PPRROOFF.. AANNTTÔÔNNIIOO CCEERRQQUUEEIIRRAA

2

SSUUMMÁÁRRIIOO

CCAAPPÍÍTTUULLOO II –– CCOONNSSIIDDEERRAAÇÇÕÕEESS GGEERRAAIISS II.1 – Fundamentos Teóricos II.2 – Equivalência do Valor do Dinheiro no Tempo II.3 – A Análise Econômica II.4 – O Processo de Tomada de Decisão II.5 – Aplicação Prática

CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII -- MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA FFIINNAANNCCEEIIRRAA II.1 – Juros II.2 – Taxa de Juros II.3 – Diagrama do Fluxo de Caixa II.4 – Regras Básicas II.5 – Regime de Capitalização de Juros II.6 – Aplicações Práticas dos Juros Simples e Compostos II.7 – Capitalização Contínua e Descontínua II.8 – Fórmula de Juros Simples II.9 – Montante e Capital II.10 – Taxa Equivalente e Taxa Proporcional II.11 – Juros Exatos e Juros Comerciais II.12 – Equivalência Financeira II.13 – Exercícios Resolvidos II.14 – Exercícios Propostos II.15 – Respostas dos Exercícios Propostos de Juros Simples II.16 – Juros Compostos II.17 – Fórmulas de Juros Compostos II.18 – Taxas Equivalentes

II.19 – Exercícios Propostos II.20 – Respostas dos Exercícios Propostos de Juros Compostos

CCAAPPÍÍTTUULLOO IIIIII -- AANNÁÁLLIISSEE DDEE AALLTTEERRNNAATTIIVVAASS DDEE IINNVVEESSTTIIMMEENNTTOOSS III.1 - Generalidades III.2 - Taxa Mínima de Atratividade III.3 - Critérios Econômicos de Decisão III.4 - Circunstâncias Específicas III.5 - Problemas Propostos

CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV –– DDEEPPRREECCIIAAÇÇÃÃOO DDOO AATTIIVVOO IIMMOOBBIILLIIZZAADDOO IV.1 – O Ativo Imobilizado IV.2 – Métodos de Depreciação

CCAAPPÍÍTTUULLOO VV -- FFIINNAANNCCIIAAMMEENNTTOOSS VI.1 - Amortização de Dívidas VI.2 - Exercícios Propostos CCAAPPÍÍTTUULLOO VVII -- AANNÁÁLLIISSEE DDEE SSEENNSSIIBBIILLIIDDAADDEE

CCAAPPÍÍTTUULLOO VVIIII -- AANNÁÁLLIISSEE DDAA VVIIAABBIILLIIDDAADDEE EECCOONNÔÔMMIICCAA DDEE UUMM PPRROOJJEETTOO IINNDDUUSSTTRRIIAALL

BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFIIAA

3

CCAAPPÍÍTTUULLOO II

CCOONNSSIIDDEERRAAÇÇÕÕEESS GGEERRAAIISS

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II..11 –– HHIISSTTÓÓRRIICCOO

Os estudos sobre engenharia econômica têm suas origens nos Estados Unidos, em 1887, quando Arthur Wellington publicou seu livro The Economic Theory of Railway Location, texto que sintetizava análise de viabilidade econômica para ferrovias. Wellington, que era engenheiro civil, ponderava que devia utilizar-se o método de análise de custo capitalizado para selecionar o traçado e as curvaturas das vias férreas.

Na década de 20, J. C. L. Fish e 0. B. Coldman estabeleceram algumas metodologias de análise de investimento em estruturas de engenharia sob a perspectiva da matemática atuarial. Coldman, no livro titulado Financial Engineering, propôs um método analítico baseado em juros compostos para determinar valores comparativos. Os limites da clássica engenharia econômica foram traçados, em 1930, por Eugene L. Grant, no livro Principles of Engineering Economy, onde são estabelecidos os tradicionais critérios de comparação e de avaliação de investimentos.

Antes da segunda guerra mundial, os bancos e bolsas de valores dos paises eram as únicas instituições que utilizavam termos como juros, capitalização, amortização. A partir dos anos 50, com o rápido crescimento industrial, termos financeiros e bancários passam a ser incorporados no âmbito industrial e particularmente na área produtiva das empresas. Os novos industriais se depararam com a necessidade da aplicação de técnicas de análise econômica em suas empresas, criando um ambiente de tomada de decisões voltado à escolha da melhor alternativa.

À medida que o processo industrial se tornava mais complexo, as técnicas se adaptaram e se tornaram mais especificas, para tanto, a engenharia econômica ou a análise econômica na engenharia foi também se evoluindo. Pesquisas modernas, refletindo a preocupação mundial pela conservação dos recursos e da aplicação eficaz de dinheiro público, ampliaram as fronteiras da engenharia econômica, incorporando aos métodos de avaliação tradicionais, novos critérios para a avaliação do risco, da sensibilidade, de fatores intangíveis etc.

Ao longo de 120 anos, a engenharia econômica foi sendo aprimorada e aplicada em inúmeras outras áreas além da engenharia, contudo, esta terminologia foi conservada pelo fato de que grande parte dos problemas de alocação de recursos depende de informações técnicas e em geral de decisões, que são tomadas por engenheiros ou por administradores, que agem com base nos fundamentos da engenharia.

II..22 –– DDEEFFIINNIIÇÇÃÃOO EE PPRRNNCCÍÍPPIIOOSS BBÁÁSSIICCOOSS A engenharia econômica é definida como a aplicação da análise e síntese econômica ou matemática às decisões de engenharia ou um corpo de conhecimentos e técnicas envolvidas na avaliação do valor de mercadorias e serviços relativamente ao custo e nos métodos de estimar os dados. É importante para todos que precisam decidir sobre propostas tecnicamente corretas. Seus fundamentos podem ser utilizados tanto para empresas privadas como estatais. Todo o fundamento da engenharia econômica se baseia na matemática financeira, que se preocupa com o valor do dinheiro no tempo.

Podem-se citar como exemplos de aplicação:

transporte de materiais manualmente ou por meio de correia transportadora;

substituição de equipamentos obsoletos;

comprar veículo a prazo ou à vista;

realizar serviços diretamente ou terceirizá-los. Para fazer um estudo econômico adequado alguns princípios básicos devem ser considerados, sendo os seguintes: a) alternativas de investimentos. É infrutífero calcular se é vantajoso comprar um carro à vista se não há condições de conseguir dinheiro para tal;

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b) alternativas expressas em valores monetários. Não é possível comparar 300 horas mensais de mão de obra com 500 kwh de energia. Convertendo os dados em termos monetários, tem-se um denominador comum muito prático. Entretanto, alguns dados são difíceis de serem expressos em valores monetários. Exemplos: boa vontade de um fornecedor, imagem da empresa no mercado. São os chamados intangíveis; c) apenas as diferenças são relevantes. Numa análise para decidir sobre o tipo de motor a comprar, não interessa se o consumo de energia dos mesmos for igual; d) juros sobre o capital empregado. Sempre existem oportunidades de emprego de dinheiro em outras atividades, quer sejam produtivas quer sejam especulativas. Ao se aplicar um capital em um projeto devemos ter certeza de ser esta a maneira mais rentável de utilizá-lo; e) nos estudos econômicos, o passado geralmente não é considerado; interessa-nos o presente e o futuro. A afirmação: não posso vender este carro por menos de R$ 10.000,00, porque gastei isto com ele em oficina, não faz sentido. O que normalmente interessa é o valor de mercado do carro. Os critérios de aprovação de um projeto são os seguintes: • critérios financeiros: disponibilidade de recursos; • critérios econômicos: rentabilidade do investimento; • critérios imponderáveis: fatores não convertidos em dinheiro.

