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Potenciação com números naturais
Ano Letivo 2014
Prof. Claudia Zandonai
Potenciação com números naturais
Você conhece a lenda do xadrez?
Potenciação com números naturais
O xadrez é um jogos mais antigos do mundo.
Diz uma lenda que ele foi inventado, há muitosséculos, na Índia. Foi aí que...
O Rei Sheram, entusiasmado com o novo
jogo, resolveu recompensar Sessa, que eraprofessor e o inventor do xadrez.
“Eu desejaria recompensa–te pelo teumaravilhoso invento”, disse o rei,
cumprimentando o professor Sessa.
“Gostaria de satisfazer o teu mais carodesejo”, continuou o rei.
Sessa, na sua humildade, disse: “Majestade,eu gostaria de receber um grão detrigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez,dois grãos pela segunda, quatro grãos pelaterceira, oito grãos pela quarta, e assimsucessivamente, até completar as 64 casas”.
Admirado e até mesmo irritado pelo pedidotão modesto, o Rei Sheram solicitou aos seussábios que calculassem o número de grãos eordenou aos seus criados que entregassem
A lenda do Xadrez
A lenda do Xadrez...e ordenou aos seus criados que entregassem
em um saco a recompensa pedida por Sessa.No dia seguinte, o Rei escutou apavorado um
dos sábios dizer qual era esse número:
18 446 744 073 709 551 615...,ou seja, aproximadamente 18 quinquilões de
grãos.Só para você ter uma idéia sobre esse
número tão grande, basta dizer que se fosseplantado trigo em toda a superfície da Terra,
A lenda do XadrezIria demorar alguns séculos para produzir esse
número de grãos!Como seria, então, os cálculos para obtenção
desse número?
Primeira casa: 1 grãoSegunda casa:1x2 = 2 grãos
Terceira casa: 1x2x2 = 4 grãosQuarta casa: 1x2x2x2= 8 grãos
Quinta casa: 1x2x2x2x2 = 16 grãosSexta casa: 1x2x2x2x2x2 = 32 grãos
A lenda do xadrez
Sétima casa: 1x2x2x2x2x2x2 = 64 grãosOitava casa: 1x2x2x2x2x2x2x2 = 128 grãos
Nona casa: 1x2x2x2x2x2x2x2x2 = 256 grãosE assim por diante. Somando todos os
Resultados das 64 casa do tabuleiro de xadrez,encontraremos o número:
18 446 744 073 709 551 615
A lenda do xadrez
Mas, será que não poderíamos escrever
este número de maneira diferente?Vamos voltar...
Primeira casa: 1 = 1 grãoSegunda casa: 1x2 = 2 grãos
...
...
Nona casa: 1x2x2x2x2x2x2x2x2 = 256 grãos
Potenciação com números naturais
Tem número que se repete a cada nova
casa do tabuleiro.Que número é esse? 2
Para indicar multiplicações com fatores iguais, o homem criou a potenciação.
Assim, para indicar 2x2x2x2x2x2, porexemplo, usamos o símbolo 26 , denominado
potência de base 2 e expoente 6.
Potenciação com números naturais
Então:
Dois elevado na terceira potência
2x2x223
Cinco elevado na segunda potência
5x552
Três elevado na potência quatro
3x3x3x334
Dois elevado na sétima potência
2x2x2x2x2x2x2x227
LeituraSignificadoSímbolo
Termos da Potênciação
A potência an, sendo n um número natural
maior que 1, significa:
Nomenclatura
27= 2x2x2x2x2x2x2 = 128
n
iguaisfatoresn
aaxaxaxa =4444 34444 21
__
potênciaé
oenteé
baseé
Então
__128
exp__7
__2
:
Potenciação com números naturais
Agora vamos pensar em quantos tataravóstem uma pessoa.
Potenciação com números naturais
Analise o que acontece com a
quantidade de ancestrais a partir da
pessoa mais jovem.
Eu: 1
Pais: 2
Avós: 2.2 = 4
Bisavós: 2.2.2 = 8
Trisavós:2.2.2=16
Tataravós:2.2.2.2=32
Uma pessoa tem 32 tataravós.
Potenciação com números naturais
Note que, para calcular o número de
ancestrais, usamos a multiplicação de fatoresiguais.
Para representar uma multiplicação em quetodos os fatores são iguais, podemos usar apotenciação.
