Nmeros complexos: aplicao em circuitos RLC

Complex numbers: application in RLC circuits

Gilberto Martins Dagostim1 Roberto Pettres2

ResumoO presente trabalho trata de um estudo de pesquisa terica e desenvolvimento de uma metodologia alternativa para o ensino dos Nmeros Complexos. A metodologia proposta faz uso dos aplicativos Geogebra e Multisim e tem sua base em aplicaes de circuitos compostos por resistores, capacitores e indutores (circuitos RLC), tema esse estudado na disciplina de Fsica no mesmo bimestre onde os Nmeros Complexos so estudados na disciplina de Matemtica do terceiro ano do ensino mdio. Aps o desenvolvimento da metodologia, esta foi transmitida para professores da rea de Matemtica do Colgio Estadual do Paran, os quais participaram de aulas expositivas referentes ao tema em tela, cujas opinies e contribuies possibilitaram o aperfeioamento do material desenvolvido. Os resultados do trabalho e consideraes so apresentados ao final do trabalho.

Palavras-chave: Nmeros Complexos. Plano complexo. Geogebra. Multisim.

AbstractThe present work deals with a study of the theoretical research and development of an alternative methodology for the teaching of Complex Numbers. The proposed methodology makes use of Geogebra and Multisim software and is based on application of circuits composed of resistors, capacitors and inductors (RLC circuits), topic studied in the Physics discipline in the same time where the Complex Numbers are studied in the Mathematics discipline of the third year of high scholl. After the development of the methodology, it was transmitted to teachers in the area of Mathematics of the Colgio Estadual do Paran, and teachers participated in lectures on the theme on screen, whose opinions and contributions made possible the improvement of the material developed. The results of the work and considerations are presented at the end of the work.

Keywords: Complex Numbers. Complex Plan. Geogebra. Multisim.

1. Introduo

So inmeros os trabalhos que tratam de aplicaes da Matemtica, seja em reas de

economia e administrao (TAN, 2014), em modelos de inteligncia artificial (PETTRES, JAREK e

LACERDA, 2011), no desenvolvimento de aplicativos (LOPES, SILVA e ARAJO, 2004),

1 Professor Licenciado em Matemtica, Bacharelado em Matemtica, Especialista em Metodologia do Ensino de Matemtica e Especialista em Processo Ensino-Aprendizagem, Colgio Estadual do Paran, Ncleo Curitiba, Curitiba, Paran, Brasil, gmdago@seed.pr.gov.br.

2 Professor Licenciado em Matemtica e Doutor em Mtodos Numricos em Engenharia, Universidade Federal do Paran, Matinhos, Paran, Brasil, pettres@ufpr.br.

processamento de sinais (TRINDADE, 2009), em simulaes numricas de termodinmica

(PETTRES e LACERDA, 2017), entre outras aplicaes. No caso de aplicaes dos Nmeros

Complexos, registram-se alguns dos principais trabalhos utilizados nesse estudo, entre eles, Neves

(2014) e Mendes (2017) em estudos envolvendo geometria analtica e plana, IGM (2009) em

aplicaes de Engenharia Eltrica, Bastos (2013) em um estudo dos Nmeros Complexos utilizando

o aplicativo Geogebra, Barros (2014) e Arajo (2006) em estudos voltados para o ensino dos

Nmeros Complexos no ensino mdio. No trabalho de Arajo (2006), so apresentados os

resultados de uma pesquisa baseada na anlise de dez dos principais livros didticos utilizados no

ensino mdio na instituio onde deu-se a pesquisa. Arajo (2006) afirma que a atual apresentao

do livro se d de forma pouco contextualizada e que menos de 8% do total de exerccio dessas obras

referem-se ao estudo dos Nmeros Complexos.

Essa uma importante constatao e confirma, de maneira geral, que a Matemtica tratada

no ensino bsico, frequentemente apresentada de forma dissociada de seu real uso e/ou aplicaes,

o que implica, em muitos casos, no desinteresse por parte dos alunos ao querer explorar e entender

essa cincia.