Nos problemas de engenharia econômica considera-se que todos os pagamentos ou séries de pagamentos futuros que reembolsem uma quantia presente com juros são equivalentes entre si. É, assim, possível comparar alternativas de investimento com diferentes séries prospectivas de receitas e despesas utilizando os métodos do valor anual equivalente, valor presente, taxa de rendimento e/ou análise benefício-custo. Estes métodos, quando utilizados correctamente, permitem chegar a conclusões idênticas. II..33 –– FFUUNNDDAAMMEENNTTOOSS TTEEÓÓRRIICCOOSS Os fundamentos da engenharia econômica são um conjunto de princípios ou conceitos que formam uma base sólida para o desenvolvimento, estudo e aplicação da disciplina. São eles:

1. reconhecer e definir alternativas. As decisões são entre alternativas; é desejável que as alternativas sejam definidas claramente e que os méritos de todas as alternativas apropriadas sejam avaliados;

2. a necessidade de considerar as consequências. As decisões devem ser baseadas nas

consequências esperadas das várias alternativas. Todas essas consequências ocorrerão no futuro;

3. a questão crítica das consequências para quem. Antes de estabelecer procedimentos

para formulação de projetos e avaliação de projetos, é essencial decidir qual o ponto de vista a ser adaptado;

4. comensurabilidade. Ao comparar alternativas, é desejável fazer as consequências

comensuráveis entre si, tanto quanto seja praticável. Isto é, as consequências de um investimento devem ser expressas em números e as mesmas unidades devem aplicar-se a todos os números. Em decisões económicas, as unidades monetárias são as únicas que satisfazem as especificações dadas acima;

5. irrelevância de aspectos comuns a todas as alternativas. Só as diferenças entre

alternativas são relevantes na sua comparação;

6. separação das decisões. Na medida do possível, decisões separáveis devem ser feitas separadamente;

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7. necessidade de critérios de decisão. É desejável ter um critério para a tomada de

decisão ou possivelmente vários critérios;

8. escolha do critério principal. O critério principal a ser aplicado numa escolha entre investimentos propostos alternativos em bens corpóreos deve ser selecionado com o objetivo de fazer o melhor uso de recursos limitados;

9. critérios secundários aplicados às consequências expressas em termos monetários.

Até mesmo as estimativas mais cuidadosas das consequências monetárias da escolha de alternativas diferentes podem revelar-se incorrectas. É muitas vezes útil, a um decisor, fazer uso de critérios secundários que reflectem, de alguma forma, a falta de certeza associada a todas as estimativas do futuro;

10. dados irredutíveis do problema do investimento. As decisões entre alternativas de

investimento devem dar peso a quaisquer diferenças esperadas nas consequências que não tenham sido reduzidas a termos monetários, assim como nas consequências que tenham sido expressas em termos monetários;

11. a necessidade de um ponto de vista sistêmico. Muitas vezes, há efeitos secundários

que tendem a ser menosprezados quando são tomadas decisões individuais. Para considerar esses efeitos secundários, adequadamente, pode ser necessário examinar as inter-relações entre um número de decisões, antes de poder ser tomada qualquer das decisões individuais.

Os outros dois princípios, sugeridos por DeGarmo et al., são:

tornar explícito o risco e/ou incerteza. O risco e/ou incerteza são inerentes à projeção (ou estimativa) de valores futuros e devem ser reconhecidos na análise e comparação das alternativas;

avaliar as decisões. A melhoria na tomada de decisões resulta de um processo adaptativo; na medida do possível, os valores inicialmente previstos para a alternativa selecionada e os resultados realmente alcançados devem ser comparados, subsequentemente.

II..44 –– EEQQUUIIVVAALLÊÊNNCCIIAA DDOO VVAALLOORR DDOO DDIINNHHEEIIRROO NNOO TTEEMMPPOO

Em estudos, seja para fins de avaliações econômicas ou avaliações financeiras de empreendimentos, seja para a análise de resultados ou indicadores históricos de investimentos, é comum se lidar com valores financeiros relacionados a épocas ou períodos diferentes. A capacidade que o dinheiro tem de gerar rendimento com o transcurso do tempo faz com que um mesma cifra, em valor nominal, tenha diferentes valores em relação ao tempo a que se refere o que realmente descreve o conceito do Valor do Dinheiro no Tempo. O dinheiro, como qualquer outro bem, tem um valor intrínseco e seu valor sofre variação em função da variação (maior/menor) da oportunidade (compra/rendimento) gerada em função do tempo.

Uma pessoa pode possuir uma casa ou trocar este bem por dinheiro ou possuir um veículo ou vendê-lo para, em troca, receber o valor em dinheiro. Por outro lado, se a pessoa não possui uma casa e necessita de uma, é obrigada a recorrer ao aluguel, pagando por este uso. Se não possui um automóvel e necessita de um, deve pagar por esta locação, não importando se é por meia hora, como no caso de táxi, ou por um dia ou um mês. Do mesmo modo, se alguém não possui dinheiro e necessita dele, deve pagar certa quantidade para obtê-lo. Em geral, todo bem com valor intrínseco exige um pagamento pelo seu uso. Por outro lado, se bens com valores intrínsecos não são utilizados, nada se ganha com eles, seria o mesmo que ter um táxi na garagem ou guardar dinheiro sob o colchão.

A capacidade de valorização do dinheiro com o tempo só existe quando em plena atividade, é o caso de uma operação de empréstimo: quem recebe dinheiro de empréstimo paga ao final de um

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determinado prazo uma quantidade de dinheiro maior que o valor emprestado. O incremento que é pago ao dono do dinheiro é chamado de juros e traduz o conceito de Valor do Dinheiro no Tempo.

O conceito de Valor do Dinheiro no Tempo muitas vezes e isoladamente exemplificado por meio do fenômeno inflacionário, embora o que realmente ocorre nesta situação é o fenômeno da “ilusão monetária”, efeito tanto maior quanto maior o país padece da inflação.

A inflação é um fenômeno econômico que consiste na perda de poder aquisitivo do dinheiro com o passar do tempo, em decorrência da elevação do nível geral de preço no mercado interno. Portanto, o dinheiro se desvaloriza com a inflação. Nenhum país está imune ao fenômeno da inflação, diz-se que este valor é baixo quando se encontra entre 2 a 5 % ao ano, como ocorre nos paises desenvolvidos, porém, chega a atingir patamares acima de 1.000% anuais, como vivenciados pelo Brasil na década de 90. A Tabela 1 mostra a variação inflacionária no Brasil desde 1980 até os dias atuais.

Tabela 1 Inflação anual no Brasil – Variação do IGP-DI (Índice Geral de Preços - Disponibilidade Interna)

ANO INFLAÇÃO (%) ANO INFLAÇÃO (%) ANO INFLAÇÃO (%)

1980 110,25 1991 480,17 2002 26,41

1981 95,20 1992 1.157,84 2003 7,67

1982 99,71 1993 2.708,39 2004 12,13

1983 210,98 1994 909,67 2005 1,22

1984 223,81 1995 14,77 2006 3,79

1985 235,13 1996 9,33 2007 7,89

1986 65,04 1997 7,48 2008 9,10

1987 415,87 1998 1,71 2009 - 1,43

1988 1.037,53 1999 19,99 2010 11,30

1989 1.782,85 2000 9,80 2011 5,01

1990 1.476,71 2001 10,40 2012 8,11 Fonte: Fundação Getúlio Vargas (FGV)

Vale ressaltar que independente da inflação, o dinheiro pode se valorizar através do tempo, caso a remuneração cobrada pelo uso do dinheiro seja menor que a perda de seu valor aquisitivo em decorrência da inflação. Significa que a perda total do investidor inclui a diferença entre a remuneração recebida e a desvalorização do dinheiro, mais a valorização real pretendida na operação de empréstimo. Com técnicas analíticas adequadas se pode comparar o poder aquisitivo do dinheiro em determinados instantes de tempo, esta é a ajuda que a Engenharia Econômica fornece aos administradores de negócios. II..55 –– AA AANNÁÁLLIISSEE EECCOONNÔÔMMIICCAA Que tipo de problema pode ser resolvido na engenharia econômica?

1. Suficientemente importante, justificando um estudo e esforços sérios; 2. não pode ser resolvido de forma simplória, isto é, exige uma análise cuidadosa, de forma

que seja organizado e que sejam estudadas as consequências;

3. têm aspectos econômicos suficientemente importantes, que constituem um componente significativo da análise com vistas à tomada de decisão.

Quando o problema apresenta essas três características, a engenharia econômica é uma técnica apropriada na busca de uma solução.

