MCA3 Resol.cap3 matematica compreensao e pratica

8/19/2019 MCA3 Resol.cap3 matematica compreensao e pratica

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A circunferência 3

Exercícios

1. a) (x 0)2 (y 0)2 42 ⇒ x2 y2 16

b) (x 2)2 (y 5)2 32 ⇒ (x 2)2 (y 5)2 9

c) (x 3)2 (y 2)2 ( 7)2 ⇒ (x 3)2 (y 2)2 7d) xc

2 62 4 e yc

2 22 0⇒ c(4, 0)

(x 4)2 (y 0)2 r2, sendo r AB2

(2 2)2 (6 2)2 · 2 2(x 4)2 y2 8

2. a) (x 3)2 (y 2)2 22 ⇒ (x 3)2 (y 2)2 4

b) (x 2)2 (y 1)2 12 ⇒ (x 2)2 (y 1)2 1

c) (x 2)2 (y 2)2 22 ⇒ (x 2)2 (y 2)2 4

d) (x 1)2

(y 4)2

12

⇒ (x 1)2

(y 4)2

1

3. a) A(3, 0) e r 3⇒ (x 3)2 (y 0)2 32 ⇒

⇒ (x 3)2 y2 9

b) C(0, 0) e r 3⇒ (x 0)2 (y 0)2 32 ⇒ x2 y2 9

c) B(0,4) e C(2,3)⇒ r BC2 12 · ( 3 4)

2 (2 0)2 ·

52

xM 0 2

2 1 e yM 4– 3

2 72 ⇒ M 1,

72

(x 1)2 y 722

522

⇒ (x 1)2 y 722

· 54

d) D(3, 0) e r DE (4– 0)2 (0 3)2 5

(x 3)2 (y 0)2 52 ⇒ (x 3)2 y2 25

4. y

x

–1 1

–1

1

a) (x 1)2 (y 1)2 1(x 1)2 (y 1)2 1(x 1)2 (y 1)2 1

(x 1)2

(y 1)2

1

b) É um quadrado de lado 2 e área 22 4.

5.

–4 0r

y

x

–3

r (3– 0)2 (4 0)2 5(x 4)2 (y 3)2 25

6.

–3

3

x

y

a) (x 3)2 (y 3)2 9b) ( 2 3)2 (5 3)2 1 4 9 não passa.

7. A( 2, 6), B(2, 4)

a) AB é diâmetro⇒ MAB é o centro da circunferência⇒

⇒ C 2 22 , 6 4

2 ⇒ C(0, 1)

Como dA, B (2 2)2 (4 6)2 116 · 2 29,

temos r 29.Daí, a circunferência tem equação:x2 (y 1)2 29

b) Qualquer circunferência que passa por A e B tem ocentro sobre a mediatriz de AB:

dA, C dA, B ⇒ (xC 2)2 (yC 6)2

· (xC – 2)2 (yC – 4)2 ⇒ ⇒ x2C y2C 4xC 12yC 40

· x2C y2C 4xC 8yC 20⇒ ⇒ 2xC 5yC 5 0

Fazendo xC 5, vem yC 3, e C(5, 3) é o centro

de λ .

MATEMÁTICA CIÊ NCIA E AP LICAÇÕE S 3


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Como dA, C (5 2)2 ( 3 6)2 58,temos r 58 e λ : (x 5)2 (y 3)2 58.

9. De 3x 2y 5 0, vem y

8. Substituindo-se as coordenadas do ponto na equação,vem (2k k)2 (0 4)2 25⇒ k 3 ou k 3.

32 x

52 e da equação

2x 1 32 x 52 , vem x 1.

Na retar , para x 1, tem-se y 1. O ponto A(1, 1) per-tence à circunferência.Se B(xB, yB) é o ponto procurado,P é ponto médio de

AB⇒ 2 xB 1

2 ⇒ xB 3 e 4 yB 1

2 7.

O ponto é (3, 7).y

x1

1

4

2

A

P

B

10. O centro é (5,1) e o raio é 2.a) (5,3) é o mais afastado de Ox.

b) (7,1) é o mais afastado de Oy.y

x5 –1

0

1

3

11. a) SeP é um ponto deλ , então (a 1 3)2 (a 1)2 5⇒ ⇒ a 0 ou a 3.

b) P(4,2) e C(3,0). O coeficiente angular da reta ém 2 0

4 3 2.

12. A circunferência tem centro (a, b) e raio 4, diâmetro 8, queé a medida do lado do quadrado.A área é 82 64 cm2.

rr

13. É o ponto que se localiza na circunferência, sobre o diâ-metro horizontal. Como C(3,0) e r 2, sua abscissa fica 2unidades à direita deC ; sua imagem éO. É o ponto (5,0).

y

x

P

5310

14. A equação reduzida é (x xC)2 (y yC) r2 e as coorde-nadas dos pontos levam ao sistema:

(1) (3 xC)2 (0 yC)2 r2 ⇒ x2C y2C 6xC 9 r2

(2) (6 xC)2 ( 3 yC)2 r2 ⇒

x2C y2C 12xC 6yC 45 r2

(3) (1 xC)2 (4 yC)2 r2 ⇒ x2C y2C 2xC 8yC 17 r2

De (1) (2), tem-se 3xC 6 yC 0 (4)

De (2) (3), tem-se xC yC 2 0 (5)

De (4) e (5), tem-se xC 2 e yC 0

Substituindo-se esses valores em (1), tem-se r2 25.

A equação é (x 2)2 y2 25.

15. a) ComoyC yBx

C x

B

3 e yB yAx

B x

A

1, então A,B e C não

estão alinhados. A equação reduzida é

(x xC)2 (y yC)2 r2

(1) (1 xC)2 (3 yC)2 r2 ⇒ x2 y2 2x 6y 10 r2

(2) (3 xC)2 ( 1 yC)2 r2 ⇒ x2 y2 6x 2y 10 r2

(3) (1 xC)2 (5 yC)2 r2 ⇒⇒ x2 y2 2x 10y 26 r2

(1) (2)⇒ x y 0 4⇒ x y 2 e C (2, 2)(2) (3)⇒ 4 x 3y 0 5

Substituindo-se as coordenadas deC em (1), tem-se( 1 2)2 (3 2)2 r2 ⇒ r2 10.A equação é (x 2)2 (y 2)2 10.

b) Como yC yBxC xB

2 e yB yAxB xA

2, então A, B e C es-

tão alinhados e não há circunferência que passe poreles.

Capítulo 3 • A circunferência


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16. y

x

C

10 –1 –2 –3

1

2

3

Utilizando-se os pontos (1, 0), (2, 3) e (0, 3), tem-se:

(1) (1 xC)2 (0 yC)2 r2 ⇒ 1 2x x2 y2 r2

(2) (2 xC)2 (3 yC)2 r2 ⇒ x2 y2 4x 6y 13 r2

(3) (0 xC)2 (3 yC)2 r2 ⇒ x2 y2 6y 9 r2

De (1) (2), tem-se 6 3x 3y 0 (4);

De (2) (3), tem-se 2x 2 0 (5);

De (4) e (5), tem-se x 1 e y 1⇒ C( 1, 1).Substituindo-se as coordenadas deC em (1), tem-ser2 1. A equação reduzida é (x 1)2 (y 1)2 1

17. a) BA 1 ⇒ A B 0; C 0; xC 5; yC 1;

r ( 10)2 ( 2)2 4 · 1 · 17

4 · 1 3. O centro é (5,1)

e r 3.

b) BA 1 ⇒ A B 0; C 0; xC 6; yC 16;

r 122 ( 12)2 4 · 1 · 73

4 · 1 101. Como r2 <

0, não se verifica a quinta condição e não é equaçãode circunferência.

c) BA 1 ⇒ A B 0; c 0; xC 1; yC 3 e

r 22 62 4 · 1 · 0

4 · 1 10. O centro é (1, 3).

d) BA 12 ⇒ A B e não é equação de circunferência.

e)BA

13 ⇒ A B e não é equação de circunferência.

f ) BA 1 ⇒ A B 0, C 0; xC 2; yC 2;

r 42 ( 4)2 4 · 1 · ( 17)

4 · 1 5. O centro é (2, 2).

g) BA 1 ⇒ A B 0; C 0; xC 10; yC 0 e

r ( 20)2 02 4 · 1 · 99

4 · 12 1. O centro é (10, 0).

h) A equação equivale a (x 1)2 (y 3)2 3, que não

tem solução. Não é equação de circunferência.

18. a) C(1,2) e r 6

b) xC 22 1; yC

42

2⇒ C( 1, 2)

r 22 42 4 · 1 · (1)

4 · 1 6

c) xC 42 2, yC

62 3⇒ C(2, 3)

r ( 4)2 62 4 · 1 · 4

4 · 1 3

d) xC 16

2 · 2 4; yC 32

2 · 2 8⇒ C( 4, 8)

r 162 ( 32)2 4 · 2 · 134

4 · 22 13

19. a) x2 y2 2x 4y 92x2 2x 1 y2 4y 4 92 1 4

(x 1)2 (y 2)2 1

2b) x2 8x 16 y2 4y 4 9

x2 y2 8x 4y 11 0

c) x2 5x 254 y2 9y 814

· 32 254

814

x 522

y 922

25

d) x2 2x 1 y2 4y 4 14 0

x2 y2 2x 4y 194 0

20. a) O raio é a distância do ponto (0,0) ao centro (1, 4),

que é r 42 12 17.

A equação é (x 1)2 (y 4)2 ( 17)2 ⇒

⇒ x2 y2 2x 8y 0.

b) O raio é o mesmo do item anterior:17. A equação é

(x 0)2 (y 0)2 ( 17)2 ⇒ x2 y2 17 0.

21. Como xC 2

2 1 e yC

4

2 2, o centro é (1, 2).

A distância é (6 2)2 (4 1)2 5.

22. x2 y2 2x 10y k 28 0

Analisando as condições:

1a. ) A B 1

2a. ) C 0

3a. ) D2 E2 4AF > 0:

( 2)2 102 4 · 1 · (k 28) > 0

104 112 4k > 0⇒ k > 2, com k∈ ℝ



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23. A B 1; C 0; 62 142 4 · 1 · k > 0⇒ k < 58.

O maior valor inteiro dek é 57.

24. O centro da primeira é (2,1); o da segunda, como xC 12 e yC

12 , é

12 ,

12 . O coeficiente angular da reta é

1 12

2 12

15 e a equação é x 5y 3 0.

25. O centro da primeira é (3, 0); o da segunda, como

xC 1 e yC 3, é (1, 3). A distância é32 42 · 5.

26. O centro da primeira é xC p2 e yC 3⇒

p2 , 3 .

O da segunda é xC 2 e yC p 2

2 ⇒ 2,p 2

2 .

Se as circunferências são concêntricas, o centro delas é

o mesmo.

Do sistema p2 2

p 22 3

, tem-se p 4

27. P(1, 3), Q(4,2), R(3, 5), A(3, 0), B(0,4)

Para determinar o centro da circunferência, usamos o

sistema:

(1) (1 xC)2 ( 3 yC)2 r2 ⇒ x2 y2 2x 6y 10 0(2) (4 xC)2 ( 2 yC)2 r2 ⇒ x2 y2 8x 4y 20 0(3) (3 xC)2 (5 yC)2 r2 ⇒ x2 y2 6x 10y 34 0

De (1) e (2), tem-se 3x y 5 0 (4);

De (2) e (3), tem-se x y 1 0 (5);

De (4) e (5), tem-se x 1 e y 2 e C(1, 2).

