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PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
PRODUTOS NOTÁVEIS
MATEMÁTICA – 9º ANO
PROF. HENRIQUE
RESOLUÇÃO CONTINUAÇÃO LISTA 1
QUESTÃO 11. APLICANDO AS PROPRIEDADES ADEQUADAS,
SIMPLIFIQUE AS EXPRESSÕES A SEGUIR E DETERMINE SEU VALOR:
A) A = (-2)3 . (-2)5 . (-2)-2
B) A = 32.64.128
256.4
C) A = 6.4.144 :(18:54)
162.8
−1
D) E = 2𝑎3 4
. 4𝑎8 5. 16𝑎−2 −3
8𝑎5 7. 2−3..𝑎2
−2
QUESTÃO 11. RESOLUÇÃO
A) A = (-2)3 . (-2)5 . (-2)-2 = (- 2 )3 + 5 – 2 = (- 2)6 = 64
B) A = 32.64.128
256.4 , VAMOS FATORAR OS NÚMEROS 32 , 64 , 128, 256 E 4 , ASSIM COLOCANDO
TUDO NA BASE 2 E
SUBSTUINDO OS RESPECTIVOS VALORES NA EXPRESSÃO TEREMOS :
A = 25.26.27
28.22 =25+6+7
28+2 =218
210 = 218−10 = 28 = 𝟐𝟓𝟔
C) A = 6.4.144 :(18:54)
162.8
−1
, VAMOS FATORAR 6 , 4 , 144 , 18 , 54 , 162 E 8 , ASSIM TEREMOS:
A = 2.3 .22.24.32 :(32.2):(33.2)
(34.23) =
27. 33 :(3−1)
(34.23) =
33:1
3 : 27:
1
3
(34.23) =
27:1
3 : 128:
1
3
(34.23) =
9 : 128.3
(34.23) =
9 : 384
(34.23) =
9
384
(81.8)=
9
384
648 =
9
384.
1
648 =
9
384.648
−1=
384.648
9= 384 . 72 = 27648
D) E = 2𝑎3 4
. 4𝑎8 5. 16𝑎−2 −3
8𝑎5 7. 2−3..𝑎2
−2 , VAMOS FATORAR 4 , 16 E 8 E
COLOCAR TODOS NA BASE 2
E = 2𝑎3 4
. 22𝑎8 5. 24𝑎−2 −3
23𝑎57
. 2−3..𝑎2−2 , APLICANDO AS PROPRIEDADES DA
POTENCIAÇÃO TEREMOS,
E = 24𝑎12 . 210𝑎40 . 2−12𝑎6
221𝑎35 . 26..𝑎−4 =
22𝑎58
227𝑎31
E = 22𝑎58
227𝑎31 = 2-25A27
QUESTÃO 11. CONTINUAÇÃO
RESOLUÇÃO LISTA 2
I. (X + Y)2 = X2 + 2XY + Y2
II. (X – Y)2 = X2 – 2XY + Y2
III. (X + Y) · (X – Y) = X2 – Y2
A) O QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS É IGUAL AO
QUADRADO DO 1º TERMO, MENOS DUAS VEZES O 1º TERMO VEZES
O 2º, MAIS O QUADRADO DO 2º TERMO. (II)
B) O QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS É IGUAL AO
QUADRADO DO 1º TERMO, MAIS DUAS VEZES O 1º TERMO VEZES O
2º TERMO, MAIS O QUADRADO DO 2º TERMO. (I)
C) O PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS É
IGUAL AO QUADRADO DO 1º TERMO MENOS O QUADRADO DO 2º
TERMO. (III)
QUESTÃO 1. ASSOCIE CADA IGUALDADE A UMA DAS AFIRMAÇÕES,
ESCREVENDO A LETRA E O SÍMBOLO ROMANO CORRESPONDENTES.
