Projeto 1a Etapa _ TRABALHO DE PONTES

Sumário

1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS..................................................................................................2

2. CARACTERÍSTICAS DOS COMPONENTES...............................................................................3

2.1. LONGARINA.......................................................................................................................3

2.2. TRANSVERSINA.................................................................................................................9

2.3. PAVIMENTO.....................................................................................................................10

2.4. GUARDA-RODAS.............................................................................................................11

3. CARREGAMENTOS.................................................................................................................11

3.1. LONGARINA EXTERNA....................................................................................................12

4. LINHAS DE INFLUÊNCIA.........................................................................................................17

4.1. MOMENTO FLETOR.........................................................................................................17

4.2. FORÇA CORTANTE..........................................................................................................19


5. ENVOLTÓRIAS........................................................................................................................27


PEF 2404 – PONTES E GRANDES ESTRUTURAS: 1º PROJETO

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1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS

O objetivo do presente projeto constitui-se em representar a envoltória de esforços solicitantes

para uma longarina a escolher de uma ponte em grelha pré-moldada. No caso, foi escolhida a

longarina externa. Pede-se também que sejam consideradas cargas permanentes e trem-tipo 45.

Para o exercício em questão temos o seguinte sistema estrutural:

Figura 1 – Corte transversal no meio do vão.

Figura 2 – Corte longitudinal.

Desenvolvido por: Rodolfo M. R. - Gustavo B. – Alberto S. T. Professor: Kalil José Skaf


3

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Figura 3 – Corte longitudinal – Transversinas de vão.

2. CARACTERÍSTICAS DOS COMPONENTES

2.1. LONGARINA

Figura 4 – Seção da longarina tipo.

Cálculo da área da longarina:A1 = 1,2*0,12 = 0,144 m²A2 = (0,5+0,08)/2 = 0,02 m²A3 = 0,2*0,08 = 0,016 m²A4 = 1,35*0,2 = 0,27 m²A5 = (0,25+0,2)/2 = 0,025 m²A6 = 0,2*0,2 = 0,04 m²A7 = 0,7*0,25 = 0,175 m²ATOTAL = A1 + 2xA2 + A3 + A4+ 2xA5+ A6+ A7

ATOTAL = 0,144 + 2x0,02 + 0,016 + 0,27 + 2x0,025+ 0,04+ 0,175ATOTAL = 0,735 m²



4

4

Cálculo do volume por metro de comprimento da longarina:

V = ATOTAL x LV = 0,735 x 1V = 0,735 m³

Cálculo do peso por metro de comprimento da longarina:

P = V x c

P = 0,735 x 25P = 18,38 KN/m

Determinação do centro de gravidade da longarina:

Y = ( 1,94x0,144 + 1,85x2x0,02 + 1,84x0,016 + 1,33x0,27 + 0,317x2x0,025+ 0,35x0,04+ 0,125x0,175 ) / (0,735)

y = 1,08 m

Determinação do momento de inércia das seções divididas em relação ao centro de gravidade da longarina:

I1 = 0,107 m4

I2 = 0,012 m4

I3= 0,009 m4

I4 = 0,058 m4

I5 = 0,015 m4

I6 = 0,021 m4

I7 = 0,160 m4

Portanto, o momento de inércia da longarina em relação ao centro de gravidade é:

I = I1 + 2 x I2 + I3 + I4 + 2 x I5 + I6 + I7

I = 0,107 + 2x0,012 + 0,009 + 0,058 + 2x0,015 + 0,021 + 0,16

I = 0,409 m4

Determinação dos módulos de resistência à flexão da longarina:

Modulo resistente superior

ys = 2,00 – 1,08 ys = 0,92 m

Módulo resistente inferior

yi = 1,08 m



5

5

Ws = 0,445 m³ Wi = 0,379 m³

Determinação das distâncias nucleares da longarina:

Distância nuclear superior

Ks = 0,605 m

Distância nuclear inferior

Ki = 0,515 m

2.1.1. LAJE SOBRE LONGARINA INTERMEDIÁRIA

Figura 5 – Conjunto longarinas centrais e laje.

Cálculo da área da laje sobre a longarina:

A = 2,5 x 0,20A = 0,50 m²

Cálculo do volume da laje por metro de comprimento:

V = ATOTAL x LV = 0,50 x 1V = 0,50 m³

Cálculo do peso da laje sobre a longarina por metro de comprimento:

P = V x c

P = 0,50 x 25P = 12,5 KN/m

2.1.2. CONJUNTO LONGARINA INTERMEDIÉRIA+ LAJE

Figura 6 – Conjunto longarina e laje.



6

6

Cálculo da área do conjunto:A1 = 0,735 m² (já calculado no item 2.1)A2 = 0,50 m² (já calculado no item 2.1.1)

ATOTAL = A1 + A2

ATOTAL = 0,735 + 0,50ATOTAL = 1,235 m²

Cálculo do volume por metro de comprimento do conjunto:

V = ATOTAL x LV = 1,15 x 1

V = 1,235 m³

Cálculo do peso por metro de comprimento do conjunto:

P = V x c

P = 1,235 x 25P = 30,88 KN/m

Determinação do centro de gravidade do conjunto:

y = 1,49 m

Determinação do momento de inércia das seções divididas em relação ao centro de gravidade do conjunto:

I = 0,747 m4

Determinação dos módulos de resistência à flexão do conjunto:


Ws = 0,996 m³


Wi = 0,515 m³

Determinação das distâncias nucleares do conjunto:


Ks = 0,806 m


Ki = 0,417 m



7

7

2.1.3. LAJE SOBRE LONGARINA EXTERNA

Figura 7 – Conjunto longarinas externa e laje.

Cálculo da área da laje sobre a longarina:

A = 1,85 x 0,20A = 0,37 m²

Cálculo do volume da laje por metro de comprimento:

V = ATOTAL x LV = 0,37 x 1V = 0,37 m³

Cálculo do peso da laje sobre a longarina por metro de comprimento:

P = V x c

P = 0,37 x 25P = 9,25 KN/m

2.1.4. CONJUNTO LONGARINA EXTERNA+ LAJE

Figura 8 – Conjunto longarina externa e laje.

Cálculo da área do conjunto:A1 = 0,735 m² (já calculado no item 2.1)A2 = 0,37 m² (já calculado no item 2.1.3)

ATOTAL = A1 + A2



8

8

ATOTAL = 0,735 + 0,37ATOTAL = 1,11 m²

Cálculo do volume por metro de comprimento do conjunto:

V = ATOTAL x LV = 1,11 x 1V = 1,11 m³

Cálculo do peso por metro de comprimento do conjunto:

P = V x c

P = 1,11 x 25P = 27,75 KN/m

Determinação do centro de gravidade do conjunto:

y = 1,42 m

Determinação do momento de inércia das seções divididas em relação ao centro de gravidade do conjunto:

I = 0,658 m4

Determinação dos módulos de resistência à flexão do conjunto:


Ws = 0,825 m³


Wi = 0,50 m³

Determinação das distâncias nucleares do conjunto:


Ks = 0,747 m


Ki = 0,425 m



9

9

2.2. TRANSVERSINA

Figura 9 – Transversinas do Sistema Grelha.

Cálculo da área da transversina entre duas longarinas:

ATOTAL = A1 + A2 + A3 + A4

ATOTAL = 0,156 + 0,144 + 3,11 + 0,533ATOTAL = 3,94 m²

Cálculo do volume da transversina entre duas longarinas:

V = ATOTAL x eV = 3,94 x 0,30V = 1,182 m³

Cálculo do peso total da transversina:

P = 6 trechos x V x c + 2 x A(5+6+7) x e x c P = 6 x 1,182 x 25 + 1,89 x 0,30 x 25

P = 191,48 KN

Peso que será descarregado em cada longarina:



10

10

onde:Pi peso da transversina na longarina em estudon número de longarinas

P = 27,35 KN

Obs.: Considera-se que o peso da transversina se distribuirá igualmente entre todas as longarinas.

2.3. PAVIMENTO

Cálculo do peso por metro quadrado de pavimento:

p = espessura x P

p = 0,05 x 24p = 1,2 KN/m²

2.4. GUARDA-RODAS

Figura 10 – Esquema Transversal do Guarda-Rodas.

Cálculo da área do guarda-rodas:

ATOTAL = A1 + A2 + A3 + A4 + A5

ATOTAL = 0,075 + 0,0957 + 0,0396 + 0,1056 + 0,011ATOTAL = 0,3269 m²

Cálculo do volume por metro de comprimento do guarda-rodas:



11

11

V = ATOTAL x LV = 0,3269 x 1V = 0,3269 m³

Cálculo do peso por metro de comprimento do guarda-rodas:

P = V x c

P = 0,3269 x 25P = 8,17 KN/m

3. CARREGAMENTOS

Visto que esta ponte possui longarinas e transversinas, será utilizado o processo de Courbon/Engesser para a solução desta grelha.

Supondo as seguintes condições A largura da obra é menor que metade do vão da mesma A altura das transversinas é da ordem de grandeza daquela das longarinas Espessuras das longarinas e das lajes são pequenas

Formulamos as seguintes hipóteses: As transversinas são infinitamente rígidas A torção uniforme é desprezível O trabalho longitudinal das lajes também é desprezível Admitem ainda válidas, para as longarinas, as hipóteses da resistência dos materiais

Esta grelha respeita a relação .

Por isso podemos desprezar o trabalho longitudinal das lajes, de acordo com a terceira hipótese. A primeira hipótese permite reduzir o problema de distribuição da força externa F pelas vigas ao problema de uma viga infinitamente rígida sobre apoios elásticos.

3.1. LONGARINA EXTERNA

3.1.1. CARGAS PERMANENTES

g1 carga permanente devido ao peso próprio do conjunto (longarina + laje)

g1=1,00 x 25g1 = 27,75 KN/m

g2 carga permanente devido ao peso próprio da transversina

g2 = 27,35 KN/m

g3 carga permanente devido ao peso próprio do pavimento

g3 = 1,2 KN/m



12

12

g4 carga permanente devido ao peso próprio do guarda rodas

g4 = 8,17 KN/m

As cargas g3 e g4 são aplicadas após a construção da grelha, portanto deve ser considerado o efeito grelha na sua distribuição.

Devido à simetria transversal, o centro elástico está no centro da obra.

Figura 11 – Esquema Transversal do Centro Elástico.

onde:

ei posição da longarina em estudo em relação ao centro elástico (m);ej posição da carga em relação ao centro elástico (m);rij parcela da carga unitária aplicado em ej que vai para a longarina “i” em estudo;n número de longarinas.

Quando as longarinas são iguais:

Para a longarina externa (i=1):

r1j = 0,1303 - 0,06213 x ej

A posição da carga que não provoca reação na longarina externa é:

r1j = 0,1303 – 0,06213 x ej

0 = 0,1303 – 0,06213 x ej

ej = 2,097 m



13

13

Figura 12 – Linha de Influência da Transversina – Carga em L1.

g = g4 * [r1j (-8,1+0,196)+r1j (8,1-0,196)] + g3 * [r1j(-8,1+0,50) x (8,1 + 2,097 – 0,50)/2] + g2 [r1j (8,1-0,50) x (8,1 – 2,097 – 0,50)/2] =8,17 x (0,6214 – 0,3608) + 1,2 x [ 0,6025 x (9,697)/2 – 0,3412 x (5,503)/2 ] =2,13 + 2,38

g TOTAL=4,51 kN/m

ESQUEMA LONGITUDINAL DAS CARGAS PERMANENTES

Figura 13 – Carregamento na Longarina Externa.

3.1.2. AÇÕES VARIÁVEIS (TREM TIPO 45)

Cálculo do fator de impacto:Ω = 1,4 – 0,007 x 40

Ω = 1,42 > 1 OK!

Quando o vão for maior ou igual a 30m, permite-se o uso do trem tipo homogeneizado que corresponde ao TT-45 com a carga distribuída de 5KN/m² também sobre o veículo, subtraindo-se das rodas o acréscimo de carga correspondente, ou seja:



14

14

Novo valor da carga na roda:

onde:c carga sobre o veículon número de rodas

Trem Tipo Positivo

Figura 14 – Seção com Carregamento no Eixo do Veículo.

Figura 15 – Seção com Carregamento Fora do Veículo.

Trem Tipo Negativo

Figura 16 – Seção com Carregamento no Eixo do Veículo.



15

15

Figura 17 – Seção com Carregamento Fora do Veículo.

