UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

Fsica Experimental-II

Professor: Dion Barbosa

Alunos:

Romrio Nazar.

Murilo Simes.

Romrio Ps.

Letcia Alves.

PNDULO

de

TORO

INTRODUO

O pndulo de toro um sistema fsico formado por um corpo suspenso por um fio, ou mesmo uma haste, preso a uma plataforma na base superior. Provocando uma rotao no corpo em torno do seu eixo vertical, ocorre uma deformao no fio ou haste, resultando na ao de um torque que tende a restabelecer a condio de equilbrio do sistema (o torque restaurador). Sob a ao desse torque, o sistema passa oscilar, descrevendo oscilaes harmnicas, com uma frequncia que depende unicamente das dimenses e material do fio ou haste e do momento de inrcia do corpo.

MATERIAL UTILIZADO

1. Barras cilndricas e retangulares de metal

2. Massas

3. Haste delgada de metal

4. Cronmetro

5. Rgua

6. Bases, garras e suportes

PROCEDIMENTO

BARRAS CILNDRICAS

Inicialmente trabalhamos com as barras cilndricas de metal. Pesamos a massa m de uma delas, medimos o seu comprimento L e o raio da base R e prendemo-la na haste pelo centro da mesma, de forma que ela uma posio horizontal. Em seguida fizemos a barra cilndrica oscilar, torcionando levemente a haste que a sustentava. Medimos o perodo, a partir da medida do tempo de 20 oscilaes. Registramos todos os dados na tabela e repetimos o procedimento com mais 3 barras cilndricas metlicas. Em seguida, medimos o comprimento C da haste delgada e tambm registramos na tabela. A aparncia final esta ilustrada na figura abaixo.

BARRA RETANGULAR DE METAL

Medimos a correspondente massa m, o seu comprimento L e prendemos-a na haste delgada pelo centro da mesma, de forma que ela assumisse uma posio horizontal. Determinamos o valor das massas M e penduramos-a nos pontos mais prximos do centro da barra. Certificamos para que as massas ficassem mesma distncia d do centro. Em seguida medimos o correspondente perodo fazendo a medida do tempo de 10 oscilaes e registramos os dados na tabela. Mantemos a haste delgada com o mesmo comprimento C usado na primeira srie de medidas. Repetimos o procedimento para mais 4 posies das massas na barra retangular, inclusive usando os furos mais afastados do centro. Registramos todos os dados na tabela. Depois, fixamos uma configurao das massas na barra e fizermos-a variar o comprimento da haste. Alm da medida do perodo para o comprimento original C, fizemos medidas do perodo para mais 5 comprimentos diferentes

da haste.

A aparncia final esta ilustrada na figura abaixo

TRATAMENTO DE DADOS

TABELA m(L+3R) x T

X [m(L+3R) ]

0,011296

0,004615

0,002855

0,010049

0,02325

Y (T)

0,156025

0,070225

0,0361

0,16

0,297025

X

0,011296

0,004615

0,002855

0,010049

0,02325

Y

0,156025

0,070225

0,0361

0,16

0,297025

XY

0,0017624584

0,000324088375

0,0001030655

0,00160784

0,00690583125

X

0,000127599616

0,000021298225

0,000008151025

0,000100982401

0,0005405625

0,052065

0,719375

0,010703283

0,000798593767

GRFICO:

-0,0002

0,0000

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0,0010

0,0012

0,0014

0,0016

0,0018

0,0020

0

2

4

6

8

10

12

14

T

2

(s

2

)

m.L

2

(kg.m

2

)

Quadrado do PerodoX Momento de Inrcia

Sendo a equao da melhor reta, obtida pelo programa Microcal Origin 7.0, em vermelho no grfico do quadrado do perodo pelo momento de inrcia de cada barra metlica:

T2= B.m.L2+ A (equao I)

Esto relacionados os valores abaixo:

Parmetro

Valor

Erro

A

0,04964

0,43335

B

534,12037

39,64609

Atravs do valor encontrado para B, possvel encontrar o valor do mdulo de toro k do fio, constante que depende das dimenses e do material do fio. A partir da equao de movimento do pndulo de toro, obtm-se a igualdade:

T2= (42/12.k).m.L2 (equao II)

Observando que o valor de A, da equao I, prximo de zero, podemos comparar as equaes I e II :

T2= (42/12.k).m.L2 = B.m.L2+ A

B= 42/12.k

k= 12.B/42 = 12x534,12037/42

k=0,006159413343 kg.m2/s2

TABELAS DO SEGUNDO PNDULO:

