Ensino SuperiorMatemtica BsicaUnidade 1.1 Teoria dos ConjuntosAmintas Paiva Afonso

INDICE

INTRODUORELAO DE PERTINNCIADETERMINAO DE CONJUNTOSDIAGRAMAS DE VENNCONJUNTOS ESPECIAISRELAES ENTRE CONJUNTOSCONJUNTOS NUMRICOSUNIO DE CONJUNTOSINTERSECO DE CONJUNTOSDIFERENA DE CONJUNTOSDIFERENA SIMTRICA COMPLEMENTO DE UM CONJUNTOPROBLEMAS

Em matemtica, o conceito de conjunto considerado primitivo e no se d uma definio deste, portanto, a palavra CONJUNTO deve aceitar-se logicamente como um termo no definido.

Um conjunto se pode entender como uma coleo ou agrupamento bem definido de objetos de qualquer classe. Os objetos que formam um conjunto so chamados membros ou elementos do conjunto. Exemplo:Na figura ao lado temos um Conjunto de Pessoas

NOTAOTodo conjunto se escreve entre chaves { } e se denota mediante letras maisculas A, B, C, ..., seus elementos se separam mediante ponto e vrgula.Exemplo:O conjunto das letras do alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. Se pode escrever assim: L = {a; b; c; ...; x; y; z}

Exemplo:A = {a; b; c; d; e} seu cardinal n(A) = B = {x; x; x; y; y; z} seu cardinal n(B) =Na teoria de conjuntos no precisa repetir os elementos, por exemplo:O conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente ser { x; y; z }.Ao nmero de elementos que tem um conjunto Q chamamos CARDINAL DO CONJUNTO e se representa por n(Q).53NDICE

Para indicar que um elemento pertenece a um conjunto se usa o smbolo:Se um elemento no pertenece a um conjunto se usa o smbolo:Exemplo:Seja M = {2; 4; 6; 8; 10}... se l 2 pertenece ao conjunto M... se l 5 no pertenece ao conjunto MNDICE

I) POR EXTENSOH duas formas de determinar um conjunto, por Extenso e por Entendimento. aquela forma mediante a qual se indica cada um dos elementos do conjunto.Exemplos: O conjunto dos nmeros pares maiores que 5 e menores que 20.A = { 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 }NDICE

B) O conjunto de nmeros negativos mpares maiores que -10.B = {-9; -7; -5; -3; -1 }II) POR ENTENDIMENTO aquela forma mediante a qual se d uma propriedade que caracteriza a todos os elementos do conjunto.Exemplo:Se pode entender que o conjunto P est formado pelos nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.P = {os nmeros dgitos }

Outra forma de escrever : P = { x / x = dgito } se l P o conjunto formado pelos elementos x tal que x um dgito.Exemplo:Expressar por extenso e por entendimento o conjunto de dias da semana.Por Extenso: D = {segunda; tera; quarta; quinta; sexta; sbado; domingo }Por Entendimento: D = { x / x = dia da semana }NDICE

Os diagramas de Venn que se devem ao filsofo ingls John Venn (1834-1883) servem para representar conjuntos de maneira grfica mediante desenhos ou diagramas que podem ser crculos, retngulos, tringulos ou qualquer curva fechada.AMT72369aeiou(1;3)(7;6)(2;4)(5;8)8415NDICE

A = ou A = { } se l: A o conjunto vazio ou A o conjunto nulo CONJUNTO VAZIO um conjunto que no tem elementos, tambm se chama conjunto nulo. Geralmente se representa pelos smbolos: ou { }Exemplos:M = { nmeros maiores que 9 e menores que 5 }P = { x / }

CONJUNTO UNITRIO o conjunto que tem um s elemento.Exemplos:F = { x / 2x + 6 = 0 }G =CONJUNTO FINITO o conjunto com limitado nmero de elementos.Exemplos:E = { x / x um nmero impar positivo menor que 10 }N = { x / x2 = 4 };