As cargas geradas pelo trem tipo positivo na longarina externa são:

Q carga das rodas na longarina em estudo

Q = 75 x x [ r1(-8,1 + 0,50 + 0,25) + r1(-8,1 + 0,50 + 0,25 + 0,50)]Q = 75 x 1,42 x (0,587+ 0,5559)Q = 121,72 KN

q1 carregamento distribuído da seção do eixo do veículo na longarina em estudo

q1 = 10,64 KN/m

q2 carregamento distribuído da seção fora do veículo na longarina em estudo

q2 = 20,74 KN/m

Figura 18 – Seção com Trem Tipo Positivo Homogeneizado.

As cargas geradas pelo trem tipo negativo na longarina extrema são:

Q carga das rodas na longarina em estudo



16

16

Q = 75 x x [ r1(8,1 – 0,50 – 0,25) + r1(8,1 – 0,50 – 0,25 – 2,0)]Q = - 56,29 KN

q1 carregamento distribuído da seção do veículo na longarina em estudo

q1 = - 1,67 KN/m

q2 carregamento distribuído da seção fora do veículo na longarina em estudo

q2 = - 7,29 KN/m

Figura 19 – Seção com Trem Tipo Negativo Homogeneizado.

4. LINHAS DE INFLUÊNCIA

4.1. MOMENTO FLETOR

Cálculo da linha de influência para momento fletor:

Supondo uma divisão da longarina em 10 trechos iguais, pode-se calcular a linha de influência para as diferentes seções apenas substituindo valores nas equações.

SEÇÃO 0 = SEÇÃO 10



17

17

c = 0c’=40

Para qualquer posição da carga: MS = 0


c = 4,0mc’= 36,0m

Figura 19 – Linha de Influência de Momentos Para a Seção 1.


c= 8,0mc’= 32,0m



c = 12,0mc’= 28,0m





18

18

c = 16,0mc’= 24,0m


SEÇÃO 5

c = 20,0mc’= 20,0m


4.2. FORÇA CORTANTE

Cálculo da linha de influência para força cortante:

Supondo uma divisão da longarina em 10 trechos iguais, pode-se calcular a linha de influência para as diferentes seções apenas substituindo valores nas equações.

e com P=1kN


c = 0 mc’= 40m

c=0m



19

19

c’=40/40=1,0m

Quando a carga está em x=0: VS = + 1 KN

Quando a carga está em x = L: VS = 0

Figura 24 – Linha de Influência de Cortantes Para a Seção 0.


c = 4,0mc’= 40,0m

c=-4/40=-0,1m c’=+36/40=0,9m



c= 8,0mc’= 40,0m

c=-8/40=-0,2m c’=+32/40=0,8m



c = 12,0mc’= 28,0m

c=-12/40=-0,3m c’=+28/40=0,7m



20

20



c = 16,0mc’= 24,0m

c=-16/40=-0,4 mc’=+24/40=0,6 m


SEÇÃO 5

c = 20mc’=20m

Vs=-20/40=-0,5kN e Vs=+20/40=0,5 kN



4.3.1. CARGAS PERMANENTES

Figura 30 – Carregamento na Longarina Externa.



21

21

MOMENTO FLETOR

distânciax (m) Seção Cálculo Mg

(KN x m)0 0 0,00 0,004 1 (697,445-27,35)*4 – 32,26*4*4/2= 2422,308 2 (697,445-27,35)*8 – 32,26*8*8/2= 4328,44

12 3 (697,445-27,35)*12 – 27,35*(12-9,75) – 32,26*12*12/2= 5656,8816 4 (697,445-27,35)*16 – 27,35*(16-9,75) – 32,26*16*16/2= 6421,3020 5 (697,445-27,35)*20 – 27,35*(20-9,75) – 32,26*20*20/2= 6669,56

FORÇA CORTANTE

distânciax (m) seção Cálculo Vg

(KN)0 0 (697,445 - 27,35)= 670,14 1 670,1– 32,26*4= 541,068 2 541,06 – 32,26*4= 412,02

12 3 (412,02 - 27,35) – 32,26*4= 255,6316 4 255,63 – 32,26*4= 126,5920 5 126,59 – 32,26*4= 0,00

4.3.2. CARGAS VARIÁVEIS

Temos uma observação importante para analise do momento fletor, sendo que, é mais desfavorável locar dois eixos do veiculo na reta de menor coeficiente angular, ou um eixo de cada lado da ordenada máxima.

