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estatística para o banco do brasil
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CONCURSO DO BANCO DO BRASIL
ESTATÍSTICA
- Estatística Descritiva;
- Distribuição de Probabilidade Discreta.
Prof. Weber Campos ([email protected])
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Estatística
Prof. Weber Campos
ÍNDICE
CONCEITOS INICIAIS
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS DADOS ESTATÍSTICOS
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Média Aritmética
Média Geométrica
Média Harmônica
Moda
Mediana
Quartil
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Amplitude Total
Desvio Padrão
Variância
Coeficiente de Variação (A Dispersão Relativa)
RESUMO DAS PROPRIEDADES DA SOMA, SUBTRAÇÃO, PRODUTO E DIVISÃO
CÁLCULO SIMPLIFICADO DA MÉDIA ARITMÉTICA
PROBABILIDADE
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DISCRETAS
Distribuição Binomial
Distribuição de Poisson
EXERCÍCIOS
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CONCEITOS INICIAIS 1. Estatística
Não cremos que alguma prova venha a questionar o que é a estatística, contudo, é imprescindível saber que se trata de um ramo da Matemática Aplicada, uma metodologia, uma técnica científica, adotada para se trabalhar com dados, ou seja, com elementos de pesquisa. Esta metodologia, este método, consiste em uma série de etapas, iniciando pela coleta das informações (dos dados), passando por sua organização e descrição, para se chegar, enfim, a uma fase complementar, na qual se dará a análise daqueles dados (já organizados e descritos) e a utilização desta análise, culminando com uma conclusão, a qual ensejará uma tomada de decisão.
As fases de coleta, organização e descrição são compreendidas pela Estatística Descritiva, cujo objetivo é a utilização de tabelas, gráficos e o cálculo de medidas estatísticas (média, mediana, moda, desvio padrão,...) para realizar a síntese dos dados.
A Estatística Inferencial realiza a análise e a interpretação dos dados em termos de Acurácia (capacidade de prever aquilo que efetivamente se quer prever e não uma outra coisa qualquer) e Precisão (a margem de erro das previsões). 2. População ou Universo Estatístico
Conjunto constituído por todos os elementos cujo comportamento interessa analisar.
Nem sempre é possível estudar exaustivamente todos os elementos da população! - Pode a população ter dimensão infinita Exemplo: População constituída pelas temperaturas, nos diferentes pontos de uma cidade. - Pode o estudo da população levar à destruição da população Exemplo: População dos fósforos de uma caixa. - Pode o estudo da população ser muito dispendiosoExemplo: Sondagens exaustivas de todos os eleitores, sobre determinado candidato. 3. Censo É o levantamento total da população. Neste caso, procura-se analisar individualmente cada elemento da população. 4. Amostra Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da população, estudam-se só alguns elementos, a que damos o nome de Amostra. Definição: Conjunto de dados ou observações, recolhidos a partir de um subconjunto da população, que se estuda com o objetivo de tirar conclusões para a população de onde foi recolhida. A amostra deve ser tão representativa quanto possível da População que se pretende estudar, uma vez que vai ser a partir do estudo da amostra, que vamos tirar conclusões para a População. Quando a amostra não representa corretamente a população diz-se enviesada e a sua utilização pode dar origem a interpretações erradas. Vantagens da adoção de Amostras:
i. Conveniente no estudo de populações grandes. ii. Indispensável no estudo de populações infinitas. iii. Indispensável em estudos nos quais a coleta de dados implica na destruição do material utilizado. iv. Custo reduzido v. Maior rapidez
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5. Amostragem Aleatória Simples
É uma técnica de amostragem, onde cada elemento de uma população tem a mesma probabilidade de ser incluído na amostra.
Um exemplo de obtenção de uma amostragem aleatória simples é através do sorteio dos elementos.
6. Exemplos de aplicação da Estatística Medicina Pretende-se estudar o efeito de um novo medicamento para curar determinada doença. É selecionado um grupo de 20 doentes, administrando-se o novo medicamento a 10 desses doentes escolhidos ao acaso e o medicamento habitual aos restantes. População: conjunto de todos os doentes com a doença que o medicamento a estudar pretende tratar. Amostra: conjunto dos 20 doentes selecionados Conclusão: pretende-se, a partir dos resultados obtidos, realizar um "teste de hipóteses" para tomar uma
decisão sobre qual dos medicamentos é melhor. Controle de Qualidade O administrador de uma fábrica de parafusos pretende obter a percentagem de peças defeituosas produzidas. População: conjunto de todos os parafusos fabricados ou a fabricar pela fábrica, utilizando o mesmo
processo de produção. Amostra: conjunto de parafusos escolhidos ao acaso dentre o lote de produzidos. Conclusão: pretende-se, a partir da percentagem de parafusos defeituosos presentes na amostra, "estimar"
a percentagem de defeituosos em toda a produção. 7. Classificação dos Dados Estatísticos:
® Variáveis Qualitativas: São aquelas cujos valores são expressos por uma qualidade ou atributo! Ex.: religião, cor, estado civil etc.
- Variáveis Qualitativas Nominais ou Variáveis Categóricas:
Não apresentam qualquer tipo de hierarquia. Ex.: sexo, estado civil, cor da pele.
- Variáveis Qualitativas Ordinais: Podem ser ordenadas de forma hierárquica. Ex.: grau de instrução, patente militar etc.
® Variáveis Quantitativas: São aquelas que apresentam um número associado ao indivíduo pesquisado.
- Variáveis Quantitativas Discretas: são aquelas variáveis que podem assumir somente determinados valores num intervalo. Normalmente, são aquelas que podem ser contadas. Ex.: número de filhos, número de livros em uma estante, número de alunos em uma sala de aula etc.
- Variáveis Quantitativas Contínuas: são aquelas variáveis que podem assumir qualquer valor em um intervalo. Normalmente, são aquelas que podem ser medidas. Ex.: altura, peso, temperatura etc.
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
As distribuições de frequências (ou tabelas de frequências) são muito importantes na Estatística. Basicamente são utilizadas para se ter uma idéia quantitativa sobre a distribuição dos dados, ou seja, como os dados se manifestam.
Assim como existem dois tipos de dados quantitativos (discretos e contínuos) existem também dois tipos de distribuições de frequências.
1. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS PARA DADOS DISCRETOS
Neste caso a distribuição de freqüências se compõe basicamente de duas informações: as possíveis ocorrências e a quantidade de vezes que cada uma ocorreu de fato.
Ex.: Imagine que você lança um dado 20 vezes e anota, em cada lançamento, o valor da face voltada para
cima. Suponha que temos os seguintes resultados: 1 5 3 1 4 6 2 1 3 1 3 1 2 5 2 3 3 4 1 5
Para este exemplo temos a seguinte tabela de freqüências:
Valores Observados (Xi)
Freqüência Observada (fi)
1 6 2 3 3 5 4 2 5 3 6 1
Total 20
OBS.:
q Na primeira coluna temos os valores das faces do dado e na segunda coluna temos o número de vezes que cada face ocorreu no experimento.
q A soma total da coluna das freqüências tem valor igual ao total de observações do experimento. 2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS PARA DADOS CONTÍNUOS
Para um melhor entendimento sobre o conceito de distribuição de freqüências para dados contínuos usaremos o seguinte exemplo:
“Um professor, ao aplicar um teste em uma turma, deseja fazer uma pesquisa completa sobre o desempenho dos seus 50 alunos.”
A lista dos resultados obtidos foi a seguinte (dados brutos): 5,5 7,8 7,0 4,4 3,0 2,0 0,5 0,0 9,5 5,0 2,4 3,5 4,0 4,0 1,5 1,0 6,0 2,5 8,0 3,2 5,0 5,3 5,5 4,0 4,5 6,5 2,5 1,0 4,8 5,0 3,0 1,9 1,5 7,5 5,0 5,1 4,0 4,5 5,5 5,5 0,0 0,5 2,2 3,6 0,5 9,5 5,0 3,7 4,0 2,0
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Agrupando os resultados por classes ou intervalos, obteremos a seguinte distribuição de freqüências:
Notas Freqüências
0 |¾ 2
2 |¾ 4
4 |¾ 6
6 |¾ 8
8 |¾ 10
10 12 20 5 3
Total 50
O arranjo ou organização dos dados brutos por classe, junto com as frequências correspondentes, é chamado de Distribuição de Frequências com intervalos de classe (ou Dados tabulados agrupados em classes). 3. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA:
a) Classes: são os intervalos de variação da variável. São representados por i = 1, 2, 3, ..., k; onde k é o número total de classes da distribuição.
Cada classe é representada por um intervalo onde são indicados apenas os valores limites. Vejamos quais são os tipos de intervalos de classe existentes:
i) 3 |¾ 5 ou [3 ; 5) : fechado à esquerda e aberto à direita. Inclui o limite inferior e exclui o limite superior.
ii) 3 ¾| 5 ou (3 ; 5] : aberto à esquerda e fechado à direita. Exclui o limite inferior e inclui o limite superior.
iii) 3 |¾| 5 ou [3 ; 5]: fechado à esquerda e à direita. Inclui os dois limites.
iv) 3 ¾ 5 ou (3 ; 5): aberto à esquerda e à direita. Exclui os dois limites.
b) Limites de Classe: são os extremos de uma classe. linf = limite inferior lsup = limite superior c) Amplitude de Classe: é a medida do intervalo que define a classe. É obtida pela diferença entre os
limites superior e inferior dessa classe. É indicada por h.
infsup llh -=
d) Ponto Médio de uma Classe: é aquele que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.
Chamaremos Ponto Médio de PM, e o calcularemos do seguinte modo:
2
infsup llPM
+= ou ÷
ø
öçè
æ+=2
infh
lPM
IMPORTANTE: O Ponto Médio de uma classe é o seu representante legítimo. Outras Relações: 1) O limite superior de uma classe é o ponto médio do intervalo dessa classe somado com a
metade da amplitude de classe.
÷ø
öçè
æ+=2
suph
PMl
2) O limite inferior de uma classe é o ponto médio do intervalo dessa classe subtraído da metade da amplitude de classe.
÷ø
öçè
æ-=2
infh
PMl
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IMPORTANTE: Quando todas as classes de uma distribuição possuem mesmas amplitudes de classe, teremos que:
- A diferença entre os pontos médios é constante e igual à amplitude de classe. Portanto, para calcular todos os pontos médios de uma distribuição, calcule o primeiro ponto médio pela fórmula e depois vá somando a amplitude de classe para encontrar os outros pontos médios.
e) Frequência: existem vários tipos de freqüências usadas em uma Distribuição de Freqüências com e
sem intervalos de classe, veja abaixo quais são elas.
4. TIPOS DE FREQUÊNCIAS:
As frequências mencionadas abaixo estão definidas para uma distribuição de frequência com intervalos de classe. As definições dessas frequências para uma distribuição sem intervalos de classe são feitas de maneira análoga.
4.1. FREQUÊNCIA ABSOLUTA ( )fi
Indica quantos elementos pertencem a cada classe. Obs.: A soma das freqüências absolutas corresponde ao número total de elementos da distribuição,
geralmente denotada por n, i.e., å= fin .
4.2. FREQUÊNCIA ABSOLUTA ACUMULADA CRESCENTE ( )¯fac
Indica a quantidade de elementos que é menor ou igual ao limite superior da classe. É conhecida também, como freqüência “abaixo de”.
Obs.: A fac de uma classe é igual a soma de sua freqüência absoluta com a fac da classe anterior, i.e.,
antfacfifac += .
Importante: A fac da última classe deverá coincidir com o número total de elementos n.
4.3. FREQUÊNCIA RELATIVA ( )Fi
Indica a proporção de elementos em cada classe com relação ao total de elementos.
Obs.: É determinada quando dividimos a frequência absoluta de cada classe, pela frequência total, isto é, pelo número total de elementos da distribuição.
Ou seja: n
fiFi =
Importante: A soma das frequências relativas deve ser igual a 100%.
4.4. FREQUÊNCIA RELATIVA ACUMULADA CRESCENTE ( )¯Fac
Indica a proporção de elementos, em relação ao total de elementos, que é menor ou igual ao limite superior da classe. É conhecida também, como freqüência relativa “abaixo de”.
Obs.: A Fac de uma classe é igual a soma de sua freqüência relativa com a Fac da classe anterior,
i.e., antFacFiFac += .
Importante: A Fac da última classe deverá ser igual a 100%.
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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS DADOS ESTATÍSTICOS
1. INTRODUÇÃO
Gráfico estatístico nada mais é do que uma forma de apresentação dos dados estatísticos. Tem como objetivo produzir, em quem o analisa, uma informação direta e objetiva do fenômeno em análise.
É claro que nenhuma prova de concurso pedirá para você desenhar o gráfico, então como será medido o nosso conhecimento sobre os gráficos estatísticos? Poderá ser feito de dois modos: 1º) uma questão teórica para medir o conhecimento sobre os tipos de gráficos estatísticos; e 2º) a questão fornece um determinado gráfico pronto e pede que calculemos uma medida estatística baseada nele.
Esse último modo é o mais frequente em provas, e para resolver as questões deste tipo, temos que saber ler e retirar as informações que são fornecidas no gráfico.
Passemos agora a conhecer os principais tipos de gráficos estatísticos. Dê uma atenção especial aos gráficos usados para a representação de uma Distribuição de Frequências. E para esses gráficos, procure saber como montar a tabela de frequências correspondente.
2. GRÁFICO DE COLUNAS É a representação de uma série estatística por meio de retângulos não contíguos, dispostos
verticalmente. Os retângulos possuem a mesma base e as suas alturas são proporcionais aos respectivos dados.
Exemplo 01:
Produção de Veículos no Brasil (1992 – 1996) (em milhares de unidades)
Exemplo 02:
Alunos Formados na UFPE em 1999 Advogados Médicos Engenheiros
200
160
100
800
900
700
600
1000
92 93 94 95 96
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3. GRÁFICO EM BARRAS
É a representação de uma série estatística por meio de retângulos dispostos horizontalmente. Os retângulos possuem mesma altura e os seus comprimentos são proporcionais aos respectivos dados.
Exemplo 03: PRODUÇÃO DE CEBOLA
BRASIL – 1992
4. GRÁFICO EM LINHAS Exemplo 04: Estudando a população de um determinado país, obtêm-se os seguintes dados:
Ano
População (em milhões)
1995 50
1996 55
1997 65
1998 70
1999 85
1995 1996 1997 1998 1999 Anos
5. GRÁFICO EM SETORES É designado por meio de um círculo, onde cada classe é representada por um setor circular, cujo
ângulo é proporcional ao tamanho da amostra.
É utilizado quando se deseja mostrar as partes de um todo, ou seja, quando se deseja comparar proporções.
Exemplo 05:
Empresas Produção (unidades)
Produção (percentagem do
total)
A 100 50%
B 30 15%
C 60 30%
D 10 5%
Total 200 100%
São Paulo
R. G. do Sul
Sta Catarina
Pernambuco
Minas Gerais
0 40 80 120 160 200 240 280 (mil toneladas)
População
50
População
55
65
85
70
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As áreas dos setores são proporcionais aos dados da série, e são obtidas por meio de uma regra de
três simples, na qual consideraremos que a área total da circunferência – 100% – corresponde a 360º.
Daí, como no exemplo a empresa A representa 50% do total da produção, faremos a seguinte regra de três:
360º --- 100% XA --- 50%
Daí, 503610 ×=AX à o180=AX
Logo, encontraremos que este setor deverá cobrir um ângulo de 180º. De forma semelhante, encontraremos os ângulos para o restante das empresas:
empresa B: o54=BX
empresa C: o108=CX
empresa D: o18=DX
Com esse dados, marcamos num círculo, com um transferidor, os ângulos correspondentes a cada setor, obtendo o gráfico de setores: 6. GRAFICOS ESTATÍSTICOS PARA DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIAS Nesta seção, veremos os gráficos utilizados para representar distribuições de frequências. O mais importante que se deve aprender aqui é como montar a tabela de frequências a partir do gráfico dado na questão, conhecimento este já exigido em algumas questões de prova.
6.1. GRÁFICO DE HASTES OU BASTÕES
Bastante utilizado para representar distribuição de frequências sem classes, o que normalmente ocorre com dados discretos. Neste caso, não há perda de informação, pois os valores da variável aparecem individualmente, como constam da amostra.
Observação: O Gráfico de Hastes pode ser construído utilizando-se, indistintamente, as frequências simples absolutas ou relativas de cada elemento.
A
B C
D
50%
15%
30%
5%
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Exemplo 06: Num lançamento de um dado 30 vezes tivemos o seguinte resultado:
O gráfico de hastes correspondente a tabela é o seguinte:
Tente fazer a volta, ou seja, a partir do gráfico monte a tabela. 6.2. HISTOGRAMA
Podemos afirmar seguramente que, entre todos os gráficos estatísticos, este é o de maior relevância na esfera dos concursos públicos.
O Histograma é destinado à representação de Distribuições de Frequências com classes.
Observação: O Histograma pode ser construído utilizando-se, indistintamente, as frequências simples absolutas ou relativas de um intervalo de classe.
No Histograma, as classes estarão representadas por retângulos – um para cada classe – dispostos vertical e contiguamente (sem espaço entre eles), cujas bases serão margeadas pelos limites destas classes (limites inferior e superior) e cujas alturas serão determinadas pelas frequências – absolutas ou relativas – de cada classe.
Exemplo 07:
Notas fi
2 |¾ 4
4 |¾ 6
6 |¾ 8
8 |¾ 10
5 7 4 2
Total 18
Tente fazer a volta, ou seja, a partir do gráfico monte a tabela.
Xi fi
1 2 3 4 5 6
6 5 8 2 4 5
7
fi
5
2
4
2 4 6 8 10 Classes
8
5
4
6
2
fi
1 2 3 4 5 6 Xi
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6.3. POLIGONAL CARACTERÍSTICA
É o gráfico construído a partir do Histograma, utilizando-se apenas dos contornos deste.
6.4. POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS
É o gráfico construído unindo-se por linhas retas os pontos médios das bases superiores dos retângulos de um Histograma. Estes pontos médios, conforme veremos no próximo capítulo, são os elementos que estão exatamente no meio de cada classe, dividindo-as em duas metades. Exemplo 08: fi
Notas fi
2 |¾ 4
4 |¾ 6
6 |¾ 8
8 |¾ 10
5 7 4 2
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6.5. CURVA DE FREQUÊNCIAS
A partir do Polígono de Frequências podemos representar contornos mais suaves (polígono de frequência polido), utilizando-se curvas para chegarmos a uma das representações de grande utilidade para a Estatística, a qual chamaremos de Curva de Frequências.
Para o exemplo apresentado no item anterior, a respectiva curva de frequência é dada por:
fi
0 2 4 6 8 10 Classes
6.5.1. As Formas das Curvas de Frequências
As curvas de frequências podem assumir certas formas características. Citamos algumas delas:
Curva em foma de sino: estas apresentam um formato assemelhando-se ao contorno de um sino, evidenciando uma forte concentração dos valores em torno do centro da distribuição.
7 -
5 -
2 -
4 -
7
5
2
4
fi
2 4 6 8 10 Classes
7 -
5 -
2 -
4 -
0 2 4 6 8 10 Classes
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São muitos os fenômenos que oferecem distribuições em forma de sino: a estatura dos adultos, o peso dos adultos, a inteligência medida em testes de Q.I., os preços de um produto, etc.
Na prática, é bem provável que a curva apresente uma certa assimetria à esquerda (cauda mais alongada à esquerda) ou à direita (cauda mais alongada à direita). Então, é possível distinguir três configurações para as curvas em forma de sino:
Curva Simétrica Curva Assimétrica à Direita Curva Assimétrica à Esquerda
f f f
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MEDIDAS DE POSIÇÃO 1. Conceito:
Medidas de Posição são aquelas que indicam, como o próprio nome sugere, a posição da distribuição no eixo das abscissas. Veremos as seguintes medidas de posição:
Média aritmética, Média geométrica, Média harmônica, Moda, Mediana e Quartil. IMPORTANTE: Ao analisarmos cada uma das medidas de posição, deveremos levar em conta a forma de como os nossos dados estarão apresentados. São três as formas possíveis de apresentação dos dados em uma questão de concurso. São elas:
® Conjunto de números;
® Distribuição de frequências sem classes;
® Distribuição de frequências com classes. Exemplo 01: Um enunciado de questão poderia solicitar que se calculasse a Média Aritmética do seguinte conjunto de dados:
0, 0, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 10 Logo, vemos que os dados estão apresentados na forma de um conjunto de números, e saberemos
que vamos utilizar a forma de cálculo da média aritmética para um conjunto!
Exemplo 02: Agora, outro enunciado de questão poderia solicitar que se calculasse a Média Aritmética da seguinte distribuição de dados:
Xi fi
0 2 1 5 2 7 3 4 4 3 5 1
Neste caso, notamos que os dados estão apresentados de forma tabulada, mas não agrupados em intervalos de classes! Logo, iremos calcular a Média Aritmética para esta forma de apresentação dos dados! Exemplo 03: Um terceiro anunciado solicita o cálculo da Média Aritmética para a distribuição de dados abaixo:
classes fi
0 |— 2 20 2 |— 4 100 4 |— 6 200 6 |— 8 150
8 |— 10 30
Percebemos aqui, que os dados estão apresentados de forma tabular, estando ainda agrupados em intervalos de classes! Logo, teremos que calcular a Média Aritmética para esta forma de apresentação dos dados!
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2. MÉDIA ARITMÉTICA − X 2.1. Para um conjunto de números:
É o quociente entre a soma dos valores observados e o seu número total de elementos (Média Aritmética Simples).
Teremos que: n
XiXå=
Exemplo: Dados os seguintes elementos, calcule o a média aritmética do conjunto: { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}
Sol.: X = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 ® X = 49 ® X = 7 7 7 2.2. Para uma Distribuição de Frequências sem classes:
É o quociente entre a soma dos produtos dos valores da variável pelas respectivas frequências e a
soma das frequências (Média Aritmética Ponderada).
Teremos que: n
XifiXå
=.
Exemplo: Calcular a média aritmética dos dados abaixo:
Xi fi
4 5 6 7 8
1 5 6 5 3
Soma 20
Sol.: O primeiro passo para resolvermos esta questão é construirmos a coluna fi .Xi ! Obtendo o
somatório desta coluna, precisaremos apenas dividi-lo pelo número total de elementos n . Notemos
que n = åfi .
Daí, faremos:
Xi fi fi .Xi
4 5 6 7 8
1 5 6 5 3
4x1=4 5x5=25 6x6=36 7x5=35 8x3=24
Soma 20 124
E, finalmente: X = 124 / 20 ® X = 6,2
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2.3. Para uma Distribuição de Frequências com classes:
É o quociente entre a soma dos produtos dos Elementos (geralmente, representados pelos Pontos Médios das Classes) pelas respectivas frequências e a soma das frequências (Média Aritmética Ponderada).
Teremos que: n
XifiXå= .
Exemplo: Calcular a média aritmética dos dados abaixo:
Classes fi
2 |— 4 4 |— 6 6 |— 8
8 |— 10 10 |— 12
3 5
10 5 3
Soma 26
Sol.: Neste caso, teremos de criar mais duas colunas para encontrar a solução. A primeira será a
coluna dos Xi, representados pelos Pontos Médios! Faremos isso, porque o Ponto Médio é o valor mais representativo de cada classe na distribuição de freqüências! A segunda coluna que iremos construir será a do produto (fi.Xi)!
Daí, faremos:
Classes fi Xi fi .Xi
2 |— 4 4 |— 6 6 |— 8
8 |— 10 10 |— 12
3 5
10 5 3
3 5 7 9
11
9 25 70 45 33
Soma 26 182
E, finalmente: X = 182 / 26 ® X = 7,00 2.4. Propriedades da Média Aritmética
a) A média aritmética sempre existe e é única. b) A média aritmética é sensível a todos os valores do conjunto. Se um valor se modifica, a média
também se modifica.
c) Se n1 valores têm média 1X e se n2 valores têm média 2X , então a média do conjunto formado por
todos os valores é dada pela relação:
21
2211
nn
nXnXX
+×+×
= ® “A Média das Médias!”
Exemplo:
X1 = {1, 3, 5, 7, 9} ® n1= 5 ® 1X = 5
X2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} ® n2= 7 ® 2X = 8
Daí: X = 5 x 5 + 8 x 7 ® X = 6,75 5 + 7
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d) Propriedade da Soma e da Subtração: Se a cada elemento de um conjunto numérico qualquer somarmos ou subtrairmos uma constante, a média ficará acrescida ou subtraída desta constante.
e) Propriedade do Produto e da Divisão: Se cada elemento de um conjunto numérico qualquer for
multiplicado ou dividido por uma constante, a média ficará multiplicada ou dividida por esta constante.
3. MÉDIA GEOMÉTRICA − gX
É a raiz “enésima” (ou seja, índice “n”) do produto (produtório: Õ ) dos “n” elementos do
conjunto. Teremos que: nn
n XXXXXigX ××××== Õ K321
Exemplo: A = {2, 4, 8} Daí: 22222228423 333 323 ´=´=´´=´´=gX ® Xg = 4
4. MÉDIA HARMÔNICA − hX É o inverso da média aritmética dos inversos dos números.
É encontrada por:
å ÷ø
öçè
æ=
Xi
nhX
1
Exemplo: A = {1, 4, 9} ® 2,2
9
1
4
1
1
1
3=
++=hX
5. Propriedades das Três Médias:
® hXgXX ³³ (A igualdade entre as médias ocorre somente quando o conjunto apresentar
todos os elementos iguais). 6. MODA − Mo
É uma medida de tendência central que se caracteriza pelo elemento que possui a maior
freqüência! 6.1. Para um Conjunto: Para determinar a moda basta verificar qual o elemento que mais se repete!
Exemplo: A = {1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10}
Ora, verificamos que o elemento que aparece mais vezes no conjunto é o elemento “7”, logo, a Moda deste conjunto é 7. Mo = 7 IMPORTANTE: Em relação à moda, podemos classificar um conjunto da seguinte forma:
® Amodal: Quando não possuir elemento repetido. Exemplo: {1, 2, 3, 5, 8, 9, 11, 15}
® Unimodal: Quando possuir um única moda. Exemplo: {2, 3, 4, 4, 4, 6, 6, 7, 8}
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® Bimodal: Quando possuir duas modas. Exemplo: {1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9}
® Multimodal: Quando possuir mais de duas modas. Exemplo: {1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 9}
6.2. Para uma Distribuição de Frequências sem classes: Diante de dados tabulados não agrupados em classes, determinar a moda significa verificar o elemento que possui maior freqüência simples (absoluta ou relativa)! Só!
Exemplo:
Xi fi
1 3 5 7
2 4 3 1
Total 10
Daí, verificamos que a maior freqüência simples é “4”, referente ao elemento “3”! Logo, nossa
moda será o 3. Mo = 3.
6.3. Para uma Distribuição de Frequências com classes: Há mais de uma forma de calcularmos a Moda para Dados Tabulados agrupados em classes, contudo aprenderemos apenas uma – a fórmula de Czuber.
É dada por: hpa
alMo ×÷÷
ø
öççè
æ
D+DD
+= inf
onde: linf = limite inferior da classe modal
Da = diferença entre a freqüência da classe modal e da classe anterior
Dp = diferença entre a freqüência da classe modal e da classe posterior h = amplitude do intervalo de classe # Passos para utilizar a Fórmula de Czuber:
1º Passo) Determinação da Classe Modal: Para isso, basta verificar qual a classe da Distribuição de Freqüências que apresenta
maior freqüência simples. Esta será a classe modal! 2º Passo) Aplicação da fórmula!
Exemplo:
classes fi
2 |— 4 4 |— 6 6 |— 8
8 |— 10 10 |— 12
3 5 7 4 2
® Qual a classe modal? Maior fi = 7 ® Daí: Classe Modal = ( 6 |— 8 )
® Limite inferior da classe modal: li = 6
® Diferença Anterior: (7 – 5 = 2) ® Da = 2
® Diferença Posterior: (7 – 4 = 3) ® Dp = 3
® Amplitude de classe: 2 ® h = 2
Aplicação da Fórmula: 232
26 ×÷
ø
öçè
æ+
+=Mo ® Mo = 6,80
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6.4. Propriedades da Moda
a) A moda pode não existir, mas sempre que existir estará dentro do intervalo do conjunto.
b) Propriedade da Soma e da Subtração: Se a cada elemento de um conjunto numérico qualquer somarmos ou subtrairmos uma constante, a moda ficará acrescida ou subtraída desta constante.
c) Propriedade do Produto e da Divisão: Se cada elemento de um conjunto numérico qualquer for multiplicado ou dividido por uma constante, a moda ficará multiplicada ou dividida por esta constante.
7. MEDIANA − Md É a medida que divide os elementos ordenados (rol) de um conjunto em duas partes iguais. Dessa maneira ela é também considerada uma separatriz. 7.1. Para um Conjunto: Aqui, basta que localizemos o elemento central do conjunto! Haverá uma diferenciação se o número de elementos do conjunto for par ou ímpar. IMPORTANTE: O cálculo da mediana para dados não tabulados exige que os elementos estejam ordenados (rol). # Cálculo do Elemento Central:
® Para n = número par. Ora, quando o número de elementos do rol for um número par, teremos dois elementos centrais, em vez de um. O cálculo é simples: se n=6, por exemplo. Teremos que (6 / 2) = 3 Daí, os elementos centrais serão o terceiro elemento e o seguinte (que é o quarto elemento)! Outros exemplos:
Se n=10, teríamos que: (10/2)=5 ® Elementos centrais: 5º e 6º elementos
Se n=30, teríamos que: (30/2)=15 ® Elementos centrais: 15º e 16º elementos
Se n=50, teríamos que: (50/2)=25 ® Elementos centrais: 25º e 26º elementos Uma vez determinadas as posições dos elementos centrais, localizamos os elementos que estão nestas posições e extraímos sua média aritmética. Exemplo: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Temos que n=12 (par!).
Daí: (12/2)=6 ® Logo, os elementos centrais são o 6º e o 7º elementos.
Os elementos que ocupam estas posições (6ª e 7ª) são, respectivamente, o 12 e o 14. Daí, a Mediana será a média aritmética destes elementos:
Md = (12 + 14) / 2 ® Md = 13
® Para n = número ímpar. Neste caso, teremos apenas um elemento central, o qual será encontrado da seguinte forma:
posição do elemento central = ( )
2
1+n
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Exemplo: Se um conjunto tiver 9 elementos, ou seja, n=9, a posição do elemento central será (9 +1)/ 2 = 5,
isto é, será o 5º elemento! Outros exemplos:
Se n=5, teríamos que (5+1)/2=3 ® Elemento central = 3º elemento
Se n=15, teríamos que (15+1)/2=8 ® Elemento central = 8º elemento
Se n=27, teríamos que (27+1)/2=14 ® Elemento central = 14º elemento Uma vez determinado o elemento central, basta verificarmos qual o dado que se apresenta nesta posição, e este será a nossa Mediana! Exemplo: {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}
Temos que n=7 (ímpar!)
Daí: (7+1)/2=4 ® Logo, o elemento central é o 4º elemento. O elemento que ocupa esta posição no rol é exatamente o “7”. Logo: Md=7
7.2. Para uma Distribuição de Frequências sem classes: Neste caso, encontraremos a Mediana em dois passos: no primeiro, encontraremos as posições dos elementos centrais do conjunto exatamente da mesma forma como o fizemos no caso anterior! O segundo passo será construirmos mais uma coluna na tabela, que será exatamente a coluna da frequência acumulada crescente (fac)! Exemplo:
Xi fi
2 4 6 8
10 12
5 10 15 12 5 3
Total 50
Daí: 1º Passo) n=50 (par!) ® Logo: 50/2=25 ® Daí: posições dos elementos centrais: 25º e 26º. 2º Passo)
Xi fi fac
2 4 6 8
10 12
5 10 15 12 5 3
5 15 30 42 47 50
Total 50
O próximo passo consiste apenas em comparar as posições dos elementos centrais com os valores
encontrados na coluna da freqüência acumulada! Precisamos descobrir qual o elemento da tabela cuja freqüência acumulada seja imediatamente
superior ou igual às posições dos elementos centrais! Daí, notamos que 30 é o primeiro valor da fac que é maior ou igual a 25 e 26! Logo, verificamos
que o elemento que ocupa as 25ª e 26ª posições da tabela é o elemento 6. Fazendo a média aritmética, encontraremos que:
Md = (6 + 6) /2 ® Md = 6
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7.3. Para uma Distribuição de Frequências com classes:
O cálculo da Mediana poderá ser realizado por meio de interpolação linear ou por meio da fórmula apresenta nos passos a seguir: 1º Passo) Determinação da Classe Mediana! Para determinar a classe mediana, calcularemos o valor de n/2 (independentemente de n ser par ou ímpar), e compararemos este valor com os valores da coluna de freqüências acumuladas! 2º Passo) Aplicação da seguinte fórmula:
hfi
facn
lMd
ANT
×
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é-÷ø
öçè
æ
+=2
inf
onde: linf = limite inferior da classe mediana. facant = freqüência acumulada anterior à da classe mediana. fi = freqüência simples da classe mediana. h = amplitude de classe Exemplo:
classes fi
2 |— 4 4 |— 6 6 |— 8
8 |— 10 10 |— 12
3 5 7 4 1
Total 20 Sol: n / 2 = 20 / 2 = 10 Construindo a fac:
classes fi fac
2 |— 4 4 |— 6 6 |— 8
8 |— 10 10 |— 12
3 5 7 4 1
3 8
15 19 20
Total 20 Vemos que, na fac, 15 é o primeiro valor ≥ 10. Logo, a classe mediana será a terceira classe, ou seja:
( 6 |— 8 ) Daí: linf = 6 facant = 8 fi = 7 h = 2
E, aplicando a fórmula, teremos que:
27
8106 ×÷
ø
öçè
æ -+=Md ® Md = 6,57
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Obs.: Se uma das frequências acumuladas da distribuição for exatamente igual a n/2, a mediana será o limite superior da classe correspondente a esta freqüência acumulada!
7.4. Propriedades da Mediana
® Propriedade da Soma e da Subtração: Se a cada elemento de um conjunto numérico qualquer somarmos ou subtrairmos uma constante, a mediana ficará acrescida ou subtraída desta constante.
® Propriedade do Produto e da Divisão: Se cada elemento de um conjunto numérico qualquer for multiplicado ou dividido por uma constante, a mediana ficará multiplicada ou dividida por esta constante. 8. QUARTIL
O quartil divide a distribuição em quatro partes iguais. Temos, portanto, 3 quartis. Os quartis serão representados por Qj , para j = 1, 2 e 3. (1o quartil: j=1; 2o quartil: j=2; 3o quartil: j=3)
Ø Para um conjunto de valores (coloque em ordem crescente!)
O método mais prático para obter os 3 quartis é utilizar o princípio do cálculo da mediana. Na
realidade serão calculadas “3 medianas” para um mesmo conjunto.
Exemplo: Calcule os quartis (Q1 , Q2 e Q3 ) do conjunto: {3, 8, 1, 0, 9, 6, 4}
1. O primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente) dos valores: {0, 1, 3, 4, 6, 8, 9} 2. Cálculo do 2º quartil:
O 2º quartil será a mediana do conjunto {0, 1, 3, 4, 6, 8, 9}. A Md = 4 , ou seja, o 2º quartil: Q2 = 4 .
3. Cálculo do 1º quartil: Grupo de valores à esquerda do 2º Quartil: {0, 1, 3} O 1º quartil será a mediana desse grupo de valores. Em {0, 1, 3} a mediana é Md = 1. Ou seja, o 1º quartil: Q1 = 1
4. Cálculo do 3º quartil: Grupo de valores à direita do 2º Quartil: {6, 8, 9} O 3º quartil será a mediana desse grupo de valores. Em {6, 8, 9} a mediana é Md = 8. Ou seja, o 3º quartil: Q3 = 8
Exemplo: Calcule os quartis (Q1 , Q2 e Q3) do conjunto: {1, 1, 3, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9, 9} .
1. A série já está em ordem crescente. 2. Cálculo do 2º quartil:
O 2º quartil será a mediana do conjunto {1, 1, 3, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9, 9} . A Md = (6+7)/2 = 6,5 , ou seja, o 2º quartil: Q2 = 6,5 .
3. Cálculo do 1º quartil: Grupo de valores à esquerda do 2º Quartil: {1, 1, 3, 5, 6, 6} . O 1º quartil será a mediana desse grupo de valores. Em {1, 1, 3, 5, 6, 6} a mediana é Md = (3+5)/2 = 4. Ou seja, o 1º quartil: Q1 = 4 .
4. Cálculo do 3º quartil: Grupo de valores à direita do 2º Quartil: {7, 7, 7, 9, 9, 9} O 3º quartil será a mediana desse grupo de valores. Em {7, 7, 7, 9, 9, 9} a mediana é Md = (7+9)/2 = 8. Ou seja, o 3º quartil: Q3 = 8
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MEDIDAS DE DISPERSÃO 1. Conceito: Dispersão é a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável, em torno de um valor de tendência central tomado como ponto de comparação. Para qualificar os valores de uma variável, mostrando a maior ou menor concentração ou dispersão entre seus valores e a medida de posição tomada como referência, no caso a média aritmética, recorre-se às medidas de dispersão ou de variabilidade.
Portanto, a finalidade das medidas de dispersão é verificar a representatividade do grau de concentração ou dispersão dos dados em torno da média. 2. AMPLITUDE TOTAL: AT É a diferença entre o maior valor e o menor valor dos dados apresentados. Ø Exemplo para um conjunto de valores:
Seja X = {1, 2, 3, 5, 7, 9} ® Teremos que: AT= 9 – 1 ® AT = 8 Ø Exemplo de Dados Tabulados não agrupados em classes:
Seja:
Xi fi
2 4 6 8
10 13
5 10 15 12 5 3
Total 50
Teremos que: AT = 13 – 2 ® AT = 11 Ø Exemplo de Dados tabulados agrupados em classes:
Seja:
classes fi
2 |— 4 4 |— 6 6 |— 8
8 |— 10 10 |— 12
3 5 7 4 1
Total 20
Teremos que: AT = 12 – 2 ® AT = 10 Obs.: Note que a Amplitude Total também pode ser determinada pela diferença entre o Ponto Médio da última classe e o Ponto Médio da primeira classe! Obs.: Essa medida tem aplicações muito limitadas pois só capta o que acontece com os valores extremos, sendo completamente insensível aos valores intermediários.
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4. VARIÂNCIA: V ou S2
É a média dos quadrados dos desvios dos elementos tomados em relação à média aritmética. 4.1. Para um Conjunto:
Teremos que: ( )n
XXiVå -
=
2
Exemplo: Seja X = {1, 3, 5, 7, 9} ® A média é: X = 5 Daí:
Xi Xi – X (Xi – X )2
1 3 5 7 9
1 – 5 = -4 3 – 5 = -2 5 – 5 = 0 7 – 5 = 2 9 – 5 = 4
16 4 0 4
16
Total 40
Logo: V = 5
40 ® V = 8
4.2. Para uma Distribuição de Frequências sem classes: Teremos que:
( )n
XXifiVå -
=
2.
Exemplo:
Xi fi
2 4 6 8
10 13
5 10 15 12 5 3
Total 50
Primeiramente, calcularemos a média.
Xi fi Xi.fi
2 4 6 8
10 13
5 10 15 12 5 3
10 40 90 96 50 39
Total 50 325
Logo: X = 325/50 = 6,5
Para calcular a variância é preciso construir as seguintes colunas: Xi – X , (Xi – X )2 e fi.( Xi – X )2.
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Xi fi Xi – X (Xi – X )2 fi. (Xi – X )2
2 4 6 8
10 13
5 10 15 12 5 3
2-6,5 = -4,5 4-6,5 = -2,5 6-6,5 = -0,5 8-6,5 = 1,5
10-6,5 = 3,5 13-6,5 = 6,5
20,25 6,25 0,25 2,25
12,25 42,25
20,25x5 = 101,25 6,25x10 = 62,5 0,25x15 = 3,75 2,25x12 = 27 12,25x5 = 61,25 42,25x3 = 126,75
Total 50 382,50
Daí: 50
50,382=V ® V = 7,65
4.3. Para uma Distribuição de Frequências com classes: Teremos também que:
( )n
XXifiVå -
=
2.
Em relação a uma distribuição sem classes, a única diferença é que agora a coluna Xi– X será encontrada pela diferença entre o Ponto Médio de cada classe (Xi) e a Média Aritmética da distribuição!
Portanto, devemos aqui encontrar primeiramente a coluna dos Pontos Médios!
IMPORTANTE: As fórmulas apresentadas para o cálculo da Variância serão alteradas no denominador de n para n-1 caso estivermos trabalhando com uma amostra! A outra expressão para o cálculo da variância, conforme mostrado a seguir: Ø Para um conjunto de valores:
Para a População: ( )
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ-=åån
XiXi
nV
2
21
Para a Amostra: ( )
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ-
-=
åån
XiXi
nV
2
2
1
1
Ø Para a Distribuição de Frequências:
Para a População: ( )
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ-=åån
fiXifiXi
nV
2
21
Para a Amostra: ( )
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ-
-=
åån
fiXifiXi
nV
2
2
1
1
ü Lembre-se que em uma distribuição de frequência com classes, os elementos Xi não são conhecidos, e que estes são representados geralmente pelos pontos médios das classes.
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4.4. Propriedades da Variância:
® A variância de dados constantes é zero;
® A variância utiliza o quadrado dos desvios em relação à média, portanto terá o quadrado da unidade dos dados, ou seja, m2, kg2, ...
® Propriedade da Soma e da Subtração: Somando-se (ou subtraindo-se) a cada elemento de um conjunto de valores uma constante arbitrária, a variância não se altera. Essa propriedade pode ser utilizada para facilitar o cálculo da variância. Por exemplo, para o cálculo da variância do conjunto {51, 53, 55, 57, 59}, podemos subtrair esse conjunto por uma constante (por exemplo, 55). Desse modo, o novo conjunto terá valores menores: {-4, -2, 0, 2, 4}. Agora fica mais fácil utilizar a última expressão dada para o cálculo da variância.
® Propriedade do Produto e da Divisão: Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento de um conjunto de valores por um valor constante, arbitrário e diferente de zero, a variância ficará multiplicada (ou dividida) pelo quadrado desta constante.
5. DESVIO PADRÃO: S É a mais usada medida de dispersão. É a raiz quadrada da média dos quadrados dos desvios em
relação à média aritmética, ou seja, é a raiz quadrada da variância: VS = .
Assim, se uma questão pedir o desvio padrão, você primeiro calcula a variância e depois tira a raiz quadrada. 5.4. Propriedades do Desvio Padrão:
® O desvio padrão de dados constantes é zero;
® O desvio padrão é uma medida que utiliza a mesma unidade dos dados.
® Propriedade da Soma e da Subtração: Somando-se (ou subtraindo-se) a cada elemento de um conjunto de valores uma constante arbitrária, o desvio padrão não se altera.
® Propriedade do Produto e da Divisão: Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento de um conjunto de valores por um valor constante, arbitrário e diferente de zero, o desvio padrão ficará multiplicado (ou dividido) por esta constante.
6. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO: CV (A Dispersão Relativa)
Também conhecido por Coeficiente de Variação de Pearson. É utilizada para fazer comparação da dispersão de duas séries distintas em torno de suas respectivas médias.
É definida como o quociente entre o Desvio Padrão e a Média Aritmética do conjunto de dados.
Ou seja: X
SCV =
Exemplo: Considere que tenhamos duas distribuições. A primeira com média 4 e desvio padrão 1,5 e a outra com média 3 e desvio padrão 1,3. Neste caso temos os seguintes CV's:
43.03
3.1375.0
4
5.121 ==== CVCV
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logo conclui-se que, como CV2 é maior que CV1 , a segunda distribuição tem uma dispersão relativa maior que a primeira. Obs.: Quanto menor for o valor do CV, mais homogêneo será o conjunto de dados. Portanto, no exemplo acima, a primeira distribuição é mais homogênea do que a segunda. Obs.: Em geral CV maior ou igual a 50% é considerado alto, sendo a média pouco representativa. Valores menores que 50% implicam CV baixo e a média é tão mais representativa quanto menor for o valor do CV.
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RESUMO DAS PROPRIEDADES DA SOMA, SUBTRAÇÃO, PRODUTO E DIVISÃO Se tomarmos todos os elementos de um conjunto e os...
...somarmos a uma
constante
...subtrairmos de uma
constante
...multiplicarmos por uma constante
...dividirmos por uma constante
As medidas: Média, Mediana, Moda, Quartil estarão:
Também somada a esta
constante
Também subtraída desta
constante
Também multiplicada por esta constante
Também dividida por esta
constante
O Desvio Padrão ficará:
Inalterado
Inalterado
Multiplicado pelo módulo desta
constante
Dividido pelo módulo desta
constante
A Variância ficará:
Inalterada
Inalterada
Multiplicada pelo quadrado desta
constante
Dividida pelo quadrado desta
constante
O Coeficiente de Variação ficará:
Altera-se
(calcular X
S)
Altera-se
(calcular X
S)
Inalterado Inalterado
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CÁLCULO SIMPLIFICADO DA MÉDIA ARITMÉTICA Muitas vezes as contas que somos obrigados a fazer na construção da coluna (fi.Xi) para o cálculo da média Aritmética são trabalhosas e poderiam vir a ser bastante demoradas, sobretudo se as classes tiverem como Pontos Médios valores não-inteiros, ou seja, valores “quebrados”, o que ocorre com frequência nas provas de concursos.
A saída inteligente para resolver este problema, é transformar a variável original Xi em uma outra variável, através de uma operação de subtração e depois uma divisão, de forma que não calcularemos os produtos fi.Xi, mas sim, os produtos fi.Yi que são mais fáceis de obter.
Simbolizaremos a nova variável (a variável transformada) por uma outra letra, Yi por exemplo. Ou Wi, ou Zi... fica a seu critério. Iremos, portanto, no cálculo da Média construir uma nova coluna, que será chamada Coluna da Variável Transformada. Vejamos um exemplo retirado da prova AFRF 2002.2:
Classes fi Xi
(pontos médios) Yi = Xi – 64,5_
10 fi .Yi
29,5 |— 39,5 39,5 |— 49,5 49,5 |— 59,5 59,5 |— 69,5 69,5 |— 79,5 79,5 |— 89,5 89,5 |— 99,5
4 8
14 20 26 18 10
34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5
-3 -2 -1 0 1 2 3
-12 -16 -14 0
+26 +36 +30
n=100 +50
Ø Os passos deste método são os seguintes (Para distribuições com amplitudes de classes iguais):
Xi à Yi à Y à X
1) Construir a coluna da variável transformada (aqui chamada Yi), seguindo a sugestão: i) Subtrairemos os Xi pelo ponto médio de uma das classes da distribuição. Sugiro a classe central da
distribuição. Se a distribuição tiver um número par de classes, escolha a classe central com maior frequência. No exemplo acima escolhemos o PM da 4ª Classe.
ii) Dividiremos o resultado pela Amplitude da Classe, o “h” (no exemplo: h=10). IMPORTANTE: Quando construirmos a coluna da variável transformada por meio da sugestão acima, teremos como resultado uma sequencia de números inteiros, iniciando por zero na classe escolhida no item "i" acima e incrementando de +1 para baixo e de -1 para cima. (Veja a tabela acima).
2) Construir a coluna (fi.Yi) e calcular o seu somatório; 3) Encontrar o valor da Média da Variável Transformada, usando a fórmula da média:
÷÷
ø
ö
çç
è
æ ×= å
n
YifiY Neste exemplo: 5,0
100
50==Y
4) O Cálculo da Média: A relação entre X e Y é dada por: Y = X – 64,5_ , 10 e ao isolarmos X obtemos: X = 10.Y + 64,5 . Pelas propriedades da Média, sabemos que ao somar, subtrair, multiplicar ou dividir uma constante
por uma variável, a média desta variável se altera de forma igual. Portanto, como
5,6410 +×= YX , então 5,6410 +×= YX
Substituindo o valor de Y igual a 0,5 , obtido no item 3, calcularemos a média da variável X:
X = 10 . 0,5 + 64,5 = 69,5 (Resposta!)
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PROBABILIDADE
# AXIOMAS DA PROBABILIDADE A probabilidade de um evento A ocorrer, simbolizada por P(A), de um experimento aleatório de
espaço amostral S, deve satisfazer as seguintes condições:
a) A probabilidade de ocorrência de um evento SEMPRE é um número real entre 0 e 1 (0% e 100%), ou seja:
0 £ P(A) £ 1
b) A soma das probabilidades de cada elemento do espaço amostral é igual a 1.
Ex.: Em um lançamento de uma moeda, temos dois resultados possíveis: cara ou coroa. Desta forma, podemos estabelecer que:
P(cara) + P(coroa) = 1
c) A probabilidade de ocorrência do Espaço Amostral é igual a 1.
Pois, no experimento aleatório, pelo menos um dos resultados do Espaço Amostral (S) ocorrerá. Daí: P(S)=1.
d) A probabilidade de ocorrência do evento vazio é zero.
Uma vez que não há resultados no conjunto vazio, então nunca haverá um resultado favorável.
e) A probabilidade de ocorrência de um evento qualquer será igual a probabilidade do Espaço Amostral (1 ou 100%) menos a probabilidade de seu evento complementar (formado por todos os outros resultados do espaço amostral). Ou seja:
P(A) = 1 – P(não A)
Exemplo: Em um lançamento de um dado, o espaço amostral é {1,2,3,4,5,6}, então teremos que:
à P(face de cima par) = 1 – P(face de cima impar)
à P(face de cima maior ou igual a 2) = 1 – P(face de cima igual a 1)
# FÓRMULA ELEMENTAR DA PROBABILIDADE
A probabilidade de ocorrência de um evento “X” será calculada por:
P(X) = número de resultados favoráveis ao evento X número de resultados possíveis
# PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE EVENTOS (Regra do “e”)
Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos A e B é igual a:
à P(A e B) = P(A) x P(B|A)
Onde P(B|A) significa a probabilidade de ocorrer B sabendo que A já tenha ocorrido.
Se A e B forem eventos independentes (a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro), então a probabilidade de ocorrência de A e B, ao mesmo tempo, será encontrada pelo produto das probabilidades individuais! Assim, a regra do “e” fica simplificada para:
à P(A e B) = P(A) x P(B)
E ainda, caso os eventos A e B sejam mutuamente exclusivos (eventos que não podem ocorrer
simultaneamente, ou em termos de conjunto: AÇB=Æ). Assim, no nascimento de uma criança, o evento “nascer menina” e o evento “nascer menino” são mutuamente exclusivos, uma vez que ao se realizar um
31
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deles, o outro não se realiza. Desta forma, a probabilidade de ocorrência de A e B, ao mesmo tempo, será igual a zero. Na notação simbólica, teremos:
à P(A e B) = 0.
# PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS (Regra do “ou”)
à P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
Reparemos bem na terceira parcela da fórmula acima: P(A e B). Esta parcela trata acerca da probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos A e B.
Aprendemos que, caso os eventos A e B sejam eventos independentes, então a probabilidade de ocorrência de A e B, ao mesmo tempo, será encontrada pelo produto das probabilidades individuais! Certo? Desta forma, para os eventos independentes, a regra do “ou” fica simplificada para:
à P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A)xP(B)
E também sabemos que se os eventos A e B forem mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrência desses dois eventos, ao mesmo tempo, será igual a zero. Assim, para eventos mutuamente exclusivos, a regra do “ou” fica simplificada para:
à P(A ou B) = P(A) + P(B)
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DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
1. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Em uma questão de distribuição binomial normalmente não vem explícito no enunciado que se trata de tal distribuição, então temos que saber reconhecer uma distribuição binomial, e faremos isso verificando as seguintes características:
· Ela tratará de um experimento que se repetirá n vezes.
· Este experimento só admite dois resultados: sucesso e fracasso.
· A cada repetição do experimento, as probabilidades de sucesso p e de fracasso q se mantêm constantes.
A questão de distribuição binomial fará a seguinte pergunta:
Qual a probabilidade de se obter exatamente S sucessos, em n tentativas?
A resposta será encontrada a partir da seguinte fórmula:
P(S sucessos) = Cn,S.(p)S.(q)F
Onde:
Cn,s= )!(!
!
sns
n
-
n é o número de repetições do experimento; p é a probabilidade de ocorrência de sucesso; q é a probabilidade de ocorrência de fracasso; S é o número de sucessos desejados; F é o número de fracassos.
2. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
É empregada em experimentos nos quais não se está interessado no número de sucessos obtidos em n tentativas, como ocorre no caso da distribuição binomial, mas sim no número de sucessos ocorridos durante um intervalo contínuo, que pode ser um intervalo de tempo, espaço etc.
Por exemplo: - O número de vezes que o telefone toca em um dia. - O número de acidentes automobilísticos ocorridos numa rodovia em um mês. - O número de defeitos encontrados em um rolo de arame de 500m. Note que nos exemplos acima, não há interesse em se determinar a probabilidade do telefone
tocar, ou do acidente ocorrer, ou do defeito existir... mas sim a frequência de sua ocorrência, como, por exemplo, o telefone tocar 10 vezes no intervalo de duas horas.
Uma questão de probabilidade com a distribuição de Poisson fará a seguinte pergunta:
Qual a probabilidade de se obter S sucessos, neste determinado intervalo (de tempo, de espaço etc)?
E essa probabilidade é obtida a partir da fórmula:
P(S) = !S
e Smm ×-
Onde: P(S) é a probabilidade de S ocorrências no intervalo;
m é o valor esperado ou número médio de ocorrências no intervalo;
e = 2,71828...
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EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA E PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 01. Seja a distribuição de frequências abaixo, resultado da observação de pesos em kg de um grupo de 50
pessoas adultas, responda:
Pesos (Kg) PMi fi fac Fi Fac
46 |– 56 56 |– 66 66 |– 76 76 |– 86 86 |– 96
4 1016128
Total
a) Qual a interpretação da fi da terceira classe? b) Qual a interpretação da fac da terceira classe? c) Qual a interpretação da Fi da terceira classe? d) Qual a interpretação da Fac da terceira classe? 02. (MPU 2007 FCC) Uma empresa procurou estudar a ocorrência de acidentes com seus empregados e
realizou um levantamento por um período de 36 meses. As informações apuradas estão na tabela a seguir:
Número de empregados acidentados
Número de meses
1 1 2 2 3 4 4 5 5 7 6 6 7 5 8 3 9 2
10 1
A porcentagem de meses em que houve menos de 5 empregados acidentados é de aproximadamente (A) 50% (D) 33% (B) 45% (E) 30% (C) 35% 03. (Auditor Fiscal da Bahia 2004 FCC) A tabela abaixo, que mostra a distribuição de salários (em reais) de
160 funcionários de uma determinada empresa, com suas respectivas frequências relativas acumuladas.
Classes (em reais)
Frequência Relativa Acumulada (%)
600 – 1000 10
1000 – 1400 30
1400 – 1800 70
1800 – 2200 95
2200 – 2600 100
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Utilizando interpolação linear, o número de funcionários que ganham salários menores ou iguais a R$ 1.700,00 é
a) 96 d) 64 b) 84 e) 56 c) 72
04. (Agência Nacional de Saúde 2006 FCC) O histograma abaixo representa a distribuição das idades dos
pacientes atendidos no ano de 2000 em uma clínica infantil, expressa em anos.
A idade que separa os 30% mais jovens é (A) 3,5 (C) 4,4 (E) 5,0 (B) 4,2 (D) 4,6 MEDIDAS DE POSIÇÃO 05. Calcule a média aritmética: a) {-10, 0, 0, 0, 5, 15, 18} b)
xi fi
2 10
3 15
5 25
c)
Classes fi
0 - 10 20
10 - 20 30
20 - 30 50
06. (Banco do Brasil 2011 FCC) Suponha que certa Agência do Banco do Brasil tenha 25 funcionários, cujas
idades, em anos, são as seguintes: 24 - 24 - 24 - 25 - 25 - 30 - 32 - 32 - 32 35 - 36 - 36 - 40 - 40 - 40 - 40 - 46 - 48
48 - 50 - 54 - 54 - 60 - 60 - 65 A média das idades dos funcionários dessa Agência, em anos, é igual a (A) 36. (B) 38. (C) 40. (D) 42. (E) 44.
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07. (Banco do Brasil 2011 FCC) Palmira faz parte de um grupo de 10 funcionários do Banco do Brasil cuja
média das idades é 30 anos. Se Palmira for excluída do grupo, a média das idades dos funcionários restantes passa a ser 27 anos. Assim sendo, a idade de Palmira, em anos, é
(A) 60. (B) 57. (C) 54. (D) 52. (E) 48. 08. (Banco do Brasil 2006 FCC) Os salários dos 40 empregados de uma empresa, em 31 de dezembro de
2005, estavam distribuídos conforme a tabela abaixo:
Neste caso, tem-se que a média aritmética dos salários dos empregados é (A) R$ 1 400,00 (B) R$ 1 230,00 (C) R$ 1 150,00 (D) R$ 1 100,00 (E) R$ 1 050,00 09. (Auditor Fiscal da Bahia 2004 FCC) A tabela abaixo, que mostra a distribuição de salários (em reais) de
160 funcionários de uma determinada empresa, com suas respectivas frequências relativas acumuladas.
Classes (em reais)
Frequência Relativa Acumulada (%)
600 – 1000 10
1000 – 1400 30
1400 – 1800 70
1800 – 2200 95
2200 – 2600 100
A média aritmética dos salários dessa empresa, em reais, é: a) 1460 d) 1700 b) 1520 e) 1900 c) 1580
10. (Analista BACEN 2005 FCC) A média aritmética dos salários dos 100 empregados em uma empresa é de
R$ 1 500,00. Na hipótese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2 500,00, e ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários dos remanescentes, a nova média aritmética dos salários será de
(A)R$ 1 375,00 (B) R$ 1 350,00 (C) R$ 1 345,00 (D) R$ 1 320,00 (E) R$ 1 300,00
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11. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife 2003/ ESAF) Em uma amostra, realizada para se obter
informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta.
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 12. (MPOG/ENAP 2006 ESAF) O valor mais próximo da média harmônica do conjunto de dados: {10, 5, 5,
10, 2} é igual a a) 4,0. d) 6,0. b) 4,5. e) 6,2. c) 5,0 13. O valor da média geométrica do conjunto de dados: {4, 4, 32, 128} é igual a a) 4. d) 16. b) 6. e) 32. c) 8
14. (AFRF 2005 ESAF) Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética ( X ), geométrica (G) e harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn):
a) G ≤ H ≤ X , com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais.
b) G ≤ X ≤ H, com G = X = H somente se os n valores forem todos iguais.
c) X ≤ G ≤ H, com X = G = H somente se os n valores forem todos iguais.
d) H ≤ G ≤ X , com H = G = X somente se os n valores forem todos iguais.
e) X ≤ H ≤ G, com X = H = G somente se os n valores forem todos iguais. 15. (Auditor Fiscal da Bahia 2004 FCC) A tabela abaixo, que mostra a distribuição de salários (em reais) de
160 funcionários de uma determinada empresa, com suas respectivas frequências relativas acumuladas.
Classes (em reais)
Frequência Relativa Acumulada (%)
600 – 1000 10
1000 – 1400 30
1400 – 1800 70
1800 – 2200 95
2200 – 2600 100
O valor modal dos salários (desprezando os centavos), em reais, é:
a) 1784 d) 1636 b) 1666 e) 1628 c) 1648
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16. (Banco do Brasil 2008 Cespe)
1. A mediana dos valores correpondentes aos números de mulheres no mercado de trabalho mundial, nos anos de 1989, 1991, 1993 e 1995, é superior a 957. 17. (SEFAZ/SP APOFP 2009 ESAF) Determine a mediana das seguintes observações: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3,
18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9.
a) 13,5 d) 15,5 b) 14 e) 14,5 c) 17 18. (BANESE 2012 FCC) Um levantamento realizado em um setor de uma instituição financeira forneceu as
seguintes informações com relação aos salários dos seus 45 funcionários:
Somando os valores da média aritmética, da mediana e da moda destes salários encontra-se (A) R$ 7.600,00. (D) R$ 8.300,00. (B) R$ 7.940,00. (E) R$ 8.600,00. (C) R$ 8.100,00. 19. (Analista BACEN 2005 FCC) A tabela a seguir refere-se aos salários dos empregados da empresa XYZ em
dezembro de 2005:
Salários (R$) Frequências Simples Absolutas
1 000,00 |¾ 2 000,00 2
2 000,00 |¾ 3 000,00 8
3 000,00 |¾ 4 000,00 16
4 000,00 |¾ 5 000,00 10
5 000,00 |¾ 6 000,00 4
O valor da mediana dos salários dos empregados da empresa XYZ, obtida pelo método da interpolação linear, é igual a (A) R$ 3 500,00 (D) R$ 3 800,00 (B) R$ 3 625,00 (E) R$ 4 000,00 (C) R$ 3 650,00
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20. (Petrobrás 2001 CESPE)
amostra observações
A 21 22 23 24 25 26 27
B 17 19 21 23 25 27 29
Com base nas amostras A e B, cada uma com 7 observações, dadas na tabela acima, julgue os seguintes itens. 1. A mediana da amostra A é maior que a mediana da amostra B. 2. Para a amostra A, a distância entre o primeiro e o terceiro quartis é igual a 6. MEDIDAS DE DISPERSÃO 21. (AFC-94 ESAF) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada uma amostra de dez
indivíduos. Os números que representam as ausências ao trabalho registradas para cada um deles, no último ano, são: 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6 e 10. Sendo assim, o valor do desvio padrão desta amostra é:
a) 3 c) 10
b) 9 d) 30
22. (AFTN-98 Esaf) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra
aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 Os valores seguintes foram calculados para a amostra:
Si Xi = 490 e Si Xi2 – (Si Xi )
2/ 50 = 668 Assinale a opção que corresponde à variância amostral, respectivamente (com aproximação de uma casa decimal) a) 13,6 c) 15,0 e) 14,0 b) 14,0 d) 13,8 23. (CEF 2008 Cesgranrio) A tabela abaixo apresenta as frequências acumuladas das idades de 20 jovens
entre 14 e 20 anos.
Uma das medidas de dispersão é a variância populacional, que é calculada por:
Sabendo-se que m é a média aritmética dessas idades, qual a variância das idades na população formada pelos 20 jovens? (A) 0,15 (B) 0,20 (C) 1,78 (D) 3,20 (E) 3,35
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24. (MPU 2007 FCC) Uma empresa tem duas filiais Z e W. Um levantamento sobre os salários dos
empregados dessas filiais revelou para a média e o desvio padrão dos salários das duas filiais os seguintes valores:
Filial Z: ZX = R$ 400,00 e SZ = R$ 20,00
Filial W: WX = R$ 500,00 e SW = R$ 25,00
Com base nesses resultados é verdade que (A) as dispersões absolutas dos salários das filiais Z e W são iguais. (B) o coeficiente de variação dos salários das duas filiais não diferem. (C) o coeficiente de variação dos salários de Z é menor que o coeficiente de variação dos salários da filial W. (D) o salário médio dos funcionários dessa empresa é de 450 reais. (E) o salário médio dos funcionários dessa empresa é superior a 450 reais. 25. (Fiscal de Rendas SP 2006 FCC) Considerando as respectivas definições e propriedades relacionadas às
medidas de posição e de variabilidade, é correto afirmar: (A) Concedendo um reajuste de 10% em todos os salários dos empregados de uma empresa, tem-se
também que a respectiva variância fica multiplicada por 1,10. (B) Definindo coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da divisão do desvio padrão pela
respectiva média aritmética (diferente de zero) de uma seqüência de valores, tem-se então que CV também poderá ser obtido dividindo a correspondente variância pelo quadrado da média aritmética.
(C) Subtraindo um valor fixo de cada salário dos funcionários de uma empresa, tem-se que o respectivo desvio padrão dos novos valores é igual ao valor do desvio padrão dos valores anteriores.
(D) Dividindo todos os valores de uma seqüência de números estritamente positivos por 4, tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2.
(E) Em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana e a moda é sempre diferente de zero.
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PROBABILIDADE 26. (Banco do Brasil 2011 FCC) Suponha que certa Agência do Banco do Brasil tenha 25 funcionários, cujas
idades, em anos, são as seguintes: 24 - 24 - 24 - 25 - 25 - 30 - 32 - 32 - 32 35 - 36 - 36 - 40 - 40 - 40 - 40 - 46 - 48
48 - 50 - 54 - 54 - 60 - 60 - 65 A probabilidade de que, ao escolher-se aleatoriamente um desses funcionários, a sua idade seja superior a 48 anos é de (A) 28%. (B) 27,4%. (C) 27%. (D) 25,8%. (E) 24%. 27. (CEF 2004 FCC) A tabela abaixo apresenta dados parciais sobre a folha de pagamento de um Banco
Um desses empregados foi sorteado para receber um prêmio. A probabilidade desse empregado ter seu salário na faixa de R$ 300,00 a R$ 500,00 é (A) 1/3 (D) 3/5 (B) 2/5 (E) 7/10 (C) 1/2 28. (Banco do Brasil 2006 FCC) O histograma de frequências absolutas abaixo demonstra o comportamento
dos salários dos 160 empregados de uma empresa em dezembro de 2005:
Utilizando as informações nele contidas, calculou-se a média aritmética dos valores dos salários destes empregados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Escolhendo aleatoriamente um empregado da empresa, a probabilidade dele pertencer ao mesmo intervalo de classe do histograma ao qual pertence a média aritmética calculada é (A) 6,25% (B) 12,50% (C) 18,75% (D)31,25% (E) 32,00%
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29. (Banco do Brasil 2011 FCC) Para disputar a final de um torneio internacional de natação, classificaram-se 8 atletas: 3 norte-americanos, 1 australiano, 1 japonês, 1 francês e 2 brasileiros. Considerando que todos os atletas classificados são ótimos e têm iguais condições de receber uma medalha (de ouro, prata ou bronze), a probabilidade de que pelo menos um brasileiro esteja entre os três primeiros colocados é igual a:
(A) 5/14 (B) 3/7 (C) 4/7 (D) 9/14 (E) 5/7 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA BINOMIAL 30. (ANEEL 2006 ESAF) As pesquisas médicas indicam que, 70% dos pacientes portadores de uma
determinada moléstia, quando submetidos a um novo tratamento, ficam curados. Se o Dr. Paulo submeter quatro pacientes portadores dessa moléstia a esse novo tratamento, então a probabilidade de dois desses pacientes ficarem curados é igual a
a) 26,46 %. d) 32 %. b) 50 %. e) 30 %. c) 49 %. 31. (ATA-MF - 2009 / ESAF) Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é
de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes?
a) 20% b) 27% c) 25% d) 23% e) 50% DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA DE POISSON
32. (AFRFB 2009 ESAF) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo uma
distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo três petroleiros em dois dias é igual a:
33. (MPU 2007 FCC) O número de pacientes atendidos por um clínico geral segue uma distribuição de Poisson com taxa média de 4 pacientes por hora. A probabilidade de que pelo menos um paciente consulte o clínico geral em um período de 15 minutos é
(A) 1–e–1 (C) e–4 (E) e–1 (B) 1–e4 (D) e4