CONJUNTO INFINITO o conjunto com ilimitado nmero de elementos.Exemplos:R = { x / x < 6 }S = { x / x um nmero par }CONJUNTO UNIVERSAL um conjunto referencial que contm todos os elementos de uma situao particular, geralmente se representa pela letra UExemplo:O universo ou conjunto universal;de todos os nmeros o conjunto dos NMEROS COMPLEXOS.NDICE

INCLUSOUm conjunto A est incluso em outro conjunto B, se e somente se, todo elemento de A for tambm elemento de B.NOTAO :Se l : A est incluso em B, A subconjunto de B, A est contido em B , A parte de B.REPRESENTAO GRFICA :BA

PROPRIEDADES:I) Todo conjunto est incluido em si mesmo. II) O conjunto vazio se considera incluido em qualquer conjunto. III) A est incluido em B ( ) equivale a dizer que B contm A ( )IV) Se A no est incluido em B ou A no subconjunto de B significa que pelo menos um elemento de A no pertence a B. ( )V) Simbolicamente:

CONJUNTOS COMPARVEISUm conjunto A COMPARVEL com outro conjunto B se entre esses conjuntos existe uma relao de incluso.A comparvel com B se A U B = B U AExemplo:A = { 1; 2; 3; 4; 5 } e B = { 2; 4 }12345ABObserve que B est incluso em A, portanto, A e B so COMPARVEIS

IGUALDADE DE CONJUNTOSDos conjuntos so iguais se tm os mesmos elementos.Exemplo:A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x 3)(x + 3) =0 }Resolvendo a equaco de cada conjunto se obtm em ambos os casos que x igual a 3 ou -3, ou seja: A = {-3; 3} y B = {-3; 3}, portanto A = BSimbolicamente :

CONJUNTOS DISJUNTOSDois conjuntos so disjuntos quando no tm elementos comuns.REPRESENTACO GRFICA :AB175392486Como podemos observar os conjuntos A e B no tm elementos comuns, portanto so CONJUNTOS DISJUNTOS

CONJUNTO DE CONJUNTOS um conjunto cujos elementos so conjuntos.Exemplo:F = { {a}; {b}; {a; b}; {a; b; c} }Observe que os elementos do conjunto F tambm so conjuntos.{a} um elemento do conjunto F ento {a} F correto dizer que {b} F ?NOPorque {b} um elemento do conjunto F, o correto {b} F

CONJUNTO POTNCIAO conjunto potncia de um conjunto A denotado por P(A) ou Pot(A) o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.Exemplo: Seja A = { m; n; p }Os subconjuntos de A so:{m},{n},{p},{m;n},{n;p},{m;p},{m;n;p},Ento o conjunto potncia de A :P(A) = { {m}; {n}; {p}; {m; n}; {m; p}; {n; p}; {m; n; p}; }QUANTOS ELEMENTOS TEM O CONJUNTO POTNCIA DE A ?

Observe que o conjunto A tem 3 elementos e seu conjunto potncia ou seja P(A) tem 8 elementos.PROPRIEDADE:Dado um conjunto A cujo nmero de elementos n, ento o nmero de elementos de seu conjunto potncia 2n.Exemplo:Dado o conjunto B ={ x / x um nmero par e5 < x < 15 }. Determinar o cardinal de P(B).RESPOSTASe 5 < x < 15 e um nmero par ento B = { 6; 8; 10; 12; 14 }Observe que o conjunto B tem 5 elementos ento:Card P(B) = 2n P(B) = 25 = 32NDICE

Nmeros Naturais (N) N = {1; 2; 3; 4; 5; ....}

Nmeros Inteiros (Z) Z = {...; -2; -1; 0; 1; 2;....}

Nmeros Racionais (Q) Q = {...; -2; -1; ; 0; ; ; 1; ; 2; ....}

Nmeros Irracionais ( I ) I = {...; ;....}

Nmeros Reais ( R )R = {...; -2; -1; 0; 1; ; 2; 3; ....}

Nmeros Complexos ( C )C = {...; -2; ; 0; 1; ; 2 + 3i; 3; ....}

NZQIRC

EXEMPLOS:Expressar por extenso os seguintes conjuntos:A ) B )C )D )E )P={3}Q={-3;3}F = { }RESPOSTASINDICE

