Matemática - Prova Resolvida - Anglo Resolve UNICAMP 2004

8/14/2019 Matemtica - Prova Resolvida - Anglo Resolve UNICAMP 2004

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trabalho pioneiro.Prestao de servios com tradio de confiabilidade.Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadoras em sua tarefardua de no cometer injustias.Didtico, mais do que um simples gabarito, auxilia o estudante no pro-cesso de aprendizagem, graas a seu formato: reproduo de cada ques-to, seguida da resoluo elaborada pelos professores do Anglo.No final, um comentrio sobre as disciplinas.

A 2 fase da Unicamp consta de oito provas analtico-expositivas iguais paratodos os candidatos, agrupadas em quatro dias consecutivos, sempre comquatro horas de durao:

1 dia: Lngua Portuguesa, Literaturas de Lngua Portuguesa e Cincias

Biolgicas.2 dia: Qumica e Histria.3 dia: Fsica e Geografia.4 dia: Matemtica e Lngua Estrangeira (Ingls ou Francs).

Para cada disciplina h 12 questes, valendo 5,0 pontos cada uma.Esse exame, como o da 1 fase, avalia tambm os candidatos s vagas deMedicina e Enfermagem da FAMERP Faculdade de Medicina de So Josdo Rio Preto (entidade pblica estadual).

Alm dessas provas, para os cursos do Arquitetura e Urbanismo, ArtesCnicas, Dana, Educao Artstica, Msica e Odontologia, realizam-se ava-liaes de Habilidades Especficas, valendo 60 pontos. Os candidatos quetiverem resultados inferior a 50% desse valor estaro eliminados.

oanglo

resolve

a prova daUNICAMP

2 fase

A cobertura dos vestibulares de 2004 est sendo feita pelo Anglo emparceria com a Folha Online.

Cdigo: 83582054


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Em uma sala h uma lmpada, uma televiso [TV] e um aparelho de ar condicionado [AC]. O consumo da lmpada equivalea 2/3 do consumo da TV e o consumo do AC equivale a 10 vezes o consumo da TV. Se a lmpada, a TV e o AC forem ligadossimultaneamente, o consumo total de energia ser de 1,05 quilowatts por hora [kWh]. Pergunta-se:

a) Se um kWh custa R$ 0,40, qual ser o custo para manter a lmpada, a TV e o AC ligados por 4 horas por dia durante 30 dias?b) Qual o consumo, em kWh, da TV?

Resoluo:

a) Em reais, este custo dado por:

1,05 4 30 0,40 = 50,40.Resposta: R$50,40.

b) Sendo x, em kWh, o consumo da TV, em cada hora, temos:

x + x + 10x = 1,05 (em cada hora).

Resolvendo essa equao, obtemos x = 0,09.

Resposta: 0,09kWh (em cada hora).

Sabe-se que o nmero natural D, quando dividido por 31, deixa resto r N e que o mesmo nmero D, quando dividido por 17,deixa resto 2r.

a) Qual o maior valor possvel para o nmero natural r?

b) Se o primeiro quociente for igual a 4 e o segundo quociente for igual a 7, calcule o valor numrico de D.

Resoluo:

a) Como, na diviso euclidiana, o resto menor que o mdulo do divisor, temos:

r 31 e 2r 17.

Como r IN, temos r 31 e r 8, portanto, o maior valor possvel de r 8.Resposta: 8

b) Do enunciado, podemos concluir que:

D = 31 4 + rD = 17 7 + 2r

Resolvendo esse sistema, obtemos:D = 129 e r = 5.

Resposta: 129

Um tringulo eqiltero tem o mesmo permetro que um hexgono regular cujo lado mede 1,5cm. Calcule:

a) O comprimento de cada lado do tringulo.b) A razo entre as reas do hexgono e do tringulo.

Resoluo:

a) Sendo l o comprimento de cada lado do tringulo, temos, pelo enunciado:

3 l = 6 1,5 l = 3cmResposta: 3cm

Questo 03

Questo 02

2

3

Questo 01

3NICAMP/2004 ANGLO VESTIBULARES

MM AACIEAM TT TT

123


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b) Sendo Sh a rea do hexgono e St a rea do tringulo, uma razo pedida :

Resposta:

Sejam a e b nmeros inteiros e seja N(a, b) a soma do quadrado da diferena entre a e b com o dobro do produto de a por b.

a) Calcule N(3, 9).b) Calcule N(a, 3a) e diga qual o algarismo final de N(a, 3a) para qualquer a Z.

