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NÚMEROS COMPLEXOSNÚMEROS COMPLEXOS
O que você deve saber sobre
Os números complexos vieram suprir uma lacuna deixada pelos números reais na solução de certos tipos de equação. Apesar das resistências iniciais, eles encontraram terreno fértil para serem aceitos e usados amplamente.
NÚMEROS COMPLEXOS
No século XIX demonstrou-se que os números complexos formavam um conjunto numérico que estava de acordo com a teoria dos conjuntos. A teoria também mostrou que eles englobavam o conjunto dos números reais, como representado abaixo.
I. Introdução
Números complexos representados na chamada forma algébrica:
em que a e b são números reais, e i é chamado unidade imaginária.
A unidade imaginária é um número i tal que:
Decorrência da definição anterior:
II. Forma algébrica
NÚMEROS COMPLEXOS
• Coeficiente a: parte real de z, representada por Re(z).
• Coeficiente b: parte imaginária de z, indicada por Im(z).
• Todo número real é complexo e pode ser representado como tal, desde que sua parte imaginária b seja igual a zero.
• Se a parte real de um número complexo é nula, ele é um número imaginário puro.
• Dois números complexos, z e w, para serem iguais, devem ter suas partes reais e imaginárias, respectivamente, iguais.
• Definição do conjunto dos números complexos:
II. Forma algébrica
NÚMEROS COMPLEXOS
Dados os dois números complexos z = a + bi e w = c + di:
Soma e subtração: é feita pela soma (ou subtração) de suas respectivas partes reais e imaginárias:
Multiplicação: é feita pela aplicação da propriedade distributiva:
III. Operações com números complexos
NÚMEROS COMPLEXOS
Divisão: necessita do conceito de complexo conjugado.
O conjugado de z, escrito como |z|, é dado por:
O produto de um número complexo por seu conjugado resulta
sempre em um número real. Assim, para obter o quociente ,
devemos multiplicar numerador e denominador
pelo conjugado de z:
III. Operações com números complexos
NÚMEROS COMPLEXOS
zw
Potências de i: observe na tabela que os resultados
se repetem a partir da quarta potência de i:
Na potenciação de i, já que há 4 possibilidades de resultado,
divide-se o expoente por 4 (lembrar que i4 = 1) e toma-se
o resto da divisão como um valor equivalente para o expoente de i.
III. Operações com números complexos
NÚMEROS COMPLEXOS
O número complexo z = a + bi é representado, no plano de Argand-Gauss, pelo ponto P(a, b). P é chamado de imagem de z, e z é denominado afixo do ponto P.
IV. Representação geométrica de número complexo
NÚMEROS COMPLEXOS
Representação por um ponto
i
• Representação vetorial: podemos representá-lo como um vetor OP, com origem em O(0, 0) e extremidade no ponto P.
• Módulo de z: indicado pela letra grega (rô), é definido como a medida do segmento OP e dado por:
• Direção de z: indicada pelo ângulo (0 ≤ ≤ 2), que o vetor estabelece com eixo real. Esse ângulo é conhecido como argumento de z.
IV. Representação geométrica de número complexo
NÚMEROS COMPLEXOS
Representação trigonométrica: como decorrência da representação de um número complexo z por um vetor e a partir da substituição de seu
módulo e de seu argumento na forma algébrica, podemos também
representá-lo na forma trigonométrica ou polar:
IV. Representação geométrica de número complexo
NÚMEROS COMPLEXOS
Dados dois números complexos z1 = 1(cos 1 + i sen 1) e
z2 = 2 (cos 2 + i sen 2), definimos:
Produto
Quociente
Potenciação (1a fórmula de De Moivre)
V. Operações na forma trigonométrica
NÚMEROS COMPLEXOS
Radiciação (2a fórmula de De Moivre)
Todo número complexo w, tal que wn = z, é denominado raiz enésima de z. As raízes enésimas de z podem ser obtidas pela fórmula:
V. Operações na forma trigonométrica
com k = 0, 1, 2, 3, ... (n - 1) e n e n > 1.
Podemos interpretar os valores obtidos pela fórmula como as enésimas
raízes distintas de z, todas de mesmo módulo ; e argumentos distintos
iguais . No plano imaginário, os pontos que representam as n
raízes de z estão sobre uma circunferência de centro na origem e raio ;
a circunferência fica então dividida em n arcos congruentes medindo cada
um .
n p
n
k2θ
n
2
NÚMEROS COMPLEXOS
n e
(UFRJ)
Determine o módulo, o argumento e represente graficamente o número complexo z = 2 + .
2
NÚMEROS COMPLEXOS - NO VESTIBULAR
EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS
RESPOSTA:
i32
(UFRJ) No jogo Batalha Complexa são dados números complexos z e w,chamados mira e alvo respectivamente. O tiro certeiro de z em wé o número complexo t tal que tz = w.
Considere a mira z e o alvo windicados na figura ao lado.Determine o tiro certeiro de z em w.
3EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS
RESPOSTA:
NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR
(Fuvest-SP) A figura representa o número
no plano complexo, sendo i = a unidade imaginária.Nessas condições:
a) determine as partes real e imaginária
de e de 3.
b) represente e na figura a seguir.
4EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS
RESPOSTA:
c) determine as raízes complexas da equação z3 – 1 = 0.
1
1
231 i
NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR
1
(Ufal) Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do número complexo z.
Se o número complexo z1 = a + bi é o cubo de z, determine o valor da diferença b a.
7EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS
RESPOSTA:
NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR
(UFC-CE) Sejam x, y, z e w números complexos tais que suas representações geométricas coincidemcom os vértices de um quadrado inscrito em uma circunferência com centro na origem.
Se x = + i, determine y, z e w.
8EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS
3
RESPOSTA:
NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR
(UFRN) Os números complexos são representados geometricamente no plano XY por meio da correspondência biunívoca z = a + bi P = (a, b), conforme ilustração a seguir.
a) Represente, no plano XY anterior, os números complexosz1 = 2 + 2i e z2 = -2 + 2i.
1EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS12
NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR
RESPOSTA:
112
b) Represente geometricamente, no mesmo plano, os segmentos de reta
Oz1 e Oz2 e calcule o ângulo z1Ôz2.
c) Se z = a + bi, prove que z’ = iz é obtido girando-se z 90ºno sentido anti-horário, em torno da origem.
EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS
RESPOSTA:
NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR
RESPOSTA:
1EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS14
RESPOSTA:
(Unicamp-SP) Um número complexo z = x + iy, z 0, pode ser
escrito na forma trigonométrica: z = | z | (cos + i sen ), onde | z | = cos = . Essa forma de representar os números complexos não nulos é muitoconveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre:
que é valida para todos t . Use essas informações para:
yx22
|| Z
X
a) calcular .
b) sendo z =
calcular o valor de 1 + z + z2 ++ z3 + ... + z15.
123 i
,2
2
2
2i
NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR
