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PROGRAMA PARA ANÁLISE DE SUPERESTRUTURAS DE PONTES DE
CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO
Tales Simões Mattos
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE
EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL
Aprovada por:
______________________________________________
Prof. Ibrahim Abd El Malik Shehata, Ph.D.
______________________________________________
Prof. Lidia daConceição Domingues Shehata, Ph.D.
______________________________________________
Prof. Giuseppe Barbosa Guimarães, Ph.D.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
NOVEMBRO DE 2001
MATTOS, TALES SIMÕES
Programa para Análise de Superes-
truturas de Pontes de Concreto Armado e
Protendido [Rio de Janeiro] 2001
XIV, 167 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ,
M.Sc.,Engenharia Civil, 2001)
Tese – Universidade Federal do Rio
de Janeiro, COPPE
1. Pontes de Concreto Protendido
2. Concreto de Alta Resistência
I. COPPE/UFRJ II. Título (série)
2
Aos meus pais, irmãos e à Christiane
Que sempre me apoiaram e incentivaram
para que eu pudesse concluir este trabalho
3
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Ibrahim, pela orientação, ensinamentos e profissionalismo.
À Prof ª Lidia, pela orientação, incentivo e ensinamentos.
Ao Prof. Sérgio, pela colaboração, incentivo e ensinamentos.
À Empresa Pontis Consultoria e seus funcionários pela colaboração e incentivo.
Aos funcionários da Secretaria e do Laboratório de Computação pelo auxílio.
Ao CNPQ pelo auxílio financeiro.
Aos meus pais, Osmar e Isabel pelo apoio e incentivo de toda vida.
Aos meus tios e avós Oscar e Isabel pelo apoio e incentivo.
Aos meus irmãos e amigos pelo apoio e incentivo em todos os momentos.
À Christiane pelo apoio, incentivo e paciência.
4
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
PROGRAMA PARA ANÁLISE DE SUPERESTRUTURAS DE PONTES DE
CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO
Tales Simões Mattos
Novembro/2001
Orientador: Ibrahim Abd El Malik Shehata
Programa: Engenharia Civil
Este trabalho apresenta um programa para análise de superestruturas de
pontes de concreto armado e protendido baseado no programa FRAME, que
realiza a análise de estruturas de pórtico plano.
O programa desenvolvido realiza a análise automática do efeito da carga
móvel e da protensão, que pode ser aplicada em até duas etapas, verificando as
tensões normais nas fibras extremas das seções transversais da estrutura em cada
fase de carregamento e protensão. O programa permite a mudança automática da
seção transversal da estrutura, podendo ser usado para a análise de pontes com
vigas pré-moldadas ou pré-fabricadas. Foram anexadas ao programa
desenvolvido as rotinas do programa CONSEC, que faz a análise não-linear de
seções de concreto armado e protendido, considerando concretos de alta
resistência, para a verificação à ruptura.
O programa foi utilizado para a análise de duas pontes com características
distintas e os resultados foram comparados com resultados de programas para a
análise e verificação de pontes como o SALT, VEPRO, PROPONTE E VERRU.
5
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
PROGRAM FOR THE ANALYSIS OF PRESTRESSED CONCRETE BRIDGES
SUPERESTRUCTURES
Tales Simões Mattos
November/2001
Advisors: Ibrahim Abd El Malik Shehata
Department: Civil Engineering
This work presents a program named “PÓRTICO” that was developed to
analyses prestressed concrete bridge superstructures using a subroutine for the
analysis of plane frame structures “FRAME”.
This program automates the analysis of the superstructure under the action
of loads (including moving loads) and prestressing forces, which can be applied to
the structure in two stages. In each stage the stresses of the extreme fibers of
bridge sections are checked. The program also allows for the change of cross
sections characteristics that match the construction fases.
For the section analysis the program uses the subroutine “CONSEC” for
the non-linear analysis of reinforced and prestressed concrete sections made with
high and normal strength concretes.
The program was used to analyzes two bridges and the obtained results
were compared with the results of other programs (SALT, VEPRO, PROPONTE
and VERRU).
6
ÍNDICE
1 – Introdução....................................................................................................................1
2 – Estruturas de Pontes.....................................................................................................4 2.1 – Definição.......................................................................................................4 2.2 – Breve histórico..............................................................................................5 2.3 – Classificação...............................................................................................13
2.4 – Sistemas estruturais.....................................................................................13 2.4.1 – Pontes em lajes.............................................................................13 2.4.2 – Pontes em vigas de alma cheia.....................................................15 2.4.3 – Pontes em vigas de alma vazada (treliça)....................................16 2.4.4 – Pontes em quadro rígido..............................................................17 2.4.5 – Pontes em arco.............................................................................19 2.4.6 – Pontes pênseis..............................................................................21 2.4.7 – Pontes estaiadas............................................................................21 2.4.8 – Coeficiente de dificuldade...........................................................23 2.4.9 – Relação dos maiores vãos para diferentes tipos de estruturas.....24 2.5 – Sistemas construtivos..................................................................................29
2.5.1 – Superestrutura em concreto armado ou protendido moldado no local.............................................................................................29
2.5.2 – Superestruturas com vigas pré-moldadas e pré-fabricadas..........31 2.5.3 – Sistema em balanços sucessivos...................................................32 2.5.4 – Sistema por empurramentos sucessivos........................................37
2.6 – Carregamentos............................................................................................40 3 – Análise de superestruturas de pontes de concreto protendido (pós-tensão)..............41 3.1 – Modelagem de superestruturas de pontes...................................................41 3.2 – Características das seções...........................................................................45 3.3 – Análise dos efeitos da protensão.................................................................47 3.3.1 – Esforços devidos à protensão......................................................47 3.3.2 – Perdas de protensão......................................................................51 3.3.2.1 – Perdas imediatas............................................................51 3.3.2.1.1 – Perda no macaqueamento e nas placas de ancoragem...............................................................52
3.3.2.1.2 – Perda pela retenção do sistema estrutural........52 3.3.2.1.3 – Perda pelo atrito entre a armadura e bainha............53
3.3.2.1.4 – Perda pela acomodação e deformação da ancoragem.. .................................................................................53
3.3.2.1.5 – Perda pela deformação do concreto decorrente da protensão sucessiva.................................................57
3.3.2.2 – Perdas ao longo do tempo............................................58 3.3.2.2.1 – Perda pela retração do concreto......................58 3.3.2.2.2 – Perda pela fluência do concreto......................60 3.3.2.2.3 – Perda por relaxação do aço.............................61
3.3.3 – Concreto.....................................................................................63 3.3.3.1 – Resistência à compressão..............................................63
7
3.3.3.2 – Resistência à tração.......................................................63 3.3.3.3 – Módulo de elasticidade..................................................64 3.3.3.4 – Relações constitutivas...................................................65
3.3.4 – Aço de armadura passiva.............................................................68 3.3.5 – Aço de armadura ativa.................................................................69 3.4 – Carregamento móvel...................................................................................69 3.5 – Análise não-linear física.............................................................................71 4 – Desenvolvimento do programa..................................................................................75 4.1 – Programa existente......................................................................................75 4.1.1 – Método da rigidez........................................................................75 4.1.2 – Coordenadas locais e globais.......................................................79 4.1.3 – Entrada de dados..........................................................................79 4.1.4 – Fluxograma do programa.............................................................81 4.1.5 – Tela do programa.........................................................................82 4.2 – Programa desenvolvido...............................................................................82
4.2.1 – Mudança das características das seções.......................................83 4.2.2 – Segunda etapa de carregamentos.................................................83 4.2.3 – Implantação da carga móvel........................................................84
4.2.4 – Implantação da protensão............................................................85 4.2.5 – Entrada de dados..........................................................................85
4.2.5.1 – Coordenadas dos nós.....................................................86 4.2.5.2 – Características das seções..............................................87 4.2.5.3 – Características dos materiais.........................................89 4.2.5.4 – Elementos......................................................................89 4.2.5.5 – Condições de contorno..................................................90 4.2.5.6 – Carga móvel..................................................................91 4.2.5.7 – Balanços........................................................................95 4.2.5.8 – Articulações...................................................................95 4.2.5.9 – Carregamentos...............................................................96 4.2.5.10 – Protensão...................................................................100
4.2.6 – Análise da estrutura.................................................................102 4.2.7 – Verificação no estado limite último........................................103
5 –Aplicação do programa.............................................................................................106 5.1 – Análise da superestrutura da Ponte sobre o Igarapé Breu........................106 5.1.2 – Análise da estrutura...................................................................106
5.1.2.1 – Características das seções transversais........................106 5.1.2.2 – Cálculo dos carregamentos atuantes...........................108 5.1.2.2.1 – Peso próprio da estrutura..............................108 5.1.2.2.1.1 – Carga distribuída............................108 5.1.2.2.1.2 – Cargas concentradas......................110 5.1.2.2.2 – Sobrecarga permanente................................111 5.1.2.2.2.1 – Guarda-rodas.................................111 5.1.2.2.2.2 – Pavimentação asfáltica..................111 5.1.2.2.3 – Carga móvel.................................................112
5.1.2.3 – Discretização da cablagem.......................................113 5.1.2.4 – Modelagem da estrutura...........................................115
8
5.1.2.5 – Coordenadas dos nós...................................................116 5.1.2.6 – Resultados...................................................................117 5.1.2.7 – Verificação à ruptura ..................................................124 5.2 – Análise da superestrutura da Ponte sobre o Rio Arraia............................124 5.2.1 – Análise da estrutura....................................................................125 5.2.1.1 – Características das seções transversais........................126 5.2.1.2 – Cálculo dos carregamentos atuantes...........................126 5.2.1.2.1 – Peso próprio da estrutura..............................126 5.2.1.2.1.1 – Carga distribuída............................126 5.2.1.2.1.2 – Cargas concentradas......................126 5.2.1.2.2 – Laje + transversinas......................................127 5.2.1.2.2.1 – Carga distribuída............................127 5.2.1.2.2.2 – Cargas concentradas......................127 5.2.1.2.3 – Sobrecarga permanente................................128 5.2.1.2.3.1 – Carga distribuída............................128 5.2.1.2.3.2 – Cargas concentradas......................128 5.2.1.2.4 – Carga móvel.................................................129 5.2.1.3 – Discretização da cablagem.........................................129 5.2.1.4 – Modelagem da estrutura.............................................130 5.2.1.5 – Coordenadas dos nós..................................................130 5.2.1.6 – Resultados..................................................................131 5.2.1.7 – Verificação à ruptura .................................................135
6 – Conclusões e sugestões para trabalhos futuros........................................................136
Bibliografia....................................................................................................................138
Apêndice 1 – Desenhos da Ponte sobre o Igarapé Breu Apêndice 2 – Desenhos da Ponte sobre o Rio Arraia
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LISTA DE SÍMBOLOS
A área da seção transversal
Ab área da seção da barra que simula o aparelho de apoio
Ac área da seção de concreto
An área em planta do aparelho de apoio
As área da seção da armadura passiva
Apsp área da seção da armadura ativa
A(i) área de cada trapézio i
bs(i) base superior de cada trapézio i
bi(i) base inferior de cada trapézio i
E módulo de elasticidade
ex excentricidade da armadura na seção “S”
Ec módulo de elasticidade secante do concreto aos 28 dias
En módulo de elasticidade longitudinal do aparelho de apoio
Ep módulo de elasticidade do aço da armadura ativa
Ec(t) módulo de elasticidade tangente do concreto na idade de t dias
Ecn módulo de elasticidade nominal do concreto
Ec,t módulo de elasticidade secante do concreto na idade de t dias
Ec,i módulo de elasticidade secante do concreto da camada i
Es,j módulo de elasticidade do aço passivo j
Esp,k módulo de elasticidade do aço ativo k
Fa força axial no aparelho de apoio
Ft força tangencial no aparelho de apoio
Fp força de protensão
fck resistência à compressão do concreto característica
fct resistência à tração direta do concreto
fcm resistência à compressão do concreto média aos 28 dias
fcn resistência à compressão nominal do concreto
fyk tensão de escoamento característica do aço da armadura passiva
fuk tensão de ruptura característica do aço da armadura passiva
10
fptk tensão de ruptura característica do aço da armadura ativa
fct,sp resistência à tração indireta do concreto
fct,f resistência à tração na flexão do concreto
fck,j resistência à compressão do concreto característica no tempo j
Gn módulo de elasticidade transversal do aparelho de apoio
h altura fictícia da seção transversal
hn altura do aparelho de apoio
h(i) altura de cada trapézio
ht altura da seção transversal
I momento de inércia da seção transversal com relação ao eixo que passa
por seu centróide
Ib momento de inércia da barra que simula o aparelho de apoio com relação
ao eixo que passa pelo seu centróide
j(i) momento de inércia de cada trapézio com relação ao eixo que passa pelo
seu centróide
k perda de tensão por unidade de comprimento devido à curvatura não
intencional entre os pontos de fixação da bainha
K matriz de rigidez da estrutura
L comprimento do elemento
lϕ comprimento básico do vão
Lb comprimento da barra que simula o aparelho de apoio
m carregamento momento distribuído
M1 momento isostático de protensão na seção “S1”
M2 momento isostático de protensão na seção “S2”
Mp momento fletor de protensão na seção “S”
n carregamento distribuído axial
N1 esforço normal isostático de protensão na seção “S1”
N2 esforço normal isostático de protensão na seção “S2”
Np esforço normal de protensão na seção “S”
nc número de etapas de protensão
nd coeficiente de dificuldade
q carga distribuída transversal
11
Q1 esforço cortante isostático de protensão na seção “S1”
Q2 esforço cortante isostático de protensão na seção “S2”
t idade do concreto em dias
t1 constante igual a 1 dia
U perímetro do elemento em contato com o meio ambiente
Vp esforço cortante de protensão na seção “S”
y distância do centróide da camada ao eixo z que passa pelo centróide da
seção
yc distância da fibra de concreto ao eixo z que passa pelo centróide da seção
yi distância da fibra extrema inferior da seção ao eixo z que passa pelo seu
centróide
yp distância do centróide da seção da armadura ativa à fibra inferior da
seção
ys distância da fibra extrema superior da seção ao eixo z que passa pelo seu
centróide
ysa distância do centróide da armadura passiva ao eixo z que passa pelo
centróide da seção
ysp distância do centróide da armadura ativa ao eixo z que passa pelo
centróide da seção
YcgL(i) distância entre o centróide e a base superior de cada trapézio
α ângulo de inclinação entre o cabo e a direção horizontal
αE coeficiente que define a influência do agregado no módulo de
elasticidade do concreto
α(x) soma dos ângulos que determinam cada mudança de direção do cabo
entre a ancoragem e a seção
β(fcm) coeficiente que determina a evolução da fluência com a resistência do
concreto
β(t0) coeficiente que determina a evolução da fluência com o tempo
βRH função que determina a evolução da retração com a umidade relativa do
ar
βs(t-t0) função que determina o desenvolvimento da retração com o tempo
βsc coeficiente que depende do tipo de cimento
12
βcc(t) coeficiente que define a evolução da resistência do concreto com o tempo
δ deslocamento do cabo durante a operação de cravação
δa deslocamento axial do aparelho de apoio
δt deslocamento tangencial do aparelho de apoio
δL deslocamento axial da barra que simula o aparelho de apoio
δt deslocamento transversal da barra que simula o aparelho de apoio
γ ângulo de distorção do aparelho de apoio
εs deformação específica no aço
εc deformação específica do concreto
εco deformação específica do concreto correspondente à tensão máxima
εcu deformação específica última do concreto
εcn deformação específica nominal do concreto
εs (fcm) função que define a evolução da retração com a resistência do concreto
εcs (t,t0) deformação específica de retração do concreto
εcg deformação específica no nível do centróide da seção
εc,j deformação específica da fibra de concreto a uma distância yc,j do eixo z
que passa pelo centróide da seção
εs,j deformação específica da armadura passiva j a uma distância ys,j do eixo
z que passa pelo centróide da seção
εsp,k deformação específica da armadura ativa k a uma distância ysp,k do eixo z
que passa pelo centróide da seção
φ(t,t0) coeficiente de fluência
φRH coeficiente que determina a evolução da fluência com a umidade
µ coeficiente de atrito entre o cabo e a bainha
ϕ rotação por unidade de comprimento do eixo da viga
ϕi coeficiente de impacto
ρ coeficiente de eficiência geométrica
σc tensão no concreto
σi tensão inicial aplicada à armadura de protensão
σs tensão na armadura passiva
13
σp tensão no aço de protensão após as perdas de protensão
σx tensão na armadura em uma seção a uma distância “x” da ancoragem
σpi tensão na armadura no ato da protensão após perdas imediatas
σc,i tensão no concreto da camada i
σsp tensão na armadura ativa
σs,j tensão na armadura passiva j
σcp (p+g1) tensão no nível do centróide das armaduras devido à protensão e à
parcela g1 de carga permanente
σc(t0) tensão aplicada ao concreto no tempo t0
σcg tensão no concreto no nível do centróide da armadura devida as cargas
permanentes
σcpo tensão no concreto no nível do centróide da armadura de protensão
devida à força inicial de protensão
η relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto
Ωaf área referente à perda no conjunto armadura-ancoragem
∆σpr(t,t0) perda de tensão por relaxação pura do instante t0 ao instante t
∆σp c+s+r perda total de tensão decorrente da interdependência das perdas lentas
ψ(t,t0) coeficiente de relaxação do aço no tempo t
ψ1000 coeficiente de relaxação do aço em 1000 horas
F vetor de carregamentos nodais
U vetor de deslocamentos nodais
[K] matriz de rigidez global da estrutura
[T] matriz de transformação de coordenadas
14
1 – INTRODUÇÃO
O projeto de uma estrutura envolve algumas etapas que devem ser criteriosamente
realizadas para que o sucesso do projeto possa ser alcançado. Estas etapas são:
1) Concepção Estrutural Nesta etapa devem ser definidos o tipo de estrutura,
os materiais a serem empregados e o processo construtivo, que dependem de
fatores econômicos e técnicos que interferirão direta ou indiretamente na
execução da estrutura. Esta etapa depende da criatividade e experiência do
engenheiro.
2) Análise Estrutural Depois de concluída a etapa de concepção da estrutura
adotando-se o modelo estrutural que melhor represente o comportamento da
estrutura sob os carregamentos atuantes. Faz-se a pré-análise da estrutura
com suas dimensões arbitradas inicialmente, sendo verificados para cada tipo
de ação os esforços solicitantes, as tensões, os deslocamentos e as
deformações nos elementos estruturais.
3) Dimensionamento e ou Verificação Uma vez obtidos os esforços e
tensões na estrutura, faz-se a verificação ou dimensionamento dos elementos
em função dos esforços solicitantes e dos materiais utilizados, devendo ser
obedecidas as prescrições de norma.
4) Detalhamento Nesta etapa, a estrutura é detalhada para que possa ser
executada, devendo ser resolvidos possíveis problemas nas ligações dos
elementos.
A concepção e modelagem da estrutura estão condicionadas às ferramentas disponíveis
para análise de seu comportamento quando sujeita aos carregamentos atuantes.
Antigamente o engenheiro buscava simplificar os sistemas estruturais em função dos
escassos meios disponíveis para solucioná-los. Uma estrutura muito complexa exigia
uma grande quantidade de esforço para resolvê-la e, por vezes, obrigava o engenheiro a
realizar simplificações nem sempre coerentes com o real comportamento da estrutura.
15
A evolução das ferramentas para o cálculo mudou completamente a forma de realizar
um projeto estrutural. Da régua de cálculo, passou-se para as máquinas de calcular
comuns e programáveis, e chegou-se ao computador pessoal, que efetivamente permitiu
a análise matricial de uma estrutura, e à internet, que possibilita a total iteração do
projetista com toda comunidade técnica envolvida no projeto. Estas foram mudanças
que levaram a modificação no processo de concepção e análise de uma estrutura.
Atualmente, o termo “engenheiro calculista” perdeu completamente o sentido; o cálculo
não é mais tarefa do engenheiro, é uma tarefa do computador. O engenheiro projetista
concentra seus esforços nas tarefas de concepção estrutural, atualmente com muito mais
liberdade, e na verificação dos resultados oriundos dos cálculos realizados pelos
programas de computador. Pela rapidez de obtenção dos resultados, o engenheiro pode
ainda testar várias soluções visando otimizar o projeto estrutural, processo que era
difícil no passado e dependia muito da experiência profissional do projetista.
Mas apesar de toda evolução, é claro que surgiram problemas e dificuldades. A grande
velocidade com que as mudanças ocorreram gerou muitas dificuldades para adaptação e
acompanhamento de todo avanço tecnológico. O grande desafio do engenheiro
estrutural está em adaptar-se aos novos processos e conceitos da engenharia estrutural
decorrentes dessas mudanças. Existe ainda a necessidade de adaptação dos currículos
universitários, uma vez que os cursos de graduação não tiveram condições de
acompanhar, de uma forma geral, todas as mudanças ocorridas na prática da engenharia.
O objetivo deste trabalho é a dar continuidade ao desenvolvimento de um programa de
análise de pórticos planos, que realiza a análise pelo método da rigidez, buscando a
associação das etapas 2 e 3 de forma automática. O programa inicial foi feito pelo
Professor Ibrahim Shehata, tendo sido desenvolvido na linguagem “Visual Basic”. O
programa foi complementado para o uso específico em estruturas de pontes e viadutos
de concreto armado ou protendido, passando a fazer automaticamente o cálculo das
tensões normais devido a cada carregamento, inclusive carga móvel e protensão. O
trem-tipo adotado é o rodoviário simplificado da Norma NBR 7188. O programa realiza
a verificação à ruptura através da análise não-linear permitindo o uso de concretos de
16
alta resistência, com o uso das curvas tensões de compressão-deformação para o
concreto sugeridas pelas normas NBR 6118-2001, NS3453-92 e CEB-FIP MC90
associado ao CEB-FIP boletim 228. O concreto de alta resistência é um material que
tem sido muito utilizado em estruturas de pontes tanto pelo aumento da resistência
quanto pela sensível melhora na durabilidade da estrutura que normalmente encontra-se
em ambientes agressivos. Em 1949, na ponte Walnut Lane, Filadélfia (Russel, 1997),
foi utilizado um concreto com resistência à compressão aos 28 dias de 37 MPa , que na
época era considerada muito alta. Atualmente, entretanto, concretos com resistências
superiores a 100 MPa (Zia, 1997) já tem sido utilizados e apesar do uso de concretos de
alta resistência ter-se iniciado há décadas, as pesquisas sobre este material foram
intensificadas apenas a partir da década de 80 (Zia, 1997) e alguns países ainda não
possuem normas para projeto de estruturas que abranjam concretos com resistência à
compressão maior que 50 MPa , que é o caso do Brasil.
O programa denominado PÓRTICO, permite mudanças nas características da seção
transversal automaticamente, podendo-se realizar a análise de uma segunda etapa de
carregamento e protensão atuando após a mudança das características da seção (área e
inércia), para o caso da análise de pontes em vigas pré-moldadas ou pré-fabricadas,
onde as características da seção transversal se alteram após a consolidarização da laje
com a viga.