O coeficiente da reta que passa por A e B é 43

e aequação da reta é 4x 3y 12 0. A distância é

41 32 1242 32

225

28. a) É mais fácil trabalhar com a equação reduzida dacircunferência:x2 y2 8x 4y 11 0x2 8x ... y2 4y ... 11 0 ... ...x2 8x 16 y2 4y 4 16 4 11 9(x 4)2 (y 2)2 32

Fazendo y 2: (x 4)2

32

⇒

⇒ x 4 ±3⇒ x 1 ou x 7(7 4)2 (y 2)2 9⇒ y 2, e o ponto de maiorabscissa é (7,2).

b) x2 6x 9 y2 4y 4 12 13 0 ⇒ ⇒ (x 3)2 (y 2)2 1.

O centro é (3, 2) e o raio é 1. Fazendo-se y 1, tem-sex 3⇒ o ponto é ( 3, 1).

29.

r

r

A diagonal do quadrado é o diâmetro da circunferência,ou seja, 2r.

Como r 32, a diagonal é 232.De d2 2 2, tem-se 8 e o perímetro é de 32 cm.

30. A( 2, 2): (2 2)2 (2 1)2 9 0⇒ A pertence aλ .B(5, 1): (5 2)2 (1 1)2 9 4> 0⇒ B é externo aλ .D( 1, 2): (1 2)2 (2 1)2 9 > 0⇒ D é externo aλ .E(0, 1): (0 2)2 (1 1)2 9 1 < 0⇒ E é interno aλ .F( 5, 1): (5 2)2 ( 1 1)2 9 0⇒ F pertence aλ .

32. Se (3, 3) pertence à circunferência, então 32 ( 3)2

– 2 · 3 4 · (3) k 0⇒ k 24.

33. Se a circunferência passa pelo ponto, então (6)2 ( k)2

– 2( 6) 6 · (k) 55 0⇒ k 1 ou k 7

34. Se a circunferência contém o ponto, então (3)2 k 2

12 · (3) 4k 15 0⇒ k 2 ou k 6.

31. A( 1, 2): (1)2 22 6 · ( 1) 8 · 2 27 > 0⇒ A éexterno aλ .B(3, 6): 32 62 6 · 3 8 · 6 75 > 0⇒ B é externoa λ .O(0, 0): 02 02 6 · 0 8 · 0 0⇒ O∈ λ .D( 1, 4): (1)2 ( 4)2 6 · ( 1) 8 ( 4) 9 < 0⇒ D é interno aλ .E(3, 0): 32 02 6 · 3 8 · 0 9 < 0⇒ E é interno aλ .



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35. Substituindo-se as coordenadas do ponto no 1o membro

da equação da circunferência, devemos ter um número

negativo. Então:

( 3)2 p2 2( 3) 6p 5 < 0

p2 6p 8 < 0⇒ 2 < p < 4

36. Se p não é interno, ou é externo ou pertence à circunfe-

rência. Logo, (1)2 p2 7 ( 1) 2p 11 0⇒ p2

2p 3 0 ⇒ p 3 ou p 1.

37. Se (m, 0) é externo à circunferência, então m2 02 4m

5 · 0 5 > 0⇒ m2 4m 5 > 0⇒ m < 1 ou m > 5.

38. Seja f(x, y) x2 y2 1.Tem-se que f (x, y)0 é a equação

da circunferência de centro na origem e raio 1.

a) É o conjunto dos pontos da circunferência e dos pon-

tos interiores a ela.

b) É o conjunto dos pontos interiores à circunferência.

c) É o conjunto dos pontos da circunferência e dos pon-

tos exteriores a ela.·

d) É o conjunto dos pontos exteriores à circunferência.Graficamente, tem-se:

a)y

x

1

b)y

x

1

c)y

x1

d)y

x1

39. a) x

2

y2

4x 2y 1 (x 2)2

(y 1)2

4, que repre-senta uma circunferência de centro (2, 1) e raio 2.

b) x2 y2 2x 4y 1 (x 1)2 (y 2)2 4, que repre-senta uma circunferência de centro (1,2) e raio 2.

c) x2 y2 2x 4y 1 (x 1)2 (y 2)2 4, que repre-senta uma circunferência de centro (1, 2) e raio 2.

d) x2 y2 4x 2y 1 (x 2)2 (y 1)2 4, que repre-senta uma circunferência de centro (2, 1) e raio 2.

Graficamente, os conjuntos soluções são:a)

y

x

1

–2

b)y

x

1

–2

c)y

x

2

–1



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d)y

x

1

2

40. a) x2 y2 4> 0 é o conjunto dos pontos exteriores à

circunferência de centro (0, 0) e raio 2.

x2 y2 9 0 é o conjunto dos pontos interiores e

pertencentes à circunferência de centro (0, 0) e raio 3.

A interseção é a coroa circular destacada na figura.

y

x –2

–2

–3 32

–3

32

b) x2 y2 2 0 é o conjunto dos pontos exteriores e

pertencentes à circunferência de centro (0, 0) e raio2.

x2 y2 4 < 0 é o conjunto dos pontos interiores àcircunferência de centro (0, 0) e raio 2.

A interseção é a coroa circular destacada na figura.y

x –2

–2

2

22

22 – 2 –

41. (x 1)2 y2 4 < 0 é o conjunto dos pontos interiores à


x2 (y 1)2 4 0 é o conjunto dos pontos exteriores e

pertencentes à circunferência de centro (0, 1) e raio 2.

A interseção é a região hachurada na figura.

1

1

y

x

42. x2 y2 > 16 é o conjunto dos pontos exteriores à circun-

ferência de centro (0, 0) e raio 4.

x2 y2 < 20 é o conjunto dos pontos interiores e perten-

centes à circunferência de centro (0, 0) e raio20.

A união desses dois conjuntos é o plano real.

–4

y

x4 –4

420

20 20 –

20 –

43. a) As circunferências têm raio 2 e centros (1, 1) e (1,1).

As equações são (x 1)2 (y 1)2 4 e (x 1)2

(y 1)2 4.

Os pontos do conjunto assinalado são interiores e per-

tencentes às duas regiões e são soluções do sistema:

(x 1)2 (y 1)2 4(x 1)2 (y 1)2 4

b) As circunferências têm raio 2 e centros (0, 0) e (3, 0).

Suas equações são x2 y2 4 e (x 3)2 y2 4.

Os pontos do conjunto assinalado são exteriores e

pertencentes à primeira circunferência e interiores e

pertencentes à segunda e são soluções do sistema:

x2 y2 4(x 3)2 y2 4

c) A circunferência tem centro 0 e raio 2, e sua equação

é x2 y2 4. A reta é o lugar geométrico dos pontos

do plano que têm x 1.



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Os pontos do conjunto assinalado são interiores epertencentes à circunferência e localizam-se à direitada reta vertical ou pertencem a ela. São soluções dosistema:

x2 y2 4x 1

d) A circunferência tem centro (1, 0) e raio 2 e sua equaçãoé (x 1)2 y2 4. A reta é o lugar geométrico dospontos do plano que têm y 1.Os pontos do conjunto assinalado são interiores epertencentes à circunferência e localizam-se abaixoou pertencem à reta horizontal. São soluções do

sistema (x 1)2 y2 4

y 1.

44. A reta de equação y 3x 2 é crescente e corta os eixos

nos pontos (0, 2) e 23 , 0 . Como o ponto (0, 0) satisfaz

a sentença 3x y 2 0, o conjunto solução dessainequação é a união do semiplano que contém o ponto(0, 0) com a reta dada.A circunferência tem centro (0, 0) e raio 1. A solução dainequação é o conjunto dos pontos interiores e perten-centes à circunferência.A interseção é a região sombreada na figura.

y

x10

1

–1

–1

45. x y 2 é a equação de uma reta decrescente e quecorta os eixos nos pontos (0, 2) e (2, 0).x2 y2 4 é a equação da circunferência de centro(0, 0) e raio 2.a) Como (0, 0) satisfaz a sentença x y 2, a origem é

solução dessa inequação, que é a reunião do semipla-no que contém a origem com a reta dada.A solução de x2 y2 4 é a circunferência e seus

pontos interiores.

A interseção é mostrada na figura

2

2

y

x –2

–2

0

b) Como (0, 0) não satisfaz a sentença x y 2, a origem

não é solução da inequação; a solução é o semiplano

que não contém a origem.

A solução de x2 y2 4 é a circunferência e seus

pontos interiores.

A interseção é mostrada na figura abaixo.

2

20

y

x –2

–2

46. a) y x⇒ x2 x2 2x 2x 1 0⇒ 2x2 1 0,

que não possui raízes reais.b) y x 1⇒ (x 1)2 (x 1 2)2 5⇒ 2x2 3 0,

que tem duas raízes reais⇒ r e λ são secantes.

c) y x 2⇒ x2 ( x 2)2 4x 4( x 2) 6 0⇒

⇒ x2 2x 1 0, que tem uma raiz real⇒ r e λ são

tangentes.

d) y 2x 1⇒ (x 3)2 (2x 1 1)2 16 0, que tem

duas raízes reais⇒ r e λ são secantes.

47. a) y 3x 354 ⇒ x2 3x 354

2 4x

2 3x 354 20 0⇒ x2 10x 25 0⇒

⇒ x 5⇒ y 5

O ponto de interseção é (5, 5).

b) y x2 32 ⇒ x

2 x2 32

2

4x 6 x2 32

12 0⇒ x2 2x 15 0⇒ x 5 e x 3

Se x 5, então y 1; se x 3, então y 3.

Os pontos de interseção são (5,1) e ( 3, 3).



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c) De x 1 t (1)y 1 t (2)

De (1), tem-se t x 1, que, substituído em (2), nos

dá y 1 x 1⇒ y x 2⇒

⇒ x2 ( x 2)2 8x 6( x 2) 24 0

⇒ x2

3x 8 0, que não tem raízes reais⇒ não hápontos de interseção

48. x2 y2 4x 6y 12 0⇒ (x 2)2 (y 3)2 25 é a

equação da circunferência de centro (2, 3) e raio 5.

O ponto (1, 0) é interior à circunferência, pois 12 02 – 4 · 1 6 · 0 12 < 0. Dessa forma, qualquer reta que passa

pelo ponto intercepta a circunferência em dois pontos.

49. x2 y2 4

2x y p 0⇒ y 2x p

x2 (2x p)2 4⇒ 5x2 4px p2 4 0∆ 16p2 4 · 5 · (p2 4) 0

4p2 80 0⇒ p ±2 5

50. y x k⇒ x2 ( x k)2 4x 6 ( x k) 5 0⇒

⇒ 2x2 2(k 1)x (k 2 6k 5) 0⇒

⇒ Δ [2 · (k 1)]2

4 · 2 · (k 2

6k 5) 4 · (k 2

10k 11)a) Para que sejam tangentes, deve-se terΔ 0⇒ k 1

ou k 11.

b) Para que sejam secantes, deve-se terΔ > 0⇒

11 < k < 1

c) Para que a reta seja externa à circunferência, deve-se

ter Δ < 0⇒ k < 11 ou k > 1.

51. y 2x⇒ x2 (2x)2 4 0⇒ x 25

ou x 25

.

Os pontos de interseção são 25

, 45

e 25

, 45

;

a distância entre eles é o comprimento da corda que os

une: 85

2

45

2

4.

