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Método dos Deslocamentos – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) 102

MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: BARRAS AXIALMENTE INDEFORMÁVEIS

Seja uma estrutura hiperstática constituida por 3 barras axialmente indeformáveis:

P

p L1

L2

E, I, A

L3

∆1

P

p L1

L2

∆2 ∆3 =

E, I, A

L3

∆4

Porque as barras são axialmente deformáveis, existem g.l. hipergeométricos que não

precisamos de considerar, ∆2 = 0 e ∆3 = ∆4:

∆1

P

pL1

L2

∆3

E, I, A

L3

que, por sobreposição dos efeitos, é igual à soma de duas estruturas:

R10

P

p L1

L2

R30 +

E, I, A

L3

∆1

L1

L2

∆3

E, I, A

L3


Analisando cada uma das sub-estruturas anteriores em separado, temos:

0) Cargas aplicadas:

R10

P

p

R30

E, I, A

=

R’’’10 p

R’’’30

R’10

P

R’30

R’’10

R’’30

1) Assentamento ∆1:

E, I, A

K11

K31

∆1 =

K’’’11

K’’’31

K’11

K’31

K’’11

K’’31

∆1=1


E, I, A

K13

K33

∆3 =

K’’’13 K’’’33 K’13

K’33

K’’13 K’’33

∆3=1

Estabelecendo as equações de equilíbrio de forças para cada uma das direcções

correspondentes às incógnitas hipergeométricas ∆i, i = 1, 3, temos:


∆∆

⋅

+

=

3

1

3331

1311

30

10

3

1

KKKK

RR

FF sendo ijijij KKK ′′+′= , com i , j = 1, 3.

Seja uma nova estrutura hiperstática constituida por 3 barras axialmente indeformáveis:

p

L1

E, I, A

L2

P1 P2

∆1

p

L1

∆2 ∆3 =

L2

∆6

E, I, A

∆4

∆5

P1 P2

Mais uma vez, porque as barras são axialmente deformáveis, existem g.l. hipergeométricos

que não precisamos de considerar, ∆2 = ∆5 = 0 e ∆3 = ∆6:

∆1

P1

p

L1

∆3

E, I, A

∆4

L2

P2


R10 p

L1

R30

E, I, A

R40

L2

+P1 P2

∆1

L1

∆3

E, I, A

∆4

L2




R10 p

R30

R40

= P1 P2

R’’10

p

R’’30

R’’40 R’’’40R’10

R’30 R’’’30

P1 P2


K11

K31

K41

=

∆1 K’’11

K’’31

K’’41 K’’’41K’11

K’31

∆1=1

K’’’31


K13

K33

K43

=

∆3 K’’13

K’’33

K’’43 K’’’43 K’13

K’33

∆3=1

K’’’33


K14

K34

K44

=

∆4 K’’14

K’’34

K’’44 K’’’44K’14

K’34

∆4=1

K’’’34



correspondentes às incógnitas hipergeométricas ∆i, i = 1, 3, 4, temos:

∆∆∆

⋅

+

=

4

3

1

444341

343331

141311

40

30

10

4

3

1

KKKKKKKKK

RRR

FFF

sendo ijijijij KKKK ′′′+′′+′= , com i , j = 1, 3, 4.

Seja a nova estrutura hiperstática contínua, idêntica à anterior, constituida por 3 barras axialmente indeformáveis, mas não simultaneamente ortogonais entre si:

p

L1

E, I, A

L2

L3

P1 P2

∆1

L1

∆2 ∆3 =

L2

E, I, A p

∆6

∆4

∆5

L3

α

P1 P2


que não precisamos de considerar, ∆2 = ∆5 = 0 e (∆3 cos α = ∆6 cos α), i.e. ∆3 = ∆6:

∆1

L1

∆3

L2

E, I, A p ∆4

L3

α

P1 P2



R10

L1

R30

L2

E, I, A p R40

α

+L3

P1 P2

∆1

L1

∆3

L2

E, I, A ∆4

α

L3



p R40

α

P1 P2

R10

R30 =

P1 P2

R’’’40R’10

R’30

R’’10

R’’30

p R’’40

R’’’30


K41

K11

K31

∆1

α

=

K’’11

K’’31

K’11

K’31

∆1=1

K’’’41

K’’41



K43

K13

K33

∆3 α

=

K’’’43

K’13

K’33

K’’13

K’’33

∆3=1K’’43

K’’’33


K44

α

=

K14

K34

∆4

K’’14

K’’34

K’14

K’34

∆4=1

K’’’44

K’’44

K’’’34



∆∆∆

⋅

+

=

4

3

1

444341

343331

141311

40

30

10

4

3

1

KKKKKKKKK

RRR

FFF

sendo ijijijij KKKK ′′′+′′+′= , com i , j = 1, 3, 4.