Pela tica do ensino, importante ressaltar que, durante o exerccio da docncia, muitos

questionamentos vindos dos alunos fazem-se presentes durante as aulas expositivas, principalmente,

sobre a utilidade de determinado contedo matemtico (ARAJO, 2006). Esse fato caracteriza-se

como o problema do trabalho e a alternativa a este, como a principal motivao e justificativa do

presente estudo, o qual almeja, com o desenvolvimento de uma metodologia alternativa, motivar os

alunos aprendizagem em relao aos Nmeros Complexos e aos professores oportunizar uma

ferramenta complementar de ensino.

Para tanto, a metodologia desenvolvida contou com o uso dos aplicativos Geogebra e

Multisim para o ensino dos Nmeros Complexos de forma aplicada, nesse caso, em aplicaes de

circuitos eltricos, tema estudado concomitantemente na disciplina de Fsica do terceiro ano do

ensino mdio, inserindo-se de forma a promover a interdisciplinariedade (dilogo entre as

disciplinas), a transversalidade (o aluno organiza o conhecimento obtido sobre a realidade) e a

transdisciplinaridade (troca de conhecimentos relacionando a teoria com a prtica), alm de ir ao

encontro do Decreto no 6300, de 12 de dezembro de 2007, no seu artigo 1.o Programa Nacional de

Tecnologia Educacional Proinfo, a respeito do incentivo e promoo do uso das tecnologias na

escola.

Aps desenvolvido o estudo, a metodologia foi socializada com professores de Matemtica

do Colgio onde ocorreu a pesquisa. Os professores foram capacitados para o uso dos aplicativos e

fizeram importantes contribuies em relao metodologia proposta. Os resultados desse estudo

de pesquisa e desenvolvimento, a prpria metodologia e demais consideraes so apresentadas ao

final do trabalho.

2. Metodologia de pesquisa

A pesquisa deste trabalho baseia-se em dois tipos: a de campo e a de ao. A primeira,

caracteriza-se pela investigao em que, alm da pesquisa bibliogrfica e/ou documental, realiza-se

a coleta de dados junto a pessoas, com o recurso de diferentes tipos de pesquisa (nesse caso,

pesquisa-ao) (FONSECA, 2002). Na segunda, presume uma participao planejada do

pesquisador na situao problemtica a ser investigada trazendo consigo uma srie de

conhecimentos que sero a essncia para a execuo da sua anlise reflexiva sobre a realidade e os

elementos que a integram, o que implica modificaes no conhecimento do prprio pesquisador

(FONSECA, 2002) que, nesse estudo, pode servir como estratgia e ferramenta de melhoria e

atualizao da prpria prtica docente ao assumir uma postura de pesquisador(a) e no apenas de

transmissor(a) de saberes (MACEDO, 1994).

2.1 Linha de estudo

Esse estudo segue a linha terica de Arajo (2006) e Barros (2014), no que se refere ao

desenvolvimento de tcnicas alternativas para o ensino dos Nmeros Complexos e Bastos (2013)

em relao ao uso do aplicativo Geogebra.

2.2 Local de realizao do estudo e pblico

O estudo foi realizado no Colgio Estadual do Paran, situado na Avenida Joo Gualberto,

250 - Alto da Glria, Curitiba PR. Ao todo, 10 professores participaram da implementao e

quatro estgios foram propostos, entre eles, o 2o e 3o estgios, elaborados com o intuito de deixar as

aulas mais interessantes em relao ao tema Nmeros Complexos. Dois aplicativos livres em

formato open-source, distribudos pela empresa Eletronics Workbench, no caso do Multisim e o

Geogebra, criado pelo professor Dr. Markus Hohenwarter da Flrida Atlantic University, fizeram

parte da metodologia desenvolvida, a qual foi aplicada em formato de interveno pedaggica sob

prvio termo de consentimento livre e esclarecido com o Colgio, professores e alunos.

2.3 Estgios do trabalho

O desenvolvimento do estudo sobre Nmeros Complexos na aplicao de circuitos RLC,

realizado para professores do ensino mdio de terceiros anos do Colgio Estadual do Paran, foi

implementado em quatro estgios, os dois primeiros referem-se interveno pedaggica, o terceiro

aplicao da metodologia em sala de aula e o ltimo estgio em formato de Grupo de Trabalho em

Rede3 (GTR), descritos como segue:

2.3.1 Primeiro estgio

Nesse estgio foi realizada a pesquisa por literaturas, que serviu como subsdio para o

desenvolvimento da metodologia para o ensino dos Nmeros Complexos e do prprio projeto de

interveno pedaggica.

