Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri - Campus JKInstituto de Cincia e TecnologiaCurso de Interdisciplinar em Cincia e TecnologiaDisciplina: EME204 Mquinas de fluxoProfessor: Thiago Parente

MATERIAL COMPLEMENTAR

O contedo deste material complementar uma adaptao de parte do material original produzido pelo prof. Fernando de Almeida Frana do Departamento de Energia da Universidade Estadual de Campinas e deve ser utilizado em conjunto com o livro texto da disciplina.

A Similaridade aplicada s mquinas de fluxo

Um problema frequente na mecnica dos fluidos consiste em relacionar o escoamento e seus efeitos, atravs da contornos geometricamente similares, mas em escalas de proporo diversas (esta a ideia de similaridade: equipamentos, contornos, etc., semelhantes, mas com diferentes escalas de proporcionalidade geomtrica). Um fabricante de turbinas, por exemplo, ao vencer uma concorrncia para a instalao de uma hidroeltrica, deve construir um modelo em escala reduzida, para testes em laboratrio, a fim de se assegurar de que o prottipo (escala real) vai efetivamente operar atendendo as condies impostas em contrato (vazo, potncia, eficincia, etc.). O ensaio do modelo de laboratrio , de certa forma, uma garantia de que o projeto est adequado, ou servir de balizamento para a identificao de problemas e desenvolvimento dos ajustes necessrios. As questes que se colocam so: que condies devem ser impostas ao escoamento em escala reduzida para que os processos reflitam a operao do prottipo? At que ponto podemos acreditar nas condies operacionais do prottipo, calculadas a partir das condies operacionais do modelo, medidas no laboratrio?

Note que, se possvel estabelecer relaes de similaridade entre condies operacionais de equipamentos geometricamente similares, isto , prever a operao de equipamentos em escalas geomtricas diferentes, a partir do conhecimento das condies operacionais de um nico equipamento, haver uma grande economia no projeto ou no ensaio dos equipamentos da famlia similar. Basta projetar e ensaiar um equipamento. Os demais, desde que geometricamente similares, tero suas condies operacionais determinadas a partir das relaes de similaridade. Isto o que efetivamente ocorre nesta rea de mquinas de fluxo. Fabricantes de bombas, ventiladores e mesmo turbinas, usualmente fornecem os equipamentos discriminados por modelos, que so, nada mais, que uma famlia de equipamentos similares.

Para que se possa relacionar as condies de operao de mquinas de fluxo geometricamente similares, duas outras condies de similaridade devem ser cumpridas, a similaridade cinemtica e a similaridade dinmica do escoamento. A similaridade cinemtica dos escoamentos implica na semelhana entre as linhas de corrente dos escoamentos (modelo e prottipo) e, conseqentemente, em relaes constantes entre as magnitudes da velocidade em todos os conjuntos de pontos

correspondentes dos sois escoamentos, alm de manterem sentido e direo anlogos. A similaridade dinmica requer uma relao constante entre todas as foras presentes no escoamento. No caso do escoamento em mquinas de fluxo, as foras dominantes so a fora de inrcia e as foras associadas s tenses viscosas. Conseqentemente, para cumprir com a similaridade dinmica, os escoamentos no modelo e no prottipo devem o mesmo nmero de Reynolds. (Para maiores detalhes, veja, por exemplo, Mecnica dos Fluidos, Princpios Bsicos, de I.H. Shames, ou qualquer outro livro fundamental de mecnica dos fluidos).

Tomemos ento duas bombas centrfugas (novamente vamos particularizar, mas poderamos estar nos referindo a ventiladores e turbinas) geometricamente similares e vamos encontrar a relao de proporcionalidade existente entre as condies de operao. O subscrito I e II vo identificar as bombas geometricamente similares, operando tambm em condies de similaridade cinemtica e dinmica.

A similaridade cinemtica do escoamento implica na similaridade geomtrica dos tringulos de velocidade na sada do rotor e podemos afirmar que :

u5 Iu5 II

=c5 Ic5 II

=cu5 Icu5 II

=cm 5 Icm5 II

=w5 Iw5 II

=nI D5 InII D5 II

A vazo das bombas similares pode ser dada por:

QrI= D5 I cmI b5 IQrII=D5 II cmII b5 II

A condio de similaridade geomtrica requer que

D5 ID5 II

=b5 Ib5 II

A relao de proporcionalidade entre as vazes das duas bombas similares , ento,

QrIQrII

=D 5 ID5 II

cm5 Icm5 II

b5 Ib5 II

ou,

QrIQrII

=D5 ID5 II

nI Dm5 In II D5 II

D5 ID5 II

Finalmente,

QrIQrII

=nI D5 I

3

nII D5 II3

A altura de elevao terica ideal desenvolvida pela bomba centrfuga proporcional ao produto da velocidade tangencial do rotor com a componente tangencial da velocidade absoluta de sada. A relao de proporcionalidade entre a altura de elevao terica ideal das bombas similares dada por :

H pIH p II

=u5 I cu 5 Iu5 II cu 5 II

,

ou ainda,H pIH p II

=nI

2 D 5 I2

nII2 D5 II

2

O coeficiente do nmero de aletas, m, a razo entre Hp e Hp . Como j vimos, m funo de b5 , r4/r5 e z. Bombas similares, evidentemente, tero os mesmos valores de m.

