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Provas de matemtica Resolvidas CFO PMBA
Prova 2014 Questo 31 De acordo com os conhecimentos sobre Lgica
Matemtica, correto afirmar que a proposio No verdade que se X
participa da manifestao, ento presencia atos de vandalismo
logicamente equivalente a 01) verdade que X participa da manifestao
e presencia atos de vandalismo. 02) verdade que X participa da
manifestao ou presencia atos de vandalismo. 03) No verdade que X
participa da manifestao ou no presencia atos de vandalismo. 04) No
verdade que X no participa da manifestao ou presencia atos de
vandalismo. 05) No verdade que X no participa da manifestao ou no
presencia atos de vandalismo.
Resoluo:
Essa questo pode ser resolvida por meio da construo da tabela
verdade do enunciado e comparando
com as tabelas verdades das assertivas 01, 02, 03, 04 e 05.
Primeiramente vamos montar a estrutura lgica da proposio do
enunciado:
X participa da manifestao = p
X presencia atos de vandalismo = q
No verdade que = ~ (negao lgica)
Logo:
No verdade que se X participa da manifestao, ento X participa de
vandalismo = ~ ( )p q
Construindo a tabela verdade:
p q p q ~ ( )p q V V V F V F F V F V V F F F V F
Para a construo das demais tabelas verdade ser necessrio
transformar as proposies das
alternativas em seu formato com operadores lgicos:
1) p q
2) p q
3) ~ ( ~ )p q
4) ~ (~ )p q
5) ~ (~ ~ )p q
Tabelas verdade das proposies:
1)
p q p q V V V V F F F V F
-
F F F
2)
p q p q V V V V F V F V V F F F
3)
p q p ~ q ~p q ~ ( ~ )p q
V V V F V F V F V V V F F V F F F V F F F V V F
4)
p q ~ p ~ p q ~ (~ )p q V V F V F V F F F V F V V V F F F V V
F
5)
p q ~ p ~ q ~ ~p q ~ (~ ~ )p q V V F F F V V F F V F V F V V F F
V F F V V V F
Note que, os valores de sada da tabela verdade 4) semelhante aos
valores de sada da tabela verdade
do enunciado:
~ ( )p q ~ (~ )p q F F V V F F F F
RESPOSTA: 04
DICA: Os assuntos cobrados na questo so proposio composta e
tabela verdade. interessante
conhecer o formato das tabelas verdades elementares a fim de
poupar o tempo na construo de todas
as tabelas verdades na hora da prova. Com um conhecimento prvio
das tabelas verdades, seria
necessrio montar somente as que fossem as mais provveis de serem
corretas.
Questo 32 O nmero de participantes em uma manifestao, aps 3
horas de seu incio, foi estimado em, aproximadamente, 1000
pessoas.
-
Admitindo-se que esse nmero tenha aumentado 25% a cada hora,
pode-se afirmar que, no incio da manifestao, o nmero aproximado de
participantes era igual a 01) 250. 03) 420. 05) 512. 02) 356. 04)
500. Resoluo: Admitindo que o nmero inicial de participantes seja
igual a x:
Tempo (horas)x
Incio 1 hora 2 horas 3 horas
1,25x 1,25(1,25x) = 1,25x 1,25(1,25x) = 1,25x=1000
Logo:
3
3
1,25 100010001,25512
x
x
x
=
=
=
RESPOSTA: 05. DICA: Na hora da prova, a melhor opo poder ser
dividir 1000 trs vezes consecutivas por 1,25. Questo 33 Por medida
de precauo, a administrao de um prdio resolveu restringir o nmero
de pessoas transportadas por um de seus elevadores a 9 mulheres ou
6 homens, de mdia compleio. Respeitando-se a restrio imposta,
quando, no elevador, j se encontram 6 mulheres, correto afirmar
que, nesse elevador, ainda podem entrar, no mximo, 01) quatro
homens. 02) dois homens. 03) dois homens e uma mulher. 04) dois
homens e duas mulheres. 05) um homem e duas mulheres. Resoluo:
Compleio: estatura, porte fsico (peso, altura, IMC, etc.)
Elevadores costumam limitar o transporte pelo peso (p. ex.: 600
kg), mas para o entendimento prtico das pessoas, avisos nos
elevadores indicam seus limites adotando uma quantidade de pessoas
para um peso mdio (se o peso mdio de uma pessoa fosse de 75 kg, um
elevador que suporte 600 kg indicaria um limite de pessoas de 8).
Nessa questo eles consideram que homens e mulheres tm um peso mdio
especfico diferente, e que o peso de 9 mulheres equivale ao peso de
6 homens, j que ambos so o limite de carga do elevador e esse
limite s tem um nico valor. Admitindo que: m: peso da mulher p:
peso do homem A equao montada com as informaes acima: 6 9
96
1,5
h mmh
h m
=
=
=
-
Na situao em estudo, o elevador j se encontra com 6 mulheres.
Ento a quantidade de mulheres que ainda pode adentrar o elevador :
9 6 3m m m = 3 mulheres, mas no h essa resposta nas alternativas.
Ento devemos encontrar uma equivalente a esse valor. Sabendo que 3
2 1,5= e que 1,5h m= : 3 2 (1,5 )2 (1,5 ) 2m m
m h=
=
Logo, 3 mulheres equivalem a 2 homens. RESPOSTA: 02 Questo 34
Todos os funcionrios de determinada empresa devero fazer um curso
de atualizao por ela oferecido. Tal curso composto por trs mdulos
distintos e independentes que podero ser cursados simultaneamente
ou no. Se cada mdulo tiver uma taxa de participao de 70% dos
funcionrios, pode-se estimar o percentual mnimo de participao
simultnea, nos trs mdulos, em 01) 10%. 03) 25%. 05) 40%. 02) 20%.