76556ABO conjunto A uno B que se representa o conjunto formado por todos os elementos que pertenecem a A, a B ou a ambos os conjuntos.Exemplo:9873142

REPRESENTAES GRFICAS DA UNO DE CONJUNTOSSe A e B so no comparveisSe A e B so comparveisSe A e B so conjuntos disjuntosUUUAAABBBAUBAUB

PROPRIEDADES DA UNIO DE CONJUNTOS1. A U A = A2. A U B = B U A3. A U = A4. A U U = U5. (AUB)UC = AU(BUC)6. Se A U B = A = e B = NDICE

76556ABO conjunto A interseco B que se representa o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e pertencem a B.Exemplo:9873142

REPRESENTAES GRFICAS DA INTERSECO DE CONJUNTOSSe A e B so no comparveisSe A e B so comparveisSe A e B so conjuntos disjuntosUUUAAABBA BA B = BBA B =

PROPRIEDADES DA INTERSECO DE CONJUNTOS1. A A = A2. A B = B A3. A = 4. A U = A5. (A B) C =A (B C)6. A U (B C) =(A U B) (A U C) A (B U C) =(A B) U (A C)NDICE

76556ABO conjunto A menos B que se representa o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e no pertencem a B.Exemplo:9873142

76556ABO conjunto B menos A que se representa o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a B e no pertencem a A.Exemplo:9873142

REPRESENTAES GRFICAS DA DIFERENA DE CONJUNTOSSe A e B so no comparveisSe A e B so comparveisSe A e B so conjuntos disjuntosUUUAAABBA - BA - BBA B = ANDICE

76556ABO conjunto A diferena simtrica B que se representa el conjunto formado por todos os elementos que pertencem a (A - B) ou (B - A).Exemplo:9873142

Tambm correto afirmar que:ABA - BB - AAB

Dado um conjunto universo U e um conjunto A, se chama complemento de A ao conjunto formado por todos os elementos do universo que no pertencem ao conjunto A.Notaco: A ou AC Exemplo:U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}A = {1; 3; 5; 7; 9}eSimbolicamente:A = U - A

123456789UAAA = {2; 4; 6; 8}PROPRIEDADES DO COMPLEMENTO1. (A) = A2. A U A = U3. A A = 4. U = 5. = UNDICE

PROBLEMA 1PROBLEMA 2PROBLEMA 3PROBLEMA 4PROBLEMA 5FIM

Dados os conjuntos: A = { 1; 4; 7; 10; ... ; 34} B = { 2; 4; 6; ...; 26} C = { 3; 7; 11; 15; ...; 31}a) Expressar B e C por entendimentob) Calcular: n(B) + n(A)c) Achar: A B , C ASOLUO

Os elementos de A so:Primeiro analisemos cada conjuntoA = { 1+3n / nZ / 0 n 11}Os elementos de B so:B = { 2n / nZ / 1 n 13}n(B) = 13n(A) = 12

Os elementos de C so:C = { 3 + 4n / nZ / 0 n 7 }a) Expressar B e C por entendimentoB = { 2n / nZ / 1 n 18}C = { 3+4n / nZ / 0 n 7 }b) Calcular: n(B) + n(A)n(C) = 8n(B) + n(A) = 13 +12 = 25

A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34} B = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}C = {3;7;11;15;19;23;27;31}c) Achar: A B , C AA B = { 4; 10; 16; 22 }C A = { 3; 11; 15; 23; 27 }Sabemos que A B formado pelos elementos comuns de A e B, ento:Sabemos que C - A formado pelos elementos de C que no pertencem a A, ento:

Se : G = { 1; {3}; 5; {7;10}; 11 }Determinar se verdadeiro ou falso:a) Gb) {3} Gc) {{7}; 10} Gd) {{3}; 1} Ge) {1; 5; 11} GSOLUO

Observe que os elementos de A so:1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11es VERDADEROEnto: VERDADEIRO porque estincluso em todos os conjuntos VERDADEIRO porque {3} um elemento de G FALSO porque {{7};10} no elemento de G FALSO a) G ....b) {3} G ...c) {{7}; 10} G ...d) {{3}; 1} G ...e) {1; 5; 11} G ...

Dados os conjuntos:P = { xZ / 2x2 + 5x 3 = 0 }M = { x/4N / -4 < x < 21 } T = { xR / (x2 - 9)(x - 4) = 0 }a) Calcular: M - ( T P )b) Calcular: Pot(M T )c) Calcular: (M U T) P

SOLUO

P = { xZ / 2x2 + 5x 3 = 0 }Analisemos cada conjunto:2x2 + 5x 3 = 0(2x-1)(x+3)=02x - 1 = 0 x = 1/2x + 3 = 0 x = -3 Observe que xZ , ento:P = { -3 }M = { x/4N / -4 < x < 21 }Como x/4 N ento os valores de x so: 4; 8; 12; 16; 20 porm os elementos de M se obtm dividindo x entre 4, portanto :M = {1; 2; 3; 4; 5 }

T = { xR / (x2 - 9)(x - 4) = 0 }Igualamos cada fator a zero e calculamos os valores de xx 4 = 0 x = 4x2 9 = 0 x2 = 9 x = 3 ou x = -3Portanto:T = { -3; 3; 4 }a) Calcular: M - ( T P )T P = { -3; 3; 4 } - { -3 } T P = {3; 4 }M - (T P)= {1; 2 ;3 ;4 ;5 } - {3; 4 }M - (T P)= {1; 2; 5 }

b) Calcular: Pot( M T )M T = {1; 2; 3; 4; 5 } - { -3; 3; 4 } M T = {1; 2; 5 }Pot( M T ) = { {1}; {2}; {5}; {1;2};{1;5};{1;2;5};{2;5}; }c) Calcular: (M U T) PM U T = {1; 2; 3; 4; 5 } U { -3; 3; 4 } M U T = { -3; 1 ; 2 ; 3; 4; 5 }(M U T) P = { -3; 1; 2; 3; 4; 5 } - { -3 }(M U T) P = {1; 2; 3; 4; 5 }

Expressar a regio sombreada em termos de operaes entre os conjuntos A, B e C.

SOLUO

ABCABCABCABC[(AB) C][(BC) A] [(AC) B]U U

ABABCObserve como se obtm a regio sombreadaToda a zona de amarelo AUBA zona de verde ABEnto, restando se obtm a zona que se v na figura: (AUB) - (AB)CFinalmente, lhe agregamos C e se obtm:[ (AUB) - (AB) ] U C( A B ) U C=

Segundo as preferncias de 420 pessoas que assistem os canais A, B ou C se observa que 180 assistem o canal A, e 240 assistem o canal B e 150 no assistem o canal C, os que assistem pelo menos 2 canais so 230. Quantos assistem os trs canais?SOLUO

O universo : 420Assistem A: 180Assistem B: 240No assistem C: 150Ento, se assistem o canal C: 420 150 = 270ABCad(I) a + e + d + x = 180bexf(II) b + e + f + x = 240c(III) d + c + f + x = 270Fato: Assistem por lo menos dos canales 230, entonces: (IV) d + e + f + x = 230

(I) a + e + d + x = 180 (II) b + e + f + x = 240(III) d + c + f + x = 270Somamos as equaes (I), (II) e (III)Sabemos que: a + b + c + d + e + f + x = 420230ento: a + b + c = 190a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690190230190 + 560 + x =690x = 40Isto significa que 40 pessoas assistem os tres canais