52. a) A circunferência de equação x2 y2 6x 4y 7 0

tem centro C(3, 2) e raio20. A distância der a C é|3 2 · 2 3|

12 22 10

5 10 5

5 2 5 20. Então,

r e λ são tangentes.

b) A circunferência tem centro 12 ,12 e raio

52 . A dis-

tância do centro ar é 12 2 ·

12 3

12 ( 2)2 9

2 5 > 52 .

Então,r é externa aλ .

c) A circunferência tem centro C(3, 5) e raio10. Adistância deC a r é

|3 · 3 5 · 4|32 12

1010

10 r.

Então,r e λ são tangentes.

d) A circunferência tem centro (12,2) e raio 7.

A distância do centro ar é|4 · 12– 3( 2) 24|

42 ( 3)2

· 6 < 7. Entãor e λ são secantes.

53. a) A circunferência tem centro (0, 0) e raio5

2. A distância

do centro ar é|0 2|12 02

2 < 52 . Elas são secantes.

b) A circunferência tem centro (2, 4) e raio13. A distân-

cia do centro ar é|2 · 2 3 · 4 3|

22 32 13 r. Elas

são tangentes.

c) A circunferência tem centro (1, 1) e raio 18 · 3 2.

A distância do centro ar é| 1 1 5|

12 12 7

2

· 7

22 > 3 2. Elas são exteriores.

d) O centro da circunferência é (5, 2) e o raio é 16. A dis-

tância do centro ar é|2 · 5 4 · 2 1|

22 42 17

20 < 16.

São secantes.

54. a) y x 5⇒ (x 1)2 ( x 5 2)2 16⇒

⇒ x2 2x 3 0⇒ x 3 ou x 1


Os pontos de interseção são (3, 2) e (1, 6). Ocomprimento da corda é a distância entre eles:

(6 2)2 ( 1 3)2 4 2

b) y 3x⇒ (x 3)2 (3x 4)2 25 0⇒ 10x2 30 x 0⇒

⇒ x 0 ou x 3


Os pontos de interseção são (0, 0) e (3, 9). O compri-

mento da corda é a distância entre eles:

(3 0)2 (9 0)2 3 10



9/27

55. x2 y2 2x k 0

(x2 2x 1) y2 1 k > 0⇒ k < 1 (*)

3x 4y 18 · 0⇒ y · 3x 184

x2 3x 184

2

2x k 0

25x2 140x 324 16k 0

Δ 19 600 100(324 16k) 1 600 ( 8 k)

a) Δ 0: 8 k 0⇒ k 8

b) Δ < 0: 8 k < 0⇒ k > 8

Considerando (*):8 < k < 1

c) Δ > 0: 8 k > 0⇒ k < 8

56. O centro da circunferência é (m, 1). Como o centro

pertence a r , então 2 · (m) 3 · 1 1 0⇒ m 1.

O raio é 200 10 2 e o diâmetro é 20.

57. y x⇒ x2 ( x)2 6x 2( x) 2 0⇒ x2 2x 1

0⇒ x 1 e y 1. O ponto é (1,1).

58. A circunferência tem centro (4, 2). A reta tem coeficiente

angular 1. A reta perpendicular ar pelo centro da circun-

ferência tem coeficiente angular 1 e equação y x 2⇒

⇒ (x 4)2 (x 2 2)2 9⇒ 2x2 16x 23 0⇒

⇒ x 4 32

e x 4 32

. O mais próximo da reta é

a abscissa menor: x 4 32

⇒ y 2 32

. O ponto é

4 32

, 2 32

.

59. A circunferência tem centro (3, 1) e raio 1. A retar tem

coeficiente angular3 15 3

1 e equação y x 2⇒

⇒ x2 (x 2)2 6x 2(x 2) 9 0⇒ 2x2 12x 17

· 0 ⇒ x 6 22 e x 6 22 . O ponto deλ mais

distante do ponto dado tem abscissa menor: x 6 22

⇒ y 2 22 . O ponto é6 2

2 ,2 2

2 .

y

x53

A

r

1

3

60. r: y x 2; C: x2 y2 4x 2y a 0

x2 4x 4 y2 2y 1 a 4 1

5 a > 0⇒ a < 5x2 (x 2)2 4x 2(x 2) a 0

2x2 2x a 0

Δ 4 8a 0⇒ a 12 < 5

E o maior valor dea é 12 .

61. O raio da circunferência é a distância do centro à retatangente. Então:

r |3 · 1 2 9|

32 12 4

10 · 2 105 . A equação da cir-

cunferência fica (x 1)2 (y 2)2 85 .

62. A partir da equação da circunferência, vamos completar

quadrados para obter os dados de centro e raio: x2 y2

5x 4y k 0x2 5x 254 y

2 4y 4 k 254 4 414 k

r2 (*)

C 52 , 2

Os pontos do eixo das abscissas pelos quais passa a cir-

cunferência possuem abscissas cuja diferença em módulovale 3. Além disso, são simétricos em relação à reta x 52 .Assim, a circunferência passa por (4, 0) e (1, 0).

Logo, seu raio mede:

4 52 2

[0 ( 2)]2 252 · 52

Por (*):414 k 254 ⇒ k 4

63. a) As retas são do tipo x 3y c 0. A circunferênciatem centro C(1, 2) e raio 3.

dc, s |1 – 3 · 2 c|

12 ( 3)2 3⇒ c 5± 3 10

As retas têm equação x 3y 5± 3 10 0.

b) A circunferência tem centro (0, 1) e raio 1 e as retas sãodo tipo 3x 2y c 0.

d |3 · 0– 2 · 1 c|32 22

1⇒ c 2± 13

As equações são 3x 2y 2± 13 0.



10/27

c) A circunferência de equação x2 (y 1)2 4 tem centro

(0, 1) e raio 2; as retas são do tipo 2x y c 0.

d |2 · 0– 1 c|

22 ( 1)2 2

As equações são 2x y± 2 5 1 0.

64. A circunferência tem centro (2, 3) e raio 5.

a) As retas tangentes horizontais devem passar pelos

pontos da circunferência de maior e menor ordenada,

que são (2, 8) e (2,2). Suas equações são y 2 0

ou y 8 0.

b) As retas tangentes verticais devem passar pelos pontos

da circunferência de maior e menor abscissa, que são

(7, 3) e (3, 3). Suas equações são x 7 0 ou x 3 0.

c) 3x 4y 0⇒ y 34 x⇒ mr

34 . As tangentes têm

coeficiente angular 43 e são de forma y 43 x n

ou 4x 3y c 0.

d |4 · 2– 3 · 3 c|42 32

5⇒ c 42 ou c 8

As equações são 4x 3y 42 0 e 4x 3y 8 0.

65. Se duas tangentes a uma circunferência são paralelas

entre si, a distância entre elas é igual ao diâmetro dessa

circunferência.

d

Simplificando e complementando os quadrados:

4x2

4y2

4x 20y 15 0x2 x 14 y

2 5y 254

154 14

254

414 r

2

r 412 ⇒ d 41

66. A circunferência tem centro (3, 4) e raio 1.

O coeficiente angular der é 3 e das perpendiculares é13 .

Como a equação der é y 3x 1, a das perpendiculares

é da forma y 13 x p ou x 3y c 0

d |1 · 3– 3 · 4 c|

12 ( 3)2 1⇒ c 9± 10

As equações são x 3y 9± 10 0.

67. a) A circunferência tem centro C(0, 0) e raio 1.

dPC (

2)2 02

2 > r⇒ P é exterior aλ .As retas que passam porP e não são verticais são da

forma y 0 m · (x 2)⇒ mx y 2m 0.

d |m · 0– 1 · 0 2m|

m2 ( 1)2 1⇒ | 2m| m2 1

2m2 m2 1⇒ m 1 ou m 1

As equações são x y 2 0 ou x y 2 0.

b) A circunferência tem centro C(1,2) e raio 2.

dPC ( 4 2)2 (5 1)2 8 2 2 > r e P

é exterior aλ . As retas que passam porP e nãosão verticais são da forma y 4 m · (x 5)⇒

⇒ mx y 5m 4 0

d |m · 1– 1 · (2) 5m 4|m2 ( 1)2

2

|2m 1| m2 14m2 4m 1 m2 1⇒ m 0 ou m 43 .

As equações são y 4 0 ou 4x 3y 8 0.

c) A circunferência tem centro C(2, 3) e raio 3.

dPC (6 3)2 (1 2)2 18 3 2 > r⇒ P é

exterior aλ .

O ponto de maior ordenada deλ é ( 2, 6) e a reta hori-

zontal que passa por ele contémP . Essa reta, tangente

a λ , tem equação y 6 0.

O ponto de maior abscissa deλ é (1, 3) e a reta vertical

que passa por ele contémP . Essa reta, tangente aλ ,

tem equação x 1 0.

d) λ passa porP : 02 02 6 · 0 8 · 0 0⇒ existe porP

uma única tangentet , que tem equação t: y mtx.

Mas mt 1

mPC 1

4 03 0

34 e

t: y 34 x

e) P(2, 1) é interno aλ , pois 22 12 6 · 2 5 2 < 0.

Assim, não há solução.

68. Se a reta é tangente à circunferência, o raio é a distância

do centro à reta.

| Capítulo 3 • A circunferência


11/27

d |5 · ( 3) ( 2) · 1 8|

52 ( 2)2 25

29

A equação é (x 3)2 (y 1)2 62529 .

69. λ passa por (3, 0) e (5, 0)⇒ xC 4.λ é tangente a y 10 0⇒ λ passa por (4, 10)

dC, (3, 0) dC, (4, 10) ⇒ (3 4)2 (yc 0)2

(4 4)2 (yC 10)2 ⇒ yC 9920

r 10 9920 10120

Daí,λ : (x 4)2 y 9920 2

10120 2

70. O centro da circunferência é C(2, 0) e o raio é 4.O coeficiente angular da reta é3 e sua equação é da

forma y 3x n⇒ 3x y c 0.A distância das retas ao centro é 4.

d | 3 · 2 1 · 0 c|

( 3)2 ( 1)2 4⇒ c 2 3 ± 8

A equação das retas é 3x y 2 3 ± 8 0.

71. y

x410

3

4

C

P

t

r

s

A equação das retas é 3x y 2 3 ± 8 0.A retar tem coeficiente angular 1, a retat , perpendicular

a ela em P(4, 4), tem coeficiente angular1.A equação det é y 4 1 · (x 4)⇒ x y 8 0.

O centro da circunferência é o ponto de interseção de

s e t e é solução do sistema y 3xx y 8 0

⇒ x 2 e

y 6 e C(2, 6).O raio é a distância deC aP , ou seja, (6 4)2 (2 4)2

8 . A equação deλ é (x 2)2 (y 6)2 8.

72. As duas retas são paralelas e existem infinitas circunferên-

cias tangentes, simultaneamente, a elas.

O raio delas é metade da distância entre as retas e os

centros situam-se sobre a retat , paralela a elas e que dista

igualmente das duas.

12

32

12

– –1

s

rt

03

x

y

Seja C(xC, yC) o centro de uma dessas circunferências⇒

⇒ dc,s dc,r.|1 · xC 2 · yC 1|

12 22

|1 · xC 2 · yC 3|12 22

⇒

⇒ |xC 2yC 1| |xC 2yC 3|

ou xC 2yC 1 xC 2yC 3 não tem solução ouxC 2yC 1 (xC 2yC 3)⇒ xC 2yC 1 0

Todos os pontos da retat têm essa propriedade e sua

equação é x 2y 1 0.