Logo,

H pIH pII

=n I

2 D5 I2

nII2 D5 II

2

Se a altura de elevao real dada por

H=h H p

e, se cumprido o requisito de similaridade dinmica, podemos afirmar que a eficincia hidrulica de bombas similares igual (aqui comeam os desvios entre teoria e prtica!). Nem sempre possvel cumprir rigorosamente com a similaridade geomtrica entre os equipamentos

Considere, como exemplo, uma grande variao da escala geomtrica entre as bombas, 1/10. Se a rugosidade da superfcie da aleta do rotor da bomba maior X, e a escala 1:10, a rugosidade da superfcie da aleta da bomba menor dever ser X/10 (isto , a bomba menor teria que, talvez, ter superfcies internas polidas para que sua rugosidade reduzisse tanto!). Nem sempre ser possvel construir a bomba menor com uma rugosidade absoluta da parede da aleta atendendo a similaridade geomtrica (na linha de produo isto efetivamente no acontece). E no que isto implicar? Certamente em um coeficiente de perdas ordinrias k1 diferente entre os dois equipamentos em escala. Lembram-se do diagrama de Moody ? Maior a rugosidade relativa, para o mesmo nmero de Reynolds, maior o coeficiente de perdas, mais energia dissipada em perdas hidrulicas ordinrias. Isto , h da bomba grande ser maior que o h da bomba pequena.

Se admitirmos que a eficincia mecnica de bombas similares igual (tambm no corresponde inteiramente realidade, pois a eficincia mecnica de equipamentos de pequeno porte normalmente inferior dos equipamentos de maior tamanho), ser vlido afirmarmos a igualdade entre as eficincias totais

TI=TII

resultando na seguinte relao de proporcionalidade para a potncia de eixo das bombas similares:

PeIP eII

=(QHg)I(QHg)II

=I nI

3 D I5

II nII3 D II

5

Observe que, se uma mesma bomba opera com o mesmo fluido, em rotaes diferentes n e n', as relaes de similaridade tambm se aplicam, ficando reduzidas a:

QQ '

= nn '

, HH '

= n2

n '2 e

P eP e '

= n3

n '3

A figura seguinte mostra a similaridade existente entre a operao em duas rotaes distintas para a bomba ETA 32-16 da KSB. O grfico log-log e as parbolas de mesmo estado de choque aparecem como retas inclinadas de arctag 2 com relao horizontal. Posteriormente, as mesmas curvas aparecem em um grfico linear.

SIMILARIDADE DE OPERAO( mesma bomba com rotaces distintas )

SIMILARIDADE DE OPERAO(PARBOLAS DE MESMO ESTADO DE CHOQUE)

par bol a de si mi l ar i dade

( mesmo est ado de choque)

As Diversas Formas do Rotor

Na introduo do captulo sobre bombas centrfugas vimos que estas se classificam segundo a direo do escoamento atravs do rotor e discutimos rapidamente as condies de operao implcitas a cada tipo. Foi dito, por exemplo, que a bomba radial utilizada quando se deseja grande altura de elevao e baixa vazo, ou que as bombas axiais desenvolvem pequena altura de elevao com alta vazo. Neste ponto do nosso estudo sobre as bombas centrfugas (e novamente generalizando para ventiladores e turbinas) j podemos analisar com clareza a relao existente entre as condies de operao da mquina de fluxo e a forma do rotor. Considere, para tanto, a equao fundamental :

H p=1g(u5 c5 cos5u4 c4 cos4)

Da anlise dos tringulos de velocidade s na entrada e sada do rotor podemos chegar s seguintes relaes (lei do coseno):

w42=u4

2+c422 u4 c4cos4

w52=u5

2+c522u5 c5cos5

Combinando estas duas equaes chegaremos a :u5 c5cos5u4 c4 cos4=[(w4

2w52)+(c5

2c42)+(u5

2u42)]

A altura de elevao terica ideal pode ser dada ento por :

H p=1

2 g[(w4

2w52)+(c5

2c42)+(u5

2u42)]

Isto , a altura de elevao terica ideal, e consequentemente, a altura de elevao real de uma bomba, proporcional ao quadrados das velocidades que constituem o tringulo de velocidades na entrada e sada do rotor. De forma inversa, pode-se afirmar ento que as velocidades so proporcionais a H , ou ainda que nD5 proporcional a H (nD5 expressa a velocidade tangencial).