QUESTÃO 2: DESCOBRINDO PARCEIROS. INDIQUE AS EXPRESSÕES
EQUIVALENTES RELACIONANDO UM NÚMERO ROMANO A CADA LETRA
D ( I ) ; C ( II ) ; A (IV ) e B ( III )
A) QUAL CONTEÚDO QUE VOCÊ ESTUDOU FOI UTILIZADO POR RICARDO
PARA REALIZAR ESSE CÁLCULO?
PRODUTOS NOTÁVEIS: QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
B) DE MANEIRA SEMELHANTE, CALCULE. *152 *212 *362 *982
QUESTÃO 3. RICARDO CALCULOU 482 E REGISTROU
EM UMA FOLHA OS PROCEDIMENTOS UTILIZADOS
152 = (17 -2) 2 = 172 – 2 . ( 17 ) . ( 2 ) + (2)2 = 289 – 68 + 4 = 221 + 4 = 225
212 = (23 – 2)2 = 232 – 2 . ( 23 ) . ( 2 ) + (2)2 = 529 – 92 = 4 = 437 + 4 = 441
362 = (38 – 2)2 = 382 – 2 . ( 38 ) . ( 2 ) + ( 2)2 = 1444 – 152 + 4 = 1292 + 4 = 1296
982 = (100 – 2)2 = 1002 – 2 . (100) . (2) + (2)2 = 10000 – 400 + 4 = 9600 + 4 = 9604
a) (4 + x)2 = 16 + Δ + x2
b) (2a – 3)2 = 4a2 – Δ + 9
RESOLUÇÃO:
a) (4 + x)2 = 16 + 8x + x2 = 16 + Δ + x2
Δ = 8x
b) (2a - 3)2 = 4a2 - 6a + 9 = 4a2 + Δ + 9
Δ = - 6a
QUESTÃO 4. COPIE AS IGUALDADES SUBSTITUINDO
CADA Δ PELO MONÔMIO ADEQUADO.
c) (2x + 2y)2 = x2 + 8xy + 4y2 + Δ
d) a2 – 6ab + 9b2 = (a – Δ)2
RESOLUÇÃO
c) (2x +2y)2 = 4x2 + 8xy + 4y2 = x2 + 8xy + 4y2 + Δ
Δ = 3x2
d) a2 - 6ab + 9b2 = a2 – 2a Δ + Δ2
- 2a Δ = - 6ab
- 2a Δ = - 6ab . (-1)
2a Δ = 6ab
Δ = 6ab : 2a
Δ = 3b
QUESTÃO 4. COPIE AS IGUALDADES SUBSTITUINDO
CADA Δ PELO MONÔMIO ADEQUADO.
a) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
b) (a + 7)2 = a2 + 14a + 49
c) (3x + 1)2 = 9x2 + 6x + 1
d) (10y + x)2 = 100y2 + 20xy +x2
e) (a + 3x)2 = a2 + 6ax + 9x2
f) (xy + 5)2 = x2 y2 + 10xy + 25
g) (3m2 + 4n)2 = 9m2 + 24mn + 16n2
h) (xy + p3)2 = x2 y2 + 2xyp3 + p6
i) (0,3 + x)2 = 0,09 + 0,6x + x2
j) (10x + 0,1)2 = 100x2 + 2x + 0,01
QUESTÃO 5. CALCULE UTILIZANDO PRODUTOS NOTÁVEIS:
a) (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
b) (m – 3)2 = m2 – 6m + 9
c) (2a – 5)2 = 4a2 – 10a + 25
d) (7 – 3c)2 = 49 – 42c + 9c2
e) (5x – 2y)2 = 25x2 – 20xy + 4y2
f) (4m2 – 1)2 = 16m4 – 8m2 + 1
g) (3m2 – 4n)2 = 9m4 – 24m2n + 16n2
h) (2 – m3)2 = 4 – 4m3 + m6
i) (xy – 5)2 = x2y2 – 10xy + 25
j) (10x – 0,1)2 = 100x2 - 2x + 0,01
QUESTÃO 6. CALCULE UTILIZANDO PRODUTOS NOTÁVEIS:
a) (x + 9) · (x – 9) = x2 - 81
b) (m – 3) · (m + 3) = m2 - 9
c) (2a – 5) · (2a + 5) = 4a2 - 25
d) (3x + 5) · (3x – 5) = 9x2 - 25
e) (5x – 2y) · (5x + 2y) = 25x2 – 4y2
f) (m2 – 5) · (m2 + 5) = m2 - 25
g) (p3 – 3) · (p3 + 3) = p6 - 9
h) (a2 + b5) · (a2 – b5) = a4 – b10
i) (7x + 5z) · (7x – 5z) = 49x2 – 25z2
j) (5x2 + 2y) · (5x2 – 2y) = 25x4 – 4y2
QUESTÃO 7 . CALCULE UTILIZANDO PRODUTOS NOTÁVEIS
QUESTÃO 8. VERIFIQUE SE A IGUALDADE A SEGUIR É VERDADEIRA.
JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA.
(4m + 1)2 – (m + 2)2 = 15m2 + 5m – 4
RESOLUÇÃO:
16m2 + 8m + 1 – (m2 + 4m + 4)
16m2 + 8m + 1 – m2 – 4m – 4
16m2 – m2 + 8m – 4m + 1 – 4
15m2 + 4m – 3
LOGO A IGUALDADE É FALSA, POIS 15m2 + 4m – 3 ≠ 15m2 + 5m - 4
a) x + y + 52.
b) (x + y + 5)2.
c) (x + y)2 + 5.
d) x2 + y + 52
QUESTÃO 9. (SARESP-SP) A EXPRESSÃO ALGÉBRICA QUE REPRESENTA A
SITUAÇÃO “O QUADRADO DA SOMA DE DOIS NÚMEROS, MAIS 5 UNIDADES” É:
a) 16
b) 48
c) –16
d) – 48
RESOLUÇÃO:
1º passo: Desenvolvendo (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
2º passo: Desenvolvendo (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
3º passo: Substituindo os resultados na expressão teremos:
x2 – 2xy + y2 – ( x2 + 2xy + y2 ) =
x2 – 2xy + y2 – x2 – 2xy – y2 =
x2 – x2 – 2xy – 2xy + y2 – y2 =
– 4xy =
– 4 (12 ) =
– 48 (LETRA D)
QUESTÃO 10. SABENDO QUE XY = 12, QUANTO VALE (X – Y)2 – (X + Y)2?
QUESTÃO 11. (ESCOLA TÉCNICA FEDERAL-RJ) CONSIDERE AS EXPRESSÕES:
RESOLUÇÃO:
I. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ( FALSA )
II. (a + b)2 – 2ab = a2 + 2ab + b2 – 2ab = a2 + b2 – 2ab + 2ab = a2 + b2
(VERDADEIRA )
III. a2 + 2ab + b2 – ( a2 - 2ab + b2 ) = a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2
= a2 – a2 + 2ab + 2ab + b2 – b2 = 4ab (VERDADEIRA)
RESPOSTA: (LETRA C)
a) São todas falsas.
b) São todas verdadeiras.
c) Somente II e III são verdadeiras.
d) Somente I e III são verdadeiras.
a) 0.
b) –1.
c) 5.
d) 10.
RESOLUÇÃO:
1º passo: Desenvolvendo (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
2º passo: Desenvolvendo (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
3º passo: Substituindo os resultados na expressão teremos:
x2 – 2xy + y2 – ( x2 + 2xy + y2 ) = x2 – 2xy + y2 – x2 – 2xy – y2
x2 – x2 – 2xy – 2xy + y2 – y2 = – 4xy
– 4xy = - 20. (- 1)
4xy = 20
xy = 20 : 4 = 5 (LETRA C)
QUESTÃO 12. (MACK-SP) SE (X – Y)2 – (X + Y)2 = –20, ENTÃO X · Y É IGUAL A:
QUESTÃO 13 (OLIMPÍADA BRAS. DE MATEMÁTICA)
SE X + Y = 8 E XY = 15, QUAL É O VALOR DE X2 + 6XY + Y2?
