3 horas.


Nº de Operários

Nº de diasNº de

horas/dia

Porcenta-gem

do trabalho

24 10 7 40

20 x 6 60


= ⇒ = ⇒ =10x

20

24.6

7.40

60

10x

2042

x 21

Portanto, o tempo total gasto para executar o serviço foi de 31 dias. Como os operários iniciaram os trabalhos em uma segunda feira, eles trabalharam quatro semanas completas, ou seja, 28 dias e terminaram o serviço em uma quarta-feira.

Questão 48 – Letra BComentário: Utilizando o número de dias D como a grandeza referência, e analisando as demais grandezas com relação a ela, temos:

Número de máquinas (N): inversamente proporcional

Rendimento (R): inversamente proporcional

Horas por dia (H): inversamente proporcional

Peças (P): diretamente proporcional

Portanto, podemos concluir que D pode ser escrito em função das outras variáveis da seguinte forma:

=D k.PNRH

Seção Enem



Habilidade: 16Comentário: Para determinar a quantidade de gasolina utilizada no reabastecimento, é necessário encontrar a quantidade de combustível inicial do carro. Como a densidade é de 750 gramas por litro e é permitida a capacidade de 100 kg, o volume é:

V 1000,75

.=

Como o computador de bordo acusou o consumo de 410

da

gasolina no tanque, restaram 610

e foram abastecidos 13

dessa

quantidade restante.

Logo, o volume abastecido foi:

V 1000,75

6

10

13

V 100,75

2

V 200,75

a

a

a

= ⋅ ⋅

= ⋅

=

Questão 02 – Letra BEixo cognitivo:

Competência de área:

Habilidade:

Comentário:

• Motorista X :Velocidade : V

Tempo: 2510

.td V.25

10.t

• Motorista Y : Velocidade : VTempo: t

d V.t

x

y

⇒ =

⇒ =

d

d

V. 25100

.t

V.t14

x

y

= =

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Manual do Professor


Questão 03 – Letra BEixo cognitivo:I


Habilidade: 15Comentário: Calculandoarazãoentreamassadecontaminantesnãocapturadoseonúmerodediasparacadacaso,temos:

Filtro1(F1): 186mgdias

⇒3mg/dia

Filtro 2 (F2): 153

mgdias

⇒5mg/dia

Filtro 3 (F3): 184mgdias

⇒4,5mg/dia

Filtro 4 (F4): 6

3mgdias

⇒2mg/dia

Filtro 5 (F5): 32

mgdias

⇒1,5mg/dia

Logo,ofiltrodescartadoseráF2,poisapresentaomaiorvaloreconsequentementeopiordesempenho.

Questão 04 – Letra CEixo cognitivo:III


Habilidade: 16Comentário: Conforme o enunciado da questão, temos5 frascos de 800mL, totalizando 4 000mL.Nas primeiras 4horas,opacientereceberá40%dessetotal,sobrandoainda60%de4000mL,ouseja,2400mL.Como1mLcorrespondea12gotas,temos:

Númerodegotasporminuto= 2 400 . 1220 . 60

24=

Questão 05 – Letra EEixo cognitivo:ICompetência de área: 5Habilidade:19Comentário:

1ºmomento:

Conformeoenunciado,temosàs10hdamanhã:

500 m

A = 500 m . 500 m

A = 250 000 m2

500 m

Comosão4pessoasporm2,temos1000000pessoas.

2ºmomento:

Das10hdamanhãatéas16h,temos:

6h.120000pessoas/h=720000pessoas

Total:1720000pessoas

2000pessoas 1policial

1720000pessoas xpoliciais

Logo, x = =1 720 0 0 02 0 0 0

860.

Questão 06 – Letra BEixo cognitivo:III


Habilidade: 25

Comentário: Temos250mg/m2.

Como3kgcorrespondema0,208m2,temos:

Dosagem (mg) Área (m2)

250 1

x 0,208

x=250.0,208=

= =250 .208

1 000

208

452 mg.

Questão 07 – Letra BEixo cognitivo:III


Habilidade: 16

Comentário: Comohá4catracasporportãoehá5portões, há um total de 20 catracas nas entradas do estádio.Consideremosaregradetrêsaseguir:

Pessoas Catracas Tempo

1 1 2 s

45000 20 x

Comoindicamassetas,otempoédiretamenteproporcionalà quantidade de pessoas e inversamente proporcional àquantidadedecatracas.Assim,temosaproporção:

= ⇒

= ⇒

= = =

2x

145 000

. 201

20x 2 . 45 000

x 4 500 s 1,25 h 1h15min.

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50 Coleção EM1



Habilidade: 16

Comentário: Consideremos a seguinte regra de três composta: a quantidade de ralos a ser utilizada é diretamente proporcional à capacidade do reservatório e inversamente proporcional ao tempo gasto para esvaziá-lo.

Ralos Capacidade (m3) Tempo (h)

6 900 6

X 500 4

6 900500

46

6 500900 4

56x

x= ⇒ = =. ...

