Problemas envolvendo máximos e mínimos. Em cada problema destacar a função correspondente ao modelo matemático apropriado, bem como o domínio, obter a solução e escrever a resposta.

1. Encontre um número no intervalo [12,32

¿ tal que a soma do número com seu recíproco é: a) a

maior possível; b) a menor possível.2. Deve-se cortar uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e

52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo. (desprezar a espessura da cartolina).

3. Encontre a área do maior retângulo que tem 200 cm de perímetro.4. Encontre a área do maior triângulo isósceles que tem 18 cm de perímetro.5. Um retângulo deve ser inscrito em um triângulo retângulo com lados de comprimento 6,8,e 10

cm. Encontrar as dimensões do retângulo com a maior área, supondo que ele está posicionado conforme a figura 1a. Resolver o problema considerando a figura 1b.

6. Um campo retangular vai ser cercado ao longo de um rio e não se exige cerca ao longo do rio. Se o material da cerca custa $ 2, 00 por metro para os extremos e $ 3,00 por metro para o lado paralelo ao rio, encontre as dimensões do campo de maior área possível que pode ser cercado com um custo de $ 900,00. (Resp. 150 m para o lado paralelo ao rio e 112,5 m para cada extremo).

7. Um campo deve ter o formato de um triângulo retângulo, com a hipotenusa ao longo de um rio reto e uma cerca delimitando os dois catetos do campo. Encontrar as dimensões do campo de maior área que pode ser cercado com 1000 metros lineares de cerca.

8. Uma ilha está localizada em um ponto A, a 6 km do ponto B mais próximo numa praia reta. Um armazém está em um ponto C, a 7 km de B na praia. Se um homem pode remar à razão de 4 km/h e caminhar à razão de 5 km/h, onde ele deveria desembarcar para ir da ilha o armazém no menor tempo possível?

9. Os pontos A e B são opostos um ao outro nas margens de um rio reto quer mede 3 km de largura. O ponto C está na mesma margem que B, mas a 6 km, rio abaixo, de B. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de A a C. Se o custo por Km do cabo é 25% mais caro sob a água do que em terra, que linha de cabo seria menos dispendiosa para a companhia? (Resp. De A a P a C, onde P está 4 km abaixo do rio, de B).

10. Encontre as dimensões de um cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular reto com raio igual a 5 cm e altura igual a 12 cm (Resp. V = (400 pi / 9) cm3)

11. De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima? (Resp. 7,5 cm de cada lado)

12. O número de bactérias em uma cultura no instante t é dado por N = 5000(25 +te -t/20). a) Encontrar o maior e o menor número de bactérias no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 100. b) Em que momento, no intervalo de tempo de a) o número de bactérias decresce mais rapidamente?

13. Uma rodovia Norte-Sul intercepta outra rodovia Leste-Oeste em um ponto P. Um automóvel passa por P às 10 horas, dirigindo-se para o leste, a 20 km/hora. No mesmo instante, outro automóvel está a 2 km ao norte de P e dirige-se para o sul a 50 km/hora. Determine o instante em que os automóveis estão mais próximos um do outro e aproxime a distância mínima entre eles. (Resp. às 10 horas e2,07 minutos e d = 0,74 km)

14. No planejamento de uma lanchonete sabe-se por informações estatísticas que se ela for construída para ter entre 40 e 80 lugares, o retorno financeiro semanal será de R$ 70,00, por lugar. Contudo, se a capacidade de assentos estiver acima de 80 lugares, o retorno financeiro

semanal, em cada lugar, será reduzido em 50 centavos pelo número de lugares que exceder a 80 lugares. Qual deverá ser a capacidade de assentos para se obter o maior rendimento semanal?

15. Corta-se um pedaço de arame de 1,5 metros de comprimento em duas partes. Com uma das partes forma-se um círculo e com a outra um triângulo eqüilátero. Onde deve ser cortado o arame de modo que a soma das áreas círculo e o triângulo seja mínima? Máxima? (Rep. Mínimo, 56,52 cm de uma extremidade; Máximo, usar o arame todo para o círculo).

16. Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um rio e nos outros três lados por uma cerca. Com 800 metros de cerca à disposição, qual é a maior área que pode ser cercada e quais são suas dimensões? (Resp. 80.000 m2, 400 m por 200 m).

17. Um tanque retangular de aço, com base quadrada, sem tampa e com 500 pés3 de capacidade precisa ser construído. Quais dimensões desse tanque minimizarão a sua construção? (Resp. base quadrada com 10 pés de lado e 5 de profundidade)

18. Você precisa preparar um pôster retangular para conter 50 pol2 de material impresso, com margens superior e inferior de 4 pol cada uma e margens à direita e à esquerda de 2 pol cada. Que dimensões gerais minimizarão a quantidade de papel a ser utilizada? ( Resp (9 por 18 pol.)

19. Quais são as dimensões de um cilindro com maior área possível que pode ser inscrito em uma

esfera de raio igual a 10 cm? (r =

10√63

;h=20√33 )

20. Um silo será construído (exceto a base) na forma de um cilindro encimado por um semi-hemisfério. O custo da construção por unidade de área da superfície é duas vezes maior para o semi-hemisfério em relação ao lado do cilindro. Determinar as dimensões para um volume fixo

V que minimizarão os custos de produção. (Resp r = r=3√ 3V

8 π;h=3√ 3V

π )21. Dois postes, um de 3,60 metros de altura e o outro de 8,4 metros de altura estão localizados a 9

metros de distância um do outro. Eles devem ser apoiados por dois cabos, presos a uma única estaca, localizada entre eles, indo do nível do solo até o topo de cada poste. Onde a estaca deve ser colocada para que seja usada a quantidade mínima de cabo? Resp. a 9 metros do poste de maior altura.

22. Em um dia a taxa de fluxo F (carros por hora) é F= v

22+0 ,02v2onde v é a velocidade de

tráfego em milhas por hora. Que velocidade vai maximizar a taxa de fluxo na estrada? 23. Uma janela é construída acrescentando um semicírculo ao topo de uma janela retangular

comum. Quais dimensões dessa janela maximizarão a entrada de luz, sabendo que o seu perímetro deve ser igual a 4,8 metros? Resp. diâmetro do semicírculo = a 1,11 m e altura da janela igual a 1,29 m.

24. Para se construir uma lata de refrigerante de 350 ml o custo da tampa é 2,7 vezes o custo da base e este é igual ao custo da área lateral. Quais dimensões da lata minimizarão o custo de fabricação? Compare esse resultado com uma lata de guaraná.

25. Um recipiente com a forma de um paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de 2000 cm3. O custo da base e da tampa é o dobro do custo dos lados. Encontre as dimensões do recipiente de menor volume.

26. Encontrar as dimensões de um cilindro circular reto com maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio r.

Fonte: Finney, Weir, Giordano (2002); Anton (2002); Larson, Hostetler e Edwards 2006.