Novas classes de polinômios tipo Szegő e para-ortogonais

Marisa S. Costa∗, Regina L. Lamblém,

UFU - Univ. Federal de Uberlândia UEMS - Univ. Estadual de Mato Grosso do Sul

38408-100, Uberlândia, MG 79540-000, Cassilândia, MS

E-mail: marisa@famat.ufu.br E-mail: lamblem@uems.br

A. Sri Ranga

Depto. de Ciências de Computação e Estatística, IBILCE, UNESP

15054-000, São José do Rio Preto, SP

E-mail: ranga@ibilce.unesp.br

Palavras-chave: Polinômios para-ortogonais, Polinômios tipo Szegő, Funções q-hipergeométricas

Resumo: Neste trabalho usamos uma relação contígua entre funções q-hipergeométricas e obte-mos novas classes de polinômios tipo Szegő e para-ortogonais. Obtemos também uma repre-sentação explícita para os polinômios tipo Szegő e para-ortogonais em termos de funções q-hipergeométricas.

1 Introdução

Dada uma sequência {µn}∞

n=−∞de números complexos, seja M um funcional de momento

linear definido no espaço dos polinômios de Laurent por

M[z−n] = µn, n = 0,±1,±2, . . . . (1)

Sejam ∆n os determinantes de Toeplitz, dados por

∆0 = µ0 e ∆n =

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µ0 µ−1 · · · µ−n

µ1 µ0 · · · µ−n+1...

......

µn µn−1 · · · µ0

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∣

, n ≥ 1.

Consideremos a sequência {Qn}∞

n=0, tal que

M[z−sQn(z)] = δn,s, 0 ≤ s ≤ n, n ≥ 1,

onde δn,s é o delta de Kronecker e Qn, n ≥ 0 é um polinômio mônico de grau exatamente n.SeM é tal que ∆n 6= 0, para n ≥ 0, então a sequência de polinômios mônicos {Qn}

∞

n=0 existee é única.

Se µn são complexos tais que µ−n = µn e ∆n 6= 0, n ≥ 0, os polinômios Sn = Qn associadosao funcional M que satisfazem (1) são chamados de polinômios tipo Szegő, ver, [1] e [3].

Considerando o funcional de momento L[zn] = M[z−n] = µn, n = 0,±1,±2, . . . os po-linômios recíprocos Q•

n(z) = znQn(1/z) satisfazem a ortogonalidade L[z−n+sQ•

n(z)] = δn,sρn,

∗Aluna do programa de pós-graduação em Matemática do IBILCE/UNESP com bolsa CAPES até janeiro de2011.

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0 ≤ s ≤ n. Polinômios que satisfazem propriedades L-ortogonais são conhecidos como polinô-mios L-ortogonais, ver, por exemplo, [1].

Seja {Qn} uma sequência de polinômios mônicos que satisfaz a relação de recorrência de trêstermos

Qn+1(z) = (z + βn+1)Qn(z)− αn+1zQn−1(z), n ≥ 1, (2)

com Q0(z) = 1 e Q1(z) = z + β1. Os polinômios L-ortogonais são caracterizados em termos doscoeficientes da relação de recorrência (2), ver [1]. Além disso, se βn = 1 e αn+1 6= 0 para n ≥ 1,os polinômios Qn tais que L[z−n+sQn(z)] = 0, 0 ≤ s ≤ n− 1, são classificados como polinômiospara-ortogonais, ver [1].

Note que dada a sequência {hn} de números complexos (ou funções complexas hn(z)), seβ1 6= 0 e αn+1 6= 0 para n ≥ 1, em (2), dada uma sequência {Gn(hn; z)} tal que G1(h1; z) =

β1z − β1 − h1

e

Gn(hn; z) =1

z + β1−

α2z

z + β2− · · · −

αnz

z + βn − hn, n ≥ 2, (3)

então

Gn(hn; z) −Gn(0; z) =β1α2α3 · · ·αnhnz

n−1

Qn(z)[Qn(z)− hnQn−1(z)](4)

Além disso, tomando hn = αn+1z/(z + βn+1), temos o seguinte caso particular

Gn+1(0; z) −Gn(0; z) =β1α2α3 · · ·αn+1

Qn(z)Qn+1(z)zn, n ≥ 1. (5)

2 Polinômios q-hipergeométricos

Para a, b, c ∈ C, c 6= 0,−1,−2, ... e 0 < |q| < 1, definimos a função q-hipergeométrica oufunção hipergeométrica básica (função hipergeométrica com base q), 2Φ1, por

2Φ1(qa, qb; qc; q, z) =

∞∑

n=0

(qa; q)n (qb; q)n

(qc; q)n (q; q)nzn,

para |z| < 1 e por continuidade analítica para outros valores de z ∈ C. Aqui, (qa; q)0 = 1 e(qa; q)n = (1− qa)(1 − qa+1)...(1 − qa+n−1), n ≥ 1.