O segundo capítulo deste trabalho ilustra alguns tipos de estruturas de pontes assim
como os métodos construtivos utilizados. No terceiro capítulo está descrito o processo
para análise e verificação da superestrutura de uma ponte de concreto protendido e os
critérios que foram adotados no desenvolvimento do programa; no quarto capítulo está
feito um breve resumo do método da rigidez e a descrição do programa desenvolvido
com a apresentação das telas do programa. O quinto capítulo descreve as analises feitas
com o programa desenvolvido de duas pontes projetadas pela empresa Pontis
Consultoria e Projetos LTDA. Os resultados obtidos são comparados com os resultados
das análises feitas pelos programas utilizados pela empresa. A conclusão deste trabalho
e sugestões para trabalhos futuros estão apresentados no sexto capítulo.
17
2 – ESTRUTURAS DE PONTE
2.1 – Definição
É denominada ponte toda obra elevada destinada a vencer obstáculos que impeçam a
continuidade de uma via. Estes obstáculos podem ser rios, braços de mar, vales e até
outras vias. Quando o obstáculo a ser vencido não é constituído por água, esta obra é
normalmente classificada como um viaduto. Tecnicamente, as pontes e os viadutos são
classificados como Obras de Arte Especiais.
Estruturalmente as pontes podem ser divididas em três partes principais: a
superestrutura, a mesoestrutura e a infraestrutura (Figura 2.1).
Infraestrutura
Mesoestrutura
Superestrutura
Figura 2.1 – Divisão estrutural de uma ponte
A infraestrutura é a parte com a função de transmitir ao terreno os esforços provenientes
da mesoestrutura e composta pelas fundações. A mesoestrutura recebe os esforços da
superestrutura transmitindo-os para a infraestrutura, sendo normalmente composta por
pilares. A superestrutura é constituída pelo tabuleiro da ponte, sendo esta a parte útil da
obra. Existe um elemento denominado encontro, utilizado em algumas estruturas de
ponte com a finalidade de absorver os empuxos dos aterros de acesso, evitando sua
transmissão aos demais elementos da ponte, servindo também como apoio extremo.
Normalmente os encontros são considerados como elementos pertencentes à
infraestrutura.
18
A grande maioria das pontes é composta por lajes, vigas principais e secundárias,
pilares e as fundações. A laje recebe as cargas dos veículos e pedestres e as transfere
para as vigas, que as transmitem para os pilares. Os pilares recebem as cargas verticais e
horizontais da superestrutura transferindo-as para as fundações, que as transmitem para
o terreno.
2.2 – Breve histórico
Certamente as primeiras formas encontradas para transpor rios e vales foram feitas por
pontes com estruturas simples, realizadas com cordas, madeira e pedras trabalhadas em
forma de chapa, que serviam para integrar desde pequenos vilarejos a cidades (Foto
2.1).
Foto 2.1 – Ponte de pedra em Wycollar, Lancaster (www.argonet.co.uk)
Estas estruturas possuíam limitações, principalmente para vencer grandes vãos e rios
com muita profundidade. A genialidade dos construtores, aqueles que seriam os
primeiros engenheiros, procurando novas formas e técnicas de construção, aliada à
criação de novos materiais permitiu o aumento da capacidade de transpor obstáculos
cada vez maiores e a execução de pontes que representam marcos da evolução da
engenharia moderna.
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As primeiras grandes pontes realizadas foram feitas com madeira e pedras.
Oficialmente, a ponte mais antiga de que se tem registro é a ponte de madeira “Sweet
Track”, com 1100 metros de comprimento, feita na Inglaterra em 3806 A.C. (segundo
www.sbi.se/bridges.htm#arch). A forma estrutural mais utilizada em pontes ao longo do
tempo é a de arco. Os simérios parecem ter sido os primeiros a construírem pontes em
arco, antes de 3.200 A.C. (segundo www.argonet.co.uk). Os romanos também fizeram
muito uso deste tipo de estrutura para construção de pontes e aquedutos. Dois exemplos
destas estruturas são a Ponte de Sant´Angelo, originalmente conhecida como “Pons
Aelius”, tendo sido construída pelos romanos em torno de 135 A.C., (Foto 2.2) e o
aqueduto conhecido como “Pont du Gard” (Foto 2.3), localizado próximo de Nímes, na
França, construído pelos romanos há aproximadamente 2000 anos atrás (segundo
www.argonet.co.uk).
Foto 2.2 – “Pons Aelius” (www.absi-assoc.org)
Foto 2.3 – Aqueduto “Pont du Gart” (www.pbs.org)
20
Os materiais predominantemente utilizados na construção destas obras foram as rochas,
até o surgimento do aço, que permitiu a construção de estruturas mais leves com vãos
maiores. A primeira ponte deste material foi feita em 1779 na Inglaterra e tinha 30 m de
comprimento, localizada em Shropshire (Foto 2.4). Esta ponte ficou conhecida como
Ponte de Aço (www.civilengineer.about.com/science/civilengineer).
Foto 2.4 – Ponte de Aço (www.civilengineer.about.com/science/civilengineer.library)
Com a evolução do aço como material de construção e o surgimento do concreto
armado e protendido, as pontes em arco puderam ter vãos cada vez maiores. Como
exemplos mais recentes destas pontes podem ser citadas a ponte “The New River” com
um vão de mais de 500 m (Foto 2.5) e a ponte “Natchez Trace” (Foto 2.6), nos Estados
Unidos da América.
Foto 2.5 – Ponte “The New River”
(www.pbs.org)
Foto 2.6 – Ponte “Natchez Trace”
(www.pbs.org)
21
Um exemplo da evolução do aço como material de construção é a ponte sobre o Rio
“Guadalquivir” em Sevilha (Foto 2.7), uma estrutura muito esbelta que faz a perfeita
associação com uma obra de arte.
Foto 2.7 – Ponte sobre o rio “Guadalquivir” ( fib, 2000 )
Esses materiais propiciaram o surgimento de novos tipos de estruturas de pontes, com
comprimentos e vãos ainda maiores. Além das em arco e em vigas, surgiram as pontes
em treliça, suspensas, estaiadas e mistas. A Foto 2.8 mostra o viaduto “Goethals”, que
exemplifica uma estrutura em treliça metálica. Ele foi aberto ao tráfego em 1928 e tem
2130m de comprimento e vão central de 200m (segundo
www.argonet.co.uk/users/deano/bridges/beam ).
Foto 2.8 – Viaduto Goethals (www.argonet.co.uk)
22
A ponte Akashi Kaikyo é atualmente a maior ponte suspensa do mundo, com 3922 m de
comprimento e o recorde de 1991m de vão central (Foto 2.9). Construída em 1998, esta
ponte liga as cidades de Kobe e Awaji Island no Japão (segundo www.matsuo-
bridge.co.jp).
Foto 2.9 – Ponte Akashi Kaikyo (www.matsuo-bridge.co.jp)
No Estreito de Messina, Itália, está projetada uma ponte suspensa com 5010m de
comprimento e o maior vão livre com 3300m. Esta ponte fará a ligação entre a Sicília e
Calábria (Figura 2.2).
Figura 2.2 – Esquema da Ponte de Messina (www.estrettodimessina.it)
A Figura 2.3 mostra a seção transversal da ponte. A Foto 2.10 indica a posição da ponte
e as Fotos 2.11 e 2.12 ilustram uma montagem que simula a existência da ponte após
sua conclusão.
23
Figura 2.3 – Esquema da seção transversal Ponte de Messina (www.estrettodimessina.it)
Foto 2.10 – Posição da Ponte de Messina (www.estrettodimessina.it)
Foto 2.11 – Simulação da Ponte de Messina (www.estrettodimessina.it)
24
Foto 2.12 – Simulação da Ponte de Messina (www.estrettodimessina.it)
Na Foto 2.13 vê-se a Ponte da Normadia construída na França em 1995. Ela é uma
ponte estaiada com vão central de 856m, que é o segundo maior vão em pontes
estaiadas.
Foto 2.13 – Ponte da Normandia (www.matsuo-bridge.co.jp)
A ponte “Skarnsundet” na Noruega (Foto 2.14) possui 530 m de vão e o tabuleiro feito
em concreto.
25
Foto 2.14 – Ponte Skarnsundet ( fib, 2000 )
A ponte “Charles River”, que está sendo construída em Boston, nos Estados Unidos da
América (Foto 2.15), com previsão para ser completada entre o final de 2001 e o início
de 2002, será a primeira obra a utilizar a combinação de ponte suspensa com ponte
estaiada. Ao ser completada, terá um comprimento de 444m com um vão central de
227m (segundo www.civilengineer.about.com/science/civil engineer).
Foto 2.15 – Ponte “Charles River” (www.civilengineer.about.com/science)
26
A Figura 2.4 ilustra a maquete eletrônica de uma ponte estaiada que está sendo
construída sobre o rio Guamá no Pará que terá 582,4m de vão estaiado
(www.setran.pa.gov.br/SIP).
Figura 2.4 – Maquete eletrônica da Ponte sobre o Rio Guamá (www.setran.pa.gov.br/SIP)
2.3 – Classificação
Quanto à utilização, as pontes podem ser classificadas em rodoviárias, ferroviárias, para
pedestres (passarelas), aquedutos, oleodutos, etc.
Elas podem ser de madeira, que atualmente são mais utilizadas como obras provisórias,
de pedra, de concreto armado ou protendido, de aço ou mistas. Estas últimas são
normalmente compostas pela associação do concreto com o aço ou com a madeira. E
quanto ao tipo estrutural, as pontes podem ser em laje, em arcos ou abóbadas, em vigas
retas de alma cheia ou vazada (treliças), em quadros rígidos, pênseis (suspensas) ou
estaiadas.
2.4 – Sistemas Estruturais
2.4.1 – Pontes em Laje
As pontes em laje possuem a seção transversal desprovida de qualquer vigamento,
podendo ter um sistema estrutural simplesmente apoiado ou contínuo. A Figura 2.5
27
mostra um exemplo desta estrutura em um sistema simplesmente apoiado em encontros
e algumas seções transversais típicas. Este sistema estrutural apresenta algumas
vantagens, como pequena altura de construção, boa resistência à torção e rapidez de
execução, possuindo também boa relação estética. Podem ser moldadas no local ou
constituídas de elementos pré-moldados, e os detalhes de fôrmas e das armaduras e a
concretagem são bastante simples.
As soluções de pontes em laje podem ser de concreto armado ou protendido com a
relação entre a espessura da laje e o vão variando de 1/15 a 1/20 para concreto armado e
até 1/30 para concreto protendido. Quando os vãos são muito grandes, o peso próprio é
muito alto e costuma-se adotar a solução da seção transversal em laje alveolada, onde os
vazios podem ser conseguidos com fôrmas perdidas, através de tubos ou perfilados
retangulares de compensado ou de plástico (Mason, 1977).
28
Figura 2.5 – Esquemas de ponte em laje
tabuleiro
aparelho de apoio
encontro
(a) Elevação
(b) Seção transversal maciça
(c) Seção transversal alveolar
guarda-corpo
NA
alvéolos
2.4.2 – Pontes em Viga de Alma Cheia
Este sistema estrutural possui vigamentos suportando o tabuleiro. As vigas principais
são denominadas de longarinas e normalmente são introduzidas transversinas para
aumentar a rigidez do conjunto. Quando a seção transversal é feita com vigas sem laje
inferior, pode-se adotar transversinas intermediárias além das transversinas de apoio, e
quando a seção transversal é feita em caixão celular não é necessário ter-se
transversinas intermediárias em função da grande rigidez à torção do conjunto. Quando
a obra não termina em encontros, a transversina extrema possui características
particulares, substuindo o encontro na função de absorver os empuxos dos aterros de
acesso, sendo normalmente denominada de cortina. A Figura 2.6 ilustra algumas
características e seções transversais deste tipo de obra.
29
(c) Seção transversal em caixão
laje inferior
(b) Seção transversal sem laje inferior
guarda rodas
transversina
Figura 2.6 – Pontes com vigas de alma cheia
(d) Seção transversal em vigas pré-moldadas
pré-laje
viga pré-moldada
transversina de apoio laje de transição
aba da cortina
(a) Elevação em corte
cortina
A Figura 2.6 (a) mostra a laje de transição, que tem a função de evitar que, ao ocorrer
um eventual deslizamento do solo na proximidade da ponte, exista um degrau entre a
estrada e a ponte, o que poderia ocasionar graves acidentes.
2.4.3 – Pontes em Viga de Alma Vazada (Treliças)
Nestas pontes, o tabuleiro com a pista de rolamento pode estar na parte superior ou
inferior da treliça. São comumente feitas de aço e de madeira, possuindo a característica
de ser uma estrutura leve e de rápida execução. Entretanto, podem se tornar estruturas
complexas e de grande porte, apesar de leves.
A Foto 2.16 mostra a ponte “Forth Railway”, completada em 1889, cujo vão de 513m
foi o maior vão construído da sua época (www.civilengineer.about.com).
Foto 2.16 – Ponte “Forth Railway” (www.civilengineer.about.com/science)
As treliças são classificadas pela disposição de suas hastes, sendo as formas mais
representativas a treliça Warren (Figura 2.7(a)), a treliça Pratt (Figura 2.7(b)) e a treliça
Howe (Figura 2.7(c)). A treliça Warren é a forma mais simples, sendo normalmente
utilizada para vãos entre 50 e 100m de comprimento. A treliça Howe, patenteada por
William Howe em 1840 apresentou a inovação de associar hastes de aço verticais com
elementos diagonais de madeira (www.howstuffworks.com).
30
(c)
(b)
(a)
Figura 2.7 – Esquemas de pontes em treliças (www.matsuo-bridge.co.jp)
2.4.4 – Pontes em Quadro Rígido
Nestas pontes a superestrutura e a mesoestrutura estão monoliticamente ligadas,
eliminando-se o uso de aparelhos de apoio. Isto é conveniente no caso em que há pilares
esbeltos onde existe a necessidade da redução do comprimento de flambagem (o pilar
bi-engastado tem menor comprimento de flambagem), ou quando se deseja ter
manutenção mínima, uma vez que inexistem articulações e aparelhos de apoio. Existem
várias formas de pontes em quadro rígido. A Figura 2.8(a) exemplifica uma forma
muito usada para pontes sobre rios e vales profundos, por dispensar apoios
31
intermediários e pilares extremos e, a Figura 2.8(b) ilustra uma outra forma em que uma
única fundação é utilizada para dois elementos de apoio do tabuleiro.
(b)
(a)
Figura 2.8 – Esquemas de pontes em quadro rígido (www.matsuo-bridge.co.jp)
A ponte St. Goustan (Foto 2.17), na França, é um exemplo deste tipo de estrutura.
Foto 2.17 – Ponte St. Goustan ( fib, 2000 )
32
2.4.5 – Pontes em Arco
As estruturas em arco permitem o uso do concreto armado convencional em pontes com
grandes vãos com pequeno consumo de material. O eixo do arco é preferencialmente
projetado coincidindo com a linha de pressões devidas à carga permanente, para tirar
proveito da boa resistência à compressão que o concreto possui. As estruturas em arco
podem ser projetadas com tabuleiro superior, sustentado por montantes, ou com
tabuleiro inferior, sustentado por tirantes ou pendurais. Existe ainda o sistema misto
com o arco intermediário, sustentado lateralmente por montantes e, no centro, por
pendurais (Figura 2.9).
Nas estruturas com arcos inferior e intermediário, ocorrem grandes esforços horizontais
na base do arco, tornando necessária a existência de um excelente terreno de fundação.
Quando a obra for de concreto armado, deve-se prever um plano de concretagem bem
definido para que se possa reduzir os efeitos de retração e deformação lenta do material.
(c) - Ponte em arco com tabuleiro inferior
(b) – Ponte em arco com tabuleiro intermediário
(a) – Ponte em arco com tabuleiro superior
Figura 2.9 – Esquemas de ponte em arco (www.matsuo-bridge.co.jp)
33
As pontes em arco com tabuleiro inferior são mais indicadas para pequenos vãos e para
grandes vãos utiliza-se a ponte em arco com tabuleiro superior. As pontes em arco com
tabuleiro intermediário são menos utilizadas uma vez que a interseção do arco com o
tabuleiro representa problemas construtivos ( Mason, 1977 ).
A ponte “Bloukrans” (Foto 2.18), localizada na África do Sul, exemplifica uma
estrutura em arco com tabuleiro superior.
Foto 2.18 – Ponte Bloukrans ( fib, 2000 )
A ponte “Bow-string” (Foto 2.19), localizada na Bélgica, é um exemplo de uma ponte
em arco com tabuleiro inferior.
Foto 2.19 – Ponte Bow-string ( fib, 2000 )
34
2.4.6 – Pontes Pênseis
De todos os tipos estruturais, as pontes pênseis ou suspensas, junto com as estaiadas,
são aquelas que possibilitam os maiores vãos. Nelas o tabuleiro contínuo é sustentado
por vários cabos metálicos atirantados ligados a dois cabos maiores que, por sua vez,
ligam-se às torres de sustentação. A transferência das principais cargas às torres e às
ancoragens em forma de pendurais é feita simplesmente por esforços de tração. Os
cabos comprimem as torres de sustentação, que transferem os esforços de compressão
para as fundações.
A ponte pênsil, quando sujeita a grandes cargas de vento, apresenta movimentos do
tabuleiro que podem tornar o tráfego desconfortável e até perigoso e, por esta razão,
exige-se que o tabuleiro seja projetado com grande rigidez à torção para minimizar este
efeito. A Figura 2.10 exemplifica esta estrutura.
Figura 2.10 – Esquema de ponte pênsil
tabuleiro pendurais
torre de sustentação
2.4.7 – Pontes Estaiadas
As pontes estaiadas diferem das pontes pênseis principalmente na maneira como os
cabos são conectados às torres. Nas pontes pênseis os cabos passam livremente através
das torres e, nas pontes estaiadas os cabos são ancorados nas torres (Morrissey,
35
www.howstuffworks.com). O sistema estrutural consiste de um vigamento de grande
rigidez à torção que se apóia nos encontros e nas torres de ancoragem e de um sistema
de cabos retos esticados, denominados estais, partindo dos acessos do vigamento,
passando sobre uma ou duas torres de ancoragem e dirigindo-se ao vão central para
ancorá-lo e sustentá-lo.
As torres ou pilones podem ser projetadas com grande esbeltez porque os estais
transmitem apenas pequenas forças provenientes do vento e contribuem em muito para a
segurança contra a flambagem. Com relação às pontes pênseis, as pontes estaiadas
possuem pendurais mais rígidos, menor rigidez à flexão das vigas, maior eficiência com
relação à carga móvel, não apresentam instabilidade aerodinâmica, seu tabuleiro pode
ser de concreto armado ou protendido e apresentam menores flechas. A Figura 2.11
ilustra as principais disposições dos estais.
(b) Leque
Figura 2.11 – Esquemas de pontes estaiadas
(a) Harpa
A Foto 2.20 ilustra a ponte “Sunshine Skyway” localizada na Flórida. Esta ponte foi
uma das primeiras pontes estaiadas em que os cabos são ancorados no centro do
tabuleiro, ao contrário da ponte ilustrada na Foto 2.21, localizada perto de Savanah,
Geórgia, em que o tabuleiro é sustentado por um grupo de cabos em cada extremidade.
36
Foto 2.20 – Ponte “Sunshine Skyway”
(www.pbs.org/wgbh/nova/bridge)
Foto 2.21 – Ponte localizada próximo à
Savanah, Geórgia (www.howstuffworks.com/bridge)
2.4.8 – Coeficiente de dificuldade
A fib (2000) define um coeficiente de dificuldade “nd” para cada tipo de estrutura, que
se baseia nos seguintes critérios:
• Grau de responsabilidade e risco assumidos pelo engenheiro;
• Dificuldade de cálculo e dificuldade técnica para construção;
• Complexidade das tarefas;
• Dificuldade para execução do projeto;
• Condições climáticas, topográficas, geológicas, geo-técnicas e hidrológicas;
• Extensão do trabalho necessário.
A Tabela 2.1 contém a magnitude do índice em função do sistema estrutural da ponte.
37
Tabela 2.1 - Exemplos do coeficiente de dificuldade nd ( fib 2000 )
Pontes 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
Grau de dificuldade n
Estruturas simples como: pontes com vigas; seção constante; lajes curtas
Estruturas complicadas como: Pontes em vigas, em laje e pórticos com Grande variação de seção transversal Variação de largura Grande curvatura Grande rampa
Estruturas especiais e métodos especiais de construção: Pontes em arco Pontes estaiadas Pontes suspensas Pontes em balanço sucessivo Pontes empurradas
Estruturas normais como: pontes em vigas, em laje e pórticos. Pequenas variações de seção transversal Pequena curvatura Pequena rampa
Supervisão de construção Projeto
2.4.9 – Relação dos maiores vãos para diferentes tipos de estrutura
As tabelas 2.2 até 2.8 relacionam as pontes com os maiores vãos de acordo com o tipo
estrutural (www.struct.kth.se e www.sbi.se/bridges.htm).