Serão necessários 5 ralos.



Habilidade: 21

Comentário: Seja x o acréscimo no número de homens que seriam internados por AVC nos próximos cinco anos. Temos:

=

=

=

x28

832

x28

14

x 7 mil homens

Total de homens internados: 28 + 7 = 35 mil.

Questão 10 – Letra AEixo cognitivo: III


Habilidade: 25

Comentário: O Sol possui temperatura de 6 000 K. Como a estrela considerada possui temperatura igual a 5 vezes a temperatura do Sol, sua temperatura é de 30 000 K. Tal valor é próximo do valor de referência na classe espectral B0, cuja luminosidade é 2 . 104 = 20 000 vezes a luminosidade do Sol.



Habilidade: 16

Comentário: A resistência S da viga dada é diretamente proporcional à largura b e ao quadrado da altura d, e k é a constante de proporcionalidade do material. Logo, S = k.b.d2.



Habilidade: 16

Comentário:

=2 banhos/dia .10 minutos . 7 dias.4,8 kW

60 minutos11,2 kW.



Habilidade: 12

= ⇒ =1

250C

2 800C 11,2 cm.

= ⇒ =1

250L

1 200L 4,8 cm.



Habilidade: 12

Comentário:

8 cm2 000 km

8 cm

200 000 000 cm

125 000 000

= =

Logo, o mapa observado pelo estudante está na escala de 1 : 25 000 000.



Habilidade: 21

Comentário: Para receber 30 convidados, temos as seguintes quantidades de alimentos e bebidas:

Carne ----------30 . 250 g = 7 500 g = 7,5 kg

Arroz -----------30:4 = 7,5 copos

Farofa ----------30 . 4 = 120 colheres de sopa

Vinho -----------30:6 = 5 garrafas

Cerveja ---------30:2 = 15 garrafas

Espumante -----30:3 = 10 garrafas

Portanto, a alternativa E é a correta.



Habilidade: 12

Comentário: Densidade demográfica =

= =20 .10800 .10

200 . 10

8 . 1025 habitantes/km .

6

3

5

52

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Habilidade: 21

Comentário: Sejam c e , respectivamente, o comprimento e a largura da piscina. Como 50 m = 5 000 cm e 25 m = 2 500 cm, temos:

1100 5 000

50= ⇒ =c c cm

1100 2 500

25= ⇒ =

cm.



Habilidade: 21

Comentário: O Pantanal tem área aproximada de 210 mil km2

e as cheias cobrem até 23

dessa área. Assim, a área alagada

pode chegar a 23

210 000 140 000 2. .= km

CAPÍTULO – C2Semelhança de triângulosExercícios de aprendizagem

Questão 01Comentário: Os dois triângulos mostrados na figura são semelhantes pelo caso AA, já que têm um ângulo reto e o ângulo α em comum. Por semelhança, temos:

= ⇒ =183

20x

x103

m.

Logo, a medida da sombra é 103

m.

Questão 02 – Letra EComentário: Os triângulos ACH e ABD são semelhantes,

já que DÂB é ângulo comum e A H A DC B≡ , pois CH e BD são paralelos. Assim, chamando a medida de CH de y, temos:

1,55

y3

5y 4,5y 0,90 m.

=

==

Questão 03 – Letra BComentário: Sendo x a distância do projetor em relação à tela na sala menor, temos:

x x12

23

8= ⇒ =

Questão 04 – Letra BComentário: Os dois triângulos apresentados na figura são semelhantes pelo caso AA, já que θ é ângulo comum e os catetos menores são paralelos. Assim:

= =+

=

=

10,51,5

710,5 17,5

h28h

h 4,0 m.

Questão 05 – Letra EComentário: Considere a figura a seguir:

A4

4

2

B

C

M N

Se MN é paralelo a AC, então BMN = BAC e BNM = BCA. Assim, os triângulos MBN e ABC são semelhantes pelo caso AA. Como ABC é isósceles (AB = AC), MBN também o é (BM = MN = 4 cm). Aplicando o Teorema de Pitágoras em BMN, temos:

( ) ( ) ( ) ( )BM MN BN BN BN2 2 2 2 2 24 4 4 2+ = ⇒ + = ⇒ =

Portanto, o perímetro do triângulo MBN é:

( )= + + = +2p 4 4 4 2 4 2 2 cm.

Questão 06 – Letra BComentário: Como o atacante deve percorrer uma distância mínima para pegar a bola, essa distância é uma reta perpendicular à trajetória da bola. Assim:

12

20

D

B

C32

16

16

A

L

α

Como C é o ponto médio do segmento AL, CL = CA = 16 m.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CDL, temos:

(DL)2 = (CD)2 + (CL)2 ⇒ (DL)2 = 122 + 162 ⇒ DL = 20.