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II..66 –– OO PPRROOCCEESSSSOO DDEE TTOOMMAADDAA DDEE DDEECCIISSÃÃOO A tomada racional de decisão é um processo complexo, que envolve vários elementos essenciais, tais como: a) reconhecimento de um problema – é o ponto de partida de qualquer tentiva consciente de tomar uma decisão racional. Somente após o reconhecimento do problema poderemos, de maneira lógica, iniciar o processo para a sua resolução. Exemplos: peixeis com acetuadas concentrações de mercúrio; um aciente de automóvel; um cheque sem cobertura; um motor queimado; um estoque de peças esgotado; b) definição do objetivo – todo problema é uma situação que nos impede de atingirmos objetivos previamente determinados. Exemplos: lucro de uma empresa; saldar o empréstimo da compra de um carro; aumentar a produção no próximo mês. A definição de um objetivo é o ato de descrevê-lo exatamente; c) coleta de dados relevantes – para tomar-se um decisão, é fundamental a qualidade da informação a respeito. Exemplos: existem informações publicadas. Todavia, há enorme quantidade de informação não escrita em lugar algum (experiências pessoais). Ainda há informações que permanecem não coletadas; quantas pessoas estariam interessadas em comprar um par de tesouras para canhoto? Seria necessária uma pesquisa de mercado ou outro tipo de coleta de dados para ober-se a informação desejada. Uma fonte importante de dados costuma ser o conjunto de registros contábeis da própria companhia, especialmente os custos e os benefícios. Algumas das formas mais fácieis de decisão em engeharia se relacionam com problemas de projetos, métoddos ou materiais alternados. Coomo os resultaados ocorrem dentro de um prazo bastante curto, podemos rapidamente adicionar os custos e benefícios de cada alterntiva. Então, adotando o critério econômico adequado, pode-se identificar a melhor alternativa.

II..77 –– AAPPLLIICCAAÇÇÃÃOO PPRRÁÁTTIICCAA 1. Os registros contábeis de uma grande companhia acusam os seguintes custos médios mensais do seu departamento de impressão, constituído de três funcionários:

Elemento de Despesa Valor (R$)

Mão de obra direta e salários 6.000,00

Material e suprimentos consumidos 7.000,00

Alocação de custos gerais indiretos (200 m2 de área a R$ 25,00/m

2) 5.000,00

Soma 18.000,00

O departamento de impressa debita seus serviços aos outros departamentos, a fim de recuperar seu custo mensal de R$ 18.000,00. Por exemplo, para imprimir 1.000 cópias de um anúncio, o débito é:

Elemento de Despesa Valor (R$)

Mão de obra direta e salários 7,60

Material e suprimentos consumidos 9,80

Alocação de custos gerais indiretos (200 m2 de área a R$ 25,00/m

2) 9,05

Soma 26,45

O departamento de expedição consulta uma gráfica comercial e verifica que pode obter as 1.000 cópias impressas por R$ 22,95. Embora o departamento de expedição necessite de apenas 30.000 cópias por mês, resolve dispensar o serviço do departamento de impressão e imprimir as cópias na gráfica externa. O departamento de impressão objeta. Como reusltado, o gerente geral determiina que um funionário estude a situação e recomende o que deve ser feito. Solução:

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Componente Departamento de Impressão Gráfica Externa

1.000 cópias 30.000 cópias 1.000 cópias 30.000 cópias

Mão de obra direta e salários 7,60 228,00 - -

Material e suprimentos 9,80 294,00 - -

Custos gerais indiretos (200 m2 a 25,00/m

2) 9,05 271,50 - -

Soma (R$) 26,45 793,50 22,95 688,50

Utilizando os serviços da gráfica externa, o departamento de expedição reduziria seu custo de R$ 793,50 para R$ 688,50. Nesse caso, de quanto seria a redução dos custos do departamento de impressão? Examinaremos cada um dos componentes de custo: . mão de obra direta – R$ 228,00 – não há redução; . materiais e suprimentos – haveria uma economia de R$ 294,00;

. custos gerias indiretos – não haverá qualquer redução na quota mensal de R$ 5.000,00 do departamentos de impressão, pois não haverá redução do espaço físico.

A companhia economizará R$ 294,00 em materias e suprimentos e pode, ou não, economizar R$ 228,00 em mão de obra se o departamento de impressão deixar de trabalhar com o departamento de expedição. A economia máxima seria de 294,00 + R$ 228,00 = R$ 522,00. Mas se o departamento de expedição for autorizado a contratar seu trabalho de impressão com uma gráfica externa, a companhia deverá arcar com uma despesa mensal de R$ 688,50. A economia decorrente do departamento de impressão em não fazer o trabalho para o departamento de expedição não excederia a R$ 522,00, e, provavelmente, seria de apenas R$ 294,00. O resultado seria um aumento de custo para companhia. Por esta razão, o departamento de expedição deve ser aconcelhado a não contratar os serviços de uma gráfica externa. Vale ressalrtar que cópias externas levam ao conhecimento de pessoas estranhas, documentos sigilosos da companhia. 2. Um agregado de concreto deve conter ao menos 31% de areia por volume para uma composição adequada. Um tipo de material, que apresenta 25% de areia e 75% de agregado bruto, é vendido a R$ 3,00/m

3. Outro tipo, que tem 40% de areia e 60% de agregado, é vendido a R$ 4,40 o

metro cúbico.

Determinar o custo mínimo, por metro cúbico, da amostra dos dois agregados.

Solução: O custo mínimo da nistura dis dius agregados resulta da utilização máxima do materual de custo mais baixo. O material de custo mais elevado será usado para aumentar a proporção de ateria até o nível mínimo (31%) especificado. Seja X = parcela de agregado da fonte de R$ 3,00/ m

3

1 – X = parcela de agregado da fonte de R$ 4,40/ m3

Quantidade de areia:

X (0,25) + (1 –X) (0,40) = 0,31 0,25 X + 0,40 – 0,40 X = 0,31 0,25 X – 0,40 X = 0,31 – 0,40 – 0,15 X = – 0,09 X = – 0,09/– 0,15 = 0,60 ↔ 60% Assim, os agregados misturados conterão: 60% de material de R$ 3,00/m

3 = R$ 1,80 m

3

40% de material de R$ 4,40/m3 = R$ 1,76 m

3

10

Portanto, o custo mínimo da mistura dos dois agregados será R$ 3,56 m3.

3. Uma peça de máquina pode ser fabricada ao custo unitário de R$ 0,40 de material e R$ 0,15 de mão de obra direta, exigindo um investimento de R$ 500.000,00 em maquinaria. Um pedido compreende três milhões de peças. A meio caminho da execução do pedido, pode-se introduzir um novo processo de fabricação que reduz os custos unitários para R$ 0,34 de material e R$ 0,10 de mão de obra direta – mais exigiria um equipamento adicional que custa R$ 100.000,00. Os custos indiretos equivalem a 2,5 o custo da mão de obra, em média. Pergunta-se: deve-se continuar a produção da peça pela alternativa A (continuar com o processo em vigor) ou passar para alternativa B (mudar o processo de fabricação)? Solução:

Custo Alternativa A (R$) Alternativa B (R$)

Maquinaria adicional 100.000,00

Material 1.500.000 peças x 0,40 = 600.000,00 1.500.000 peças x 0,34 = 510.000,00

Mão de obra direta 1.500.000 peças x 0,15 = 225.000,00 1.500.000 peças x 0,10 = 150.000,00

Outros custos 2,5 x 225.000 = 562.500,00 2,5 x 150.000 = 375.000,00

Para 1.500.000 peças 1.387.500,00 1.135.000,00

Antes de tomar uma decisão, devemos examinar devidamente os outros custos, para ver se eles, de fato, variam quando o custo da mão de obra varia. Supondo que isso ocorra, a decisão será mudar o processo de fabricação. 4. No planejamento de um armazém frigorífico, as especificações exigem uma transferência máxima de calor, através das paredes do armazém, de 30.000 joules/h/m

2 de parede, quando há uma

diferença de temperatura de 30 °C entre a superfície interna e a superfície externa de isolamento. Os dois materiais isolantes em estudo são:

Material Isolante

Custo por m2

(R$) Condutividade (j-m/m2°c– h)

Lã mineral

12,50

140

Espuma isolante

14,00

110

A equação básica da condução do calor através de uma parede é:

Q = k (∆t)

L Onde: Q = transferência de calor em j/h/m

2 de parede;

K = condutividade em j-m/m2-°c-h;

∆T = diferença de temperatura entre duas superfícies, em °C; L = espessura do material isolante, em metros. Qual material isolante deve ser escolhido? Solução: A resolução do problema comporta dois passos. Primeiro deve-se calcular a espessura exigida de cada um dos materiais. Em seguida, como o problema é uma questão de benefício fixado (a transferência de calor através da parede é limitada a uma quantidade fixa máxima), o critério consiste em minimizar a utilização de insumo (minimizar o custo).