Resoluo:

N(a, b) = (a b)2 + 2ab

N(a, b) = a2 + b2

a) N(3, 9) = 32 + 92 = 90

Resposta: 90

b) N(a, 3a) = a2 + (3a)2

N(a, 3a) = 10a2

Com a Z, podemos concluir que N(a, 3a) mltiplo de 10 e, portanto, o algarismo das unidades 0 (zero).Resposta: 10a2 e 0.

Entre todos os tringulos cujos lados tm como medidas nmeros inteiros e permetro igual a 24cm, apenas um deles eqi-ltero e apenas um deles retngulo. Sabe-se que um dos catetos do tringulo retngulo mede 8cm.

a) Calcule a rea do tringulo eqiltero.b) Encontre o raio da circunferncia circunscrita ao tringulo retngulo.

Resoluo:

a) Sendo l a medida do lado do tringulo eqiltero, do enunciado, temos:

3 l = 24 l = 8cmLogo, a rea S pedida :

Resposta:

b) Do enunciado, temos a figura:

O . . . centro da circunferncia.

Ainda, AC + AB + BC = 24, ou seja, AC + 8 + BC = 24.

Logo, AC = 16 BC (I)Aplicando o teorema de Pitgoras no tringulo retngulo ABC, temos:

(BC)2 = (AB)2 + (AC)2 (BC)2 = (8)2 + (AC)2 (II)

B

A

C

8

O

16 3 2cm

S S cm= = 8 34

16 32

2

Questo 05

Questo 04

3

2

S

S

S

Sh

t

h

t

= =

61 5 3

43 3

4

3

2

2

2

( , )



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De (I) e (II), temos:

(BC)2 = 64 + (16 BC)2

(BC)2 = 64 + 256 32 BC + (BC)2 BC = 10cm

Portanto o raio pedido igual a , ou seja, 5cm.

Resposta: 5cm

Suponha que, em uma prova, um aluno gaste para resolver cada questo, a partir da segunda, o dobro de tempo gasto pararesolver a questo anterior. Suponha ainda que, para resolver todas as questes, exceto a ltima, ele tenha gasto 63,5 minutos

e para resolver todas as questes, exceto as duas ltimas, ele tenha gasto 31,5 minutos. Calcule:

a) O nmero total de questes da referida prova.b) O tempo necessrio para que aquele aluno resolva todas as questes da prova.

Resoluo:

Temos uma P.G. em que a1 = t e q = 2.

a) Assim:

31,5 + an1 = 63,5

Sn2 = 31,5

Substituindo:

32 t = 31,5 t = 0,5

Logo:

0,5 2n 2 = 32 n 2 = 6 n = 8

Resposta: 8 questes.

b) minutos.

Resposta: 127,5minutos.

A funo L(x) = aebxfornece o nvel de iluminao, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lmpada.

a) Calcule os valores numricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distncia da lmpada recebe 60luxes e que um objeto a 2 metros de distncia recebe 30 luxes.

b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distncia entre a lmpada e esse objeto.

Resoluo:

a)

Da diviso (membro a membro) de (2) por (1), temos .

Substituindo esse resultado em (1), temos e, portanto, a = 120.

De , temos .

Resposta: a = 120, b = ln2.

b ne= =log

1

2 2l

e

b

=

1

2

a =12

60

eb =1

2

a eb = 60 (1)a e2b = 30 (2)

123

L(1) = 60

L(2) = 30

123

Questo 07

S S8

88

0 5 2 12 1

127 5= = , ( )

,

Questo 06

1

2 BC


a

t

n

n

12

2

2 32

2 1

2 131 5

=

=

( )

,

123

123


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b) De L(x) = a (eb)x e L(x) = 15, temos:

a (eb)x = 15

Resposta: 3m

Dada a equao polinomial com coeficientes reais x3 5x2 + 9x a = 0:

a) Encontre o valor numrico de a de modo que o nmero complexo 2 + i seja uma das razes da referida equao.b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras duas razes da mesma equao.