Temos uma observação importante para analise da força cortante, para descobrir a maior força cortante, é necessário fazer a comparação entre a carga TT negativo com a LI negativa e a carga TT positiva com LI positiva.

A) SEÇÃO 0

MOMENTO FLETOR

As cargas variáveis, em quaisquer posições, não geram momentos fletores nessa seção, portanto:

MQ + = 0 KN x m

Mq + = 0 KN x m

MQ – = 0 KN x mMq – = 0 KN x m

FORÇA CORTANTE

Vq + = Vq + = 414,8 KN

VQ + = 97,38 x (1 + 0,95 + 0,9) VQ

+ = 277,53 KN



22

22

Vq – = Vq – = - 145,8 KN

VQ – = - 45,03 x (1 + 0,95 + 0,9) VQ

– = - 128,34 KN

B) SEÇÃO 1 = SEÇÃO 9

MOMENTO FLETOR

MQ + = 97,28 x (3,6 + 3,45 + 2,25) MQ

+ = 904,70 KN x m (devido à carga concentrada)

Mq + = Mq + = 1493,28 KN x m (devido à carga distribuída)

MQ – = - 45,03 x (3,6 + 3,45 + 2,25) MQ – = - 418,78 KN x m (devido à carga concentrada)

Mq – = Mq

– = - 524,88 KN x m (devido à carga distribuída)

FORÇA CORTANTE

Vq + = - Vq + = 337,45 KN

VQ1 + = 97,38 x (0,9 + 0,85 + 0,8) VQ1

+ = 248,319 KN (adota-se esse, pois é o maior!)

VQ2 + = - 45,03 x (- 0,1 - 0,05 - 0,0) VQ2

+ = 6,75 KN

Vq – = Vq – = - 122,25 KN

VQ1 – = - 45,03 x (0,9 + 0,85 + 0,8) VQ1

– = - 114,83 KN (adota-se esse, pois é o menor!)

VQ2 – = 97,38 x (-0,1 - 0,05 – 0,0) VQ2

– = - 14,61 KN

C) SEÇÃO 2 = SEÇÃO 8

MOMENTO FLETOR

MQ + = 97,38 x(6,4 + 5,2 + 6,1) MQ

+ = 1723,63 KN x m (devido a carga concentrada)

Mq + = Mq

+ = 2654,72 KN x m (devido a carga distribuída)

MQ – = - 45,03 x (6,4 + 5,2 + 6,1) MQ

– = - 797,03 KN x m (devido à carga concentrada)

Mq – = Mq


FORÇA CORTANTE



23

23

Vq + = - Vq + = 271,3 KN

VQ1 + = 97,38 x (0,8 + 0,75 + 0,7) VQ1


VQ2 + = - 45,03 x (- 0,2 - 0,15 - 0,1) VQ2

+ =20,26 KN

Vq – = Vq – = - 109,9 KN

VQ1 – = - 45,03 x (0,8 + 0,75 + 0,7) VQ1


VQ2 – = 97,38 x (-0,2 - 0,15 – 0,1) VQ2

– = - 43,82 KN

D) SEÇÃO 3 = SEÇÃO 7

MOMENTO FLETOR

MQ + = 97,38 x (8,4 + 7,35 + 7,95) MQ


Mq + = Mq


MQ – = - 45,03 x (8,4 + 7,35 + 7,95) MQ

– = - 1067,21 KN x m (devido à carga

concentrada)

