Matemática em Toda Parte II - Professores de Matemáticaprofessoresdematematica.com.br/wa_files/12MTP2-Dica-Pedagogica-Com... · (6º ao 8º ano), e a segunda aula aplicada no Ensino

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Matemática em Toda Parte II

Episódio: “Matemática na Comunicação”

Resumo

O episódio “Matemática na Comunicação” aborda como a Matemática tem ajudado o

homem a se comunicar, revelando o que está oculto nas mensagens e escondendo aquilo que

não pode ser revelado. No primeiro bloco são apresentadas situações envolvendo a

construção de mensagens por meio de códigos criados pelo homem no Egito antigo, como a

Pedra de Roseto, e nos dias atuais, com a codificação da artista plástica Joana Cesar,

mostrando como a Criptografia usa a Matemática para cifrar e decifrar mensagens. O

segundo bloco vai investigar a Matemática por trás da comunicação digital e, para isso,

mostrará o outro lado da Criptografia: ajudar a esconder o que não pode ser revelado, como

as senhas bancárias, ordens de compra e venda, projetos empresariais e uma série de outras

informações que precisam ser guardadas em segurança. Temas como os números primos,

divisibilidade, análise e explosão combinatória são abordados nesse bloco. Uma excelente

oportunidade para conhecer relações entre a Matemática e a linguagem, principalmente as

presentes no mundo digital. Boa conexão!

Palavras-chave

Comunicação digital, criptografia, internet, números primos.

Nível de ensino

Ensinos Fundamental e Médio.

Componente curricular

Matemática.





Disciplinas relacionadas

Língua Portuguesa, História e Sociologia.

Aspectos relevantes do vídeo

Mostrar como a Matemática está relacionada às diferentes formas de enviar mensagens,

ajudando na construção, decifração e ocultação das informações contidas em tais

mensagens.

Mostrar que a necessidade do envio de mensagens secretas está presente em diversas

culturas, do Egito antigo ao mundo tecnológico atual, em que as técnicas de transmissão

dessas mensagens estão intimamente ligadas a conceitos matemáticos.

Abordar as ideias básicas da Criptografia de forma simples e acessível ao nível de

conhecimento matemático de alunos da Educação Básica.

Mostrar que números primos e divisibilidade formam a base da segurança e do sigilo de

muitas informações transmitidas via internet, incluindo aí senhas, informações bancárias,

imagens, vídeos e áudios nas redes sociais etc., tão comuns e próximas a essa nova

geração que vive no século XXI.

Associar Matemática ao mundo digital: só é possível viver o virtual graças a muita

Matemática, desde conceitos simples e acessíveis aos alunos, a conceitos complexos,

possíveis apenas aos especialistas.

Discutir a construção de senhas mais seguras por meio da análise combinatória.

Duração da atividade

Duas horas-aula (90 min), cada atividade.





O que o aluno poderá aprender com esta aula

Utilizar propriedades dos números inteiros para decifrar mensagens.

Utilizar análise combinatória para investigar, construir e classificar processos criptográficos,

incluindo as senhas numéricas e alfanuméricas.

Conhecimentos prévios que devem ser trabalhados pelo professor com o aluno

Números primos, múltiplos e divisores.

Porcentagem.

Princípio Fundamental da Contagem e Combinações Simples.

Estratégias e recursos da aula/descrição das atividades

Caro(a) professor(a), apresentaremos algumas sugestões de atividades para dar

suporte à exibição do episódio “Matemática na Comunicação”. Nossa proposta de

atividades foi organizada em duas aulas:

Decifrando Códigos (Ensino Fundamental)

Combinatória e Criptografia (Ensino Médio)

O planejamento das aulas buscou articular o conteúdo apresentado no vídeo às

atividades propostas. Sugerimos que a primeira aula seja realizada no Ensino Fundamental

(6º ao 8º ano), e a segunda aula aplicada no Ensino Médio, ao longo do estudo da Análise

Combinatória. Para facilitar a adequação dessa proposta à realidade de cada professor,

apresenta-se a duração das atividades.