Ainda nesse estgio foi realizada a apresentao da proposta do trabalho ao Conselho

Escolar onde se deu o estudo, que, aps apreciao, foi aprovado sem ressalvas. A apresentao foi

realizada com o uso de slides contendo o material terico como forma de recapitulao de conceitos

bsicos do tema Nmeros Complexos, alm de uma breve explanao sobre a forma atual de

apresentao desse contedo em sala de aula, com base no material didtico at ento adotado. A

fundamentao terica levou em considerao um dos principais desafios dos matemticos do

Renascimento, nesse caso a resoluo de equaes polinomiais ( a 0 + a 1 x + ... + a n x n = 0 ), cujo

contedo completo apresentado no Anexo 1.

2.3.2 Segundo estgio

Finalizada a etapa de fundamentao terica sobre os Nmeros Complexos, deu-se incio a

apresentao e a capacitao dos professores em relao ao uso dos aplicativos Geogebra e

Multisim no laboratrio didtico de Matemtica/Informtica. Ao todo, seis exerccios foram

resolvidos com o apoio dos aplicativos sendo os procedimentos para tal, parte integrante da

metodologia alternativa desenvolvida.

Com o uso do aplicativo Geogebra foi elaborada uma rotina computacional para

visualizao dos Nmeros Complexos em forma retangular, polar, do mdulo, do argumento e do

Plano de Argand-Gauss. Para concluir esse estgio foi apresentada uma prtica envolvendo um

pequeno circuito eletrnico, com o uso do aplicativo Multisim, com a finalidade de demonstrar a

relao existente entre os Nmeros Complexos e o seu funcionamento. O objetivo desse estgio foi

de capacitar os professores envolvidos no estudo para o uso dos aplicativos. O contedo desse

estgio apresentado em detalhes no Anexo 2.3 GTR O Grupo de Trabalho em Rede constitui uma das atividades do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) e se caracteriza pela interao a distncia entre o professor PDE e os demais professores da rede pblica estadual de ensino.

2.3.3 Terceiro estgio

No terceiro estgio, aps a capacitao dos professores, foi selecionada uma turma do

terceiro ano do ensino mdio, qual foi apresentada a metodologia desenvolvida a fim de observar

e avaliar a receptividade dos alunos perante o contedo de Nmeros Complexos. Esse estgio

tambm teve como objetivo identificar pontos positivos e negativos que poderiam ser revistos,

adequados e/ou ajustados na prpria metodologia.

2.3.4 Quarto estgio

O quarto estgio contou com a participao do primeiro autor como tutor do Grupo de

Trabalho em Rede, realizado no primeiro semestre de 2017, com professores da rede pblica do

Estado do Paran ( 1 de Cianorte, 10 de Curitiba, 1 de Foz do Igua, 3 de Londrina, 1 de Maring,

1 de Pinhais, 1 de So Jos, sendo que dois de Curitiba participaram da Implementao do Projeto

na Escola), cujos objetivos foram apresentar a proposta da metodologia alternativa, levantar dvidas

e sugestes sobre o uso dos aplicativos e disseminar tal conhecimento desenvolvido.

3. A interveno pedaggica, anlise e resultados

A interveno pedaggica iniciou-se de acordo com o item 2.3.1. Nessa etapa foi realizada

busca por literaturas (sob opes estritamente limitadas e escassas) que tratassem de aplicaes dos

Nmeros Complexos e foi construdo o material de apoio contendo o passo-a-passo do uso dos

aplicativos e da prpria metodologia desenvolvida. Porm, o material desenvolvido sofreu diversas

adaptaes at chegar em sua forma atual contando com contribuies e sugestes dos professores

em capacitao no segundo estgio desse trabalho. O objetivo proposto para o segundo estgio foi

alcanado e a principal caracterstica dessa etapa foi a grande participao dos professores

apontando sugestes para melhoria da proposta, assim como, questionamentos sobre o uso dos

aplicativos que fizeram com que o tutor ampliasse as discusses.