Resoluo:

Seja P(x) = x3 5x2 + 9x a, em que a uma constante real, e sejam x1, x2 e x3 as razes da equao P(x) = 0.

Temos que x1 + x2 + x3 = , ou seja, x1 + x2 + x3 = 5 (relao de Girard).

Dado que 2 + i uma das razes, podemos afirmar que 2 i tambm uma raiz, pois todos os coeficientes de P(x) so reais.

De x1 + x2 + x3 = 5, com x1 = 2 + i e x2 = 2 i, temos (2 + i) + (2 i) + x3 = 5 e, portanto, x3 = 1.

Como 1 raiz, temos P(1) = 0, isto , 13 5 12 + 9 1 a = 0.Portanto a = 5.

Respostas: a) 5b) 2 i e 1

Considere o conjunto dos dgitos {1, 2, 3, ..., 9} e forme com eles nmeros de nove algarismos distintos.

a) Quantos desses nmeros so pares?b) Escolhendo-se ao acaso um dos nmeros do item (a), qual a probabilidade de que este nmero tenha exatamente dois dgitos

mpares juntos?

Resoluo:a)

Resposta: 161.280

b) Seja I: dgito mpar e P: dgito par.Temos as possibilidades:

A probabilidade :

Resposta:1

14

P= =

11 520

161 280

1

14

.

.

4 5! 4! = 11.520

PPPP I P I P I P

PPPPI P I P I P

PPPPI PI P I P

PPPP I P I PI P

II

II

II

II

2468

144424443

8! 4 = 161.280

Questo 09

( )5

1

Questo 08

1

2

1

83

= =x

x

1201

215

=x



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Os pontos A, B, C e D pertencem ao grfico da funo y = 1/x, x 0. As abcissas de A, B e C so iguais a 2, 3 e 4, respec-tivamente, e o segmento AB paralelo ao segmento CD.

a) Encontre as coordenadas do ponto D.b) Mostre que a reta que passa pelos pontos mdios dos segmentos AB e CD passa tambm pela origem.

Resoluo:

a) Do enunciado, temos A(2, 1/2), B(3, 1/3), C(4, 1/4) e D(d, 1/d), onde d a abscissa do ponto D. Sendo mAB

e mCD

os coefi-

cientes angulares das retas AB

e CD

, respectivamente, devemos ter:

mAB = mCD

Resposta:

b) Sejam P e Q os pontos mdios dos segmentos AB e CD, respectivamente, e mPQ o coeficiente angular da reta PQ

. Ento:

Assim, uma equao da reta PQ

: , ou seja, . Portanto, a reta PQ

passa pela origem.

Dado o sistema linear homogneo:

a) Encontre os valores de para os quais esse sistema admite soluo no-trivial, isto , soluo diferente da soluo x = y = 0.b) Para o valor de encontrado no item (a) que est no intervalo [0, /2], encontre uma soluo no-trivial do sistema.

Resoluo:

a)

cos2 sen2 2sen cos = 0 cos2 sen2 = 0

tg2 = 1 2 = + h, h Z = , h Z

Resposta: = , h Z

b) O sistema equivalente a:

Escolhendo y = 1, temos

Resposta: x tg e y= =8

1 1 .

x tg= 8 1 .

=

=

x y x tg y

sen

8 8

88

1 cos

cos

cos cos 8 8 8

0

+

=x sen y

8 2

+h

8 2+

h4

cos

cos cos

+=

sen sen

sen

20

[cos() + sen( )]x + [2sen()]y = 0[cos()]x + [cos(a) sen()]y = 0

123

Questo 11

y x= 16

y x 5

12

1

6

5

2=

P P

Q Q

m mPQ PQ

= ++

=

=+ +

=

= =

2 3

2

1

2

1

32

52

512

3

24

2

2

314

2

11

4

11

24

512

1124

5

2

11

4

1

6

, ,

, ,

3

2

2

3,

1

2

1

32 3

1

4

1

4

3

2

3

2

2

3

,= =

d

dd e D

Questo 10



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O quadriltero convexo ABCD, cujos lados medem, consecutivamente, 1, 3, 4 e 6cm, est inscrito em uma circunferncia decentro O e raio R.

a) Calcule o raio R da circunferncia.b) Calcule o volume do cone reto cuja base o crculo de raio R e cuja altura mede 5cm.