As atividades de cada uma das aulas foram postas em páginas individuais exclusivas,

separadas do restante do texto para serem impressas e utilizadas em sala de aula, aqui

denominadas Folha de Atividades. Imediatamente após cada Folha de Atividades são

apresentados comentários e sugestões para auxiliarem na aplicação em sala de aula.





Professor(a), este material foi elaborado com cuidado de modo que sua aplicação seja

factível, mas lembre-se de que essas sugestões podem e devem ser adaptadas à sua realidade.

Aula 1: Decifrando códigos

Antes de começarmos a atividade, vamos ampliar a visão sobre a Criptologia.

Utilizaremos dois textos sobre o assunto, voltados para os Ensinos Fundamental e Médio,

presentes no currículo do Programa de Iniciação Científica da Olimpíada Brasileira de

Matemática das Escolas Públicas (OBMEP).

Enviar mensagens secretas é uma tarefa muito antiga, nascida com a diplomacia e

com as transações militares. Em grego, cryptos significa secreto, oculto. A Criptografia

estuda os métodos para codificar uma mensagem de modo que apenas o seu destinatário

legítimo consiga interpretá-la. É a arte dos “códigos secretos”. O uso de códigos secretos

costuma estar presente até em brincadeiras de crianças.

Hoje em dia, com as comunicações no mundo digital, muitas atividades dependem

do sigilo na troca de informações, incluindo aí as transações financeiras, militares e

corporativas, dentre outras. A ciência que estuda sistemas de envio e recepção de mensagens

secretas chama-se Criptologia, e se divide em três áreas:

Figura 1 – Divisão da Criptologia.

Fonte: <http://prezi.com/wbsxqlvw-oso/criptologia-bcc-2010>

http://prezi.com/wbsxqlvw-oso/criptologia-bcc-2010





Esse envio, codificação, decodificação e recebimento de mensagens está

simplificadamente representado a seguir:

Figura 2 – Esquema do processo de codificação, envio e decodificação de uma mensagem.

Fonte: <http://www.obmep.org.br/prog_ic_2010/apostila2010.html>

O objetivo das próximas atividades é decifrar códigos utilizando diferentes técnicas.

1º Momento: Preparação da apresentação do vídeo (10 minutos)

Inicialmente, divida a turma em duplas. Em seguida, inicie uma conversa rápida

dizendo que nesta aula serão realizadas atividades envolvendo decifração de códigos.

2º Momento: Exibição completa do vídeo (20 minutos)

Exiba o programa completo. Além dos quase quinze minutos de duração do vídeo,

foram adicionados cinco minutos para considerações finais antes da aplicação da Folha de

Atividades.

3º Momento (60 minutos)

Aplicação da Folha de Atividades com questões cujas respostas serão registradas na

folha, pelos alunos. Sugerimos fortemente que os alunos tentem resolver os problemas a

partir de suas próprias estratégias. Caberá ao professor decidir se primeiramente introduzirá

os conceitos, seguindo com exemplos, para depois partir para os problemas; ou se construirá

os conceitos juntamente com a resolução dos problemas.

http://www.obmep.org.br/prog_ic_2010/apostila2010.html





Folha de Atividades – Aula 1

Decifrando Códigos

Atividade 1

Um dos primeiros sistemas de Criptografia conhecido foi elaborado pelo general Júlio César,

no Império Romano. Júlio César substituiu cada letra pela terceira letra que a segue no

alfabeto.

Figura 3 – Sistema Criptográfico de Júlio César.

Baseado nesse critério:

a) Codifique a frase: Eu gosto de Matemática.

HX JRVWR GH PDWHPDWLFD.

b) Decifre a mensagem OHJDO FRQVHJXL.

LEGAL CONSEGUI.

Em vez de caminhar três letras para frente, podemos andar outro número de letras e teremos

um novo método de cifrar mensagens. Esse número é chamado de chave ou senha do

sistema criptográfico, o qual, por motivos óbvios, só deve ser conhecido por quem envia a

mensagem e por quem a recebe.





Estabeleça agora o seu critério de codificação avançando mais do que três letras. Escreva

uma palavra para a outra pessoa da sua dupla e peça a ela para tentar decodificar sua

mensagem. Se ela não conseguir, conte o seu critério e peça para ela tentar novamente.