No terceiro estgio, agora em contato com os alunos, o aplicativo Geogebra foi apresentado

e foi facilmente assimilado sob grande receptividade, principalmente pela possibilidade de interao

constante no aplicativo de forma instantnea construindo e editando a rotina computacional definida

para determinada tarefa e a visualizao dos resultados, alm de ser uma ferramenta que os alunos

j tinham familiaridade (estudo de funes lineares e trigonometria no 1 e 2 anos do ensino

mdio). Ainda nesse estgio, no incio do uso do aplicativo Multisim, foram encontradas maiores

dificuldades em funo dos novos termos e finalidades envolvendo os componentes eletrnicos.

Porm, por mais de uma vez explicada a funcionalidade de determinado circuito RLC fazendo um

gancho com as aulas de Fsica, percebeu-se o interesse e a curiosidade nos alunos, cuja prtica

permitiu que estes entendessem esse tipo de aplicao dos Nmeros Complexos. Ressalta-se, que

apesar da receptividade dos alunos, houve dificuldade na execuo da metodologia em detrimento

do tempo disponvel no laboratrio (previso de trs aulas), em cuja adaptao sugere-se um

nmero maior de aulas. Apesar desse fato, os alunos demonstraram grande interesse na

continuidade do contedo e o objetivo proposto para esse estgio foi atingido.

No quarto estgio ocorreu a tutoria do Grupo de Trabalho em Rede abordando o tema

Nmeros Complexos e a experincia adquirida no contato com os professores e alunos j citada nos

estgios 1, 2 e 3 do presente trabalho. Nesse GTR foram disponibilizadas 20 vagas, das quais 18

foram preenchidas. No grupo de estudo, os professores participantes puderam opinar e comentar

sobre o tema e sobre a proposta metodolgica. Apenas para registro, inmeros professores

elogiaram a iniciativa e teceram comentrios incentivadores, pois demonstraram interesse pela

metodologia de ensino.

Dos professores que participaram do GTR de Nmeros Complexos, 12 concluram as

atividades e relataram que no futuro pretendem utilizar a metodologia proposta em seus planos de

aula. Entre os concluintes, apenas dois sinalizaram dificuldades de replicar a metodologia em outras

escolas devido falta de material e/ou condies insuficientes nos laboratrios de

Matemtica/Informtica.

4 Consideraes Finais

A proposta desse estudo foi o desenvolvimento de uma metodologia alternativa que

contribusse para a melhoria no aprendizado dos alunos do terceiro ano do ensino mdio em relao

aos Nmeros Complexos e que tambm pudesse ser utilizada como ferramenta didtica para

auxiliar nas aulas de Matemtica.

Apesar de existirem determinadas aplicaes com os Nmeros Complexos, optou-se pela

rea eltrica, pois esta pode ser utilizada tanto na Matemtica como na Fsica contribuindo no

aprimoramento desse assunto, alm de promover a interdisciplinaridade entre as duas disciplinas.

Em relao aos estgios, estes podem ser alterados dependendo da disponibilidade da turma

e do professor (a), bem como particularidades que possam estar presentes em futuras aplicaes

dessa metodologia.

Nessa proposta foram utilizados recursos computacionais, os quais foram bem aceitos pelos

professores e alunos participantes do estudo, apresentando-se como uma forma visual atrativa que

pode ser explorada em sala de aula aliando teoria prtica a partir de aplicaes dos Nmeros

Complexos.

Ainda, de maneira relevante nesse trabalho, destaca-se o importante espao de

compartilhamento de informaes com outros professores da rede estadual atravs do GTR, cujo

propsito de melhorar a qualidade de ensino na rede pblica proporcionando aos professores a

oportunidade de aprimorar o conhecimento e efetuar troca de informaes entre seus pares.

Por fim, os resultados desse estudo reforam a necessidade de se adotar metodologias

diversificadas em sala de aula a partir de ferramentas didtica complementares como a aqui

proposta, que nesse trabalho, mostrou-se promissora e que pode ser explorada pelo professor (a), a

fim de despertar no aluno o interesse na Matemtica e o desejo de querer explor-la e compreend-

la.

Agradecimentos

Os autores agradecem a Secretaria do Estado de Educao do Paran pelo incentivo

capacitao atravs do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), Direo do Colgio

Estadual do Paran e os professores participantes do estudo, pelo apoio, incentivo e colaborao na

aplicao do Projeto e a Universidade Federal do Paran pela infraestrutura e apoio no

desenvolvimento desse trabalho de pesquisa.