Como C L D = AL B e DCL = ABL, os triângulos CDL e ABL são semelhantes pelo caso AA. Assim:

CDAB

DLAL

12AB

2032

AB 19,2.= ⇒ = ⇒ =

Portanto, a distância mínima que o atacante terá de percorrer para pegar a bola é o segmento AB, que vale 19,2 m.

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52 Coleção EM1

Questão 07 – Letra EComentário:Observeafiguraaseguir:

R102

R103

120 kmZ P

T

R101

160 km

X

dβ

β

α

Y

300 km

Amenor distância do pontoY até a reta que representa a rodoviaR103ocorrequandoYTéperpendicularaXT.

AplicandooTeoremadePitágorasnotriânguloXZP,temosque:

(XP)2=1202+1602 ⇒ (XP)2=40000⇒XP=200

OstriângulosXTYeXZPsãosemelhantespelocasoAA,logo:300200

YT120

2.YT 360 YT 180= ⇒ = ⇒ =

Portanto,ocomprimentodarodoviaaserconstruídaéiguala180km.

Questão 08 – Letra CComentário:Osdoistriângulosapresentadosnafigurasãosemelhantes,jáqueexisteumpardeângulosOPVehádoisparesdeângulosalternosinternos.Assim,pelasemelhança:

=

=

1mm5 . 10 mm

x15 . 10 m

x 3 m.

–3 –3

Questão 09 – Letra BComentário: Deacordocomoenunciado,podemosesboçaraseguintefigura:

24 m

60 m20 m

x

C

D

B

A

αα

O

ComoAOC = BOD e DBO = ACO,ostriângulosAOCeDOBsãosemelhantespelocasoAA.Sendoxalarguradorio,temos:

= ⇒ =x60

2024

x 50 m.

Questão 10 – Letra AComentário:Considereafiguraaseguir,emquex é o lado do quadrado ABCD, AM = 4 e AN = 6.

M

4 – x

x

4

x

x

x

B

6A D

C

N

Como BC é paralelo a AN, MCB = MNA e MBC = MAN.

Logo,ostriângulosBMCeAMNsãosemelhantespelocasoAA.

Assim:

= ⇒−

= ⇒ =MBBC

MAAN

4 xx

46

x 2,4 cm.

Questão 11 – Letra DComentário: Considereafigura,emquedéadistânciapedida.

A B

d

DE

X

300 mm

20 000 - d

60 mm

ComoostriângulosABXeEDXsãosemelhantes,temosque:

− = ⇒ = − ⇒

= ⇒ ≅ ⇒ ≅

20 000 dd

60300

d 100 000 5d

d 100 0006

d 16 666,7mm d 16,7 m.

Questão 12 – Letra CComentário:Comoos triângulos retângulos formadospelasombraepeloobjetosãosemelhantes(jáqueoângulode

incidênciasolaréomesmo),temos,chamandodeh a altura

dopostedeiluminação:

=

=

h16

2,74,8

h 9 m.

Questão 13 – Letra BComentário: Sendo h a altura da árvore, temos, pelasemelhançadetriângulos:

=

= ⇒

1,81,6

h20

h 361,6

22,5 m.

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Questão 14 – Letra AComentário:ComoostriângulosABCeBEDsãosemelhantes,

temos:

= ⇒ − = ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒

= ⇒ ≅

BE

BC

DE

AC

400 CE400

120220

11 (400 CE) 400 6

CE 2 00011

CE 182 m.

Questão 15 – Letra AComentário:Arazãoentreasmedidasdeladoshomólogosde

triângulossemelhantestambémseaplicaaoperímetrodesses

triângulose,deformageral,aqualquermedidalinear.Arazão

desemelhançaé = =k2114

32,eoperímetrodotriângulomenor

é2p=7+9+14=30cm.Assim,sendoxoperímetrodo

triângulomaior,temos:

= =

=

k32

x30

x 45cm.

Questão 16Comentário:Considereasfigurasaseguir:

A

B 15 C

119

M

N P

yx

z

Em dois triângulos semelhantes, a razão entre os lados

homólogoséigualàrazãoentreosperímetros.Assim,sendo

105cmoperímetrodotriânguloMNP,temos:

x y z x y z

x x cm

y9 11 15 9 11 15

10535

3

93 27

11= = = + +

+ += = ⇒

= ⇒ =

== ⇒ =

= ⇒ =

3 33

153 45

y cm

z z cm

Questão 17 – Letra DComentário:Deacordocomoenunciado,podemosesboçar

aseguintefigura:

D

8 7

3 x P

C

A B

Se AD é paralelo a BC, então PCB = PDA e PBC = PAD.Assim,

ostriângulosPBCePADsãosemelhantespelocasoAA.Logo:

= ⇒ =+

⇒ =PBBC

PAAD

x7

x 38

x 21.