73. P(α ,β)∈ λ

λ : x2 y2 r2 0⇒ C(0, 0)

mCP β 0α 0 βα

t⊥

CP⇒ mt αβ

t passa por (α ,β): y β βα (x α)⇒

⇒ βy β2 αx α 2 ⇒ ⇒ t:αx βy α 2 β2 0

74. Do sistema (1) x2 y2 100

(2) x2 y2 12x 12y 68 0

substituindo-se (1) em (2), tem-se y 14 x (3).

Substituindo-se (3) em (1), tem-se x2 (14 x)2 100⇒

⇒ x2 14x 48 0⇒ x 8 ou x 6.

Em (3), se x 8, então y 6; se x 6, então y 8. Os

pontos são (8,6) e (6, 8).

75. Do sistema (1) x2 y2 2x 3 0

(2) x2 y2 2x 4y 1 · 0, subtraindo-se

(1) de (2), tem-se y x 1 (3).

Substituindo-se (3) em (1), tem-se x2 (x 1)2 2x 3

0⇒ x2 1⇒ x 1 ou x 1.

Se x 1, então y 2; se x 1, então y 0. Os pontos

são (1, 2) e (1, 0).

MATEMÁTICA CIÊ NCIA E AP LICAÇÕE S 3 |


12/27

76. a) λ 1 tem centro C1(0, 0) e raio 4.λ 2 tem centro C2( 3, 2) e raio 3.

C1C2 22 ( 3)2 13

r1 r2 7Como C1C2 < r1 r2, elas não são exteriores nem se

tangenciam exteriormente.Como r1 r2 1 e C1C2 > r1 r2, elas não se tangen-ciam interiormente e uma não é interna à outra. Porexclusão, elas são secantes.

b) λ 1 tem centro C1(0, 0) e raio 18.λ 2 tem centro C2( 10, 5) e raio 1.

C1C2 ( 10)2 52 5 5

r1 r2 1 3 2Como C1C2 > r1 r2, elas são exteriores.

c) λ 1 tem centro C1(2, 3) e raio 1.λ 2 tem centro C2( 2, 6) e raio 4.

C1C2 (6 3)2 ( 2 2)2 5

r1 r2 5Como C1C2 r1 r2, elas se tangenciam exterior-mente.

d) λ 1 tem centro C1(0, 0) e raio 9.λ 2 tem centro C2(3, 4) e raio 4.

C1C2 32

( 4)2

5r1 r2 13Como C1C2 < r1 r2, elas não são exteriores nem setangenciam exteriormente.Como r1 r2 5 · C1C2, elas se tangenciam interior-mente.

2. A circunferência tem centro ( – 2, – 2) e raio 2.a)

y

x

C

0 –2

–2

O ponto de λ mais próximo da origem pertence à reta

de equação y = x.

Então, (x + 2)2 + (x + 2)2 = 4 ⇒ x2 + 4x + 2 = 0 ⇒

⇒ x = – 2 + 2 ou x = – 2 – 2 . A solução é o ponto

de maior abscissa, que é x = – 2 + 2 ⇒ y= – 2 + 2 .

O ponto é ( – 2 + 2 , – 2 + 2 ).

b) O ponto mais afastado da origem também se localiza

sobre a reta y = x e sua abscissa é x = – 2 – 2 , donde

y = – 2 – 2 . O ponto é ( – 2 – 2 , – 2 – 2 ).

3. r: 2x– y + 4 = 0; (2, 2); (– 1, 5)C(xC, yC) equidista de (2, 2) e ( – 1, 5):

(xC – 2)2 + (yC – 2)

2 = (xC + 1)2 + (yC – 5)

2

xC – y

C + 3 = 0 ⇒ y

C = x

C + 3

Como C ∈ r, temos: yC = 2xC + 4.

Igualando: x C + 3= 2xC + 4⇒ x2 = – 1 e yC = 2⇒ C(– 1, 2),

vem:

r = (– 1 – 2)2 + (2 – 2)2 = 3

E a circunferência é dada por (x + 1)2 + (y – 2)2 = 9.

Exercícios complementares

1. B(5, 2), portanto, (x – 5)2 + (y – 2)2 = r2 é a equação dacircunferência com centro B.

ABCD é paralelogramo:

MAC = MBD ⇒ 2 + 4

2 ,1 + 4

2 ou 3,52 é ponto médio

de BD:

dMBD, B= r2

⇒ r2 = (5 – 3)2 + 2 – 52

2

= 4 + 14

=

=174 ⇒ r

= 17

E a equação da circunferência é:

(x – 5)2 + (y – 2)

2 = 17

4. C(a,– a); r= 722 = 3 2

λ (x – a)2 + (y + a)2 = 18

λ passa pela origem ⇒ (0 – a)2 + (0 + a)2 = 18

2a2 = 18 ⇒ a = ± 3

Daí,λ : (x– 3)2 + (y+ 3)2 = 18, para a = 3, eλ ': (x+ 3)2 + (y – 3)2 = 18, para a = – 3.

5. Para que a circunferência tangencie os eixos coordena-dos nesses pontos, deve-se ter |a|= 3⇒ os pontos são(0, 3) e (3, 0), o centro é (3, 3) e o raio é 3. A equação éx2 + y2 – 6x– 6y+ 9 = 0.



13/27

6. a) (1) (2– xC)2 + (–3 – yC)2 = r2 ⇒ x2C + y2C – 4xC + 6yC + + 13= r2

(2) (5– xC)2 + (0– yC)2 = r2 ⇒ x2C + y2C – 10xC + 25= r2

(3) (–1– xC)2 + (–4– yC)2 = r2 ⇒ x2C + y2C + 2xC + 8yC++ 17= r2

(1)– (2)⇒ 6xC + 6yC – 12= 0⇒ xC + yC – 2 = 0 (4)(2)– (3)⇒ –12xC – 8yC + 8= 0⇒ –3xC – 2yC + 2= 0 (5)De (4) e (5), vêm xC = – 2 e yC = 4⇒ c(– 2, 4).Em (1), vem 42 + (– 7)2 = 65= r2.A equação é x2 + y2 + 4x– 8y– 45= 0.

b) 42 + 32 – 2 · 4 · xC – 2 · 3 · yC + (x2C + y2C – r2) = 0⇒

⇒ 25– 8xC – 6yC + (x2C + y2C – r2) = 0 (1)72 + 22 – 2 · 7 · xC – 2 · 2 · yC + (x2C + y2C – r2) = 0⇒⇒ 53– 14xC – 4yC + (x2C + y2C – r2) = 0 (2)(– 5)2 + (– 4)2 – 2 · (– 5) · x

C – 2 · (– 4) · y

C + (x2

C + y2

C – r2)=

= 0⇒ 41+ 10xC + 8yC + (x2C + y2C – r2) = 0 (3) (2)– (1):28 – 6xC + 2yC = 014– 3xC + yC = 042– 9xC + 3yC = 0(3)– (1):16+ 18xC + 14yC = 08 + 9xC + 7yC = 0

⇒ yC = – 5 e xC = 3

Em (1):25 – 8 · 3– 6 · (– 5)+ 32 + (– 5)2 – r2 = 0r2 = 65Daí,λ : x2 + y2 – 6x+ 10y+ 9 + 25– 65= 0λ : x2 + y2 – 6x+ 10y– 31= 0

7. A reta de equação y= mx+ n passa pelos centros dascircunferências, que são os pontos (2, 3) e (5, 1); assim,temos:3 = 2m+ n e 1= 5m+ nResolvendo: n= 13

3 e 3n= 13.

8. A medida da corda AB é:ℓ = (2+ 2)2 + (4+ 2)2 = 2 13

A B

5 5

0

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos d2 + ℓ

2 2

= r2 ⇒ ⇒ d2 = 25– 13= 12⇒ d = 2 3.

9. x2 + y2 – 2x– 10y+ 17= 0(x2 – 2x+ 1)+ (y2 – 10y+ 25)= – 17+ 1 + 25

(x– 1)2 + (y– 5)2 = 932 – 22 = r2 ⇒ r2 = 5E a equação da circunferência é: (x– 1)2 + (y– 5)2 = 5

23r

10. Se A(–3,–2), o centro da circunferência deve ser o ponto mé-dio de AP⇒ xC =

– 1– 32

= –2 e yC = 4– 22

= 1; C(–2, 1).

O raio é a distância deC a P :

d = (–2 + 1)2 + (1– 4)2 = 10A equação é (x+ 2)2 + (y– 1)2 = 10.

11. a) P(– 15; 3) e A(– 3; 7; 5)

d = (7,5– 3)2 + (– 3 + 1,5)2 = 22,5 ≅ 4,7 < 4,9

A sentença é falsa.

b) M(3;– 0,7) e A(0, 6);A reta tem coeficiente angular– 6,73 e sua equaçãoé y – 6 = – 6,73 · (x

– 0)⇒ 6,7x+ 3y– 18 = 0, que

intercepta o eixo das abscissas no ponto186,7 , 0, cujaabscissa é menor que 2,75.A sentença é verdadeira.

c) Como a ordenada da cidade de Maratona é 10,5 eela está sobre a reta de equação 7x– 3y = 0, então

x = 3y7 = 4,5. O ponto é (4,5; 10,5). A distância entreos pontos é d= (10,5– 3)2 + (4,5+ 1,5)2 = 92,25 <

< 100 = 10.A sentença é falsa.

d) A reta que passa por V(0, 9) e P(– 1,5, 3) tem coefi-ciente angular 9 – 3

0 + 1,5 = 4. As retas perpendiculares

a ela têm coeficiente angular– 14 e a que passa porM(4,5; 0) têm equação y– 0 = – 14 · (x

– 4,5)⇒ ⇒ x + 4y – 4,5= 0. Essa reta intercepta o eixo Oy



14/27

no ponto (0; 1,125). Sua ordenada é maior que 1 e asentença é falsa.

e) A circunferência tem centro (– 3, 7) e raio 4.As abscissas dos pontos de circunferência variam de– 7 a 1; as ordenadas, de 3 a 11. O estádio tem abscissaentre – 1,5 e 0; ordenada entre 3 e 6 e situa-se no inte-rior da circunferência. A sentença é verdadeira.

12. a) C 1 tem centro (3, 3) e raio 2, então as equações der ev são, respectivamente, y = 5 e x = 5.C

2 tem centro (−2, −2) e raio 4, então as equações des e v são, respectivamente, y = −6 e x = −6.O quadrilátero delimitado pelas retasr , s, u , v é umquadrado de lados 11, então sua área é 121 e seuperímetro é 44.

b) A soma dos raios deC 1 e C 2 é 6.Um hexágono regular com apótema de medida 6 tem

ladoℓ tal que ℓ 32 = 6, ou seja,ℓ = 4 3 . A área desse

hexágono é igual à área de 6 triângulos equiláteros delado 4 3 , ou seja:

A = 6 ·(4 3 ) · 62 = 72 3

13. A é o conjunto dos pontos do círculo de centro (2, 0) e

raio 2.B é o conjunto dos pontos do círculo de centro (2, 1) e

raio 1.

A área de S = A − B é:π · 22– π · 12= 3π

y

2

2 4

1

0–1

–2

x

14. T⩾ 20⇒ 200x2 + y2 – 4x + 8 ⩾ 20⇒ 0⩽ x2+ y2− 4x + 8⩽ 10

x2 + y2− 4x + 8⩾ 0⇒ (x − 2)2+ y2+ 4⩾ 0⇒ S1= ℝ

x2 + y2− 4x + 8⩽ 10⇒ (x − 2)2 + y2 ⩽ 6⇒

⇒ S2 = {P|P está no círculo de centro (2, 0) e raio6 }

Área do círculo =π · r2= 6π

15. x2 + y2 ⩽ 9 representa os pontos interiores e pertencentes

à circunferência de centro (0, 0) e raio 3.