Apenas como registro, o primeiro autor agradece de forma especial as orientaes dadas

pelo Professor Doutor Roberto Pettres nessa verso do PDE (20162017) e pela importante

contribuio na realizao desse trabalho.

Referncias

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FONSECA, J. J. S. Metodologia da pesquisa cientfica. Apostila, UEC, Fortaleza, 2002.

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MENDES, R. S. Teoria dos nmeros complexos com aplicaes nos campos das geometrias plana e analtica. Dissertao e Mestrado Profissional em Rede Nacional do Departamento de Matemtica, Universidade Federal do Maranho, So Luis, 2017.

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Anexo 1

A1.1 Nmeros Complexos: Teoria e Histrico

Dentre os principais estudiosos de equaes polinmiais esto Niccoll Fontana Tartaglia

(Brscia-Itlia, 1500-1557), Girolamo Cardano (Pavia-Itlia,1501-1576) e Rafael Bombelli

(Bolonha-Itlia, 1526-1576).

Niccoll Tartaglia e Girolamo Cardano tm seus nomes ligados resoluo das equaes

cbicas e qurticas (polinmios genricos de 3.o e 4.o graus). A partir dessa resoluo, os Nmeros

Complexos surgiram na Matemtica.

Para a poca, os matemticos ainda contornavam os problemas relacionados com razes

quadradas negativas, afirmando que a equao (1),

x2 + 4=0 (1)

no possua soluo, logo, as equaes do segundo grau, cuja raiz fosse negativa, eram ditas como

sem soluo.

No livro intitulado Histria da Matemtica uma viso crtica, desfazendo mitos e lendas,

est presente a passagem: as razes negativas e imaginrias de equaes eram consideradas quantidades irreais. ...

Todos os nomes utilizados para designar esses nmeros exprimem a dificuldade de admitir

sua existncia ou, melhor dizendo, ... quantidades falsas, fictcias, impossveis ou

imaginrias, para os nmeros negativos e complexos. Isso mostra que eles, alm de no

possurem uma cidadania, no eram, em ltima instncia, sequer admitidos como nmeros

(ROQUE, 2012, p 256).

Contudo, esse fato mudou com o desenvolvimento de uma frmula para a resoluo de

equaes cbicas do tipo x 3 + ax + b = 0 , publicada na obra Ars Magna de Cardano.

Ainda no livro Histria da Matemtica uma viso crtica, desfazendo mitos e lendas,

apresenta uma passagem, referindo-se equao de Cardano:A publicao da frmula que permite determinar o conjunto-soluo de equaes cbicas ocorreu em 1545, na obra Ars Magna, do matemtico Girolamo Cardano, na qual o autor faz referncia a um novo tipo de nmero, que denominou quantidade fictcia. Tais quantidades eram na realidade razes quadradas de nmeros negativos, hoje tratados como nmeros imaginrios (SOUZA, 2010, p 228).

O modelo matemtico idealizado e publicado por Cardano (1545) dada pela equao (2):

(2)

Mesmo que o resultado das razes de uma equao do terceiro grau sejam nmeros reais

diferentes de zero, a frmula idealizada por Niccoll Tartaglia e Girolamo Cardano acaba

envolvendo razes quadradas de nmeros negativos.

Por exemplo, a equao (3) possui uma nica raiz positiva x = 4.

x 3 - 15x 4 = 0 (3)

Entretanto, a resoluo de Cardano para essa equao leva expresso

, o que passou a preocupar os algebristas de como

relacionar a raiz cbica, atravs da frmula de Tartaglia e Cardano, com a raiz obtida por outros

mtodos.

Por um tempo, as razes de nmeros negativos deixaram de chamar ateno e permaneceram

esquecidas at o fim do sculo XVII, quando o matemtico alemo Gottfried Wilhelm Leibniz

(Leipzig-Alemanha,1646-1716) acabou fatorando a expresso representada pela equao (4) em:

x4 + a4 (4)

cuja resoluo , isto , o produto de

quatro nmeros complexos.

