JOCENIR AURELIANO DE AZEVEDO

O ESTUDO DOS VETORES E SUAS APLICAÇÕES NA FÍSICA

Sinop

2013

1

JOCENIR AURELIANO DE AZEVEDO

O ESTUDO DOS VETORES E SUAS APLICAÇÕES NA FÍSICA

Trabalho de Conclusão de Curso

apresentado a Banca Examinadora

do Departamento de Matemática –

UNEMAT, Campus Universitário de

Sinop, como requisito parcial para a

obtenção do título de Licenciado em

Matemática.

Orientadora: Profª. Dra. Darci

Peron.

Sinop

2013

2

JOCENIR AURELIANO DE AZEVEDO

O ESTUDO DOS VETORES E SUAS APLICAÇÕES NA FÍSICA

Trabalho de Conclusão de Curso

apresentado a Banca Examinadora

do Departamento de Matemática –

UNEMAT, Campus Universitário de

Sinop, como requisito parcial para a

obtenção do título de Licenciado em

Matemática.

BANCA EXAMINADORA

__________________________________________________

Profª. Dra Darci Peron

Professor (a) orientador

UNEMAT - Campus Universitário de Sinop

__________________________________________________

Profª. Ms. Chiara Maria Seidel Luciano

Professor (a) Avaliador

UNEMAT – Campus Universitário de Sinop

Sinop – MT

_________ de ______________________________ de 2013.

3

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus Trino que, com todo seu amor, nos possibilita viver na esperança de uma

vida eterna.

Agradeço aos meus pais João de Oliveira Azevedo e Inês Marcheti de Azevedo, que me

incentivaram e me prepararam para enfrentar os desafios impostos pelas conseqüências de

minhas escolhas.

Agradeço o incentivo de minha esposa Ana Claudia Borsa de Azevedo e também por todo o

apoio, compreensão, paciência e amor, que foram fundamentais para me manter firme em

minha caminhada.

Agradeço a todos os professores, que me ajudaram durante esta etapa de minha formação, em

especial a Professora Dra. Darci Peron que me orientou neste trabalho com paciência,

confiança e motivação.

4

Dedico este trabalho a pessoas que trazem um sentido diferente

para minha vivência e tudo que faço; à minha esposa Ana

Claudia Borsa de Azevedo e ao advento meu filho João

Victor de Azevedo que em breve estará em meus braços,

também aos meus pais que sempre me apoiaram e

merecem partilhar dessa felicidade.

5

RESUMO

AZEVEDO, Jocenir Aureliano. O estudo dos Vetores e Suas Aplicações na Física. Trabalho

de Conclusão de Curso de Licenciatura Plena em Matemática – Universidade Estadual do

Mato Grosso – UNEMAT / Faculdade de Ciências Exatas de Sinop/MT/ Campus

Universitário de Sinop. Sinop/MT, Brasil.

A presente pesquisa traz uma abordagem do processo histórico de desenvolvimento dos

estudos vetoriais, buscando explicitar características importantes sobre vetores, para que o

mesmo seja usado como ferramenta para a compreensão de fenômenos físicos, tendo esta

pesquisa um caráter bibliográfico de pesquisa qualitativa. Este estudo foi elaborado a fim de

sanar dúvidas remanescentes da graduação, bem como para aprofundar conhecimentos,

disponibilizando à quem tiver interesse em realizar estes estudos. Temos como principais

referencias para nosso embasamento teórico BUTKOV (1988), HALLIDAY (2001), SILVA

(2002) assim como STEWART (2006). Trazemos a parte histórica bem como os estudos

matemáticos e também os estudos físicos que apresentam as aplicações vetoriais, utilizando as

noções matemáticas trazidas para o nosso contexto acadêmico.

Nos estudos físicos apresentados estão presentes a mecânica de Newton e os sistemas

referenciais para sua representatividade; o conceito de ondas mecânicas, as relações

geométricas vetoriais e os estudos da Mecânica, nos Conceitos de Ondas e eletromagnéticos;

bem como as principais grandezas vetoriais relacionadas às aplicações físicas.

Palavras chave: Vetores, Grandezas Físicas.

6

ABSTRACT

AZEVEDO, Jocenir Aureliano. The study of Vectors and Their Applications in Physics.

Conclusion Work Full Degree Course in Mathematics - State University of Mato Grosso –

UNEMAT / Faculty of Exacts Sciences of Sinop/MT/ Campus Sinop. Sinop/MT, Brazil.

This research presents an approach to the historical process of development of vector

studies seeking to explain important features of vectors, so that it is used as a tool for

understanding physical phenomena taking this research one bibliographic qualitative

research.This study was designed to remedy lingering doubts graduation, as well as to deepen

knowledge, available to anyone interested in performing these studies.Our main references for

our theoretical BUTKOV (1988), HALLIDAY (2001), SILVA (2002) as well as STEWART

(2006).We bring the historical and mathematical studies and also studies that show physical

applications vector, using the mathematical notions brought to our academic context.

In physical studies presented are present Newton's mechanics and reference systems for

its representativeness, the concept of mechanical waves, geometric relationships and vector

studies of mechanics, the concepts and electromagnetic waves, as well as the main vector

magnitudes related to applications physical.

Keywords: Vectors, Physical Quantities.

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SUMARIO

1. BREVE HISTORIA SOBRE VETORES ..................................................................... 12

1.1. A Construção da Representação Geométrica ............................................................. 12

1.2. A Construção Científica e a Introdução dos Números Complexos ........................... 18

1.2.1. Hamilton e os Quatérnions ................................................................................. 21

1.2.2. Função Vetorial e Operador Nabla ..................................................................... 26

1.2.3 Vetores e Grandeza Vetorial............................................................................... 33

2. O ESTUDO DOS VETORES COMO ESTRUTURANTE DO CONHECIMENTO

FÍSICO .................................................................................................................................... 38

2.2. Vetores e Suas Aplicações em Conceitos Físicos: ..................................................... 38

2.2.1. Na Mecânica ....................................................................................................... 38

2.2.2. Na Ondulatória ................................................................................................... 48

2.2.3. Na Eletricidade ................................................................................................... 53

3. CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................................... 61

REFERÊNCIAS ....................................................................................................................... 63

8

LISTA DE FIGURAS

Figura 1-1 Sistema de referencia oblíquo no espaço . ......................................................... 13

Figura 1-2: Sistema de referência oblíquo no espaço . ........................................................ 14

Figura 1-3: Distancia entre dois pontos no espaço . ............................................................ 14

Figura 1-4: Coordenadas Polares. ............................................................................................. 16

Figura 1-5: Coordenadas Elípticas Ortogonais. ........................................................................ 16

Figura 1-6: Coordenadas Cilíndricas. ....................................................................................... 17

Figura 1-7: Coordenadas Esféricas. .......................................................................................... 17

Figura 1-8: Mudanças de eixos. ................................................................................................ 18

Figura 1-9: Adição de vetores. ................................................................................................. 23

Figura 1-10: Sistemas de Coordenadas no Plano e no Espaço. ................................................ 24

Figura 1-11: Quociente de dois Vetores ................................................................................... 24

Figura 1-12: é a reta traçada pelo movimento da ponta do vetor de posição ................ 28

Figura 1-13: vetor unitário . ................................................................. 31

Figura 1-14: Vetores: a) vetor deslizante sobre um eixo; b) vetor posição do ponto ; c) vetor

num sistema de referencia cartesiano. ...................................................................................... 34

Figura 1-15: Projeção de um vetor em uma direção arbitrária definida pelo vetor . .............. 36

Figura 2-16: (a) Uma vista de cima de três pessoas puxando um pneu. (b) Um diagrama de

corpo livre para o pneu. ............................................................................................................ 41

Figura 2-17: Parte (b) da figura 2-17. Um diagrama de corpo livre para o pneu. .................... 42

Figura 2-18:Uma moeda na eminência de deslizar de um livro. .............................................. 45

Figura 2-19:Um diagrama de corpo livre para a moeda, mostrando as três forças (desenhadas

em escala) que agem sobre ela. ................................................................................................ 45

Figura 2-20: Uma vista de cima de um disco de hóquei de massa m se movendo com

velocidade constante em uma trajetória circular de raio sobre uma superfície horizontal

lisa. A força centrípeta sobre o disco é , a tração da corda, dirigida para dentro do circulo ao

longo do eixo radial que se estende passando pelo disco. ..................................................... 46

Figura 2-21: Uma força constante fazendo um ângulo com o deslocamento de uma

conta e um fio acelera a conta ao longo do fio, alterando a velocidade da conta de para .

Um “medidor de energia cinética” indica a variação resultante da energia cinética da conta, do

valor para . ..................................................................................................................... 47

Figura 2-22: Onda senoidal. ..................................................................................................... 48

Figura 2-23: Os nomes das grandezas da equação (2.9), para uma onda senoidal transversal. 49

Figura 2-24:“Instantâneo” de uma onda em uma corda se propagando no sentido positivo de

um eixo . A amplitude está associada. Um comprimento , medido a partir de uma

posição arbitrária . ................................................................................................................ 50

Figura 2-25: um fasor de intensidade girando em torno de uma origem a uma velocidade

angular representa uma onda senoidal. A projeção do fasor sobre o eixo vertical

representa o deslocamento de um ponto pelo qual passa a onda. ............................................. 51

Figura 2-26: (a) Um segundo fasor com velocidade angular , mas com intensidade e

girando a um ângulo constante do primeiro fasor, representa uma segunda onda, como uma

9

constante de fase . (b) A onda resultante das duas ondas é representada pela soma vetorial

dos dois fasores. A projeção sobre o eixo vertical representa o deslocamento de um

ponto quando essa onda resultante por ele. .............................................................................. 52

Figura 2-27: Os vetores de campo elétrico em vários pontos ao redor de uma carga pontual

positiva. .................................................................................................................................... 55

Figura 2 - 28: Três partículas com cargas e estão à mesma distância da origem.

Os vetores campo elétrico e na origem devidos ás três partículas. O vetor

campo elétrico e a soma vetorial na origem. ....................................................... 56

10

INTRODUÇÃO

Este trabalho traz o desenvolvimento do formalismo vetorial, usado para descrever os

fenômenos físicos e dessa forma elucidar conceitos que foram aprimorados e são utilizados

nos dias atuais. Os estudos vetoriais, que foram construídos paralelamente aos estudos físicos,

se desenvolveram através de noções geométricas que se estabeleceram em sistemas de

coordenadas e se fortaleceram com os estudos e descobertas matemáticas. Descobertas essas

que puderam auxiliar e descrever os estudos dos fenômenos físicos.

Tomando como ponto de partida as relações geométricas pelo plano cartesiano, que são

atribuídas aos estudos de René Descartes no século XVII e que são retomadas com a noção de

grandezas (conceito vetor),no final do século XIX por grandes estudiosos, podemos afirmar

que vetores nasceram nas primeiras duas décadas do século XIX com as apresentações

geométricas de números complexos. Gaspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (1768-

1822), Carl Frederich Gauss (1777-1855) entre outros, conceberam números complexos como

pontos no plano bidimensional, isto é, como vetores bidimensionais. Estudiosos matemáticos

trabalharam com esses novos números e os aplicaram de varias maneiras; por exemplo, Gauss

fez um uso crucial de números complexos para provar o Teorema Fundamental da Álgebra

(1799). Em 1837, Willian Rowan Hamilton (1805-1865) mostrou que os números complexos

poderiam ser considerados abstratamente como pares ordenados (a, b) de números reais. Esta

idéia (de números complexos como pares ordenados) fez parte dos estudos de vários

matemáticos, incluindo Hamilton, para procurar uma maneira de estender os “números”

bidimensionais para três dimensões; e dessa forma houve a construção dos estudos vetoriais

que trouxeram até os dias atuais uma gama de conceitos matemáticos que expressam os

estudos e aplicações físicas.