a) 109
b) 120
c) 124
d) 1
RESOLUÇÃO:
(x + y) 2 = (8)2 : elevando ambos os membros ao quadrado , teremos:
x2 + 2xy + y2 = 64 : vamos adicionar ambos os membros o monômio
4xy
x2 + 2xy + y2 + 4xy = 64 + 4xy : Reduzindo os termos semelhantes ,
teremos:
x2 + 2xy + 4xy + y2 = 64 + 4xy
x2 + 6xy + y2 = 64 + 4xy : substituindo no lugar de xy por 15 , teremos:
x2 + 6xy + y2 = 64 + 4( 15) = 64 + 60 = 124 (LETRA C )
QUESTÃO 14. (PUC-SP) A EXPRESSÃO (X + Y) · (X2 + Y2) · (X – Y) É IGUAL A:
a) x4 + y4.
b) x4 – y4.
c) x3 + xy2 – x2y – y3.
d) x3 + xy2 + x2y + y3.
RESOLUÇÃO:
1º PASSO:
(x + y) . (x2 + y2 ) = x3 + y3 : Multiplica-se primeiro as duas
expressões que estão entre parênteses
2º PASSO:
(x3 + y3) . (x – y) = x4 – y4 : Multiplica-se o resultado do 1º passo
com a expressão que está entre parênteses, logo teremos:
x4 – y4 ( LETRA B)
QUESTÃO 15 (SEE-SP). SENDO A = X + 2 E B = X – 2,
A EXPRESSÃO A2 + AB – B2 É EQUIVALENTE A
a) x2 + 4.
b) x2 – 4.
c) x2 + 8x + 8.
d) x2 + 8x – 4.
RESOLUÇÃO:
Dada a expressão A2 + AB – B2 e substituindo respectivamente os
valores de A e B dados no enunciado da questão teremos e
desenvolvendo os produtos notáveis teremos:
(x+2)2 + ( x+ 2 ) . ( x – 2) – ( x – 2 )2
(x2 + 4x + 4 ) + ( x2 – 4 ) – ( x2 – 4x + 4 )
x2 + 4x + 4 + x2 – 4 – x2 + 4x – 4
x2 + x2 – x2 + 4x + 4x + 4 – 4 – 4
x2 + 8x – 4
( LETRA D )
QUESTÃO 16. SE X – Y = 7 E XY = 60, ENTÃO O VALOR DA EXPRESSÃO X2 – Y2 É:
a) 53.
b) 109.
c) 420.
d) 169.
RESOLUÇÃO:
(x - y) 2 = (7)2 : elevando ambos os membros ao quadrado , teremos:
x2 - 2xy + y2 = 49 : vamos ISOLAR no 1º membro a expressão x2 +
y2
x2 + y2 = 49 + 2xy : substituindo no lugar de xy por 60 , teremos:
x2 + y2 = 49 + 2(60)
x2 + y2 = 49 + 120
x2 + y2 = 169 (LETRA D )
QUESTÃO 17 (FCC-SP). A EXPRESSÃO (X – Y)2 – (X + Y)2 É EQUIVALENTE A:
a) 0.
b) 2y2.
c) –2y3.
d) – 4xy.
RESOLUÇÃO:
1º passo: Desenvolvendo (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
2º passo: Desenvolvendo (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
3º passo: Substituindo os resultados na expressão teremos:
x2 – 2xy + y2 – ( x2 + 2xy + y2 ) = x2 – 2xy + y2 – x2 – 2xy – y2
x2 – x2 – 2xy – 2xy + y2 – y2 =
– 4xy (LETRA D)
OBRIGADO!
ATÉ A PRÓXIMA AULA