04) 30%. Resoluo: Para responder esse exerccio, interessante fazer
uso de um nmero arbitrrio de funcionrios para representar a
porcentagem de cada um nos cursos oferecidos nessa empresas. muito
conveniente o uso de 100, pois o nmero de funcionrios que sero
encontrados equivaler ao valor da porcentagem. Adotando que haja
100 funcionrios na empresa: Nmero de inscries em cada mdulo: Mdulo
A: 70 inscries Mdulo B: 70 inscries Mdulo C: 70 inscries Nmero de
inscries em todos os mdulos: 70 70 70 210+ + = 210 inscries. A
situao em que haver o menor nmero de inscritos nos trs cursos
aquela em que haver a maior distribuio possvel de inscrio entre os
100 funcionrios. Isso representado na diviso:
210210100
Dessa diviso, pode-se concluir que, das 210 inscries, se todos
os participantes resolvessem se matricular em 2 mdulos no mnimo,
ainda haveria 10 inscries que foram feitas a mais, indicando que ao
menos 10 se inscreveram nos trs mdulos. Ento, no mnimo, 10 pessoas
se inscreveram nos trs mdulos. 10 pessoas de 100 igual a 10%. Logo:
Percentual mnimo de participao simultnea nos trs mdulos = 10%
RESPOSTA: 01 Questo 35
-
X recebe R$320,00 por x horas de trabalho semanal em seu
emprego. Y recebe o mesmo valor, por seu trabalho semanal, porm
trabalha 4 horas a mais e recebe R$4,00 a menos do que X, por hora
trabalhada. Nessas condies, pode-se afirmar que o nmero de horas
semanais de trabalho de Y equivale a 01) metade de um dia. 03) de
um dia. 05) um dia e meio. 02) de um dia. 04) um dia.
Primeiramente, vamos interpretar cada informao dada na questo: O
trabalhador X trabalha x horas por semana e recebe R$320,00 sob uma
taxa de
a reais hora trabalhada ; O trabalhador Y trabalha por y horas
por semana tal que 4y x= + e recebe R$$320 sob uma taxa de
b reais hora trabalhada tal que 4b a= . Pode-se descobrir o
valor de a atravs da aplicao de uma regra de trs direta:
320 x
a 1
Salrio (R$) Horas (h)
Multiplicando cruzado, temos:
320320
ax
ax
=
=
Descobrimos o valor de b atravs da aplicao da regra de trs
direta:
320 y
b 1
Salrio (R$) Horas (h)
Multiplicando cruzado, temos:
320by = Sabemos que 4y x= + e 4b a= . Substituindo esses valores
na frmula acima temos: ( ) ( )4 4 3204 16 4 320a xa ax x
+ =
+ =
Sabemos que 320ax = e 320ax
= . Substituindo esses valores na frmula acima temos:
2
2
3204 320 16 4 320
3204 4 16 ( 4)
320 4 ( )
320 44 320 0
xx
x Dividindo todaaequao porx
x Multiplicando todaaequao por xx
x xx x
+ = =
=
=
+ =
Devemos ento determinar as razes desta equao de segundo grau.
Utilizando a frmula de Bhaskara:
-
( )( ) ( )
2
2
1, 4, 320
4
4 4( 1) 32016 12801296
a b c
b ac
= = =
=
=
= + =
Para achar devemos fatorar 1296:
1296648324162
8127
031
22223333
2434
Assim:
4 4
2 2
1296
2 3
2 3
36
=
=
=
=
Continuando a frmula de Bhaskara:
2( 4) 362 ( 1)
4 362
204 36
216
bxa
x
x
x
x
x
=
=
+ =
= =
=
O valor de x representa as horas trabalhadas e no existe hora
negativa. Portanto, somente a raiz
16x = vlida:
16x x= = Determinado x, o valor de y pode ento ser facilmente
encontrado:
44 1620
y xyy h
= += +=
Nas alternativas, o valor de y dado em dias e no em horas.
Sabendo que 1124
hora dia= , fazemos a
converso do valor de y:
-
12024
202456
y
y
y dia
=
=
=
RESPOSTA: 03 Questo 36 A funo polinomial ( ) 3 214 53 40f t t t
t= + representa a evoluo do lucro de uma microempresa, em milhares
de reais, ao longo de t anos de funcionamento, 1 10t .
Excluindo-se, durante esse intervalo de tempo, o nmero de anos em
que o lucro foi igual a zero, pode-se afirmar que o nmero de anos
em que a empresa no teve prejuzo foi igual a 01) 4. 03) 6. 05) 8.
02) 5. 04) 7. Resoluo: A questo diz que a varivel t se refere aos
anos de funcionamento da microempresa, a partir dessa informao
podemos afirmar que t pertence ao conjunto dos nmeros naturais (t
). Sabendo que 1 10t , podemos determinar os nmeros do conjunto
t:
{ }1,2,3,4,5,6,7,8,9,10t = Dentre esses nmeros devemos
determinar quais deles, substitudos em ( )f t resultar em valores
positivos e no-nulos. Resolvendo a funo para t = 1, descobrimos que
esta uma das razes do polinmio.