As aplicações dos conceitos vetoriais foram estabelecidas através da descrição de

estudos físicos como as Leis de Newton, com o movimento dos corpos, onde Newton

conduziu, de certa forma, seus estudos para a necessidade de uma introdução de sistemas que

pudessem descrever tais fenômenos, essa necessidade estendeu-se para o conceito de ondas,

que também podem ser representados por vetores, bem como os estudos de eletricidade, nos

possibilitando ter uma noção matematicamente descrita de como o formalismo vetorial é

necessário para se ter um cunho científico de tais estudos físicos.

11

Isso nos possibilita compreender as aplicações físicas, com expressões gráficas que

mantém todas as propriedades descritas em fenômenos, e que estão sujeitos a estudos com

pretensão de representação vetorial.

O presente trabalho tem como objetivos elucidar fatos históricos que estruturaram os

estudos vetoriais de forma a expressar juntamente com as aplicações físicas a importância do

formalismo matemático. Dessa forma nossos estudos assim estão estruturados:

No capitulo 1 abordamos fatos históricos que trazem a construção dos estudos

vetoriais e juntamente com esses estudos, formulações que nos mostram os

estudos remanescentes.

No capítulo 2 abordamos de forma não aprofundada alguns conceitos físicos de

maneira que possamos apresentar aplicações vetoriais, ressaltando a importância

do uso dos vetores para diversas áreas pertinentes aos estudos da física.

12

1. BREVEHISTÓRIA SOBRE VETORES

Muitas descobertas matemáticas se deram através da geometria formalizada dos gregos,

com seus axiomas, demonstrações e teoremas. Este capítulo aborda os fatos históricos

relacionados aos estudos matemáticos dos vetores, abordando noções básicas que serviram de

ferramenta para construção dos estudos dos vetores, noções estas que contribuirão para uma

melhor compreensão das aplicações físicas que é objetivo deste trabalho.

1.1. A Construção da Representação Geométrica

Na sequência procuramos apresentar algumas informações básicas sobre como se deram

as construções empíricas e os primeiros passos dados pela ciência nos estudos dos vetores.

Utilizaremos argumentos históricos e as formalizações que podem ser utilizadas em tais

aplicações.

Verificamos que no decorrer dos tempos fomos presenteados com as descobertas de

grandes estudiosos, que construíram a partir da lei do paralelogramo para a adição de vetores

(ou entidades), explicações não tão formais e que não expressavam diretamente o conceito de

vetor.

Segundo Sánchez (2007), os sábios da Grécia antiga também se preocupavam com o

estudo do movimento dos corpos,que eram analisados por meio de conceitos geométricos. Os

textos de Aristóteles (384 a 322 a.C.) em Mecânica mostram que ele tinha a noção de

composição de movimentos. Nesses textos, enunciou de forma axiomática que a força que

movimenta um corpo é colinear com a direção do movimento de um corpo.

Por muito tempo a física veio se desenvolvendo e observando fenômenos, e esse

desenvolvimento foi dado por muitas vezes sem as ferramentas necessárias, onde se

observavam apenas propriedades geométricas, no entanto, algumas destas propriedades eram

limitadas, assim muitos fenômenos não puderam ser estudados e representados, devido à falta

de conceitos matemáticos, não desenvolvidos, até então.

Ainda para Sánchez (2007), o despertar de uma nova maneira de analisar o universo

estava a desabrochar nos anos 1600. A concepção sobre os estudos do mundo já não eram

obtidas sob o ponto de vista escolástico. Pois a razão, mais do que a fé, tornara-se o caminho

para novas descobertas e interpretações do mundo exterior.

13

O matemático Simon Stevin (1548-1620), ou Stevinos numa grafia latinizada, foi quem

demonstrou de maneira clara a regra da composição de forças, ao analisar o equilíbrio de um

corpo situado sobre um plano inclinado,e sustentados por pesos, um pendurado no extremo de

uma alavanca, e o outro pendurado numa polia fixa no cateto vertical do plano inclinado. Uma

idéia análoga faz parte dos escritos de Galileu Galilei (1564-1642) sobre o equilíbrio dos

corpos num plano inclinado.

Sánchez (2007) afirma que o início do conceito de vetor deu-se de forma empírica com

a formulação da regra do paralelogramo, pois Stevinos num trabalho publicado em 1586 sobre

mecânica aplicada estabeleceu um dos princípios da mecânica clássica, onde formalizou por

meio do equilíbrio de um sistema de forças, o conceito de um ente dependente da direção e do

sentido de sua atuação, possibilitando no futuro parte da elaboração teórica do conceito de

vetor.

A criação da Geometria Analítica atribuída a René Du Perron Descartes (1596-

1650),uniu a geometria de Euclides à álgebra, estabelecendo uma correspondência unívoca

entre os pontos de uma reta e o conjunto dos números reais. A introdução do sistema de

coordenadas ortogonais, também denominadas coordenadas cartesianas, permitiu o cálculo da

distância entre dois pontos no espaço euclidiano.

Sánchez (2007), ainda nos traz os sistemas referenciais que hoje utilizamos baseados

nos planos cartesianos.

Os pontos do espaço plano ficam determinados de modo unívoco definindo-se dois

segmentos orientados , com origens coincidentes, e que formam um ângulo

,

os quais são denominados de eixos referenciais (figura 1-1).

Figura 1-1 Sistema de referencia oblíquo no espaço .

Fonte: Sánchez (2007)p.23.

14

Os pontos no espaço euclidiano ficam determinados de modo unívoco definindo-se três

segmentos orientados que são denominados eixos referenciais com origens

coincidentes, que formam ângulos agudos entre si e as coordenadas da origem são

(figura 1-2).

A cada ponto desse plano associa-se um terno de números reais denominado

de coordenadas do ponto em . Essa relação define o espaço euclidiano tridimensional .

Para o caso particular em que os três eixos do sistema referencial são ortogonais, esse é

denominado sistema cartesiano ortogonal (figura 1-3).

A notação dessas coordenadas para um ponto genérico é escrita como ou

.

Figura 1-2: Sistema de referência oblíquo no espaço .

Fonte: Sánchez (2007)p. 23.

Figura 1-3: Distancia entre dois pontos no espaço .

Fonte: Sánchez (2007) p. 25.

15

O uso da geometria é essencial para determinar a distância do segmento determinado

pela origem dada por onde a aplicação do teorema de Pitágoras nos apresenta

, e a determinação entre dois pontos e

numeixo de referência, é dada pela diferença entre as coordenadas desses pontos nesse eixo,

tal como mostrado para o espaço . Para distancia entre esses pontos no espaço aplica-se

o teorema de Pitágoras:

.

Essas representações geométricas introduzem a noção de espaço e proporciona uma

inserção do que está por ser estudado, além disso, faltava saber quais as operações e fórmulas

matemáticas, que seriam utilizadas e como poderiam, ser utilizados na descrição de

fenômenos físicos.

Sánchez (2007), afirma que no inicio do século de XIX a Alemanha estava para se

tornar o maior centro mundial em matemática. Dentre várias de suas mentes brilhantes estava

Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Gauss ao se ocupar do estudo das curvas e superfícies,

cunhou o termo geometrias não euclidianas, sendo que em 1816 já havia concebido conceitos

relativos à geometria. Elaborou uma teoria das superfícies usando coordenadas curvilíneas no

trabalho Disquisitones Generales Circa Superficies Curvas, publicado em 1827. Gauss

argumentava que a geometria do espaço tem um aspecto físico, a ser descoberto pela

experimentação. Essas iam de encontro aos conceitos filosóficos de Immanuel Kant (1724-

1804), Que preconiza que a concepção do espaço a priori é euclidiana.

Apresentamos aqui, de maneira superficial, os Sistemas de Referência Curvilíneos

tendo como base os quatro dos mais usuais, que são os sistemas de Coordenadas Polares,

Coordenadas Elípticas, Coordenas Cilíndricas e Coordenas Esféricas. Adotando uma notação

para as coordenadas expressas por meio de índices.

Os trabalhos de Gauss deram origem a alguns estudos que utilizamos hoje, onde temos

tais coordenadas expressadas no plano e e mais adiante pode se estender para

dimensões.

Sánchez (2007), nos traz que as coordenadas polares são escritas como ,

e são definidas nos intervalos , . As relações entre as coordenadas

cartesianas e essas coordenadas são dadas por (fig. 1-4):

e

16

As Coordenadas Elípticas Ortogonais se apresentam como coordenadas elípticas

cilíndricas que são determinadas por uma elipse e uma hipérbole homo focais (fig. 1-5), e uma

terceira coordenada normal ao plano dessa curva. As coordenadas são expressas por

e escritas como , definida nos intervalos

. As relações entre as coordenadas são dadas por (fig. 1-5):

, ,

As coordenadas cilíndricas são escritas como , , , e são

definidas nos intervalos . Essas coordenadas

são expressas por . A relação entre as coordenadas cartesianas e essas coordenadas é

dada por (fig. 1-6):

, ,

Figura 1-4: Coordenadas Polares.

Fonte: Sánchez (2007) p. 25.

Figura 1-5: Coordenadas Elípticas Ortogonais.

Fonte: Sánchez (2007) p. 27.

17

As Coordenadas Esféricas são escritas como , e são definidas nos

intervalos . Essas coordenadas são expressas por

. As relações entre as coordenadas cartesianas e essas coordenadas são dadas por

(fig.1-7): ,

Podemos aqui acrescentar que esses princípios nos trouxeram a possibilidade de

verificar as mudanças de eixos e coordenadas.

Segundo Butkov (1988), um vetor dado está associado a um conjunto de três

números, suas componentes (ou coordenadas), relativas a certo sistema cartesiano ortogonal.

No entanto, é claro que, se mudarmos o sistema, as componentes também mudarão.

Figura 1-6: Coordenadas Cilíndricas.

Fonte: Sánchez (2007)p. 27.

Figura 1-7: Coordenadas Esféricas.

Fonte: Sánchez (2007)p. 27.

18

Considera-se, para os vetores no plano, a mudança no sistema de eixos produzida por

uma rotação de um ângulo , como mostrado na figura 1-5. O sistema antigo é e o

sistema novo é . Como , a componente , e, do mesmo modo, para a

componente . Pelo diagrama, vemos que isso fornece

É instrutivo observar que o ângulo entre o eixo e o eixo é

, enquanto que o

ângulo entre o eixo e o eixo é

. Em virtude de

e

, vemos que todos os quatro coeficientes nas equações acima apresentam os co-

senos dos ângulos entre os respectivos eixos.

Verificamos aqui que todas as coordenadas são representadas com relações geométricas

e trigonométricas. Tais representações nos dão uma noção do caminho de entidades1 que

podem ter expressões que se limitam ao espaço . Mas precisamos ressaltar que os estudos

de espaços de dimensões também têm suas atribuições que apresentaremos mais adiante.

1.2. A Construção Científica ea Introdução dos Números Complexos

Segundo Boyer (2003),no século XVIII, Jacob Hermann (1678-1733) fez contribuições

à geometria analítica no espaço e as coordenadas polares, continuando os resultados dos

irmãos Bernoulli que eram os mais velhos da Família de matemáticos. Ao passo que Jacques

1Descrição de fenômenos físicos quantificados, que e após os estudos matemáticos, são denominados Vetores.

Figura 1-8: Mudanças de eixos.

Fonte: Butkov (1988) p. 6.

19

Bernoulli aplicara, de forma cautelosa, coordenadas polares em modelos espirais, Hermann

deu equações polares também de curvas algébricas, juntamente com equações de

transformação de coordenadas retangulares para polares. O uso que Hermann fez de

coordenadas no espaço, também foi mais ousado que o de Jean Bernoulli, que desde 1962 se

referia ao uso de coordenadas como “geometria cartesiana”. Bernoulli tinha um tanto

timidamente sugerido, uma extensão da geometria cartesiana a três dimensões, mas Hermann

aplicou eficazmente coordenadas no espaço à planos e a diferentes tipos de superfícies

quadráticas. Deu-se início a noção de ângulo de direção mostrando que o seno do ângulo que

o plano de equação faz com o plano é dado por

.

