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Planejamento e Otimização de Experimentos
Planejamentos 3k , Box-Behnken e Plackett-Burman
Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira
anselmo.quimica.ufg.br
Planejamento Fatorial 3k
• 3 níveis
o 0: baixo (-1)
o 1: intermediário (0)
o 2: alto (+1)
• poucos fatores e muitos experimentos
• regressão com termos quadráticos
• cada efeito tem uma componente linear e quadrática
• não é a forma mais eficiente de modelar uma relação quadrática
Fator A
0
Fato
r B
1 2
0
1
2
00 10
01
02
11
12
20
21
22
Combinações em um Planejamento 32
Combinações em um Planejamento 33
Regressão
• 32 = 9 experimentos
• 33 = 27 experimentos
• Modelo de regressão para 32
termos quadráticos:
adição de um terceiro
nível
𝒚 = 𝒃 𝟎 + 𝒃 𝟏𝒙𝟏 + 𝒃 𝟐𝒙𝟐 + 𝒃 𝟏𝟐𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒃 𝟏𝟏𝒙𝟏𝟏𝟐 + 𝒃 𝟐𝟐𝒙𝟐𝟐
𝟐
Planejamento Box-Behnken, 1960
É o mais usado para
planejamentos fatoriais em
três níveis, sendo possível
para mais do que três
variáveis independentes
• 12 pontos nos centros das arestas
• 3 pontos centrais
Planejamento Box-Behnken
• Ensaios
X1 X2 X3
-1 -1 0
1 -1 0
-1 1 0
1 1 0
-1 0 -1
1 0 -1
-1 0 1
1 0 1
0 -1 -1
0 -1 1
0 1 -1
0 1 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
pontos
centrais
X1
X2 X3
p1
Planejamento Box-Behnken
relação empírica para três variáveis,
assumindo o modelo quadrático
𝒚 = 𝒃 𝟎 + 𝒃 𝟏𝒙𝟏 + 𝒃 𝟐𝒙𝟐 + 𝒃 𝟑𝒙𝟑 + 𝒃 𝟏𝟐𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒃 𝟏𝟑𝒙𝟏𝒙𝟑+ 𝒃 𝟐𝟑𝒙𝟐𝒙𝟑 + 𝒃 𝟏𝟏𝒙𝟏𝟏
𝟐 + 𝒃 𝟐𝟐𝒙𝟐𝟐𝟐 + 𝒃 𝟑𝟑𝒙𝟑𝟑
𝟐
Três Níveis; k = 3
Um experimento foi conduzido para
estudar o efeito de três diferentes
tipos de garrafas (B) de 900 g (32 oz)
em três diferentes tipos de
prateleiras (C), considerando o tempo
gasto para armazenar 10 pacotes de
12 garrafas nas prateleiras, com três
trabalhadores (A) envolvidos.
Três Níveis; k = 3
• Trabalhador (A)
o 1
o 2
o 3
• Prateleira (C)
o Permanente
o Fim do corredor
o Geladeira
• Garrafa (B)
o Plástica
o Vidro de 28 mm
o Vidro de 38 mm
Experimento Execução A B C Y
1 5 -1.00 -1.00 -1.00 3.45
2 15 0.00 -1.00 -1.00 4.8
3 11 1.00 -1.00 -1.00 4.08
4 3 -1.00 0.00 -1.00 4.04
5 17 0.00 0.00 -1.00 4.52
6 10 1.00 0.00 -1.00 4.3
7 27 -1.00 1.00 -1.00 4.2
8 12 0.00 1.00 -1.00 4.96
9 20 1.00 1.00 -1.00 4.17
10 13 -1.00 -1.00 0.00 4.14
11 6 0.00 -1.00 0.00 5.22
12 21 1.00 -1.00 0.00 3.94
13 22 -1.00 0.00 0.00 4.38
14 25 0.00 0.00 0.00 5.15
15 7 1.00 0.00 0.00 4.53
16 14 -1.00 1.00 0.00 4.26
17 1 0.00 1.00 0.00 5.17
18 16 1.00 1.00 0.00 4.86
19 18 -1.00 -1.00 1.00 5.8
20 26 0.00 -1.00 1.00 6.21
21 9 1.00 -1.00 1.00 5.14
22 8 -1.00 0.00 1.00 5.48
23 4 0.00 0.00 1.00 6.25
24 19 1.00 0.00 1.00 4.99
25 2 -1.00 1.00 1.00 5.67
26 23 0.00 1.00 1.00 6.03
27 24 1.00 1.00 1.00 4.85
3k completo • 27 experimentos
• Matriz X não é quadrada
𝐛 = 𝐗𝐓𝐗−𝟏𝐗𝐓𝐘
Box-Behnken • 14 experimentos (12 +2pc)
• sempre incluir pontos centrais: alias
• não considerar o efeito ABC na matriz X
Experimento Execução A B C Y
1 9 -1.00 -1.00 0.00 4.14
2 7 1.00 -1.00 0.00 3.94
3 14 -1.00 1.00 0.00 4.26
4 6 1.00 1.00 0.00 4.86
5 1 -1.00 0.00 -1.00 4.07
6 10 1.00 0.00 -1.00 4.3
7 8 -1.00 0.00 1.00 5.48
8 12 1.00 0.00 1.00 4.99
9 11 0.00 -1.00 -1.00 4.8
10 13 0.00 1.00 -1.00 4.96
11 4 0.00 -1.00 1.00 6.21
12 3 0.00 1.00 1.00 6.03
13 5 0.00 0.00 0.00 4.65
14 2 0.00 0.00 0.00 5.15
Três Níveis; k = 3
3k completo
• Coeficientes
oC = 0,66
oAC = -0,24
oA2 = -0,80
oC2 = 0,31
Box-Behnken
• Coeficientes
oC = 0,57
oA2 = -0,7
oC2 = 0,5
Planejamento Plackett-Burman, 1946
• Não geométrico
• Fatorial fracionário para estudar k = N-1
variáveis em N experimentos, onde N é um
múltiplo de 4
• Muito eficiente quando apenas os efeitos
principais são importantes. Os efeitos
secundários são confundidos com os principais
• Screening
Planejamento Plackett-Burman
• Tabelas, em linhas, apresentam a primeira coluna da matriz de
planejamento
N k Sinais
12 11 + + - + + + - - - + -
16 15 + + + + - + - + + - - + - - -
20 19 + + - - + + + + - + - + - - - - + + -
24 23 + + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - -
• A segunda linha (coluna) é obtida a partir dessa primeira movendo-
se os elementos da linha para baixo em uma posição, e o colocando
o último elemento na primeira posição. E assim por diante
• Uma linha de sinais -1 é adicionada, completando o planejamento
Matriz de contrastes para k = 11, com 12 experimentos
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11
1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1
2 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1
3 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1
4 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1
5 +1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1
6 +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1
7 -1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1
8 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1
9 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 +1
10 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1
11 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 +1
12 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
Matrizes de contrastes
http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pri/section3/pri335.htm
NIST: tabela diferente
Web of Knowledge, 11/12/2012: 1.143 trabalhos
Application of Plackett-Burman Design to evaluate Media
Components Affecting Antibacterial Activity of Alkaliphilic
Cyanobacteria Isolated from Lonar Lake Turk J Biochem 2010; 35 (2) ; 114–120
Objective: To evaluate the media components affecting the antimicrobial
activity of alkaliphilic cyanobacteria using Plackett-Burman design
N = 12
k = 8
todos os contrastes da última linha são iguais a -1
x 2
?