38
Tabela 2.2 – Pontes Pênseis com Maiores Vãos
Ponte País Vão (m) Ano
Akashi-Kaikyo Japão 1991 1998
Great Belt East Dinamarca 1624 1998
Humber Reino Unido 1410 1981
Jiamgyim China 1385 1998
Tsing Ma China 1377 1997
Verrazano-Narrows Estados Unidos 1298 1964
Golden Gate Estados Unidos 1280 1937
Hoga Kusten Suécia 1210 1997
Mackinac Estados Unidos 1158 1957
Minami Bisan-Seto Japão 1100 1988
Tabela 2.3 – Pontes Estaiadas com Maiores Vãos
Ponte País Vão (m) Ano
Tatara Japão 890 1999
Ponte da Normandia França 856 1995
Second Nanjing China 628 2001
Qingzhou Minjiang China 605 1996
Yangpu China 602 1993
Xupu China 590 1997
Meiko-Chuo Japão 590 1997
Skarnsundet Noruega 530 1991
Queshi China 518 1999
Tsurumi Tsubasa Japão 510 1994
39
Tabela 2.4 – Pontes em Arco de Concreto com Maiores Vãos
Ponte País Vão (m) Ano
Wanxian China 425 1997
Krk-1 Croácia 390 1980
Jiangjiehe China 330 1995
Yongning China 312 1998
Gladesville Austrália 305 1964
Ponte da Amizade Brasil / Paraguai 290 1964
Bloukrans África do Sul 272 1983
Arrábida Portugal 270 1963
Sando Suécia 264 1943
Chateaubriand França 261 1991
Tabela 2.5 – Pontes em Arco de Aço com Maiores Vãos
Ponte País Vão (m) Ano
New River George Estados Unidos 518 1977
Bayonne Estados Unidos 504 1931
Sydney Harbor Austrália 503 1932
Fremont Estados Unidos 383 1973
Port Mann Canadá 366 1964
Yajisha China 360 2000
Thatcher Ferry Panamá 344 1962
Laviolette Canadá 335 1967
Zdákov República Tcheca 330 1967
Runcorn-Widnes Reino Unido 330 1961
40
Tabela 2.6 – Pontes em Concreto Protendido com Maiores Vãos
Ponte País Vão (m) Ano
Stolmasundet Noruega 301 1998
Raftsundet Noruega 298 1998
Humen China 279 1998
Boca Tigris - 2 China 270 1997
Varodd Noruega 260 1994
Gateway Austrália 260 1986
Chongqing Huanghuayuan China 250 1999
Confederação Canadá 250 1997
Skie Reino Unido 250 1995
Ponte São João Portugal 250 1991
Schottwien Austria 250 1989
Tabela 2.7 – Pontes em Caixão Metálico com Maiores Vãos
Ponte País Vão (m) Ano
Costa e Silva Brasil 300 1974
Neckartalbruecke-1 Alemanha 263 1978
Sava-1 Iuguslávia 261 1956
Ponte de Vitória - 3 Brasil 260 1989
Zoobrucke Alemanha 259 1966
Namihaya Japão 250 1994
Kaita Japão 250 1991
Sava-2 Iuguslávia 250 1970
Auckland Harbour Nova Zelândia 244 1969
Trans-Tokyo Bay Japão 240 1996
41
Tabela 2.8 – Pontes em Treliças Metálicas com Maiores Vãos
Ponte País Vão (m) Ano
Québec Canadá 549 1917
Firth of Forth Escócia 521 1890
Minato Japão 510 1975
Commandore Barry Estados Unidos 501 1975
Greater New Orleans - 1 Estados Unidos 480 1958
Greater New Orleans - 2 Estados Unidos 480 1988
Howrah Ìndia 457 1943
Veterans Memorial Estados Unidos 445 1995
Transbay Estados Unidos 427 1936
Ikitsuki Japão 400 1991
O gráfico 2.1 relaciona os vãos das pontes com o ano de construção, de acordo com o
tipo estrutural. O gráfico evidencia que as pontes pênseis possuem os maiores vãos,
seguidas pelas pontes estaiadas.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
Vão
(m)
Suspensas Estaiadas A rco de C oncreto A rco M etálico
C oncreto P rotendido C aixão M etálico Treliça M etálica
Ano
Gráfico 2.1 – Relação dos vãos das pontes com o ano de construção
de acordo com o tipo estrutural
42
2.5 – Sistemas Construtivos
Muitas vezes a solução do projeto de uma ponte está condicionada ao método
construtivo utilizado para a execução da obra. O método construtivo adotado será
influenciado por diversos fatores como: o comprimento da obra; a altura do
escoramento; regime e profundidade do rio; a velocidade do rio; a capacidade portante
do terreno de fundação, que definirá o custo da infra-estrutura; disponibilidade de
equipamento da construtora; cronograma de execução da obra; economia (Almeida,
2000). A seguir serão apresentados os principais métodos construtivos de pontes e
viadutos.
2.5.1 – Superestrutura em concreto armado ou protendido moldado no local
Provavelmente este é o processo mais empregado para execução de pontes, onde as
fôrmas podem estar sobre escoramentos fixos ou móveis. As pontes em concreto
armado ou protendido moldadas no local seguem o sistema tradicional de construção,
sendo executadas com as fôrmas sobre escoramentos e concretadas segundo a técnica
usual. No processo de escoramentos deslizantes é utilizado um sistema de treliças
móveis em estrutura metálica que é deslocado à medida que a concretagem da obra
avança.
Não se recomenda a aplicação deste sistema construtivo quando: altura de escoramento
elevada (H > 15m); obras com grandes comprimentos (L>400m); caixas de rios
profundos e rios sem regimes bem definidos; rios com grandes velocidades (v>3m/s);
cronogramas de execução apertados (Almeida, 1986).
Estas obras exigem um cuidado especial com o projeto de escoramento, devendo este
ser compatível com o tipo de obra e com o plano de concretagem.
O boletim nº 9 da fib (2000) define dois parâmetros que podem servir como orientação
para definição do tipo de seção transversal em pontes de concreto protendido moldado
no local. Estes parâmetros são:
43
• Coeficiente de eficiência geométrica:
ys yyAI
⋅⋅=ρ
onde:
ρ é o coeficiente de eficiência geométrica
A é a área da seção transversal
ys e yi são as distâncias do centróide da seção às fibras extremas
• Taxa de concretagem da estrutura
A Tabela 2.9 relaciona os valores dos coeficientes com o tipo de seção estrutural.
Tabela 2.9 – Parâmetros para definição da seção transversal ( fib, 2000 )
Seção transversal
Relação
Vão/Hviga
ρ
Taxa de
concretagem
(m3 /hora)
< 12 a 15
0,333
25 - 30
10 a 25
0,33 a 0,36
25 - 30
20 a 35
0,35 a 0,38
25 - 30
30 a 45
0,36 a 0,42
20 - 25
> 40 a 45
0,50 a 0,65
6 - 10
44
2.5.2 – Superestruturas com Vigas Pré-moldadas e Pré-fabricadas
Nestes sistemas, as vigas são executadas em baias e posicionadas com o auxílio de
treliças de lançamento ou guindastes. Normalmente as vigas são de concreto protendido,
sendo bastante usual a adoção de duas etapas de protensão; a primeira pouco após a
concretagem, ainda na baia, apenas para que a viga suporte o peso próprio e os esforços
decorrentes do lançamento da viga, e a outra após o término da construção da laje. Este
sistema permite a industrialização do processo construtivo, criando-se um canteiro onde
se pode executar as vigas de uma forma muito rápida com o uso de fôrmas metálicas.
Após o lançamento das vigas faz-se a concretagem da laje, sendo seu escoramento
modernamente efetuado com o auxílio das pré-lajes que, além de servirem de
escoramento, também podem conter as armaduras positivas da laje, servindo como
elemento estrutural (Almeida, 1996).
Quando as vigas são executadas com concreto protendido, faz-se necessária a análise da
protensão de acordo com cada fase de carregamento, observando a mudança de
característica da seção transversal ao longo da construção.
Este sistema apresentava a desvantagem de precisar de juntas de dilatação, que
representam uma descontinuidade no tabuleiro da obra e criam um local de futuros
problemas e patologias, além do desconforto para o usuário. Modernamente utilizam-se
as lajes de continuidade ou lajes elásticas que dispensam o uso de juntas de dilatação em
obras de até 150m de comprimento. Este comprimento é limitado para que os efeitos de
temperatura no tabuleiro da ponte não sejam excessivos (Almeida, 1994).
Segundo Almeida (2000), este sistema construtivo é adequado para vãos entre 25 e
45m, sendo sua aplicação muito vantajosa quando ocorrem os seguintes fatores
(isolados ou simultâneos): elevada altura de escoramento; grande comprimento, o que
resulta em grande quantidade de vigas, justificando a instalação de um canteiro de
fabricação; caixa de rio muito profunda e rios sem regimes definidos; cronograma
apertado, exigindo a execução simultânea de superestrutura e mesoestrutura.
45
As vigas pré-fabricadas diferem das vigas pré-moldadas principalmente quanto ao
canteiro de fabricação. Enquanto as vigas pré-moldadas são executadas em canteiros
temporários e específicos para uma obra, as vigas pré-fabricadas são produzidas em
uma fábrica, onde o canteiro de fabricação possui instalações fixas.
As principais vantagens do uso das vigas pré-fabricadas são: rígido controle de
qualidade das peças; redução do canteiro de obras; rapidez de execução; perfeito
acabamento obtido pelo uso de fôrmas metálicas ou de concreto; uso de mão-de-obra
especializada; uso de protensão aderente, o que dispensa as operações de protensão no
canteiro e injeção das bainhas. Este sistema permite ainda que toda a superestrutura seja
pré-fabricada, uma vez que a fábrica pode produzir as vigas, as lajes e o guarda-rodas.
Normalmente as vigas são feitas de concreto protendido pré-tracionado, (cordoalhas
tracionadas antes da concretagem da viga). O traçado do cabo é retilíneo, e para que não
ocorra o excesso de compressão nas regiões próximas aos apoios costuma-se eliminar a
aderência do concreto com o cabo nestas áreas, que é feita com o revestimento do cabo
com tubos de plástico, permitindo a livre deformação do cabo quando liberado. Uma
das desvantagens deste processo é a necessidade de ajustá-lo aos perfis de vigas
padronizados pelas fábricas, o que pode até inviabilizar o seu uso.
2.5.3 – Sistema em Balanços Sucessivos
Este sistema construtivo foi criado pelo engenheiro brasileiro Emílio Baumgart, para a
construção do vão central da Ponte de Herval sobre o rio Peixe em Santa Catarina, em
1930 (Almeida, 2000).
O processo consiste da construção da obra em segmentos, denominados de aduelas, que
podem ser pré-moldadas ou moldadas no local, constituindo balanços que avançam
sobre o obstáculo a ser vencido. As aduelas pré-moldadas são fabricadas no canteiro e
transportadas por meio de treliças metálicas até a extremidade do balanço, onde são
protendidas longitudinalmente. Entre as aduelas pode-se usar ou não cola à base de
resina epóxi, que serve para lubrificar a superfície, diminuir os efeitos das imperfeições
46
das juntas entre as aduelas, impermeabilizar a junta e contribuir para a transmissão das
tensões cisalhantes. Quando as aduelas são moldadas no local, a concretagem é
executada com o auxílio de fôrmas deslizantes escoradas nos trechos já construídos e,
na idade apropriada, as aduelas são protendidas. Mesmo no sistema de aduelas pré-
moldadas, o primeiro trecho do balanço, denominado arranque, é moldado no local e o
escoramento de sua fôrma feito sobre o apoio.
O vão é construído em balanços sucessivos, partindo de cada apoio do vão até a metade
do vão, onde é feito o fechamento central evitando articulações que seriam locais de
possíveis patologias futuras. A execução deve ser muito bem controlada, principalmente
com relação às deformações, para que os trechos cheguem ao centro do vão
simultaneamente e coincidentemente. Normalmente, a concretagem do trecho central é
realizada nos períodos com menor variação de temperatura, para que os efeitos térmicos
não provoquem esforços no trecho até o endurecimento do concreto.
Após a concretagem do fechamento central surge um esforço denominado de momento
de restituição ou hiperestático da deformação lenta. Este esforço ocorre em função da
alteração do sistema estrutural que impede a deformação diferida do concreto que
prosseguiria até sua estabilização final. Com a continuidade central o aumento da
rotação diferida na seção é impedido surgindo assim o esforço hiperestático. Este
esforço é nulo no instante da ligação crescendo progressivamente até um limite em
função do fenômeno da relaxação (Mason, 1977).
Sempre que possível, projeta-se a obra para que os balanços sejam feitos simetricamente
em relação ao apoio, evitando grandes desequilíbrios entre as cargas. Quando os
balanços são desiguais ou há balanço em apenas em um vão, pode-se utilizar lastro no
vão anterior ao balanço ou até mesmo estais ajustáveis ao desenvolvimento do vão,
suportados por torres provisórias e ancoradas no apoio anterior. A Foto 2.22 ilustra uma
ponte em arco sendo construída em balanços sucessivos que são sustentados por cabos
ancorados em uma torre provisória.
47
Foto 2.22 – Sistema construtivo em balanços sucessivos (www.civilengineer.about.com)
A Foto 2.23 mostra a execução de um trecho de uma ponte em balanços sucessivos que
avançam simultaneamente para ambos os lados de um único apoio.
Foto 2.23 – Balanços sucessivos moldado no local ( fib, 2000 )
48
As Fotos 2.24 e 2.25 mostram a execução do trecho em balanços sucessivos da Ponte
sobre o Rio Ribeirão Mosquito, executada em 2001 (arquivo técnico da empresa Pontis
Consultoria e Projetos LTDA).
Foto 2.24 – Balanço sucessivo moldado no local
Foto 2.25 – Balanço sucessivo moldado no local
49
Este sistema construtivo é recomendado quando ocorrerem os seguintes fatores:
existência de dificuldades de escoramento direto (rios profundos, greides elevados);
necessidade de grandes vãos, seja por imposição de gabaritos ou para evitar fundações
muito dispendiosas (vãos entre 60 e 240m); execução de viadutos sem a interdição do
trânsito em zona urbana. O comprimento das aduelas deve ser constante para facilitar a
fôrma, sendo determinado em função da capacidade portante da treliça de escoramento.
Na Foto 2.26 vê-se o içamento de uma aduela pré-moldada.
Foto 2.26 – Aduela pré-moldada ( fib, 2000 )
A execução em aduelas pré-moldadas pode ser por dois processos distintos, o sistema
SHORT-LINE e sistema LONG-LINE. No sistema SHORT-LINE as aduelas são
fabricadas com o uso de apenas uma fôrma metálica, sendo esta fôrma muito sofisticada
e cara, para atender a todas as diferenças e mudanças entre as seções transversais das
aduelas, assim como as conformações em planta e perfil do projeto geométrico da
50
estrutura. No sistema LONG-LINE é fabricada a fôrma para todo o vão, podendo ela ser
reaproveitada para outros vãos que sejam iguais. A fôrma e a armação são montadas
sobre um escoramento metálico ou sobre uma pista de concreto que poderá servir de
fôrma de fundo. As aduelas são concretadas de maneira a garantir a perfeita acoplagem
entre si, onde cada aduela concretada na etapa anterior serve de forma para a próxima
(Almeida, 2000).
A Figura 2.12 ilustra o método de construção em aduelas pré-moldadas.
2.5.4 – Sistema por Empurramentos Sucessivos
Este método foi desenvolvido em 1961 pelos engenheiros Leonhardt e Andrae, sendo
utilizado pela primeira vez na construção da ponte sobre o Rio Caroni, na Venezuela,
realizada entre 1962 e 1964 (Souza, 1983).
Neste método, a superestrutura é fabricada nas margens e empurrada para sua posição
ao longo dos vãos, funcionando em balanço à medida que vai avançando, até encontrar
Figura 2.12 – Formas de lançamento da aduelas pré-moldadas ( fib, 2000 )
51
o próximo apoio. Cada segmento é executado sobre fôrmas metálicas fixas, sendo
concretado contra o anterior já concluído, o que permite a continuidade da armadura na
região das juntas. A estrutura é empurrada por macacos hidráulicos e sobre aparelhos de
apoio deslizantes de teflon sobre os pilares, que podem ser permanentes ou provisórios,
dependendo do tamanho do vão. Uma vez que o trecho dianteiro da estrutura fica em
balanço até alcançar os apoios, utiliza-se uma treliça metálica fixada no trecho dianteiro
que alcança o apoio antes da estrutura, diminuindo o balanço e reduzindo o momento
negativo durante a fase construtiva. A Figura 2.13 ilustra o processo de construção por
módulos empurrados sucessivamente.
Este processo apresenta as seguintes vantagens: eliminação do escoramento; redução
das fôrmas; redução de mão de obra; rápida execução da superestrutura; industrialização
da construção. Recomenda-se o uso do método quando existirem os seguintes fatores:
obra com greide elevado; travessia em rios ou vales profundos; obras com grande
extensão; vãos de até 50 metros para evitar a execução de pilares provisórios (Souza,
1983). Recomenda-se, para aplicação do método, modular os vão intermediários com
comprimentos iguais, e os vãos extremos com comprimentos iguais a 75% dos
comprimentos dos vãos intermediários. Este procedimento e a adoção de segmentos
com comprimentos iguais à metade do comprimento dos vãos intermediários assegura
que as emendas dos diversos segmentos coincidam com os quartos do vão, região em
que os esforços internos são menores.
Figura 2.13 – Esquema de construção de pontes por empurramentos sucessivos
aparelhos de apoio teflon
usina de fabricação
elemento sendo fabricado
7 6 5 4 3 2 1
52
A protensão é aplicada em duas etapas. A primeira na fase construtiva, devendo ser
centrada, em função da alternância das solicitações devidas ao peso próprio durante a
execução da obra, a segunda é realizada após a execução do tabuleiro, para a
complementação da primeira etapa, tendo em vista as solicitações de sobrecarga
permanente e carga móvel (Almeida, 2000).
A Foto 2.27 ilustra uma treliça metálica utilizada como ponteira neste método.
Foto 2.27 – Empurramentos sucessivos ( fib, 2000 )
Na Foto 2.28 pode-se ver toda extensão da construção do viaduto de Meyssiez TGV, na
França.
Foto 2.28 – Viaduto de Meyssiez TGV ( fib, 2000 )
53
2.6 – Carregamentos
Os carregamentos em estruturas de pontes são constituídos de cargas permanentes,
variáveis e excepcionais. Tão importante quanto o valor dos carregamentos é o
momento e a ordem que os carregamentos atuam, principalmente nas pontes efetuadas
em concreto protendido e nas em vigas pré-fabricadas e pré-moldadas em que ocorrem
mudanças nas características da seção transversal.
Os carregamentos permanentes são aqueles que possuem valores constantes durante
toda a vida útil da obra, compreendendo o peso próprio da estrutura: laje, transversinas,
pavimentação, guarda-rodas, guarda-corpo. As ações variáveis são as que apresentam
variações significativas em sua magnitude durante a vida útil da estrutura: as devidas à
frenagem e à aceleração, à força centrífuga, ao vento, à variação de temperatura, e às
cargas móveis. As ações excepcionais são aquelas com pouca probabilidade de ocorrer e
com pouca duração, mas que devem ser levadas em consideração em função dos efeitos
nocivos que elas provocam ao longo da vida útil da estrutura. Entre elas estão os
choques de veículos nos pilares de viadutos em centros urbanos, esforços provenientes
de abalos sísmicos, choque de veículos no guarda-rodas, choques provenientes de
choques de navios nos pilares das pontes.
54
3 – ANÁLISE DE SUPERESTRUTURAS DE PONTES DE CONCRETO
PROTENDIDO (PÓS-TRAÇÃO)
3.1 – Modelagem de superestruturas de pontes
Normalmente a análise da superestrutura, quando realizada em um único plano, é feita
considerando-a como uma viga, principalmente quando ela se encontra apoiada em
aparelhos de apoio, que efetuam o desligamento da superestrutura com a mesoestrutura.
A modelagem da superestrutura para estes casos torna-se muito simples, consistindo
apenas em dividir os vãos da superestrutura para a análise das seções transversais. Esta
divisão, normalmente, é feita em décimos de vãos, podendo até ser feita em vigésimos
de vãos, para vãos muito grandes. A Figura 3.1 exemplifica a modelagem de uma ponte
com dois vãos que foi representada por uma viga contínua.
Quando a estrutura não possui aparelhos de apoio, tendo-se o sistema de quadro rígido,
a modelagem da superestrutura pode ser feita como pórtico plano que permite a análise
dos pilares da mesoestrutura (Figura 3.2).
L L L L L L L L L L LL LL L LLL L L
LLL LL L LLLL L L L LLL LL L L
55
elementos nós Figura 3.1 – Modelagem de uma superestrutura em viga contínua
Figura 3.2 – Modelagem de uma superestrutura em pórtico plano nós elementos
Pode-se realizar a modelagem das estruturas de pontes apoiadas em aparelhos de apoio
de neoprene na forma de pórtico plano. Esta modelagem é empregada para a análise das
superestrutura e mesoestrutura verificando a distribuição dos esforços horizontais
atuantes na superestrutura (Figura 3.3).
LLL L L LLL L LLL LL L LL L LL
Na Figura 3.3, a barra 21 representa o aparelho de apoio de neoprene. As características
geométricas desta barra podem ser obtidas pela igualdade entre a deformação devida à
distorção do neoprene por atuação de um esforço tangencial unitário e a deformação
axial produzida por um esforço normal unitário na barra. A Figura 3.4 ilustra a atuação
de forças unitárias em um aparelho de neoprene e as deformações correspondentes, δ a
e δ t, obtidas pelas equações 3.1a e 3.1b.
Figura 3.3 – Modelagem de uma ponte com apoios de neoprene
elementos nós
n
annn
n
an hA
F δεσ ⋅=⋅== E E
Figura 3.4 – Deformação de um aparelho de apoio de neoprene
δ a hn
Fa = 1
hn
Ft = 1
γ
Ft = 1 δ t
56
com Fa = 1
E nn
na A
h⋅
=δ (3.1a)
e,
n
tn
n
tt h
GAF δ
τ γ ⋅=⋅== Gn
com Ft = 1
nn
nt AG
h⋅
=δ (3.1b)
A Figura 3.5 mostra a atuação de uma força axial unitária na barra equivalente, que
simula o aparelho de apoio, e a deformação correspondente determinada com a equação
3.2.
Figura 3.5 – Deformação axial da barra
FL = 1
FL = 1
δa
Lb
L
EEAF
b
abb
b
L δεσ ⋅=⋅==
Como FL = 1 :
bb
ba AE
L⋅
=δ (3.2)
57
Igualando-se as equações 3.1a e 3.2, tem-se
bb
b
nn
n
AEL
AEh
⋅=
⋅
logo:
nb
nnbb hE
AELA⋅
⋅⋅= (3.3)
onde:
Ab é a área da seção da barra que simula o aparelho de neoprene
Lb é o comprimento da barra que está simulando o aparelho de neoprene
An é a área em planta do aparelho de neoprene
hn é a altura do aparelho de neoprene
En é o módulo de elasticidade longitudinal do aparelho de neoprene
Eb é o módulo de elasticidade do material da barra que simula o aparelho de
neoprene
Considerando-se a barra como bi-engastada (Figura 3.6) obtém-se a flexibilidade da
barra no sentido transversal dada pela equação 3.4.
Figura 3.6 – Deformação lateral da barra
δt F = 1
bb
bt IE
L⋅⋅
=12
3
δ (3.4)
Igualando-se as equações 3.1b e 3.4 chega-se ao momento de inércia da barra que
simula o aparelho de neoprene, dada pela equação 3.5.
nb
nbbb hE
AGLI⋅⋅⋅⋅
=12
3
(3.5)
58
onde
Gn é o módulo de elasticidade transversal do aparelho de neoprene
Ib é o momento de inércia da barra que simula o aparelho de neoprene
3.2 – Características das seções
Para obtenção das características das seções transversais dos elementos da estrutura faz-
se uso de um procedimento prático que é a divisão da seção em trapézios, retângulos e
triângulos. Este processo permite a automatização do cálculo das características da
seção (Figuras 3.7 e 3.8).