A determinação das forças na direcção de translação 3, R30, K31, K33 e K34, pode ser feita através da aplicação do T.T.V. Consideremos no exemplo anterior rótulas na extremidade de todas as barras. A estrutura transforma-se num mecanismo:

L1

L2

E, I, A

L3

α


Provoquemos na direcção de translação 5 um deslocamento unitário, de tal modo que os nós não sofram qualquer rotação:

L1

L2

E, I, A

L3

1

θ1=1/L1 θ3=1/L3

θ2=0

Pretende-se então determinar, por exemplo, o valor K31. Logo, iremos considerar também as rótulas nas extremidades das barras e, consequentemente, os momentos flectores à esquerda e direita da rótula que imponham a condição de continuidade de deformação da estrutura.

K’’11K’11

K31

K’’41

K’a1

K41

K11

A aplicação do T.T.V. às forças e esforços internos desta estrutura e aos deslocamentos e deformações internas do movimento de mecanismo, i.e. o facto do trabalho das forças exteriores da estrtura nos deslocamentos do mecanismo ser igual ao trabalho dos esforços internos da estrutura nas deformações internas do mecanismo (nulas por definição de movimento de mecanismo), permite escrever:

( ) ( ) 01 24111111131 =⋅′′+′′+⋅′+′+⋅ θθ KKKKK a

, i.e.

1211

31 6142

⋅⋅−=⋅

⋅⋅+

⋅⋅−=

LIE

LLIE

LIEK

Pretende-se agora determinar o valor K33. Logo, iremos considerar também as rótulas nas extremidades das barras e, consequentemente, os momentos flectores à esquerda e direita da rótula que imponham a condição de continuidade de deformação da estrutura.


K33 K’13

K’a3

K’’’43

K’’’a3

K43

K13

A aplicação do T.T.V. às forças e esforços internos desta estrutura e aos deslocamentos e deformações internas do movimento de mecanismo, i.e. o trabalho das forças exteriores da estrtura nos deslocamentos do mecanismo é igual ao trabalho dos esforços internos da estrutura nas deformações internas do mecanismo (nulas por definição de movimento de mecanismo), permite escrever:

( ) ( ) 01 3433113333 =⋅′′′+′′′+⋅′+′+⋅ θθ KKKKK aa

, i.e.

33

1333

22112233 1212166166

⋅⋅+

⋅⋅=⋅

⋅⋅+

⋅⋅+⋅

⋅⋅+

⋅⋅=

LIE

LIE

LLIE

LIE

LLIE

LIEK

Simplificadamente, pode-se representar o mecanismo anterior através da indicação de apenas uma rótula em cada nó, i.e. concentrando todas as rótulas de todas as barras que convergem num mesmo nó, numa mesma rótula. Isto implica que os momentos aplicados nas rótulas no lado dos nós, embora existam e porque o trabalho produzido por esse momentos nos mecanismos é nulo, deixam de ser representados. Seja, por exemplo, novamente a determinação de K33,

L1

L2

E, I, A

L3

1

θ1=1/L1 θ3=1/L3

θ2=0

K33

K’13

K’a3

K’’’43

K’’’a3

que, tal como na situação anterior, permite escrever:

( ) ( ) 01 3433113333 =⋅′′′+′′′+⋅′+′+⋅ θθ KKKKK aa


Seja uma quarta estrutura hiperstática contínua, constituida por 4 barras axialmente indeformáveis, mas não simultaneamente ortogonais entre si:

p

L1

E, I, A

L2

L3

P1 P2

pE, I, A

L2

P1 P2

∆1

∆2 ∆3 =

∆6 ∆4

∆5

∆9

∆7

∆8


que não precisamos de considerar, ∆2 = ∆8 = 0 e, dos restantes 4 g.l. hipergeométricos de

translação, só precisamos de considerar 2, sejam ∆3 e ∆6:

p

L1

E, I, A

L2

L3

P1 P2

∆1

∆3

∆6 ∆4

α ∆7


pE, I, A

P1 P2

R10

R30

R60 R40

R70

+

E, I, A

∆1

∆3

∆6 ∆4

∆7


Verifiquemos o grau de mobilidade da estrutura, considerando para isso os mecanismos de translação associados aos movimentos possíveis do pórtico, i.e.