Observe:
642
2222222
6
6
__6
=
=4444444 34444444 21
iguaisfatores
xxxxx
Potenciação com números naturais
Podemos representar o número de trisavóse de tataravós da situação anterior na forma
de potência:Trisavós:
Tataravós:
162
22222
4
4
__4
=
=4444 34444 21
iguaisfatores
xxx
322
222222
5
5
__5
=
=44444 344444 21
iguaisfatores
xxxx
Potenciação com números naturais
De modo geral, na potenciação com númernaturais, a base é o fator que se repete naMultiplicação e o expoente indica quantasvezes esse fator se repete. Isso não vale parapotências com expoente zero ou 1.
• Quando o expoente é 1, a potência é igual àprópria base.
Exemplos:21 = 2 151 = 15 361 = 36
Potenciação com números naturais
• Quando o expoente é zero e a base da
potência é diferente de zero, a potência é iguala 1.
Exemplos:20 = 1 150 = 1 360 = 1
Potenciação com números naturais
Quadrado de um n úmeroAs potências de expoente 2 podem ser
representadas geometricamente.Veja alguns exemplos:
Potenciação com números naturais
Por causa da sua representação geométrica,as potências de expoente 2(quadrado) têmnomes especiais.• 1²: “um ao quadrado” ou “quadrado de um”• 2²: “dois ao quadrado” ou “quadrado de dois”• 3²: “três ao quadrado” ou “quadrado de três”• 4²: “quatro ao quadrado” ou quadrado de
quatro”.• n²: “n-ésimo ao quadrado”
Potenciação com números naturais
Cubo de um n úmeroAs potências de expoente 3 também podem
ser representadas geometricamente. Veja os
exemplos:
Potenciação com números naturais
Da mesma forma que as potências de
expoente 2, essas potências também recebemnomes especiais. Veja como lemos as
potências dos exemplos:• 1³: “um ao cubo” ou “cubo de 1”;
• 2³: “dois ao cubo” ou “cubo de 2”;• 3³: “ três ao cubo” ou “cubo de 3”.
Potenciação com números naturais
Quando o expoente de uma potência é
diferente de 2 ou 3, não é possível representá-la geometricamente. Por esse motivo, não há
um nome especial para tais potências. Vejacomo lemos algumas delas:
• 74: “sete elevado à quarta potência”;• 1020: “dez elevado à vigésima potência”;
• 5117: “cinquenta e um elevado a décima sétima potência”.
Aplicações de potenciação
Juliana precisa organizar todas as pastasde seu escritório. Sabendo que no escritório há
4 armários, que em cada armário há 4 gavetase que em cada gaveta há 4 pastas, quantas
pastas ela vai organizar?Observe como Joana organizou seus
documentos no computador e resolva o
problema.
Joana abriu três pastas: A, B e C. Depois,
para cada uma dessas pastas, ela abriu outras
3(a,b e c)e, dentro de cada uma delas, colocou3 documentos.
Qual é a quantidade de documentos queJoana tem?
Expresse a resposta na forma de potencia.
Aplicações da PotenciaçãoObserve a imagem de uma colônia de
Bactérias Escherichia coli(E.Coli), coloridaartificialmente, imagem ampliada 2.680 vezes.
A reprodução de bactéria e a Matemática
Ao observarmos a reprodução dasbactérias,biólogos e matemáticos perceberam queo crescimento das bactérias, como na imagem,éum fenômeno biológico onde a representaçãomatemática pode ser feita por uma lei exponencial,ou seja, que utiliza a potenciação.
A reprodução das bactérias é, de modo geral éassexuada; ocorre por cissiparidade ou bipartição –processo em que as bactérias se reproduzem emvirtude de uma divisão muito rápida.
A primeira bactéria se divide em duas.
Depois duas se dividem em duas resultandoquatro bactérias-, e cada uma dessas quatro
bactérias também se divide em duas partes eassim sucessivamente, desde que existam
condições biológicas e ambientais. Esseprocesso é um dos fatores importantes e
responsáveis pelo enorme sucesso biológicodas bactérias.
Exemplo 1
Considerando que o número de bactérias
em certa cultura cresce 10 vezes a cada 1
Hora. A amostra inicial dessa cultura tinha100 bactérias.a) Quantas bactérias haverá nessa cultura
após 1 hora? E após 4 horas? b) Após um dia inteiro, haverá mais de 100
trilhões de bactérias? Explique.