Resoluo:

a) Do enunciado, temos a figura:

Aplicando o teorema dos co-senos no tringulo ABD, temos:

(BD)2 = (AB)2 + (AD)2 2 AB AD cos(BD)2 = (1)2 + (6)2 2 1 6 cos(BD)2 = 37 12cos (I)

Aplicando o mesmo teorema no tringulo BDC, temos:

(BD)2 = (BC)2 + (DC)2 2 BC DC cos (180 )(BD)2 = (3)2 + (4)2 2 3 4 (cos)(BD)2 = 25 + 24cos (II)

De (I) e (II), temos:

25 + 24cos = 37 12cos cos =

Da relao fundamental da trigonometria, temos que sen =

Ainda, de (III) e (I), temos:

Como o tringulo ABD est inscrito na mesma circunferncia de raio R, aplicando o teorema dos senos nesse tringulo,temos:

De (IV), (V) e (VI), temos:

Resposta:

b) Sendo V o volume pedido, temos:

Resposta:495

323cm

V V cm=

=

1

3

3 66

85

495

32

2

3

3 66

8cm

33

2 2

3

23 66

8= =R R cm

BD

senR VI

= 2 ( )

( ) ( )BD BD cm V2 37 121

333= =

2 2

3

( ).IV

1

3( )III

6

43

1

B

A

D

C

180

medidas em cm

0 180

Questo 12



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Responda a todas as perguntas EM PORTUGUS.

D. H. Lawrence, autor conhecido por discutir a natureza das relaes amorosas em obras clssicas da literatura inglesa (O

amante de Lady Chatterley, Mulheres Apaixonadas), publicou, em 1929, o poema abaixo. Leia-o e responda questo 13.

O poema acima compara bons maridos a maus maridos. O que eles tm em comum e no que eles diferem?

Resoluo:

Tanto os bons quanto os maus maridos, de acordo com o poema, fazem suas respectivas esposas infelizes. Porm, a infelicidade davida com um bom marido muito mais devastadora.

Questo 13


NNI SSLGG


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A garota do anncio abaixo fez uma opo por um alimento. Que alimento esse e o que a levou a fazer essa opo?

www.adbusters.org

Resoluo:

O alimento em questo o leite de soja.A garota do anncio optou por ele, por considerar prejudiciais os hormnios e os antibiticos que so injetados nas vacas, alm

do fato de elas serem mantidas artificialmente grvidas para produzirem o ano todo.

O texto a seguir apareceu na revista Mens Health, no nmero de julho/agosto de 2003. Leia-o e responda questo 15.

a) Que alerta feito no texto?

b) Segundo a pesquisa descrita no artigo, pessoas alcoolizadas tornam-se mais vulnerveis em acidentes automobilsticos.Por qu?

Resoluo:

a) O alerta para no dirigir aps beber.

Segundo o texto, o lcool pode aumentar as chances de um motorista se machucar num acidente de carro.

b) Segundo a pesquisa, o lcool pode enfraquecer as membranas celulares, deixando-as mais propensas a se romperem durante

um acidente.

Questo 15

Questo 14



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Uma ONG (Organizao No-Governamental) norte-americana publicou o anncio abaixo no The New York Times, mesesantes de os Estados Unidos declararem guerra ao Iraque em maro de 2003. Leia-o e responda s questes 16, 17, 18e 19.

a) Qual o nome da ONG responsvel pelo anncio e o que ela est propondo ao leitor?

b) O nmero que aparece na ilustrao do anncio (13.026) pode ter duas leituras distintas. Que leituras so essas?

Resoluo:

a) A ONG denomina-se No Iraq Attack. Ela prope que se leia e se assine uma petio contra a guerra no Iraque.

b) O nmero se refere ao total de assinaturas da petio ou ainda faz aluso contagem do nmero de corpos resultante do poss-vel conflito.

Questo 16



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De acordo com o texto, quem j aderiu ao que est sendo proposto no anncio e que crena essas pessoas tm em comum?

Resoluo:

Segundo o texto, j aderiram ao que est proposto no anncio professores, (entre os quais vencedores de prmio Nobel, membrosda Academia Nacional de Cincias) estudantes e funcionrios de estabelecimentos de ensino nos Estados Unidos. Em comum,todos acreditam que a guerra deva ser o ltimo recurso.