1⩽ x2 + y2 representa os pontos exteriores e pertencen-

tes à circunferência de centro (0, 0) e raio 1.

A interseção é a coroa limitada pelas duas circunferências.

Sua área éπ · 32 – π · 12 = 8π.

y

x

3

31

1

–1

–1 –3

–3

16. A é o conjunto dos pontos interiores e pertencentes à


Sejar a reta tangente à circunferência e do tipo x– y= k

ou x– y– k= 0. A distância do centro à reta é 2.

d = |1 · 0– 1 · 0– k|

12 + (– 1)2 = 2⇒ |– k|= 2 2 ∴ k= ± 2

y

x2

0

2

s

r

–2 –2

–2

22

22

2

–2 2

Se k= 2 2 , a reta de equação x– y – 2 2 = 0 é r e

a inequação x– y 2 2 , que o ponto (0, 0) satisfaz,é o semiplano que contém a origem e, logicamente,

contém A.

Se k= – 2 2, a reta de equação x– y+ 2 2 = 0 é s e a

inequação x– y⩽ – 2 2, que o ponto (0, 0) não satisfaz,

é o semiplano que não contém a origem e, logicamente,

não contém A.

Qualquer outro valor dek maior que 2 2 fornecerá uma

reta que cortará o eixo das abscissas à direita de 22 e a



15/27

inequação conterá A.

A solução é k⩾ 2 2.

17. A partir da equação da circunferênciaC :

x2 + y2 – 2y– 7= 0

obtemos o raio e o centro: R= 2 2 e C' (0, 1)r · s = {(2, 3)}C'∈ r

⇒ r: x– y+ 1 = 0, sendo mr = 1

r⊥ s⇒ ms = – 1 e s: y= – x + 5

a) (V); 22 + 32 – 2 · 3– 7 = 0⇒ (2, 3)∈ C

b) (V); Comor passa porC ' e s⊥ r, a retas é tangente à

circunferênciaC.

c) (V); x= 0⇒ 02 + y2 – 2y– 7 = 0⇒

⇒ y= 1 ± 2 2

d) (F); ms = – 1 (F)

e) (F); t // s⇒ mt = – 1 (0, 0)∈ t

⇒ t: y= – x

Procurando a interseção det com C :

x2 + (– x)2 – 2(– x)– 7 = 0

2x2 + 2x– 7 = 0

x= – 1 ± 152 . Os pontos de interseção são

– 1 + 152 ,

1 – 15 e

– 1 – 152 ,

1 + 15 (F)

18. λ 1: C1 (– 1, 0) e r1 = 1λ 2: C2 (2, 0) e r2 = 2a) λ 1 ∩ λ 2: x2 + y2 + 2x= 0

x2 + y2 – 4x= 06x= 0⇒ x= 0 e y= 0, ou seja, I(0, 0).

y

x201 –4

b) Por semelhança: 2– a–1– a

= 21 ⇒ 2– a = – 2 – 2a⇒ a = – 4

19. A circunferência tem centro (0, 0) e raio 2.A reta vertical que passa pelo pontoP intercepta a circun-

ferência em B(2, 0) e é tangente à circunferência nesse

ponto. A outra tangente é y– 3 = m · (x– 2).Impondo a condição de tangência, obtém-se m= 512 ea reta tangente é 5x– 12y+ 26= 0. Essa reta tangencia

a circunferência no ponto A – 1013,2413 . A distância AB

é 12 1313 .

20. a)

C :

centro Q no 1o. quadrante:Q(xQ, yQ), com xQ > 0 e yQ > 0A (2, 0)B (4, 0)

⇒ xQ = 3

tangente ao eixo y⇒ xQ = rr = 3

Provisoriamente, C: (x– 3)2 + (y– yQ)2 = 9Por A: (2– 3)2 + (0– yQ)2 = 9⇒⇒ yQ = 2 2 ou yQ = – 2 2 (não convém)

Assim, o centro da circunferência é o ponto (3, 22) esua equação é: (x– 3)2 + (y– 2 2)2 = 9.

b) yP = 5 + 2 2 > 2 2 + 3⇒ P é externo aC , já quexP = xQ = 3.Assim, o itemb apresenta duas soluções.Seja o feixe de retast por P(3, 5+ 2 2):y – (5+ 2 2) = m (x– 3), ou seja,t: mx– y– (3m– 5 – 2 2). Para as tangentes:dt, Q = 3

|3m – 1 · 2 2 + 5 + 2 2 – 3m|m2 + (– 1)2

= 3

5m2 + 1

= 3⇒ m2 + 1 = 53 ⇒

⇒ m2 = 169 ⇒ m= ± 43

Finalmente, t1:43 x

– y+ 1 + 2 2 = 0

ou y= 43 x+ 1 + 2 2 e

t2:– 4

3x– y+ 9 + 2 2 = 0

ou y= – 43 x+ 9 + 2 2

21. Q∈ λ : x2Q + (yQ – 2)2 = 4

Por Pitágoras,Q dista 21 de P :

x2Q + (yQ + 3)2 = 21



16/27

y

x

–3

λ t

0

P

Q

2

Subtraindo a 1a. equação da 2a. :

(yQ + 3)2 – (yQ – 2)2 = 17

(yQ + 3 + yQ – 2) (yQ + 3 – yQ + 2)= 17

(2yQ + 1) · 5= 17⇒ yQ = 65 e xQ

= 2 215 , ou seja,

Q 2 215 ,65

t passa porP e Q:

t:

0 – 3 12 21

265 1

x y 1

= 0⇒ t: y= 212 x – 3

22. a) A distância deC à reta é exatamente o raior da circun-

ferência, então: r = 22.

A equação da circunferência é: (x − 5)2 + (y − 4)2= 8.

Fazendo y = 0, vem (x − 5)2 + 16 = 8, que não tem

solução real, portanto a circunferência não intercepta

o eixo x .

b) A distância de (3, 2) ao centro C(5, 4) é:

(5– 3)2 + (4– 2)2 = 4 + 4 = 8 = 2 2

Então, (3, 2) pertence à circunferência.

c) A equação da tangente é y – 2 = m(x − 3), ou seja,mx – y + (2 −3m) = 0. A tangente deve ficar à distância2 2 do centro, então:

m (5) – (4) + (2 – 3m)

m2 + 1 = 2 2 ⇒ 2m – 2m2 + 1 =

= 2 2 ⇒ m = −1e a equação da reta é: –x− y + 5 = 0.

23. A distância de (a, b) ao eixo das abscissas é b = 10 e deveser igual à distância de (a, b) à reta x – y = 0, então:

a – b2

= b⇒ a – 102

= 10⇒ |a − 10| = 10 2 ⇒

⇒ a – 10 = 102 ⇒ a = 10 + 10 2 = 10 + 14,142 = 24,142

24. a) O centro deλ é C(2, 3) e seu raio é 4.A equação da reta que passa por C(2, 3) e tem declive1 é:y – 3 = 1(x − 2), ou seja, x – y + 1 = 0

λ b) O raio da nova circunferência ’ deve ser igual à dis-

tância deC até r , então:

r’ = dCr=(2) + (3)

2 = 5

2

A equação deλ ’ é:(x − 2)2+ (y − 3)2= 252

25. A circunferência tem centro (2, 0) e raio 2.O coeficiente angular der é 1 – 3

3 – 1 = – 1 e o da retas é 1.

A equação des e de suas paralelas são da forma y= x+ n

ou x– y+ c = 0.A distância do centro à tangente é 2, ou seja,

d = |1 · 2+ (– 1)· 0+ c|12 + (– 1)2

= 2⇒ c = – 2 ± 2 2.

A equação das retas é x– y– 2 ± 2 2 = 0.

26. A circunferência tem centro C(0, 0) e raio125. As equa-ções das retas paralelas ar são da forma x+ 2y+ c = 0,e a distância deC às tangentes é 125.

d =|1 · 0+ 2 · 0+ c|

12 + 22 = 125 ∴ |c| = 25⇒ c = ± 25

A equação é x+ 2y± 25= 0.

27. A equação deγ é (x– 4)2 + (y– 3)2 = 25.a) Os pontos do eixo Oy têm abscissa nula⇒ ⇒ (0– 4)2 + (y– 3)2 = 25⇒ y2 – 6y= 0⇒ y= 0 ouy = 6. Os pontos são (0, 0) e (0, 6).

b) O coeficiente angular da reta que liga (0, 6) ao centro

(4, 3) é6 – 30 – 4 = –

34 . O da reta tangente, perpendicular

a ela, é43 . A reta tangente passa por (0, 6) e sua equa-

ção é y– 6 = 43 · (x– 0)⇒ 4x– 3y+ 18= 0.

28. A circunferência de centro A deve conter a de centroB e

seu raio deve ser, no mínimo, (20+ 1)= 21 km.



17/27

29. Como as tangentes são tangentes externas, a distância

entre seus centros (0, 0) e (x0, y0) é igual à soma dos seus

raios 1 + 10, então: (x0− 0)2 + (y0− 0)2 = (1 + 10)2 (1).

Além disso, os centros e os pontos de tangência são

colineares, então:

0 0 1x0 y0 13 1 1

= 0⇒ x0− 3y0= 0 (2)

Substituindo (2) em (1), vem:

(3y0)2 + y02 = (1 + 10)2 ⇒ y0=1 + 10

10x0 = 3y0=

3 + 3 1010

30. a) Tangentes comuns externas (C 2 e C 3)As circunferências dadas têm centros (0, 0) e (10, 0) e ambas

têm raio 5.

A

A'

B C

C 1

C3

C2

x

y

C4

Como ABC é equilátero e BC = 10, vem AB = AC = 10,

então C 3 e C 4 têm raios iguais a 5.

Os pontos A e A’ têm abscissas 5 e ordenadas± 10 32 =

= 5 3 (alturas do triângulo equilátero de lado 10).

As equações das circunferências são:

(x − 5)2+ (y ± 5 3)2= 25

b) Tangentes comuns internas (C 4 e C 5)

C4

xCB

A

A'

y

C5

Os centros deC 4 eC 5 são, respectivamente, A e A’. Seus

raios são iguais a 3× 5 = 15.

Suas equações são:

(x − 5)2 + (y± 5 3)2 = 225

31. a) y

xα

α

T2C1

C2

T1

scentro (0, 2) e raio 2

centro (2, 1) e raio 1

I0

4

b) Existem duas tangentes comuns às circunferências:uma é o eixo das abscissas e a outra é a retas de equa-

ção y = mx + q, que dista 2 deC 1 e 1 deC 2. Então:

m (0) – (2) + qm2 + 1 = 2

⇒ |q – 2| = 2 m2 + 1 (*)

Chamemos deα o ângulo C1 ÎO. Temos

tg α = |mc1c2| =2 – 10 – 2 =

12

Notemos que T 1 ÎO = 2α , então:

tg 2α = 2 · tgα

1 – tg2 α = 11 – 14 = 43

Portanto, ms= −43 que, levado em (*), fornece:

|q – 2| = 2 · 169 + 1 =103 ⇒ q = 163

A equação des é y = –43 x +163 ; então, para y = 0 vem

x = 4 (abscissa deI)

32. a) A equação da retas que passa porP e é paralela ao

eixo y é x = 1. A interseção des com a circunferênciaé a solução do sistema:

x = 1x2+ y2= 5

que é x = 1 e y = ± 2, portanto E = (1, 2).

