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Novas classes de polinmios tipo Szeg e para-ortogonais

Marisa S. Costa, Regina L. Lamblm,

UFU - Univ. Federal de Uberlndia UEMS - Univ. Estadual de Mato Grosso do Sul

38408-100, Uberlndia, MG 79540-000, Cassilndia, MS

E-mail: marisa@famat.ufu.br E-mail: lamblem@uems.br

A. Sri Ranga

Depto. de Cincias de Computao e Estatstica, IBILCE, UNESP

15054-000, So Jos do Rio Preto, SP

E-mail: ranga@ibilce.unesp.br

Palavras-chave: Polinmios para-ortogonais, Polinmios tipo Szeg, Funes q-hipergeomtricas

Resumo: Neste trabalho usamos uma relao contgua entre funes q-hipergeomtricas e obte-mos novas classes de polinmios tipo Szeg e para-ortogonais. Obtemos tambm uma repre-sentao explcita para os polinmios tipo Szeg e para-ortogonais em termos de funes q-hipergeomtricas.

1 Introduo

Dada uma sequncia {n}

n= de nmeros complexos, seja M um funcional de momentolinear definido no espao dos polinmios de Laurent por

M[zn] = n, n = 0,1,2, . . . . (1)

Sejam n os determinantes de Toeplitz, dados por

0 = 0 e n =

0 1 n

1 0 n+1...

......

n n1 0

, n 1.

Consideremos a sequncia {Qn}

n=0, tal que

M[zsQn(z)] = n,s, 0 s n, n 1,

onde n,s o delta de Kronecker e Qn, n 0 um polinmio mnico de grau exatamente n.SeM tal que n 6= 0, para n 0, ento a sequncia de polinmios mnicos {Qn}

n=0 existee nica.

Se n so complexos tais que n = n e n 6= 0, n 0, os polinmios Sn = Qn associadosao funcional M que satisfazem (1) so chamados de polinmios tipo Szeg, ver, [1] e [3].

Considerando o funcional de momento L[zn] = M[zn] = n, n = 0,1,2, . . . os po-linmios recprocos Qn(z) = z

nQn(1/z) satisfazem a ortogonalidade L[zn+sQn(z)] = n,sn,

Aluna do programa de ps-graduao em Matemtica do IBILCE/UNESP com bolsa CAPES at janeiro de2011.

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ISSN 2317-3300

0 s n. Polinmios que satisfazem propriedades L-ortogonais so conhecidos como polin-mios L-ortogonais, ver, por exemplo, [1].

Seja {Qn} uma sequncia de polinmios mnicos que satisfaz a relao de recorrncia de trstermos

Qn+1(z) = (z + n+1)Qn(z) n+1zQn1(z), n 1, (2)

com Q0(z) = 1 e Q1(z) = z + 1. Os polinmios L-ortogonais so caracterizados em termos doscoeficientes da relao de recorrncia (2), ver [1]. Alm disso, se n = 1 e n+1 6= 0 para n 1,os polinmios Qn tais que L[z

n+sQn(z)] = 0, 0 s n 1, so classificados como polinmiospara-ortogonais, ver [1].

Note que dada a sequncia {hn} de nmeros complexos (ou funes complexas hn(z)), se1 6= 0 e n+1 6= 0 para n 1, em (2), dada uma sequncia {Gn(hn; z)} tal que G1(h1; z) =

1z 1 h1

e

Gn(hn; z) =1

z + 1

2z

z + 2

nz

z + n hn, n 2, (3)

ento

Gn(hn; z) Gn(0; z) =123 nhnz

n1

Qn(z)[Qn(z) hnQn1(z)](4)

Alm disso, tomando hn = n+1z/(z + n+1), temos o seguinte caso particular

Gn+1(0; z) Gn(0; z) =123 n+1Qn(z)Qn+1(z)

zn, n 1. (5)

2 Polinmios q-hipergeomtricos

Para a, b, c C, c 6= 0,1,2, ... e 0 < |q| < 1, definimos a funo q-hipergeomtrica oufuno hipergeomtrica bsica (funo hipergeomtrica com base q), 21, por