As características de cada trapézio são:
Figura 3.7 – Seção transversal de uma viga pré-moldada
Figura 3.8 – Discretização da seção transversal
(cm)
Z
Y
Ys
Yi
YcgG ( i )
YcgL ( i )
h ( i )
bs ( i )
bi ( i )
( )2
)()()()( ihibiibsiA ⋅+= (3.6)
59
( )( ))()(3
)(2)()()(ibiibsibiibsihiycgL +⋅
⋅+⋅= , quando bs ( i ) > bi ( i ) (3.7)
( )( )
+⋅⋅+
−⋅=)()(3)(2)(1)()(
ibiibsibiibsihiycgL , quando bs ( i ) < bi ( i ) (3.8)
+
+⋅⋅+⋅=
)()()()()(4)(
36)()(
223
ibiibsibiibiibsibsihij (3.9)
onde:
A ( i ) é a área de cada trapézio
ycgL ( i ) é a distância entre o centróide de cada trapézio e a base superior
j ( i ) é o momento de inércia de cada trapézio com relação ao eixo Zi (paralelo ao eixo Z) que passa pelo seu centróide
bs ( i ) é a base superior de cada trapézio
bi ( i ) é a base inferior de cada trapézio
h( i ) é a altura de cada trapézio
As características da seção são obtidas de:
∑= )(iAA (3.10)
[ ]∑∑ ⋅+= )()()( 2 iyiAijI cgG (3.11)
[ ]∑
∑ ⋅=
)()()(
iAiyiA
y cgGs (3.12)
sti yhy −= (3.13)
onde:
A é a área da seção transversal
ht é a altura da seção transversal
I é o momento de inércia da seção transversal com relação ao eixo Z que passa
pelo seu centróide
ys é a distância do centróide da seção à fibra superior
60
yi é a distância do centróide da seção à fibra inferior
3.3 – Análise dos efeitos da protensão
3.3.1 – Esforços devidos à protensão
Se Fp for a força de compressão produzida pela armadura protendida em uma dada
seção “S” (Figura 3.9), os esforços seccionais produzidos são os mostrados na Figura
3.9.
onde:
yp é a distância, na seção “S”, do centróide da seção do cabo ao bordo inferior da
seção
ex é a excentridade do cabo com relação ao centróide da seção “S”
Np é o esforço normal de protensão na seção “S”
Vp é o esforço cortante de protensão na seção “S”
Mp é o momento fletor de protensão na seção “S”
61
α
yp
ex
Figura 3.9 – Esforços seccionais devidos à protensão
Mp = Np⋅ex
S
Vp
Np
α Fp
S Mp < 0
Vp > 0
Np > 0 Vp = Fp⋅sen(α)
Np = Fp⋅cos(α)
Estes esforços seccionais representados na Figura 3.9, normalmente denominados de
esforços isostáticos, quando aplicados à estrutura produzem outros esforços que surgem
em função dos vínculos da estrutura que está sendo protendida, que tendem a impedir o
deslocamento da estrutura provocado pelos esforços isostáticos de protensão. A
obtenção desses esforços era feita principalmente pelo método das forças ou pelo
processo de Cross, priorizando as solicitações de flexão, onde os momentos de
engastamento inicialmente utilizados foram propostos por Khachaturiam . Em 1983,
Leonhardt propôs outra forma para obtenção dos momentos de engastamento que
superpunha os efeitos isostáticos e hiperestáticos de protensão (Perlingeiro, 1998).
Lin (1980), para um trecho genérico do cabo considerado parabólico, transformou os
efeitos de protensão em carga distribuída vertical e obteve os esforços de protensão a
partir desta carga distribuída, conhecido como método das cargas equivalentes. Este
método pode ser aplicado em vigas com inércia variável, mas também não considera a
variação da tensão no cabo ao longo de seu comprimento e o traçado do cabo deve ser
parabólico.
Collins e Mitchel (1991) desenvolveram formulações para os momentos de
engastamento que consideram o efeito dos esforços cortantes. Mas este método, assim
como os outros, não leva em conta a variação da tensão no cabo ao longo do seu
comprimento. As formulações foram desenvolvidas para vigas com inércia constante e a
trajetória do cabo definida por uma parábola.
Perlingeiro (1998) propôs um método para a análise dos esforços de protensão baseado
na transformação dos esforços de protensão em cargas equivalentes, que pode ser usado
para cabos com qualquer posição ao longo da viga. A precisão dos resultados depende
da discretização do cabo; quanto maior a curvatura do cabo maior deve ser sua
discretização. Este processo considera a tensão ao longo do cabo continuamente
variável em cada intervalo, e ao contrário dos outros métodos, e é de fácil
automatização. A seguir é feita breve descrição desse método.
62
Seja um trecho genérico entre duas seções ( Figura 3.10 ), com a posição do cabo
definida pelas excentricidades (e1 e e2) e pelos ângulos que a tangente ao eixo do cabo
faz com a direção horizontal ( α1 e α2 ). É admitido que a força de protensão varia
linearmente de F1 a F2, podendo-se desta forma considerar as perdas de protensão.
.
Figura 3.10 – Trecho genérico de um cabo de protensão
e1
e2F1 α1
α2F2S1 S2
L
As forças de protensão nos extremos e as cargas distribuídas equivalentes de protensão
estão representadas na Figura 3.11. As cargas distribuídas equivalentes são obtidas a
partir das condições de equilíbrio e seus valores são:
LNNn )12( −
= (3.14)
L)2Q1Q( −
=q (3.15)
2)2Q1Q()12( −
+−
=L
MMm (3.16)
onde:
M1 e M2 são os momentos isostáticos de protensão nas seções S1 e S2,
respectivamente;
Q1 e Q2 são os esforços cortantes isostáticos de protensão nas seções S1 e S2,
respectivamente;
N1 e N2 são os esforços normais isostáticos de protensão nas seções S1 e S2,
respectivamente;
63
n é o carregamento distribuído axial, que representa a variação da força de
protensão devida às perdas entre as seções S1 e S2;
m é o momento distribuído, que representa a variação da excentricidade do cabo
entre as seções S1 e S2;
q é carga distribuída transversal, que representa a variação da inclinação do cabo
entre as seções S1 e S2.
Figura 3.11 – Esforços de protensão e cargas distribuídas equivalentes
N2
M2
Q2 N1
Q1
M1 X = L X = 0
n
q
m
S2S1
Ao carregar cada elemento da estrutura com seus respectivos carregamentos distribuídos
equivalentes obtêm-se os esforços de protensão. Os esforços resultantes serão a soma
dos esforços isostáticos de protensão com os esforços hiperestáticos de protensão (caso
existam).
Outra forma de analisar os esforços devidos à protensão em uma estrutura é a
representação das ações de protensão por esforços solicitantes iniciais (Stucchi, 1993).
Desta forma, para uma estrutura por barras e nós, os esforços iniciais em cada nó são
obtidos conforme mostra a Figura 3.9, e os esforços hiperestáticos podem ser obtidos
aplicando nas extremidades de cada elemento os momentos isostáticos de protensão e os
esforços verticais que equilibram o elemento de acordo com a Figura 3.12
(Almeida,1999).
64
Onde
M1 M2
L
Qe Qd
Figura 3.12 – Momento isostático de protensão
L)21( MMQQ ed
−=−= (3.17)
Os esforços resultantes são apenas os esforços hiperestáticos de protensão (caso
existam).
3.3.2 – Perdas de protensão
A força de protensão aplicada na extremidade do cabo sofre perdas ao longo do
comprimento relacionadas com posição do cabo em cada seção, com o sistema
estrutural, com a fluência e a retração do concreto e com a relaxação do aço ao longo do
tempo. Estas perdas classificam-se em perdas imediatas e lentas.
3.3.2.1 – Perdas imediatas
As perdas imediatas, que ocorrem quando o concreto é protendido, no sistema de pós-
tração são:
65
- Perda no sistema de macaqueamento e nas placas de ancoragem;
- Perda devido a rigidez do sistema estrutural;
- Perda pelo atrito entre a armadura e a bainha;
- Perda pela acomodação e deformação das ancoragens;
- Perda pela deformação instantânea do concreto decorrente das protensões
sucessivas.
3.3.2.1.1 – Perda no macaqueamento e nas placas de ancoragem
No ato da protensão ocorrem perdas na transmissão da força pelo macaco hidráulico ao
cabo em função da eficiência do equipamento e também pelo atrito na acomodação das
placas de ancoragem. Estas perdas são determinadas por processos empíricos e em
conjunto.
O valor medido varia entre 3,5% e 8,0% da força aplicada ao cabo e faz-se a
compensação desta perda pela majoração da força. Uma vez que esta perda é
compensada no ato da protensão pelo aumento da pressão manométrica aplicada no
macaco hidráulico, ela não interfere no processo de cálculo da distribuição de tensões ao
longo do cabo.
3.3.2.1.2 – Perda pela retenção do sistema estrutural
Esta perda ocorre em função do sistema estrutural e do elemento estrutural que será
protendido, ocorrendo na aplicação da protensão. Para entender sua existência seja o
exemplo de uma viga engastada em um pilar com uma rigidez muito maior que a da
viga. Quando a protensão for aplicada à viga, a força de protensão não será totalmente
transmitida à viga uma vez que esta se encontra impedida de se deslocar, ficando a força
de protensão retida no pilar. A análise da protensão pelo método das cargas equivalentes
é a única forma de considerar essa perda, uma vez que aplica o efeito da protensão
como um carregamento ao sistema estrutural.
66
3.3.2.1.3 – Perda pelo atrito entre armadura e bainha
Esta perda depende do traçado do cabo por despertar o atrito nos pontos de contato com
a bainha. A tensão σx na armadura em uma seção que se encontra a uma distância “x”
da ancoragem ativa, onde é aplicada a tensão inicial σi ao cabo, levando em
consideração as perdas por atrito entre o cabo e a bainha é dada, segundo o CEB-FIP
MC 90 e a NBR 6118-2001 é dada por: ))(( xkx
ix e ⋅+⋅−⋅= αµσσ (3.18)
onde:
µ é o coeficiente de atrito entre o cabo e a bainha;
α(x) é a soma dos ângulos que determinam cada mudança de direção do cabo,
em radianos, entre a ancoragem ativa e seção considerada;
k é a perda de tensão por unidade de comprimento devido à curvatura não
intencional entre os pontos de fixação da bainha.
Os valores numéricos de µ e k são determinados experimentalmente. Segundo a NBR
6118 – 2001, k = 0,010 m-1 e os valores de µ são:
µ = 0,50 entre cabo e concreto ( sem bainha );
µ = 0,30 entre barras ou fios com mossas e saliências e bainha metálica;
µ = 0,20 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica;
µ = 0,10 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica lubrificada;
µ = 0,05 entre cordoalhas e bainha de polipropileno lubrificada;
3.3.2.1.4 – Perda pela acomodação e deformação da ancoragem
A extremidade dos cabos que são ancorados por cunhas sofre até a fixação definitiva um
deslizamento δ que provoca uma diminuição do alongamento estabelecido pela
protensão. O valor deste deslizamento é função do tipo de ancoragem e da armadura
67
usada, sendo fornecido pelos fabricantes de equipamentos de protensão. O valor médio
da perda no conjunto armadura-ancoragem em cordoalhas é de 6mm.
A partir do diagrama de tensões ao longo do cabo (Figura 3.13) calcula-se o
alongamento a ser imposto ao cabo para instalação da força de protensão, que é função
da área Ω, como demonstra-se a seguir.
Figura 3.13 – Diagrama de tensões ao longo do cabo
σi
σ'i
Ω
Ωaf
x = 0 x = Lpdx
σx,i
dΩ
σ
x
xac
x
Seja o trecho isolado de um cabo, submetido a uma tensão σpx,i (Figura 3.14).
∆(dx) dx
σpx,i σpx,i
Figura 3.14 – Trecho isolado de um cabo
Pela Lei de Hooke:
dxE
dxp
ipx ⋅=∆ ,)(σ
(3.19)
68
Sendo ∆Lp o alongamento imposto ao cabo para produzir a tensão σi na região da
ancoragem, tem-se
∫=
=
∆=∆Lpx
x
dxLp0
)( (3.20)
e com a equação 3.19 em 3.20 tem-se:
∫=
=
=∆Lpx
x p
ipx dxE
Lp0
,σ (3.21)
p
Lpx
xp Ed
ELp Ω
=Ω=∆ ∫=
=0
1 (3.22)
onde Ep é o módulo de elasticidade do aço.
A área Ωaf (Figura 3.13) equivale à perda de tensão devida à acomodação e deformação
da ancoragem, e seu valor é
paf E
δ=Ω (3.23)
O valor desta área e o valor de Xac (Figura 3.13) devem ser determinados para o
conhecimento da influência da perda por acomodação da ancoragem nas tensões ao
longo da armadura. Hecksher (1981) descreve um método analítico para obtenção do
valor de Xac. Seja o diagrama de tensões ao longo da armadura (Figura 3.15) formado
por trechos retilíneos que correspondem as áreas Ω1, Ω2, ..... Ωj-1, Ωj cujos valores
são:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ))26.3(
2
)25.3(2
)24.3(0,2
11
21211
010
11
jjjjj
i
xx
xx
xondexx
+⋅−=Ω
+⋅−=Ω
=+
⋅−=Ω
−− σσ
σσ
σσ
M
A primeira etapa do cálculo é a pesquisa do trecho j do diagrama tal que (Figura 3.15)
jjj Ω+Ω+Ω+Ω<Ω<Ω++Ω+Ω −− 121*121 LL (3.27)
69
onde Ω* = Ωaf / 2
Uma vez determinado o trecho j, de acordo com a Figura3.16, determinam-se os valores
de Xaf e de σx,i.
σx
x1
σi σ1Ω1
x
σ2σ3
σ4
σj-1
σj
x2
x3
x4
xj-1
xj
Ω2
Ωj
Figura 3.15 – Diagrama de tensões
Figura 3.16 – Determinação de σx,i
∆Ω*
xac
xj
σx
σj-1
σj
x
σx,i
xj-1 ∆xj
∆σj
70
Assim:
)32.3(
)31.3(
)30.3()(:
)29.3()(
)28.3(2
1
1
121**
,
*21
jjj
jjj
j
j
acjjjix
j
jjac
xxx
onde
xxx
xxx
σσσ
σσσ
σ
−=∆
−=∆
Ω+Ω+Ω−Ω=∆Ω
∆
−⋅∆+=
∆
∆⋅∆Ω⋅+=
−
−
−
−
L
3.3.2.1.5 – Perda pela deformação instantânea do concreto decorrente da protensão
sucessiva
Ao se protender uma estrutura de concreto, a mesma sofre uma deformação
(encurtamento) que faz com que ocorra um afrouxamento nos cabos previamente
puxados. Desta forma, a perda do alongamento nos cabos devida à não simultaneidade
da protensão provoca uma perda de tensão em cada cabo. E pela ordem de protensão, o
primeiro cabo protendido sofre a maior perda e o último não sofre nenhuma.
Considerando-se que, ao protender o último cabo, não houve a injeção da nata de
cimento na bainha dos demais, admite-se que a perda de tensão é igual para todas as
armaduras que atravessam uma mesma seção da peça, correspondendo a uma fração
(nc – 1) / 2nc da deformação instantânea εc ( p+ g1 ) que sofre na seção a fibra longitudinal
da peça no nível do centróide das armaduras, sob a ação da totalidade da força de
protensão inicial e da parcela g1 de carga permanente da peça que atua no instante da
protensão. Desta forma, a perda de tensão nos cabos pela cravação sucessiva é:
ppcsp E⋅∆=∆ εσ , (3.33)
onde
)1(21
gpcc
cp n
n+⋅
⋅−
=∆ εε (3.34)
71
com
tc
gpcpgpc E ,
)1()1(
++ =
σε (3.35)
onde nc é o número de etapas de protensão, Ec,t é o módulo de elasticidade ( secante ) do
concreto na idade de t dias em que ocorre a protensão e σcp (p+g1) é a tensão no nível do
centróide das armaduras provocada pela protensão e pela parcela g1 de carga
permanente que atua no instante da protensão (Hecksher, 1981).
3.3.2.2 – Perdas ao longo do tempo
Após a aplicação da protensão, inicia-se, junto com as perdas imediatas, um processo
de perda de protensão estendendo-se por grande parte da vida útil da estrutura, devida à
fluência e retração do concreto e à relaxação do aço. A fluência e a retração do concreto
ocasionam perdas de protensão pelo fato da armadura estar aderida ao concreto (em
cada região a armadura sofre as mesmas deformações que o concreto adjacente). A
perda de protensão pela relaxação do aço de protensão ocorre pelo efeito da variação de
tensão no cabo quando mantido sob deformação constante, não ocorrendo relaxação
pura do cabo por causa da variação de seu comprimento em função das deformações
lentas do concreto.
3.3.2.2.1 – Perda pela retração do concreto
A retração é a diminuição de volume sofrida pelo concreto, que depende basicamente da
umidade relativa e temperatura do ambiente, das dimensões da peça estrutural analisada,
da relação água/cimento do concreto. O valor da deformação específica de retração do
concreto desde o tempo t0 inicial até um determinado tempo t, segundo o CEB-FIP
MC90, é dado pela expressão 3.36. Este método de cálculo está sendo adotado por ser
de mais fácil implementação computacional que a nova NBR 6118-2001, similar ao do
CEB-FIP 78.
( ) )()(; 00 ttftt sRHcmscs −⋅⋅= ββεε (3.36)
72
onde:
βs é uma função que define o desenvolvimento da retração com o tempo
t é a idade do concreto, em dias
t0 é a idade do concreto no início da retração.
sendo:
6
0
10910160)( −⋅
−⋅+=
cm
cmsccms f
ff βε (3.37)
fcm é a resistência média à compressão do concreto aos 28 dias ( em MPa)
fcm0 = 10 MPa
βsc é um coeficiente que depende do tipo de cimento, assumindo os valores abaixo
βsc = 4 , para cimentos de endurecimento lento ( CP III e CP IV )
βsc = 5 , para cimentos de endurecimento normal e rápido ( CP I e CP II )
βsc = 8 , para cimentos de alta resistência inicial ( CP V )
βRH = -1,55βsRH para 40% < RH < 99%
= 0,25 para RH > 99%
com : 3
0
1
−=
RHRH
sRHβ (3.38)
RH0 = 100%
1
0
2
0
100
350
)()(
ttt
hh
ttttts−
+
⋅
−=−β (3.39)
t1 = 1 dia
h0 = 100mm
UAh ⋅
=2 (3.40)
RH é a umidade relativa do ar (%)
A é a área da seção transversal
U é o perímetro do elemento em contato com o meio ambiente
73
3.3.2.2.2 – Perda pela fluência do concreto
O fenômeno da fluência é definido como o aumento da deformação ao longo do tempo
no concreto quando submetido a um carregamento. A deformação do concreto
provocada pela fluência é estabelecida pelo coeficiente ϕ(t,t0) que depende da umidade
relativa do ambiente, da consistência do concreto e da espessura fictícia da peça
(Hecksher, 1981). A deformação por fluência, segundo o CEB-FIP MC90 é:
),()(),( 00 ttE
tttc
occc φ
σε = (3.41)
onde
σc (t0) é a tensão aplicada ao concreto
Ec é o módulo de elasticidade ( secante ) do concreto aos 28 dias
φ (t,t0) é o coeficiente de fluência
O coeficiente de fluência é calculado pela expressão:
),(),( 000 tttt cβφφ ⋅= (3.42)
com
)()( 00 tfcmRH ββφφ ⋅= ⋅ (3.43)
3/1
0
0
46,0
11
⋅
−+=
hh
RHRH
RHφ (3.44)
cmo
cmcm
ff
f 3,5)( =β (3.45)
2,0
1
0
0
1,0
1)(
+
=
tt
tβ (3.46)
3,0
0
00 ),(
−+
−=
tttttt
Hc β
β (3.47)
74
diashh
RHRH
oH 1500250)(2,11150
0
18 ≤+⋅
⋅+⋅=β (3.48)
3.3.2.2.3 – Perda por relaxação do aço
Este fenômeno equivale à queda de tensão, ao longo do tempo, da resposta elástica das
armaduras alongadas, mantidas sob comprimento constante (relaxação pura). Como as
peças de concreto sofrem um encurtamento pela retração e fluência, uma vez que o cabo
encontra-se aderido ao concreto ele também sofre este encurtamento e,
conseqüentemente, não ocorre a relaxação pura e sim uma relaxação relativa, que
provoca uma perda de tensão de menor intensidade.
A intensidade da relaxação do aço é determinada pelo coeficiente ψ(t,t0), igual a:
pi
pr tttt
σσ
ψ),(
),( 00
∆= (3.49)
onde:
∆σpr(t,t0) é a perda de tensão por relaxação pura do instante t0 até o instante t
σpi é a tensão na armadura no ato da protensão após as perdas imediatas
Os valores da relaxação medidos após 1000 horas sob temperatura de 20ºC, de acordo
com CEB-FIB MC90, estão na Tabela 3.3.
Tabela 3.3 – Valores de ψ1000, em (%)
Cordoalhas Barras
Tensão inicial RN RB
0,5 fptk 0,0 0,0 0,0
0,6 fptk 4,0 1,0 2,0
0,7 fptk 8,0 2,0 4,0
0,8 fptk 12,0 4,8 7,0 RN – aços de relaxação normal RB – aços de baixa relaxação fptk – tensão de ruptura característica do aço
75
Para tempos diferentes de 1000 horas e temperatura de 20ºC, tem-se qttt
⋅=1000
),( 10000 ψψ (3.50)
Onde
)(log 1001000 ψψ≈q (3.51)
com ψ (3.52) 1000100 7,0 ψ⋅=
A perda de tensão provocada pela interdependência dos efeitos de retração, fluência e
relaxação do aço, entre as idades ts e t, pode ser obtida pela expressão 3.53 proposta
pelo CEB-FIP 78 semelhante à expressão proposta pela nova NBR 6118-2001.
+⋅+
+⋅⋅+∆+⋅=∆ ++
2),(11
)(),(),(),(
0
00
ttttttEtt
spo
pi
picgprsscsrsPc φ
σσ
η
σσφησεσ (3.53)
onde
∆σPc+s+r é a perda total de tensão decorrente da interdependência das perdas lentas
c
p
EE
=η (3.54)
σcg é a tensão no concreto devida às cargas permanentes no nível do centróide da
armadura de protensão
σcpo é a tensão no concreto devida à força inicial de protensão (após as perdas
imediatas) no nível do centróide da armadura de protensão
Para o cálculo da relaxação pura ∆σpr (t,t0) é recomendada para o cálculo da tensão no
aço de protensão a expressão (Vasconcelos, 1980)
rsPcpip ++∆⋅−= σσσ 30,0 (3.55)
onde
σp é a tensão no aço de protensão após as perdas de protensão
76
Desta forma, inicialmente deve-se estimar o valor de ∆σPc+s+r e por iterações sucessivas
obter o valor final das perdas diferidas.
3.3.3 – Concreto
3.3.3.1 – Resistência à compressão
A NBR 6118 - 2000 determina que o menor valor para a resistência à compressão seja
de 25 MPa para concretos com armadura ativa. Para tensões de compressão menores
que 0,5fc admite-se uma relação linear entre tensões e deformações, sendo utilizado para
o módulo de elasticidade o valor secante. Segundo o CEB-FIP MC90, a resistência à
compressão do concreto na idade de t dias à temperatura média de 20ºC pode ser
estimada pela expressão 3.56, que é também proposta na nova NBR 6118-2001.
cmcccm fttf ⋅= )()( β (3.56)
com
−⋅
= 128
1
)( tts
cc etβ (3.57)
Onde
s = 0,20 para cimentos de alta resistência inicial ( CP V )
s = 0,25 para cimentos de endurecimento normal e rápido ( CP I e CP II )
s = 0,38 para cimentos de endurecimento lento ( CP III e CP IV )
3.3.3.2 – Resistência à tração
A resistência à tração do concreto normalmente é avaliada a partir da resistência
característica à compressão por expressões empíricas. De acordo com a NBR 6118 –
2001, a resistência à tração direta fct pode ser considerada igual a 0,9fct,sp ou 0,7fct,f ou,
na falta de ensaios para obtenção de fct,sp e fct,f , pode ser avaliada por meio das equações
77
(3.58) a (3.60), iguais às do CEB-FIP MC90, sendo fct,sp e fct,f a resistência à tração
indireta e a resistência à tração na flexão, respectivamente.
fctm = 0,3fck2/3 fctm e fck em MPa (3.58)
fctk,inf = 0,7fctm (3.59)
fctk,sup = 1,3fctm (3.60)
Estas expressões podem ser usadas para uma idade j diferente de 28 dias desde que fckj >
7 MPa.
3.3.3.3 – Módulo de elasticidade
O módulo de elasticidade inicial do concreto aos 28 dias segundo a NBR 6118-2001
pode ser estimado usando-se a equação:
MPa em f , E com 5600fE ckc1/2
ckc = (3.61)
O módulo de elasticidade inicial numa idade j > 7 dias pode ser avaliado com essa
equação, substituindo fck por fckj. O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas
análises elásticas de projeto, especialmente para determinação de esforços solicitantes e
verificação de Estados Limites de Serviço, deve ser calculado pela equação:
Ec = 0,85Ec (3.62)
Segundo o CEB-FIP MC90, os valores do módulo de elasticidade tangente na origem
pode ser obtido de 1/3
cmo
cmcoc f
fEE
⋅⋅= Eα (3.63)
onde
Eco = 2,15 x 104 MPa
αE = 1,2 para agregados de basalto e calcários densos
αE = 1,0 para agregados de quartzo
αE = 0,9 para agregados de calcário
78
αE = 0,7 para agregados de arenito
O módulo de elasticidade secante é também obtido pela equação 3.62.
O módulo de elasticidade do concreto em idades diferentes de 28 dias pode ser estimado
a partir de
)t(E(t)E cccc β⋅= (3.64)
onde
βcc (t) é o coeficiente que depende da idade do concreto t dado pela equação
3.57
Ec (t) é o módulo de elasticidade na idade de t dias
3.3.3.4 – Relações constitutivas
Para a análise no estado limite último de elementos de concretos com fck < 50 MPa a
NBR 6118-2001 e o CEB-FIP MC90 adotam o diagrama tensão-deformação parábola-
retângulo cujas expressões são:
Para εc < εco = 2 %o 2
285,0
−
⋅=
co
c
co
c
ck
c
f εε
εεσ (3.65)
Para 2 %o < εco < εcu = 3,5 %o
185,0
=ck
c
fσ (3.66)
onde as tensões e as deformações de compressão são consideradas positivas.
Para concretos com 50 MPa < fck < 80 MPa o CEB-FIP MC90 muda este diagrama
considerando para deformação última do concreto valores que diminuem como o
aumento de fck:
⋅=
ckcu f
505,3ε %o , fck em MPa (3.67)
79
A Figura 3.17 mostra os diagramas tensão de compressão-deformação para diferentes
valores de fck.
O CEB-FIP, no boletim 228 (1995) propõe outro tipo de relações tensão-deformações
para concretos com 50 MPa < f < 100 MPa: ck
Para εc < εco n
co
c
ck
c
f
−−=
εεσ 11
85,0 (3.68)
Para εco < εc < εcu
185,0
=ck
c
fσ (3.69)
com:
n = 2 – 0,008 ( fck – 50 ) fck em MPa (3.70)
εco = [ 2 + 0,005 ( fck – 50 ) ] %o fck em MPa (3.71)
−⋅+=
100125,2 ck
cuf
ε %o fck em MPa (3.72)
A Figura 3.18 mostra os diagramas tensão de compressão-deformação para alguns
valores de fck segundo a proposta do boletim 228 (1995).
0 1 2 3 40
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
9 0
1 0 0fc k = 2 0 M P a
fc k = 3 0 M P a
fc k = 5 0 M P a
fc k = 7 0 M P a
fc k = 8 0 M P a
σ c (M P a )
ε c (% 0 )
M C 9 0
Figura 3.17 – Diagramas tensão de compressão-deformação segundo o
CEB-FIP MC90
80
0 1 2 3 40
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
9 0
1 0 0fc k = 2 0 M P a
fc k = 3 0 M P a
fc k = 5 0 M P a
fc k = 7 0 M P a
fc k = 9 0 M P a
fc k = 1 0 0 M P a
σ c ( M P a )
ε c ( % 0 )
C E B
Figura 3.18 – Diagramas tensão de compressão-deformação segundo
o boletim 228 do CEB-FIP (1995)
A curva tensão-deformação da norma Norueguesa NS-3473 E (1992) pode ser usada
para concretos com fck < 94 MPa e suas expressões são:
Para 0 < σc < 0,6 fcn
cn
c
cn
c
f εεσ
= (3.73)
Para 0,6 fcn < σc < fcn
α
εεεε
εε
εεσ
−
−⋅
−−=
6,0
6,01
cn
co
cn
c
cn
co
cn
c
cn
c
f (3.74)
com:
1
6,0
−
−=
cn
co
cn
c
εε
εε
α (3.75)
cn
cncn E
f=ε (3.76)
Os valores nominais do módulo de elasticidade, da resistência à compressão do
concreto, da deformação do concreto referente ao início do patamar do diagrama e da
deformação última são dados pelas expressões abaixo:
81
3,01000 cncn fE = (3.77)
8,270,0 += ckcn ff , para fck < 44 MPa (3.78-a)
96,856,0 += ckcn ff , para 44 MPa < fck < 94 MPa (3.78-b)
)004,09,1( cnco f+=ε %o (3.79)
( cncncocu Ef5,15,2 −= εε ) (3.80)
com fcn , Ecn e fck em MPa.
A Figura 3.19 ilustra os diagramas tensão de compressão-deformação, para alguns
valores de fck, dados pelas equações da norma norueguesa NS-3473 E (1992).
0 1 2 3 40
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
9 0
1 0 0fc k = 2 0 M P a
fc k = 3 0 M P a
fc k = 5 0 M P a
fc k = 7 0 M P a
fc k = 9 0 M P a
σ c ( M P a )
ε c ( % 0 )
N S
Figura 3.19 – Diagramas tensão de compressão-deformação segundo
a NS 3473 E
3.3.4 – Aço de armadura passiva
Em cálculos para os estados limites de serviço e último pode-se utilizar o diagrama
simplificado da Figura 3.20 para os aços com ou sem patamar de escoamento, que é
válido para intervalos de temperatura entre –20º e 150º C e pode ser aplicado tanto para
tração quanto para compressão (NBR 6118-2001).
10%o Figura 3.20 – Diagrama tensão-deformação do aço
εs
fyd
fuk
σs
82
Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, o módulo de elasticidade do
aço pode ser admitido igual a 210 GPa.
3.3.5 – Aço de armadura ativa
Para o cálculo nos estados limites de serviço e último a NBR 6118-2000 permite utilizar
o diagrama simplificado da Figura 3.21, válido para intervalos de temperatura entre -20º
e 150º C. σs
εuk
fpd
fpk
fpyk
fpyd
εps
Figura 3.21 – Diagrama tensão-deformação para o aço protendido
O módulo de elasticidade deve ser obtido de ensaios ou fornecido pelo fabricante. Na
falta de dados específicos, pode-se considerar o valor de 200 GPa para fios e
cordoalhas, sendo este o valor adotado pelo programa. Os valores das tensões de
escoamento (fpyk e fpyd ), das tensões de ruptura (fpk e fpd ) e da máxima deformação do
aço (εuk ) são dados de entrada do programa.
3.4 – Carregamento de carga móvel
O efeito da carga móvel em estruturas de pontes é analisado carregando o tabuleiro da
ponte com trem-tipo e pesquisando os valores extremos dos esforços na estrutura. As
linhas de influência podem ser obtidas fazendo-se passear pela estrutura uma carga
unitária, computando os esforços correspondentes em cada seção da estrutura
relacionados com a seção de aplicação da carga.
As características do trem-tipo são estabelecidas em normas, sendo diferentes para
passarelas, estruturas rodoviárias e estruturas ferroviárias. A NBR 7188 define três
83
categorias de trem-tipo rodoviário. A Figura 3.22 apresenta a geometria do trem-tipo
TB-450kN que será detalhado por ser o trem-tipo indicado para o uso em rodovias.
O caminhão tipo possui três eixos, com P = 150ϕi kN em cada um e uma carga de
multidão qm igual a 5ϕi kN/m2 localizada à frente e atrás do caminhão. A norma permite
a simplificação do trem-tipo considerando-se a carga de multidão em todo comprimento
e descontando-se o excesso de carga das cargas concentradas que representam os três
eixos do trem-tipo.
Figura 3.22 – Trem-tipo TB-450 kN segundo a NBR 7188
75ϕi kN / roda
(m)
5ϕi kN/m2
0,50 2,00 0,50 1,50
1,50
1,50
1,50
O coeficiente de impacto ϕi, indicado na Figura 3.22, tem seu valor para pontes
rodoviárias dado pela expressão 3.81 (NBR 7188). Este coeficiente é um fator que
considera a natureza dinâmica da carga móvel considerando as vibrações livres e
forçadas da superestrutura produzidas pela mobilidade das cargas, os efeitos de massa
dos veículos e seu amortecimento elástico e os efeitos de choques ocasionais, devidos a
irregularidades do tabuleiro (Mason, 1977).
84
00,1007.04,1 ≥⋅−= ϕϕ li (3.81)
onde
lϕ é o comprimento do vão
3.5– Análise não-linear física
Para verificação da resistência da seção de concreto protendido faz-se a análise não-
linear física executando o cálculo das tensões e deformações em camadas da seção
transversal e exprimindo a deformação axial em função da curvatura do eixo do
elemento. São normalmente assumidas as seguintes hipóteses: as seções são planas
antes e depois da deformação das mesmas; a resistência do concreto à tração é nula; há
aderência perfeita entre a armadura e o concreto. Na Figura 3.23 vê-se a seção
transversal discretizada em camadas.
A protensão é considerada como um campo de deformações iniciais. Para a seção de
concreto armado e protendido, em que o concreto resiste apenas às tensões de
compressão e o aço às tensões de tração e de compressão, as equações de equilíbrio,
quando a seção está sujeita a flexão composta, são:
Figura 3.23 – Discretização da seção transversal
C.G.
yc, i
εc, i
ys, j
εC.G.
εs, j
85
∫∫∫ ⋅+⋅+⋅=spsc A
spspA
ssA
cc dAdAdAN σσσ (3.82)
∫∫∫ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=spsc A
spspspA
ssasA
ccc dAydAydAyM σσσ (3.83)
onde:
σ é a tensão no nível do centróide da área (dA),
y é a distância da área (dA) ao centróide da seção,
Ac é a área de concreto da seção resistindo a tensões de compressão,
As é a área de armadura passiva na seção,
Asp é a área de armadura ativa na seção.
As equações 3.82 e 3.83 podem ser substituídas pelas equações 3.84 e 3.85, onde as
integrais são substituídas por somatórios.
∑∑∑ ∆⋅+∆⋅+∆⋅=k
kspkspj
jsjsi
icic AAAN ,,,,,, σσσ (3.84)
∑∑∑ ∆⋅⋅+∆⋅⋅+∆⋅⋅=k
kspkspkspj
jsjsjsi
icicic AyAyAyM ,,,,,,,,, σσσ (3.85)
onde:
i = 1,2, .... , n camadas de concreto submetido a compressão,
j = 1,2, .... , m camadas de armadura passiva,
k = 1,2, ... , l camadas de armadura ativa.
A deformação de qualquer camada da seção é dada pela equação abaixo.
yCG ⋅−= ϕεε (3.86)
onde:
ϕ é a rotação por unidade de comprimento do eixo da viga,
y é a distância do centróide da camada ao centróide da seção,
εCG é a deformação ao nível do centróide da seção.
As relações constitutivas dos materiais fornecem as tensões em cada material, sendo
iguais a:
86
icicic E ,., εσ ⋅= (3.87)
jsjsjs E ,,, εσ = ⋅
⋅
⋅
(3.88)
kspkspksp E ,,, εσ ⋅= (3.89)
onde:
Ec,i é o módulo de elasticidade secante do concreto da camada i
Es,j é o módulo de elasticidade secante do aço passivo j
Esp,k é o módulo de elasticidade secante do aço ativo k
Com 3.86 nas equações 3.87 a 3.89 e com estas nas equações 3.84 e 3.85, as equações
de equilíbrio tomam a forma:
ϕε +⋅=− 2,11,1 KKNN CGP (3.90)
ϕε +⋅=+− 2,21,2 KKMM CGP (3.91)
onde:
∑ ∆⋅⋅=k
kspkspkspP AEN ,,, ε (3.92)
kspk
kspkspkspP yAEM ,,,, ⋅∆⋅⋅= ∑ ε (3.93)
∑ ∑ ∑ ∆⋅+∆⋅+∆⋅=i j k
kspkspjsjsicic AEAEAEK ,,,,,,1,1 (3.94)
2,,,
2,,,
2,,,2,2 ksp
i j kkspkspisjsjsicicic yAEyAEyAEK ⋅∆⋅+⋅∆⋅+⋅∆⋅= ∑ ∑ ∑ (3.95)
⋅∆⋅+⋅∆⋅+⋅∆⋅−= ∑ ∑ ∑ kspi j k
kspkspjsjsjsicicic yAEyAEyAEK ,,,,,,,,,2,1 (3.96)
K2,1=K1,2 (3.97)
ou, na forma matricial,
=
+−
−ϕε CG
P
P
KKKK
MMNN
2,21,2
2,11,1
87
A solução deste sistema de equações é realizada por iterações sucessivas a partir de
valores iniciais do esforço normal e da deformação da fibra extrema do concreto ou do
par de esforços normal e momento. A iteração é feita buscando o equilíbrio da seção,
variando a altura da linha neutra e comparando o resultado obtido com os valores
iniciais.
88
4 – DESCRIÇÃO DO PROGRAMA DESENVOLVIDO
4.1 – Programa existente
O programa existente, criado pelo Prof. Ibrahim Shehata na linguagem Visual Basic,
efetua a análise de um pórtico plano baseado no método da rigidez, fornecendo os
esforços e deslocamentos na estrutura para cada grupo de carregamentos atuantes. A
seguir são apresentados os fundamentos do método da rigidez e a descrição do
programa.
4.1.1 – Método da rigidez
O método da rigidez faz a análise estrutural através da solução de um sistema linear de n
equações e n incógnitas sendo muito eficiente com a associação de processos
computacionais. As estruturas de barras são constituídas por elementos em que uma de
suas dimensões (comprimento) é muito maior que as outras, podendo ser elas treliça
plana ou espacial, pórtico plano ou espacial, grelha ou viga.
A estrutura é composta por barras e nós, onde cada nó é a interseção de dois ou mais
elementos, podendo ser ou não um dos apoios da estrutura. Cada barra é representa pelo
seu eixo, a estrutura é composta de elementos lineares ligados nos nós, e relaciona-se o
vetor de carregamentos nodais com os seus deslocamentos através da seguinte equação
matricial:
F = [ K ] U (4.1)
onde:
F é o vetor de carregamentos nodais,
U é o vetor de deslocamentos nodais,
[K] é a matriz de rigidez global da estrutura cujo elemento individual kij
representa a força nodal Fi necessária para deslocar a estrutura no seu jéssimo grau
de liberdade com valor unitário (δj = 1).
89
As incógnitas são os deslocamentos nodais da estrutura, excetuando aqueles definidos
pelas condições de contorno da estrutura, e a solução do problema consiste na obtenção
destes deslocamentos satisfazendo as condições de equilíbrio de cada elemento da
estrutura assim como de toda a estrutura. Um elemento de pórtico plano (Figura 4.1)
possui três incógnitas nodais: duas translações, u e v; e uma rotação θ.
A matriz de rigidez global da estrutura é geralmente montada a partir da matriz
individual de cada elemento [KL], que inicialmente é obtida no sistema de
coordenadas locais (plano XY). Para o caso de elementos de pórticos planos ela
reduz-se a:
y
xu1 u2
θ1 θ2
v1 v2
1 2L
Figura 4.1 – Elemento de pórtico plano
−
−−−
−
−
−
−
=
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LAE
LAE
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LAE
LAE
KL
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
][
22
2323
22
2323
onde:
A é a área da seção transversal do elemento,
E é o módulo de elasticidade do material do elemento,
I é o momento de inércia do elemento com relação ao seu eixo Z (Figura 4.1),
90
L é o comprimento do elemento.
A partir da matriz de rigidez de cada elemento, as forças que atuam nas extremidades do
elemento podem ser obtidas por:
Fi = [ Kij ]L Uj (4.2)
Para a montagem da matriz de rigidez global da estrutura, os deslocamentos e a matriz
de rigidez de cada elemento são transformados para o sistema global de coordenadas
usando-se a relação geométrica entre os sistemas de coordenadas (Figura 4.2).
n θx
Y
z
y x
X Z
Figura 4.2 – Sistemas de coordenadas
Pela relação geométrica entre os eixos pode-se definir a matrix de transformação de
coordenadas [T], também definida como matriz de rotação, que transforma as
deformações locais dos elementos em deformações globais pela relação:
[ Uj ]G = [ T ] Uj L (4.3)
A matriz de rigidez global do elemento é:
[ Kij ]G = [ T ]-1 [ Kij ]L [ T ] (4.4)
onde, para pórticos planos, a matriz de transformação [ T ] é igual a:
[ ]
−
−
=
1000000cossen0000sencos0000001000000cossen0000sencos
θθθθ
θθθθ
T
91
A matriz de rigidez da estrutura é formada pela superposição das matrizes de rigidez dos
elementos em função dos elementos que estão conectados entre si. A matriz de rigidez
da estrutura é uma matriz da seguinte forma:
K =
Superposição dos componentes dos elementos conectados entre si
Componentes do elemento 1
Componentes do elemento 2
Componentes do elemento 3
Componentes do elemento 4
Com a matriz de rigidez da estrutura definida e a associação das condições de contorno,
pode-se calcular os esforços e deslocamentos na estrutura para cada carregamento
atuante.
92
4.1.2 – Coordenadas locais e globais
A convenção de sinais para o elemento de pórtico plano adotada pelo programa é a
indicada na Figura 4.3.
yxR
R
yx
Y
X
4.1.3 – Entrada de dados
A entrada dos dados é feita somente pela forma de arquivo seguindo a ordem abaixo:
1 – Título
2 – N, M, L, E
N = número de nós
M = número de elementos
L = número de restrições nodais
E = módulo de elasticidade do material
3 – AR (1) , i (1) , RH (1) , CON (1)
..............................................
AR (M) , i (M) , RH (M) , CON (M)
AR ( 1 a M ) - área de cada elemento,
Figura 4.3 – Convenção de sinais do elemento
i
j
93
i ( 1 a M ) – momento de inércia de cada elemento com relação ao eixo que
passa pelo seu centróide,
RH ( 1 a M ) – condições de extremidades dos elementos sendo RR = rígido-rígido, HR = rotulado-rígido e RH = rígido-rotulado,
CON ( 1 a M ) – nó inicial e nó final de cada elemento.
4 – X (1), Y (1), A (1)
.............................
X (N), Y (N), A (N)
X ( 1 a N ) – coordenada nodal com relação ao eixo X global
Y ( 1 a N ) –coordenada nodal com relação ao eixo Y global
A ( 1 a N ) – restrição nodal
5 – Caso existam carregamentos nodais “Y” caso contrário “N”
6 – Caso a etapa 5 seja igual a “N” vai-se para a etapa 9, caso contrário: JN
JN = número do nó carregado
7 – Fx, Fy, M
Fx, Fy, M = vetor de carregamento nodal
8 – Caso haja outro nó carregado “Y” vai-se para a etapa 6, caso contrário “N”
9 – Caso haja carga nos elementos “Y” caso contrário “N”
10 – Caso a etapa 9 seja igual a “N” vai-se para a etapa 15, caso contrário: MembN, NL
MembN = número do elemento carregado
NL = número de tipos de carregamentos no elemento
11 – Fx, Fy, M, Tipo
Fx, Fy, M = vetor de carregamento
Tipo = tipo de carga no elemento:
C – concentrada, U – distribuída uniforme, PU – distribuída parcialmente
uniforme, LT – distribuída triangular para a esquerda, RT – distribuída
triangular para a direita.
12 – A, B
A = distância da carga ao nó inicial
B = comprimento da carga no elemento
13 – Repetem-se as etapas 11 e 12 NL vezes
14 – Caso haja outro elemento carregado “Y” vai-se para a etapa 10, caso contrário “N”
94
15 – Caso haja outro conjunto de carregamento “Y” vai-se para a etapa 6, caso contrário “N” e encerra-se o bloco de dados.
4.1.4 – Fluxograma do programa
O fluxograma do programa está representado na Figura 4.4.
95
Figura 4.4 – Fluxograma do programa inicial.
ARQUIVO DE ENTRADA DE
DADOS
ROTINA FRMGERA A MATRIZ DE RIGIDEZ
GLOBAL DA ESTRUTURA
VERIFICA ALTURA DA
BANDAh < 45 ?
NÃO ENCERRA O PROGRAMA
SIM
REARRANJA A MATRIZ DE RIGIDEZ
ROTINA INTR
TRIANGULIZA A MATRIZ DE RIGIDEZ
ROTINA TRIANG
EXISTEM CARGAS NODAIS?
LEITURA DOS NÓS CARREGADOS E VETORES DE
CARGA
ROTINA JLOADNÃO
EXISTEM CARGAS NO
ELEMENTOS?SIM
LEITURA DOS ELEMENTOS, VETORES E TIPOS DE CARREGAMENTOS E GERAÇÃO DAS CARGAS NODAIS
ROTINA FEFF
ORDENA O VETOR DE CARREGAMENTOS
ROTINA ORDER
RESOLVE O SISTEMAS DE EQUAÇÕES
ROTINA BKSUB
CALCULA OS ESFORÇOS NOS EXTREMOS DOS ELEMENTOS
ROTINA FMEF
EXISTE OUTRO CARREGAMENTO?