A retat tangente à circunferência no pontoE é talque:

mt = –1

mOE = –

xE – xOyE – yO

= – 1 – 02 – 0 = −12

y − yE= m

t(x − x

E)⇒ y − 2 = −1

2 (x − 1)⇒ x + 2y – 5 = 0



18/27

b) Uma das alturas está contida no eixo Ox (é a altura

referente ao vérticeO).Vamos obter a equação da altura referente ao vérticeE (é

a reta r que passa porE e é perpendicular à reta OP).

mOP=3 – 01 – 0 = 3 ⇒ mr= –

1mOP

= – 13

r: y − 2 = – 13

(x − 1), logo (r) x +3y − 2 3 – 1 = 0

A interseção der com Ox é o pontoH de encontrodas alturas.

Conclusão: H = (23 + 1; 0).

33. a)OT 1OC = tg 60°

⇒ OT 11 = 3

⇒ OT 1 = 3 e

OT 2OC = tg 30°

⇒ OT 21 =

33

⇒ OT 2 =33

b) A região sombreada é a diferença entre a região triangularCT 1 T 2 e o setor circular de ângulo central T 1ÔT 2= 30°.A área do triângulo CT 1 T 2 que tem vértices C(−1, 0),

T 1(0, 3) e T 2 0,33 é

12 · |D| em que:

D =

–1 0 10 3 1

0 33 1 = −2 33

Portanto, a área é 33 .

A área do setor é 112 da área do círculo, portanto

π r212 =

π

12. A diferença das áreas é33 −

π

12.

c) Uma das retas tangentes é a reta T 1 T 2 cuja equaçãoé x = 0. A outra reta tangente tem equação y −3 =

= m(x − 0) e deve estar à distância 1 de C(−1, 0):

m(–1) – (0) +3m2 + 1

= 1⇒ 3 – mm2 + 1

= 1⇒ m =33

Então, a equação da reta é: y −3 = 33 x.

34. a) equação deC : (x − 2)2+ y2 = 4O pontoS é a solução do sistema:

(x − 2)2 + y2= 4 (1)y = x3 (2)

Substituindo (2) em (1), vem:(x − 2)2 + x

2

9 = 4⇒ 10x2− 36x = 0⇒ x = 0 ou x =185

(não convém)

x = 185 ⇒ y = 13

⋅ 185 =65

⇒ S = 185 ,65

b) M está na retas e tem abscissa 2, então sua ordenadaé 23 .A área do triângulo OMP é dada por:

OP · NM2 =

4 · 232 =

43

A área da região sombreada é o dobro da área dotriângulo MSP, portanto é |D| em que:

D =2 2

31

185

65

1

4 0 1

= − 3215

Conclusão: a área é3215.

Desafio

Observe que:

de• 19 : 42 : 00 até 19 : 59 : 59 , o número que

corresponde às horas não se altera;

na passagem de• 19 : 59 : 59 para 20 : 00 : 00 ,

todos os algarismos dos números que correspondem àshoras, minutos e segundos mudaram, simultaneamente,pela primeira vez.

Assim, Lafaiete caminhou por 18 min (20 h– 19 h 42 min)e, como sua velocidade média foi de 7,5 km/h, temos:

d = v · t⇒ d = 7,5 ·1860 km= 2,25 km= 2 250 m.

Testes

1. Os pontos (3, 1) e (9, –7) são pontos dacircunferência e, portanto, suas coordenadasdevem satisfazê-la. A única equação possível é

− + + =2 2(x 6) (y 3) 25 pois,

− + + = + =2 2(3 6) (1 3) 9 16 25 e2− + − + = + =2(9 6) ( 7 3) 9 16 25

Resposta:e.

2. As retas tangentes horizontais ao círculo sãoretas do tipo y = constante = k onde

− = − = ⇒↑↑

2 k 4 e k 2 4

raioordenadaordenada raiodo centro do centro

⇒ = − = ⇒ = − =k 2 e k 6 y 2 e y 6

Resposta:c .



19/27

3. Os vértices A, B, C e D do quadrilátero são ospontos de interseção da circunferência com oseixos coordenados.

Para= ⇒ + + − = ⇒ − = ⇒2 2 2x 0 (0 3) (y 3) 10 (y 3) 1⇒ − = − = − ⇒y 3 1ou y 3 1 ⇒ = = ⇒ = =y 4 ou y 2 A (0, 4) e B (0, 2) Para

= ⇒ + + − = ⇒ + = ⇒2 2 2y 0 (x 3) (0 3) 10 (x 3) 1⇒ + = + = − ⇒x 3 1ou x 3 1 ⇒ = − = − ⇒ = − = −x 2 ou x 4 C ( 2,0) e D ( 4,0)

1

x

y

– 3 – 2 – 1

2

3

B

A

CD

4

– 4

0

Área ABCD Área AOD Área BOC= − =

⋅ ⋅= − = − =4 4 2 2 8 2 6

2 2

Resposta:b.

4. 2 2x y 4x 16y 55 0+ − + + = ⇒

⇒ − + + + + − = ⇒2 2x 4x 4 y 16y 64 13 0⇒ − + + = ⇒ = −2 2 1(x 2) (y 8) 13 C (2, 8)

2 2x y 8x 12 0+ + + = ⇒2 2x 8x 16 y 4 0⇒ + + + − = ⇒

⇒ + + = ⇒ = −2 2 2(x 4) y 4 C ( 4,0)

= + + − = =2 21 2C C (2 4) ( 8) 100 10

= = = ⇒ = ⇒ = 21 210

d C C 10 2 502Resposta:b.

5.C C C CC (x ,y ) y 2x y 2x= ∈ = ⇒ =

= = − ∈A (1,1) e B (4, 2) circunferência− + − = ⇒2 2 2C C(x x ) (y y ) r

⇒ − + − =2 2 2C C(1 x ) (1 2x ) r

− + − − = ⇒2 2 2C C(4 x ) ( 2 2x ) r⇒ − + − = − + − − ⇒2 2 2 2C C C C(1 x ) (1 2x ) (4 x ) ( 2 2x )

⇒ − + + − + =2 2C C C C1 2x x 1 4x 4x

= − + + − + ⇒− = ⇒2 2C C C C C16 8x x 4 8x 4x 6x 18⇒ = − ⇒ = −C Cx 3 y 6

2 2 2 2 2C C

2 2

(1 x ) (1 2x ) r (1 4) (1 6) rr r 65

− + − = ⇒ + + + =

= ⇒ = Assim, a equação da circunferência é

+ + + = ⇒2 2(x 3) (y 6) 652 2x 6x 9 y 12y 36 65 0⇒ + + + + + − = ⇒

⇒ + + + − =2 2x y 6x 12y 20 0

Resposta:e.

6. 2 2x y 6x 2y 6 0+ − + + = ⇒

⇒ − + + + + − = ⇒2 2x 6x 9 y 2y 1 4 02 2(x 3) (y 1) 4− + + =

Comos é paralela ar e contém C , o coeficienteangular des é igual ao der e as coordenadasde C devem satisfazers.

Assim,s é do tipo 3x + 7y + C = 0. Logo, sóexistem duas equações (a e e) possíveis entreas cinco apresentadas. Para saber qual é a certa,basta substituir as coordenadas deC naequação.

⇒ − =C(3, 1) e r 2

e

3 3 7 ( 1) 2 0 9 7 2 0 0 0⋅ + ⋅ − − = ⇒ − − = ⇒ =

7. 2 2c cx y 2x 4y 20 x 1 e y 2; B(1, 2)+ − − = ⇒ = =

O coeficiente angular deAB é: y 2 0 2;x 1 0

∆ −= =∆ −

logo s1m .2

= − E a equação de s é:

1y 3 x 2y 6 x x 2y 6

2− = − ⇒ − = − ⇒ + =

Resposta:e.

8. As retas x + 2y − 1 = 0 e 2x − y + 3 = 0 se interceptam no

ponto M( − 1, 1), que é o centro da circunferência inscrita

no quadrado.

O vértice (− 5, 3) está à distância d2 deM tal que

d2

= (–1 + 5)2 + (1 – 3)2 = 20 , então a diagonal d

do quadrado mede 2 20 e seu lado mede ℓ = d2

=

= 2 20

2

= 2 10 .

Resposta: a.



20/27

Assim, o raio da circunferência inscrita no quadrado

éℓ

2 = 10 , então a equação dessa circunferência é

(x + 1)2 + (y − 1)2 = 10 ou 2 2x y 2x 2y 8 0.+ + − − =

9. 2 2x y 16x 12y 0+ − − =− + + − + =2 2x 16x 64 y 12y 36 100− + − =2 2 2(x 8) (y 6) 10

Assim,r 10 e p 2 r 20= = π = π

10. 2 2 2(x 1) (y 1) 3 r 3 p 2 r 6− + + = ⇒ = ⇒ = π = π

Resposta:e.

11. 2 2x 40x y 30y 275− + − =

− + + − + − =2 2x 40x 400 y 30y 225 625 2752 2(x 20) (y 15) 900 r 30 p

2 r 60− + − = ⇒ = ⇒ =

= π = π

100 60x⋅ π 60s

2s ⇒

2 100 60x 20060

⋅ ⋅ π⇒ = = π

Resposta:e.

12. O lado do quadrado mede 4 ( 2) 6− − =

O raio da circunferência circunscrita ao

quadrado mede d ,2

onde d é a diagonal do

quadrado, ou seja, 2r 3 2.2

= =

A coordenada x do centro da circunferência é a

média aritmética entre as coordenadas x dosvértices A e B ou C e D, e a coordenada y docentro da circunferência é a média aritméticaentre as coordenadas y dos vértices A e D ou B e C do quadrado.

Assim,+ −= =

C4 ( 2)

x 12

e+ −

= = −V 1 ( 5 )y 2

2Logo, a equação da circunferência é

2 2(x 1) (y 2) 18.− + + =

Resposta:b.

13. As circunferências concêntricas de equação x 2 + y2 = 1n2

cortam o eixo Ox nos pontos P −1n

, 0 e Q 1n

, 0 .

O triângulo PQR isósceles inscrito nessas circunferências

apresenta R 0,1n ou R 0,

− 1n e tem áreaPQ · OR

2 =

=2n · 1n

2 =1n2

.

Fazendo 1n2 = A =1

40 000 , encontramos n = 200, por-

tanto o raio da circunferência é 1n =1

200 .

14. A circunferência (x − 2)2 + (y − 2)2 = 4 tem centro

C(2, 2) e raio r = 2. Ela tangencia os eixos coordenados em

A (2, 0) e B(0, 2). A área da região hachurada é a diferença

entre a área de um semicírculo e um segmento circular

de corda AB.

A área do semicírculo é π r2

2 = π · 2

2

2 = 2π . O segmento

circular de corda AB tem um ângulo central BC ˆ A = π2

,

portanto sua área é π r2

4 − r

2

2 = π · 2

2

4 − 2

2

2 = π − 2.

A diferença, portanto, é 2 π – (π – 2) = π + 2.

Resposta: a.

Resposta: b.

Resposta: b.

15. A, B e C têm que satisfazer a equação dacircunferência.

Assim, testando as coordenadas de A,B e C nasequações dadas conclui-se que a únicaequação possível é − + − =2 2(x 4 ) (y 5) 25,pois:

⇒ − + − = + =2 2A(0,2) (0 4) (2 5) 16 9 25⇒ − + − = + =2 2B(0,8) (0 4) (8 5) 16 9 25⇒ − + − = + =2 2C(8,8) (8 4) (8 5) 16 9 25

Resposta:e.