( )( )( )( )
3 21 (1) 14(1) 53(1) 40
1 1 14 53 40
1 54 54
1 0
f
f
f
f
= +
= +
=
=
Da teoria de DAlembert, sabe-se que um polinmio divisvel por x a
se, e somente se, a for raiz do polinmio. Ento podemos dividir ( )f
t por 1t :
3 214 53 40t t t + 1t ( )3 2t t
3 20 13 53 40t t t + ( )213 13t t +3 20 0 53 40t t t+ +
( )240 40t +3 20 0 0 0t t t+ +
2 13 40t t +
A funo ( )f t ento pode ser separada em outras duas ( ( )g t e (
)h t ):
-
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
2
2
1 13 40
1
13 40
f t t t t
f t g t h t
g t t
h t t t
= +
=
=
= +
Podemos fazer o estudo de sinal da funo ( )f t atravs das funes
( )g t e ( )h t e assim determinar para quais valores de t a funo (
)f t positiva:
( )g t
( ) 01 01
g ttt
=
=
=
1 +
-
( )g t
possvel encontrar a raiz da equao ( )h t fazendo uso das relaes
de Girard. Tal tcnica torna o clculo de razes bastante rpido
exigindo, em contrapartida, o uso de perspiccia e viso alm do
alcance do aluno. Ela consiste em determinar por meio de deduo,
induo ou o tradicional mtodo da tentativa e erro, valores das razes
x e x que satisfaam as igualdades:
bx xa
cx xa
+ =
=
Sendo a, b e c, coeficientes do polinmio 2ax bx c+ + . Sendo ( )
2 13 40h t t t= + , as razes devem satisfazer as igualdades:
( 13) 131
40 401
t t
t t
+ = =
= =
Tais valores so 5t = e 8t = Desta forma:
( ) 2 13 40058
h t t tatt
= +
> = =
( )h t
-
+ +
( )h t
85
Logo:
-
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
( )f t
( )g t
( )h t+ +
++
-
-+ +
+
O conjunto soluo (S) para ( )f t representado pelos valores de t
que do ( )f t positivo:
{ }2,3,4,9,10S = O nmero de elementos do conjunto soluo S o
nmero de anos pedido no enunciado:
( ) 5n S = RESPOSTA: 02 Questo 37 Aps uma negociao entre credor
e devedor, acordou-se que o pagamento de uma dvida de V = R$3000,00
ser feito em 5 parcelas mensais, sendo o valor de cada parcela
composto por 15
de V, acrescido de 2% de juros ao ms, cobrados sobre o saldo
devedor,
D(n), representado, a cada ms, pelos pontos destacados no
grfico.
Supondo-se que todos os pagamentos sejam efetuados sem atraso,
pode-se afirmar que
01) o saldo devedor decrescer segundo uma progresso geomtrica de
razo 12
r =
02) o saldo devedor, a cada ms, poder ser obtido atravs da
frmula ( ) 4 26D n n= + . 03) os valores das parcelas decrescero
segundo uma progresso aritmtica de razo 120r = . 04) o valor de
cada parcela poder ser obtido atravs da frmula ( ) 600 12P n n= .
05) o valor mdio das prestaes ser igual a R$636,00. Resoluo: As
assertivas fazem afirmaes acerca de trs parmetros ligados ao
pagamento da dvida: Saldo devedor ( ( )D n ) parcela de pagamento
(prestaes, ( )P n ) e valor mdio das prestaes ( P ). Vamos
determinar os trs e descobrir quais das assertivas verdadeira.
Saldo devedor:
-
Como o prprio enunciado diz, o saldo devedor ( )D n , est
representado no grfico. Percebemos que ( )D n uma reta, com uma
funo do tipo:
( )D n an b= +
No qual a e b so coeficientes dessa funo linear. Pelo grfico,
sabemos que (3) 18D = e
(5) 6D = . Com esses dois valores, conseguimos determinar os
coeficientes, at agora desconhecidos:
( )( )[ ][ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ] ( )
3 185 6 1
3 18
5 6
3 5 18 62 12
6
3 6 1818 18
18 1836
a ba b
a b i
a b ii
i ii a b a ba
a iii
iii em i bb
bb
+ = + = + =
=
+ + =
=
=
+ =
+ == +=
Com os valores de a e b determinamos ( )D n :
( ) 6 36D n n= + Com isso, descobrimos que ( )D n no se trata de
uma progresso geomtrica e nem a funo
( ) 4 26D n n= + afirmada no item 02. Portanto os itens 01 e 02
so falsos. Parcela:
Segundo o enunciado, as parcelas de pagamento negociadas sero de
15
de V somadas 2% de juros ao
ms, cobrados sobre o saldo devedor. Sabendo que 2% 0,02= a
frmula que representa os valores da parcela a cada n ms, ser:
( ) ( )0,025VP n D n= +
O valor de ( )D n em centenas de reais j foi encontrado. Para
encontrar seu valor em reais, basta multiplicar por 100:
( )( ) 100 6 36( ) 600 3600
D n nD n n
= +
= +
Sabendo que 3000V = ( )P n ser:
( ) ( )
( )( )
3000 0,02 600 36005
600 12 72
672 12
P n n
P n n
P n n
= + +
= +
=
Se considerarmos a funo ( )P n como uma progresso aritmtica, os
seus parmetros seriam:
-
( )( )
( )( )
1
1
1
2
2
2
2 1
1
1
672 12 1660
2
672 12 2648