Atividade 2

Podemos transformar letras em números, no processo de substituição de letras para

criptografar uma mensagem. No quadro abaixo, temos um exemplo de como podemos fazer

essa associação.

Figura 4 – Sistema Criptográfico associando letras a números.

Desse modo, a letra codificada é obtida da letra original, somando-se três ao número

correspondente. Mas, como vimos, podemos somar outros números. A partir dessas

informações, resolva o problema a seguir.





Comentários e soluções

Atividade 1

a) Codifique a frase: Eu gosto de Matemática.

HX JRVWR GH PDWHPDWLFD.

b) Decifre a mensagem OHJDO FRQVHJXL.

LEGAL CONSEGUI.

A segunda parte dessa atividade gera respostas pessoais dos alunos, dependendo da senha

que escolherem.

Atividade 2

(a) A partir da figura do enunciado temos 23=S, 25=U, 7=C, 22=R e 13=I. Logo, a palavra

codificada como 23-25-7-25-22-13 é SUCURI.

(b) Para a chave 20 temos a figura abaixo, na qual vemos que O=8, B=21, M=6, E=24 e

P=9.

Assim, a codificação de OBMEP é 8-21-6-24-9. Alternativamente, ao passar da chave 5 para

a chave 20 devemos somar 15 aos números da figura do enunciado, lembrando que se a

soma for maior do que 26 devemos subtrair 26.





Assim, temos:

em que OBMEP é codificada como 8-21-6-24-9.

(c) Como não existe letra codificada como 0, um dos números associados a letras na

sequência 2620138 é o 20. À sua direita há três dígitos, mas como não há letra codificada

como 138 ou 38, os números associados a letras são o 13 e o 8. Isto dá um total de três

letras. Portanto, à esquerda de 20 só podemos admitir o 26. Logo, a codificação da palavra é

26-20-13-8, a qual, na chave 20, corresponde a GATO.

(d) Quando somamos três números consecutivos, obtemos um número divisível por 3; por

exemplo, 14 + 15 + 16 = 45 . Ao somar os números que representam as letras A, B e C nessa

certa chave, obtemos 52, que não é um número divisível por 3. Isso mostra que os três

números não são consecutivos e isso somente é possível se um dos números for 26 e outro

for 1. Como a soma é 52, o terceiro número é 52 − 27 = 25. A única codificação de ABC,

nesse caso, é 25-26-1, ou seja, a chave é 25.





Aula 2: Combinatória e Criptografia

As atividades da Aula 2 têm como objetivo aplicar técnicas básicas de contagem no

contexto da Criptografia. Temas como princípio multiplicativo, permutações, combinações,

e desordenamentos são abordados em situações em processos de codificação e construção de

mensagens e senhas. Apresenta-se também como a análise combinatória pode ajudar a

quantificar o número de senhas e sua relação com a segurança destas.

É muito importante que os alunos já tenham visto o princípio multiplicativo, também

chamado de princípio fundamental da contagem.

1º Momento: Preparação da apresentação do vídeo (10 minutos)

Inicialmente, divida a turma em duplas. Em seguida, inicie uma conversa rápida

dizendo que nesta aula serão realizadas atividades envolvendo Análise Combinatória e

Criptografia.

2º Momento: Exibição completa do vídeo (20 minutos)

Exiba o programa completo. Além dos quase quinze minutos de duração do vídeo,

foram adicionados cinco minutos para considerações finais antes da aplicação da Folha de

Atividades.

3º Momento (60 minutos)

Aplicação da Folha de Atividades com questões cujas respostas serão registradas na

folha, pelos alunos. Sugerimos fortemente que os alunos tentem resolver os problemas

presentes nas atividades a partir de suas próprias estratégias. Cabe ao professor auxiliar o

trabalho dos alunos quando julgar necessário, buscando intervir sem retirar o prazer da

descoberta.





Folha de Atividades – Aula 2

Combinatória e Criptografia

Atividade 1

Na sequência de perguntas a seguir, usaremos técnicas de análise combinatória no contexto

da Criptografia, investigando processos de codificação de mensagens.

