Problemas de Mximos e Mnimos final - Os problemas de mximos e de mnimos suscitam grande interesse aos matemticos, principalmente por resultarem muitas vezes de situaes do

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  • UNIVERSIDADEDELISBOA

    FACULDADEdeCINCIAS

    DEPARTAMENTOdeMATEMTICA

    ProblemasdeMximoseMnimos

    BelmirodaSilvaFerreira

    MestradoMatemticaparaProfessores

    Lisboa

    2012

  • UNIVERSIDADEDELISBOA

    FACULDADEdeCINCIAS

    DEPARTAMENTOdeMATEMTICA

    ProblemasdeMximoseMnimos

    BelmirodaSilvaFerreira

    DissertaoorientadapelaProfessoraDoutora:

    AnaCristinaBarroso

    MestradoMatemticaparaProfessores

    Lisboa

    2012

  • Resumo

    Osproblemasdemximosedemnimossuscitamgrandeinteresseaosmatemticos,principalmente

    por resultaremmuitas vezes de situaes do dia a dia. So apresentados problemas clssicos e

    outrosvisandopercorrerdiversasreasdamatemtica,semnosdistanciarmosdasuaaplicaoao

    ensino da matemtica no secundrio. As resolues apresentadas, baseadas numa pequena

    fundamentao terica, tm a preocupao de abarcar diferentes abordagens e proporcionar o

    relacionamentodeconceitos.

    Palavraschave:mximo,mnimo,derivada,otimizao.

  • Abstract

    Problemsofmaximaandminimaarevery interestingtomathematicians, inpartbecausetheyarise

    in everyday situations.Wepresent some classicalproblems andothers spanning various areasof

    mathematics,keepinginmindtheirapplicationintheteachingofsecondaryschoolmathematics.

    The solutions presented here, for which we provide a short theoretical basis, intend to cover

    differentapproachesandallowthepossibilityofrelatingconcepts.

    Keywords:maximum,minimum,derivative,optimization.

  • ProblemasdeMximoseMnimos

    ndiceIntroduo...............................................................................................................................................1

    1. Preliminares....................................................................................................................................3

    1.1. Funesdeumavarivel.........................................................................................................3

    1.2. Funesdeduasvariveis.....................................................................................................15

    1.2.1. Extremoslivres..............................................................................................................17

    1.2.2. Extremoscondicionados...............................................................................................18

    2. ReflexoeRefrao.......................................................................................................................19

    2.1. ProblemadeHron...............................................................................................................19

    2.1.1. ResoluoGeomtrica..................................................................................................20

    2.2. Fenmenodarefrao..........................................................................................................21

    3. ProblemadeDido..........................................................................................................................23

    3.1. readeumpolgonoregularemfunodonmerodelados.............................................27

    4. readeumaregiotriangular......................................................................................................30

    4.1. Tringulodereamximaepermetrofixo..........................................................................31

    4.1.1. Estudousandoumafunodeumasvarivel............................................................31

    4.1.2. Estudousandoumafunodeduasvariveis..............................................................34

    5. Asabelhaseamatemtica............................................................................................................37

    5.1. Porquequeosalvolosdasabelhassohexagonais?.......................................................38

    5.2. Porquerazoofundodosalvolosnoplano?.................................................................39

    5.2.1. Clculodongulodiedrodoslosangos,quandoareamnima................................42

    5.2.2. ngulodeinclinaodoslosangosdotopo..................................................................43

    6. Produtomximo............................................................................................................................44

    6.1. Somafixa...............................................................................................................................44

    6.1.1. Estudousandoumafunodeumasvarivel............................................................44

    6.1.2. Estudousandoumafunodeduasvariveis..............................................................44

    6.2. Somadosquadradosfixa......................................................................................................45

    6.2.1. Estudousandoumafunodeumasvarivel............................................................45

    6.2.2. Estudousandoumafunodeduasvariveis..............................................................46

    7. Outrosproblemas.........................................................................................................................49

    8. Mdias...........................................................................................................................................70

    8.1. Mdiasparamaisdedoisnmeros......................................................................................71

    8.2. Aplicaesdasdesigualdadesdasmdias............................................................................73

    Bibliografia............................................................................................................................................78

  • AgradecimentosApresentoosmeusagradecimentosProfessoraDoutoraAnaCristinaBarrosoporsempreseter

    mostradobastanteinteressadaedisponvel,peloque,asuaorientaofoiimportantssimana

    elaboraodestemeutrabalho.