648 66012
( 1)660 12( 1)
n
n
P a
aa
P a
aa
r a arr
a a r na n
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= +
=
A frmula de ( )P n pode ser dita como uma progresso aritmtica de
razo 12r = . Desta forma, as alternativas 03 e 04 so falsas. Valor
mdio das prestaes: O valor mdio das prestaes pode ser encontrado
usando o somatrio da progresso aritmtica de ( )P n
( 5S ). Ele equivale a 15
do valor de 5S :
( )
( )
( )
( )
1 55
5
1 5
1 5
1 5
52
55
25
510
2
a aS
SP
a a
P
a aP
a aP
+=
=
+ =
+=
+=
O valor de 5a pode ser determinado pela equao do termo geral da
progresso aritmtica:
5
5
5
660 12(5 1)660 12 4612
aaa
=
=
=
Assim, possvel determinar o valor de P :
( )
( )
1 5
2660 612
21272
2636
a aP
P
P
P
+=
+=
=
=
-
Desta forma, fica claro que a alternativa 05 a verdadeira, pois
o valor da prestao mdia realmente R$ 636,00. RESPOSTA: 05 Questo 38
Quando o nmero de queixas de roubo de aparelhos celulares
registradas em uma delegacia chegou a 100, passou-se a monitorar
essas queixas, constatando-se que o seu crescimento era, em mdia,
de 20% a cada semana. Nessas condies, considerando, se necessrio,
log2 = 0,31 e log3 = 0,48, pode-se estimar que o nmero de queixas
semanais dever ultrapassar 1200 em um nmero de semanas, no mnimo,
igual a 01) 11. 03) 15. 05) 19. 02) 13. 04) 17. Resoluo:
Primeiramente, preciso ter claro que se a taxa aumenta 20% a cada
semana significa que as taxas sucessivas representam 120% das suas
taxas anteriores. Se considerarmos as taxas da semana 1 como
1a e a taxa da semana 2 como 2a , a relao entre as taxas ser
de:
2 1 10,2a a a= + Lembrando que 0,2 equivale a 20%, s que no
formato decimal. Isolando o 1a na equao acima:
2 1
2 1
1,2120%
a aa a
=
=
Esta relao entre as taxas semanais se repete nas demais semanas.
Escrevendo todas essas taxas em funo de 1a , descobrimos que se
trata de uma progresso geomtrica:
( )
2 12
3 2 1 1
2 34 3 1 1
11
1,2
1,2 1,2(1,2 ) 1,2
1,2 1,2 1,2 1,2
1,2nn
a a
a a a a
a a a a
a a
=
= = =
= = ==
=
Sendo na nmero de queixas de roubo de aparelhos celulares
registradas na n-sima semana. A questo diz que as queixas comearam
a ser monitoradas a partir da semana em que a delegacia registrou
100 queixas. Portanto, esse ser o valor 1a de nossa PG (Progresso
Geomtrica):
1 100a = A questo pede para determinar em quantas semanas, no
mnimo, o nmero de queixas dever ultrapassar 1200. Isso significa
que deveremos determinar um valor de na tal que:
11
1200
1,2 1200n
n
a
a>
>
A varivel n corresponde ao nmero mnimo de semanas requisitado na
questo. Sabendo o valor de 1a , pode-se desenvolver a inequao:
-
( )
11
1
1
1,2 1200
1,2 100 1200
1,2 12
n
n
n
a
>
>
>
Aplicando o logaritmo de base 10 dos dois lados da inequao:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1
2 2
log 1,2 log 12
1 log 1,2 log 12
121 log log 1210
1 log 12 log 10 log 12
1 log 12 1 log 12
1 log 4 3 1 log 4 3
1 log 4 log 3 1 log 4 log 3
1 log 2 log 3 1 log 2 log 3
1 2log 2 log 3 1 2log 2 log 3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
>
>
>
>
>
>
+ > +
+ > +
+ > +
Todo o algebrismo acima foi feito obedecendo s propriedades do
logaritmo. Vale lembrar que pelo fato de logaritmo de base 10 (
10log () ) ser muito usado na matemtica, conveno omitir o ndice 10
especialmente para logaritmos nessa base. Portanto:
10log ( ) log( )x x= No enunciado so dados dois valores de
logaritmos cruciais para resoluo dessa questo:
( )( )
log 2 0,31
log 3 0,48
=
=
Logo: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) (
)( ) ( )
1 2log 2 log 3 1 2log 2 log 3
1 2 0,31 0,48 1 2 0,31 0,48
1 0,62 0,48 1 0,62 0,48
1 1,1 1 1,1
1 0,1 1,11 1112
n
n
n
n
nnn
+ > +
+ > +
+ > +
>
>
>>
Como o nmero de queixas passou a ser monitorado a cada semana, n
representa um nmero inteiro positivo, que corresponde a semana no
qual determinada taxa foi computada. O menor nmero inteiro positivo
maior do que 12 13: 13 12 13n> = RESPOSTA: 02
-
Questo 39 Com fins beneficentes, organizou-se um sorteio para o
qual foram vendidas cartelas com nove nmeros dispostos na forma de
matrizes de ordem 3. Foi premiado o portador da cartela cujos
nmeros aij obedeciam regra a 3ija i j= .. A matriz assim obtida tem
determinante igual a 01) 14. 03) 0. 05) 14. 02) 10. 04) 10.
