Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula13.pdf · EXEMPLO 7: Um exame consta de 10 perguntas de igual diﬁculdade e mesma pontuação. Sendo 7 a nota de aprovação,

Probabilidade I

Departamento de Estatística

Universidade Federal da Paraíba

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de Bernoulli e Binomial 07/14 1 / 32

Distribuições DiscretasApresentaremos agora alguns dos modelos mais importantes para variáveis aleatóriasdiscretas.

Seguem, abaixo, alguns resultados que serão utilizados em algumas demonstrações.Seja a> 0 e b< 1.

1. (a+b)n =∑n

x=0 (nx)a

x bn−x e (a+b)n−1 =∑n−1

x=0 (n−1

x )ax bn−1−x ;

2. ex =∑∞

n=0xn

n! ;

3.∑∞

x=k ax = ak

1−a , k ≥ 0;

4.∑∞

x=1 xax = a(1−a)2 ;

5.∑∞

x=2 x(x −1)ax = 2a2

(1−a)3 ;

6. x(nx)= n(n−1

x−1);

7. (nr)=

nr (

n−1r−1);

8.∑r

x=0(m

x )(n−mr−x )

(nr )

= 1 e∑r−1

x=0(m−1

x )(n−1−m−1r−1−x )

(n−1r−1)

= 1

9.∑∞

x=0[(1−a)et ]x = 11−(1−a)et para t < ln

11−a

, pois (1−a)et < 1 para a série ser convergente.

10. 1(1−b)r =∑∞

x=0 bx .


Distribuição Bernoulli

Distribuição de Bernoulli

Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados

Exemplo:

1. Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;

2. O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ounegativa.

3. Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;

4. No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;

1

5. No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.

Estas situações tem alternativas dicotômicas e podem ser representadasgenericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso. Associaremos p, aprobabilidade de sucesso, ao evento que nos interessa e 1-p, será aprobabilidade de fracasso.

Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e originam umav.a. com distribuição de Bernoulli.



Distribuição de Bernoulli

Uma V.A. (X) de Bernoulli é aquela que assume apenas dois valores 1se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), comprobabilidade de sucesso p, isto é,

Temos então que:

1, se ocorrer “sucesso”

X =

0, se ocorrer “fracasso”

1

A função de probabilidade de X é dada por:

p(x)=px (1-p)1-x , para x=0,1.

Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli comparâmetro p.



Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos.


Distribuição BernoulliEXEMPLO 1: Suponha que a probabilidade de óbito de um paciente, ao darentrada na terapia intensiva, seja de 25% (risco de morte). Seja X uma variávelbinária indicadora de óbito, se um paciente der entrada no CTI, obtenha adistribuição de probabilidade, a média e a variância.


Distribuição BernoulliEXEMPLO 2: Seja X uma variável aleatória de Bernoulli com p = 0.6. Encontre afunção de distribuição acumulada de X .


Distribuição Binomial


Exemplo 2: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes eprobabilidade de cara seja p em cada lançamento. Determinar adistribuição de probabilidade da variável X, número de caras nos 3lançamentos.

Denotemos:

S: sucesso, ocorrer cara (k)

F:fracasso, ocorrer coroa(c)

1

P(sucesso)=p P(fracasso)=q=1-p

Ω=FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS

Xi é uma variável aleatória Bernoulli (i=1,2,3).




1



===

===

===

===

)()3(

),,()2(

),,()1(

)()0(

SSSPXP

SSFSFSFSSPXP

SFFFSFFFSPXP

FFFPXP

Daí temos que:

A função de probabilidade da v.a. X é dada por:

1

)(

3210

xXP

x

=

O comportamento de X , pode ser representado pela seguinte função:

== )( xXP









Distribuição de uma v.a. Binomial

Considere a repetição de n ensaios idênticos de Bernoulli independentes.

Seja X o número total de sucessos obtidos.

Diremos que X segue o modelo Binomial com parâmetros n e p e sua função deprobabilidade é dada por:

,,1,0,)1()()(

nxppx

n

xXPxpxnx

=−

===

−

L

1

Binomial. ecoeficient o representa,)!(!

!

.,0

xnx

n

x

nonde

cc

−

=

Notação, X~B(n,p), para indicar que v.a. X tem distribuição Binomial comparâmetros n e p.



E(X) =n∑

x=0

x

nx

px(1−p)n−x(iniciando soma em 1 e usando 6.)

=n∑

x=1

n

n−1x −1

px(1−p)n−x

= nn∑

x=1

n−1x −1

p.px−1(1−p)n−x−1+1

= npn∑

x=1

n−1x −1

px−1(1−p)(n−1)−(x−1)(fazendo y = x −1)

= npn−1∑

y=0

n−1y

py(1−p)n−1−y(usando 1.)

