Ensino Superior

Matemática Básica

15 – Geometria Analítica - Circunferência

Amintas Paiva Afonso

CONCEITO:

Sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P d(C,P) é o raio dessa circunferência. Então:

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa

circunferência. Então:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.

A equação reduzida da circunferência é:

16)3(2 22 yx

Desenvolvendo os quadrados dos binômios (x – a)² e (y – b)², temos:

² 4 4 ² 6 9 10 0x x y y

² 4 ² 6 3 0x x y y

Geometria Analítica: Posições relativas entre ponto e circunferência

A aula a seguir traz demonstrações e alguns exercícios resolvidos de posições que um determinado ponto pode assumir em relação a uma circunferência.

Dispomos de três possibilidades:

1ª Ponto interno em relação a circunferência.

2ª Ponto pertencente a circunferência.

3ª Ponto externo à circunferência

Geometria Analítica: Posições relativas entre ponto e circunferência.

Lembre-se:

Geometria Analítica: Posições relativas entre ponto e

circunferência.

Geometria Analítica: Posições relativas entre ponto e circunferência

Exercício 1: Qual a posição relativa do ponto P(3, 2) em relação à circunferência de equação

05622 xyx

Substituindo:

01818

051849

053623 22

Então o ponto P(3, 2) pertence a circunferência uma vez que a distância do centro ao ponto P é igual ao raio.

Geometria Analítica: Posições relativas entre ponto e circunferência.

Exercício 2: Qual a posição relativa do ponto P(-2, -3) em relação à circunferência de equação 222 )5()4()1( yx

Substituindo:222 )5()4()1( yx

03

0511

0)5()43()12( 222

Como a distância do centro ao ponto P em questão é menor que zero podemos concluir que o ponto é interno a circunferência.

Geometria Analítica: Posições relativas entre ponto e circunferência.

Exercício 3: Qual a posição relativa do ponto P(1, 4) em relação à circunferência de equação

0214222 yxyx

Substituindo:

010

02131

021162161

021441241 22

Nesse caso a distância do ponto ao centro é maior que o raio concluímos então que o ponto é externo à circunferência

Geometria Analítica: Posições relativas entre ponto e circunferência.

Resumo final: Quando temos um ponto P(m, n) e uma circunferência , de centro C(a, b) e raio r, podemos afirmar que:

0)()( 222 rbnamrdcp P

0)()( 222 rbnamrdcp P é interno a

0)()( 222 rbnamrdcp P é externo a