SIM
NÃO
NÃOSIM CONCLUI O ARQUIVO DE RESULTADOS E TERMINA O
PROGRAMA
4.1.5 – Tela do programa
O programa possui uma tela principal (Figura 4.5) onde são mostradas as principais
características da estrutura analisada como: o nome e localização dos arquivos de
entrada e saída de dados; o título do trabalho; número de nó, elementos e restrições da
estrutura; tempo de execução; um campo de texto com o resultado da análise da
estrutura.
Figura 4.5 – Tela do programa inicial.
4.2 – Programa desenvolvido
O programa “FRAME” foi ampliado, implementando-se a análise para carga móvel,
assim como o cálculo das tensões normais para cada carregamento atuante na estrutura,
orientando o programa para o cálculo de estruturas de pontes protendidas, verificando o
efeito da protensão e também a possibilidade de duas etapas de carregamento e/ou
protensão com a implementação da mudança automática das características das seções.
96
Inicialmente foi feita a construção de telas que permitem a entrada dos dados e em
seguida a implementação da mudança automática das características das seções, da
análise dos carregamentos que atuam após essa mudança e das tensões normais nas
fibras extremas das seções para cada carregamento. A seguir foi feita a implementação
para a análise da carga móvel, e da protensão.
O passo seguinte foi anexar algumas rotinas do programa “CONSEC”, de autoria do
Prof. Ibrahim Shehata e co-autoria dos alunos Tales Simões Mattos e Breno Ferreira
Grossi. O programa faz a análise não-linear e otimização de seções de concreto armado
e protendido. As rotinas anexadas foram apenas as relacionadas à análise não-linear.
4.2.1 – Mudança das características das seções
As seções podem ser discretizadas de duas formas: diretamente por seus valores (área,
inércia, distância do centróide à fibra extrema superior e distância do centróide à fibra
extrema inferior) ou através de trapézios, triângulos e retângulos. Neste último caso, o
programa faz o cálculo automático das características de acordo com as formulações
descritas no item 3.2.
As seções da estrutura podem ser associadas aos elementos ou nós da estrutura. Na
segunda alternativa, o programa considera para área e a inércia de cada elemento a
média aritmética das características das seções nos extremos do elemento. Deve-se
associar as seções que atuam na primeira etapa de carregamento e/ou protensão e as
seções que atuam na segunda etapa (quando houver).
4.2.2 - Segunda etapa de carregamentos
Inicialmente é feito o cálculo das tensões normais para cada carregamento que atua na
estrutura. As tensões normais para os carregamentos que atuam na primeira etapa de
protensão são calculadas nas fibras indicadas na Figura 4.6a e as tensões normais para
os carregamentos que atuam na segunda etapa são calculadas nas fibras indicadas na
97
Figura 4.6b. As seções da segunda etapa de carregamento serão sempre maiores que as
seções da primeira etapa de carregamento.
Inicialmente é feita a análise referente a cada carregamento da primeira etapa estando a
estrutura com as características das seções desta fase, e, em seguida faz-se a mudança
das características das seções da estrutura e a análise para os carregamentos que atuam
nesta fase.
4.2.3 –Carga móvel
Devem ser definidos os elementos que serão analisados e os elementos que serão
solicitados pelo trem-tipo. Em seguida é feito o cálculo da linha de influência nos
elementos a analisar, fazendo-se passar uma carga unitária em cada nó dos elementos
solicitados associando sua posição aos resultados da análise em cada nó dos elementos
analisados. A partir da linha de influência de cada esforço e do trem-tipo adotado (trem-
tipo simplificado definido no ítem 3.4 do Capítulo 3), são obtidos os máximos esforços
devidos à carga móvel assim como as tensões normais.
Figura 4.6 – Posições de cálculo das tensões normais
σ3
σ2σ1
(a) (b)
98
4.2.4 –Protensão
A consideração da protensão é feita como mostrado no item 3.3, sendo calculados os
esforços isostáticos de protensão após as perdas imediatas e calculados os esforços
hiperestáticos de protensão aplicando os momentos isostáticos nos extremos dos
elementos e os esforços que os equilibram, de acordo com a Figura 3.12. Em seguida
são calculadas as perdas diferidas, obtendo-se os esforços isostáticos de protensão no
tempo t e os esforços hiperestáticos de protensão, assim como as tensões normais.
4.2.5 – Entrada de dados
A entrada de dados é feita de forma iterativa, na tela do computador. A Figura 4.7
mostra a tela inicial do programa.
Figura 4.7 – Tela inicial
Nesta tela são informados ao programa os números de nós, elementos, seções, restrições
e de materiais da estrutura. Deve-se informar se as seções discretizadas referem-se aos
elementos da estrutura ou aos nós e se elas serão discretizadas em trapézios para o
99
cálculo das características ou serão fornecidos os valores destas. São dados também os
números de fases de protensão e de carregamentos: um ou dois. A partir desta tela pode-
se acessar as outras para conclusão da entrada de dados da estrutura, clicando-se os
botões.
4.2.5.1 – Coordenadas dos nós
Clicando o botão “Coordenadas dos Nós” na tela inicial pode-se acessar a tela para a
entrada das coordenadas dos nós da estrutura (Figura 4.8). Nesta tela informam-se as
coordenadas globais X e Y de cada nó. Caso as seções sejam fornecidas nos nós, deve-
se informar o tipo da seção de cada nó para a primeira fase de carregamento ou
protensão, e para a segunda fase de carregamento ou protensão caso haja mudança de
seção. Se o número de nós for superior a 30, após informar as coordenadas e tipos se
seções até o trigésimo nó, clica-se o botão “Próximo” para continuar a discretização dos
nós, repetindo-se esse procedimento até o final da discretização. Para retornar à tela
inicial deve-se clicar o botão “Voltar”.
Figura 4.8 – Tela de entrada das coordenadas dos nós
100
4.2.5.2 – Características das seções
As características das seções podem ser informadas de duas formas: pela discretização
da seção em trapézios, triângulos e retângulos ou fornecendo diretamente os valores das
características. Caso seja definido na tela inicial (Figura 4.7) que os valores das
características das seções serão fornecidas diretamente, ao clicar o botão “Seções”
aparece a tela para entrada dos valores de cada seção (Figura 4.9): área, momento de
inércia e as distâncias do centróide às fibras superior e inferior (Ys e Yi ) para cada
seção.
A tela permite que sejam preenchidos os valores de até seis seções; quando existirem
mais de seis seções deve-se clicar o botão “Próximo” e fornecer os valores das demais
seções, repetindo este procedimento até o término das seções. Para retornar à tela inicial
clica-se o botão “Voltar”.
Figura 4.9 – Tela de entrada de dados das características das seções
101
Quando cada seção for discretizada em trapézios, triângulos e retângulos, ao clicar o
botão “Seções” na tela inicial a tela da Figura 4.10 automaticamente surge, permitindo o
preenchimento dos valores da base superior (bs), base inferior (bi) e altura (h) de cada
trapézio que compõe a seção, podendo cada seção conter até doze trapézios. Após o
fornecimento das características de cada seção deve-se clicar o botão “Próxima” para
fornecer os valores dos trapézios da próxima seção, repetindo-se este procedimento até
o término das seções. Os valores das características de cada seção são calculados
automaticamente pelo programa. Para retornar à tela principal deve-se clicar o botão
“Voltar”.
4.10 – Tela de discretização das seções em trapézios
102
4.2.5.3 – Características dos materiais
Para definir cada material que compõe a estrutura deve-se clicar o botão “Materiais” na
tela inicial para o fornecimento dos valores do módulo de elasticidade de cada material
(Figura 4.11). Permite-se até seis tipos diferentes de materiais. A associação do material
dos elementos é feita na tela “Elementos” mostrada na Figura 4.12. Para retornar à tela
inicial deve-se clicar o botão “Voltar”.
Figura 4.11 – Tela de definição do módulo de elasticidade do material
4.2.5.4 – Elementos
Para a definição de cada elemento que compõe a estrutura clica-se o botão “Elementos”
na tela inicial e surge a tela da Figura 4.12, onde são informadas as características de
cada elemento. Para cada elemento deve-se fornecer os números dos nó inicial e nó
103
final, sendo que necessariamente o número do nó inicial deve ser menor que o do nó
final, o número correspondente ao tipo de material do elemento e, caso as seções sejam
definidas nos elementos (Figura 4.7), o número correspondente ao tipo de seção do
elemento.
Figura 4.12 – Tela de definição dos elementos
4.2.5.5 – Condições de contorno
As condições de contorno da estrutura são fornecidas clicando o botão “Condições de
Contorno” na tela inicial, fazendo surgir a tela da Figura 4.13. Deve-se fornecer o
número de nós com restrições a movimento e para cada nó as respectivas restrições. O
tipo de restrição do nó é informado na ordem XYR, onde X representa a restrição de
104
translação na direção X, Y representa a restrição de translação na direção Y e R a
restrição de rotações no plano XY, preenchendo-se com “0” (sem restrição a
movimento) ou “1” (com restrição a movimento). Para retornar a tela inicial deve-se
clicar o botão “Voltar”.
Figura 4.13 – Tela de definição das condições de contorna da estrutura
4.2.5.6 – Carga Móvel
Para entrada dos dados relativos à carga móvel clica-se o botão “Carga Móvel” na tela
inicial para que surja a tela da Figura 4.14. Inicialmente define-se se é para serem feitos
o cálculo dos esforços relativos a carga móvel e a impressão das linhas de influência no
arquivo de resultados, e em seguida são dados os valores da cargas concentradas (P) e
distribuída (qm) do trem-tipo longitudinal. Define-se o número de elementos onde o
trem-tipo é para ser considerado. Clicando o botão “Seqüência de Tráfego” aparece a
tela da Figura 4.15 que permite informar os elementos na seqüência em que o trem-tipo
105
deve ser deslocado. Esta seqüência pode ser gerada automaticamente caso isto seja
indicado na tela 4.14, necessitando apenas que se definam os números do primeiro e do
último elemento da seqüência ou, caso não seja indicada a geração automática, define-se
ordenadamente cada elemento da seqüência.
Figura 4.14 – Tela para entrada de dados de carga móvel
A quantidade de elementos que serão analisados é definida na tela 4.14 e, clicando o
botão “Elementos Analisados”, definem-se os elementos que serão analisados na tela
4.16. Esta seqüência pode ser gerada automaticamente, sendo definido na tela da Figura
4.14 a geração automática e na tela da Figura 4.16 o primeiro e o último elemento a
serem analisados. Caso a seqüência dos elementos analisados não seja gerada
automaticamente, os campos de texto na tela da Figura 4.16 estarão disponíveis para
que sejam indicados os elementos analisados.
106
Figura 4.15 – Tela de definição da seqüência de tráfego
107
Figura 4.16 – Tela de definição dos elementos analisados na carga móvel
108
4.2.5.7 – Balanços
Caso a estrutura possua balanços nas extremidades, deve-se clicar o botão “Elementos
em Balanços” na tela inicial (Figura 4.7) para que apareça a tela de definição dos
elementos em balanço (Figura 4.17). Deve-se informar a existência ou não de balanço
nas extremidades esquerda e direita da estrutura e o número dos elementos em balanço.
Figura 4.17 – Tela de definição dos balanços
4.2.5.8 – Articulações
A tela da Figura 4.18 permite a definição dos elementos que têm uma de suas
extremidades ou ambas articuladas. Esta tela é acessada ao clicar o botão “Articulações”
na tela inicial. Define-se a quantidade de elementos articulados e se cada elemento está
articulado em sua extremidade esquerda, direita ou em ambas as extremidades.
109
Figura 4.18 – Tela para definição de articulações na estrutura
4.2.5.9 – Carregamentos
Para definição dos carregamentos atuantes na estrutura clica-se o botão “Carregamento”
na tela inicial (Figura 4.7) para que surja a tela da Figura 4.19, onde se indicam os
números de carregamentos na primeira fase de carregamento e da segunda fase de
carregamento, que são os carregamentos que atuam após a mudança da seção
transversal, caso esta exista. Clicando-se o botão “Cargas” aparece a tela da Figura 4.20.
110
Figura 4.19 – Tela para definição do número de carregamentos
Nela informa-se o título do carregamento, se há cargas nodais e, em caso afirmativo,
clicando-se o botão valores aparece a tela para definição das cargas nodais (Figura
4.21).
Figura 4.20 – Tela para definição dos carregamentos
111
Figura 4.21 – Tela de definição dos valores das cargas nodais
Na tela de entrada de dados das cargas informam-se o número do nó carregado e os
valores das forças atuantes nas direções X e Y e do momento com relação ao eixo Z.
Clicando-se no botão “Voltar” retorna-se à tela da Figura 4.20 e informa-se se há cargas
nos elementos e, caso estas existam, o número de elementos carregados. Clicando-se no
botão “Valores” surge a tela da Figura 4.22, que permite informar para cada elemento
carregado o tipo e os valores das cargas. Para retorna à tela de carregamentos clica-se o
botão “Voltar”.
112
Figura 4.22 – Tela de definição das cargas nos elementos
113
4.2.5.10 – Protensão
Clicando-se o botão “Protensão” na tela inicial surge a de definição dos números de
cabos das primeira e segunda fase de protensão.
Figura 4.23 – Tela para definição do número de cabos
Nesta tela, são fornecidas a resistência à compressão do concreto, a idade em dias da
aplicação da protensão, a idade em dias da análise da protensão, a umidade relativa do
ar, a área da seção transversal e o perímetro da seção em contato com o meio ambiente.
Para a discretização da cablagem deve-se clicar o botão “Cabos Fase 1” que faz surgir a
tela da Figura 4.24. Nesta tela, informam-se a sigla do cabo, o módulo de elasticidade
do aço, a tensão de aplicação da protensão, a área do cabo, a tensão de ruptura e de
escoamento do aço, a perda por recuo da ancoragem, o coeficiente de atrito do cabo
com a bainha, a perda por unidade de comprimento do cabo devido à curvatura não
intencional, o número de elementos atravessados pelo cabo, a distância entre a
ancoragem inicial e o primeiro nó atravessado pelo cabo, a distância entre a ancoragem
final e o último nó atravessado pelo cabo, o tipo de ancoragem (viva-viva, viva-morta e
morta-viva), o número de cada elemento atravessado pelo cabo, o ângulo α, em graus,
114
de inclinação do cabo com a direção horizontal em cada seção e a cota (distância do
centróide do cabo à extremidade inferior da seção) do cabo em cada seção.
Figura 4.24 – Tela para descrição da cablagem
Com relação ao primeiro nó atravessado pelo cabo, deve-se considerar que este é o
primeiro nó, a partir da ancoragem inicial, em que a força de protensão está atuando
completamente na seção do nó, após um espraiamento de 45º, devendo ser adotado o
mesmo critério para o último nó atravessado pelo cabo. O sinal do ângulo α de
115
inclinação do cabo com a direção horizontal deve seguir a convenção mostrada na
Figura 4.25.
4.2.5.11 – Análise da estrutura
Figura 4.25 – Definição do ângulo α
α > 0
α < 0
Após o fornecimento de todos os dados relativos à estrutura, faz-se análise clicando o
botão “Calcular” na tela inicial que abre a tela da Figura 4.26. Clica-se então o botão
“Calcular”. Após o processamento, o programa gera o arquivo de resultados e imprime
no campo de texto da tela o resultado da análise.
Figura 4.26 – Tela de execução do programa
116
4.2.6 – Verificação no estado limite último
A verificação à ruptura é feita com rotinas do programa “CONSEC” , como mencionado
no Capítulo 3, que fazem a análise não-linear da seção de concreto considerando a
existência ou não de armadura ativa e/ou passiva. O módulo da análise não-linear é
acessado a partir da tela da Figura 4.26. Clica-se o botão “Análise” e a tela da Figura
4.27 surge.
A discretização da seção é feita em trapézios, triângulos e retângulos. Clicando-se o
botão “Discretização” surge a tela da Figura 4.28. Na tela da Figura 4.27 informam-se a
resistência do concreto (que para a análise à ruptura deve ser de projeto), o tipo de curva
tensão de conpressão-deformação a ser adotada na análise, existindo três opções: a
curva da NBR 6118-2001, a do CEB-FIP boletim 228 e a da NS 3473 E, (item 3.3.3.4).
Figura 4.27 – Tela da análise não-linear
117
Figura 4.28 – Tela para discretização da seção em trapézios
Informam-se também as resistências características do aço passivo, do aço ativo e a
deformação última do aço. Clicando-se do botão “Aço” surge a tela da Figura 4.29 e
faz-se a discretização das camadas de aço existentes, informando para cada camada a
área de aço, a altura efetiva (Di), de acordo com a Figura 4.30 e o índice de protensão
γp que é a relação entre a tensão de protensão aplicada ao aço e a tensão de escoamento
do aço.
Figura 4.29 – Tela para discretização das camadas de aço
118
Para retornar à tela da Figura 4.27 clica-se no botão “Voltar”.
A análise pode ser feita de duas maneiras. Fornecendo o par de valores de esforço
normal e momento que atuam na seção, clicando-se o botão “ANÁLISE dado M,N” na
tela da Figura 4.27, que abrirá duas caixas de resposta para fornecimento dos valores. A
outra forma para análise da seção é feita fornecendo o valor do esforço normal que atua
na seção e da máxima deformação do concreto, clicando-se o botão “ANÁLISE dado
eps_c,N”. Para as duas formas de análise, o programa fornecerá como resultado o par de
esforços normal e momento, a altura da linha neutra, a deformação no nível do centróide
da seção, a máxima deformação do concreto e a deformação da primeira e da última
camada de aço. O programa faz a análise da seção segundo o procedimento descrito no
item 3.5, adotando a curva tensão de compressão-deformação do concreto proposta pela
NBR 6118-2001 ou a curva proposta pelo CEB-FIP MC90 para concretos com fck < 50
MPa e ao CEB-FIP boletim 228 para concretos com 50 < fck < 100 MPa ou a curva
proposta pela NS 3473 E, conforme a escolha realizada na Tela 4.27. Para o aço o
programa adota a relação tensão-deformação bi-linear.
Figura 4.30 – Discretização das camadas de aço
• •
119
5 – APLICAÇÃO DO PROGRAMA PÓRTICO
Com o programa desenvolvido, foram feitas as análises das superestruturas de duas
pontes com características diferentes. As duas estruturas foram projetadas pela empresa
Pontis Consultoria e Projetos LTDA. Uma é a Ponte sobre o Igarapé Breu e a outra é a
Ponte sobre o Rio Arraia.
5.1 – Análise da superestrutura da Ponte sobre o Igarapé Breu
A obra está localizada no trecho Cachoeira Stº Antô-Entr. AP-220/230/310 (P/
Oiapoque) da Rodovia BR-156/AP. A estrutura possui a seção transversal em caixão, e
está dividida em três vãos com 25m, 30m e 25m de comprimento cada um, com a
extensão total de 80m. As extremidades estão apoiadas sobre encontros e os apoios
intermediários são pilares engastados em tubulões. A obra está detalhada nos desenhos
01, 02, 05 e 06 no Apêndice 1, que foram cedidos pela empresa que a projetou.
5.1.2 – Análise da estrutura
5.1.2.1 – Características das seções transversais
Faz-se a divisão da seção transversal em trapézios, triângulos e retângulos como
indicado nas Figuras 5.1 e 5.2, onde bo é a largura da viga e ei é a espessura da laje
inferior.
120
Figura 5.1 – Seção transversal da Ponte sobre o Igarapé Breu
A Tabela 5.1 mostra as dimensões de cada divisão de cada seção e a Tabela 5.2 mostra
os valores de A, I, ys e yi das seções.
Figura 5.2 – Divisão da seção transversal em trapézios, retângulos e retângulos
93.90-e i
11.8013.204.00
17.10
30.00e i
1180
830.00 + 2 bo
780.70 + 2 bo
700.70 + 2 bo
bo
bo120.00 + 2 bo
610.00 (cm)
Tabela 5.1 – Discretização das seções em trapézios
b0 (m) = 0,700 ei (m) = 0,300 b0 (m) = 0,580 ei (m) = 0,228Bs (m) Bi (m) h (m) A (m2) Bs (m) Bi (m) h (m) A (m2)0,000 11,800 0,118 0,696 0,000 11,800 0,118 0,696
11,800 11,800 0,132 1,558 11,800 11,800 0,132 1,5589,700 9,207 0,040 0,378 9,460 8,967 0,040 0,3698,407 1,400 0,171 0,839 8,167 1,160 0,171 0,7971,400 1,400 0,639 0,895 1,160 1,160 0,711 0,8251,400 2,600 0,300 0,600 1,160 2,360 0,300 0,5286,100 6,100 0,300 1,830 6,100 6,100 0,228 1,391
Área total ( m2 ) = 6,795 Área total ( m2 ) = 6,163
b0 (m) = 0,460 ei (m) = 0,156 b0 (m) = 0,400 ei (m) = 0,120Bs (m) Bi (m) h (m) A (m2) Bs (m) Bi (m) h (m) A (m2)0,000 11,800 0,118 0,696 0,000 11,800 0,118 0,696
11,800 11,800 0,132 1,558 11,800 11,800 0,132 1,5589,220 8,727 0,040 0,359 9,100 8,607 0,040 0,3547,927 0,920 0,171 0,756 7,807 0,800 0,171 0,7360,920 0,920 0,783 0,720 0,800 0,800 0,819 0,6550,920 2,120 0,300 0,456 0,800 2,000 0,300 0,4206,100 6,100 0,156 0,952 6,100 6,100 0,120 0,732
Área total ( m2 ) = 5,497 Área total ( m2 ) = 5,151
Seção S0 = S10 = S20 = S30 S1 = S9 = S11 = S19 = S21 = S29
S3 a S7 = S13 a S17 = S23 a S27 S2 = S8 = S12 = S18 = S22 = S28
121
Tabela 5.2 – Valores das características das seções
S0 6,795 2,414 0,741 0,959S1 6,163 2,215 0,699 1,001S2 5,497 1,924 0,638 1,062S3 5,151 1,731 0,597 1,103S4 5,151 1,731 0,597 1,103S5 5,151 1,731 0,597 1,103S6 5,151 1,731 0,597 1,103S7 5,151 1,731 0,597 1,103S8 5,497 1,924 0,638 1,062S9 6,163 2,215 0,699 1,001S10 6,795 2,414 0,741 0,959S11 6,163 2,215 0,699 1,001S12 5,497 1,924 0,638 1,062S13 5,151 1,731 0,597 1,103S14 5,151 1,731 0,597 1,103S15 5,151 1,731 0,597 1,103
Yi (m)Seção Área (m2)
Inércia (m4)
Ys (m)
5.1.2.2 – Cálculo dos carregamentos atuantes
5.1.2.2.1 – Peso próprio da estrutura (g1)
5.1.2.2.1.1 – Carga distribuída
Como o peso específico do concreto é de 25 kN/m3, o carregamento distribuído devido
ao peso próprio estrutural é
g1 = A ⋅ 25 (kN/m) (5.1)
A Tabela 5.3 mostra os valores do carregamento distribuído em cada seção.