Duas funções hipergeométricas básicas distintas 2Φ1(qa1 , qa2 ; qa3 ; q; z) e 2Φ1(q

a1 , qa2 ; qa3 ; q; z)são chamadas contíguas se |ai − ai| = 0 ou 1.

Consideremos a relação contígua a seguir, que pode ser encontrada em [4],

2Φ1(qa, qb+1; qc; q; z) =

(

1 + qb(1− qa−b)

(1− qc)z)

2Φ1(qa+1, qb+1; qc+1; q; z)

− qb(1− qa+1)(1− qc−b)

(1− qc)(1 − qc+1)z 2Φ1(q

a+2, qb+1; qc+2; q; z).

(6)

Suponhamos que b, c, d ∈ C, c− b+ 1 6= 0,−1,−2, . . . e b 6= −1,−2, . . . . Seja

R(b,c,d)n (z) =

2Φ1(qn+1, q−b; qc−b+n+2; q; qdz)

2Φ1(qn, q−b; qc−b+n+1; q; qdz), n = 0, 1, 2, . . . .

Da relação (6), obtemos

R(b,c,d)n (z) =

1

1 + g(b,c,d)n+1 z − f

(b,c,d)n+2 zR

(b,c,d)n+1 (z)

, n ≥ 0,

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onde

g(b,c,d)n = q−b+d−1 (1− qn+b)

(1− qc−b+n)e f

(b,c,d)n+1 = q−b+d−1 (1− qn)(1 − qc+n+1)

(1− qc−b+n)(1− qc−b+n+1), n ≥ 1.

Assim,

R(b,c,d)0 (z) =

1

1 + g(b,c,d)1 z

−f(b,c,d)2 z

1 + g(b,c,d)2 z

− · · · −f(b,c,d)n z

1 + g(b,c,d)n z − f

(b,c,d)n+1 zR

(b,c,d)n (z)

. (7)

Sejam

β(b,c,d)n =

1

g(b,c,d)n

e α(b,c,d)n+1 =

f(b,c,d)n+1

g(b,c,d)n g

(b,c,d)n+1

, n ≥ 1.

Por um lado, podemos escrever (7) da forma equivalente

R(b,c,d)0 (z)=

β(b,c,d)1

z + β(b,c,d)1

−α(b,c,d)2 z

z + β(b,c,d)2

− · · · −α(b,c,d)n z

z + β(b,c,d)n

−α(b,c,d)n+1 z R

(b,c,d)n (z)

β(b,c,d)n+1

. (8)

Por outro lado, observando que g(c−b,c,c+2−d)n = β

(b,c,d)n e f

(c−b,c,c+2−d)n+1 = α

(b,c,d)n+1 , n ≥ 1, podemos

escrever (7) da seguinte forma

β(b,c,d)1

zR

(c−b,c,c+2−d)0 (z−1)

=β(b,c,d)1

z + β(b,c,d)1

−α(b,c,d)2 z

z + β(b,c,d)2

− · · · −α(b,c,d)n z

z + β(b,c,d)n

−α(b,c,d)n+1 R

(c−b,c,c+2−d)n (z−1)

1.

(9)

Teorema 1. Para c − b + 1 6= −1,−2, . . . e b 6= −1,−2, . . . . Seja {Q(b,c,d)n } uma sequência de

polinômios mônicos definida por

Q(b,c,d)n+1 (z) = (z + β

(b,c,d)n+1 )Q(b,c,d)

n (z)− α(b,c,d)n+1 zQ

(b,c,d)n−1 (z), n ≥ 1 (10)

com Q(b,c,d)0 (z) = 1 e Q

(b,c,d)1 (z) = z + β

(b,c,d)1 , onde

β(b,c,d)n =

(1− qc−b+n)

(1− qn+b)qb−d+1 e α

(b,c,d)n+1 =

(1− qn)(1− qc+n+1)

(1− qb+n)(1− qb+n+1)qb−d+1, n ≥ 1. (11)

Então os polinômios Q(b,c,d)n satisfazem a ortogonalidade

M(b,c,d)[z−sQ(b,c,d)n (z)] = δn,s

(q; q)n(qc+2; q)n

(qb+1; q)n(qc−b+2; q)n, 0 ≤ s ≤ n, n ≥ 1, (12)

com respeito ao funcional de momento semi-definido

M(b,c,d)[z−j ] =(q−b; q)j

(qc−b+2; q)jqjd, j = 0,±1,±2, . . . . (13)

Demonstração: Para c− b+1 6= 0,−1,−2, . . . e b 6= −1,−2, . . . temos β(b,c,d)n 6= 0 e α

(b,c,d)n+1 6= 0,

para n ≥ 1, assim, a demonstração de (13) segue de (5). Os momentos positivos µ(b,c,d)j =