Resposta: a.



21/27

1 1 2

x

y

3

– 2 – 3 – 4

R (1,2)

(–2, –1) P

2

– 2 4 5 6 7 8 9 10

– 5 – 6 – 7 – 8 – 9

– 10

Q (0,0)

16.

O gráfico acima elimina as alternativasa, b, c ee.

Resposta:d .

y x 10 0− + =

17. a) Correta, poisA(3,0) e F(0,3 3) satisfazem a

equação 3 x y 3 3 0.+ − =

b) Falsa, pois a área do hexágono é

6 3 36 área do triângulo 6 54 3.

2

⋅⋅ = ⋅ =

c) Falsa, pois a mediatriz é perpendicular aAF

e, portanto, seu coeficiente angular é 3 ,3

enquanto 2 3x 2y 0− = tem coeficiente

angular 3.

d) Correta, pois a circunferência circunscrita ao

hexágono tem centro C(6,3 3) e raio

2 2C,Ar d (6 3) (3 3 0)= = − + − =

2 2 29 27 6 (x 6) (y 3 3) 6= + = ⇒ − + − = ⇒

⇒ − + + − + = ⇒2 2x 12x 36 y 6 3 y 27 36

⇒ + − − + =2 2x y 12x 6 3 y 27 0

e) Falsa pois o apótema do hexágono mede,

3 3.

d .

18. 2 2x y 4 C(0,0) e r 2+ = ⇒ =

L 2< π

2 2x y 4+ =

x y 1+ =

1

1 x

y

2

2 – 1

– 2

– 1 – 2

Resposta: a.

Resposta: a ,

19. Uma circunferência de equação x 2 + y2 = 4 tem raio 2.

O triângulo da figura é um triângulo equilátero de

lado 4, então sua área é A 1 =ℓ 2 3

4 = 16 · 34 = 4 3 =

= 4 · 1,73 = 6,92.

Os três setores circulares da figura têm ângulo central

de medida π3

, então a área de cada setor é A 2 =π · r2

6 =

= 4π6

.

A área da região pintada é:

A = A1 − 3 · A2 = 6,92 − 2π = 6,92 − 6,28 = 0,64

20.

Outro modo de resolver é perceber que

Resposta: b.

C r,∈ pois 5 2 2( 5) 0⋅ + − =

Resposta:b.

C,r 2 2

C(2, 5), r : 5x 2y 05 2 2 ( 5)

d 05 2

− + =⋅ + ⋅ −

= =+

21. A reta perpendicular a (t) x + y = 2 e passando por T(0, 2)

tem equação x – y + 2 = 0 (1)

A reta mediatriz do segmento PT em que P(1, 0) e T (0, 2) tem coeficiente angular m = – 1

mPT = – 1

2 – 00 – 1

= 12

e passa pelo ponto médio de PT que é M 12

, 1 . Então,

a equação da mediatriz de PT é:

y – 1 = 12 x –12 , ou seja, x – 2y +

32 = 0 (2)

Resolvendo o sistema de equações (1) e (2), obtemos o

centro de C que é – 5

2, – 1

2. A distância de t ao centro



22/27

Logo, as equações das tangentes são

± − − ± = 3 3x y 2 03 3 ou = ± −3y (x 2)3

Resposta:d .

26. 2 2 2 2: x y 6y 7 0 x y 6y 9 9 7λ + − + = ⇒ + − + − + =

2 2 2 20 x (y 3) 2 0 x (y 3) 2

C(0, 3) e r 2

= ⇒ + − − = ⇒ + − = ⇒

⇒ =

A tangente a λ no ponto P(1, 2) tem equação

mx – y c 0.+ =

2⇒ − = + ⇒ = + ⇒2 22 m m 1 4m m 1

⇒ = ⇒ = ±2 1 3m m3 3

⋅ − ⋅ + − −= = ⇒ = ⇒

+ − +C,t 2 2 2m 0 1 0 ( 2m) 2 m

d 1 1m ( 1) m 1

2 2P,C P,Cd (2 0) (0 0) 2 d r

2 tangentes

= − + − = ⇒ > ⇒⇒

Assim, as retas tangentes têm equaçõesy 0 m(x 2) mx y 2m 0− = − ⇒ − − =

Como as tangentes distam =r 1 do centroC(0,0), temos:

é r , então:

r =– 52 + –

12 – 2

12 + 12 = –5

2 = 5

2 = 5 22

22.

Resposta: b.

2 2 1 2x x 1 x2 2

+ = ⇒ = ± = ±

A a1 interseção de (1, 0) com =y x no sentido

anti-horário está no o1 quadrante, ou seja,

2 2 2 2x y ,

2 2 2 2

= ⇒ = ⇒

Resposta:c .

23. ( ) ( )2 2 2C(5,1) x 5 y 1 r⇒ − + − = ⇒2 2 2x 10x 25 y 2y 1 r⇒ − + + − + = ⇒2 2 2x y 10x 2y r 26⇒ + − − = −

Neste ponto verifica-se que, mesmo semutilizar a informação de que a circunferência étangente à reta 4x 3y 2 0,− − = a única resposta

possível é 2 2x y 10x 2y 17 0+ − − + =

Resposta:b.

2 2x y 1y x + ==

24. 2 2(x 3) (y 4) 25 C(3, 4) e r 5− + − = ⇒ =

1

1 x

y

23

4

2 3

C (3,4)

t

s

O coeficiente angular det , t4

m3

= ⇒

s3m ,4

⇒ = − pois t sm m 1⋅ = − (retas

perpendiculares)

Assim, = − ⇒ + =3s : y x 3x 4y 04

I. Falsa, pois ses fosse paralela a3x 4y 25− =

seu coeficiente angular seria3 .4

II. Falsa, pois a bissetriz dos quadrantes pares éy = –x e seu coeficiente angular é –1. Ses fosse paralela a y = –x seu coeficienteangular seria –1.

III. Verdadeira, pois 4x – 3y = 0 tem coeficiente

angular 43

e ⋅ = − ⋅ = −s4 3 4m 1.3 4 3

Resposta:c .

25. 2 2C(0,0) e r 1 x y 1= ⇒ + =

P(2,0)



23/27

Como a tangente dista r 2= do centroC(0,3), temos:

⋅ − ⋅ + − += = ⇒ = ⇒

+ − +C,t 2 2 2m 0 1 3 c 3 c

d 2 2m ( 1) m 1

⇒ − + = + ⇒23 c 2(m 1)

2 2 29 6c c 2(m 1) 2m c 6c 72⇒ − + = + ⇒ = − +

P(1,2) a tangente m 2 c 0∈ ⇒ − + = ⇒

c 2 m⇒ = −

em :

2 22m (2 m) 6(2 m) 7= − − − + ⇒

⇒ = − + − + + ⇒2 22m 4 4m m 12 6m 72 2m 2m 1 0 (m 1) 0 m 1

c 2 1 1⇒ − + = ⇒ − = ⇒ = ⇒⇒ = − =

Logo, a equação da tangente é x y 1 0− + = ouy 1 x.= +

Assim, I é falsa, II é verdadeira e III é verdadeira.

27. r : y 2x 2 0− − =

I. Correta, pois a área do triângulo hachurado é1 2

1.2

⋅ =

II. Falsa, pois 2 2x y 2 C(0,0)+ = ⇒ e

raio 2 1, 4= ⇒ a circunferência nãocontém o triângulo hachurado.

III. Falsa, pois 2 2x y 2x 4y 0+ + − = ⇒

⇒ + + + − + − = ⇒2 2x 2x 1 y 4y 4 5 02 2(x 1) (y 2) 5 C( 1,2)⇒ + + − = ⇒ − e raio 5=

− − + + − + −= = =

− +r,C 2 22( 1) 1(2) ( 2) 2 2 2

d5( 2) (1)

= < ⇒2 5 5 (raio)5

a circunferência não

tangencia r .

IV. Correta, pois rm 2= e s:2y x 10 0+ + = tem

x

y

– 1

2

r

1

s1

m2

= − ⇒ r s

1m m 2 12

⋅ = ⋅ − = − ⇒

r e s são

perpendiculares.

Resposta:c .

28. 2 2 2(x 2) (y 2) R C(2, 2)− + + = ⇒ −

1. Correta, pois comoC(2, 2),− se R = 2 acircunferência tangencia os eixoscoordenados.

2. Correta, pois se a origem pertence acircunferência, então:

2 2 2 2(0 2) (0 2) R R 8 R 2 2− + + = ⇒ = ⇒ =

3. Falsa, pois existem valores deR para os quaisa reta não intercepta a circunferência. Veja:

r,C 2 2

3 2 4 ( 2) 2d 53 4

⋅ + ⋅ −= =

+

Logo, se 2R5

< a reta não intercepta a

circunferência.

Resposta: a.

Resposta: a.

29. 2 2x y 6x 2y 5 0+ − + + = ⇒

⇒ − + + + + − + = ⇒2 2x 6x 9 y 2y 1 10 5 0⇒ − + + =2 2(x 3) (y 1) 5

Os pontos A e B pertencem à reta e àcircunferência:

2 2 2 2

2 2

2

A A

B B

3x y 5 0 y 3x 5

(x 3) (3x 5 1) 5 (x 3) (3x 4)

5 x 6x 9 9x 24x 16 5 0

10x 30x 20 0

30 900 800x

20x 2 y 3 2 5 130 10

x 1 y 3 1 5 220

− − = ⇒ = −− + − + = ⇒ − + − =

= ⇒ − + + − + − = ⇒⇒ − + = ⇒

± −⇒ = =

= ⇒ = ⋅ − =±== ⇒ = ⋅ − = −

O ponto médio entre A e B tem coordenadas+= =M

2 1 3x2 2

e− = = − ⇒ − M

1 2 1 3 1y M ,

2 2 2 2

A mediatriz do segmento AB é perpendicular àreta 3x – y – 5 = 0 e contémM.

13x y 5 0 y 3x 5 m 3− − = ⇒ = − ⇒ = ⇒ocoeficiente angular da mediatriz é

2 1 21

m , pois m m 1.3

= − ⋅ = −



24/27

Assim, a equação da mediatriz é 1y x c.3

= − +

− ∈ ⇒ − = − + ⇒ 3 1 1 1 3M , mediatriz c2 2 2 3 2

1c 0 y x ou x 3y 0.3

⇒ = ⇒ = − + =

Resposta:b.

30. 2 2x y 8x 2y 8 0+ − − − =2x 8x 16 y 2y 1 17 8 02 − + + − + − − =

2 2(x 4) (y 1) 25 C(4,1) e r 5− + − = ⇒ =2 2P(0,y) circunferência (0 4) (y 1)∈ ⇒ − + − =

225 y 2y 8 0= ⇒ − − = ⇒

2 4 32y2

y 42 6 P(0,4)y ' 2 (não convém)2

± +⇒ = =

=±= ⇒= −

Tangente t : y = mx + c

∈ ⇒ = ⋅ + ⇒ = ⇒⇒ = + − + =

⋅ − ⋅ += = ⇒

+ −

⇒ + = + ⇒

⇒ + + = + ⇒

⇒ − + = ⇒ − = ⇒

⇒ − = ⇒ = ⇒

⇒ − + = − + =

c,t 2 2

2

2 2

2 2

P t 4 m 0 c c 4y mx 4 ou mx y 4 0

m 4 1 1 4d 5 (raio)

m ( 1)

4m 3 5 m 1

16m 24m 8 25m 25

9m 24m 16 0 (3m 4) 043m 4 0 m3

4t : x y 4 0 ou 4x 3y 12 03

Resposta:c .

