ESPAÇO AMOSTRAL : O conjunto de todos os resultados possíveis de um

experimento aleatório, é chamado de ESPAÇO AMOSTRAL do experimento. O

espaço amostral é denotado por S. Um espaço amostral é discreto se ele

consiste de um conjunto infinito ou finito de resultados contáveis. Um espaço

amostral é contínuo se ele contém um intervalo (finito ou infinito) de números

reais.

EVENTO : Um evento é um subconjunto do espaço amostral de um

experimento aleatório. Como eventos são subconjuntos do espaço amostral,

podemos usar a operação básica da teoria de conjuntos para gerar NOVOS

eventos.

EXPERIMENTO ALEATÓRIO : Experimento que pode fornecer diferentes

resultados, embora seja repetido toda vez da mesma maneira.

Experimento : Dois dados são lançados aleatoriamente.

Espaço amostral :

EXEMPLOS

Evento 1 : Dados com o mesmo valor de face

E1 = { 11,22,33,44,55,66}

Evento 2 : Dados soma dos valores maior que 10

E2 = { 56, 65,66}

Experimento : Valor da resistência medida em um fio de cobre.

Espaço amostral : S = R+ = { x | x > 0}

EXEMPLOS

Experimento : Valor da resistência medida em um fio de cobre, sabido que a

resistência medida não será menor que 10K ohms e não será maior que 100 K

ohms. Espaço amostral : S = { x | 10.000 < x < 100.000}

Experimento : Valor da resistência medida em 2 fios de cobre.

Espaço amostral : S = R+ x R+

EXEMPLOS

Experimento : Verificar se o valor da resistência (R) medida nos dois fios de cobre está

ou não dentro da especificação determinada por R menor que 10K ohms e não será maior

que 100 K ohms.

Espaço amostral : S = { ss, sn, ns, nn }

Experimento : Verificar do total de dois fios de cobre, o número de fios de cobre que

estão ou não dentro da especificação determinada por R menor que 10K ohms e não será

maior que 100 K ohms.

Espaço amostral : S = { 0, 1, 2}

Experimento : Medir a resistência (R) de fios de cobre até encontrar um fio de cobre fora

da especificação determinada por R menor que 10K ohms e não será maior que 100 K

ohms.

Espaço amostral : S = { s,sn,ssn,sssn,ssssn ... } Espaço amostral discreto e infinito contável.

Em experimentos que envolvem a seleção de itens de um lote, é importante

compreendermos as definições de amostragem com reposição ou sem

reposição e com ordenamento ou sem ordenamento, que influenciam na

descrição do espaço amostral.

AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO

Por exemplo, se tivermos um lote de 3 fios de cobre a, b, e c. Ao selecionarmos

2 itens SEM REPOSIÇÃO, nosso espaço amostral possível será :

Ssem/ord = { ab, ac, ba, bc, ca, cb }, caso o ordenamento dos itens seja relevante

ou

Ssem/nord= { {a,b}, {a,c}, {b,c} } se o ordenamento não é relevante.

Por outro lado em um lote de 3 fios de cobre a, b, e c ao selecionarmos 2 itens

COM REPOSIÇÃO, nosso espaço amostral possível será :

Ssem/ord = { ab, aa, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc }, caso o ordenamento dos itens seja

relevante

ou

Ssem/nord = { {a,a}, {a,b}, {a,c}, {b,b}, {b,c}, {c,c} } se o ordenamento não é

relevante.

AMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃO

Alguma vezes não é necessário descrever exatamente o item selecionado, mas

somente uma de suas propriedades, como por exemplo atender uma determinada

especificação (bom) ou não (defeito). Em um determinado lote, encontramos 5

peças com defeito e 95 peças boas, se selecionarmos uma amostra de 2 itens

sem reposição e ordenados, o espaço amostral seria :

S = { bb,bd,db,dd }

Agora, se nesse mesmo lote, existisse somente uma peça com defeito, qual

seria o novo espaço amostral ? Dado o espaço amostral original, qual seria

o novo espaço amostral se a amostra não fosse ordenada ?

DESCRIÇÃO GRÁFICA DE ESPAÇOS AMOSTRAIS

DIAGRAMAS DE ÁRVORES

DIAGRAMA DE VENN

Os diagramas de Venn são usados para retratar relações entre conjuntos, logo podem ser usados

também para descrever relações entre eventos.

EXERCÍCIO

(1)

(2)

(3)

TÉCNICAS DE CONTAGEM

Muitas vezes a determinação dos resultados que compreendem um espaço

amostral ou evento não são simples, por isso os métodos de técnicas de

contagem são utilizados.

REGRA DA MULTIPLICAÇÃO

Se uma operação puder ser descrita em k etapas e se o número de maneiras de

completar a etapa 1 for n1, o número de maneiras de completar a etapa 2 for n2,

para cada maneira de completar a etapa n1 e se o número de maneiras de

completar a etapa 3 for n3 para cada maneira de completar a etapa 2 e assim por

diante, temos que o número total de completar a operação será :

n1 x n2 x n3 x....x nk

EXEMPLO

Número possível de placas de automóveis :

AAA 9999

26

26

26

10 10 10

10

N = 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175.760.000

TÉCNICAS DE CONTAGEM

PERMUTAÇÃO

Para calcularmos o número de sequências ordenadas sem reposição dos

elementos de um conjunto, utilizamos a permutação. O número de permutações

de n elementos diferentes é PN , sendo

PN = n x (n-1) x (n-2) x ... x 2x1 = n!

Exemplo : Considere o conjunto S = { a, b, c } a sequência ordenada

abc,acb,bac,cba e cba. São todas permutações dos elementos de S. Esse

resultado é decorrente da regra da multiplicação.

XXX

3 2 1

TÉCNICAS DE CONTAGEM

PERMUTAÇÃO DE OBJETOS SIMILARES

Quando precisamos contar o número de permutações (sequências ordenadas)

para objetos que não são todos diferente, o número de permutações n =

n1+n2+...+nr objetos dos quais n1 são de um tipo, n2 são de um segundo tipo e

assim por diante

PN = n!

n1 ! x n2 ! x...x nr!

Ex.: Considere uma operação de usinagem em que dois orifícios com mesmo diametro, e

dois encaixes de mesmo tamanho precisam ser feitos em determinada peça. Seja p a

operação de perfuração e e a operação de encaixe, qual o número de possíveis sequencias

para estas operações ? Faça o diagrama de árvore do espaço amostral.

R:

P4 = 4!

2 ! x 2 !

TÉCNICAS DE CONTAGEM

PERMUTAÇÃO DE SUBCONJUNTOS - ARRANJO

Em alguns casos estamos interessados no número de sequências ou arranjos de

alguns elementos de um conjunto. Dessa forma para calcularmos o número de

permutações de subconjuntos de n elementos, sem reposição, selecionados de

um conjunto de N elementos diferentes temos que :

AN,n = N!

(N-n)!

Exemplo : Uma placa de circuito impresso tem 8 localizações diferentes em que

um componente pode ser colocado, se 4 componentes diferentes podem ser

colocados na placa, quantos projetos diferentes são possíveis ?

R : Cada projeto consiste em selecionar uma localização para o 1º componente,

uma localização das setes restantes para o 2º componente, um localização das

seis restantes para o terceiro componente e assim por diante.

TÉCNICAS DE CONTAGEM

PERMUTAÇÃO DE SUBCONJUNTOS - ARRANJO

C1C2C3C4

8 7 6 5

A8,4 = 8! = 8 x7 x 6 x 5 = 1680

(8-4)!