21(qa, qb; qc; q, z) =

n=0

(qa; q)n (qb; q)n

(qc; q)n (q; q)nzn,

para |z| < 1 e por continuidade analtica para outros valores de z C. Aqui, (qa; q)0 = 1 e(qa; q)n = (1 q

a)(1 qa+1)...(1 qa+n1), n 1.Duas funes hipergeomtricas bsicas distintas 21(q

a1 , qa2 ; qa3 ; q; z) e 21(qa1 , qa2 ; qa3 ; q; z)

so chamadas contguas se |ai ai| = 0 ou 1.Consideremos a relao contgua a seguir, que pode ser encontrada em [4],

21(qa, qb+1; qc; q; z) =

(

1 + qb(1 qab)

(1 qc)z)

21(qa+1, qb+1; qc+1; q; z)

qb(1 qa+1)(1 qcb)

(1 qc)(1 qc+1)z 21(q

a+2, qb+1; qc+2; q; z).

(6)

Suponhamos que b, c, d C, c b+ 1 6= 0,1,2, . . . e b 6= 1,2, . . . . Seja

R(b,c,d)n (z) =21(q

n+1, qb; qcb+n+2; q; qdz)

21(qn, qb; qcb+n+1; q; qdz), n = 0, 1, 2, . . . .

Da relao (6), obtemos

R(b,c,d)n (z) =1

1 + g(b,c,d)n+1 z f

(b,c,d)n+2 zR

(b,c,d)n+1 (z)

, n 0,

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onde

g(b,c,d)n = qb+d1 (1 q

n+b)

(1 qcb+n)e f

(b,c,d)n+1 = q

b+d1 (1 qn)(1 qc+n+1)

(1 qcb+n)(1 qcb+n+1), n 1.

Assim,

R(b,c,d)0 (z) =

1

1 + g(b,c,d)1 z

f(b,c,d)2 z

1 + g(b,c,d)2 z

f(b,c,d)n z

1 + g(b,c,d)n z f

(b,c,d)n+1 zR

(b,c,d)n (z)

. (7)

Sejam

(b,c,d)n =1

g(b,c,d)n

e (b,c,d)n+1 =

f(b,c,d)n+1

g(b,c,d)n g

(b,c,d)n+1

, n 1.

Por um lado, podemos escrever (7) da forma equivalente

R(b,c,d)0 (z)=

(b,c,d)1

z + (b,c,d)1

(b,c,d)2 z

z + (b,c,d)2

(b,c,d)n z

z + (b,c,d)n

(b,c,d)n+1 z R

(b,c,d)n (z)

(b,c,d)n+1

. (8)

Por outro lado, observando que g(cb,c,c+2d)n =

(b,c,d)n e f

(cb,c,c+2d)n+1 =

(b,c,d)n+1 , n 1, podemos

escrever (7) da seguinte forma

(b,c,d)1

zR

(cb,c,c+2d)0 (z

1)

=(b,c,d)1

z + (b,c,d)1

(b,c,d)2 z

z + (b,c,d)2

(b,c,d)n z

z + (b,c,d)n

(b,c,d)n+1 R

(cb,c,c+2d)n (z1)

1.

(9)

Teorema 1. Para c b + 1 6= 1,2, . . . e b 6= 1,2, . . . . Seja {Q(b,c,d)n } uma sequncia de

polinmios mnicos definida por

Q(b,c,d)n+1 (z) = (z +

(b,c,d)n+1 )Q

(b,c,d)n (z)

(b,c,d)n+1 zQ

(b,c,d)n1 (z), n 1 (10)

com Q(b,c,d)0 (z) = 1 e Q

(b,c,d)1 (z) = z +

(b,c,d)1 , onde

(b,c,d)n =(1 qcb+n)

(1 qn+b)qbd+1 e

(b,c,d)n+1 =

(1 qn)(1 qc+n+1)

(1 qb+n)(1 qb+n+1)qbd+1, n 1. (11)

Ento os polinmios Q(b,c,d)n satisfazem a ortogonalidade

M(b,c,d)[zsQ(b,c,d)n (z)] = n,s

(q; q)n(qc+2; q)n

(qb+1; q)n(qcb+2; q)n, 0 s n, n 1, (12)

com respeito ao funcional de momento semi-definido

M(b,c,d)[zj ] =(qb; q)j

(qcb+2; q)jqjd, j = 0,1,2, . . . . (13)

Demonstrao: Para c b+1 6= 0,1,2, . . . e b 6= 1,2, . . . temos (b,c,d)n 6= 0 e

(b,c,d)n+1 6= 0,

para n 1, assim, a demonstrao de (13) segue de (5). Os momentos positivos (b,c,d)j =