Por que o anncio menciona uma cientista do Massachusetts Institute of Technology (MIT)?

Resoluo:

Porque foi a neurocientista do MIT quem lanou o movimento por assinaturas e fez o alerta contra a administrao Bush porpromover a corrida blica contra o Iraque.

Segundo o texto, quais seriam as conseqncias de um ento possvel ataque ao Iraque?

Resoluo:

Segundo o texto,a invaso fomentaria o sentimento antiamericano ao redor do mundo, ampliaria as chances de ataques terroris-tas em territrio americano e elevaria o risco de Saddam Hussein usar armas de destruio em massa.

Leia a notcia abaixo e responda s questes20e21.

O texto descreve um acidente areo. Onde ocorreu esse acidente e o que aparentemente o provocou?

Resoluo:

O acidente ocorreu na Srvia, prximo a Krarjevo. Aparentemente foi provocado por tiros provenientes de uma celebraode casamento srvio.

Questo 20

Questo 19

Questo 18

Questo 17



12/15

a) O que aconteceu com o avio depois que ele foi atingido?

b) O que sabemos sobre os dois homens que estavam na aeronave?

Resoluo:

a) O avio pegou fogo e caiu. Na tentativa de pousar, atingiu cabos de alta tenso.

b) Sabemos que sofreram graves ferimentos e que nenhum dos dois tinha licena para voar.

O texto abaixo a introduo de um panfleto publicado por Stichting Lezen, uma fundao subsidiada pelo governo belga.Leia-o e responda s questes22e23.

Qual o objetivo da fundao Stichting Lezene o que ela faz para atingi-lo?

Resoluo:

A fundao visa a aumentar a cultura da leitura em Flanders, encorajando maior quantidade de gente a ler mais.Para isso, ela colabora no Dia da Poesia e publica uma antologia de textos literrios.Ela tambm montou zonas de leitura, cujaidia aproveitar lugares onde pessoas passam o tempo esperando (por exemplo, um centro de refugiados, um teatro para juven-tude, hospitais) para promover o hbito de ler.

Questo 22

Questo 21


Adaptado de Majo de Saedeleer . Anturpia, Blgica, 2003.


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a) A que equivale o ato de ler para Harper Lee?

b) Segundo o panfleto, os textos escritos exercem vrias funes culturais. Indique trs delas.

c) Ainda segundo o panfleto, que sensao um belo texto pode provocar no leitor?

Resoluo:

a) Equivale ao ato de respirar.

b) Imortalizar os eventos de uma cultura, expressar e avaliar valores e mecanismos sociais e fazer a democracia florescer.

c) O texto pode provocar uma sensao rara de prazer esttico.

O comportamento materno freqentemente caracterizado com base em idias preconcebidas (ou lugares comuns). Leia os

quadrinhos abaixo e responda questo24.

Que esteretipo de me quebrado nesses quadrinhos? Por qu?

Resoluo:

O esteretipo da me superprotetora e possessiva quebrado, pois, enquanto o filho diz pensar em sair de casa, ela antecipa oquanto poderia lucrar com isso (alugando o seu quarto).

Questo 24

Questo 23



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Uma boa prova. Foi abrangente e certamente permitir selecionar os candidatos mais bem preparados.

Parabns banca examinadora.

A prova apresentou 12 questes dissertativas extradas de 6 diferentes textos:

Um poema de D.H. Lawrence, trs peas publicitrias institucionais, uma matria do jornal The Time of India e umquadrinho do personagem Charlie, de Rodrigues.

Como sempre, a prova primou pela qualidade dos textos e pela clareza nos enunciados, exigindo dos candidatos bom

nvel de compreenso, capacidade para interpretao, alm de, claro, objetividade na redao das respostas.

Ingls

Matemtica


TTNEMM OOSSOCC IIR


15/15

ASSUNTO

Funo Exponencial

Geometria Analtica

Geometria do Espao

Probabilidade

Seqncias

1

N DE ITENS

2 3 4 5

Sistema Linear

Trigonometria

Geometria Plana

Equao Polinomial

Equao do 1 Grau

Aritmtica

Anlise Combinatria

Matemtica

IICNNDINII CC AA

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