(q−b; q)j(qc−b+2; q)j

qjd, j = 0, 1, 2, . . . são obtidos usando (4), (5) e (8). Agora usando (4), (5) e

(9) obtemos µ(b,c,d)−j =

(q−c+b−1; q)j(qb+1; q)j

qj(c+2−d), j = 1, 2, . . . , e os resultados para os momentos

negativos seguem usando (a, q)n = (a, q)∞/(aqn, q)∞, para n = 0,±1,±2, . . . . Os resultadosdo teorema são estendidos para c − b + 1 6= −1,−2, . . . e b 6= −1,−2, . . . , observando que se

b 6= −1,−2, . . . , então β(b,b−1,d)1 = 0 e β

(b,b−1,d)n+1 = α

(b,b−1,d)n+1 6= 0, para n ≥ 1.

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Teorema 2. Sejam c−b+1 6= −1,−2, . . . e b 6= −1,−2, . . . , então os polinômios mônicos Q(b,c,d)n

dados pela relação de recorrência (10) tem a representação explícita

Q(b,c,d)n (z) =

(qc−b+1; q)n(qb+1; q)n

qn(b−d+1)2Φ1(q

−n, qb+1; q−c+b−n; q; q−c+d−1z), n ≥ 0. (14)

Demonstração: Fazendo as substituições a← −n− 1, b← c− b, c← −b− n− 1 e d← −d− 1

na relação contígua (6), obtemos que Q•(b,c,d)n (z) = 2Φ1(q

−n, qc−b+1; q−b−n; q; q−d+1z), n ≥ 1.

Agora, como Q(b,c,d)n (z) = znQ

•(b,c,d)n (1/z), usando a identidade (ver[[2], Eq. (0.6.19)])

2Φ1(q−n, qb; qc; q; z) =

(qb; q)n(qc; q)n

q−n(n+1)/2(−z)n 2Φ1(q−n, q−c−n+1; q−b−n+1; q; qc−b+n+1z−1), n ≥ 0.

válida quando c 6= 0,−1,−2, . . . e b 6= −n+1,−n+2,−n+3, . . . , obtemos o resultado desejado.

3 As novas classes de polinômios

Substituindo c = 2b − 1 e d =2b+ 1

2no Teorema 1, obtemos que µj = µ−j , ou seja,

obtemos polinômios tipo Szegő, os quais denotaremos por S(b)n . Segue do Teorema 2 que para

b 6= −1,−2, . . . , os polinômios tipo Szegő, S(b)n , tem a representação

S(b)n (z) =

(1− qb)

(1− qb+n)qn/2 2Φ1(q

−n, qb+1; q−b−n+1; q; q−b+ 1

2 z), n ≥ 0.

Agora substituindo c = 2b e d = b+1 nos Teoremas 1 e 2, obtemos que para b 6= −1,−2, . . . ,

Q(b)n (z) = 2Φ1(q

−n, qb+1; q−b−n; q; q−bz), n ≥ 0, satisfaz a relação de recorrência de três termos

Q(b)n+1(z) = (z + 1)Q(b)

n (z)− α(b)n+1zQ

(b)n−1(z), n ≥ 1, (15)

com Q(b)0 (z) = 1, Q

(b)1 (z) = z + 1 e α

(b)n+1 =

(1− qn)(1− q2b+n+1)

(1− qb+n)(1− qb+n+1).

Como {α(b)n }∞n=2 é uma sequência de números complexos não nulos e Q

(b)n satisfaz a relação de

recorrência (15), então Q(b)n são polinômios para-ortogonais, ver [1], ou seja, existe um funcional

de momento N (b)[zn] = ν(b)−n, (ver [3]) com a propriedade

ν(b)−n = −ν

(b)n+1 =

(q−b; q)n(qb+2; q)n

q(b+1)n

tal que os polinômios Q(b)n são unicamente definidos por

N (b)[z−n+sQ(b)n (z)] = δn,s α2 α3 · · ·αn+1, 0 ≤ s ≤ n, n ≥ 1.

Referências

[1] C. F. Bracciali, R. L. Lamblém, J. H. McCabe, A. Sri Ranga, A characterization of L-orthogonal polynomials from three term recurrence relations. Acta Appl. Math., 113 (2011)1-16.

[2] R. Koekoek; R. Swarttouw, The Askey-Scheme of hypergeometric orthogonal polynomialsand its q-analogue. Rep. Fac. Tech. Math. Inf., Delft University of Technology (1998) 98-17.

[3] R. L. Lamblém, J. H. McCabe, M. A. Piñar; A. Sri Ranga, Szegő type polynomials andpara-orthogonal polynomials. J. Math. Anal. and Appl., 370 (2010) 30-41.

[4] M. S. Costa, R. L. Lamblém, A. Sri Ranga, Funções hipergeométricas básicas e polinômiosL-ortogonais. Anais do CNMAC, 3 (2010) 529-534.

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