Questão 18Comentário: De acordo com o enunciado, prolongando osladosdatorre,temos:

A

B C

4,25 m4,25 m

5 m5 m

6 m

4 m

y

D E

F G

x

H

I

J

SeBC,DEeFGsãoparalelas,entãoABC = ADE=AFG e ACB =

AED = AGF. Portanto, os triângulos ABC, ADE e AFG sãosemelhantespelocasoAA.Assim,considerandoAH=y,temos:

= = ⇒ =+

=+

⇒

=+

⇒ =

+=

+⇒

+=

+⇒ =

AHBC

AIDE

AJFG

y4,25

y 65

y 10x

y4,25

y 65

y 34

y 65

y 10x

34 65

34 10x

x 5,5m.

Questão 19 – Letra AComentário:Considereafiguraaseguir:

r

B

s

Q

A

C

O

P

αα

β

β

θ

ObserveotriânguloABO.OsegmentoPOéaalturaeamediana

relativaaoladoABdessetriângulo,portanto,tambémseráa

bissetriz do ângulo AOB. Analogamente, no triângulo BOC,OQéaalturaeamedianarelativaaBC,etambémébissetriz

de BOC.Assim,oânguloAOC vale (2α + 2β). No entanto,

θ = α + β.Logo,temosAOC = 2θ.

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54 Coleção EM1

Desafio

Questão 01 – Letra EComentário:Observeafiguraaseguirqueilustraasituaçãodescrita no enunciado:

P

A

N

CB mDxm – x

M

Pelas semelhanças entre os triângulos BMN e BAD e entreADC e PMC:

BMMN

BDAD

MN BM.ADBD

CDAD

BDAD

CMMP

MP CM.ADBD

MN MP (BM CM).ADBD

2BD.ADBD

2AD

= ⇒ =

= = ⇒ =

+ = + = =


B

A L L'H P S C

RQM M'

Sejay o lado do quadrado PQRS e ∆ ∆CMM' CQR, portanto, temos:

= ⇒ =MM'ML

yy

MM' ML

Agora,noteque:

( )( )

∆ ∆ ⇒ = ⇒ = ⇒

= + ⇒ =+

BMM' BACb –MLMM'

ba

ab – a . (ML) b . MM'

ab ML a b MLaba b

Questão 03Comentário:Observeafiguraaseguirqueilustraasituaçãodescrita no enunciado, sendo xamedidadeAD=BC:

A B

D C

G4x

x3

2x3

6

F

E

OstriângulosADGeBGEsãosemelhantes,poisháumpardeângulosopostospelovérticeeoutropardeângulosalternosinternos.Assim:

= ⇒ = ⇒ = =46

BEx

BE2x3

EC x –2x3

x3

OstriângulosCEFeADFsãotambémsemelhantes,poisADéparaleloaBC,logo:

=+

⇒ =FEx3

FE 10x

FE 5


Questão 01 – Letra AComentário:Comoosdoistriângulosapresentadosnafigurasãosemelhantes,esendohaalturadoprédio,emmetros:

= ⇒ =h

1553

h 25.

Questão 02 – Letra DComentário: Os dois triângulos retângulos constantes dafigura são semelhantes, pois possuem um par de ânguloscorrespondentes determinados em duas paralelas por umamesmatransversal.Assim,sendox a profundidade do poço, emmetros,temos:

= ⇒ =1,60,5

x1,1

x 3,52

Questão 03 – Letra BComentário: Considerando a semelhança entre os doismaiorestriângulosdafiguraechamandoamedidadesejadade h,temos:

= ⇒ =649h

h 6.

Portanto, a altura PR = 6.

Questão 04 – Letra BComentário:Observeafiguraaseguir,queilustraasituaçãodescritanoenunciado,sendoqueamoçaérepresentadapelosegmento AB, sua sombra de comprimentox (emmetros) porBCeoposteporDE:

D

A

CBE

4

1,5

2 x

ComoostriângulosABCeDECsãosemelhantes:

+= ⇒ = + ⇒ =

xx 2

1,54

4x 1,5x 3 x 1,2

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Questão 05 – Letra EComentário: Os dois triângulos constantes da figura sãosemelhantespoistêmdoisparesdeângulosalternosinternos(alémdeumpardeângulosopostospelovértice).Assim:

= ⇒ =0,5x

0,153

x 10

Questão 06 – Letra DComentário:OstriângulosAEBeACDsãosemelhantes.SendoamedidadeADchamadadex,temos:

= ⇒ =37

2,4x

x 5,6m.

Portanto,AD=5,6m.

Questão 07 – Letra AComentário:Ostriângulosdafigurasãosemelhantes,comACBcomum,ABC=EDC e BAC = DEC.