Material Isolante

Espessura (m) Custo do isolamento (R$)

Lã mineral

140 (30) / 30.000 = 0,14

12,50 m3

x 0,14 m = 1,75 m2

Espuma isolante

110 (30) / 30.000 = 0,11

14,00 m3

x 0,11 m = 1,54 m2

Portanto, a espuma isolante é a alternativa mais barata.

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CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII

MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA FFIINNAANNCCEEIIRRAA

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A matemática financeira trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa, verificados em diferentes momentos. E pode-se iniciar o estudo sobre o tema com a seguinte frase:

“NÃO SE SOMAM OU SUBTRAEM QUANTIAS, EM DINHEIRO, QUE NÃO ESTEJAM NA MESMA DATA”. Embora esta afirmativa seja básica e simples, é absolutamente incrível como a maioria das pessoas esquece ou ignoram esta premissa. Uma palavra que é fundamental nos estudos sobre matemática financeira é juro. Cada um dos fatores de produção é remunerado de alguma forma. Como se podem entender, então, os juros são o que se paga pelo custo do capital, ou seja, o pagamento pela oportunidade de poder dispor de um capital durante determinado tempo.

FFIIGGUURRAA 11 –– FFAATTOORREESS EECCOONNÔÔMMIICCOOSS DDEE PPRROODDUUÇÇÃÃOO

A propósito estamos muito acostumados com "juros", lembrem-se dos seguintes casos: 1. compras a crédito; 2. cheques especiais; 3. prestação da casa própria; 4. desconto de duplicata; 5. Vendas a prazo; 6. Financiamentos de automóveis; 7. Empréstimos. Como se pode ver o termo é muito familiar se lembrarmos do nosso dia a dia. Podemos até não nos importar com a questão, mas a pergunta que se faz é o quanto pagamos por não considerarmos adequadamente a questão? E concluindo, nota-se a correspondência entre os termos "juros" e "tempo", que estão intimamente associados. A seguir será discutido o que são juros simples e juros compostos, além de outros pontos importantes em matemática financeira.

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IIII..11 –– JJUURROOSS Refere-se à remuneração de um valor (capital), que incide sobre o mesmo.

IIII..22 –– TTAAXXAASS DDEE JJUURROOSS As taxas de juros devem remunerar: a) o risco envolvido na operação; b) a perda do poder de compra (aquisitivo) motivada pela inflação; c) o capital emprestado/aplicado. As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo: mês, semestre, ano etc. Podem ser representadas por taxa percentual e taxa unitária. a) Taxa Percentual – refere-se aos “contos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital. Ex.: um capital de R$ 1.000,00, aplicado a uma taxa de 20% ao mês, renderá quando de juros, ao final deste período? juros = R$ 1.000,00 x 20 100 juros = R$ 10,00 x 20 = R$ 200,00 O capital de R$ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende 20, a remuneração total da aplicação no período é, portanto, de R$ 200,00. b) Taxa Unitária – centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de cada unidade de capital em certo período de tempo. Ex.: no exemplo anterior, a taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20 (20/100) por unidade de capital aplicada, ou seja: Juros = R$ 1.000,00 x 20 100 Juros = R$ 1.000,00 x 0,20 = R$ 200,00.

Taxa Percentual (%) Taxa Unitária

1,50 0,015

8,00 0,08

17,00 0,17

86,00 0,86

120,00 1,20

1.500,00 15,00

Na matemática financeira, todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros. Todavia, os resultados sempre são representados pela taxa percentual. IIII..33 –– DDIIAAGGRRAAMMAA DDOO FFLLUUXXOO DDEE CCAAIIXXAA Permite que se visualize no tempo, o que ocorre com o capital.

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Ex.: + + + + saída de caixa (-) (tempo)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

- A linha horizontal registra a escala do tempo, ou seja, o horizonte financeiro da operação. O ponto zero indica o momento inicial, e os demais pontos representam os períodos de tempo (datas). As setas acima da linha do tempo refletem as entradas (recebimentos) de dinheiro, e as setas para baixo da linha indicam saídas (ou aplicações) de dinheiro.

IIII..44 –– RREEGGRRAASS BBÁÁSSIICCAASS Nas fórmulas de matemática financeira, tanto a taxa de juros como o período de capitalização devem estar na mesma unidade de tempo. Ex.: juros de 2% ao mês e rendimentos creditados mensalmente. Se a aplicação foi efetuada pelo prazo de um mês, mas os juros definidos em taxa anual, não há coincidência nos prazos. Nesse caso é preciso que haja uma transformação de uma variável para a unidade da outra.

IIII..55 –– RREEGGIIMMEE DDEE CCAAPPIITTAALLIIZZAAÇÇÃÃOO DDEE JJUURROOSS

Simples = linear;

Composto = exponencial. Regime Simples – comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. Ex.: empréstimo de R$ 1.000,00, pelo prazo de cinco anos, pagando-se juros simples, à razão de 10% ao ano.

(R$)

Ano Saldo Inicial Juros

Saldo Devedor Crescimento Anual do

Saldo Devedor

Início 1° - - 1.000,00 -

Fim 1° 1.000,00 0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00 1.100,00 100,00

Fim 2° 1.100,00 0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00 1.200,00 100,00

Fim 3° 1.200,00 0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00 1.300,00 100,00

Fim 4° 1.300,00 0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00 1.400,00 100,00

Fim 5° 1.400,00 0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00 1.500,00 100,00

Regime Composto – equivale a uma progressão geométrica (PG), no qual os juros incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período correspondente (e não unicamente sobre o capital inicial). Ex.: admitindo-se no exemplo anterior a dívida de R$ 1.000,00, pelo prazo de cinco anos, pagando-se juros compostos, à taxa de 10% ao ano, temos:

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(R$)

Ano Saldo Inicial Juros Saldo Devedor ao Final de Cada Ano

Início 1° - - 1.000,00

Fim 1° 1.000,00 0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00 1.100,00

Fim 2° 1.100,00 0,10 x R$ 1.100,00 = R$ 110,00 1.210,00

Fim 3° 1.210,00 0,10 x R$ 1.210,00 = R$ 121,00 1.331,00

Fim 4° 1.331,00 0,10 x R$ 1.331,00 = R$ 133,10 1.464,10

Fim 5° 1.464,00 0,10 x R$ 1.464,10 = R$ 146,41 1.610,51

Diante dos resultados obtidos, pode-se elaborar um quadro comparativo dos regimes de capitalização apresentados:

(R$)

Ano

Capitalização Simples Capitalização Composta Diferença: composta-simples

Juros anuais

Saldo devedor

Juros anuais

Saldo devedor Juros anuais Saldo devedor

Início 1° - 1.000,00 - 1.000,00 - -

Fim 1° 100,00 1.100,00 100,00 1.100,00 - -

Fim 2° 100,00 1.200,00 110,00 1.210,00 10,00 10,00

Fim 3° 100,00 1.300,00 121,00 1.331,00 21,00 31,00

Fim 4° 100,00 1.400,00 133,10 1.464,10 33,10 64,10

Fim 5° 100,00 1.500,00 146,41 1.610,51 46,41 110,51

Representação Gráfica: R$ capitalização composta

(exponencial) capitalização simples

(linear) 150 140 130 120 110

0 1 2 3 4 5 Tempo (ano)

IIII..66 –– AAPPLLIICCAAÇÇÕÕEESS PPRRÁÁTTIICCAASS DDOOSS JJUURROOSS SSIIMMPPLLEESS EE CCOOMMPPOOSSTTOOSS Os juros simples têm aplicações práticas bastante limitadas. São raras as operações financeiras e comerciais segundo o regime de capitalização linear. O juros simples restringem-se principalmente às operações praticadas no âmbito do curto prazo. Tecnicamente mais correto por envolver a capitalização exponencial dos juros, o regime composto é reconhecidamente adotado por todo o mercado financeiro e de capitais.