Resoluo: A regra usada na matriz diz respeito ao uso de uma frmula
no qual leva em conta os ndices de cada elemento de uma matriz. O
ndice i representa em que linha o elemento da matriz se encontra
disposto na coluna assim como o j representa para a coluna. Quando
se diz que uma matriz de ordem 3, automaticamente o locutor j
informa que se trata de uma matriz quadrada do tipo 3 3 . Portanto,
a matriz 3M :
11 12 13
3 21 22 23
31 32 33
a a aM a a a
a a a
=
Os valores dos elementos ija desta matriz podem ser encontrados
utilizando a regra dada no enunciado:
ija i j 3i j Valor
11a 1 1 ( )1 3 1 2
12a 1 2 ( )1 3 2 5
13a 1 3 ( )1 3 3 8
21a 2 1 ( )2 3 1 1
22a 2 2 ( )2 3 2 4
23a 2 3 ( )2 3 3 7
31a 3 1 ( )3 3 1 0
32a 3 2 ( )3 3 2 3
33a 3 3 ( )3 3 3 6 Desta forma, a matriz 3M representada pelos
valores:
3
2 5 81 4 70 3 6
M =
Utilizaremos a Regra de Sarrus para calcular o determinante
dessa matriz:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )
3
3
3
3
3
2 5 8 2 51 4 7 1 40 3 6 0 3
det 2 4 6 5 7 0 8 1 3 8 4 0 2 7 3 5 1 6
det 48 0 24 0 42 30
det 72 72
det 0
M
M
M
M
M
=
= + + + +
= + + + +
=
=
-
RESPOSTA: 03 Questo 40 Em determinado concurso, os candidatos
foram distribudos em salas, com 40 candidatos cada, segundo a ordem
crescente dos seus nmeros de inscrio, conforme indicado na
tabela.
Nessas condies, pode-se afirmar que um candidato cujo nmero de
inscrio coincide com a mdia aritmtica dos nmeros de inscrio obtidos
atravs de todas as permutaes de 2, 7 e 9 ficou na sala de nmero 01)
20. 03) 18. 05) 16. 02) 19. 04) 17. Resoluo: Primeiramente devemos
determinar o nmero de inscrio do candidato que, segundo o
enunciado, se trata da mdia aritmtica entre todos os nmeros
formados pela permutao entre os algarismos 2, 7 e 9.
( )( )( )
3 3!
3 3 2 1
3 6
P
P
P
=
=
=
Sabemos ento que h 6 nmeros a serem determinados: __ __ __ 2 7 9
279 2 9 7 297 7 2 9 729 7 9 2 792 9 2 7 927 9 7 2 972
A mdia desses nmeros ( X ) igual a soma deles divida por 6:
279 297 729 792 927 9726
39966
666
X
X
X
+ + + + +=
=
=
O candidato ento possui a ficha de nmero 666. Todos os demais
candidatos com numerao menor que a dele (665 candidatos) foram
separados de 40 em 40 e postos em salas com numerao crescente (1,
2, 3, ...). Para descobrir a sala no qual ficou o candidato em
estudo, basta dividir o nmero de sua inscrio por 40:
6661626640
26
Isso indica que parte dos 665 candidatos ficaram distribudos nas
salas de 1 a 16 e o candidato de ficha 666 ficou na sala seguinte,
juntamente com outros 26 candidatos anteriores a ele em nmero de
inscrio.
-
O nmero inteiro positivo posterior a 16 17. Logo: Sala do
candidato: 17 RESPOSTA: 04 Questo 41 Devido a um problema na emisso
digital de senhas, um funcionrio recebeu uma caixa contendo cartes
numerados para serem distribudos ao pblico como senhas de
atendimento. Examinando-se esses cartes, observou-se que 20 deles
tinham numerao mltipla de 3; 15 deles tinham numerao mltipla de 4;
10 deles tinham numerao mltipla de 12. Considerando-se que a caixa
contm o menor nmero possvel de cartes com essas caractersticas,
pode-se afirmar que, retirando-se, aleatoriamente, um desses
cartes, a probabilidade de que ele no tenha numerao mltipla de 12
igual a
01) 14
03) 25
05) 35
02) 310
04) 12
Resoluo: Primeiramente devemos calcular o conjunto universo (U).
Segundo o enunciado, o menor nmero possvel de cartes que obedecem
as caractersticas descritas. Sabe-se que 12 mltiplo de 3 e 2: 12 4
3= Ento, desde que todos os cartes que so mltiplos de 12 tenham
sido computados tambm como mltiplos de 3 e 4, os cartes do conjunto
universo ter um valor mnimo. Considerando: Nmero de cartes mltiplos
de 12: 12c Nmero de cartes mltiplos somente de 3: 3c
Nmero de cartes mltiplos somente de 4: 4c Ento:
3 12
3
3
2020 1010
c ccc
=
=
=
4 12
4
4
1515 105
c ccc
=
=
=
O conjunto universo (U) a soma de 3c , 4c e 12c :
3 4 12
10 5 1025
U c c cUU
= + +
= + +=
O evento de escolher aleatoriamente um carto cuja numerao no
mltipla de 12 ( E ) complementar do evento de escolher
aleatoriamente um carto cuja numerao seja mltipla de 12 (E). Dessa
forma, a soma das probabilidades desses dois eventos ocorrerem
igual a 1:
( ) ( ) 1
( ) 1 ( )
P E P E
P E P E
+ =
=
-
Podemos determinar facilmente o valor de ( )P E encontrando
primeiro o valor de ( )P E . A probabilidade de escolher
aleatoriamente um carto cuja numerao seja mltipla de 12 :
12( )
10( )252( )5
cP EU
P E
P E
=
=
=
Com o valor de ( )P E , possvel calcular ( )P E :
2( ) 15
5 2( )5
3( )5
P E
P E
P E
=
=
=
RESPOSTA: 05 Questo 42 Considere uma circunferncia de centro C e
raio 4cm, que se apoia sobre uma reta tangente r, como indicado na
figura, e P, um ponto da circunferncia posicionado na horizontal
direita de C.