L1

E, I, A

L2

L3

α

Provoquemos na direcção de translação 3 um deslocamento unitário, de tal modo que os nós não sofram qualquer rotação ou deslocamento de translação na direcção 6:

L1

E, I, A

L2

L3

∆3

∆5 = ∆3 / tagα

∆9 = −∆3

1

θ1=1/L1 θ4=-θ1

θ2=-θ3=-2/L2/tanα

L1

E, I, A

L2

L3

∆3

∆5 = ∆3 / tag α

∆9 = −∆3

θ1=1/L1 θ4=-θ1


1

Provoquemos agora na direcção de translação 6 um deslocamento unitário, de tal modo que os nós não sofram qualquer rotação ou deslocamento de translação na direcção 3:

L1

E, I, A

L2

L3

∆9 = 2 ∆6

∆6

1

θ1=0

∆5 = −∆6 / tagα

θ2=-θ3=2/L2/tanαθ4=2/L3

L1

E, I, A

L2

L3

∆9 = 2 ∆6

∆6

1

θ1=0

∆5 = −∆6 / tagα

θ2=-θ3=2/L2/tanα θ4=2/L3


Regressando ao exercício e analisando cada uma das sub-estruturas anteriores em separado, temos:


p E, I, A

P1 P2

R10

R30

R60 R40

R70

=

P1

R’10 R’’10

p

R’’40

P2

R’’’’70

p

R’’’70 R’’’40

R30

R60

E, I, A

∆3

∆5 = ∆3 / tag α

∆9 = −∆3

θ1=1/L1 θ4=-θ1


1

p E, I, A

P1 P2

R30

R60

R’10

R’a0 R’’’’a0

R’’’’70 R’’10

R’’40

R’’’40R’’’70

( ) ( ) ( ) ( ) 01 4''''0

''''703704024010110030 =⋅++⋅′′′+′′′+⋅′′+′′+⋅′+′+⋅ θθθθ aa RRRRRRRRR


E, I, A

∆9 = 2 ∆6

∆6

1

θ1=0

∆5 = −∆6 / tagα

θ2=-θ3=2/L2/tanα θ4=2/L3

p E, I, A

P1 P2

R30

R60

R’10

R’a0 R’’’’a0

R’’’’70 R’’10

R’’40

R’’’40R’’’70

( ) ( ) ( ) ( ) 01 4''''0

''''703704024010110060 =⋅++⋅′′′+′′′+⋅′′+′′+⋅′+′+⋅ θθθθ aa RRRRRRRRR


E, I, A

K11

K31

K61 K41

K71

=

∆1

K’11 K’’11

K’’41

K’’’’71K’’’71

K’’’41

K31

K61

∆1=1

E, I, A

∆3

∆5 = ∆3 / tag α

∆9 = −∆3

θ1=1/L1 θ4=-θ1


1

E, I, A

K31

K61

K’11

K’a1 K’’’’a1

K’’’’71 K’’11

K’’41

K’’’41K’’’71

( ) ( ) ( ) ( ) 01 4''''1

''''713714124111111131 =⋅++⋅′′′+′′′+⋅′′+′′+⋅′+′+⋅ θθθθ aa KKKKKKKKK


E, I, A

∆9 = 2 ∆6

∆6

1

θ1=0

∆5 = −∆6 / tagα

θ2=-θ3=2/L2/tanα θ4=2/L3

E, I, A

K31

K61

K’11

K’a1 K’’’’a1

K’’’’71 K’’11

K’’41

K’’’41 K’’’71

( ) ( ) ( ) ( ) 01 4''''1



E, I, A

K13

K33

K63 K43

K73

=

∆3

K’12 K’’12

K’’42

K’’’’71K’’’72

K32

K62

K’’’42

∆3=1

E, I, A

∆3

∆5 = ∆3 / tag α

∆9 = −∆3

θ1=1/L1 θ4=-θ1


1

E, I, A

K32

K62

K’12

K’a2 K’’’’a2

K’’’’72 K’’12

K’’42 K’’’42

K’’’72

( ) ( ) ( ) ( ) 01 4''''2



E, I, A

∆9 = 2 ∆6

∆6

1

θ1=0

∆5 = −∆6 / tagα

θ2=-θ3=2/L2/tanα θ4=2/L3

E, I, A

K32

K62

K’12

K’a2 K’’’’a2

K’’’’72 K’’12

K’’42 K’’’42

K’’’72

( ) ( ) ( ) ( ) 01 4''''2



E, I, A

K14

K34

K64 K44

K74

=

∆4

K’14 K’’14

K’’44

K’’’’74K’’’74

K’’’44

K34

K64

∆4=1

E, I, A

∆3

∆5 = ∆3 / tag α

∆9 = −∆3