31. A equação da circunferência é− + = ⇒2 2 2(x 5) y (5 3)

⇒ − + + = ⇒2 2

x 10x 25 y 75 − + =2 2

x 10x y 50 a) Falso, pois comoC(5,0)⇒ a circunferência

intercepta o eixo x na coordenada(5 5 3,0).+

b) Verdadeiro. Os vértices do triânguloequilátero em questão são os pontosC (5,0),= 1A (x ,15)= e 2B (x ,15).= A alturarelativa ao lado AB está contida na mediatrizdo segmento AB. E como a mediatriz éúnica, esse triângulo também é único.

c) Verdadeiro. 2 2(x 5) y 75− + = ⇒

2 2x y 10x 50.⇒ + − =

d) Falso, pois ser é tangente à circunferência,então

r,cd raio se r : y mx c ou mx y c 0,= ⇒ = + − + =

então r,c 2 2m 5 1 0 cd 5 3

m ( 1)⋅ − ⋅ += = ⇒

+ −

2

2 2 2

2 2

5m c 5 3 m 1

25m 10mc c 75m 7550m 10mc 75 c 0

⇒ + = + ⇒

⇒ + + = + ⇒

⇒ − + − =

mas (10,0) r 0 10m c c 10m∈ ⇒ = + ⇒ = −

Assim, − − + − − = ⇒2 250m 10m( 10m) 75 ( 10m) 0

⇒ = −250m 75(impossível)

e) Verdadeiro. A reta que passa no ponto (5, 15)e forma com Ox um ângulo de 60° é:

y 15 tg60 (x 5) y 15 3(x 5)− = ° − ⇒ − = − ⇒

y 3(x 5) 15.⇒ = − + Resolvendo o sistema

2 2(x 5) y 75

y 3(x 5) 15

− + =

= − + encontraremos a ou as

interseções:

( )2

2(x 5) 3(x 5) 15 75− + − + = ⇒

2 2x 10x 25 3x 30x 300 30 3x 150 3 75− + + − + + − =24x 40x 325 75 30 3x 150 3 0− + − + − = ⇒

24x (40 30 3 )x 250 150 3 0⇒ − − + − = ⇒2(40 30 3 ) 16 (250 150 3 )⇒∆ = − − ⋅ − =

1600 2400 3 2700 4000 2400 3 300 0= − + − + = > ⇒x assume dois valores reais e diferentes para

y 3(x 5) 15.= − +

f) Verdadeira. A circunferência transformadapela homotetia tem centro no eixo dos x e

raiok k

18 8R 5 3 .7 7

= =

Para esta circunferência interceptar a retay 15= em dois pontos distintos basta que

k k

18 8R 5 3 15 3.7 7

= > ⇒ >

Como 8 17 >

existem infinitos valores naturais

de k que satisfazem a desigualdadek 8 3.

7 >



25/27

32. 2 2x y 6x 8y 16 0+ − − + =2 2x 6x 9 y 8y 16 9 0− + + − + − =

2 2(x 3) (y 4) 9 C(3, 4) e r 3− + − = ⇒ =

A (3 5, y) circunferência+ ∈ ⇒2 2(3 5 3) (y 4) 9⇒ + − + − = ⇒

2(y 4) 4 y 4 2⇒ − = ⇒ − = ⇒y 6 ou y 4 2 y 2 A(3 5,6)⇒ = − = − ⇒ = ⇒ +

Sejat : = +y mx c a tangente a circunferência.

Como A(3 5, 6) t 6 m(3 5) c+ ∈ ⇒ = + + ⇒

⇒ = − +c 6 m(3 5)

⋅ + − + − += = ⇒

+ −

− + − −⇒ = ⇒

+

t,c 2 2

2

3 m 4( 1) 6 m(3 5)d 3

m ( 1)

3m 4 6 3m 5m 3m 1

2 2

2 2

2 5m 3 m 1 4 4 5m 5m

9m 9 4m 4 5m 5 0

⇒ − = + ⇒ − + =

= + ⇒ + + = ⇒

⇒ + = ⇒ = − ⇒

+⇒ = + + =

2 5(2m 5) 0 m2

5 17 3 5c 6 (3 5)

2 2

5 17 3 5t : y x ou2 2

5 x 2y 3 5 17 0

+= − ++ − − =

Resposta:e.

33. dAC = (4 – 1)2 + (6 – 2)2 = 25 = 5

P

Q

C A

r

r

Como r = 3, utilizando o teorema de Pitágoras ao triân-

gulo APC, vem:

AP = AC2 – CP2 = 25 – 9 = 4

Os triângulos APC e AQC têm áreas iguais a:

CP · AP2 =3 · 4

2 = 6

Então, a área do quadrilátero APCQ é 12.

Resposta: d

34. 2 2 21 1(x 4) (y 6) r C ( 4,6)+ + − = ⇒ −

+ − = ⇒ − + + − = ⇒2 2 2 2x y 8x 0 x 8x 16 y 16 0⇒ − + = ⇒ =2 2

2 2(x 4) y 16 C (4,0) e r 4

= + ⇒ − − + − = + ⇒2 21 2 1 2 1C C r r ( 4 4) (6 0) r 4⇒ = + ⇒ =1 110 r 4 r 6

− − + − = +2 21( 4 4) (6 0) r 4

Logo, 2 2(x 4) (y 6) 36+ + − = ⇒

⇒ + + + − + = ⇒2 2x 8x 16 y 12y 36 36+ = − −2 2x y 12y 8x 16

Resposta:c .

2 22C : x y 2x 6y 39 0+ + − − = ⇒

⇒ + + = − + − − = ⇒2 2x 2x 1 y 6y 9 10 39 0⇒ + + − = ⇒ − =2 2

2(x 1) (y 3) 49 C( 1,3) e r 7

Como 1 2C e C são concêntricas, temos que2 2 2

1 1C : (x 1) (y 3) r .+ + − =

Área 2 21 1 1C r 8 r 8= π = π⇒ =

Logo, 2 21C : (x 1) (y 3) 8+ + − = ⇒2 2x 2x 1 y 6y 9 8⇒ + + + − + = ou

+ + − + =2 22x 2y 4x 12y 4 0

Área 22 2C r 49= π⋅ = π⋅

= π− π = π 2Área sombreada 49 8 41 (cm ) Resposta:e.

36. A circunferência dada tem equação reduzida (x + 5) 2 +

+ (y – 8)2 = 100, então seu centro é C(–5, 8) e seu raio

é 10.

Q

P

C

1010

6 M6

Se uma corda PQ tem medida 12, seu ponto médio M é tal

que: MC2 = CQ2 – QM2 = 100 – 36 = 64, logo MC = 8.

Variando a posição da corda PQ de medida 12, o ponto M

descreve uma circunferência de centro C e raio 8, então

sua equação é:


35.


26/27

(x + 5)2 + (y – 8)2 = 82

ou ainda:

x2 + y2 + 10x – 16y + 25 = 0

Resposta: c

3 .7 • Mm tg 120 3= ° = −

r passa por (2, 4) y 4 3 (x 2)⇒ − = − ⋅ − ⇒

y 3x 2 3 4⇒ = − + +

• equação de 2 22C : (x 2) (y 4) 4− + − =

• 2{A} C r= ∩

2 2

y 3x 2 3 4 (1)(x 2) (y 4) 4 (2)

= + +

− + − =

Substituindo (1) em (2):2 2

2 2

2

(x 2) ( 3x 2 3 4 4) 4

(x 2) [ 3(2 x)] 4x 4x 3 0 x 1 (não serve) ou

x 3 (abscissa de A)

− + − + + − = ⇒

⇒ − + − = ⇒

⇒ − + = ⇒ ==

Daí, em (1),: y 3 3 2 3 4 3 4= − ⋅ + + = − +

A(3, 3 4)− +

• 0 0B r B(x , 3 x 2 3 4)∈ ⇒ − + +

• ABd 2= ⇒

2 20 0

2 20 0

22 20 0

0 0 0

0

(x 3) ( 3 x 2 3 4 3 4) 2

(x 3) (3 3 x ) 2

(x 3) 3 (3 x ) 44x 24x 32 0 x 2 (não serve) ou

x 4 (abscissa deB)

⇒ − + − + + + − = ⇒

⇒ − + = ⇒

⇒ − + ⋅ − = ⇒⇒ − + = ⇒ =

=Daí,

By 3 4 2 3 4 4 2 3; B(4, 4 2 3)= − ⋅ + + = − −

O centro (a, b) de1

C pertence àr :

b 3a 2 3 4 (3)= − + +

A distância de (a, b) ao ponto B(4,4 2 3)− é1:

2 2

2 2

(a 4) (b 4 2 3) 1

(a 4) (b 4 2 3) 1 (4)

− + ⋅ + = ⇒

⇒ − + − + =

(3) em (4):

2(a 4) ( 3a 2 3 4 4 2 3) 1− + − + + − + = ⇒2

22 2(a 4) 3 (4 a) 1⇒ − + − =2 2

2

B

a 8a 16 3(16 8a a ) 14a 32a 63 0

36 9a32 4 8 2a28 78 a (não convém, pois a x )8 2

− + + − + = ⇒

⇒ − + = ⇒

= =±

⇒ == = >

Se 9a ,

2= em (3) vem:

8 5 32

−9 9 3 4 3 8b 3 2 3 4

2

− + += − ⋅ + + = =2

Logo, o centro é 9 5 3, 4 .2 2

−

Resposta: a.

3 8 . • 2 2

x 8x 16 y 2y 1 83 16 1+ + + − + = + + 2 2(x 4) (y 1) 100; C( 4, 1) e r 10+ + − = − =

• raio de 2 22C (13 9) ( 2 0)= − + − − =

2 24 2 20 2 5= + = =

centro de 2C (13, 2)−

Observe que 1 2C C .∩ =∅ (Faça o desenho)

Logo, o conjunto de pontos de satisfazem acondição do problema correspondem aos

pontos do círculo limitado por 1C , cuja área é2 2r 10 100 .π = π⋅ = π

Resposta:c .

39. Existem duas circunferências ( C 3 e C 4) que são tangentes

externas a C 1 e tangentes internas a C 2. As circunferências

C 3 e C 4 têm raios r 3 = r4 =

12 .

C2

C6

C4

x

y

C1

C5

C3



27/27

Existem outras duas circunferências ( C 5 e C 6) que são

tangentes internas a C 1 e a C 2. As circunferências C 5 e C 6

têm raios r 5 = r6 =32 .

Então: r3 + r4 + r5 + r6 =12 +

12 +

32 +

32 = 4.

1 1 2

2 2 2

r : x y 3 0C (R , R )C (R , R )

+ − =

Para ambas circunferências temos:

centro, retad raio=

3

30

r

C 1

R 1R 1

C 2R 2

R 2

Resposta: b.

40 .

2 2R 1 R 1 3 R

1 1⋅ + ⋅ − =

+

2 2

2

2R 3 R 2

4R 12R 9 2R2R 12R 9 0

− =

− + =

− + =

1

2

3 2R 312 72 12 6 2 2R4 4 3 2R 3

2

= −± ±= == +

1

2

3 2 3 2C 3 , 32 2

3 2 3 2C 3 , 3

2 2

− − + +

1 2

2

C , C3 2 3 2d 2 2

2 2

= ⋅ + ⋅

1 2C , Cd 18 18 6= + =

2


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MCA3 Resol.cap3 matematica compreensao e pratica