Sabe-se que P se desloca sobre a circunferncia, no sentido
horrio, at ocupar uma posio em que sua distncia reta r mede 3cm. Se
a mesma localizao de P fosse obtida atravs de um deslocamento no
sentido anti-horrio, ento correto afirmar que a amplitude da rotao
feita por P mediria, em radianos,
01) 23 03) 5
6 05) 9
4
02) 34 04) 7
6
Resoluo: Essa questo passiva de recursos, pois no enunciado o
que foi informado como raio da circunferncia na verdade o dimetro
da mesma. Considerando ento o valor do dimetro (d) da circunferncia
sendo igual a 4, o raio da circunferncia (r) ser:
2422
dr
r
r cm
=
=
=
-
A questo diz ento que o ponto P se move no sentido anti-horrio
at alcanar uma distncia a reta r equivalente a 3 cm. Podemos
representar isso esboando na figura:
2 cm
3 cm
1 cm
2 cm1 cm
O ngulo pode ser encontrado atravs do seguinte tringulo
retngulo:
2 cm1 cm
P
C Fazendo:
( )
( )
1
1212
4
Cateto opostosenHipotenusa
sen
sen
=
=
=
=
O valor de pde ser encontrado, pois se tratava de um ngulo
notvel ( 30 ou 4 em radianos). O
ngulo formado por P em relao a sua posio inicial, quando
deslocado no sentido anti-horrio ( ):
-
44
454
= +
= +
+ =
=
O ngulo pedido no enunciado aquele formado por P quando se
desloca at a posio j estudada no sentido horrio. Por conta disso,
os ngulos e so ngulos replementares, ou seja:
2 + = J conhecendo , podemos determinar :
22
524
8 54
34
+ ==
=
=
=
RESPOSTA: 02* (QUESTO PASSIVA DE RECURSO!) OBSERVAES:
O ngulo poderia tambm ser calculado subtraindo de . Isso pode
ser visto na figura esboada.
A questo no foi anulada pois no houveram recursos sobre ela.
Questo 43
Os pontos A, B, C e D representam, no plano complexo, os vrtices
de uma mesa de sinuca, retangular, de lados paralelos aos eixos
coordenados e cujo centro O coincide com a origem do referido
sistema de coordenadas. Aps uma tacada na direo de z = 1 + i, uma
bola colocada no ponto P segue at Q, na lateral dessa mesa, indo,
em seguida, at R. Sabendo-se que a bola se desvia com o mesmo ngulo
com que incide e que os pontos
A e P so afixos dos nmeros complexos z1 = 3 + 2i e z2 = 12
, respectivamente,
pode-se afirmar que o ponto R afixo de um nmero complexo cujo
argumento principal tal que 01) 6tg = 1 02) 6tg = 1 03) 3tg = 2 04)
2tg = 3 05) 3tg = 4
-
Resoluo: Essa questo passiva de recursos por conta de que o
valor adotado para z2 foi erroneamente igual a
12
. Pela prpria figura, visvel que o valor que deveria ser adotado
para z2 (que possui P como afixo)
32
. Com o valor dado no enunciado, a resposta dar uma alternativa
diferente da referida no gabarito.
Iremos responder a questo considerando z2 = 32
.
Para comear a responder a questo, devemos descobrir qual o ngulo
feito pela bola de sinuca no trajeto PQ o eixo dos nmeros reais (
). Para tanto, preciso descobrir o ngulo de z = 1 + i. Considerando
z = a + bi:
( )
( )
( )
2 2
2 2
1
1 1
2
cos
1cos22cos
22cos
2
45
z a b
z
z
az
= +
= +
=
=
=
=
=
=
O enunciado diz que a bola desvia com o mesmo ngulo que incide.
As leis da geometria plana nos garante que o mesmo ngulo formado
entre PQ e o eixo real ser o ngulo formado por PQ e o
segmento BA . Desta forma:
45
45 45
Sabe-se da questo que o ponto P e o ponto A so afixos dos nmeros
complexos z1 = 3 + 2i e z2 = 32
respectivamente. Isso quer dizer que o ponto P e o ponto A
representam os nmeros complexos z1 e z2.
-
Logo:
( )3,23 ,02
A
P
=
=
Isso representa importantes medidas do grfico:
45
45 45
-3/2
2
3
XY
Z
O
Aproveitamos e identificamos pontos no grfico que sero
importantes em nosso estudo (O, X, Y e Z). O prximo passo, fazer
uma anlise dos trs tringulos formados pelos grupos de pontos POX,
XZQ e QAR. Analisando primeiramente o tringulo POX:
45
X
OP3/2
a
Sabe-se que todo tringulo retngulo que possui ngulo entre um de
seus catetos e hipotenusas igual a 45 um tringulo issceles, ou
seja, que possui catetos com mesma medida. Desta forma:
-
32
a =
Sabendo o comprimento de OZ e OX possvel determinar o
comprimento de XZ :
232
322
4 32
12
OZ
OX
XZ OZ OX
XZ
XZ
XZ
=
=
=
=
=
=
Sabendo o comprimento de XZ , podemos ento determinar o
comprimento ZQ estudando o tringulo XZQ:
45
X
Z Qb
1/2
Por se tratar de um tringulo retngulo com ngulo entre cateto e
hipotenusa de 45, conclumos que:
12
b =
Sabendo o comprimento de ZQ e ZA agora podemos calcular o
comprimento de QA :
312
132
6 12
52
ZA
ZQ
QA ZA ZQ
QA
QA
QA
=
=
=
=
=
=
-
O ltimo tringulo a ser estudado o QAR:
45
R
AQ5/2
2d
Y
c
Este tringulo tambm se trata de um tringulo issceles.