Sánchez (2007) nos apresenta as propriedades algébricas de multiplicação por escalar

onde o produto de um escalar por um vetor resulta em um novo vetor , colinear com o

vetor original:

O modulo desse vetor é igual ao modulo do vetor original multiplicado pelo escalar. O

sentido do vetor fica definido pelo sinal do escalar. Se for positivo esse vetor terá o

mesmo sentido do vetor , e se o escalar for negativo terá sentido contrário.

Ainda para Sánchez (2007), as propriedades distributivas e comutativas são aplicáveis

ao produto de um escalar por um vetor:

Propriedade distributiva:

Propriedade comutativa:

Verifica-se que a razão entre dois vetores colineares é dada por um número real:

20

Essa expressão permite concluir que para dois vetores colineares é sempre possível

exprimir de maneira unívoca um dos vetores em função do outro, admitindo-se que esse seja

não nulo.

Anda para Sánchez (2007), as propriedades, associativa e comutativa, podem ser

aplicadas à adição de vetores, donde seguem:

Propriedade associativa:

Propriedade comutativa:

Verificamos que Leonhard Euler (1707-1783), foi um dos precursores da álgebra com

suas diversas publicações, pode construir pensamentos que contribuíram para o formalismo

vetorial.

Segundo Brandemberg (2007), os trabalhos de Euler representam exemplos relevantes

do formalismo do século XVIII, isto é, da manipulação e da „implicação‟ das regras do

pensamento lógico. Estas abordagens, embora sem muito rigor, muitas vezes o conduziram a

resultados profundos e verdadeiros, como a obtenção de uma série infinita:

Suas notações, que são utilizadas nos dias atuais, foram fundamentais para um

pensamento mais formal das aplicações, que possibilitou os estudos do princípio de

incomensurabilidade e algumas indeterminações.

Ainda para Brandemberg (2007), cabe aqui registrar a importância da notação de Euler

(1972) para o posterior desenvolvimento da matemática. Ele é o responsável pela implantação

das seguintes notações: (para funções), (para a base dos logaritmos naturais), ∑ (para o

somatório), e (para unidade imaginária ), entre outras.

Ao olharmos artigos e publicações, vimos que a escrita em si traz consigo um

formalismo de pensamentos. Mas os autores nos mostram que muitas das descobertas

passadas foram bem particulares com uma forma de expressão própria de cada cientista em

21

seu contexto de estudos. Os trabalhos com números complexos foi um grande passo que

desafiou a matemática para estudos formalizados, a questão seria como trabalhar com esses

números de forma clara e expressar todas as propriedades específicas para suas aplicações.

Essas operações estavam para ser descobertas já no fim do século XIX.

1.2.1. Hamilton e os Quatérnions

Seguimos aqui com uma apresentação do que pode ser o início dos conceitos mais

elaborados dos estudos vetoriais. Verificando a abrangência proporcionada por tais estudos,

onde temos contribuições de grandes estudiosos como Willian Rowan Hailton (1805-1865),

Hermann Guther Grassmann (1809-1877), Peter Tait (1831-1901), James Clerk Maxwell

(1831-1879), Josiah Williard Gibbs (1839-1903) e Oliver Heavisid (1850-1925).

Os estudos relacionados a vetores,desenvolvidos até meados do século XIX, traziam

uma linguagem própria de seu contexto, um formalismo apresentado. Formalismo esse, que

fora desenvolvido por vários matemáticos, mas podemos tomar como ponto de partida o fim

do século XIX com a análise vetorial, que trouxe um melhora significativa para chegar aos

estudos vetoriais apresentados nos dias atuais.

Segundo Silva (2002), a questão debatida no final do século XIX era saber o sistema

matemático mais apropriado para tratar as grandezas vetoriais. Willian Rowan Hamilton

(1805-1865) e seus seguidores, principalmente Peter Tait, acreditavam que os quatérnions

eram a ferramenta apropriada para resolver problemas em física.

Queremos aqui abordar as operações com números complexos, como ponto de partida

para essa nova etapa de descobertas.

Apresentaremos aqui Willian Rowan Hamilton e suas contribuições, onde segundo

Boyer (2003), Willian Rowan Hamilton que tinha o pai advogado e, sua mãe, ao que se diz

alguns intelectuais bem dotados, morreram quando ele era ainda menino; mas mesmo antes de

ficar órfão a instrução do jovem Hamilton fora determinada por um tio, que era lingüística.

Jovem extremamente precoce, Willian lia grego, hebraico e latim aos cinco anos; aos

dez conhecia várias línguas orientais. Um encontro relâmpago com um calculista estimulou o

interesse já forte de Hamilton pela matemática. Hamilton entrou em Trinity College, Dublin, e

enquanto ainda estudante, aos vinte e dois anos, foi nomeado Royal Astronomer da Irlanda,

Diretor de Observatório de Dunsink, e professor de astronomia. No mesmo ano ele apresentou

à Academia Irlandesa um artigo sobre sistemas de raios em que exprimia em seus temas

22

favoritos, que o espaço e o tempo estão “indissoluvelmente ligados entre si”. Num certo

sentido pode-se tomar essa idéia como presságio da teoria da relatividade, mas Hamilton tirou

dela uma conclusão menos frutífera: assim como a geometria é a ciência do espaço somente, a

álgebra deve ser a ciência do tempo puro.

De acordo com Boyer (2003), Hamilton apresentou seu primeiro artigo,a predição de

refração cônica em certos cristais que foi experimentalmente confirmada por físicos. Essa

verificação de uma teoria matemática garantiu sua reputação, e aos trinta anos ele recebeu o

titulo de nobre. Dois anos antes, em 1833, ele tinha apresentado um artigo longo e

significativo à Academia Irlandesa, em que introduziu a álgebra formal de pares de números

cujas regras de combinação são precisamente as que hoje são dadas para números complexos.

A importante regra para a multiplicação dos pares é naturalmente (a, b)(α,β) = (aα – bβ, aβ +

bα).

E ele interpretava esse produto como uma operação envolvendo rotação. Aqui vê-se o

conceito definitivo de número complexo como par ordenado de números reais, idéia que

estava indicada nas representações gráficas de Wessel, Argand e Gauss, mas que agora era

explicitada pela primeira vez.

Hamilton percebia que seus pares ordenados podiam ser pensados como entidades

orientadas no plano, e naturalmente tentou estender a idéia a três dimensões passando dos

números complexos binários às triplas ordenadas . A operação de adição

não oferecia dificuldade, mas durante dez anos ele lutou com a multiplicação de n-uplas para

n maior que dois.

Esse conceito foi trazido devido aos estudos físicos da época e a necessidade de se

definir um padrão que expusesse todo o formalismo necessário, a fim de se organizar os

pensamentos e estudos apresentados, estudos esses que trariam os fenômenos físicos

representados por entidades.

Para Silva (2002), os quatérnions trazidos por Hamilton (1805-1865) eram explicitados

por dois vetores paralelos, um pode ser expresso por um escalar multiplicado pelo outro,

sendo que o escalar é a razão entre os comprimentos dos dois vetores e seu sinal é positivo

caso os vetores estejam no mesmo sentido e negativo caso estejam em sentidos opostos.

Para termos uma melhor compreensão onde Butkov (1988), afirma que, podemos

explicitar essa noção de vetores com um sistema de coordenadas cartesianas, em muitos

textos elementares um vetor é definido como uma quantidade caracterizada por grandeza e

direção. Mas os vetores são muito mais gerais do que isso, é correto dizer que o conceito de

vetor, foi pela primeira vez introduzido na matemática (pelos físicos), para representar

23

“quantidades” com direção, deslocamento, velocidade, força, etc. Sem dúvida, estas são as

espécies de vetores mais familiares e mais simples.

Ainda para Butkov (1988), como sabemos, quantidades com direção pode ser

representada graficamente por flechas, e estão sujeitas a duas operações básicas:

a) Multiplicação por um escalar (supondo aqui que os escalares são números reais).

b) Adição.

Estas operações estão ilustradas na figura 1-9.

Butkov (1988) afirma que em muitos casos podemos desenhar vários vetores a partir de

um mesmo ponto: a origem. Então, cada vetor pode ser caracterizado pelas coordenadas de

sua “ponta”. Podem-se utilizar vários sistemas de coordenadas, mas os sistemas de

coordenadas cartesianas são mais convenientes. A razão disso é muito simples e muito

profunda: as coordenadas cartesianas de um ponto podem servir, como componentes do vetor

correspondente. Isso é ilustrado na figura 1-10 onde escolhemos sistemas cartesianos

ortogonais no plano e no espaço.

Figura 1-9: Adição de vetores.

Fonte:Butkov (1988) p. 2.

24

Silva (2002) destaca que, para Hamilton, ainda se os vetores não forem paralelos, a

questão é encontrar o valor da razão entre os comprimentos e também a razão entre as

direções dos dois vetores. Uma forma de resolver o problema é encontrar quantos números

diferentes são necessários par caracterizar esta razão. Podemos supor que um vetor OA possa

ser transformado em outro OB, e esta transformação possa ser separada em duas partes.

Primeiro o comprimento AO pode aumentar ou diminuir até ser igual ao de OB, sendo

que para determinar a razão entre os comprimentos precisamos de apenas um número, que

pode ser positivo ou negativo. Depois, AO pode ser girado em torno de um eixo perpendicular

que passa por O até que sua direção coincida com a de OB. Para determinar esta operação são

necessários três números: dois ângulos para determinar o plano em que ocorre a rotação e um

terceiro para determinar o ângulo AOB, como mostra a figura 1-11.

Ainda para Silva (2002), os quatro elementos usados para definir uma transformação

desta maneira não são todos de mesma natureza, pois é preciso um número para determinar o

comprimento, dois ângulos para determinar o plano que contem os dois vetores e um terceiro

Figura 1-10: Sistemas de Coordenadas no Plano e no Espaço.

Fonte: Butkov (1988) p. 2.

O A

B

Figura 1-11: Quociente de dois Vetores

Fonte: Silva (2002) pg. 67.

25

ângulo para levar AO até OB. Apesar de os elementos não serem todos números, Hamilton

chamou esse conjunto de quatro elementos de “quatérnion”, devido ao fato de sua completa

construção ou determinação depender de quatro elementos numéricos.

Ao passo que Hamilton desenvolveu a representação, que passava a ser algébrica,

percebemos que as notações passaram a ter um cunho cientifico e apresentar um grau de

complexidade elevado.

Silva (2002) afirma que, em uma carta escrita em 1843 para John T. Graves, Hamilton

narra os passos que o levaram aos quatérnions. Vamos seguir esta sequência descrita nesta

carta de Hamilton.

A tentativa de generalização natural para um número complexo representar algo no

espaço tridimensional seria . O uso de Hamilton da representação geométrica no

desenvolvimento da teoria de quatérnions pode ser visto no trecho abaixo: “Como , em

um sentido bem conhecido, é uma linha perpendicular à linha 1, parece natural que deva haver

outro imaginário para expressar a linha perpendicular a ambas anteriores; e como a rotação

dupla de 1 em relação a ela também conduz a -1, ela também deve ser a raiz quadrada da

unidade negativa, embora não deva ser confundida com a anterior. Chamado a antiga raiz,

como os alemães frequentemente fazem, de i, e a nova de j, questionei quais leis deveriam ser

assumidas para a multiplicação de com ”

Butkov (1988) nos traz uma melhor compreensão de como aplicamos atualmente os

números complexos. Ao estudarmos as raízes de equações algébricas, e, em particular, as

raízes das equações cúbicas, será conveniente introduzir o conceito de um número, cujo

quadrado é igual a . Segundo uma tradição já estabelecida, este numero é representado por

, e escrevemos = , e . Se permitirmos que seja multiplicado por números reais,

obteremos as regras usuais da multiplicação aos úmeros imaginários, deveremos então

concluir que os produtos de números imaginários são números reais; além disso, seus

quadrados são números reais negativos. Por exemplo:

, .

Se juntarmos os números imaginários aos números reais, teremos um sistema no qual

poderemos efetuar multiplicações e divisões (exceto por zero, naturalmente). Dizemos que um

sistema como esse é fechado, em relação à multiplicação e à divisão. No entanto, nosso

sistema não é fechado em relação à adição e à subtração. Para eliminar esta deficiência,

26

introduzimos os chamados números complexos. Estes são números geralmente escritos sob a

forma e devem obedecer as regras algébricas apropriadas.

Vemos aqui que tais estudos têm um cunho cientifico mais aprofundado e de

matemática pura.

Silva (2002), afirma que os quatérnions são uma extensão dos números complexos para

quatro dimensões, Hamilton usou a representação no plano complexo para explicar o

significado de , a partir da representação geométrica de um número complexo.

As obras de Hamilton que se limitaram, de certa forma, a operações com os números

complexos e a maior parte das aplicações dos quatérnions, era geométrica e não física. Isso foi

uma infelicidade, pois o interesse em quatérnions e análise vetorial era maior entre os físicos

que entre os matemáticos.

1.2.2. Função Vetorial e Operador Nabla

Para compreender o que estudamos nos dias atuais, devemos salientar que o uso dos

métodos de diferenciação juntamente com conceito de limites também eram utilizados e

foram importantes. O uso das funções estavam presentes juntamente com o cálculo vetorial,

que são apresentados a seguir.

As funções vetoriais servem como base para a utilização do cálculo vetorial,

utilizaremos o espaço para apresentar algumas propriedades importantes.

Para uma melhor compreensão Stewart (2006), afirma que em geral, uma função é uma

regra que associa cada elemento de seu domínio a um elemento de sua imagem. Uma função

vetorial, ou função de valor vetorial, é uma função cujo domínio é um conjunto de números

reais e cuja imagem é um conjunto de vetores. Em particular, estamos interessados nas

funções r, cujos valores são vetores tridimensionais. Isso significa que para todo número t no

domínio de r existe um único vetor denotado por Se , e são os

componentes do vetor r , então , e são funções de valor real, chamadas funções

componentes de r e escrevemos

Como na maioria das aplicações, a variável independente é o tempo, utilizaremos a letra

para indicá-la.

Apresentaremos aqui apenas definições do que são funções vetoriais e curvas espaciais,

para melhor compreensão consultar Stewart (2006) no capítulo 13.

27

Segundo Stewart (2006), o limite de uma função vetorial r é definido tomando-se os

componentes como se segue.

Definição 1:

Se então

desde que os limites das funções componentes existam.

Uma função vetorial r é contínua em a se .

Em vista da definição 1, vemos que r é contínua em a, se e somente se, suas funções

componentes f, g e h são continuas em a.

As curvas espaciais e as funções vetoriais contínuasestão intimamente relacionadas.

Suponha que f, g e h sejam funções reais contínuas em um intervalo I. Então o conjunto C de

todos os pontos no espaço para os quais:

Definição 2:

E varia no intervalo I é chamado curva espacial. As equações em (2) são denominadas

equações paramétricas de C e é conhecido como parâmetro. Podemos pensar em C como

tendo sido traçado pelo movimento de uma partícula cuja posição no instante t é

. Se considerarmos a função vetorial , então é

um vetor de posição do ponto sobre . Assim, qualquer função vetorial r

define uma curva espacial que é traçada pela ponta do vetor em movimento , como

podemos mostrar na figura 1-12

Para Silva (2002), um operador que chamamos atualmente de nabla, simbolizado por ,

foi definido em 1847 por Hamilton, representado por outro símbolo.

O estudo desse operador teve continuidade com Peter Tait (1831-1901) que dedicou 36

anos de sua vida à divulgação e desenvolvimento da análise dos quatérnions.

28

Para entender o que nos é apresentado atualmente, utilizamos um trecho apresentado

por Butkov (1988) onde o vetor mais simples é, talvez, um vetor posição que depende do

tempo t.

Em um sistema de coordenadas fixas isso equivale a dizer que suas componentes são

funções do tempo e escrevemos

.

Tais vetores podem ser diferenciados em relação à variável , por meio da definição

.

Se escrevermos e por meio de suas componentes é lógico deduzir que

de maneira que a operação de diferenciação de um vetor fica reduzida à diferenciação de suas

componentes. Mesmo que os vetores dependentes do tempo sejam muito usados na mecânica

das partículas, estaremos mais interessados em um outro tipo de vetores variáveis: aqueles

que dependem de coordenadas espaciais . Dizemos que tais vetores formam campos

vetoriais, que podem ser representados como segue:

.

Campos bem conhecidos são os campos elétricos e magnéticos no espaço, o campo

velocidade de um fluido em movimento e outros.

O mais simples de tais campos é provavelmente o chamado Campo Gradiente (é

também chamado de campo conservativo ou campo potencial)que pode ser obtido a partir de

Figura 1-12: é a reta traçada pelo movimento da ponta do

vetor de posição Fonte: Stewart (2006) p. 849.

29

uma só função escalar , geralmente chamada de campo escalar. Casos familiares de

campos escalares incluem a distribuição de temperaturas em um corpo sólido, a densidade de

um meio não homogêneo, o potencial eletrostático, etc.

Um campo escalar dá origem a várias outras quantidades por meio intermédio de suas

diferentes derivadas parciais. Em particular, concentramos nossa atenção em

a) a diferencial total

e

b) a derivada direcional

As expressões nos lados direitos das equações em (a) e (b) possuem aparência de m

produto escalar. É conveniente definir o gradiente de um campo escalar como

sendo o vetor

Podemos então escrever

onde representa um deslocamento infinitesimal em uma certa

direção e

é o vetor unitário da direção especificada.

Como todo campo escalar é diferenciável, possui um campo gradiente, é

natural perguntar se um campo vetorial arbitrário não será o

gradiente de um certo campo escalar . A resposta é negativa e isso se

tornara claro quando examinarmos as propriedades básicas dos campos

gradientes. Neste resumo, necessitamos de certas hipóteses sobre

diferenciabilidade de várias funções e sobre as propriedades analíticas das

curvas e superfícies envolvidas na análise vetorial. Mencionamos estas

hipóteses quando delas necessitamos. Em muitos casos podem ser

enfraquecidos e os resultados generalizados, mas nos limitaremos as

situações encontradas na física. (BUTKOV, 1988, p. 16).

30

Essa noção de campo sofreu transformações, após as descobertas de Hamilton, outros

nomes deram continuidade em seus estudos e trabalharam com essas hipóteses, para chegar

no que conhecemos hoje.

Para Silva (2002), Tait (1831-1901) aplica o operador a funções escalares e vetoriais,

como por exemplo, potencial de uma força, fluxo de calor, vetor deslocamento de um ponto e

um meio elástico, a força elétrica, corrente elétrica, etc. Tait (1831-1901) interpreta a parte

vetorial separada da parte escalar do operador aplicado a uma função vetorial.

Uma melhor compreensão do operador pode ser apresentada pelas derivadas

direcionais juntamente com o Vetor Gradiente que utilizamos hoje. Podemos complementar

as apresentações de Butkov (1988), com algumas definições. Utilizaremos aqui algumas

definições importantes, para uma melhor compreensão consultar exemplos contidos no

capitulo 14.6 de Stewart (2006).

Segundo Stewart (2006), lembremo-nos de que, se , as derivadas parciais

são definidas como

Definição 3:

e representam as taxas de variação de na direção dos eixos x e y, ou seja, nas direções dos

versores i e j.

Definição 4: A derivada direcional de em na direção do vetor unitário

é

se esse limite existir.

Comparando a definição 2 com (1), vemos que, se , então e se

, então . Em outras palavras, as derivadas parciais de com relação a

e são casos particulares da derivada direcional.

Stewart (2006), ainda nos traz que pelo teorema 3(p. 940 ), que se uma função

diferenciável em x e y, então tem uma derivada direcional na direção de qualquer versor

e

.

31

Por outro lado podemos escrever , onde , e

pela Regra da Cadeia, vem

Se o versor u faz um ângulo com o eixo positivo (como na figura 1-13), então

podemos escrever e a fórmula do teorema 3 fica

Com as definições e teoremas de derivada direcional podemos compreender melhor o

conceito de vetor gradiente, que é uma função vetorial especial devido suas diversas

aplicações.

Segundo Stewart (2006), note no teorema 3, que a derivada direcional pode ser escrita

como produto escalar de dois vetores( Stewart (2006),Fórmula 7 p. 942):

O primeiro vetor no produto escalar ocorre não somente no cômputo da derivada direcional,

mas também em muitas outras situações. Assim daremos a ele um nome especial (o gradiente

de f) e uma notação especial ( ou , que lemos “del ”).

Se é uma função de duasvariáveis e , o gradiente de é a função vetorial

definida por: (Stewart,2006.p. 943)

Figura 1-13: vetor unitário .

Fonte: Stewart (2006) p.938.

32

Com a notação de vetor gradiente, podemos reescrever a expressão (7) para derivada

direcional como

Que expressa a derivada direcional na direção de u como a projeção escalar do vetor

gradiente sobre u.

Estendemos aqui a noção do espaço de funções de três variáveis, que é semelhante ao

estudo com duas variáveis.

Stewart (2006) nos traz que, para as funções de três variáveis podemos definir derivadas

direcionais de modo semelhante. Novamente pode ser interpretado como a taxa

de variação da função na direção de um versor u.

A derivada direcional de uma função em na direção do vetor unitário

é

se o limite existir.(Stewart (2006), Definição10 p. 943).

Se usarmos a notação vetorial, poderemos escrever tanto a definição (2) quanto a (10)

da derivada direcional na forma compacta

Onde se e se . Isso era esperado porque a equação

vetorial da reta que passa por na direção do vetor u é dada por , e

portanto representa o valor de em um ponto dessa reta(Stewart, 2006. p.943).

Se for diferenciável e , então o mesmo método usado na prova do

Teorema 3 pode ser usado para mostrar que

(Stewart (2006), Fórmula 12

p.943).

Para uma função de três variáveis, o vetor gradiente, denotado por ou , é

ou, simplificando: (Stewart (2006) Fórmula 13 pg.943)

Então, como para as funções de duas variáveis, a Fórmula 12 para derivada direcional

pode ser escrita como

33

1.2.3 Vetores e Grandeza Vetorial

Para Silva (2002), Hamilton não foi o único que buscava um sistema formal de

descrição de entes geométricos no espaço em meados do século XIX. Pelo menos outras seis

pessoas de quatro países diferentes estavam desenvolvendo sistemas semelhantes ao cálculo

vetorial, embora diferentes do formalismo atual. São eles August Ferdinand Mobiüs (1790-

1868), Giusto Bellavitis (1803-1880), Hermann Günther Grassmann (1809-1877), Adhémar

Barré, Conde de Saint-Venant (1797-1886) Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) e o

reverendo Mathew O‟Brien (1814-1855). O mais importante de todos esses foi Grassmann,

cujo sistema foi publicado em sua obra Ausdehnungslehre de 1844.

Na sequência trazemos partes superficiais que apresentaram as idéias principais desses

grandes estudiosos. Definimos então o conceito de Grandeza Vetorial que nos dá a definição

da utilização dos vetores na física.

Segundo Sánchez (2007), define-se como vetor livre aquele que exige para sua perfeita

determinação três parâmetros: um número real, uma direção e um sentido. Se for vinculado a

uma reta tem-se um vetor deslizante. Para um vetor fixo tem-se um quarto parâmetro: o ponto

de aplicação.

As grandezas vetoriais são associadas a variedades matemáticas denominadas vetores,

que são geometricamente representados por segmentos orientados (setas). A figura (1-14a)

mostra um vetor sobre um eixo , definido por:

Em termos das coordenadas dos seis pontos extremos o seu módulo fica determinado

por:

Na concepção de Grassmann o conceito de vetor esta vinculado à idéia de transportar,

pois é tratado como um operador que transporta um ponto até um ponto ao longo da reta

que os une, numa direção e num sentido definido.

Essa definição pode ser ampliada para o espaço por meio da adoção de um sistema

cartesiano de referencia figura (1-14b). Admitindo-se que o ponto inicial situa-se sobre a

origem dos eixos, tem-se o vetor posição do ponto considerado, cujo módulo é dado por:

Onde

são as coordenadas do ponto extremo .

34

No caso mais geral em que o ponto inicial do vetor tem coordenadas

,

esse vetor fica definido por um par de ternos escalares figura (1-14.c).

Sendo que seu módulo dado por:

.

Com a introdução do sistema referencial cartesiano tem-se uma abordagem mais ampla

do estudo dos vetores, e o seu comportamento pode ser estudado usando-se os diversos tipos

de sistemas referenciais, o que permite exprimi-los em termos algébricos.

A afirmação, de Sánchez (2007),nos traz que na primeira metade do século XIX o

alemão Hermann Guther Grassmann (1809-1877), professor do segundo grau da cidade de

Stettin situada na região que pertencia a Pomerânia, e que atualmente faz parte da Polonia,

publicou o livro Die Lineale Ausdehnunsglehereinneuer Zweig der Mathematik (Teoria da

Extensão), no qual estuda uma geometria de mais de três dimensões, tratando dimensões, e

formulando uma generalização da geometria clássica. Para delinear essa geometria usou o

conceito de invariantes (vetores e tensores), o que possibilitou que outros estudiosos

desenvolvessem posteriormente o cálculo e a análise vetorial.

Ainda assim um ponto no espaço euclidiano de três dimensões fica definido por três

coordenadas, que podem ser expressas em sistema referenciais cartesianos, cilíndricos,

esféricos, etc. Os sistemas coordenados são adotados em função do tipo de estudo que se

Figura 1-14: Vetores: a) vetor deslizante sobre um eixo; b) vetor posição do ponto ; c)

vetor num sistema de referencia cartesiano.

Fonte: Sánchez (2007) p.59.

35

deseja realizar. Por exemplo, o deslocamento de um ponto sobre uma esfera fica mais fácil de

ser determinado ao se adotar as coordenadas esféricas. Porem, no caso de uma analise que

requer a determinação da interseção de planos, as coordenadas cartesianas são as aplicáveis.

A generalização para um número maior de dimensões não é uma abstração matemática,

mas uma necessidade para os problemas da geometria e da física.

O espaço com quatro dimensões, onde se tem as três coordenadas ordinárias do espaço

euclidiano de três dimensões mais a variável tempo, que é a quarta coordenada, é o

fundamento da teoria da Relatividade, onde se define o conceito de espaço-tempo.

A mecânica das estruturas apresenta diversos outros exemplos. Seja um elemento de um

pórtico plano, no qual cada um de seus nós extremos admite duas translações e uma rotação, e

a inclinação da barra fica determinada pelo seu co-seno diretor. O conjunto de barras no

espaço . De maneira geral um sistema mecânico com graus de liberdade define um

espaço .

As variáveis , relativas a um ponto , e relacionamos a um sistema

referencial , são denominadas de coordenadas do ponto nesse sistema de referência. O

conjunto de pontos associados de forma biunívoca às coordenadas do sistema de referencia

define o espaço dimensional .

Um subespaço , com M<N, é de igual modo um grupo de pontos relacionados

biunivocamente com as coordenadas definidas no sistema referencial . Por vezes é melhor

dividir o espaço em subespaços para facilitar alguns estudos específicos.

O espaço com dimensões é denominado espaço afim. Se a esse espaço é vinculada a

noção de distância entre dois pontos fica estabelecida uma métrica para o espaço é

denominado espaço métrico.

O que pudemos perceber até aqui é que os quatérnions, de Hamilton, serviram como

base para novas formulações dos fenômenos físicos. Os quatérnions em si não foram levados

adiante, mas, assim como o operador nabla, muitas de suas idéias foram utilizadas.

Uma dessas idéias hoje nos dá a noção de espaço e segundo Butkov (1968), podemos

associar a um vetor u (do espaço) com o conjunto de três escalares , de tal

maneira que corresponderá a e corresponderá a

. Em geral, nenhuma de tais relações se verificará, se um vetor for caracterizado

por outros tipos de coordenadas, como as esferas ou cilíndricas.

Além disso, coordenadas cartesianas ortogonais dão origem a fórmulas muito simples

para outras quantidades usuais associadas a vetores, tais como

36

a) O comprimento (a grandeza) de um vetor:

b) Projeções de um vetor sobre eixos coordenados:

c) Projeção de um vetor em uma direção arbitrária definida pelo vetor s (fig. 1-15):

,

d) Produto escalar de dois vetores: ,

e) Produto vetorial: .

Para Silva (2002), Gibbs fez uma melhora nos trabalhos de Hamilton onde tentou obter

uma álgebra mais simples para expressões das relações da Geometria, Física, etc.

O interesse de Gibbs sobre eletricidade e magnetismo o levou ao Treatisede Maxwell,

onde percebeu que os quatérnions eram úteis para física matemática. Assim, a partir do

trabalho de Maxwell, Gibbs passou a estudar os quatérnions e depois fez exatamente o que

Maxwell havia declarado ser necessário em uma analise vetorial útil para tratar problemas

físicos, incorporando as questões que foram criticadas por Maxwell e também seu uso

discriminado de certos aspectos da teoria de quatérnions, como a soma de vetores, o produto

separado em parte escalar e vetorial e também o uso do operador .

Ao tratar produto entre vetores, Gibbs introduziu o “produto indireto” escrito como

e o “produto torcido” escrito como que correspondem aos atuais produto escalar e

produto vetorial. A relação entre esses produtos e o sistema de quatérnions pode ser expresso

por e . O produto completo (quaternônico) entre vetores seria

escrito como , mas Gibbs nunca fez esse tipo de

combinação e essa era justamente uma das principais criticas aos quatérnions.

Figura 1-15: Projeção de um vetor em uma direção arbitrária

definida pelo vetor .

Fonte: Butkov (1988) p. 3.

37

O produto direto entre e “é a quantidade escalar obtida pela multiplicação do

produto de suas magnitudes pelo cosseno do ângulo formado por suas direções”. O produto

torcido é uma quantidade vetorial, cuja “magnitude é obtida pela multiplicação das

magnitudes de e pelo seno de ângulo formado entre suas direções”. Sua direção é

perpendicular aos vetores e e o sentido é dado pela regra da mão direita.

38

2. O ESTUDO DOS VETORES COMO ESTRUTURANTE DO

CONHECIMENTO FÍSICO

A construção do conhecimento físico teve seu desenvolvimento em épocas distintas.

Podemos dividir mais facilmente as descobertas por temas.Neste capítulo iremos abordar de

forma não aprofundada os temas, de modo que tenhamos uma noção da aplicabilidade

vetorial, nos segmentos que serão apresentados.

Podemos afirmar é que as descobertas matemáticas não aconteceram juntamente com as

descobertas físicas. Segundo Pietrocola (2002), os fenômenos se apresentaram por

observações, e dessas observações foram feitas abstrações que possibilitaram uma elaboração

mais conceitual, esses conceitos em sua grande parte são apresentados matematicamente e

necessários para explicar tais fenômenos físicos.

Percebemos que a teoria física traz sempre idéias experimentais, de tal forma que a

ferramenta matemática influi na representatividade que quantifica o estudo, isso possibilita

uma fundamentação científica. Na construção do conhecimento já se verifica a necessidade

dos estudos dos conceitos matemáticos e não é diferente a idéia trazida por Pietrocola (2002),

A formação para a pesquisa leva em conta o fato da Matemática estar

alojada, em definitivo, no corpo das ciências, produzindo currículos

universitários com forte ênfase em conteúdos matemáticos. A situação

parece se encaminhar para soluções de pré-requisitos profissionais: para

fazer Física há de saber Matemática, então vamos ensiná-la! Porém, a

questão colocada dessa forma mascara o problema de saber como a

Matemática deve ser ensinada e, portanto, aprendida no contexto da Física.

As eventuais soluções devem se apoiar em uma análise mais profunda sobre

as relações que a Física entretém com a matemática, que implicam em

posturas didático-pedagógicas complementares diferentes. (PIETROCOLA,

2002, p.89)

Em nosso trabalho como já dissemos vamos nos ater em aplicações vetoriais, mas, vale

ressaltar essa importância que existe na relação entre Física e Matemática, que contribui para

o desenvolvimento do conhecimento científico.

2.2. Vetores e Suas Aplicações em Conceitos Físicos:

2.2.1. Na Mecânica

39

Tomaremos como partida a Física Mecânica onde são estabelecidas as leis de

movimentos dos corpos.Segundo Boyer (2003), um dos precursores desse estudo foi Isaac

Newton nascido na cidade inglesa de Whoolsthorp, Lincolnshire, no dia 25 de dezembro de

1642, exatamente 11 meses após a morte de Galileu. Newton faleceu em Londres no dia 20 de

março de 1727.

Para Halliday, Resnick e Walker (2002a), Newton em suas descobertas estabeleceu três

leis, elas são as seguintes:

1. Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou movimento retilíneo

uniforme a não ser que seja obrigado, por uma força, a mudar de tal estado.

2. Mudança de movimento é proporcional à força aplicada e ocorre na direção da

força.

3. A cada ação corresponde sempre a uma reação em sentido oposto, ou seja, as

ações mutuas de dois corpos são sempre iguais, em módulo, e com sentidos opostos.

Para Halliday, Resnick e Walker(2002a), a primeira Lei de Newton, está presente

puramente pela experimentação onde é apresentado fenômeno do movimento, utilizamos um

exemplo como afirmativa

Se você fizer um disco de borracha deslizar em um piso de madeira, onde ele

realmente diminui de velocidade e depois pára. Se você quiser fazer ele se

mover no piso com velocidade constante, devemos empurrá-lo

constantemente.

Entretanto, fazendo um disco de borracha deslizar sobre o gelo de um rinque

de patinação, ele irá muito mais longe. Podemos imaginar uma superfície

longa, extremamente escorregadia (chamada de superfície sem atrito),

sobre a qual o disco dificilmente diminuiria de velocidade. (Podemos de fato

chegar perto desta situação em laboratório, fazendo um disco de borracha

deslizar sobre a mesa de ar horizontal, através da qual ele se move sobre uma

fina camada de ar.)

Concluímos destas observações, que um corpo continuará a se mover com

velocidade se nenhuma força agir sobre ele. Isso nos leva a primeira das três

leis de Newton: Se não houver forças atuando sobre um corpo, então a

velocidade do corpo não pode variar; ou seja, o corpo não pode estar

acelerado(HALLIDAY, RESNICK e WALKER 2002a, p. 72).

Em outras palavras, se o corpo estiver em repouso, ele permanece em repouso. Se ele

estiver se movendo, ele continuará se movendo com a mesma velocidade (mesmo módulo,

mesma direção e sentido).

A Primeira Lei de Newton descreve uma propriedade comum a toda matéria: a inércia.

Ela afirma um corpo em movimento descreve uma trajetória retilínea com velocidade

constante a menos que alguma influência chamada força impeça de fazê-lo. O fato de um

40

corpo se mover ou não em linha reta com velocidade constante depende não somente de

influencias externas (forças), mas também do sistema utilizado para descrever o movimento.

Uma das entidades que precisam ser definidas matematicamente é a força. Na primeira

Lei de Newton fica explicita a necessidade de sua representatividade que quando evidenciada

proporciona as relações entre as forças sobre um corpo e quantifica o estudo dos movimentos.

Quando quantificada a força a primeira Lei de Newton pode descrita como: Se não há força

resultante agindo sobre um corpo , então a velocidade do corpo não pode se alterar;

ou seja, o corpo não pode estar acelerado.2 3

A segunda Lei de Newton com base nas experiências do dia-a-dia nos diz que uma força

produz diferentes intensidades de aceleração para corpos diferentes. A segunda lei de Newton

sintetiza as definições de massa e deslocamento assim como experimentos e observações

nesse sentido onde; a força resultante sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo

pela aceleração do corpo. Em forma de equação temos:

(2.1)

Segundo Halliday, Resnick e Walker (2002a), esta equação é simples, mas deve ser

usada com cautela. Em primeiro lugar, devemos ter certeza sobre o corpo ao qual estamos

aplicando essa equação. Então deve ser a soma vetorial de todas as forças que atuam

sobre esse corpo. Apenas forças que atuam sobre esse corpo devem ser incluídas na soma

vetorial, não forças que atuam sobre outros corpos que poderiam estar envolvidos na situação

dada.