1-fixando C=10 cm

d(m)

I(kg.m)

f(Hz)

T(s)

0,023

0,003783433333

0,19

5,23

0,050

0,006623433333

0,18

5,57

0,090

0,015825033

0,14

6,96

0,140

0,039381129

0,11

8,71

0,200

0,084821129

0,08

11,95

2-fixando d=0,40m ; momento de inrcia do sistema: I=0,0486483334 kg.m2

C(m)

f(Hz)

T(s)

0,10

0,110

9,06

0,15

0,094

10.60

0,20

0,081

12,34

0,25

0,073

13,67

0,30

0,069

14,57

0,40

0,064

15,53

GRFICO1.

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

20

40

60

80

100

120

140

160

T

2

(s

2

)

d

2

(m

2

)

Quadrado do Perodox Quadrado da distncia

A equao da melhor reta, fornecida pelo Microcal Origin 7.0, :

T2= B.d2+ A (equao I) A equao da melhor reta, fornecida pelo Microcal Origin 7.0, :

T2= B.d2+ A (equao I)

Parametro

Valor

Erro

A

23,84099

2,17886

B

2916,49858

107,44148

Novamente, pela equao do movimento do pndulo de toro, temos que:

T2= (42/12.k).m.L2 + (42/k).M.d2 (equao II)

Comparando a s equaes I e II:

T2= B.d2+ A= (42/12.k).m.L2 + (42/k).M.d2

Desta forma:

B= (42/k).M

M=(2916,49858x0,006159413343)/ 42

M=0,455031416 kg

Comparamos o valor das massas M, calculado acima, com o valor obtido na balana atravs do desvio relativo:

D=(0,455031416 - 0,284)/0,284= 0,585613239 , que um desvio de aproximadamente 60%.

O valor do momento de inrcia dado pela expresso, utilizando o valor de M encontrado acima e escolhendo d=0,023, :

I= (mL2)/12 + Md2

I= 0,003449044952 kg.m2

Calculando o desvio relativo entre o momento de inrcia encontrado atravs do clculo acima e o momento de inrcia calculado com as massas M obtidas na balana do laboratrio:

D= (0,003783433333 - 0,003449044952)/ 0,003783433333= 0,088382258, que corresponde a um desvio de aproximadamente 9%.

GRFICO 2.

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

40

60

80

100

120

140

T

2

/I(4

p

2

) (s

2

/kg.m

2

)

C(m)

Quadrado do Perodo por I(4

p

2

) x Comprimento do Fio

A partir da melhor reta, fornecida pelo Microcal 7.0, possvel obter a equao:

T2/(I.42)= BxC + A (equao I)

Parametro

Valor

Erro

A

2,45488

0,03507

B

0,81605

0,04991

Pela equao do movimento do pndulo de toro, encontra-se:

T2/(I.42)=1/k (equao II)

Comparando as equaes I e II:

T2/(I.42)= BxC + A= 1/k

Assim, observamos uma dependncia inversa entre C e k:

1/k = 0,81605xC + 2,45488

Obtendo a expresso para o perodo em funo do comprimento do fio e do mdulo de toro:

T2/(I.42)=1/k ( T2=(I.42)/k (1)

T2/(I.42)= 0,81605xC + 2,45488 ( T2=(I.42)( 0,81605xC + 2,45488) (2)

Somando (1) e (2):

2 T2=(I.42)[( 0,81605xC + 2,45488)+ 1/k ]

e, enfim:

T2=(I.22)[( 0,81605xC + 2,45488)+ 1/k ]

CONCLUSO

Observamos que o desvio de 60% no valor das massas M est relacionado ao provvel erro nas medies dos perodos de oscilao, visto que as medidas obtidas destoam das medidas esperadas para este tipo de movimento. Houve neste caso uma provvel falha humana. Foi menor o desvio relativo do momento de inrcia por este ser dependente de M de forma que seu valor no muito alterado quando se d uma alterao em M; no S.I., o valor do momento de inrcia para esse sistema pequeno, como visto na tabela 1do segundo pndulo.

Notemos no entanto que, apesar da ocorrncia de erros nas medidas, foi possvel obter a dependncia entre C e k e a equao que relaciona o perodo T, o comprimento C do fio e o mdulo de toro k do fio, embora as constantes apresentadas na equao no tenham valores muito confiveis.

REFERNCIA:

NUSSENZVEIG, H.M. Curso de fsica bsica. So Paulo: Edgard Blcher, c 1981. 2v.

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