A equao da continuidade estabelece que a largura do rotor, b2 , e a velocidade do fluido na regio de suco, cs , estabelecem a vazo Q. Teremos ento trs relaes de proporcionalidade que poderemos utilizar para associar as condies de operao (altura de elevao, vazo e rotao) com forma do rotor:

nD5H , Qr5b5 cm5 , Qcs

Considere agora um rotor radial de uma mquina de fluxo, que opera com o par de condies de operao (Q; H) constante. A terceira condio de operao, a rotao, varia. Se a rotao aumenta, por exemplo, como o rotor da mquina de fluxo se altera (a partir da sua configurao radial) para que sua forma se ajuste ao aumento de rotao?

A primeira relao de proporcionalidade estabelece que, para um certo H constante, se a rotao baixa, o rotor tem grande tamanho, isto , D5 grande, e quase certamente uma grande razo D5/D4. (se a bomba opera com rotao

elevada, pode-se esperar que um rotor de pequeno tamanho desenvolva a altura de elevao especificada). o caso do rotor radial lento (rotao baixa) (figura 1). Ele tem entrada radial e um perfil estreito. Se aumentarmos a rotao, mantendo a altura H fixa, o dimetro D5 deve diminuir. Diminuindo D2 , a partir de uma certa posio o dimetro D1 tambm deve ser reduzido, para que a aleta no se torne muito curta (a quantidade de energia transmitida funo do comprimento da aleta, ou de D5/D4, reveja as correlaes parta o clculo do coeficiente do nmero de aletas! Se a aleta muito curta, a transferncia de quantidade de movimento angular deficiente). medida em que a rotao aumenta, dever haver uma mutao do rotor (partindo de sua forma radial) como a esquematizada na figura 2 .

Se continuarmos aumentando a rotao, mantendo a altura H fixa, o dimetro de sada do rotor dever diminuir ainda mais. Geometricamente, isto s pode ser obtido se a aleta tornar-se inclinada (o dimetro mdio de sada diminui, mas a aleta mantm um comprimento adequado) (figura 3). A mutao do rotor, a partir de sua forma radial, se deu, com o aumento da rotao, de:

rotor radial lento rotor Francis rotor misto rotor axial

Figura 1 - Rotor radial lento

Figura 2 - Rotor rpido ou helicoidal

Figura 3 - Rotor axial ou hlice

Podemos repetir a anlise fazendo variar a vazo ou a altura de elevao e mantendo fixos os pares (rotao e altura de elevao) e (rotao e vazo), respectivamente. As quatro formas de rotor se caracterizam ento, por :

Formas do rotor e condies operacionais

Rotor radial lentopequena rotao e vazo, grande altura de elevao

Rotor Francis (vel. Mdia)rotao, vazo e altura de elevao medianas

Rotor misto ou helicoidal grande rotao e vazo, pequena altura de elevaoRotor axial ou hlice a maior rotao e vazo, a menor altura de elevao

Rotao Especfica

As diversas formas dos rotores de mquinas de fluxo foram apresentadas no item anterior comparando-se, em termos relativos (maior, menor, valor mediano, etc), suas condies operacionais. A engenharia de projeto e aplicao destas mquinas, entretanto, requer critrios absolutos (nmero, valor), para representar uma certa bomba, que tem um rotor com formato tal ou qual. Considere, por exemplo, um certo processo industrial. Este processo ocorre com o escoamento de um lquido com uma vazo Q. Para que o lquido escoe com a vazo Q, necessrio transferir a energia especfica H com uma bomba. Se houver um nmero que resulte da combinao dos parmetros operacionais (Q, H e n), indicando o tipo de bomba que deve ser instalada naquele processo especfico, a ao do engenheiro projetista ou instalador ser muito facilitada. Esta linha de raciocnio seguida para se estabelecer o conceito de rotao especfica. As relaes de similaridade anteriormente deduzidas nos sero teis na formulao deste parmetro que relaciona as condies operacionais das mquinas de fluxo com as formas possveis de seus rotores.