θ1=1/L1 θ4=-θ1


1

E, I, A

K34

K64

K’14

K’a4 K’’’’a4

K’’’’74 K’’14

K’’44

K’’’44K’’’74

( ) ( ) ( ) ( ) 01 4''''4



E, I, A

∆9 = 2 ∆6

∆6

1

θ1=0

∆5 = −∆6 / tagα

θ2=-θ3=2/L2/tanα θ4=2/L3

E, I, A

K34

K64

K’14

K’a4 K’’’’a4

K’’’’74 K’’14

K’’44

K’’’44 K’’’74

( ) ( ) ( ) ( ) 01 4''''4



E, I, A

K16

K36

K66 K46

K76

=

∆6

K’16 K’’16

K’’46

K’’’’76K’’’76 K’’’46

K36

K66

∆6=1

E, I, A

∆3

∆5 = ∆3 / tag α

∆9 = −∆3

θ1=1/L1 θ4=-θ1


1

E, I, A

K36

K66

K’16

K’a6 K’’’’a6

K’’’’76 K’’16 K’’46

K’’’46

K’’’76

( ) ( ) ( ) ( ) 01 4''''6



E, I, A

∆9 = 2 ∆6

∆6

1

θ1=0

∆5 = −∆6 / tagα

θ2=-θ3=2/L2/tanαθ4=2/L3

E, I, A

K36

K66

K’16

K’a6 K’’’’a6

K’’’’76 K’’16 K’’46

K’’’46

K’’’76

( ) ( ) ( ) ( ) 01 4''''6



E, I, A

K17

K37

K67 K47 K77

=∆7

K’17 K’’17

K’’47

K’’’’77K’’’77

K’’’47

K37

K67

∆7=1

E, I, A

∆3

∆5 = ∆3 / tag α

∆9 = −∆3

θ1=1/L1 θ4=-θ1


1

E, I, A

K37

K67

K’17

K’a7 K’’’’a7

K’’’’77 K’’17

K’’47

K’’’47K’’’77

( ) ( ) ( ) ( ) 01 4''''7



E, I, A

∆9 = 2 ∆6

∆6

1

θ1=0

∆5 = −∆6 / tagα

θ2=-θ3=2/L2/tanα θ4=2/L3

E, I, A

K37

K67

K’17

K’a7 K’’’’a7

K’’’’77 K’’17

K’’47

K’’’47 K’’’77

( ) ( ) ( ) ( ) 01 4''''7




∆∆∆∆∆

⋅

+

=

7

6

4

3

1

7776747371

6766646361

4746444341

3736343331

1716141311

70

60

40

30

10

7

6

4

3

1

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

RRRRR

FFFFF

Calculados os deslocamentos ∆1, ∆3, ∆4, ∆6, e ∆7 e sabendo que os deslocamentos ∆2 e ∆8

são nulos, os restantes deslocamentos, i.e. ∆5 e ∆9, determinam-se através dos

mecanismos,

( )

639

635

2tan∆⋅+∆−=∆

∆−∆=∆ α

Conhecidos os deslocamentos, determinam-se os esforços transversos e os momentos flectores nas extremidades das barras através do procedimento já utilizado no caso das estruturas constituidas por barras deformáveis axialmente. Quanto ao esforço axial, a sua determinação é efectuada através da imposição do equilíbrio de forças nos nós:

M’’’fd

T’’’d

N’’’dM’’fd

T’e

M’fe

N’e

T’’d

N’’d

M’’’’fe

T’’’e

M’’’fe

N’’’’e

T’’’’’e

N’’’e

T’’e M’’fe

N’’e


0sincos0cossin

=⋅′′+⋅′′−′−

=⋅′′+⋅′′+′+

αααα

dde

dde

NTNNTT

0sincossincos0cossincossin

=⋅′′′−⋅′′′−⋅′′−⋅′′+

=⋅′′′+⋅′′′−⋅′′−⋅′′−

αααααααα

ddee

ddee

NTNTNTNT

0sincos

0cossin''''

''''

=−⋅′′′+⋅′′′+

=−⋅′′′−⋅′′′+

eee

eee

NNT

TNT

αα

αα


P2

p

P1

N’d

T’d

p

M’’fd

T’’e

T’’d

M’’fe

N’’e

N’’dM’fd

N’’’’d

T’’’’d

M’’’’fd M’’’fd

T’’’eT’’’d

M’’’fe

N’’’e

N’’’d

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