122
Tabela 5.3 – Cargas distribuídas do peso próprio da estrutura em cada seção
S0 6,795 169,9S1 6,163 154,1S2 5,497 137,4S3 5,151 128,8S4 5,151 128,8S5 5,151 128,8S6 5,151 128,8S7 5,151 128,8S8 5,497 137,4S9 6,163 154,1
S10 6,795 169,9S11 6,163 154,1S12 5,497 137,4S13 5,151 128,8S14 5,151 128,8S15 5,151 128,8
Seção Área (m2)g1
(kN/m)
Uma vez que as áreas das seções são variáveis, os carregamentos distribuídos também
são variáveis, e tem-se o carregamento distribuído entre as seções variando linearmente
(Figura 5.3).
123
Figura 5.3 – Carregamento distribuído devido ao peso da estrutura
5.1.2.2.1.2 – Cargas concentradas
a) Transversina de apoio extremo
A Figura 5.4 mostra a seção transversal da transversina. A área da seção transversal da
transversina é igual a 5,24m2, a espessura é 0,60m e a carga concentrada referente à
transversina é 78,56 kN.
Figura 5.4 – Seção transversal da transversina
(cm)
b) Transversina de apoio intermediário
A seção transversal da transversina do apoio intermediário é a mesma da Figura 5.3. A
espessura desta transversina é igual a 1,00m, e a carga concentrada referente à
transversina é 130,94 kN.
c) Placas de ancoragem
Em cada extremidade da obra existem duas placas de ancoragem que possuem o peso de
10,41 kN cada uma.
O carregamento devido ao peso da estrutura está resumido na Figura 5.5.
124
Figura 5.5 – Resumo do carregamento devido ao peso próprio da estrutura
5.1.2.2.2 – Sobrecarga permanente (g2)
O carregamento devido à sobrecarga permanente é composto pelos guarda-rodas e pela
pavimentação asfáltica, não existindo cargas concentradas.
5.1.2.2.2.1 – Guarda-rodas
O guarda-rodas utilizado na obra possui suas dimensões padronizadas e seu peso por
metro linear é igual a 5,80 kN/m. Como a obra possui dois guarda-rodas o peso total é
de 11,60 kN/m.
5.1.2.2.2.2 – Pavimentação asfáltica
A obra possui um revestimento asfáltico com 0,07m de espessura e 11,00m de largura.
O peso específico do revestimento asfáltico é de 24,00 kN/m3. O peso por metro linear
devido à pavimentação é de 18,48 kN/m.
O carregamento devido à sobrecarga permanente está resumido na Figura 5.6.
125
5.1.2.2.3 – Carga móvel
Figura 5.6 – Carregamento devido à sobrecarga permanente
Foi adotado o trem-tipo TB 450 kN da NBR 7188. Inicialmente faz-se o cálculo do
coeficiente de impacto para cada vão estrutural, de acordo com a equação 3.81 do
Capítulo 3. Os valor do coeficiente de impacto para cada vão é de:
ϕi = 1,230 para o vão de 24,30m
ϕi = 1,190 para o vão de 30,00m
Para simplificar o cálculo adota-se um único valor para o coeficiente de impacto, igual a
1,230.
A distribuição transversal das cargas do trem-tipo para obter o trem-tipo longitudinal, é
a mostrada na Figura 5.7.
8,50m2,00 m0,50 m 5,00 ϕ kN/m260 ϕ kN 60 ϕ kN
Figura 5.7 – Distribuição transversal do trem-tipo
126
Os valores das cargas do trem-tipo longitudinal estão na Figura 5.8.
5.1.2.3 – Descrição da cablagem
Figura 5.8 – Trem-tipo longitudinal
Foram utilizados 7 cabos compostos por cordoalhas de 12 φ 12,7 mm do tipo CP-190
RB. A área da seção transversal dos cabos é de 11,84 cm2 e a força de protensão
aplicada aos cabos é igual a 1687 kN, que corresponde a uma tensão de 1425 MPa. O
módulo de elasticidade do aço é igual a 195000 MPa e o coeficiente de atrito µ entre o
cabo e a bainha foi adotado igual a 0,25. A cablagem está apresentada nos desenhos 05
e 06 (Apêndice 1) e as Tabelas 5.4 a 5.7 mostram os valores das cotas e dos ângulos α
de inclinação dos cabos em cada seção de metade da ponte.
Tabela 5.4 – Cotas e inclinações dos cabos C1 e C2
Seção Cota (m) α (º) Seção Cota (m) α (º)S1 1,04 -7,50 S1 1,04 -7,50S2 0,70 -7,50 S2 0,70 -7,50S3 0,39 -5,50 S3 0,39 -5,50S4 0,25 0,00 S4 0,25 0,00S5 0,25 2,00 S5 0,25 2,00S6 0,62 14,00 S6 0,58 9,00S7 1,25 12,00 S7 0,95 9,00S8 1,56 3,50 S8 1,32 4,00S9 1,60 0,00 S9 1,58 2,50
S10 1,60 0,00 S10 1,60 0,00S11 1,60 0,00 S11 1,55 -4,00S12 1,39 -8,50 S12 1,07 -10,50S13 0,75 -14,00 S13 0,54 -11,00S14 0,25 -2,00 S14 0,25 0,00S15 0,25 0,00 S15 0,25 0,00
Cabo C1 Cabo C2
127
Tabela 5.5 – Cotas e inclinações dos cabos C3 a C4
Seção Cota (m) α (º) Seção Cota (m) α (º)S1 0,84 -5,50 S1 0,62 -4,00S2 0,59 -5,50 S2 0,43 -4,00S3 0,35 -4,50 S3 0,25 -4,00S4 0,25 0,00 S4 0,10 -1,50S5 0,25 0,00 S5 0,10 0,00S6 0,35 6,50 S6 0,10 1,00S7 0,68 8,00 S7 0,36 10,00S8 1,03 3,50 S8 0,78 5,50S9 1,39 8,50 S9 1,22 9,50S10 1,60 0,00 S10 1,40 0,00S11 1,32 -9,00 S11 1,10 -10,00S12 0,82 -9,50 S12 0,55 -10,00S13 0,37 -6,50 S13 0,17 -3,50S14 0,25 0,00 S14 0,10 0,00S15 0,25 0,00 S15 0,10 0,00
Cabo C3 Cabo C4
Tabela 5.6 – Cotas e inclinações dos cabos C5 e C6
Seção Cota (m) α (º) Seção Cota (m) α (º)S1 0,39 -3,00 S1 0,21 -0,50S2 0,26 -2,50 S2 0,16 -0,50S3 0,15 -2,00 S3 0,10 -0,50S4 0,10 0,00 S4 0,10 0,00S5 0,10 0,00 S5 0,10 0,00S6 0,10 0,00 S6 0,11 0,00S7 0,11 3,00 S7 0,48 3,00S8 0,48 14,00 S8 1,16 14,50S9 1,16 11,50 S9 1,40 11,50S10 1,40 0,00 S10 1,04 0,00S11 1,04 -13,00 S11 0,25 -13,00S12 0,25 -9,50 S12 0,10 -9,50S13 0,10 0,00 S13 0,10 0,00S14 0,10 0,00 S14 0,10 0,00S15 0,10 0,00 S15 0,10 0,00
Cabo C5 Cabo C6
Tabela 5.7 – Cotas e inclinações do cabo C7
7Seção Cota (m) α (º)S11 0,54 -10,00S12 0,10 -3,00S13 0,10 0,00S14 0,10 0,00S15 0,10 0,00
Cabo C
128
5.1.2.4 – Modelagem da estrutura
A Figura 5.9 mostra a modelagem da estrutura.
Figura 5.9 – Modelagem da estrutura
129
5.1.2.5 – Coordenadas dos nós
As coordenadas dos nós da estrutura estão mostradas na Tabela 5.8.
Tabela 5.8 – Coordenadas dos nós
0,000
Nó x (m) y (m)1 0,000 0,0002 2,435 0,0003 4,870 0,0004 7,305 0,0005 9,740 0,0006 12,175 0,0007 14,610 0,0008 17,045 0,0009 19,480 0,00010 21,915 0,00011 24,350 0,00012 27,350 0,00013 30,350 0,00014 33,350 0,00015 36,350 0,00016 39,350 0,00017 42,350 0,00018 45,350 0,00019 48,350 0,00020 51,350 0,00021 54,350 0,00022 56,785 0,00023 59,220 0,00024 61,655 0,00025 64,090 0,00026 66,525 0,00027 68,960 0,00028 71,395 0,00029 73,830 0,00030 76,265 0,00031 78,700
130
5.1.2.6 – Resultados
A Tabela 5.9 mostra os valores dos esforços obtidos pelo programa PÓRTICO e os
esforços obtidos com o uso do programa SALT, desenvolvido pelo Departamento de
Mecânica Aplicada e Estruturas da Universidade Federal do Rio de Janeiro
(acd.ufrj.br/~salt).
Tabela 5.9 – Esforços devido ao carregamento de peso próprio
1 0,0 1267,8 0,0 0,0 1305,8 0,02 0,0 873,4 2599,1 0,0 892,1 2690,63 0,0 518,5 4285,5 0,0 516,9 4421,94 0,0 194,4 5149,1 0,0 182,2 5281,75 0,0 -119,2 5240,7 0,0 -131,3 5343,76 0,0 -432,7 4568,7 0,0 -444,9 4642,27 0,0 -746,3 3133,2 0,0 -758,5 3177,28 0,0 -1059,9 934,2 0,0 -1072,0 948,69 0,0 -1384,0 -2036,9 0,0 -1406,7 -2077,710 0,0 -1738,9 -5830,8 0,0 -1781,9 -5976,2
11 esq 0,0 -2133,3 -10537,3 0,0 -2195,6 -10834,311 dir 0,0 2095,1 -10537,3 0,0 2157,7 -10834,3
12 0,0 1609,2 -4992,7 0,0 1648,1 -5102,013 0,0 1172,0 -833,5 0,0 1185,8 -826,314 0,0 772,7 2077,0 0,0 773,5 2125,515 0,0 386,3 3815,4 0,0 387,2 3866,516 0,0 0,0 4394,9 0,0 0,0 4448,4
Programa SALT Programa PórticoNó
Carregamento Peso Próprio ( g1 )
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
A Tabela 5.10 mostra os valores dos esforços devido ao carregamento de sobrecarga
permanente obtidos pelo programa PÓRTICO e pelo programa SALT. A Tabela 5.11
mostra a diferença percentual dos valores dos esforços obtidos pelos programas para
cada nó.
131
Tabela 5.10 – Esforços devido ao carregamento de sobrecarga permanente
1 0,0 268,9 0,0 0,0 268,8 0,02 0,0 195,7 565,6 0,0 195,5 565,33 0,0 122,4 952,9 0,0 122,3 952,34 0,0 49,2 1161,9 0,0 49,1 1160,95 0,0 -24,1 1192,5 0,0 -24,2 1191,16 0,0 -97,3 1044,7 0,0 -97,4 1043,07 0,0 -170,6 718,6 0,0 -170,7 716,68 0,0 -243,8 214,1 0,0 -243,9 211,89 0,0 -317,0 -468,7 0,0 -317,2 -471,310 0,0 -390,3 -1329,9 0,0 -390,4 -1332,8
11 esq 0,0 -463,5 -2369,4 0,0 -463,7 -2372,711 dir 0,0 451,2 -2369,4 0,0 451,2 -2372,7
12 0,0 361,0 -1151,2 0,0 361,0 -1154,413 0,0 270,7 -203,6 0,0 270,7 -206,914 0,0 180,5 473,2 0,0 180,5 469,915 0,0 90,2 879,3 0,0 90,2 876,016 0,0 0,0 1014,6 0,0 0,0 1011,3
Programa SALT Programa PórticoNormal
(kN)Cortante
(kN)Momento
(kN.m)Normal
(kN)Cortante
(kN)Momento
(kN.m)
Nó
Carregamento Sobrecarga Permanente ( g2 )
Tabela 5.11 – Diferença entre os valores dos programas PÓRTICO e SALT
1 2,9 0,0 0,0 0,02 2,1 3,4 0,1 0,13 0,3 3,1 0,1 0,14 6,7 2,5 0,2 0,15 9,2 1,9 0,6 0,16 2,7 1,6 0,1 0,27 1,6 1,4 0,1 0,38 1,1 1,5 0,0 1,19 1,6 2,0 0,1 0,5
10 2,4 2,4 0,0 0,211 esq 2,8 2,7 0,0 0,111 dir 2,9 2,7 0,0 0,1
12 2,4 2,1 0,0 0,313 1,2 0,9 0,0 1,614 0,1 2,3 0,0 0,715 0,2 1,3 0,0 0,416 0,0 1,2 0,0 0,3
Momento
Peso Próprio SobrecargaNó
Diferença (%)
Cortante Momento Cortante
132
A Tabela 5.12 mostra os valores dos esforços devidos a carga móvel obtidos pelo
programa PÓRTICO e a Tabela 5.13 mostra os respectivos valores gerados pelo
programa SALT, enquanto a Tabela 5.14 mostra a diferença percentual dos valores dos
esforços obtidos pelos programas para cada nó.
. Tabela 5.12 – Esforços de carga móvel obtidos pelo programa PÓRTICO
1 1154,6 -192,9 0,0 0,02 945,9 -177,9 2478,2 -463,93 757,8 -263,1 4290,2 -927,94 591,9 -367,5 5462,8 -1391,85 448,3 -491,7 6052,1 -1855,76 326,9 -632,1 6024,4 -2319,67 227,1 -786,9 5412,3 -2783,58 148,1 -953,6 4254,8 -3247,59 88,4 -1129,9 2601,6 -3717,2
10 46,4 -1313,5 1282,5 -4952,511 esq 45,3 -1502,1 1100,5 -7280,411 dir 1555,8 -160,9 1100,5 -7280,4
12 1323,9 -168,0 1214,0 -4292,413 1101,7 -196,7 2578,9 -2793,814 893,7 -282,9 4445,6 -2517,115 704,5 -396,8 5674,4 -2370,216 537,9 -537,9 6087,9 -2223,4
Cortante Máximo
(kN)
Cortante Mínimo
(kN)
Momento Máximo
(kN)Nó
PÓRTICOMomento Mínimo
(kN)
Tabela 5.13 – Esforços de carga móvel obtidos pelo programa SALT
1 1156,5 -190,8 0,0 0,02 946,8 -201,2 2480,0 -464,73 758,7 -259,2 4295,7 -929,34 592,8 -365,2 5471,9 -1394,05 449,2 -489,1 6064,9 -1858,66 327,6 -629,3 6041,6 -2323,37 227,7 -783,8 5433,9 -2788,08 148,4 -950,3 4280,5 -3252,69 88,5 -1126,5 2628,2 -3721,610 49,1 -1309,8 1289,7 -4965,7
11 esq 44,3 -1498,8 1079,7 -7249,511 dir 1553,6 -158,6 1079,7 -7249,5
12 1322,0 -166,0 1234,1 -4248,713 1100,1 -195,4 2620,2 -2766,114 892,5 -281,8 4496,0 -2497,315 703,6 -395,6 5724,2 -2358,116 537,2 -536,6 6138,1 -2219,0
SALT
NóCortante Máximo
(kN)
Cortante Mínimo
(kN)
Momento Máximo
(kN)
Momento Mínimo
(kN)
133
Tabela 5.14 – Diferença entre os valores dos programas PÓRTICO e SALT
1 0,2 1,1 0,0 0,02 0,1 11,6 0,1 0,23 0,1 1,5 0,1 0,24 0,2 0,6 0,2 0,25 0,2 0,5 0,2 0,26 0,2 0,4 0,3 0,27 0,2 0,4 0,4 0,28 0,2 0,3 0,6 0,29 0,1 0,3 1,0 0,1
10 5,4 0,3 0,6 0,311 esq 2,2 0,2 1,9 0,411 dir 0,1 1,4 1,9 0,4
12 0,1 1,2 1,6 1,013 0,1 0,7 1,6 1,014 0,1 0,4 1,1 0,815 0,1 0,3 0,9 0,516 0,1 0,2 0,8 0,2
Diferença (%)
Cortante Máximo
Cortante Mínimo
Momento Máximo
Momento Mínimo
Nó
As Tabelas 5.15 e 5.16 mostram os valores dos esforços de protensão obtidos pelo
programa PÓRTICO na idade de 7 e 100000 dias respectivamente e as Tabelas 5.17 e
5.18 os valores dos esforços de protensão obtidos com o uso do programa VEPRO, que
realiza a análise e verificação da protensão em vigas de ponte, desenvolvido por Jairo
Campos. Existem duas diferenças significativas entre o programa VEPRO e o programa
PÓRTICO, que são:
- O programa VEPRO faz a análise da cablagem considerando um único cabo
resultante e sua trajetória é oriunda da média ponderada das cotas e inclinações
da cablagem em cada seção, enquanto o programa PÓRTICO faz a análise da
cablagem calculando e acumulando os efeitos de protensão provocados por cada
cabo;
- O programa VEPRO calcula cada perda de tensão provocada pelos efeitos de
retração e fluência do concreto e relaxação do aço sem considerar a
interdependência entre eles, enquanto o programa PÓRTICO calcula a perda de
tensão considerando a interdependência que ocorre entre os efeitos.
134
Tabela 5.15 – Esforços de protensão no tempo t = 7 dias – programa PÓRTICO
1 0,0 0,0 0,0 1 0,0 0,0 0,02 -17853,7 -1450,2 -5621,2 2 0,0 386,4 941,03 -17983,6 -1434,1 -10633,5 3 0,0 386,4 1881,94 -18212,3 -1163,7 -15063,8 4 0,0 386,4 2822,95 -18667,3 -81,1 -17318,9 5 0,0 386,4 3763,86 -18684,9 215,3 -17346,1 6 0,0 386,4 4704,87 -18178,6 1565,5 -14605,2 7 0,0 386,4 5645,88 -17834,5 2317,7 -9643,3 8 0,0 386,4 6586,79 -17092,1 2295,5 -2120,2 9 0,0 386,4 7527,710 -16762,1 2160,0 5846,2 10 0,0 386,4 8468,7
11 esq -16308,3 0,0 8824,1 11 esq 0,0 386,4 9409,611 dir -16303,8 0,0 8824,1 11 dir 0,0 0,5 9409,6
12 -18162,9 -2673,2 3056,2 12 0,0 0,5 9411,013 -17944,6 -2690,7 -7858,8 13 0,0 0,5 9412,414 -17594,1 -1520,1 -14140,4 14 0,0 0,5 9413,815 -17286,9 -80,3 -16263,9 15 0,0 0,5 9415,216 -17182,6 0,0 -16170,3 16 0,0 0,5 9416,7
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
Tempo t = 7 diasNó
Esforços Isostáticos Esforços Hiperestáticos
NóTempo t = 7 dias
Tabela 5.16 – Esforços de protensão no tempo t = 100000 dias – programa PÓRTICO
1 0,0 0,0 0,0 1 0,0 296,2 0,02 -14827,0 -1203,1 -4676,8 2 0,0 296,2 721,33 -14731,8 1173,4 -8717,0 3 0,0 296,2 1442,54 -14598,1 -932,1 -12076,6 4 0,0 296,2 2163,85 -14819,5 -64,3 -13748,2 5 0,0 296,2 2885,06 -14775,9 169,8 -13718,5 6 0,0 296,2 3606,37 -14470,6 1236,0 -11650,6 7 0,0 296,2 4327,68 -14438,1 1870,6 -7846,7 8 0,0 296,2 5048,89 -14069,0 1893,5 -1770,7 9 0,0 296,2 5770,110 -13863,3 1791,2 4825,4 10 0,0 296,2 6491,3
11 esq -13530,9 0,0 7321,5 11 esq 0,0 296,2 7212,611 dir -13530,9 0,0 7321,5 11 dir 0,0 0,4 7212,6
12 -14764,5 -2169,8 2474,7 12 0,0 0,4 7213,913 -14145,0 -2113,4 -6225,2 13 0,0 0,4 7215,114 -13305,9 -1145,4 -10704,3 14 0,0 0,4 7216,415 -12883,7 -58,4 -12130,5 15 0,0 0,4 7217,716 -12848,1 0,0 -12101,4 16 0,0 0,4 7218,9
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
Normal (kN)
Esforços Isostáticos Esforços Hiperestáticos
NóTempo t = 100000 dias
NóTempo t = 100000 dias
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
135
Tabela 5.17 – Esforços de protensão no tempo t = 7 dias – programa VEPRO
1 0,0 0,0 0,0 1 - - 0,02 17250,0 1012,0 -5449,0 2 - - 941,03 17379,0 997,0 -10288,0 3 - - 1882,04 17607,0 737,0 -14564,0 4 - - 2824,05 18061,0 307,0 -16759,0 5 - - 3765,06 18251,0 602,0 -16934,0 6 - - 4706,07 18002,0 1954,0 -14417,0 7 - - 5647,08 17844,0 2706,0 -9637,0 8 - - 6589,09 17102,0 2683,0 -2116,0 9 - - 7530,010 16772,0 2547,0 5852,0 10 - - 8471,0
11 esq 16318,0 387,0 8834,0 11 esq - - 9412,011 dir 16318,0 0,0 8834,0 11 dir - - 9412,0
12 18171,0 2675,0 3062,0 12 - - 9411,013 17953,0 2694,0 7855,0 13 - - 9409,014 17603,0 1522,0 14138,0 14 - - 9407,015 17295,0 81,0 16263,0 15 - - 9405,016 17191,0 0,0 16170,0 16 - - 9403,0
NóTempo t = 7 dias
NóTempo t = 7 dias
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
Esforços Isostáticos Esforços Hiperestáticos
Tabela 5.18 – Esforços de protensão no tempo t = 100000 dias – programa VEPRO
1 0,0 0,0 0,0 1 - - 0,02 15025,0 -909,0 -4747,0 2 - - 752,03 14896,0 -877,0 -8818,0 3 - - 1505,04 14717,0 -630,0 -12174,0 4 - - 2257,05 14907,0 243,0 -13833,0 5 - - 3009,06 14995,0 486,0 -13913,0 6 - - 3762,07 14926,0 1608,0 -11953,0 7 - - 4514,08 15105,0 2272,0 -8158,0 8 - - 5266,09 14830,0 2300,0 -1835,0 9 - - 6019,010 14685,0 2201,0 5124,0 10 - - 6771,0
11 esq 14434,0 309,0 7814,0 11 esq - - 7523,011 dir 14434,0 0,0 7814,0 11 dir - - 7523,0
12 15692,0 -2310,0 2644,0 12 - - 7522,013 14932,0 -2240,0 -6533,0 13 - - 7521,014 13985,0 -1209,0 -11232,0 14 - - 7519,015 13570,0 -64,0 -12760,0 15 - - 7518,016 13559,0 0,0 -12753,0 16 - - 7517,0
Momento (kN.m)
Esforços Hiperestáticos
NóTempo t = 100000 dias
NóTempo t = 100000 dias
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
Normal (kN)
Cortante (kN)
Esforços Isostáticos
136
5.19 – Diferença percentual entre os valores dos programas PÓRTICO e VEPRO
1 0,0 0,0 0,0 1 - - 0,02 3,5 43,3 3,2 2 - - 0,03 3,5 43,8 3,4 3 - - 0,04 3,4 57,9 3,4 4 - - 0,05 3,4 73,6 3,3 5 - - 0,06 2,4 64,2 2,4 6 - - 0,07 1,0 19,9 1,3 7 - - 0,08 0,1 14,3 0,1 8 - - 0,09 0,1 14,4 0,2 9 - - 0,010 0,1 15,2 0,1 10 - - 0,0
11 esq 0,1 100,0 0,1 11 esq - - 0,011 dir 0,1 0,0 0,1 11 dir - - 0,0
12 0,0 0,1 0,2 12 - - 0,013 0,0 0,1 0,0 13 - - 0,014 0,1 0,1 0,0 14 - - 0,115 0,0 0,9 0,0 15 - - 0,116 0,0 0,0 0,0 16 - - 0,1
Isostáticos t = 7 diasNó MomentoNormal Cortante Nó
Hiperestáticos t = 7 dias
Normal Cortante Momento
5.20 – Diferença percentual entre os valores dos programas PÓRTICO e VEPRO
1 0,0 0,0 0,0 1 - - 0,02 1,3 32,4 1,5 2 - - 4,13 1,1 33,8 1,1 3 - - 4,24 0,8 48,0 0,8 4 - - 4,15 0,6 73,5 0,6 5 - - 4,16 1,5 65,1 1,4 6 - - 4,17 3,1 23,1 2,5 7 - - 4,18 4,4 17,7 3,8 8 - - 4,19 5,1 17,7 3,5 9 - - 4,110 5,6 18,6 5,8 10 - - 4,1
11 esq 6,3 100,0 6,3 11 esq - - 4,111 dir 6,3 0,0 6,3 11 dir - - 4,1
12 5,9 6,1 6,4 12 - - 4,113 5,3 5,7 4,7 13 - - 4,114 4,9 5,3 4,7 14 - - 4,015 5,1 8,8 4,9 15 - - 4,016 5,2 0,0 5,1 16 - - 4,0
Nó Cortante Momento
Isostáticos t = 100000 diasNó
Hiperestáticos t = 100000 dias
Normal NormalMomentoCortante
137
5.1.2.7 – Verificação à ruptura
A verificação à ruptura é feita apenas nas seções mais solicitadas que são a S4, S10 e
S15. A Tabela 5.21 mostra os valores dos resultados da análise feita com o uso do
programa PÓRTICO e também os valores dos resultados da análise feita com o uso do
programa VERRU, desenvolvido por Jairo Campos. O programa VERRU faz a
verificação à ruptura em seções de concreto protendido adotando o diagrama tensão-
deformação do concreto parábola-retângulo e a relação bi-linear de tensão-deformação
do aço. Os momentos de projeto Md comparados com os momentos resistentes Mu
foram obtidos majorando os momentos atuantes dos seguintes fatores: 1,35 para o peso
próprio da estrutura; 1,50 para a carga móvel; 0,9 quando o momento hiperestático de
protensão alivia os momentos atuantes ou 1,1 quando o momento hiperestático de
protensão é desfavorável.