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IIII..77 –– CCAAPPIITTAALLIIZZAAÇÇÃÃOO CCOONNTTÍÍNNUUAA EE DDEESSCCOONNTTÍÍNNUUAA Capitalização Contínua – se processa em intervalos de tempo bastante reduzidos. Pode ser estendida em todo fluxo monetário distribuído ao longo do tempo e não somente num único instante. Esse regime é pouco utilizado. Ex.: faturamento de um supermercado; depreciação de um equipamento etc. Capitalização Descontínua – os juros são formados somente ao final de cada período de capitalização. Esse regime é bastante generalizado. Ex.: caderneta de poupança.

IIII..88 –– FFÓÓRRMMUULLAA DDEE JJUURROOSS SSIIMMPPLLEESS

J = c . i . n j = juros expressos em unidades monetárias (R$); c = capital, expresso em unidades monetárias (R$); i = taxa de juros, expressa em forma percentual; n = prazo. Exemplo 1. Um capital de R$ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês, durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período. Solução: c = R$ 80.000,00 i = 2,5% ao mês = 0,025 n = 3 meses j = ? J = c . i . n J = 80.000 . 0,025 . 3 J = R$ 6.000,00 Exemplo 2. Um negociante tomou um empréstimo, pagando uma taxa de juros de 6% ao mês, durante 9 meses. Ao final deste período, calculou em R$ 270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo. Solução: i = 6% ao mês = 0,06 n = 9 meses j = R$ 270.000,00 c = ? J = c . i . n 270.000 = c . 0,06 . 9 0,54 c = 270.000 c = 270.000 / 0,54 c = R$ 500.000,00

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Exemplo 3. Um capital de R$ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses, produzindo um rendimento financeiro de R$ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecida por esta operação. Solução: c = R$ 40.000,00 n = 11 meses j = R$ 9.680,00 i = ? J = c . i . n 9.680 = 40.000 . i . 11 9.680 = 440.000 i i = 9.680 / 440.000 i = 0,022 = 2,2% ao mês. Exemplo 4. Uma aplicação de R$ 250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de R$ 27.000,00. Calcular o prazo de aplicação. Solução: c = R$ 250.000,00 i = 1,8% ao mês = 0,018 j = R$ 27.000,00 n = ? J = c . i . n 27.000 = 250.000 . 0,018 . n 27.000 = 4.500 n n = 27.000 / 4.500 n = 6 meses. IIII..99 –– MMOONNTTAANNTTEE EE CCAAPPIITTAALL Um determinado capital, quando aplicado à taxa periódica de juros por determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de montante, e identificado em juros simples por M. Em outras palavras, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é:

M = c + j (1) No entanto, sabe-se que:

J = c . i . n (2) Substituindo (2) em (1), temos:

M = c + c . i . n

M = c (1 + i . n)

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Exemplo 5. Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês, durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final do período. Solução: c = R$ 18.000,00 i = 1,5% ao mês = 0,015 n = 8 meses M = ? M = c (1 + i . n) M = 18.000 (1 + 0,015 . 8) M = 18.000 (1 + 0,12) M = 18.000 . 1,12 M = R$ 20.160,00. Exemplo 6. Uma dívida de R$ 900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% ao mês, caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida. Solução: M = R$ 900.000,00 n = 4 meses i = 7% ao mês = 0,07 c = ? M = c (1 + i . n) 900.000 = c (1 + 0,07 . 4) 900.000 = c (1 + 0,28) 900.000 = c . 1,28 c = 900.000 / 1,28 c = R$ 703.125,00.

IIII..1100 –– TTAAXXAA EEQQUUIIVVAALLEENNTTEE EE TTAAXXAA PPRROOPPOORRCCIIOONNAALL Toda operação envolve dois prazos: o que se refere à taxa de juros e o de capitalização (ocorrência) dos juros. Por exemplo: i = 24% ao ano. Se os encargos incidirem sobre o principal somente no final de cada ano, as taxas serão consideradas equivalentes. Portanto, as taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume de juros. Mas, em inúmeras outras operações estes prazos não são equivalentes. Os juros podem ser capitalizados em prazo inferior ao da taxa, devendo-se, nesta situação, ser rateado com o período de capitalização. Nesse caso, chama-se de taxa proporcional. Por exemplo: se uma operação tiver uma taxa de juros de 18% ao ano, com a capitalização feita mensalmente, o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês será: Taxa Proporcional = 18% / 12 = 1,5% ao mês. Por exemplo, em juros simples, um capital de R$ 500.000,00, se aplicado a 2,5% ao mês ou 15% ao semestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante de juro. Isto é:

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J (2,5% a.m.) = R$ 500.000,00 x 0,025 x 12 = R$ 150.000,00 J (15% a.s.) = R$ 500.000,00 x 0,15 x 2 = R$ 150.000,00 Os juros produzidos pelas duas taxas de juros são iguais, logo definidos como equivalentes. Exemplo 7. Calcular a taxa anual proporcional: a) 6% ao mês; b) 10% ao bimestre. Solução: a) i = 6% x 12 = 72% ao ano. b) i = 10% x 6 = 60% ao ano. Exemplo 8. Calcular a taxa de juros semestral proporcional: a) 60% ao ano; b) 9% ao trimestre. Solução: a) i = 60% / 12 x 6 = 30% a.s. b) i = 9% / 3 x 6 = 18% a.s. Exemplo 9. Demonstre se 36% ao ano é proporcional a 12% ao trimestre: Solução: 12/3 = 36/12 4 ‡ 3 (portanto, falso). Exemplo 10. Calcular o montante de um capital de R$ 600.000,00 aplicado à taxa de 2,3% ao mês pelo prazo de um ano e 5 meses. Solução: M = ? c = R$ 600.000,00 n = 1 ano e 5 meses (17 meses) i = 2,3 ao mês (0,023) M = c (1 + i . n) M = 600.000 (1 + 0,023 x 17) M = 600.000 (1 + 0,391) M = 600.000 . 1,391 M = R$ 834.600,00

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Exemplo 11. Uma dívida de R$ 30.000,00 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses antes. Para sua quitação antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente. Solução: M = R$ 30.000,00 n = 3 meses i = 15% ao ano (15% / 12 = 1,25% ao mês = 0,0125) c = ? M = c (1 + i . n) 30.000 = c (1 + 0,0125 x 3) 30.000 = c (1 + 0,0375) 30.000 = 1,0375 c c = 30.000 / 1,0375 = R$ 28.915,66

IIII..1111 –– JJUURROOSS EEXXAATTOOSS EE JJUURROOSS CCOOMMEERRCCIIAAIISS Os juros exatos referem-se ao calendário civil, ou seja, 365 dias. Os juros comerciais admitem o mês com 30 dias e, portanto, o ano com 360 dias. Por exemplo, 12% ao ano equivalem, pelos critérios enunciados, à taxa diária de: a) juros exatos = 12% / 365 dias = 0,032877% ao dia; b) juros comerciais = 12% / 360 dias = 0,033333% ao dia. Portanto, o juros comerciais diários são ligeiramente superiores aos juros exatos, devido ao menor número de dias considerado no intervalo de tempo.

IIII..1122 –– EEQQUUIIVVAALLÊÊNNCCIIAA FFIINNAANNCCEEIIRRAA O problema da equivalência financeira constitui-se no raciocínio básico da matemática financeira. Conceitualmente, dois ou mais capitais representativos de certa data se dizem equivalentes quando, a certa taxa de juros, produzem resultados iguais numa data comum. Por exemplo, R$ 120,00 vencíveis daqui a um ano e R$ 100,00, hoje, são equivalentes a uma taxa de juros simples de 20% ao ano, uma vez que os R$ 100,00, capitalizados, produziriam R$ 120,00 dentro de um ano, ou os R$ 120,00, no final do primeiro ano, resultariam em R$ 100,00 se atualizados para hoje. Exemplo 12. Determinar se R$ 438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a se receber hoje R$ 296.000,00, admitindo uma taxa de juros simples de 6% ao mês. Solução:

Data focal 8 meses Data focal 0 (hoje)

M = c (1 + i . n) M = 296.000 (1 + 0,06 x 8) M = 296.000 (1 + 0,48) M = 296.000 x 1,48 M = R$ 438.080,00.