Um dos primeiros sistemas de Criptografia conhecido foi elaborado pelo general Júlio César,

no Império Romano. Júlio César substituiu cada letra pela terceira letra que a segue no

alfabeto.

Figura 5 – Quadro de substituição do sistema de Júlio Cesar.

Em vez de caminhar três letras para frente, podemos andar outro número de letras pra frente,

de modo a substituir cada letra pela enésima letra que a segue no alfabeto. Esse número é

chamado de chave ou senha do sistema criptográfico, o qual, por motivos óbvios, só deve ser

conhecido por quem envia a mensagem e por quem a recebe. Esse método é dito semelhante

ao de Júlio César.

1) Nos sistemas que seguem um princípio semelhante ao de Júlio César, quantas chaves

diferentes podem ser usadas para obter configurações diferentes?





Consideremos agora um país ALFA, onde apenas três letras são utilizadas: A, B e C.

2) Preencha os quadros abaixo exibindo todas as possibilidades de criptografar

mensagens.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

A B C

A B C

A B C

A B C

A B C

A B C

3) Dessas formas, qual delas não codifica nada?

4) Sem listar, como poderíamos calcular que existem seis delas? E se fossem n letras

diferentes?

5) Apresente as formas em que há “desordenamento”, ou seja, em que nenhuma letra

está em sua posição original.

Considere agora um país BETA, em que são utilizadas quatro letras: A, B, C e D.

6) Quantas palavras diferentes existem, usando as quatro letras?

7) Liste as 24 palavras possíveis usando os quadros a seguir.

1 2 3 4

2 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D





1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

8) Das 24 palavras possíveis, quantas delas respeitam a ordem usual e quais são elas?

9) Quantos e quais são os desordenamentos?

Para encerrar a atividade, mais um pouco de combinatória no mundo das senhas.

10) Quantas senhas de seis caracteres podemos formar usando apenas os 10 algarismos

do sistema decimal?

11) E se fossem apenas as 26 letras do alfabeto?

12) E se fosse possível usar as 26 letras e os 10 algarismos?

13) Qual o aumento percentual do número de senhas possíveis do item 11 para o item

13?

14) Se um computador fosse capaz de verificar 1 milhão de senhas por segundo, quanto

tempo levaria para verificar todas as senhas possíveis do item 11?

15) Faça o mesmo para os itens 12 e 13, e compare os tempos encontrados.





Comentários e soluções

Atividade 1

1) 25 formas diferentes, pois 0 e 26 não contam nada.

2) Preencha a tabela abaixo exibindo todas as possibilidades de criptografar mensagens.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

A B C

A B C

A B C

A B C

A B C

A B C

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 1 2

3 2 1

A B C

A C B

B A C

B C A

C A B

C B A

3) Dessas formas, qual delas não codifica nada?

A primeira forma: ABC é igual ao real, portanto não codifica.

4) Sem listar, como poderíamos calcular que existem seis delas? E se fossem n letras

diferentes?

Usando o princípio multiplicativo, temos 3.2.1 = 6 possibilidades.

Para n letras, temos: n.(n-1).(n-2)...3.2.1. Esse produto é conhecido como fatorial de

n e é pode ser representado por “n!”.

5) Apresente as formas em que há “desordenamento”, ou seja, em que nenhuma letra

está em sua posição original.

BCA e CAB. Ou ainda, 231 e 312.

Esse exemplo é bem fácil de contar um a um. Pode-se chegar ao resultado sem

precisar listar todas as formas.

Ao todo temos três! = 6 possibilidades.

Considere os seguintes conjuntos:

A: conjunto das sequências que possuem o A no seu lugar de origem.





B: conjunto das sequências que possuem o B no seu lugar de origem.

C: conjunto das sequências que possuem o C no seu lugar de origem.

Se contarmos o número de elementos do conjunto ABC, ou seja, n(ABC),

teremos o total de sequências com alguma letra em sua posição original. Daí bastará

subtrair do total de sequências, já calculada, para obtermos o número de sequências

que não possuem letra alguma em sua posição original.

n(A) = 1.2! = 2 n(B) = 1.2! = 2 n(C) = 1.2! = 2

n(AB) = 1 n(AC) = 1 n(BC) = 1

n(ABC) = 1

Agora é só calcular n(ABC). Para isso, representaremos os três conjuntos por

meio de diagramas e representando o número de elementos de cada região possível

entre os três conjuntos.