(qb; q)j(qcb+2; q)j

qjd, j = 0, 1, 2, . . . so obtidos usando (4), (5) e (8). Agora usando (4), (5) e

(9) obtemos (b,c,d)j =

(qc+b1; q)j(qb+1; q)j

qj(c+2d), j = 1, 2, . . . , e os resultados para os momentos

negativos seguem usando (a, q)n = (a, q)/(aqn, q), para n = 0,1,2, . . . . Os resultados

do teorema so estendidos para c b + 1 6= 1,2, . . . e b 6= 1,2, . . . , observando que se

b 6= 1,2, . . . , ento (b,b1,d)1 = 0 e

(b,b1,d)n+1 =

(b,b1,d)n+1 6= 0, para n 1.

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Teorema 2. Sejam cb+1 6= 1,2, . . . e b 6= 1,2, . . . , ento os polinmios mnicos Q(b,c,d)n

dados pela relao de recorrncia (10) tem a representao explcita

Q(b,c,d)n (z) =(qcb+1; q)n(qb+1; q)n

qn(bd+1) 21(qn, qb+1; qc+bn; q; qc+d1z), n 0. (14)

Demonstrao: Fazendo as substituies a n 1, b c b, c b n 1 e d d 1

na relao contgua (6), obtemos que Q(b,c,d)n (z) = 21(q

n, qcb+1; qbn; q; qd+1z), n 1.

Agora, como Q(b,c,d)n (z) = znQ

(b,c,d)n (1/z), usando a identidade (ver[[2], Eq. (0.6.19)])

21(qn, qb; qc; q; z) =

(qb; q)n(qc; q)n

qn(n+1)/2(z)n 21(qn, qcn+1; qbn+1; q; qcb+n+1z1), n 0.

vlida quando c 6= 0,1,2, . . . e b 6= n+1,n+2,n+3, . . . , obtemos o resultado desejado.

3 As novas classes de polinmios

Substituindo c = 2b 1 e d =2b+ 1

2no Teorema 1, obtemos que j = j , ou seja,

obtemos polinmios tipo Szeg, os quais denotaremos por S(b)n . Segue do Teorema 2 que para

b 6= 1,2, . . . , os polinmios tipo Szeg, S(b)n , tem a representao

S(b)n (z) =(1 qb)

(1 qb+n)qn/2 21(q

n, qb+1; qbn+1; q; qb+1

2 z), n 0.

Agora substituindo c = 2b e d = b+1 nos Teoremas 1 e 2, obtemos que para b 6= 1,2, . . . ,

Q(b)n (z) = 21(q

n, qb+1; qbn; q; qbz), n 0, satisfaz a relao de recorrncia de trs termos

Q(b)n+1(z) = (z + 1)Q

(b)n (z)

(b)n+1zQ

(b)n1(z), n 1, (15)

com Q(b)0 (z) = 1, Q

(b)1 (z) = z + 1 e

(b)n+1 =

(1 qn)(1 q2b+n+1)

(1 qb+n)(1 qb+n+1).

Como {(b)n }n=2 uma sequncia de nmeros complexos no nulos e Q

(b)n satisfaz a relao de

recorrncia (15), ento Q(b)n so polinmios para-ortogonais, ver [1], ou seja, existe um funcional

de momento N (b)[zn] = (b)n, (ver [3]) com a propriedade

(b)n =

(b)n+1 =

(qb; q)n(qb+2; q)n

q(b+1)n

tal que os polinmios Q(b)n so unicamente definidos por

N (b)[zn+sQ(b)n (z)] = n,s 2 3 n+1, 0 s n, n 1.

Referncias

[1] C. F. Bracciali, R. L. Lamblm, J. H. McCabe, A. Sri Ranga, A characterization of L-orthogonal polynomials from three term recurrence relations. Acta Appl. Math., 113 (2011)1-16.

[2] R. Koekoek; R. Swarttouw, The Askey-Scheme of hypergeometric orthogonal polynomialsand its q-analogue. Rep. Fac. Tech. Math. Inf., Delft University of Technology (1998) 98-17.

[3] R. L. Lamblm, J. H. McCabe, M. A. Piar; A. Sri Ranga, Szeg type polynomials andpara-orthogonal polynomials. J. Math. Anal. and Appl., 370 (2010) 30-41.

[4] M. S. Costa, R. L. Lamb