M = c (1 + i . n) 438.080 = c (1 + 0,06 x 8) 438.080 = c (1 + 0,48) 438.000 = 1,48 c c = 438.080/1,48 = R$ 296.000,00.

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IIII..1133 –– EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS RREESSOOLLVVIIDDOOSS 1. Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira R$ 18.000,00 resgatando R$ 21.456,00, quatro meses depois. Calcular a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação. Solução: c = R$ 18.000,00 M = R$ 21.456,00 n = 4 meses i = ? M = c (1 + i . n) 21.456 = 18.000 (1 + i . 4) 21.456 = 18.000 + 72.000 i 21.456 – 18.000 = 72.000 i i = 3.456 / 72.000 i = 0,048 = 4,8% a.m. 2. Se uma pessoa necessitar de R$ 100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá ela depositar num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 12% ao ano? Solução: M = R$ 100.000,00 n = 10 meses i = 12% ao ano = 1% ao mês = 0,01 c = ? M = c (1 + i . n) 100.000 = c (1 + 0,01. 10) 100.000 = c (1 + 0,1) 100.000 = 1,1 c c = 100.000 / 1,1 c = R$ 90.909,09 3. Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um capital triplique de valor após 2 anos. Solução: M = R$ 3,00 n = 12 bimestres i = ? c = R$ 1,00 M = c (1 + i . n) 3 = 1 (1 + i. 12) 3 = 1 + 12 i 3 - 1 + 12 i 2 = 12 i i = 2 / 12 i = 16,7% a. b. 4. Um título com valor nominal de R$ 7.200,00 vence em 120 dias. Para uma taxa de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o valor deste título. a) hoje; b) dois meses antes do seu vencimento;

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c) um mês após o vencimento. Solução: M = R$ 7.200,00 n = 4 meses i = 31,2% ao ano = 0,312/12 = 0,026 c = ? a) M = c (1 + i . n) 7.200 = c (1 + 0,026 x 4) 7.200 = c (1 + 0,104) 7.200 = 1,104 c c = 7.200 / 1,104 c = R$ 6.521,74. b) M = c (1 + i . n) 7.200 = c (1 + 0,026 x 2) 7.200 = c (1 + 0,052) 7.200 = 1,052 c c = 7.200 / 1,052 c = R$ 6.844,11. c) M = c (1 + i . n) M = 7.200 (1 + 0,026 x 1) M = 7.200 (1 + 0,026) M = 7.200 + 187,20 M = R$ 7.387,20. 5. Uma pessoa deve dois títulos no valor de R$ 25.000,00 e R$ 56.000,00 cada. O primeiro título vence de hoje a 2 meses, e o segundo um mês após. O devedor deseja propor a substituição destas duas obrigações por um único pagamento ao final do 5° mês. Considerando 3% ao mês a taxa corrente de juros simples, determinar o valor deste pagamento único. Solução: 25.000 56.000 0 1 2 3 4 5 meses c1 = R$ 25.000,00 e c2 = R$ 56.000,00 n1 = 2 meses e n2 = 3 meses i = 3% ao mês = 0,03 M5 = ? M = c (1 + i . n) M5 = 25.000 (1 + 0,03 x 3) + 56.000 (1 + 0,03 x 2) M5 = 25.000 (1 + 0,09) + 56.000 (1 + 0,06) M5 = 25.000 x 1,09 + 56.000 x 1,06 M5 = 27.250 + 59.360 M5 = R$ 86.610,00. 6. Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros:

. R$ 35.000,00 vencíveis no fim de 3 meses;

. R$ 65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses. Para o resgate dessas dívidas, o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicando-as em uma conta de poupança, que rende 66% ao ano de juros simples. Pede-se

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determinar o valor do capital que deve ser aplicado nesta poupança de forma que posam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de vencimentos. Solução: 35.000 65.000 0 1 2 3 4 5 meses M1 = R$ 35.000,00 e M2 = R$ 65.000,00 n1 = 3 meses e n2 = 5 meses i = 66% ao ano = 5,5 ao mês = 0,055 c5 = ? M = c (1 + i . n) ou c = M / (1 + i . n) c5 = 35.000 / (1 + 0,055 x 3) + 65.000 / (1 + 0,055 x 5) c5 = 35.000 / (1 + 0,165) + 65.000 / (1 + 0,275) c5 = 35.000 / 1,165 + 65.000 / 1,275 c5 = 30.042,92 + 50.980,39 c5 = R$ 81.023,31 7. Uma dívida no valor de R$ 48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende resgatar a dívida pagando R$ 4.800,00 hoje, R$ 14.000,00 de hoje a dois meses, e o restante um mês após a data de vencimento. Sendo o momento deste último pagamento definido como a data focal da operação e sabendo-se ainda que é de 34,8% ao ano a taxa linear de juros adotada nesta operação, determinar ao montante do pagamento. Solução: 48.000 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 4.800 14.000 data focal c1 = R$ 48.000,00, c2 = R$ 4.800,00 e c3 = R$ 14.000,00 n1 = 1 mês, n2 = 7 meses e n3 = 5 meses i = 34,8% ao ano = 34,8 / 12 = 2,9% ao mês = 0,029. MDF = ? Daqui a 7 meses: M = c (1 + i . n) M6 = 48.000 (1 + 0,029 x 1) M6 = 48.000 x 1,029 M6 = R$ 49.392,00 Hoje (R$ 4.800,00) M = c (1 + i . n) MHoje = 4.800 (1 + 0,029 x 7) MHoje = 4.800 (1 + 0,203) MHoje = 4.800 x 1,203 MHoje = R$ 5.774,40 2 meses (R$ 14.000,00) M = c (1 + i . n) M2 = 14.000 (1 + 0,029 x 5)

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M2 = 14.000 (1 + 0,145) M2 = 14.000 x 1,145 M6 = R$ 16.030,00 Dívida na Data Focal MDF = M6 - MHoje - M2

MDF = 49.392,00 – 5.774,40 – 16.030,00 MDF = R$ 27.587,60

IIII..1144 –– EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS PPRROOPPOOSSTTOOSS 1. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de:

a) 14,4% ao ano; b) 6,8% ao quadrimestre; c) 11,4% ao semestre; d) 110,4% ao ano; e) 54,72% ao biênio.

2. Calcular a taxa trimestral proporcional a juros de:

a) 120% ao ano; b) 3,2% ao quadrimestre; c) 1,5% ao mês.

3. Determinar a taxa de juros simples anual proporcional ás seguintes taxas:

a) 2,5% ao mês; b) 56% ao quadrimestre; c) 12,5% para 5 meses.

4. Calcular o montante, de R$ 85.000,00, aplicado por:

a) 7 meses à taxa linear de 2,5% ao mês; b) 9 meses à taxa linear de 11.6% ao semestre; c) 1 ano e 5 meses à taxa linear de 21% ao ano.

5. Determinar os juros e o montante de uma aplicação de R$ 300.000,00, por 19 meses, à taxa linear de 42% ao ano. 6. Calcular o valor dos juros referente a uma aplicação financeira de R$ 7.500,00, que perde 15% de taxa nominal ao ano, pelo período de 2 anos e 3 meses. 7. Qual o capital que produz R$ 18.000,00 de juros simples, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de:

a) 60 dias; b) 80 dias; c) 3 meses e 20 dias; d) 2 anos, 4 meses e 14 dias.

8. Uma pessoas aplicou R$ 12.000,00 numa Instituição Financeira resgatando, após 7 meses, o montante de R$ 13.008,00. Qual a taxa de juros equivalente linear mensal que o aplicador recebeu? 9. Uma nota promissória de valos nominal de R$ 140.000,00 é resgatada dois meses antes de seu vencimento. Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de juros simples é de 1,9% ao mês?