A relao de proporcionalidade entre as vazes de duas bombas homlogas dada por:

Q IQ II

=(nD5

3)I(nD 5

3)II

Rearranjando,

D5 I2

D5 I2 =

Q I2 /3

Q II2 /3

nI2 /3

nII2 /3

Entre as alturas de elevao temos:

H IH II

=(n D5

2)I(n D5

2)II

Logo,

H IH II

=QI

2/ 3

QII2/ 3

nI4 /3

nII4 /3

ou,

nI4 /3 QI

1/2

H I=

nII4 /3Q II

1 /2

H II=cte = constante

Se cada um dos termos da equao anterior for elevado potncia , chegaremos a:

nI QI1/ 2

H I3 /4 =

n II QII1/2

H II3/4 =cte

Vale observar que esta expresso no vlida somente para duas bombas homlogas e , mas para qualquer nmero de bombas homlogas operando sob condies similares. Vamos admitir ento que uma destas bombas homlogas seja uma bomba padro, desenvolvendo uma altura de elevao de 1m com a vazo de 1m3/s (estas condies de operao definem a bomba padro!). A rotao desta bomba padro o parmetro que procuramos, a rotao especfica, nq:

nq=nQH3/ 4

,

A rotao especfica caracteriza o potencial da bomba em desenvolver o par de condies de operao (H;Q) operando com uma certa rotao n. Observe que rotao especfica alta implica em altura de elevao baixa, e vice-versa. A rotao especfica varia de forma diretamente proporcional com Q1/2., maior Q, maior nq; diminui Q, diminui nq. E diretamente proporcional rotao da bomba, n. Conclui-se ento que a rotao especfica expressa a forma do rotor das mquinas de fluxo. Bombas (ou ventiladores, ou turbinas) de nq baixa tm rotores de pequena espessura relativa (b5 / D5) e valor elevado de D5/D4 isto , rotores de aletas longas, que so necessrias para desenvolver grandes alturas de elevao. Com o aumento de nq diminui a razo D5/D4 (aletas progressivamente mais curtas) e aumenta a espessura relativa b5/D5 .

Deve-se ser muito cuidadoso na utilizao do conceito de rotao especfica, pois sua definio tem variado com o correr dos tempos. Na medida em que no um parmetro adimensional, o uso sistemas de unidades produz valores numricos distintos.

Era comum encontrar-se definies distintas do parmetro: a rotao especfica j foi definida como sendo a rotao da bomba padro que desenvolve 1m de coluna de fluido consumindo 1 c.v. de potncia. Seja ns esta rotao. Na medida em que vazo e altura de elevao definem a potncia da mquina de fluxo, pode-se escrever:

ns=g75nq

Era tambm usual definir a rotao especfica especificando o fluido de trabalho como sendo a gua, de peso especfico = 1000 Kgf/m3 .Logo,

ns=100075 nqns=3,65nq

Na Inglaterra a definio de nq tomava por base 1 galo por minuto (4.546 l ) e uma altura de elevao de 1 p ( 0,3048 m). Nos Estados Unidos utilizava-se o galo americano ( republicano, menor que o galo do Rei ???, 3,785 1), de modo que

nq ingls = 47,13 nq = 13,0 ns H2O (RPM) enq americano = 5l,64 nq = 14,1 ns H2O (RPM)

A experincia dos projetistas, acumulada ao longo de vrias dcadas, permitiu a classificao das bombas centrfugas e turbinas de acordo com o valor numrico do parmetro rotao especfica. Para se construir uma tabela como a apresentada a seguir, que quantifica a forma do rotor da mquina de fluxo, critrios estatsticos, associando a eficincia de operao, a forma do rotor e a rotao especfica, foram utilizados.

Rotor radial lento nq = 11 a 38 ( ns= 40 a 140) (RPM)D2 / D1 = 3,0 a 1,8

Rotor Francis ( normal ) nq = 38 a 82 ( ns= 140 a 300) (RPM)D2 / D1 = 1,8 a 1,3

Rotor rpido ( helicoidal) nq = 82 a 164 ( ns= 300 a 600) (RPM)D2 / D1 = 1,3 a 1,1

Rotor rpido (axial ou hlice) nq = 100 a 500 ( ns= 365 a 1800) (RPM)D2 / D1 = 1,0

A rotao especfica um conceito que caracteriza o rotor da mquina. Se a bomba tem i rotores em srie, se suas condies operacionais fornecem um valor de rotao especfica nq, a rotao especfica da cada rotor ser (i3/4 nq ). Se, por outro lado, a bomba tem j rotores em paralelo, se suas condies operacionais fornecem um valor de rotao especfica nq, a rotao especfica de cada rotor ser (nq / j ).

Com o intuito de uniformizar o conceito e torn-lo independente do sistema de unidades adotado, uma expresso admensional para a rotao especfica foi proposta.

Define-se ento

nqA=nQ(gH )3/4

e obtm-se facilmente uma expresso sem dimenses desde que n seja dada em rps ( a rotao n em todas as expresses anteriores era dada em rpm). Para g = 9.81m/s2 e n rpm chegaremos a

nqA=0,182nQH3/ 4

=0,182nq