  • ProblemasdeMximoseMnimos

    2

    Introduo

    Os problemas de mximos e de mnimos desde de muito cedo despertaram a ateno dos

    matemticos.Porexemplo,osgregosnosculo IIIa.C. jsabiamquedetodasascurvascom igual

    permetro, a que envolvia maior rea era o crculo. Contudo estes problemas eram resolvidos

    utilizandoprocessosengenhosos,nohavendoumaformasistemticadeossolucionar.Snosculo

    XVII,Fermatdesenvolveuoprimeiromtodogeralparaadeterminaodemximosemnimos.No

    entanto estemtodo era um procedimento algortmico desprovido de qualquer fundamentao

    demonstrativa.Ageneralizaoda resoluodeste tipodeproblemasaparece como trabalhode

    NewtoneLeibniznodesenvolvimentodoTeoremaFundamentaldoClculo.

    Ointeressedestetipodeproblemasresidesobretudonaformacomosoadaptadosaoquotidianoe

    asituaesdavidareal,permitindomodulare interpretarfenmenosnossavolta.Com inmeras

    aplicaesemdiversasreas,comoaFsicaouEngenharia,tmtambmumagrandeimportnciaa

    nvelpedaggico.Aplicveisavrioscontedosdamatemtica,paraalmdedesenvolveroestudo

    do clculo diferencial, proporcionam trabalhar conceitos relativos a funes, trigonometria,

    geometriaentreoutros.

    Apsumapequena revisode conceitos tericosquepermitem e fundamentam a resoluodos

    problemas demximos emnimos, foram selecionados diversos problemas, visando cobrir uma

    grandereadecontedosmatemticosediferentesformasdeabordagem.Dereferirqueagrande

    maioria dos problemas apresentados so de aplicao direta ou de fcil adaptao ao ensino

    secundrio, nomeadamente 12 ano.Algumas das resolues so enriquecidas commais do que

    umaabordagemeporvezesapareceumaresoluousandofunesdeduasvariveis.

    Porfim,fugindoumpoucoaomtodoclssico,soaplicadaspropriedadesdasmdiasaoclculode

    soluestimasdealgunsproblemas,queutilizandooutrosmtodosseriamdedifcilresoluo.

  • ProblemasdeMximoseMnimos

    3

    1. Preliminares

    1.1. Funesdeumavarivel

    Consideremos uma funo real ( )f x definida num

    intervalo I . A taxa de variaomdia da funo

    entre dois pontos ,A a f a e ,M x f x com

    ,a x I e x a ,dadapor f x f ax a

    A taxa de variao da funo no ponto A o limite

    quando x a darazoincremental f x f ax a

    Ataxadevariaomdiadafunoentredoispontos A eM odeclivedareta AM ,secanteao

    grficoda funonospontos A e M .A reta t cujodeclive igualao lim

    x a

    f x f ax a

    ,dizse

    tangenteaogrficodafunonoponto A .

    Definio1.1Dizsequeumafuno f ,realdevarivelreal,definidanumavizinhanadeumponto

    a ,diferencivelem a , seexistee finitoo limite: lim

    x a

    f x f ax a

    .Aeste limite chamase

    derivadade f noponto a erepresentasepor

    0

    lim limx a h

    f x f a f a h f af a

    x a h

    .

    Dizseque f derivveloudiferencivelesquerdaem a seexisteefinitoolimite:

    0

    lim lim ex a hf x f a f a h f a

    f ax a h

    .

    Dizseque f derivveloudiferenciveldireitaem a seexisteefinitoolimite:

    0

    lim lim dx a hf x f a f a h f a

    f ax a h

    .

    Se e df a f a ento f derivveloudiferencivelem a etemse e df a f a f a .

  • ProblemasdeMximoseMnimos

    4

    Definio 1.2 Dizse que a funo :f D uma funo derivvel ou diferencivel no

    aberto D se forderivvelem todoopontodeD.nova funo :f D , ( )x f x ,

    chamasederivadade f .

    Nota1.3Se f diferencivelnumponto a ,odeclivedaretatangenteaogrficode f noponto

    ,A a f a igual a f a . A reta tangente ao grfico nesse ponto tem por equao

    y f a f a x a .

    Proposio 1.4 Se :f D uma funo derivvel em inta D , ento f contnua

    nesseponto.

    Demonstrao.

    Para x D , com x a temos ( )f x f af x f a x ax a

    , pelo que