A

B E C

D6 cm

12 cm

9 cm

Chamemososperímetrosde2pABC e 2pEDC. Assim:

DEAB

2p

2p2,56

2p

12 6 92p 11,25 cm.DEC

ABC

DECEDC

= ⇒ =+ +

⇒ =

Questão 08 – Letra CComentário:Podemosobservardoistriângulossemelhantesnaseguintefigura.Sãoeleso ABC e o ECD:∆ ∆

A

E

1

C D2,5

255115

B

Assim, ABEC

BCCD

AB1

3702,5

AB 148 m.= ⇒ = ⇒ =

Questão 09 – Letra EComentário:SendoasmedidasdeDEeDB,respectivamente,x e y,pelasemelhançaentreADEeABC,temosque:

=+

= =

= ⇒ =

+= ⇒ + = ⇒ =

= + + + =

x16

10,410 y

1020

12

x16

12

x 8

10,410 y

12

y 10 20,8 y 10,8

2p 9,6 16 8 10,8 44,4

Questão 10Comentário:OstriângulosASReABDsãosemelhantespelocaso AA, pois A BD éumângulocomume S B≡ . Os pares deladoshomólogossãoRSeBD,AReAD,ASeAB.Assim:

= = =

= == =

4y

7x

510

12

y 4 . 2 8cm.x 7 . 2 14cm.

Questão 11Comentário:Observeafiguraaseguirqueilustraasituaçãodescritanoenunciado,sendoqueohomemérepresentadopelosegmentoAB,suasombraporCD,suadistânciaemmetrosaté o edifício por x:

D

8 m

CEB x

A

12 m

2 m

A) ComoostriângulosEBAeECDsãosemelhantes:

= ⇒ = ⇒ =ABEB

DCEC

212– x

812

x 9m

B) EE

= =

+

= =

=

cossec C D1

sen C D

1

8

8 12

2088

4 138

132

2 2

Questão 12 – Letra CComentário: O enunciado nos diz que PAB e PCA sãosemelhantes. AB e AC são homólogos, pois estão opostosao ângulo comum. Como P C P BA A< , PC tem de ser,necessariamente,homólogoaAP.Assim,chamandoasmedidasdePCdexeadePAdey,temos:

= =+

= ⇒ =

+ =

+ =

=

68

xy

yx 7

3y 4x y4x3

3x 21 4y

3x 2116x3

x 9

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56 Coleção EM1

Questão 13 – Letra BComentário: OstriângulosADE,AFGeABCsãosemelhantespelocasoAA,jáqueBACéângulocomumeADE=AFG = ABC. ComoAB=5AD=5FB,AD=FB.

α

α

α

A

D

F

B C

G

E

x

3x

x

QueremosarazãoFGDE,quepodeserencontradapormeioda

semelhança:

DADE~D AFG

= ⇒ = ⇒ =≠

FGDE

AFAD

FGDE

4xx

FGDE

4x 0

Questão 14 – Letra BComentário:Chamandooladodolosangodex e observando queADEeABCsãosemelhantes,temos:8 – x

8x

128 – x x8 12

820

25

5x 24 x 4,8

= = ++

= =

= ⇒ =

Questão 15Comentário:Observeafiguraaseguirqueilustraasituaçãodescrita no enunciado, sendo que a pessoa é representada pelo segmentoAB,oobeliscoporDE,suadistânciaatéapessoa(emmetros)valexesuasombraéEC:

D

A

CE

12

1,8

x 4,8 – xB

ComoostriângulosABCeDECsãosemelhantes:

= ⇒ = ⇒ =1,812

4,8 – x4,8

12 –2,5x 1,8 x 4,08

Questão 16 – Letra AComentário:Observeafiguraaseguirqueilustraasituaçãodescrita no enunciado, sendo xamedidadoladodoquadrado,emmetros:

D E

A

B C

5 – x

x x

x

10

ComoostriângulosABCeADEsãosemelhantes:

= ⇒ =5 – x

5x

10x

103

Questão 17 – Letra AComentário:Observeafiguraaseguirqueilustraasituaçãodescritanoenunciado;xéadistânciaprocurada,emmetros:

A

x 9 – x

B

42

C DE

Comoos triângulos retângulosACEeBEDsãosemelhantes(CEA = BED):

= ⇒ =2x

49 – x

x 3

Questão 18Comentário:Observeafiguraaseguirqueilustraasituaçãodescritanoenunciado;(20+x)éocomprimentoprocurado,emmetros:

F

BE

D

A

10x

C

2020 20

4030

Como BC é paralelo a ED, os triângulos FBC e FED sãosemelhantes:

=

= ≅ ⇒ + ≅

x10

3070

x307

4,3 20 x 24,3

Assim,24éointeiromaispróximodocomprimentodeAB.

Questão 19 – Letra DComentário:Observeafiguraaseguir:

4 m

12 m 8 m

8 m

4 m

2 m

A B C

xE

D

IH

F

ConstruindoaparalelaDFaAC,temosqueostriângulosDIEeDFHsãosemelhantes.Assim:

=+

= = ⇒ =12x

12 82

202

10 x 1,2 m

Portanto,BI=4+1,2=5,2m.