Portanto:
52
c =
No tringulo acima, fica fcil interpretar que:
2c d= + Conhecido o valor de c, podemos ento determinar o valor
de d:
25 225 4
212
d c
d
d
d
=
=
=
=
Pela figura do enunciado, sabemos que o ponto R possui a mesma
medida de A no eixo Real (3). A medida de R no eixo imaginrio o
valor negativo de d, pelo fato do ponto R se encontrar abaixo do
eixo Real. Portanto:
13,2
R =
-
3-1/2
Para calcularmos o argumento, basta utilizarmos a frmula, que
pode ser deduzida utilizando os conceitos trigonomtricos na figura
acima:
1 2tan( )31tan( )6
6 tan( ) 1
=
=
=
RESPOSTA: 01 *(QUESTO PASSIVA DE RECURSO!) OBSERVAO: Como foi
dito no incio dessa resoluo, a resposta dada no gabarito foi
baseada na informao errada de z2 dada no enunciado. Se utilizado o
valor fornecido na questo, a resposta seria o item 02. No recurso
caberia ento um pedido de mudana de gabarito. Questo 44 Sabe-se que
a capacidade de uma taa na forma de um cone equiltero de 372 3 cm
.
Se uma pessoa colocou um lquido nessa taa at a altura
correspondente a 23
do raio
mximo da taa, ento sobre o volume de lquido nela colocado, em
3cm , pode-se afirmar: 01) menor do que 6,2 . 02) Est entre 6,2 e
7,5 . 03) igual a 7,5 . 04) Est entre 7,5 e 8,8 . 05) igual a 8,8 .
Resoluo: Um cone equiltero se trata de um cone cuja seo meridiana
tem o formato de um tringulo equiltero. Na figura abaixo,
apresentamos o cone com a representao das medidas da altura ( h ),
dimetro e raio da base ( d e r , respectivamente) alm da rea da
base ( baseA ), sombreada de cinza.
-
60
h
b
r
baseA
O volume de um cone equivale 13
do volume de um cilindro. Ou seja:
3baseA hV =
A sua rea da base pode ser calculada pela frmula da rea do
cculo:
2baseA r=
Por sua seo meridional se tratar de um tringulo issceles,
possvel determinar a relao entre a altura e base desse
tringulo:
-
60
h
b
r
b
Utilizando da frmula de seno, podemos encontrar uma relao entre
a base e altura do cone:
( )( )
sen 60
sen 60
32
hb
h b
h b
=
=
=
A figura acima tambm deixa clara a relao entre o raio e a
base:
2b r= Assim, podemos encontrar uma relao entre a altura e a
base:
( ) 322
3
h r
h r
=
=
-
Sabe-se da questo que a altura do volume que deve ser
determinado corresponde a 23
do raio mximo
do volume do cone estudado. Devemos primeiramente determinar o
valor do raio mximo ( mxr ). Isso possvel pois a questo deu o valor
do volume mximo do cone. Ento, devemos deixar o volume mximo do
cone mxV em funo de mxr :
( ) ( )
,
2
3
33
33
3
base mx mxmx
mx mxmx
mxmx
A hV
r rV
rV
=
=
=
Utilizando-se da frmula acima e do valor de mxV dado no
enunciado, determinamos mxr :
72 3mxV =
( )
3
3
3
3
3
3 2 3
3 3 3
3 3 3
33372 3
3
723
72 3
9 8 3
3 2 3
3 2
3 23 26
mxmx
mx
mx
mx
mx
mx
mx
mx
mx
mx
rV
r
r
r
r
r
r
rrr cm
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
O enunciado diz que a altura do volume de lquido que preenche a
taa corresponde a 23
do raio mximo
dela. Ento:
232 634
mxh r
h
h cm
=
=
=
A relao entre a altura e o raio feita previamente nessa resoluo
agora nos serve para determinar o valor do raio do volume de
lquido:
3
343
4 33
h rhr
r
r cm
=
=
=
=
Com o valor do raio podemos determinar o valor da rea de
base:
-
224 3
3
16 39
163
base
base
base
base
A r
A
A
A
=
=
=
=
E assim determinamos o volume pedido no enunciado:
3
316 4
33
64 13 3
649
7,11
baseA hV
V
V
V
V cm
=
=
=
=
Sabe-se que: 6,2 7,11 7,5 < < RESPOSTA: 02 Questo 45
Devido ao crescimento no nmero de ocorrncias violentas em
determinado bairro decidiu-se instalar um posto policial cuja
localizao foi escolhida, por razes estratgicas, tomando-se como
referncia trs regies R1, R2, R3 de maior incidncia de eventos dessa
natureza. Se R1, R2, R3 forem representadas no plano cartesiano por
(6,1), (6,9) e (13,1), respectivamente, ento o posto dever ser
representado por um ponto P, o mais prximo possvel de R1 e R2,
equidistante destes e, alm disso, a uma distncia de 5u.c. de R3.
Assim sendo, a medida da distncia do ponto P a R2, em unidades de
comprimento, dever ser, aproximadamente, igual a 01) 4,0. 02) 4,7.
03) 5,3. 04) 5,6. 05) 6,2. Resoluo: A localizao do ponto P pode ser
facilmente determinada no grfico fazendo-se a interpretao correta
das informaes dadas no enunciado. Seguindo-as, teremos o seguinte
grfico:
-
xy
6 13
9
1
5
1R
2R
3R
P
px
py
A partir dos dados constados no prprio desenho possvel
determinar o valor da abscissa e ordenada de P. Entretanto, nem
sempre possvel fazer uma boa deduo do posicionamento de um ponto.