= np(p+1−p)n−1

= np



E(X 2) =n∑

x=1

x2

nx

px(1−p)n−x(usando o artificio x2 = x(x −1)+ x)

=n∑

x=1

[x(x −1)+ x]

nx

px(1−p)n−x

=n∑

x=1

x(x −1)

nx

px(1−p)n−x +n∑

x=0

x

nx

px(1−p)n−x

=n∑

x=1

(x −1)n

n−1x −1

px(1−p)n−x +E(X)

= nn∑

x=1

(n−1)

n−2x −2

p2px−2(1−p)n−x−2+2 +np

= n(n−1)p2n∑

x=1

n−2x −2

px−2(1−p)(n−2)−(x−2)+np



E(X 2) = n(n−1)p2n∑

x=2

n−2x −2

px−2(1−p)(n−2)−(x−2)+np (y = x −2)

= n(n−1)p2n−2∑

y=0

n−2y

py(1−p)(n−2)−y +np

= n(n−1)p2(p+1−p)n−2 +np

= n2p2−np2 +np

Var(X) = n2p2−np2 +np−n2p2

= np(1−p)
















Distribuição BinomialEXEMPLO 4: Discuta a validade do modelo binomial nos seguintes casos:

a) Dos alunos de uma grande universidade, sorteamos 5 e contamosquantos se declaram usuários de drogas.

b) Escolhemos 20 lâmpadas ao acaso na prateleira de umsupermercado, sendo 10 de uma fábrica e 10 de outra. Contamoso número total de defeituosas.

c) Quinze automóveis 0 km de uma mesma marca e tipo sãosubmetidos a um teste anti-poluição e contamos o número delesque passaram no teste.

d) Um motorista é submetido a um teste em que deve estacionar seuveículo num pequeno espaço (baliza). Em 10 tentativas, contamoso número de vezes em que o motorista estacionou corretamente.


Distribuição BinomialEXEMPLO 5: Determinar a probabilidade de, ao lançar três vezes uma moedahonesta, aparecerem:

a) 3 caras.b) 2 caras e 1 coroa.c) 2 coroas e 1 cara.d) 3 coroas.


Distribuição BinomialEXEMPLO 6: Em um determinado processo de fabricação, 10% das peças sãoconsideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5unidades cada uma.

a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas emuma caixa?

b) Qual a probabilidade de haver pelo menos duas peças defeituosasem uma caixa?

c) Se a empresa paga uma multa de R$10.00 por caixa em quehouver alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multaem um total de 1000 caixas?

d) Considerando 10 caixas com 5 peças em cada, qual aprobabilidade de que seja necessário pagar multa para no máximouma caixa?


Distribuição BinomialEXEMPLO 7: Um exame consta de 10 perguntas de igual dificuldade e mesmapontuação. Sendo 7 a nota de aprovação, qual a probabilidade de que sejaaprovado um aluno que sabe 40% da matéria?


Distribuição BinomialEXEMPLO 8: Um produtor de sementes vende pacotes com 20 sementes cada.Os pacotes que apresentarem mais de uma semente sem germinar serãoindenizados. A probabilidade de uma semente germinar é 0.98.

a) Qual a probabilidade de um pacote não ser indenizado?b) Se o produtor vende 1000 pacotes qual o número esperado de

pacotes indenizados?c) Quando o pacote é indenizado, o produtor tem um prejuízo de

R$1.20, e se o pacote não for indenizado, ele tem um lucro deR$2.50. Qual o lucro líquido esperado por pacote?

d) Calcule a mádia e a variância da variável número de sementesque não germinam por pacote.


Distribuição BinomialEXEMPLO 9: Uma máquina apresenta 20% de defeitos na sua produção. Uminspetor de qualidade, ignorando a percentagem real de defeitos da máquina,retira ao acaso uma amostra de 8 peças da sua produção. Qual é a probabilidadede que ele venha a concluir, com base nessa amostra, que a proporção dedefeitos é superior a 20%? Tirando-se 6 amostras de 8 peças cada uma, qual é aprobabilidade de se terem 3 amostras com mais de um defeito?


Distribuição BinomialEXEMPLO 10: Verifique que a atribuição de probabilidade nos modelos Bernoullie Binomial satisfazem às propriedades de função de probabilidade. EXEMPLO

11: Se X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p, qual a distribuição deY = n−X?


Uso da Tabela da Binomial


Documents

Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula13.pdf · EXEMPLO 7: Um exame consta de 10 perguntas de igual diﬁculdade e mesma pontuação. Sendo 7 a nota de aprovação,