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Manual do Professor


Questão 20 – Letra D

Comentário: Sendo xaalturadotriânguloABC,considerea

ilustraçãoaseguirparaaresoluçãodoproblema:

C

G xD

A E

12 12

8

8 F B

OstriângulosCDGeCABsãosemelhantes.Dessaforma,temos:

DGAB

x –12x

815

x –12x

8x 15x –180

7x 180 x1807

= ⇒

= ⇒

= ⇒

= ⇒ =

Questão 21

Comentário:Observeafiguraaseguir:

QR

B

SP

x

0,8 – y

0,4 m

0,9 m

1,2 – x

y

90 – θ90 – θ

θ

θ

V

Ostrêstriângulosdestacadosnafigurasãosemelhantespelo

casoAA.Assim,podemosescrever:

= = =

++

=+

+ =

=

=

1,2 – x0,9

x0,8 – y

0,4y

x 0,40,8 – y y

x 0,40,8

0,9x 0,36 0,96 – 0,8x

1,7x 0,6

x6

17

Questão 22 – Letra CComentário:OstriângulosABFeACEsãosemelhantes.ComoamedidadeCEétalqueCE=12+36=48m,temos,sendox a altura do prédio:

+= =

=

20x 20

1248

14

x 60 m.


A) A

B

D

EC

1,512,3

4

x

ArampaérepresentadaporAC,apartecaminhadapelapessoa é CD.

B) Sendo xadistânciaemmetrosprocurada,pelasemelhançaentreCDEeABC,temos:

=+

⇒ + = ⇒

= ⇒ =

1,54

12,312,3 x

36,9 3x 98,4

3x 61,5 x 20,5 m.

Questão 24Comentário: A)

C

E

B

A

D

x

4

5 m60°

60°

1,80 m

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58 Coleção EM1

Analisando os triângulos CDE e CAB, temos ACB como

ângulo comum e CDE = CAB, ou seja, pelo caso AA,

DCDE~DCAB.

= ⇒+

= ⇒ = + ⇒ =CDCA

DEAB

xx 4

1,805

5x 1,80x 7,2 x 2,25 m.

B) = ⇒ = ⇒

=

A12

AC.AB.sen 60° A6,25.5. 3

22

A125 3

16m .

ABC ABC

ABC2

Questão 25

Comentário:Considereaimagemaseguirparaaresolução

da questão.

800 m

300 m

900 m

500 m

A

B

CD

T20

x

A) ATD ~ ABC: x900

20300

x 60 m.∆ ∆ = ⇒ =

B) AB 300 900 300 102 2( ) ( )= + =

SendototempoparaoteleféricodeslocardeAatéB,temos:

300¹10=1,5t⇒

t=200¹10.

Questão 26 – Letra B

Comentário:Considereailustraçãoaseguirparaaresolução

doproblema.

A

B C

2

8

6

3

ED

NotequeostriângulosADEeABCsãosemelhantes(casoAAA).

Dessaforma,temos:

ADAB

AEAC

ADAD

AD AD AD= ⇒+

= ⇒ = + ⇒ =2

6

93. 2. 4 4

Poroutrolado,tambémtemos:

DEBC

AEAC BC

BC= ⇒ = ⇒ =8 6

912

Logo,AD + BC=4+12=16.

Questão 27

Comentário: Observeafiguraaseguir:

B

10,2 m

10,2 – x14,4 cm

9,5 m 16 m

F DCQ N

M

xA

25,5 m

36 cm

Temosdeperceberque:

• Os segmentos AC, BD eMN, que representam os raios

solares,sãoparalelos;logo,ostriângulosMNQ,ACFeBDF

sãosemelhantes.

• EtambémqueMNQ = ACF = BDF.

Assim, FCQN

FAMQ

9,536

10,2 x14,4

x 6,4 m.= ⇒ =−

⇒ =


Comentário: Observeafiguraaseguir:

P 24

6x A

B

C

Q

t

s

PodemosgarantirqueospontosP, A e Q são colineares, pois

P, B e CsãocolineareseBA//CQ.Assim,ostriângulosPAB

ePQCsãosemelhantes,jáqueCPQécomumePBA=PCQ.

Assim,temos:

= ⇒ =+

⇒ =ABCQ

APQP

24

xx 6

x 6.

Logo,PQ=12.

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Mat

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Questão 29 – Letra AComentário:Observeafiguraaseguir:

7B C

A

D E14

d

25

Como o triângulo ABC é retângulo, podemos concluir queACmede24cm,porumasimplesaplicaçãodoTeoremadePitágoras.OstriângulosretângulosABCeADEsãosemelhantes,poistêmumângulocomum.Assim:

+= =

=

2425 d

714

12

d 23cm.

Questão 30 – Letra CComentário: SejaO o centro da circunferência inscrita notriânguloABCeM e DpontosdetangênciadossegmentosBCeACrespectivamente,comoilustradonafiguraaseguir:

90° –

α

90° – α

α

3

3

O

A

B C

D

5

M

ADO≡AMC e DAO≡MAC.Logo,pelocritérioAA,ostriângulosDAOeMACsãosemelhantes.