Ainda para Halliday, Resnick e Walker (2002a), como outras equações vetoriais, a

equação (2.1) é equivalente a três equações de componentes, cada uma escrita para cada eixo

de um sistema de coordenadas :

. (2.2)

Cada uma dessas equações relaciona a componente da força resultante ao longo do eixo

com a aceleração ao longo do mesmo eixo. Por exemplo, a primeira equação nos diz que a

soma de todas as componentes de força ao longo do eixo causa a componente da

aceleração do corpo na direção , mas não causa nenhuma aceleração nas direções e . Por

sua vez, a componente de aceleração é causada apenas pela soma das componentes de

força ao longo do eixo . De uma forma geral, a componente de aceleração ao logo de um

eixo é causada apenas pela soma das componentes de força ao longo de qualquer outro eixo.

2 A unidade de força utilizada nesta sessão é o sistema MKS.

3 Para uma melhor compreensão consultar Halliday, Resnick e Walker (2002a), p. 72.

41

Aqui verificamos que as teorias físicas que são expressas apenas por afirmativas, ficam

de certa forma difíceis de compreender, então de maneira clara necessitamos expressar as

coordenadas que propiciem a noção de espaço, e dessa forma a concepção física fica mais

bem expressa com o formalismo matemático.

Apresentamos aqui um exemplo para expressar melhor a representação cartesiana

bidimensional onde ficam representadas algumas propriedades vetorias. Temos então o

exercício apresentado por Halliday, Resnick e Walker (2002a), em um cabo-de-guerra

bidimensional, Alex, Betty, e Charles puxam na horizontal um pneu de automóvel, segundo

ângulos mostrados na vista superior mostrada na figura . O pneu permanece imóvel

apesar dos três puxões. Alex com uma força de módulo , e Charles puxa com uma

força de módulo . A direção de não é mostrada. Qual é o módulo da força de

Betty ?

Solução: como as três forças que puxam o pneu não aceleram sua aceleração é

(ou seja, as forças estão em equilíbrio). A Idéia Fundamental aqui é que podemos relacionar

essa aceleração com a força resultante sobre o pneu por meio da segunda lei de Newton

, que pode ser escrita como

Figura 2-16: (a) Uma vista de cima de três pessoas puxando um pneu. (b) Um diagrama de corpo livre para o pneu.

Fonte: HallidayResnick e Walker (2002a) vl. 1 p.76.

ou

42

O diagrama de corpo livre para o pneu pode ser visto na figura (2-16), onde centramos por

conveniência um sistema de coordenadas no pneu e denominamos o ângulo .

Extraindo da figura 2-17 a parte (b), verificamos toda a construção matemática de um

fenômeno físico, com a construção bidimensional, com as relações de ângulo e operações

básicas dos vetores em que atuam como forças.

Ainda em relação ao exercício, segundo Halliday, Resnick e Walker (2002a), Queremos

determinar o modulo de . Apesar de conhecermos tanto o módulo como a direção e sentido

de , conhecemos apenas o módulo de e ignoramos sua direção e sentido. Portanto, com

incógnitas nos dois lados da equação (2.3), não conseguimos resolvê-la diretamente em uma

calculadora capaz de realizar operações vetoriais. Em vez disso, devemos reescrever a

equação (2.3) na direção do eixo ou do eixo . Como está na direção do eixo ,

escolhemos esse eixo e escrevemos

Calculando estas componentes com seus ângulos usando o ângulo

para , obtemos

que, com os dados fornecidos para os módulos, resulta em

Entretanto, não conhecemos .

Podemos achá-lo reescrevendo a equação (2.3) para o eixo como

Figura 2-17: Parte (b) da figura 2-17. Um diagrama de corpo

livre para o pneu.

Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2002a) vl. 1 p.76

43

E daí como

Que fornece

e

Inserindo esta equação na equação (2.3), achamos

(Resposta).

Segundo Halliday, Resnick e Walker (2002a), a equação 2.1 nos diz que se a força

resultante sobre um corpo for nula, a aceleração do corpo . Se o corpo estiver em

repouso, ele permanece em repouso; se ele estiver se movendo, ele continua a se mover com

velocidade constante. Em tais casos, quaisquer forças atuantes sobre o corpo se equilibram

entre si, e diz-se que as forças se cancelam, mas a expressão “se cancelam” pode ser mal

interpretada. Ela não significa que as forças deixam de existir (cancelar forças não é com

cancelar reservas para o jantar). As forças continuam a atuar sobre o corpo.

Os estudos que são aliados às operações vetoriais trazidas pelo estudo de uma grandeza,

representam as características físicas através da noção geométrica do sistema cartesiano, isso

nos remete aos estudos de Grassmann que são apresentadas no capítulo 1 deste trabalho.

A terceira lei de Newton fica definida pela interação entre dois corpos, segundo

Halliday, Resnick e Walker (2002a), quando dois corpos interagem, a força provocada por um

dos corpos sobre o outro é sempre igual em módulo, possui a mesma direção e sentido

contrário à força que o outro corpo exerce sobre ele.

Queremos aplicar tais definições na representação na descrição de movimentos que

necessitam da noção de espaço e Força. Baseando-se nas Leis de Newton, podemos apresentar

várias de suas aplicações e expressar a contingência vetorial em suas fórmulas.

Para Halliday, Resnick e Walker (2002a), o atrito mostra-se experimentalmente que

quando um corpo seco não lubrificado comprime uma superfície na mesma condição uma

força tenta deslizar o corpo ao longo da superfície, a força de atrito que surge possui três

propriedades:

Propriedade 1. Se o corpo não se move, então a força de atrito estático e a componente de

que é paralela à superfície se equilibram. Elas possuem o mesmo módulo e esta na mesma

direção, mas com sentido contrario ao da componente de .

44

Propriedade 2. O módulo de possui um valor máximo que é dado por

Onde é o coeficiente de atrito estático e N é o módulo da força normal que a superfície

exerce sobre o corpo. Se o módulo da componente de que é paralela à superfície exceder

, o corpo começa a deslizar ao longo da superfície.

Propriedade 3. Se o corpo começar a deslizar ao longo da superfície, o módulo da força de

atrito diminui rapidamente para um valor dado por

Onde é o coeficiente de atrito cinético. A partir daí, durante o deslizamento, uma força de

atrito cinético com módulo dado pela equação (2.5) se opõe ao movimento.

As equações (2.5) e (2.6) não são equações vetoriais: a direção ou é sempre

paralela à superfície e no sentido contrario à tentativa de deslizamento, e a força normal é

sempre perpendicular à superfície. Halliday, Resnick e Walker (2002a) faz uma comparação

onde ele descreve que:

Os coeficientes e são dimensionais e devem ser determinados

experimentalmente. Seus valores dependem de certas propriedades, tanto

corpo quanto superfície; por isso, eles são normalmente usados com a

preposição “entre”, como em “o valor de entre um ovo e uma frigideira

revestida de teflon é de 0,04, mas entre sapatos de rock climbing4e uma

rocha pode chegar a 1.2”. Supomos que o valor de não depende da

velocidade com que o corpo desliza sobre a superfície. (HALLIDAY,

RESNICK e WALKER 2002ª, p. 99).

Tomemos como exemplo o problema trazido por Halliday, Resnick e Walker (2002a), a

figura (2-18) mostra uma moeda de massa em repouso sobre um livro, que foi inclinado de

um ângulo em relação à horizontal. Experimentalmente, verifica-se que quando

aumentamos até de inclinação, a moeda fica na iminência de deslizar sobre o livro, ou

seja, mesmo um ligeiro acréscimo que faça ultrapassar produz deslizamento. Qual é o

coeficiente de atrito estático entre a moeda e o livro?

4Esporte que consiste em escalar superfícies rochas íngremes.

45

Trazemos aqui outro exemplo de Halliday, Resnick e Walker (2002a) onde a força que é

o Movimento Circular Uniforme, definido quando um corpo se move em circulo (ou arco de

círculo) com velocidade constante , dez-se que ele está em movimento circular uniforme.

Lembre-se também de que o corpo possui uma aceleração centrípeta (em direção ao centro do

círculo), com intensidade constante dada por

(aceleração centrípeta), (2.6)

Onde é o raio do círculo.

Uma força centrípeta acelera um corpo, modificando a direção do seu vetor velocidade,

sem modificar a velocidade escalar com que o corpo se move.

Figura 2-18:Uma moeda na eminência de

deslizar de um livro.

Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2002a) v.

1 p.99.

Figura 2-19:Um diagrama de corpo livre para a moeda, mostrando as

três forças (desenhadas em escala) que agem sobre ela.

Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2002a) v. 1 p.99.

46

Da segunda lei de Newton e da equação (2.6), podemos escrever a intensidade de uma

força centrípeta (ou de uma força centrípeta resultante) como:

(módulo da força centrípeta). (2.7)

Como a velocidade escalar neste caso é constante, os módulos da aceleração e da força

também são.

Entretanto, as direções da aceleração e da força centrípeta não são constantes; elas

variam continuamente de forma a sempre apontar para o centro do círculo. Por esta razão, os

vetores força e aceleração são, às vezes, desenhados ao longo de um eixo radial que se move

com o corpo e sempre se estende do centro do circulo para o corpo, como na figura (2-20). A

direção do eixo é radial e o sentido positivo é para fora, mas os vetores força e aceleração

apontam para dentro na direção radial.

Das leis de Newton ainda temos a Energia Cinética e o Trabalho, que são estabelecidas

por Halliday, Resnick e Walker (2002a) da seguinte forma:

A Energia Cinética é a energia associada ao estado de movimento de um objeto.

Quanto mais rapidamente um objeto estiver se movendo, maior será a sua energia cinética.

Quando o objeto está em repouso, sua energia cinética é nula.

Para um objeto de massa cuja velocidade é bem inferior à velocidade da luz,

definimos sua energia cinética como

(energia cinética). (2.8)

Figura 2-20: Uma vista de cima de um disco de hóquei de massa m se movendo com velocidade

constante em uma trajetória circular de raio sobre uma superfície horizontal lisa. A força

centrípeta sobre o disco é , a tração da corda, dirigida para dentro do circulo ao longo do eixo

radial que se estende passando pelo disco.

Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2002a) v.1 p.102.

47

O trabalho fica definido a partir da energia cinética, pois segundo Halliday (2002), se

você acelera um objeto aplicando ao objeto uma força, você aumenta a sua velocidade e,

portanto, a sua energia cinética

. De forma análoga, se você desacelera o objeto

aplicando uma força, você reduz a sua velocidade e sua energia cinética. Levamos em conta

estas variações de energia cinética dizendo que a sua força transferiu energia de você para o

objeto ou do objeto para você.

Em tal transferência de energia por meio de uma força, diz-se que a força realiza

trabalho sobre o objeto. De uma maneira mais formal, definimos da seguinte forma: O

trabalho é a energia transferida para ou de um objeto por meio de uma força atuando no

objeto. A energia transferida para o objeto é um trabalho positivo, e a energia retirada do

objeto é um trabalho negativo.

Aqui percebemos que tanto o Trabalho quanto a Energia Cinética são grandezas

escalares e a determinação de uma expressão para o trabalho pode ser dada por uma conta5

que pode deslizar ao longo de um fio sem atrito, que é esticado ao longo de um eixo

horizontal figura (2.4). Uma força

Constante , fazendo um ângulo com a direção do fio, acelera a conta ao longo do fio.

Podemos relacionar a força com a aceleração usando a segunda lei de Newton, escrita para as

componentes ao longo do eixo :

.

5 Pequena esfera com orifício por onde passa fio.

Figura 2-21: Uma força constante fazendo um ângulo com o deslocamento de uma conta e um

fio acelera a conta ao longo do fio, alterando a velocidade da conta de para . Um “medidor de energia cinética” indica a variação resultante da energia cinética da conta, do valor para .

Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2002a) v. 1 p.115.