J em 1777, Leonhard Euler (BasileiaSua, 1707-1783) introduziu a notao i para

representar 1, a partir da, os Nmeros Complexos passaram a serem escritos na notao que

utilizada hoje, a + bi.

Com o surgimento da lgebra abstrata (sculo XIX), o matemtico William Rown Hamilton

(Dublin-Irlanda, 1805-1865) fez com que o conjunto dos Nmeros Complexos ganhassem uma

estruturao algbrica formal, considerando um Nmero Complexo z = a + bi como um par

ordenado de nmeros reais. Coube ainda a Hamilton a definio das operaes de adio e

multiplicao, obedecendo aos princpios:

(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) e (5) (a,b) . (c,d) = (a c - b d , a d + b c)

Ainda com a colaborao de Hamilton, os complexos passaram a serem definidos como

vetores do plano.

3 32 121 2 121x = + +

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1x a x a x a x a+ +

A1.2 Conjunto dos Nmeros Complexos

O conjunto dos Nmeros Complexos contm o conjunto dos Nmeros Reais e Irracionais,ou

seja, { ( N Z Q ) ( I ) } = R R C, que tambm pode ser representado pelo diagrama apresentado pela Figura 01, como segue:

Figura 01 - Conjunto dos Nmeros Complexos.

A forma algbrica dos Nmeros Complexos dada por z = a + bi, onde a e b so nmeros

reais e i representa a unidade imaginria, sendo a parte real Re(z) = a e a parte imaginria Im(z) = b

satisfazendo a condio i 2 = -1 (BIANCHINI, 2003).

Esse par ordenado pode ser representado no plano cartesiano, cuja representao

corresponde a um nico ponto denominado de afixo e o Nmero Complexo z = a + bi associado a

um nico vetor, com extremidades na origem e na interseco do par ordenado. O ponto formado

pela interseco denominado de imagem de z (BARROSO, 2010).

Assim, para sua representao grfica, tem-se que, no eixo das abscissas a representao da

parte real, no eixo das ordenadas, a parte imaginria, como ilustrado na Figura 02.

Figura 02 Representao de Nmero Complexo Plano de Argand-Gauss

Na Figura 02, Ox a representao do eixo Real, Oy a representao do eixo Imaginrio, P

o afixo ou imagem geomtrica de z e o argumento.

A1.3 Conjugado de um Nmeros Complexos

O conjugado de um Nmero Complexo z = a + bi ser indicado por z, e ser representado

por z = a bi; observa-se que para obter z trocou-se o sinal da parte imaginria.

A1.4 Operaes com Nmeros Complexos

Os clculos envolvendo Nmeros Complexos apresentam as seguintes caractersticas:

a) Na adio de dois Nmeros Complexos, adicionamos separadamente as partes reais e as partes

imaginrias (SOUZA, 2010, p 233).

Sejam os valores z 1 = a + bi e z 2 = c + di, tem-se:

z 1 + z 2 = (a + c) + (b + d)i

b) Para subtrao adota-se o mesmo procedimento, separando as partes reais e as partes imaginrias,

subtraindo-as.

Sejam os valores z 1 = a + bi e z 2 = c + di, tem-se:

z 1 - z 2 = (a - c) + (b d)i

c) Na multiplicao de Nmeros Complexos aplicada a propriedade distributiva e agrupam-se os

termos das partes reais e os das partes imaginrias e, considerando-se i 2 = -1, tem-se:

z 1 . z 2 = (a + bi) . (c + di)

z 1 . z 2 = ac + adi + bic + bdi 2

z 1 . z 2 = (ac bd) + (ad + bc)i

d) Na operao de diviso, o quociente entre dois Nmeros Complexos z 1 e z 2 , com o valor de z2

0, pode ser determinado multiplicando-se o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor; logo:

Se: z 1 = a + bi e z 2 = c + di

z 1 = z 1 . z 2 = (a + bi) (c di) = ( ac adi + bic bdi 2 ) = (ac + bd) + (bcad)i

z 2 z 2 . z 2 (c + di) (c di) (c 2 cdi + cdi d 2 i 2 ) ( c 2 + d 2 ) e) A potenciao de um Nmero Complexo z com expoentes inteiros definida de modo

semelhante aos das potncias de base real, sabendo-se de que i2 = -1, pode-se calcular os valores de

in, com n N. Observa-se que existem apenas quatro valores para todas as potncias de i com

expoentes inteiros.

i 0 = 1 i 4 = 1 i 8 = 1

i 1 = i i 5 = i i 9 = i

i 2 = -1 i 6 = -1 i 10 = -1

i 3 = - i i 7 = - i i 11 = - i

possvel verificar que os valores de i n repetem-se de 4 em 4 termos, assim, para

determinar outros valores de i n deve-se dividi-los por quatro para a sua determinao, como segue:

Exemplo:

i107 = i3 = - i107 4- 08 26 27 - 24 3

resto

A1.5 Mdulo de um Nmero Complexo

O mdulo ou comprimento de um Nmero Complexo P = (a,b) o Nmero Real, obtido

pela equao (6) ,

(6)

cuja representao geomtrica corresponde ao valor da distncia da origem ao ponto P (a,b),

representado na Figura 03.

Figura 03 Representao geomtrica do Mdulo de z.

Exemplo: Calcular o mdulo do nmero z = 3 + 4i

cuja representao geomtrica ser:

2 2| |z a b = = +

| | 5z =| | 25z =| | 9 16z = +2 2| | 3 4z = +2 2| |z a b = = +

Figura 04 Representao geomtrica do Mdulo de z.

A1.6 Argumento de um Nmero Complexo

Argumento de um Nmero Complexo z no nulo representa a medida do ngulo formado

entre o eixo das abscissas e a reta formada entre a origem e a interseco de um par ordenado P(a,b)

no sentido anti-horrio, conforme representao na Figura 02.

Esse argumento pertencente ao intervalo [0, 2 ] e definido por:

Os valores de e de so as coordenadas polares do ponto P(a,b) que determinam a

posio do ponto no plano.

Exemplo: Determinar o argumento do complexo z = 2 +2 3i

logo:

.. be sen

=

4 (4.3) = +

cos a

=

: cos aonde

=

2cos4

= 1cos2

=

arg( )z =

bsen

=

2 22 (2 3) = +

2 34

sen = 32

sen =3

rad = .. 60ou =

4 =16 =

A1.7 Forma trigonomtrica

Considerando-se um nmero complexo no nulo, representado por z = a + bi, e sendo os

valores de a e b reais, cujo mdulo representado por e o argumento , pode-se obter a forma

trigonomtrica ou polar conforme desenvolvimento a seguir:

Substituindo os valores de a e b na expresso z = a + bi, obtm-se:

Exemplo: Determinar o mdulo, o argumento, a representao trigonomtrica e a representao no

plano de Argand-Gauss para o complexo z = 2 + 2i .

Na Figura 05 observa-se a representao do complexo z = 2 + 2i no plano de Argand-Gauss,

inserido em um ciclo trigonomtrico, atravs do qual pode ser visualizada a defasagem da sua onda.

Figura 05 Representao geomtrica da soluo.

cos a

=

(cos s )z i en = +

2 2a b = +

cos sz i en = +

bsen

= sb en =cosa =

2 22 2 = +

45 =

4 4 = +

2 2(cos 45 45 )z isen= +

8 =

2 2 cos 45 2 2 s 45z i en= +

2 2 =

cos sz i en = +

2,83 ;

22

sen =

cos a

=

12

sen =

2cos2 2

=

22 2

sen =

1cos2

=

bsen

=

2cos2

=

Anexo 2

Geogebra e Multisim: prtica com os Nmeros Complexos:

No segundo e terceiro estgios foram apresentados os aplicativos Geogebra e Multisim, cuja

finalidade era de utiliz-los como forma de demonstrar aplicaes dos Nmeros Complexos na rea

de eltrica.

A2.1 O aplicativo Geogebra pode ser obtido a partir do endereo eletrnico

https://www.geogebra.org/?lang=pt_BR. Esse aplicativo foi criado pelo professor Dr. Markus

Hohenwarter da Flrida Atlantic University e possui recursos de Geometria, lgebra e Clculo.

Para a capacitao realizada, sugeriu-se uma apostila disponvel no endereo eletrnico

http://www.bento.ifrs.edu.br/site/midias/arquivos/20121030155956743apostila_minicurso_geoegra.pdf,

fornecida pelo Instituto Federal do Rio Grande do Sul.