25

10. O montante de um capital de R$ 6.600,00 ao final de 7 meses é determinado adicionando-se R$ 1.090,32 de juros. Calcular a taxa linear mensal e anual utilizada. 11. Um empréstimo de R$ 3.480,00 foi resgatado 5 meses depois pelo valor de R$ 3.949,80. Calcular a taxa de juros simples em base mensais e anuais desta operação. 12. Se o valor atual de um título é igual a 4/5 de seu valor nominal e o prazo de aplicação for de 15 meses, qual a taxa de juros simples considerada? 13. Uma mercadoria é oferecida num magazine por R$ 130,00 a vista, ou nas seguintes condições: 20% de entrada e um pagamento de R$ 106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros que está sendo cobrada. 14. Em quanto tempo um capital de R$ 4.000,00 aplicado a 29,3% ao ano pelo regime linear renderá R$ 1.940,00? 15. Em quanto tempo duplica um capital aplicado à taxa simples de 8% ao ano? 16. Em quanto tempo triplica um capital que cresce à taxa de 21% ao semestre? 17. O valor de resgate de um título é 140% maior que o valor da aplicação. Sendo 30% ao ano a taxa de juros simples, pede-se calcular o prazo da aplicação. 18. Uma aplicação de R$ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples de 26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de 18% ao ano para se obter o mesmo rendimento financeiro? 19. Um TV em cores é vendida nas seguintes condições:

preço à vista = R$ 1.800,00;

condições a prazo = 30% de entrada e R$ 1.306,00 em 30 dias. Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo. 20. Um eletrodoméstico é vendido em três pagamentos mensais e iguais. O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra, e os demais são devidos em 30 e 60 dias. Sendo de 4,4% ao mês à taxa linear de juros, pede-se calcular até que valor interessa adquirir o bem a vista. 21. Uma divida é composta de três pagamentos no valor de R$ 2.800,00, R$ 4.200,00 e R$ 7.000,00, vencíveis em 60, 90 e 150 dias, respectivamente. Sabe-se ainda que a taxa de juros simples de mercado é de 4,5% ao mês. Determinar os pagamentos:

a) hoje; b) daqui a 7 meses.

22. Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco:

R$ 18.000,00 vencíveis em 37 dias;

R$ 42.000,00 vencíveis em 83 dias;

R$ 100.0000,00 vencíveis em 114 dias. Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir o fluxo de pagamentos pelo seguinte esquema:

R$ 20.000,00 em 60 dias;

R$ 50.000,00 em 100 dias;

restante em 150 dias.

26

Sendo de 3,2% ao mês a taxa de juros simples adotada pelo banco nestas operações, pede-se calcular o valor do pagamento remanescente adotado como data focal o momento atual. 23. Uma maquina calculadora esta sendo vendida a prazo nas seguintes condições:

R$ 128,00 de entrada;

R$ 192,00 em 30 dias;

R$ 192,00 em 60 dias. Sendo de 1,1% ao mês a taxa linear de juros, pede-se calcular até que preço é interessante comprar a máquina à vista. 24. Uma pessoa tem uma divida composta dos seguintes pagamentos:

R$ 22.000,00 de hoje a 2 meses;

R$ 57.000,00 de hoje a 5 meses;

R$ 90.000,00 de hoje a 7 meses. Deseja trocar estas obrigações equivalentes por dois pagamentos iguais, vencíveis o primeiro ao final do 6° mês e o segundo no 8° mês. Sendo de 3,7% ao mês de juros simples, calcular o valor destes pagamentos admitindo-se o pagamento hoje.

IIII..1155 –– RREESSPPOOSSTTAASS DDOOSS EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS PPRROOPPOOSSTTOOSS DDEE JJUURROOSS SSIIMMPPLLEESS:: 1. a) 1,2% a.m.; b) 1,7% a.m.; c) 1,9% a.m.; d) 9,2% a.m.; e) 2,28% a.m. 2. a) 30% a.t.; b) 2,4% a.t.; c) 4,5% a.t. 3. a) 30% a.a.; b) 168% a.a.; c) 30% a.a. 4. a) M = R$ 99.875,00 b) M = R$ 99.790,00 c) M = R$ 110.287,50 5. M = R$ 499.500,00 J = R$ 199.500,00 6. J = R$ 2.531,25 7. a) c = R$ 300.000,00 b) c = R$ 225.000,00 c) c = R$ 163.636,36 d) c = R$ 21.077,28 8. i = 1,2% a.m. 9. c = R$ 134.874,76. 10. i = 28,32% a.a. 11. i = 32,4% a.a. 12. i = 1,7% a.m. 13. i = 2,79% a.m. 14. n = Ξ 20 meses. 15. n = 12,5% anos 16. n = 57,1428 meses 17. n = 56 meses 18. c = R$ 32.500,00 19. i = 3,65% a.m. 20. % desconto = 95,9%, ou 4,1% 21. a) R$ 11.983,54

27

b) R$ 16.016,00 22. M = R$ 94.170,19 23. Ctotal = R$ 505,78 24. Pagamentos = R$ 88.174,78

28

IIII..1166 –– JJUURROOSS CCOOMMPPOOSSTTOOSS O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando montante (capital mais juros) do período. Esse montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre juros formados em períodos anteriores), e assim por diante. Em síntese: os juros são compostos quando, a cada período, eles são incorporados ao capital e o novo capital passa também a render juros.

IIII..1177 –– FFÓÓRRMMUULLAASS DDEE JJUURROOSS CCOOMMPPOOSSTTOOSS Com juros compostos, no final de cada período, o juro é incorporado ao principal ou capital, passando assim a também render juros no próximo período. Podemos deduzir a expressão da seguinte maneira: • No primeiro período: M1 = c + c . i = c . (1 + i) • No segundo período: M2 = M1 + M1. i = M1 . (1 + i) = c. (1 + i).(1 + i) = c. (1 + i)

2

• No terceiro período: M3 = M2 + M2.i = M2 . (1 + i) = c . (1 + i)2. (1 + i) = c. (1 + i)

3

Se generalizarmos para um número de períodos igual a n, tem-se a expressão geral para cálculo de juros compostos, dada por:

M = c (1 + i)n onde: M = montante, c = capital, i = taxa de juros e n = número de períodos que o capital C (capital inicial) foi aplicado. Exemplos: 1. Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança, que rende 1,7% de juros compostos ao mês? Solução: M = R$ 27.500,00 n = 1 ano = 12 meses i = 1,7% a.m. = 0,017 c = ?

M = c (1 + i)n 27.500 = c (1 + 0,017)

12

27.500 = c (1,017)12

27.500 = c (1,017)12

27.500 = 1,2242 c c = 27.500 / 1,2242 = R$ 22.463,65 2. Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses, à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?

29

Solução: M = ? c = R$ 12.000,00 n = 8 meses i = 3,5% a.m. = 0,035

M = c (1 + i)n M = 12.000 (1 + 0,035)

8

M = 12.000 (1,035)8

M = R$ 15.801,60 3. Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$ 40.000,00 que produz um montante de R$ 43.894,63 ao final de um quadrimestre. Solução: i = ?% a.m. c = R$ 40.000,00 M = R$ 43.894,63 n = 4 meses

M = c (1 + i)n

43.894,63 = 40.000 (1 + i) 4

43.894,63 / 40.000 = (1 + i) 4

1,0974 = (1 + i) 4

1,09741/4 = 1 + i 1,0235 = 1 + i 1,0235 – 1 = i 0,0235 = i i = 2,35% a.m. 4. Uma aplicação de R$ 22.000,00, efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de R$ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. Solução: c = R$ 22.000,00 M = R$ 26.596,40 i = 2,4% a.m. = 0,024 n = ? meses

M = c (1 + i)n

26.596,40 = 22.000 (1 + 0,024)n

26.596,40 / 22.000 = (1,024)n

1,2089 = (1,024)n

n = log 1,2089 / log 1,024

n = 0,0824 / 0,0103

n = 8 meses

5. Determinar os juros pagos de um empréstimo de R$ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês. Solução: J = ?

30

c = R$ 88.000,00 M = R$ ? i = 4,5% a.m. = 0,045 n = 5 meses

M = c (1 + i)n

M = 88.000 (1 + 0,045i)5

M = 88.000 (1,045)5 M = 88.000 x 1,2462 M = R$ 109.665,60 J = M – C J = 109.665,60 – 88.000 J = R$ 21.665,60

IIII..1188 –– TTAAXXAASS EEQQUUIIVVAALLEENNTTEESS Já sabemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo rendimento. Na capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. Na capitalização composta, não. No regime de juros compostos, uma aplicação que paga 10% a.m. representa o rendimento, em um trimestre, de: Atribuindo um capital R$ 100, temos: M = 100(1,1)

3 equivale a M = 10 x 1,331 equivale a M = R$ 133,10.