48

2.2.2. Na Ondulatória

Também podemos encontrar aplicações vetoriais nos estudos de Ondas e Partículas,

ressaltando as características da mecânica newtoniana nessas aplicações. Existem três tipos de

ondas que são: Ondas mecânicas, Ondas eletromagnéticas e ondas materiais. Trazemos nesta

sessão suas principais características e as aplicações vetoriais.

Segundo Halliday, Resnick e Walker (2002b), ondas mecânicas são as mais familiares

porque as encontramos praticamente o tempo todo; exemplos comuns incluem as ondas na

água, as ondas sonoras e as ondas sísmicas. Todas estas ondas possuem certas características

centrais: elas são governadas pelas leis de Newton e pode existir apenas dentro de um meio

material, como a água, o ar e as rochas.

Uma maneira de estudar as ondas é monitorar as formas de onda (formato das ondas)

quando elas se movem para a direita. Outra possibilidade é monitorar o movimento de um

elemento que oscila para cima e para baixo enquanto uma onda passa por ele. Concluiríamos

que o deslocamento de todos estes elementos de onda que estão oscilando é perpendicular a

direção de propagação da onda. Diz-se que este movimento é transversal e que a onda é uma

onda transversal figura (2.5).

Com base em Halyday, Resnick e Walker (2002b),para descrevermos completamente

uma onda, precisamos de uma função que nos dê a forma da onda. Isto significa que

precisamos de uma relação da forma , na qual é o deslocamento transversal de

qualquer elemento de corda como uma função do tempo e da posição do elemento ao

Figura 2-22: Onda senoidal.

Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2002b) v. 2. p. 95.

49

longo da sua trajetória senoidal. Em geral, uma forma senoidal semelhante a onda pode ser

descrita sendo uma função seno ou uma função cosseno; ambas fornecem a mesmo forma

geral para onda. Usaremos a função seno para nossas representações.

Imagine uma onda senoidal como o da figura (2-22) se propagando no sentido positivo

de um eixo . Quando a onda passa por elementos sucessivos (isto é, seções muito curtas) da

linha, os elementos oscilam paralelamente ao eixo . No instante do tempo , o deslocamento

localizado na posição é dado por

(2.9)

Como esta equação é escrita em termo da posição , ela pode ser usada para

encontrarmos os deslocamentos de todos os elementos da linha em função do tempo.

Portanto, ela pode nos dizer o formato da onda em qualquer tempo dado e como esse formato

varia quando a onda se move ao longo da corda. Os nomes das grandezas na equação 2.9 são

exibidos na figura (2-23) e definimos a seguir.

A amplitude de uma onda é a intensidade do deslocamento máximo dos elementos a

partir das suas posições de equilíbrio quando a onda passa por eles. (O índice significa

máximo.) como é uma intensidade, ela é sempre uma grandeza positiva, mesmo se ela for

medida para baixo, em vez de ser medida para cima.

Para Halliday, Resnick e Walker (2002b), a fase da onda é o argumento da

função seno na equação (2.9) quando a onda passa por um elemento de linha em uma posição

Figura 2-23: Os nomes das grandezas da equação (2.9), para uma onda senoidal

transversal.

Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2002b) v. 1. p. 95.

50

particular , a fase varia linearmente com o tempo . Isto significa que o seno também varia,

oscilanto entre e . Seu valor positivo extremo corresponde a um pico da onda se

movendo através do elemento; então, o valor de na posição é – . Seu valor negativo

extremo corresponde a um vale se movendo através do elemento; então, o valor de na

posição é – . Desse modo, a função seno e a fase de uma onda dependente do tempo

correspondem à oscilação de um elemento de corda, e a amplitude da onda determina os

extremos do deslocamento do elemento.

O comprimento de onda de uma onda é a distância (paralela à direção de propagação

da onda) entre repetições da forma da onda. Um comprimento de onda típico está marcado na

figura 2.6, que é um instantâneo da onda no instante . Naquele instante, a equação 2.9

fornece, para a descrição da forma da onda,

Por definição, o deslocamento é o mesmo nas duas extremidades deste comprimento

de onda – isto é, em e em , assim pela equação 2.9

. (2.10)

Uma função seno começa a se repetir quando o seu ângulo (ou argumento) é aumentado

de rad, portanto na equação 2.10 devemos ter , ou

(numero de onda angular). (2.11)

Figura 2-24:“Instantâneo” de uma onda em uma corda se propagando no sentido

positivo de um eixo . A amplitude está associada. Um comprimento , medido

a partir de uma posição arbitrária .

Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2002b) v. 2. p. 95.

51

Chamamos de de número de onda angular da onda; sua unidade no SI é o radiano por

metro.

Halliday, Resnick e Walker (2002b), afirma que estabelecidas as propriedades de uma

onda podemos representá-la vetorialmente com um fasor. Que essencialmente é um vetor

possuindo intensidade igual a amplitude da onda e que gira ao redor de uma origem; a

velocidade angular do fasor é igual à freqüência angular da onda. Por exemplo, a onda

. (2.12)

é representada pelo fasor mostrado na figura 2.7. A intensidade do fasor é a amplitude da

onda. Quando o fasor gira ao redor da origem a uma velocidade angular , sua projeção

sobre o eixo vertical varia senoidalmente, de um máximo de passando por zero até o

mínimo de – e então de volta . Esta variação corresponde à variação senoidal no

deslocamento de qualquer ponto ao longo da corda quando a onda passa por ele.

Ainda para Halliday, Resnick e Walker (2002b), quando duas ondas se propagam ao

logo da mesma corda no mesmo sentido, podemos representá-las e a sua onda resulta em um

diagrama fasorial. Os fasores da figura 2-25 representam a onda da equação (2.12) e uma

segunda onda dada por

. (2.13)

Esta segunda onda esta defasada da primeira onda por uma constante de fase . Se

for uma grandeza positiva, o fasor para a onda 2 estará atrasado em relação ao fasor para a

onda 1 quando eles giram, como desenhado na figura (2-26). Se for uma grandeza negativa,

o fasor para a onda 1.

Figura 2-25: um fasor de intensidade girando em torno de uma origem a uma

velocidade angular representa uma onda senoidal. A projeção do fasor sobre o eixo

vertical representa o deslocamento de um ponto pelo qual passa a onda.

FonteHalliday, Resnick e Walker (2002b) vl. 2. p.105.

52

Como as ondas e possuem o mesmo número de onda angular e a mesma

frequência angular , sabemos da interferência de onda a equação (2.14)

(2.14)

que a sua resultante é da forma

(2.15)

onde é a amplitude da onda resultante de é a sua constante de fase. Para encontrarmos os

valores de e , teríamos que somar as suas duas ondas que estão se combinando.

Para fazermos isto em um diagrama fasorial, somamos vetorialmente os dois fasores em

qualquer instante durante a sua rotação, como na Figura (2-26)b, onde o fasor foi

deslocado para a ponta do fasor . A intensidade da soma vetorial é igual à amplitude

na equação (2.15). O ângulo entre o vetor soma e o fasor para é igual à constante de fase

na equação (2.15).

Nesta seção verificamos a relação vetorial para combinarmos ondas mesmo que suas

amplitudes sejam diferentes, dessa forma fica explicito o uso dos estudos vetoriais na

construção dos conceitos e suas representatividades relacionando toda a parte angular e

projeção de um vetor.

Figura 2-26: (a) Um segundo fasor com velocidade angular , mas com intensidade e girando a um ângulo

constante do primeiro fasor, representa uma segunda onda, como uma constante de fase . (b) A onda resultante

das duas ondas é representada pela soma vetorial dos dois fasores. A projeção sobre o eixo vertical representa o

deslocamento de um ponto quando essa onda resultante por ele.

Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2002b) v. 2. p.105.

53

2.2.3. Na Eletricidade

Segundo Silva (2002), atualmente os físicos utilizam dois sistemas dimensionais para

tratar a teoria eletromagnética: o sistema eletrostático e o sistema eletromagnético. Os físicos

também estão acostumados com a idéia de que a escolha entre os sistemas é arbitraria e se

relaciona apenas com as unidades nas quais as grandezas são expressas.

Apresentamos aqui alguns estudos feitos por Maxwell que são trazidospor Silva (2002),

onde ficam expressas noções particulares das representações vetoriais na eletricidade.

Para Silva (2002), as intensidades eletromotrizes e magnéticas pertencem à classe de

grandezas definidas em relação a uma linha, por isso Maxwell se refere a elas como

Intensidades. A indução elétrica e magnética e as correntes elétricas pertencem à classe dos

fluxos e são definidas em termos de áreas. Cada uma das intensidades produz um respectivo

fluxo:

Assim, a intensidade eletromotriz produz corrente elétrica em condutores e tende a

produzi-la em dielétricos. [...] Da mesma forma, a intensidade magnética produz indução

magnética.

De acordo com Silva (2002) Maxwell identificou certas relações de fluxo-intensidade

relevantes para a teoria eletromagnética. Por exemplo: em um dielétrico, o deslocamento

elétrico é um fluxo produzido pela intensidade elétrica E. O deslocamento elétrico é

definido como a quantidade de eletricidade que atravessa uma a área perpendicular a e é

dada pela expressão

Embora essa expressão seja idêntica à usada atualmente, seu significado é bastante

diferente, Maxwell interpretou como um fluxo de cargas provocado pelo campo elétrico e

não como um campo do mesmo tipo que , multiplicado por uma constante.

Essa distinção entre vetores do tipo intensidades e fluxos, só faz sentido dentro do

espírito da teoria de Maxwell que associa as grandezas eletromagnéticas com grandezas

mecânicas de um éter em movimento e que, portanto, poderiam estar associadas a

deslocamentos, velocidades e fluxos.

Em seguida Maxwell introduz uma segunda distinção, entre vetores com propriedades

longitudinais e propriedades rotacionais. Essa distinção continua sendo utilizada atualmente

(no entanto, com um sentido mais abstrato). Hoje em dia nos referimos às “propriedades de

54

simetria” dos vetores e não associamos os vetores a translações e rotações de nenhum meio

físico.

Maxwell comentou que esta segunda divisão entre as grandezas vetoriais “embora

muito importante de um ponto de vista físico, não é necessariamente observada considerando-

se métodos matemáticos”.

Ainda para Silva (2002), como exemplo disso, temos a lei circuital de Ampère escrita na

forma diferencial discutida por Maxwell na parte IV do artigo “Physical Lines”. A expressão

matemática relaciona a corrente com campo magnético: são as componentes do vetor

densidade da corrente elétrica, são as componentes cartesianas do vetor intensidade do

campo magnético:

, etc.

Para ilustrar o profundo significado dessas equações, Maxwell listou uma série de

exemplos mecânicos para os quais essas equações poderiam ser aplicadas:

1) Se representam deslocamentos lineares ou mudanças de posição, então

representam deslocamentos rotatórios ou mudança de posição angular.

2) Se representam velocidades lineares, então representam velocidades

angulares.

3) Se representam forças então representam um torque ou torção.

De uma maneira geral, se representam quantidades lineares, então

representam quantidades rotatórias. Essas equações representam um tipo de relação entre

fenômenos de caráter rotatório com fenômenos de caráter linear e vice-versa.

Com base em Halliday, Resnick e Walker (2003),podemos determinar os conceitos

matemáticos na eletricidade pela lei de Coulomb que traz a força eletrostática de atração ou

repulsão entre as partículas como a fórmula

(lei de Coulomb), (2.16)

que são duas partículas carregadas com intensidades de cargas e separadas por uma

distancia . A força eletrostática entre elas fica definida pela equação (2.16) onde é uma

constante.

Essa determinação necessita de estabelecer um sistema referencial com um estudo

vetorial que é a Força e dessa forma estabelecer propriedades matemáticas.

Temos os campos elétricos determinados por

(campo elétrico), (2.17)

55

as forças reagem de acordo com a carga elétrica, são determinadas as linhas de campo que

proporciona a visualização de padrões em campos elétricos. Linhas de campo elétrico se

estendem para fora de uma carga positiva (de onde elas se originam) e em direção a uma

carga negativa (onde elas terminam).