Figura 6 – Diagrama de Venn aplicado ao problema.

Logo, n(ABC) = 4 e, portanto, o número de desordenamentos é igual a 6 – 4 = 2.

Observe ainda que, para contarmos os elementos da união entre três conjuntos, começamos

somando os elementos de cada conjunto. Ao fazer isso, contamos elementos mais de uma





vez. De fato, os elementos das interseções dois a dois foram contados duas vezes. Para

corrigir isso, basta subtrair da soma inicial, o número de elementos de cada uma dessas

interseções. Mas, com isso geramos um problema, pois a interseção dos três conjuntos foi

considerada três vezes, quando fizemos n(A) + n(B) + n(C) e desconsiderada três vezes,

quando subtraímos n(AB), n(AC) e n(BC). Para resolver isso, basta somar uma vez

n(ABC). Esse raciocínio nos leva à seguinte fórmula:

Considere agora um país BETA, em que são utilizadas quatro letras: A, B, C e D.

6) Quantas palavras diferentes existem, usando as quatro letras?

Para quatro letras, por exemplo: A, B, C e D. Assim, pelo Princípio Fundamental da

Contagem temos 4.3.2.1 = 24 possibilidades.

7) Liste as 24 formas possíveis usando a tabela a seguir.

1 2 3 4

2 1 3 4

3 1 2 4

4 1 2 3

A B C D

B A C D

C A B D

D A B C

1 2 4 3

2 1 4 3

3 1 4 2

4 1 3 2

A B D C

B A D C

C A D B

D A C B

1 3 2 4

2 3 1 4

3 2 1 4

4 2 1 3

A C B D

B C A D

C B A D

D B A C

1 3 4 2

2 3 4 1

3 2 4 1

4 2 3 1

A C D B

B C D A

C B D A

D B C A

1 4 2 4

2 4 1 3

3 4 1 2

4 3 1 2

A D B C

B D A C

C D A B

D C A B

1 4 3 2

2 4 3 1

3 4 2 1

4 3 2 1

A D C B

B D C A

C D B A

D C B A

n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) – [n(AB), n(AC) e n(BC)] + n(ABC).





8) Das 24 formas possíveis, quantas delas respeitam a ordem usual e quais são elas?

ABCD, BCDA, CDAB, DABC. Temos quatro delas. Obs.: Por ordem usual entende-

se aqui a ordem na qual as letras seguem a sequência alfabética, mas tomando-se a

letra A como sucessora da letra D.

9) Quantos e quais são os desordenamentos?

Para listar os desordenamentos, podemos usar o quadro construído no item 8. Assim,

temos ao todo nove desordenamentos. São eles:

BADC, BDAC, CADB, CDAB, CDBA, DABC, DBAC, DCAB, DCBA.

Esse número já não é tão fácil de contar por enumeração (um a um) quanto o anterior.

Entretanto, é possível obter o resultado sem precisar listar todas as formas, utilizando as

técnicas básicas de Análise Combinatória.

Ao todo temos quatro! = 24 possibilidades.

Considere os seguintes conjuntos:

A: conjunto das sequências que possuem o A no seu lugar de origem.

B: conjunto das sequências que possuem o B no seu lugar de origem.

C: conjunto das sequências que possuem o C no seu lugar de origem.

D: conjunto das sequências que possuem o D no seu lugar de origem.

Se contarmos o número de elementos do conjunto ABCD, ou seja, n(ABCD),

teremos o total de sequências com alguma letra em sua posição original. Daí bastará

subtrair do total de sequências, que já temos, para obtermos o número de sequências que

não possuem letra alguma em sua posição original.

Temos que:

n(A) = 3! = 6 n(B) = 3!=6 n(C) = 3!=6 n(D) = 3! = 6





De modo análogo, todas as = 6 interseções dois a dois possuem dois elementos.