No Geogebra foram construdas rotinas para representao geomtrica e algbrica dos

Nmeros Complexos, exemplificada no Figura 06, utilizando-se o Geogebra para o nmero

complexo z1 = 2 + 2i.

Figura 06 Representao do Nmero Complexo Plano de Argand-Gauss Geogebra.

Para apresentar os Nmeros Complexos aos professores, montou-se uma rotina no

Geogebra, na qual os alunos poderiam colocar a forma retangular de um Nmero Complexo e o

aplicativo calcularia o mdulo, o argumento e a sua representao no Plano de Argand-Gauss, o que

serviria como reforo ao contedo dado em sala de aula (Figura 07).

http://www.bento.ifrs.edu.br/site/midias/arquivos/20121030155956743apostila_minicurso_geoegra.pdfhttps://www.geogebra.org/?lang=pt_BR

Figura 07 Representao do Nmero Complexo (Retangular / Polar) Plano de Argand-Gauss utilizando recursos do Geogebra.

Na ltima etapa desse estgio foram desenvolvidas atividades com o aplicativo Multisim,

com apoio de uma apostila confeccionada pela Universidade Federal de Uberlndia, disponvel no

link http://www.alan.eng.br/arquivos/multisim_analogica.pdf, bem como com o uso do tutorial que

explica como realizar a montagem e simulao de um circuito eletrnico no link

http://pld.lesc.ufc.br/laboratorio/fileserver/Pratica_05_-_Simulacao_ Usando_Multisim.pdf .

Nesta etapa, tambm atravs de slides, foram apresentados alguns exerccios envolvendo

circuitos compostos por resistores, indutores e capacitores, denominados de Circuitos RLC

explicando a relao que existe entre essas associaes e os Nmeros Complexos, bem como o

clculo da associao entre resistores, capacitores e indutores, no qual identificou-se a parte real e a

parte imaginria positiva e negativa dos circuitos, ilustradas na Figuras 08 e 09.

Figura 08 Circuitos RLC (Associao Paralela / Associao Srie).

Janela de Visualizao

http://pld.lesc.ufc.br/laboratorio/fileserver/Pratica_05_-_Simulacao_Usando_Multisim.pdfhttp://www.alan.eng.br/arquivos/multisim_analogica.pdf

Figura 09 Representao de uma onda com Resistncia Indutor e Capacitor.

Aps explicaes bsicas envolvendo os tipos de associaes e as representaes de

defasagem entre os componentes, passou-se a utilizar o Multisim para efetuar as associaes

verificando as tenses e formas de onda ocasionadas pela defasagem, como observa-se na Figura

10.

A corrente numa resistncia est em fase em relao tenso aos seus terminais.

A corrente no indutor est em atraso 90o em relao tenso aos seus terminais.

A corrente no capacitor est avanada 90o em relao tenso aos seus terminais.

Figura 10 - Circuito RL (Srie Resistor Indutor).

Figura 10 Sinais obtidos no circuito RL (Resistor Indutor), a esquerda medies registradas nos multmetros, acima forma de ondas obtidas no osciloscpio relativas aos componentes (R-L).

Como a disciplina de Fsica trabalha com a associao de resistores, indutores e capacitores

no terceiro ano, pode ser feita uma parceria com os professores, aprofundando mais o assunto,

inclusive facilitar-se- a demonstrao da defasagem que os componentes ocasionam no circuito.

Supondo que o complexo z = 2 + 2i pudesse ser representado diretamente em uma

associao (circuito) conforme Figura 11, onde a parte real o resistor: 2 e a imaginria o

indutor: 2H, pode ser vista a defasagem entre os dois sem a necessidade da aquisio de

equipamentos caros como um osciloscpio (Figura 12).

Figura 11 - Circuito RL (Srie Resistor Indutor).

Figura 12 Sinais obtidos no circuito RL (Resistor Indutor ) - defasagem entre componentes.

Na Figura 11 apresentado um circuito RL onde est sendo medida a forma de onda de cada

componente (resistivo e indutivo), j na Figura 12 pose observar a forma de onda defasada por cada

componente, sendo que a onda de maior amplitude (indutor) est defasada de 90o em relao a onda

de menor amplitude (resistor).