Trazemos dessa forma por Halliday, Resnick e Walker (2003), uma ilustração dos

vetores de campo elétrico em vários pontos ao redor de uma carga pontual positiva.

(carga pontual) (2.18)

A direção e sentido de são os mesmo que os da força sobre a carga de teste positiva:

na direção que une as cargas e se afastando da carga pontual se for positiva, e voltada para

ela se for negativa.

Como não há nada especial em relação ao ponto que escolhemos para , a equação

(2.18) fornece o campo em todos os pontos o redor da carga pontual . O campo para uma

carga pontual positiva é mostrado na figura (2-27) na forma vetorial (não com linhas de

campo).

Podemos determinar rapidamente o campo elétrico resultante devido a mais do que uma

carga pontual. Se colocarmos uma carga teste positiva próximo a cargas pontuais

, então, da equação (2.19)

, (2.19)

a força resultante das cargas pontuais que agem sobre a carga de teste será

Figura 2-27: Os vetores de campo elétrico em vários pontos ao redor de uma carga

pontual positiva.

Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2003) v. 3 p. 19.

56

.

Portanto, da equação (2.17), o campo elétrico resultante na posição da carga teste é

. (2.20)

Nesta equação, é o campo elétrico que seria estabelecido pela carga pontual atuando

sozinha. A equação (2.20) nos mostra que o principio da superposição se aplica tanto a

campos elétricos quanto forças eletrostáticas.

Para melhor relacionarmos os estudos matemáticos com estudos físicos trazemos aqui

um problema que, segundo Halliday, Resnick e Walker (2003), apresenta três partículas com

cargas e , cada uma delas a uma distancia da origem.

Qual o campo elétrico resultante produzido na origem?

A idéia fundamental neste problema é que as cargas e produzem vetores de

campo elétrico e , respectivamente, na origem, e que o campo elétrico resultante é a

Figura 2 - 28: Três partículas com cargas e estão à mesma distância da origem. Os

vetores campo elétrico e na origem devidos ás três partículas. O vetor campo elétrico

e a soma vetorial na origem.

Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2003) v.3 p.19.

57

soma vetorial . Para encontrarmos esta soma, devemos determinar primeiro

as intensidades e orientações dos três vetores de campo. Para determinarmos a intensidade de

, causada por , usamos a equação (2.18), substituindo por e por , obtendo

.

Analogamente, concluímos que os módulos dos campos e são

e

.

Em seguida devemos determinar as orientações dos três vetores de campo elétrico na

origem. Como é uma carga positiva, o vetor de campo que ela produz se afasta dela na

direção que as une à origem, e como e são ambas negativas, os vetores de campo que

elas produzem apontam para cada uma delas na direção que as une à origem. Assim, os três

campos elétricos produzidos na origem pelas três partículas carregadas estão orientados como

na figura (2-28 b).6

Podemos agora somar os campos vetorialmente. Neste caso, entretanto, podemos usar

simetria para simplificarmos o procedimento. Da figura (2-28 b), vemos que e possuem a

mesma direção e o mesmo sentido. Consequentemente, seu vetor soma possui essa direção,

esse sentido e uma intensidade

que neste caso é igual à intensidade do campo .

Devemos agora combinar dois vetores, e o vetor soma , que possuem a

mesma intensidade e que estão orientados simetricamente em relação ao eixo , como

mostrado na figura (2-28 (c)). Da simetria da figura (2-28(c)), percebemos que as

componentes de mesma intensidade dos nossos dois vetores se cancelam e que as

componentes , também de mesma intensidade, se somam. Assim, o campo elétrico resultante

na origem esta no sentido positivo da direção do eixo e e possui intensidade

.

Com isso verificamos que essas grandezas podem ser expressas em um sistema que

utiliza uma combinação de vetores para formalizá-las e representar matematicamente os

estudos físicos, apreciando assim essa necessidade matemática e suas propriedades.

6Podemos observar que são colocadas as extremidades posteriores dos vetores no ponto onde os campos elétricos

estão sendo computados; ao fazer isso, diminui a chance de errarmos.

58

Segundo Silva (2002), os conceitos de eletromagnetismo foram trazidos, por Maxwell, a

partir de distinções das grandezas físicas por meio de diferentes grandezas matemáticas que as

representam. A primeira divisão utilizada por Maxwell é a distinção entre grandezas escalares

e vetoriais feita por Willian Hamilton.

Ainda para Silva (2002), além de vetores Maxwell distingue outra grandeza relacionada

com direções espaciais que, em linguagem moderna, são os tensores.7Maxwell, introduz

distinções entre grandezas vetoriais. Uma delas diferencia os vetores referentes à linha e os

vetores referentes a áreas.

Maxwell concluiu que o fenômeno magnético deve ser do tipo rotatório e a força

elétrica deve ser do tipo longitudinal a partir de vários argumentos.

Quatro tipos de evidência contribuíram para Maxwell concluir que o magnetismo é

rotatório:

1) os efeitos lineares da corrente como eletrólise;

2) falta de efeitos rotatórios da corrente elétrica;

3) falta de efeitos lineares no magnetismo;

4) efeitos rotatórios no magnetismo, com a rotação do plano e polarização da luz.

Ainda segundo silva (2002), para Maxwell a natureza do campo eletromagnético

deveria ser mecânica e as equações que descrevem as relações eletromagnéticas seriam as

expressões de condições mecânicas. No entanto, a estrutura das equações do

eletromagnetismo relaciona a força elétrica e a magnética através de formulas que só podem

ser válidas se representarem a relação entre quantidade linear (seja força ou deslocamento)

com uma quantidade rotacional (seja torque ou rotação). Dessa forma, não importa se é o

magnetismo ou a eletricidade que possui caráter linear ou rotacional, mas sim que sejam

diferentes entre si.

Silva (2002) nos traz que Langevin discute que o produto escalar entre dois vetores do

mesmo tipo é um escalar e o produto entre vetores de tipos diferentes é um pseudo-escalar.

Além disso, o produto vetorial entre vetores do mesmo tipo é um vetor axial, ao passo que o

produto vetorial entre dois vetores entre dois vetores de tipos diferentes é um vetor polar.

Ainda para silva (2002), o operador pode ser usado na forma de produto vetorial

(rotacional) ou produto escalar ou produto escalar (divergente ou gradiente). O rotacional de

um campo vetorial polar é um vetor axial e o rotacional de um campo vetorial axial é um

7Em nossos estudos apresentamos estudos voltados aos tipos de vetores mais comuns. Para melhor compreensão

sobre tensores consultar Silva (2002) p. 120.

59

vetor polar. No caso de divergente, o divergente de um campo vetorial polar é uma grandeza

escalar e o divergente de um campo vetorial axial é uma grandeza pseudo-escalar.

Para termos uma noção prática dessa representatividade,trazemos os estudos de

Potencial Retardado apresentado por Butkov (1988), onde fica deduzida a solução geral da

equação de D‟Alembert.

, em que a função é dada, e a solução se estende por todo o

espaço. Esta equação representa ondas geradas por fontes distribuídas por todo o volume e

não é provável que ocorra acústica, onde as ondas sonoras são geralmente produzidas por

superfícies vibrantes. No entanto tem grandes aplicações na teoria do eletromagnetismo

devido às seguintes razões: em um meio não polarizável e não magnetizável, o campo elétrico

e o campo de indução magnético devem satisfazer as equações de Maxwell. Em unidades

MKASA, onde a densidade de carga e a densidade de corrente são, em geral,

dependentes do espaço e do tempo, estas equações são

1)

, 2) , 3)

,4)

Um dos métodos de resolver este sistema de equações é introduzindo o chamado

potencial escalar e o potencial vetorial por meio de

, .

Esta escolha satisfaz automaticamente as segundas e terceiras equações de Maxwell.

Além disso, é conveniente exigir que e satisfaçam a chamada condição de Lorentz

.

Substituindo estas relações nas duas equações restantes de Maxwell, podemos verificar

que e devem satisfazer

,

e

.

A primeira destas equações é a equação de D‟Alembert. A segunda se reduz a três

equações de D‟ Alembert, se for escrito em suas componentes cartesianas. Então

, e temos

60

Nosso problema magnético é, portanto, redutível a resolver a equação de D‟ Alambert.

Como no caso unidimensional, é conveniente achar a função de Green que satisfaz

,

onde fica convencionado que é uma função das variáveis e dos parâmetros

; e por definição .

O trabalho envolvido nesta dedução pode ser reduzido pelo uso da notação vetorial e

certas mudanças de variáveis. Em primeiro lugar, introduza as novas variáveis

, , , , e observe que, com estas novas

variáveis, a EDP para G é

Segue que deve, em verdade, ser uma função escalar e do vetor

; isto é, deve depender somente das diferenças e .

Podemos escrever .

Com isso podemos ter uma noção do quão os estudos eletromagnéticos são

aprofundados, tanto na área da física quanto da matemática, trazendo a tona toda a

importância dos estudos vetoriais e a relevância que se tem para uma matemática mais formal

e mais aplicada.

61

3. CONSIDERAÇÕES FINAIS

No intuito de desenvolver um estudo sobre vetores e o uso desse como estruturante para

os conceitos físicos, esse trabalho encaminhou-se para um desafio grandioso. Desafio esse

que nos motivou a produzi-lo em um estudo que abrange diversas áreas da matemática e da

física.Encontramos muitas dificuldades em construir o Referencial Bibliográfico, pois, a

maioria dos textos em que poderíamos ter acesso direto a informações sobre a construção dos

estudos vetoriais, são editados em língua estrangeira ocasionando grandes dificuldades em

utilizá-los.

Mesmo assim pudemos apresentar a relação entre os sistemas referenciais, trazidos no

capitulo 1, e os estudos da Mecânica de Newton do capitulo 2, que estão expressos por

vetores que trazem em suas componentes, que com noções geométricas básicas, foram

desenvolvidas e formalizadas com as noções algébricas e os estudos trazidas por Hamilton.

Isso possibilitou o desenvolvimento científico com maior fundamento matemático e as

grandezas puderam melhor ser representadas. Os vetores que se apresentaram com

propriedades suficientes, permitiram assim ser inseridos nos conceitos de ondas mecânicas, de

forma a expressar desde as representações mais comuns as operações abstratas e números

complexos. Dessa forma conseguimos verificar que por consequência os estudos físicos

trazidos por Maxwell possibilitaram os desenvolvimentos de métodos utilizados até os dias de

hoje e que abrangem desde as propriedades mais básicas até os estudos mais desenvolvidos,

de forma a facilitar a compreensão dos estudos físicos e construir métodos de resoluções de

problemas que estão presentes em estudos mais avançados.

Entretanto podemos afirmar que esse trabalho foi de grande relevância, pois, os estudos

de vetores trouxeram uma maior compreensão do quê e para quê, se utilizam as ferramentas

matemáticas. Sendo esse nosso intuito, procuramos ressaltar a necessidade e a importância

cientifica desse estudo. E dessa forma a parte histórica nos revela, o quão dificultoso foi para

os intelectuais de cada época realizar seus estudos, tanto físicos quanto matemáticos, e

desenvolver métodos de fácil compreensão para que posteriormente pudessem ser utilizados.

Acreditamos que conseguimos apresentar nesse trabalho partes importantes da história e

uma boa relação entre estudos vetoriais e os estudos pertinentes a física, assim como

representações matemáticas cruciais para essa compreensão. Percebemos que nossos

conhecimentos, de certa forma, se fortaleceram podendo assim, com mais segurança,

representar tais estudos sabendo “de onde vem e para onde vão”, com a cautela e respeito ao

62

formalismo necessário para suas representações. São essas representações que fisicamente são

chamadas grandezas (escalares e vetoriais), que por suas distinções, foram estabelecidas a

partir de fenômenos físicos formulados matematicamente, que nos possibilitam estudar tanto a

parte matemática quanto física em um conceito mais fortalecido.

63

REFERÊNCIAS

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STEWART, James. Cálculo volume 2. Tradução Antonio Carlos Moretti, Antonio Carlos

Martins – 5 ed.; Thompson Learning. São Paulo. 2006.