Nesses momentos mais confivel determinar sua posio atravs de
clculos de distncia entre pontos baseados na geometria analtica.
Encontraremos o ponto P neste exerccio por meio do clculo da
distncia entre pontos. Para tanto, nomearemos as abscissas e
ordenadas de cada um conforme figura abaixo:
( )( )( )
( )
1 1 1
2 2 2
3 3 3
,
,
,
,p p
R x y
R x y
R x y
P x y
=
=
=
=
O enunciado diz que P deve estar eqidistante dos pontos 1R e 2R
. Na geometria analtica, isso pode ser
interpretado como a distncia do ponto P e 1R igual a distncia
entre o ponto P e 2R . Desta forma:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
, ,
6 1 6 9
6 1 6 9
1 9
2 1 18 812 1 18 812 18 81 1
16 8080165
p p p p
p p p p
p p p p
p p
p p p p
p p
p p
p
p
p
d P R d P R
x x y y x x y y
x y x y
x y x y
y y
y y y y
y y
y y
y
y
y
=
+ = +
+ = +
+ = +
=
+ = +
+ = +
+ =
=
=
=
-
Conclumos ento que o valor da ordenada de P igual a 5. A segunda
condio dada no enunciado para a localizao do ponto P que ele esteja
a uma distncia de 5 u.c. do ponto 3R . Em nmeros, isso quer dizer
que:
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
3
2 2
3 3
2 2
2 2
2
2
, 5
5
13 5 1 5
13 4 25
26 169 16 25
26 160 0
p p
p
p
p p
p p
d P R
x x y y
x
x
x x
x x
=
+ =
+ =
+ =
+ + =
+ =
Chegamos com essa segunda condio a uma equao do segundo grau
para determinar px . Podemos
utilizar frmula de Bhaskara ou as Relaes de Girard para
determinar as razes de px . Nesta resoluo, usaremos as Relaes de
Girard:
( ) 102616160
pp p
pp p
xx xxx x
= + = = =
Encontramos ento dois valores de px . Uma das condies do
enunciado que o ponto P fosse o mais
prximo possvel dos pontos 1R e 2R . Essa condio nos ajuda a
determinar qual raiz corresponder ao
valor da abscissa de P ( px ). Como a ordenada de P deu um valor
nico e os pontos 1R e 2R possuem mesmo valor de abscissa (ambos
iguais a 6), basta verificar quais das razes dar menor distncia, em
mdulo, da abscissa dos pontos 1R e 2R :
6 10 6 46 6
6 16 6 10p
p p
p
xx x
x
= = < = =
Descobrimos ento que px a que possui a menor distncia da
abscissa dos pontos 1R e 2R . Portanto:
10p p
p
x x
x
=
=
Desta forma:
( )10,5P = A questo pede ento para calcularmos a distncia entre
os pontos P e 2R . Como j sabemos a posio de ambos, basta aplicar a
frmula para clculo da distncia entre pontos:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
2 2
2 2 2
2 22
2 22
22
2
,
, 10 6 5 9
, 4 4
, 2 4
, 4 2
p pd P R x x y y
d P R
d P R
d P R
d P R
= +
= +
= +
=
=
A raiz de 2 uma raiz inexata do qual dificilmente saberemos seu
valor aproximado de cabea. Como as alternativas apresentam valores
aproximados da distncia entre os pontos P e 2R ( ( )2,d P R ),
poderemos encontrar a alternativa correta atravs do quadrado de (
)2,d P R :
-
( )( )( )( )( )
22
2 22
22
, 2 4
, 2 4
, 32
d P R
d P R
d P R
=
=
=
Sabendo o que ( )( )22, 32d P R = testamos quais dos valores das
alternativas ao quadrado d mais prximo de 32. Sabemos que 26 36= e
25 25= . Portanto o valor dessa distncia est entre 6 e 5.
Portanto:
2
2
2
5,3 28,095,6 31,366,2 38,44
=
=
=
Conclumos ento que ( )2, 32d P R RESPOSTA: 02 OBSERVAO: Existe
uma frmula muito difundida com o qual possvel encontrar um valor
aproximado de uma raiz quadrada de um nmero inexato. Em muitos
casos, ela d o resultado de uma raiz inexata com aproximao de uma
casa decimal. Entretanto, o uso indiscriminado dessa frmula poder
induzir o aluno ao erro. Ela escrita como:
2n qn
q+
Em que: n: o nmero que no possui raiz quadrada exata. q: o nmero
que possui raiz quadrada exata com valor mais prximo ao de n.
Tomando como exemplo a questo acima, se utilizssemos a frmula para
calcular o valor de 2 , encontraramos:
2 422 4624
2 1,5
+
Logo o resultado seria:
( )( ) ( )( )
2
2
2
, 4 2
, 4 1,5
, 6
d P R
d P R
d P R
Esse valor iria nos induzir a aproximar o resultado para 6,2 e
consequentemente erraramos a questo depois de muito trabalho braal.
Entretanto, se ao invs de calcularmos o valor de 2 calculssemos o
valor de 32 ( 4 2 32= ) com o uso da frmula de valores aproximados,
teramos:
-
32 36322 36
683212
32 5,66
+
Neste clculo seramos induzidos a marcar a alternativa correta.
sempre bom sermos muito cticos com o uso de frmulas que do valores
aproximados e sempre que possvel testarmos a validade desses
valores, como foi mostrado na soluo da questo 45.