Mq – = Mq


FORÇA CORTANTE

Vq + = - Vq + = 216,37 KN

VQ1 + = 97,38 x (0,7 + 0,65 + 0,6) VQ1


VQ2 + = - 45,03 x (- 0,3 - 0,25 - 0,2) VQ2

+ = 33,77 KN

Vq – = Vq – = - 108,77 KN

VQ1 – = - 45,03 x (0,7 + 0,65 + 0,6) VQ1

– = - 87,81 KN

VQ2 – = 97,38 x (-0,3 - 0,25 – 0,2) VQ2


E) SEÇÃO 4 = SEÇÃO 6

MOMENTO FLETOR



24

24

MQ + = 97,38 x (9,6 + 9 + 8,7) MQ


Mq + = Mq


MQ – = - 45,03 x (9,6 + 9 + 8,7) MQ


Mq – = Mq


FORÇA CORTANTE

Vq + = - Vq + = 172,66 KN

VQ1 + = 97,38 x (0,6 + 0,55 + 0,5) VQ1


VQ2 + = - 45,03 x (- 0,4 - 0,35 - 0,3) VQ2

+ = 47,28 KN

Vq – = Vq – = - 118,86 KN

VQ1 – = - 45,03 x (0,6 + 0,55 + 0,5) VQ1

– = - 74,3 KN

VQ2 – = 97,38 x (-0,4 - 0,35 – 0,3) VQ2


F) SEÇÃO 5

MOMENTO FLETOR

MQ + = 97,38 x (10 + 9,25 + 9,25) MQ


Mq + = Mq

+ = 4148 KN x m (devido a carga distribuída)

MQ – = - 45,03 x (10 + 9,25 + 9,25) MQ


Mq – = Mq

– = - 1458 KN x m (devido à carga distribuída)

FORÇA CORTANTE

Vq + = - Vq + = 140,15 KN

VQ1 + = 97,38 x (0,5 + 0,45 + 0,4) VQ1


VQ2 + = - 45,03 x (- 0,5 - 0,45 - 0,4) VQ2

+ = 60,79 KN



25

25

Vq – = Vq – = - 140,15 KN

VQ1 – = - 45,03 x (0,5 + 0,45 + 0,4) VQ1

– = - 60,79 KN

VQ2 – = 97,38 x (-0,5 - 0,45 – 0,4) VQ2


4.3.3. RESUMO DA LONGARINA EXTERNA

RESUMO DOS MOMENTOS FLETORES

distânciaSeção

Mg MQ + Mq + MQ

– Mq –

x(m) (KN x m) (KN x m) (KN x m) (KN x m) (KN x m)

0 0 0 0 0 0 04 1 2422,30 904,70 1493,28 -418,78 -524,888 2 4328,44 1723,63 2654,72 -797,03 -933,1212 3 5656,88 2307,91 3484,32 -1067,21 -1224,7216 4 6421,30 2658,47 3982,08 -1229,32 -1339,6820 5 6669,56 2775,33 4148,00 -1283,60 -1458,00

RESUMO DAS FORÇAS CORTANTES

distânciaSeção

Vg VQ + Vq + VQ

– Vq –

x(m) (KN) (KN) (KN) (KN) (KN)

0 0 670,10 277,53 414,80 -128,34 -145,804 1 541,06 248,32 337,45 -114,83 -122,258 2 412,02 219,11 271,30 -101,32 -109,9012 3 255,63 189,89 216,37 -87,81 -108,7716 4 126,59 160,68 172,66 -102,25 -118,8620 5 0,00 131,46 140,15 -131,46 -140,15

5. ENVOLTÓRIAS


5.1.1. MOMENTOS FLETORES

Tabela – Momentos máximos e mínimos para a longarina extrema

DistânciaSeção

MMAX (KN x m) MMIN (KN x m)

x (m) (Mg + MQ + + Mq +) (Mg + MQ

- + Mq -)



26

26

0 0 0,00 04 1 4820,28 1478,648 2 8706,79 2598,2912 3 11449,11 3364,9516 4 13061,85 3852,320 5 13592,89 3927,96

ENVOLTÓRIA DE MOMENTOS PARA A LONGARINA EXTREMA NA SEÇÃO

5.1.2. FORÇAS CORTANTES

Tabela – Forças cortantes máximas e mínimas para a longarina extrema

distânciaSeção

VMAX (KN) VMIN (KN)

x (m) (Vg + VQ + + Vq +) (Vg + VQ

- + Vq -)

0 0 1362,43 395,964 1 1126,83 303,988 2 902,43 200,812 3 661,89 59,0516 4 459,93 -94,5220 5 271,61 -271,6124 6 94,52 -459,9328 7 -59,05 -661,8932 8 -200,80 -902,4336 9 -303,98 -1126,83



27

27

40 10 -395,96 -1362,43

ENVOLTÓRIA DE FORÇAS CORTANTES PARA A LONGARINA EXTREMA


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Projeto 1a Etapa _ TRABALHO DE PONTES