AplicandooTeoremadePitágorasnotriânguloDAO,temos:

= + ⇒ = ⇒ =AO AD OD AD 16 AD 4 cm.2

5

2 2

3

2

2 2

Utilizandoarazãodesemelhançadasmedidascorrespondentes,temos:

= ⇒ = ⇒ =MCOD

AMAD

MC3

84

MC 6 cm.

PelofatodeotriânguloABCserisósceles,MépontomédiodosegmentoBC.Portanto:

BM=MC=6eBC=12cm.

Questão 31 – Letra AComentário: Observeafiguraaseguir:

A

B

O

C

D

H 12

16 cm

24 cm

r

16 – r

r

AplicandooTeoremadePitágorasnotriânguloAHC,temos:

AC2 = AH2 + HC2 ⇒ AC2=162+122 ⇒AC=20cm.

AnalisandoostriângulosAHCeADO,CAHéângulocomum.Alémdisso,ADO = AHC,oquemostraquesãosemelhantes.

Então, r12

16 r20

r 6 cm.=−

⇒ =

Aáreadocírculoédadapor:

A r A 108 cm .2

3

2= π ⇒ =π =

Tendo em

vistaqueénecessário1potedetintaparapintar5400cm²e

quehá450camisetas,onúmeron de potes pode ser expresso

daseguintemaneira:

= =n108 . 450

5 4009

Questão 32 – Letra CComentário:Astrêsprimeirasdistânciassãox–1,3x–2e2xeavelocidadedafontedeluzéconstante.Então:

3x–2–(x–1)=2x–(3x–2)⇒

3x–2–x+1)=2x–3x+2)⇒

2x–1=–x+2⇒ 3x = 3 ⇒

x=1

Concluímos, assim, que a primeiramedição indicará 0m,asegunda1m,aterceira2mea11ªmedição10m.

Logo,afiguraquerepresentaasombradafonteluminosaatéa11ªmediçãoestá representadaaseguir,epormeiodelafoi calculadoo comprimentoda sombrapor semelhançadetriângulo.

h5 m

10 m4 m

= =5h

1014

7 m.

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60 Coleção EM1


Comentário: De acordo com o enunciado, podemos esboçar

a seguinte figura:

A

C

E

FB

D G

5 m2 m

17

3 m1

5 m 12 m d 2 x

Os triângulos ABC, CDE e FGE são semelhantes. Então:

I. ∆ABC ~ ∆FGE:

= ⇒ = ⇒ =ABFG

BCGE

2117x

x 8,5m.

II. ∆ABC ~ ∆CDE:

= ⇒ =+ +

⇒ =ABCD

BCDE

23

17d 2 8,5

d 15 m.

Questão 34 – Letra E

Comentário: Os triângulos ABC e CDF são semelhantes,

pois possuem dois pares de ângulos alternos internos. Logo,

ambos serão equiláteros, sendo CE a altura de CDF e 2CO a

medida da altura de ABC. 2CO = 2 . 9,15 = 18,3 m e CE =

55 – 16,5 – 9,15 = 29,35 m. A distância BD é a soma dos lados

dos dois triângulos equiláteros, cujas alturas conhecemos.

Lançando mão da expressão que dá a altura de um triângulo

equilátero em função de seu lado, teremos:

+ = = ⇒ = =18,3 29,35 47,65BD 3

2BD

95,3 33

953 330

.

Questão 35

Comentário: Observe a figura a seguir:

B AP

R

H

9 3

2,43 x

Os triângulos BPR e ABH são semelhantes, já que RP é paralelo

a AH. Assim, sendo x a altura alcançada pelo jogador, podemos

escrever:

=

=

912

2,43x

x 3,24 m.

Questão 36 – Letra DComentário: Considere a fi gura a seguir:

A

DE

hb

a3 m

9 m

bCB H

a

Sejam a e b as alturas dos triângulos AEB e DEC, de base AB e CD, respectivamente.

Os triângulos ABE e DCE são semelhantes.

⇒

A B D C opostos pelo vértice

A E C E alternos

E EB D

=

=

( )

( interrnos

internos

)

( )B E D E alternosA C=

Daí, 93

= ab

⇒ a = 3b.

B E B D

H E C D

H CB B

=

=

⇒ Os triângulos BHE e BCD são semelhantes pelo caso AA (ângulo, ângulo).

Daí, h a

a b3=

+ ⇒ h =

3aa b+

⇒ h = +

=3(3b)3b b

9b4b

= 2,25,

pois b > 0.

Portanto, as barras se encontram a uma altura de 2,25 m do chão.

Questão 37 – Letra AComentário: Sendo x a distância medida em centímetros procurada, pela semelhança teremos:

= ⇒ =x40

40100

x 16 cm.

Seção Enem

Questão 01 – Letra BEixo cognitivo: II


Habilidade: 7

Comentário: O mosaico que tem as características daquele

que se pretende construir é o mosaico 2. Nele, os triângulos

30°, 60°, 90° são congruentes e o triângulo 30°, 30°, 120°

é isósceles.