De modo análogo, todas as = 4 interseções três a três, possuem um elemento.

E a interseção dos quatro conjuntos, apresenta um elemento.

Para contarmos o número de elementos da união entre quatro conjuntos, começamos

somando os elementos de cada conjunto. Ao fazer isso, contamos elementos mais de

uma vez. De fato, os elementos das interseções dois a dois foram contados duas vezes,

uma em cada conjunto. Para corrigir isso, basta subtrair da soma inicial, o número de

elementos de cada uma dessas interseções. Mas, com isso geramos um problema, pois a

interseção de três conjuntos, por exemplo: A, B e C, foi considerada três vezes, quando

fizemos n(A) + n(B) + n(C) e desconsiderada três vezes, quando subtraímos n(AB),

n(AC) e n(BC). E isso acontece para os outros grupos de três conjuntos. Para

resolver isso, basta somar uma vez os números de cada uma das interseções três a três, e

assim por diante.

Em suma, o número de elementos da união é obtido somando os números de elementos

de cada conjunto, subtraindo os números de elementos das interseções dois a dois,

somando os das interseções três a três, subtraindo os das interseções quatro a quatro etc.

Em nosso problema, temos:

n(ABCD) = 6 + 6 + 6 + 6 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 + 1 + 1 + 1 + 1 – 1 = 15.

Logo, temos 24 – 15 = 9 desordenamentos.

Para o caso geral, o número de desordenamentos de n elementos é dado por:

Essa demonstração do caso geral pode ser obtida em Morgado (1991).





Para encerrar a atividade, mais um pouco de combinatória no mundo das senhas.

10) Quantas senhas de seis caracteres podemos formar usando apenas os 10 algarismos

do sistema decimal?

10.10.10.10.10.10 = 1 000 000 de senhas.

11) E se fossem apenas as 26 letras do alfabeto?

De modo análogo, temos 266 = 308 915 776 ( 309 milhões de senhas).

12) E se fosse possível usar as 26 letras e os 10 algarismos?

Aí, teríamos 366 = 2 176 782 336 ( 2 bilhões de senhas).

13) Qual o aumento percentual do número de senhas possíveis do item 11 para o item

13?

Taxa =

. Ou seja, aproximadamente 200 mil por cento.

14) Se um computador fosse capaz de verificar 1 milhão de senhas por segundo, quanto

tempo levaria para verificar todas as senhas possíveis do item 10?

1 segundo.

15) Faça o mesmo para os itens 11 e 12, e compare os tempos encontrados.

Aproximadamente 309 segundos.

Aproximadamente 2176 segundos.





Questões para discussão

Pesquisar sobre códigos de barras X códigos holográficos: diferenças e potencialidades.

Há testes de primalidade que apresentem resultados em tempo real?

O que é criptografia quântica?

Professor(a), esperamos que esta proposta tenha ampliado suas ideias. Tenha em

mente que é totalmente possível mudar o que foi proposto, alterar a ordem, excluir ou incluir

perguntas, abordagens, assuntos etc. O mais importante é adequar a proposta à realidade de

sua turma. Os nossos e-mails são [email protected] e [email protected]. Por

favor, entre em contato para informar o que achou desta dica pedagógica e se a utilizou em

suas aulas. O seu retorno é muito importante para a Rede da TV ESCOLA.

Referências

COUTINHO, S.C. Criptografia. Apostila 7 do Programa de Iniciação Científica da

OBMEP. Rio de Janeiro: SBM. 2009.

Disponível em: <http://www.obmep.org.br/prog_ic_2010/apostila2010.html>

LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Volume 2. Coleção do Professor de

Matemática. SBM/IMPA, 2002.

MALAGUTI, P. Atividades de Contagem a partir da Criptografia. Apostila 10 do Programa

de Iniciação Científica da OBMEP. Rio de Janeiro: SBM, 2009. Disponível em:

<http://www.obmep.org.br/prog_ic_2010/apostila2010.html>

MORGADO, A.C.O et al. Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de

Matemática. SBM/IMPA, 1991.

Consultores: Ivail Muniz Junior e Fernando Celso Villar Marinho

mailto:[email protected]

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