Portanto, o rendimento no trimestre foi de 33,1%. Logo, 10% ao mês são equivalentes a 33,1% ao trimestre. Ambas podem ser utilizadas nos problemas; são efetivas. Podemos generalizar o cálculo da equivalência entre taxas assim: Equivalência entre ANO e MÊS: (1 + ia) = (1 + im)

12

Equivalência entre ANO e TRIMESTRE: (1 + ia) = (1 + it)

4

Equivalência entre SEMESTRE e MÊS: (1 + im)

6 = (1 + is)

Exemplos 1. Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano? Solução: Observamos que 25% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é mensal. a) mensal ANO e MÊS: (1 + ia) = (1 + im)

12

(1 + 0,25) = (1 + im)12

12

√1,25 = 1 + im

1,01877 – 1 = im

im = 0,01877 = 1,877% a.m.

31

b) trimestral ANO e MÊS: (1 + ia) = (1 + it)

4

(1 + 0,25) = (1 + it)4

4√1,25 = 1 + it

1,05737 – 1 = it it = 0,05737 = 5,737% a.t. 2. Explicar a melhor opção: aplicar um capital de R$ 60.000,00 à taxa de juros compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano. a) 9,9% ao semestre M = c (1 + i)

n

M = 60.000 (1 + 0,099) 2

M = 60.000 (1,099) 2

M = 60.000 x 1,2078 M = R$ 72.468,00 b) 20,78% ao ano

M = c (1 + i) n

M = 60.000 (1 + 0,2078) 1

M = 60.000 (1,2078) 1

M = 60.000 x 1,2078 M = R$ 72.468,00 Portanto, as taxas são equivalentes, pois produzem resultados iguais para um mesmo período. 3. Demonstrar se a taxa de juros compostos de 11,8387% ao trimestre é equivalente à taxa de 20,4999% para cinco meses. Calcular também a equivalência mensal composta dessas taxas.

TRIMESTRE e MÊS 5 MESES e MÊS

(1 + it) = (1 + im)3

(1 + im)5 = (1 + 0,204999)

(1 + 0,118387) = (1 + im)3

(1 + im)5 = 1,204999

3√1,118387 = 1 + im (1 + im) =

5√1,204999

1,0380 – 1 = im (1 + im) = 1,0380

0,0380 = im Im = 1,0380 – 1

im = 3,8% Im = 0,0380

im = 3,8%

Portanto, as taxas são equivalentes.

IIII..1199 –– EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS PPRROOPPOOSSTTOOSS 1. Um capital de R$ 200.000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante após 4 anos. 2. Joana aplicou R$ 400,00 num investimento que rende 2% a.m., a juros compostos. Qual o montante após 1 ano? 3. Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, de um capital de R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês.

32

4. O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos? 5. Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62? 6. Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano? 7. Explicar a melhor opção: aplicar um capital de R$ 60.000,00 à taxa de juros compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano. 8. Demonstrar se a taxa de juros compostos de 11,8387% ao trimestre é equivalente à taxa de 20,4999% para cinco meses. Calcular também a equivalência mensal composta dessas taxas. 9. Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização composta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão maiores que R$ 100,00. Certo ou Errado? Demonstre. 10. A taxa de juros compostos de 2% ao mês é proporcional à de 25% ao ano. Certo ou Errado? Demonstre. 11. Paguei de juros um total de R$ 9.852,00 por um empréstimo de 18 meses a uma taxa de juro composto de 2,25% a.m. O capital tomado no emprestado foi igual a R$ 20.000,00. Certo ou Errado? Demonstre. 12. A taxa efetiva semestral de 97,38% é equivalente à taxa mensal de 11%. Certo ou Errado? Demonstre. 13. Resgata-se um título por R$ 4.862,00, com 4 meses de antecedência. O valor nominal do título, sendo a taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, e o critério do desconto racional composto, é igual a R$ 4.000,00. Certo ou Errado? Demonstre. 14 - Um título de R$ 8.651,50 é descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa racional composta de 10% ao mês. O valor atual é igual a R$ 6.500,00. Certo ou Errado? Demonstre. 15. Um capital, após 5 anos de investimento, à taxa de 12% ao ano, capitalizada semestralmente, eleva-se a R$ 5.820,10. O valor desse capital é superior a R$ 3.500,00. Certo ou Errado? Demonstre. 16. O pagamento de um empréstimo, que seria quitado em uma única prestação de R$ 26.000,00 ao final do segundo ano, com uma taxa de juros de 2% a.m., for antecipado para o final do primeiro ano, o valor a ser pago será superior a R$ 19.800,00. Certo ou Errado? Demonstre. 17. Considerando que o regime praticado é o de juros compostos, à taxa mensal de 2%, caso o saldo devedor de um empréstimo seja hoje de R$ 30.000,00, se nenhum pagamento for efetuado, esse valor será superior a R$ 39.000,00, ao final do período de um ano. Certo ou Errado? Demonstre. 18. Demonstre porque uma aplicação efetuada durante 01 (um) mês, à mesma taxa, tem o rendimento igual tanto para juros simples como para juros compostos.

19. A taxa de juros compostos de 2% ao mês é proporcional à de 24% ao ano. Certo ou Errado? Demonstre. 20. A taxa efetiva semestral de 97,38% é equivalente à taxa mensal de 12%. Certo ou Errado? Demonstre. 21. Na taxa equivalente, utiliza-se o regime de juros simples e, na taxa proporcional, o regime de juros compostos. Certo ou Errado.

33

22. Aplicando-se R$ 15.000,00, a uma taxa de juros compostos de 1,7% a.m., quanto se receberá de volta após um ano de aplicação? Quanto foram os juros obtidos? 23. Pagou-se de juros um total R$ 2.447,22 por um empréstimo de 8 meses a uma taxa de juros compostos de 1,4% a.m. Quanto foi o capital emprestado? 24. Planeja-se emprestar R$ 18.000,00 por um período de 18 meses ao final do qual se pretende receber de volta R$ 26.866,57. Quanto deve ser a taxa de juros compostos para que se venha conseguir este montante? 25. Precisa-se aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos meses, a uma taxa de juros compostos de 0,5% a.m., para que ao final da aplicação se obtenha o dobro deste capital? 26. R$ 10.000,00 aplicados por 6 meses a uma taxa de juros simples de 3% a.m., para produzir o mesmo montante na modalidade de juros compostos em um aplicação com a mesma duração, precisará ser aplicada a qual taxa mensal? 27. O valor final de um empréstimo de R$ 5.000,00 por um período de 7 meses é R$ 5.862,72. Qual a taxa de juros da aplicação? 28. Alguém toma R$ 100.000,00 emprestados, a uma taxa de juros compostos de 1% a.m., qual é o valor total que deverá ser pago após 100 meses?

IIII..2200 –– RREESSPPOOSSTTAASS DDOOSS EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS PPRROOPPOOSSTTOOSS DDEE JJUURROOSS CCOOMMPPOOSSTTOOSS:: 1. M = R$ 292.820,00 2. M = R$ 507,29 3. M = R$ 960,60 4. J = R$ 238,75 5. c = R$ 400,00 6. a) im = 1,877% a.m. b) it = 5,737% a.t. 7. M = R$ 72.468,00. Portanto, as taxas são equivalentes. 8. im = 3,8%. Portanto, as taxas são equivalentes. 9. J = R$ 101,00. Portanto, certo. 10. 1,88% ≠ 2,00% ou 26,82% ≠ 25,00%. Portanto, errado. 11. c = R$ 20.000,00. Portanto, certo. 12. im = 12%. Portanto, errado. 13. c = R$ 4.157,02. Portanto, errado. 14. c = R$ 6.500,00. Portanto, certo. 15. c = R$ 3.250,00. Portanto, errado. 16. c = R$ 20.501,50. Portanto, certo. 17. M = R$ 38.046,00. Portanto, errado. 18. M = R$ 110,00, para c = R$ 100,00 e i = 10% a.m. 19. ia = 26,82% a.a. Portanto, errado. 20. ia = 97,38% a.s. Portanto, certo. 21. Errado. 22. J = R$ 3.363,00 23. c = R$ 20.809,70 24. i = 2,25% a.m. 25. n = aproximadamente 137 meses. 26. i = 2,8% a.m. 27. i = 2,3% a.m. 28. J = R$ 170.480,00.

34

BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFIIAA

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