No mosaico 1, o triângulo 30°, 30°, 120° é isósceles, mas os

triângulos 30°, 60°, 90° não são congruentes.

No mosaico 3, os triângulos 22°, 68°, 90° são congruentes,

mas o triângulo 44°, 46°, 90° não é isósceles.

Nos mosaicos 4 e 5 não é possível formar um triângulo retângulo

com as três peças.

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Manual do Professor


Questão 02 – Letra CEixo cognitivo:III


Habilidade:8

Comentário:DenotandoamedidadeEFporx, AF = a e BF = b, podemosaplicarsemelhançadetriângulosentreBEFeBACeentreAEFeABD.Assim:

+=

+=

ba b

x4e

aa b

x6

Dividindo uma equação pela outra, concluímos que =b3a2

. Substituindonasegundaequação,temos:

+= = ⇒ =a

a 3a2

25

x6

x 2,4 m.

Questão 03 – Letra EEixo cognitivo:II


Habilidade: 7

Comentário:Considereafiguraaseguir:

M

a

a

bb N C

B

P

A

Os triângulos ABC eNMC são semelhantes e sua razão de

proporcionalidadek=BCMC

=2.Logo,arazãoentreasáreas

dostriângulosABC(SABC) e NMC (SNMC)ék2 = 4.

Portanto, S S

SABMN NMC

NMC

+ = 4 ⇒ SABMN = 3.SNMC.

Questão 04 – Letra D Eixo cognitivo:III


Habilidade: 8

Comentário: Sejama, b e c o comprimentodosdegraus,conformeafiguraaseguir:

30

60

A

a

b

c

B

F

CD

E

Note que bébasemédiadotrapézioABCD,aébasemédiado

trapézioABFE,ecébasemédiadeEFCD.Logo:

=+

=

=+

=

=+

=

⇒ + + + + =

b30 60

245

ab 30

2752

cb 60

21052

30 a b c 60 225

Questão 05 – Letra BEixo cognitivo:IV


Habilidade: 9

Comentário: Sejahaalturadoposte.Usandoasemelhançanostriângulosformadospelapessoaesuasombraepeloposte

esuasombra,nomomentoinicial,temos:

= ⇒ =1,80 m60 cm

h200 cm

h 6 m.

Utilizando,novamente,asemelhançaesendox o novo valor

dasombradapessoa,temos:

=−

⇒ =1,80 m

x6 m

200 cm 50 cmx 45 cm.

Questão 06 – Letra AEixo cognitivo:IV


Habilidade:9

Comentário: De acordo com o enunciado, temos doistriângulossemelhantes.Observe:

MNS

3 m

H

P

5 m

R

¹3 m

O comprimento RS corresponde à altura de um triângulo

equiláterodelado2m,ouseja,RS= 3 .

ComoDMNP~DMSR,temos:

= ⇒

=

3H

38

H8 33

m.

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62 Coleção EM1

Questão 07 – Letra CEixo cognitivo:IV


Habilidade:9

Comentário:Deacordocomoenunciado,podemosesboçaraseguintefigura:

α

α

B10 dm

6 dm

45 cm

C

x

A

DDE

Primeiramente, temos de converter os comprimentos àmesmaunidade,nocaso,decímetro.Assim,notriânguloBCD, aalturarelativaàbaseCDvale4,5dm.AplicandooTeoremadePitágorasnotriânguloBED,temos:

BD2=BE2+ED2 ⇒

BD2 = 20,25+36⇒

BD=7,5

Note que os triângulos ACB e BED são semelhantes pelocasoAA,logo:

= ⇒

=

x6

107,5

x 8 dm.

Questão 08 – Letra DEixo cognitivo:IV


Habilidade:9

Comentário:Observeafiguraaseguir:

C E

H

4 m

B

D

Calçada

F

2 m

α

α

10 m

G

Temos BCE = BDG e BEC = BGD.Logo,ostriângulosBCEeBDGsãosemelhantespelocasoAA:

=+

⇒

=

42

4 H10

H 16 m.

Sugestões de leitura para o professor•AMatemáticadoEnsinoMédio.E.L.Limaetal.SBM.

•AnáliseCombinatóriaeProbabilidade.AugustoC.Morgadoetal.SBM.

•CálculoparaCiênciasMédicaseBiológicas.AlbertoFlávioAlvesAguiar;JoséEunyRodriguesMoreira;XAVIER,AirtonFonteneleSampaio.Harbra.

• Elementarymathematics:selectedtopicsandproblemsolving.G.Dorofeev;M.Potapov;N.MirRozov.

• IntroduçãoàhistóriadaMatemática.H.UnicampEves.

•MecânicaVetorialparaEngenheiros.FerdinandP.Beer;E.RussellJohnstonJr.Pearson(MakronBooks).

•RevistadoprofessordeMatemática.SBM.

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