Tabela 5.21 – Verificação à ruptura pelos programas PÓRTICO e VERRU
)S4 28700 20648,0 1,39 30660 20648,0 1,48S10 -29100 -21132,0 1,38 -29670 -21132,0 1,40S15 32900 23653,6 1,39 35930 23653,6 1,52
PÓRTICO VERRUMd
(kN.m)Mu / Md
(kN.m)Mu / Md
(kN.m)Mu
(kN.m)Md
(kN.m)SeçãoMu
(kN.m
5.2 – Análise da superestrutura da Ponte sobre o Rio Arraia
A obra está localizada no trecho Boa Vista/Normandia da Rodovia BR-401/RR. A
estrutura é composta por três vãos isostáticos em vigas protendidas pré-moldadas de
40,0m cada um com a extensão total de 120,0m. As vigas serão protendidas em duas
etapas, uma no canteiro de fabricação e a outra após a concretagem e cura da laje. As
extremidades são encontros e os apoios intermediários são travessas que estão apoiadas
sobre um par de pilares. A obra está detalhada nos desenhos 01, 02, 03, 04 e 09 no
Apêndice 2.
138
5.2.1 – Análise da estrutura
5.2.1.1 – Características das seções transversais
Inicialmente foi feita a divisão das seções transversais em trapézios, triângulos e
retângulos como indicado na Figura 5.10.
1,200
0,150
0,500 0,500
0,100
1,4500,200
0,200
0,700
0,250
1,200
0,150
0,050
0,700
1,950
(b) seção apoio (a) seção corrente
(m)
Figura 5.10 – Seção transversal da Ponte sobre o Igarapé Breu
A Tabela 5.22 mostra as características das seções transversais da viga isolada e da viga
com a mesa de contribuição da laje que possui uma largura de 2,60m.
Tabela 5.22 – Características das seções transversais
A (m2) 0,805 1,593 1,295 2,083J (m4) 0,496 0,661 0,885 1,133Ys (m) - - 0,801 0,957Ys` (m) 1,028 1,021 -1,549 -1,393Yi (m) 1,122 1,129 1,549 1,393
Seção Corrente
Seção Apoio
Viga ConjuntoViga IsoladaSeção
CorrenteSeção Apoio
139
5.2.1.2 – Cálculo dos carregamentos atuantes
5.2.1.2.1 – Peso próprio da estrutura (g1)
5.2.1.2.1.1 – Carga distribuída
A carga distribuída é obtida apenas pela seção corrente e o alargamento do apoio é
considerado como carga concentrada. O valor da carga distribuída g1 = 20,12 kN/m.
5.2.1.2.1.2 – Cargas concentradas
a) Alargamento da viga
O alargamento da viga é transformado em carga concentrada e seu valor é igual a (1,593
– 0,805)x25,00x4,00x0,50 = 39,40 kN.
b) Placa de ancoragem
A viga possui uma placa de ancoragem em cada extremidade que representa uma carga
concentrada igual a 7,9 kN.
c) Seção fora do vão de cálculo
O vão de cálculo está compreendido entre os aparelhos de apoio e a extensão da viga
fora deste vão é considerada como uma carga concentrada com o valor igual a
20,12x0,45 = 9,06 kN.
d) Alargamento do apoio
O alargamento do apoio fora do vão de cálculo é considerado como uma carga
concentrada cujo valor é igual a (1,593 – 0,805)x25,00x0,55 = 10,84 kN.
140
O carregamento devido ao peso estrutural está resumido na Figura 5.11.
27,8 kN 27,8 kN20,12 kN/m
39,10 m
39,4 kN 39,4 kN
1,33 m 1,33m
19,55 m
Figura 5.11 – Carregamento de peso próprio da estrutura
5.2.1.2.2 – Laje e transversina (g2)
5.2.1.2.2.1 – Carga distribuída
O carregamento devido à laje é igual a 0,20x2,45x25,00 = 12,25 kN/m
5.2.1.2.2.2 – Cargas concentradas
a) Transversina de apoio
O valor da carga concentrada devido à transversina de apoio é igual à 11,00 kN.
b) Transversina intermediária
O valor da carga concentrada devido à transversina intermediária é igual à 12,90 kN.
c) Seção fora do vão de cálculo
A extensão da laje fora do vão de cálculo é considerada como uma carga concentrada
com valor igual a 0,45x12,25 = 5,51 kN.
O carregamento devido ao peso da laje e às transversinas está resumido na Figura 5.12.
141
16,6 kN 16,6 kN12,25 kN/m
12,9 kN
39,10 m19,55 m
Figura 5.12 – Resumo do carregamento devido à laje e às transversinas
5.2.1.2.3 – Sobrecarga permanente (g3)
O carregamento devido à sobrecarga permanente é composto pelos guarda-rodas e pela
pavimentação asfáltica, e a carga concentrada é representada pelo valor da carga
distribuída fora do vão de cálculo.
5.2.1.2.3.1 – Carga distribuída
a) guarda-rodas
O guarda-rodas utilizado na obra possui suas dimensões padronizadas e seu peso por
metro linear é igual a 5,80 kN/m.
b) pavimentação asfáltica
A obra possui um revestimento asfáltico com 0,07m de espessura e 2,05m de largura. O
peso específico do revestimento asfáltico é de 24,00 kN/m3. O peso por metro linear
devido à pavimentação é de 3,44 kN/m.
5.2.1.2.3.2 – Carga concentrada
A extensão da carga distribuída fora do vão de cálculo é considerada como uma carga
concentrada com valor igual a 0,45x9,24 = 4,16 kN.
142
O carregamento devido à sobrecarga permanente está resumido na Figura 5.13.
4,2 kN 4,2 kN
9,24 kN/m
39,10 m
Figura 5.13 – Resumo do carregamento de sobrecarga permanente
5.2.1.2.4 – Carga móvel
Os valores das cargas concentradas e distribuída do trem-tipo longitudinal são iguais a
73,08 kN e 16,15 kN/m, respectivamente.
5.2.1.3 – Descrição da cablagem
Foram utilizados 6 cabos compostos por cordoalhas de 12 φ 12,7 mm do tipo CP-190
RB. A área da seção transversal dos cabos é de 11,84 cm2 e a força de protensão
aplicada aos cabos é igual a 1687 kN, que corresponde a uma tensão de 1425 MPa. O
módulo de elasticidade do aço é igual a 195000 MPa e o coeficiente de atrito entre o
cabo e a bainha foi adotado igual a 0,25. A cablagem está apresentada no desenho 09
(Apêndice 2). Os cabos foram protendidos em duas etapas, a primeira etapa os cabos C1
a C4 e na segunda etapa os cabos C5 e C6. As Tabelas 5.23 a 5.25 mostram os valores
das cotas e dos ângulos α de inclinação dos cabos em cada seção da metade da ponte.
Tabela 5.23 – Cotas e inclinações dos cabos C1 e C2
1
S1 1,05 -7,50 S1 0,75 -6,00S2 0,55 -5,50 S2 0,35 -5,00S3 0,24 0,00 S3 0,24 0,00S4 0,24 0,00 S4 0,24 0,00S5 0,24 0,00 S5 0,24 0,00
Cabo C2
Seção Cota (m) α ( º )Cota (m) α ( º )Seção
Cabo C
143
Tabela 5.24 – Cotas e inclinações dos cabos C3 e C4
S1 0,45 -3,50 S1 0,15 -2,00S2 0,18 -3,00 S2 0,10 0,00S3 0,10 0,00 S3 0,10 0,00S4 0,10 0,00 S4 0,10 0,00S5 0,10 0,00 S5 0,10 0,00
Cabo C3 Cabo C4
Seção Cota (m) α ( º ) Seção Cota (m) α ( º )
Tabela 5.25 – Cotas e inclinações dos cabos C5 e C6
S3 0,16 -6,50 S3 0,60 -19,00S4 0,10 0,00 S4 0,24 0,00S5 0,10 0,00 S5 0,24 0,00
Cabo C5 Cabo C6
Seção Cota (m) α ( º ) Seção Cota (m) α ( º )
5.2.1.4 – Modelagem da estrutura
A Figura 5.14 mostra a modelagem da estrutura.
Figura 5.14 – Modelagem da estrutura
144
5.2.1.5 – Coordenadas dos nós
A Tabela 5.26 mostra as coordenadas nodais da estrutura.
Tabela 5.26 – Coordenadas nodais
nó x (m) y (m)1 0,00 0,002 3,91 0,003 7,82 0,004 11,73 0,005 15,64 0,006 19,55 0,007 23,46 0,008 27,37 0,009 31,28 0,00
10 35,19 0,0011 39,10 0,00
5.2.1.6 – Resultados
A Tabela 5.27 mostra os valores dos esforços obtidos pelo programa PÓRTICO e os
esforços para os carregamentos de peso próprio (g1) e laje + transversina (g2) obtidos
com o uso do programa PROPONTE, desenvolvido por Jairo Campos. O programa
PROPONTE calcula os esforços e as tensões normais nas fibras extremas em cada seção
em uma viga isostática.. Os valores dos resultados de ambos os programas são idênticos.
145
Tabela 5.27 – Esforços de peso próprio e laje + transversina
omento (kN.m)
1 0,0 434,9 0,0 0,0 434,9 0,02 0,0 316,8 1445,1 0,0 316,8 1434,03 0,0 238,1 2530,0 0,0 238,1 2519,04 0,0 159,4 3307,2 0,0 159,4 3296,25 0,0 80,7 3776,7 0,0 80,7 3765,66 0,0 2,0 3938,4 0,0 2,0 3927,3
1 0,0 245,9 0,0 0,0 245,9 0,02 0,0 198,0 868,0 0,0 198,0 868,03 0,0 150,1 1548,7 0,0 150,1 1548,74 0,0 102,2 2042,1 0,0 102,2 2042,15 0,0 54,3 2348,2 0,0 54,3 2348,26 0,0 6,5 2467,1 0,0 6,4 2467,1
Nó
Carregamento Laje + Transversina ( g2 )Programa PROPONTE Programa Pórtico
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
Nó
Carregamento Peso Próprio ( g1 )Programa PROPONTE Programa Pórtico
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
Normal (kN)
Cortante (kN)
M
A Tabela 5.28 mostra os valores dos esforços dos carregamentos de sobrecarga
permanente (g3) e carga móvel. Os valores dos resultados de ambos os programas são
idênticos.
A Tabela 5.29 mostra os valores dos esforços da primeira etapa de protensão obtidos
pelo programa PÓRTICO nas idades de 7 e 100000 dias. A Tabela 5.30 mostra os
valores dos esforços da primeira etapa de protensão obtidos com o uso do programa
VEPRO.
146
Tabela 5.28 – Esforços devidos à sobrecarga permanente e carga móvel
1 0,0 180,6 0,0 0,0 180,6 0,02 0,0 144,5 635,7 0,0 144,5 635,73 0,0 108,4 1130,1 0,0 108,4 1130,14 0,0 72,3 1483,3 0,0 72,3 1483,35 0,0 36,1 1695,1 0,0 36,1 1695,16 0,0 0,0 1765,8 0,0 0,0 1765,8
1 526,6 0,0 0,0 526,6 0,0 0,02 444,7 -16,7 1849,9 444,6 -16,4 1849,93 369,1 -48,1 3281,3 369,1 -48,1 3281,04 299,8 -85,8 4294,4 299,8 -85,8 4294,05 236,8 -129,8 4911,0 236,8 -129,8 4910,66 180,2 -180,2 5120,2 180,2 -180,2 5119,7
Nó
Carga MóvelPrograma PROPONTE Programa Pórtico
Cortante Máx. (kN)
Cortante Mín. (kN)
Momento (kN.m)
Cortante Máx. (kN)
Cortante Mín. (kN)
Momento (kN.m)
Nó
Carregamento Sobrecarga Permanente ( g3 )Programa PROPONTE Programa Pórtico
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
Tabela 5.29 – Esforços da primeira etapa de protensão - PÓRTICO
)1 0,0 0,0 0,0 1 0,0 0,0 0,02 5909,5 489,5 -3104,9 2 4739,7 392,3 -2492,93 6023,4 353,8 -4990,1 3 4776,6 290,2 -3958,44 6176,1 0,0 -5880,3 4 4904,7 0,0 -4669,85 6114,8 0,0 -5875,3 5 4941,4 0,0 -4708,46 6167,0 0,0 -5826,3 6 4912,5 0,0 -4681,5
NóTempo t = 100000 dias
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
Esforços IsostáticosEsforços Isostáticos
NóTempo t = 7 dias
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m
147
Tabela 5.30 – Esforços da primeira etapa de protensão - VEPRO
1 0,0 0,0 0,0 1 0,0 0,0 0,02 5836,0 -484,0 -3063,0 2 4834,0 -401,0 -2537,03 5952,0 -350,0 -4930,0 3 4945,0 -291,0 -4096,04 6126,0 0,0 -5831,0 4 5155,0 0,0 -4907,05 6126,0 0,0 -5836,0 5 5238,0 0,0 -4989,06 6095,0 0,0 -5808,0 6 5243,0 0,0 -4995,0
NóTempo t = 100000 dias
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
Esforços IsostáticosEsforços Isostáticos
NóTempo t = 7 dias
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
A Tabela 5.31 mostra as diferenças percentuais entre os valores dos esforços obtidos
com os uso dos dois programas para os esforços de protensão da primeira etapa de
protensão.
Tabela 5.31 – Diferença percentual entre os resultados dos programas
1 0,0 0,0 0,0 1 0,0 0,0 0,02 1,3 1,1 1,4 2 2,0 2,2 1,73 1,2 1,1 1,2 3 3,4 0,3 3,44 0,8 0,0 0,8 4 4,9 0,0 4,85 0,2 0,0 0,7 5 5,7 0,0 5,66 1,2 0,0 0,3 6 6,3 0,0 6,3
Diferença (%) Diferença (%)
NóIsostáticos t = 100000 dias
Normal Cortante MomentoNóIsostáticos t = 7 dias
Normal Cortante Momento
A Tabela 5.32 mostra os valores dos esforços da segunda etapa de protensão obtidos
pelo programa PÓRTICO nas idades de 7 e 100000 dias e, a Tabela 5.33 os obtidos pelo
programa VEPRO.
Tabela 5.32 - Esforços da segunda etapa de protensão - PÓRTICO
)1 0,0 0,0 0,0 1 0,0 0,0 0,02 0,0 0,0 0,0 2 0,0 0,0 0,03 0,0 0,0 0,0 3 0,0 0,0 0,04 2768,6 -620,0 -3262,8 4 2342,0 -523,8 -2761,95 2935,0 0,0 -4046,4 5 2469,1 0,0 -3404,06 2906,2 0,0 -4006,7 6 2444,9 0,0 -3370,7
NóTempo t = 100000 dias
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
Esforços IsostáticosEsforços Isostáticos
NóTempo t = 7 dias
Normal (kN
148
Tabela 5.33 – Esforços da segunda etapa de protensão - VEPRO
1 0,0 0,0 0,0 1 0,0 0,0 0,02 0,0 0,0 0,0 2 0,0 0,0 0,03 0,0 0,0 0,0 3 0,0 0,0 0,04 2662,0 -594,0 -3138,0 4 2067,0 -461,0 -2437,05 2946,0 0,0 -4056,0 5 2304,0 0,0 -3173,06 2916,0 0,0 -4016,0 6 2302,0 0,0 -3170,0
NóTempo t = 100000 dias
Normal (kN)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
Cortante (kN)
Momento (kN.m)
Esforços HiperestáticosEsforços Hiperestáticos
NóTempo t = 7 dias
Normal (kN)
A Tabela 5.34 mostra as diferenças percentuais entre os valores dos esforços obtidos
com os uso dos dois programas para os esforços de protensão da segunda etapa de
protensão.
Tabela 5.34 – Diferença percentual entre os resultados dos programas
1 0,0 0,0 0,0 1 0,0 0,0 0,02 0,0 0,0 0,0 2 0,0 0,0 0,03 0,0 0,0 0,0 3 0,0 0,0 0,04 4,0 4,4 4,0 4 13,3 13,6 13,35 0,4 0,0 0,2 5 7,2 0,0 7,36 0,3 0,0 0,2 6 6,2 0,0 6,3
NóIsostáticos t = 7 dias
NóIsostáticos t = 100000 dias
Normal Cortante Momento Normal Cortante Momento
Diferença (%) Diferença (%)
5.2.1.7 – Verificação à ruptura
A verificação à ruptura é feita apenas na seção mais solicitada que é a S5. A Tabela 5.35
mostra os valores dos resultados da análise feita com o programa PÓRTICO e também
os valores dos resultados da análise feita com o programa VERRU.
Tabela 5.35 – Verificação à ruptura pelos programas PÓRTICO e VERRU
S5 24500 18695,8 1,31 21960 18695,8 1,17
PÓRTICO VERRU
SeçãoMu
(kN.m)Md
(kN.m)Mu / Md
(kN.m)Mu
(kN.m)Md
(kN.m)Mu / Md
(kN.m)
149
6 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Este trabalho teve como principal objetivo a ampliação de um programa de análise de
pórticos planos, orientando-o para a análise e verificação de estruturas de pontes de
concreto protendido. De acordo com os resultados apresentados no Capítulo 5, conclui-
se que o programa é uma eficiente ferramenta tanto para a análise de pontes com seção
transversal em caixão quanto para a análise de pontes em vigas pré-moldadas ou pré-
fabricadas, onde ocorre a mudança das características das seções transversais da
estrutura, permitindo até duas etapas de carregamentos e/ou protensão.
A aplicação do programa foi feita para duas pontes projetadas pela Empresa Pontis
Consultoria LTDA, que forneceu os resultados das análises das estruturas obtidos por
programas de computador de seu arquivo técnico. Foi analisada uma ponte que tem a
estrutura em viga contínua de três vãos e seção transversal em viga caixão, com 80,0m
de extensão. A outra ponte analisada é composta por três vãos isostáticos de vigas
protendidas pré-moldadas com a extensão de 120,0m.
A verificação à ruptura das seções de concreto foi feita com o uso de um programa de
análise não-linear de seções de concreto protendido, e pode-se considerar tanto aços
ativos quanto passivos, realizando a análise da protensão parcial. O programa permite a
análise em elementos de concreto de alta resistência e os resultados apresentados no
Capítulo 5 demonstram a eficiência do programa de verificação à ruptura.
Os resultados da análise e verificação obtidos pela empresa foram comparados com os
resultados obtidos pelo programa desenvolvido (PÓRTICO) e pelo programa de
verificação à ruptura (CONSEC). A comparação mostrou e existência de divergências
muito pequenas entre os resultados, demonstrando a eficácia do programa desenvolvido.
As diferenças existentes podem ser caracterizadas como conseqüências de
aproximações numéricas realizadas por cada programa e pelas divergências entre as
metodologias adotadas nos dois processos de análise e verificação.
150
O programa desenvolvido possui grande valor prático uma vez que, atualmente, os
programas comerciais disponíveis não realizam a análise dos efeitos da protensão em
estruturas de pórtico plano, que são a grande maioria das estruturas de pontes, não
permitem a mudança das características da estrutura de acordo com a fase construtiva e
não permitem o uso de concretos de alta resistência, que tem sido muito utilizado em
estruturas de pontes tanto pelo aumento da resistência quanto pelo sensível aumento da
durabilidade da estrutura,que normalmente encontra-se em ambientes agressivos.
Para pesquisas futuras são sugeridos os seguintes tópicos:
• Estudo da otimização da estrutura;
• Estudo do fluxo de tensões normais após a mudança das características das
seções transversais da estrutura;
• Estudo da otimização do posicionamento dos cabos ao longo da estrutura, e da
força a ser aplicada neles;
• Automatização da verificação do cisalhamento e da fadiga nas armaduras.
151
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