RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO

Ana Paula Gargano

ESTRUTURAS LÓGICAS

• Sentenças

São frases que apresentam significado. As sentenças podem ser abertas ou fechadas.

1. Sentença aberta: apresentam variáveis.

Exemplo: x+2=4; 2x²<36

2. Sentença fechada: Não tem variável, são frases.

Exemplos:

Feliz Natal!(sentença exclamativa)

Que dia é a prova?(sentença interrogativa)

Vá embora!(sentença imperativa)

Joana foi à feira. (sentença declarativa)

Uma sentença fechada que nos permite um julgamento falso ou verdadeiro é denominada proposição.

Estruturas Lógicas

• Proposição

Chama-se proposição todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. É uma frase, uma oração declarativa(afirmativa ou negativa) que tem estrutura(sujeito e predicado).

Em resumo, toda proposição deve:

1. Ser uma oração que tenha sujeito e predicado;

2. Possuir somente dois valores lógicos: Verdadeiro(V) ou Falso(F);

3. Ser declarativa, isto é, não pode ser exclamativa, interrogativa e nem imperativa.

Exemplos:

a) Pelé é argentino.

b) Ana é mulher.

c) A bola é quadrada.

Não são proposições:

a) Feliz Natal!(sentença exclamativa)

b) Que dia é a prova?(sentença interrogativa)

c) Vá embora!(sentença imperativa)

d) Uma bola preta.(expressão sem sentido completo)

e) Olá!

A lógica matemática se baseia em três leis, as leis fundamentais do pensamento lógico

• Princípio da identidade

Se uma proposição é verdadeira, então ela é verdadeira; uma proposição falsa é falsa.

• Princípio da não-contradição

Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

• Princípio do terceiro excluído

Uma proposição ou será verdadeira ou será falsa: não há outra possibilidade.

Toda proposição tem um,e um só, dos valores V ou F.

As proposições podem ser classificadas em simples ou compostas:

1. Simples ou atômica: Envolve uma oração.

As proposições simples são representas por letras minúsculas(p, q, r, s…)

Exemplos:

p:Caio é careca.

q:O número dois é primo.

2.Composta ou molecular: Possuem duas ou mais orações,é formada pela união de duas ou mais ou proposições simples.

É representada por letra maiúscula(P,Q,R,...).

Exemplos:

P: Ana vai à praia e Paula vai trabalhar.

1ºoração: p: Ana vai à praia.

2º oração: q: Paula vai trabalhar.

Se P é uma proposição composta escreve-se

P(p,q)

R: João é careca ou Lucas é estudante.

S: Se João é careca, então é feliz.

T: Paula vai trabalhar se e somente se chover.

• Modificadores

A partir de uma proposição, podemos formar outra proposição usando o modificador ´não`

(~) que será sua negação e possuirá o valor oposto ao da proposição.

Exemplo:

p: Ana tem dois irmãos.

~p: Ana não tem dois irmãos.

IPC!

• Quando uma proposição é verdadeira, sua negação é falsa.

• Quando uma proposição é falsa, sua negação é verdadeira.

• Podemos representar a negação por ~(til) ou ¬(cantoneira).

Exercícios de fixação:

1) Quais das proposições são declarativas?

a) Feliz ano novo!

b) Ana é irmã de Sérgio.

c) Saia agora.

d) Quantos anos você tem?

e) Parabéns!

f) Nem todos os homens são fiéis.

g) Ana é professora.

h) 2+5=9

i) 7 vezes 8

j) Amanhã choverá.

k) Resolva esta questão.

l) Existem amigos melhores que irmãos.

m) Deus é amor.

n) Caio não é estudioso.

Conectivos

São usados para compor novas proposições.

Estruturas fundamentais

Representação Denominação

e p^q conjunção

ou pvq disjunção

...ou...ou pvq Disjunção

exclusiva

Se...então p→q condicional

...se e somente se

p↔q bicondicional

Para analisar se uma proposição é verdadeira ou falsa, dependerá de:

1. O valor lógico das proposições componentes;

2. Do tipo de conectivo que as une.

Para isso, usamos a tabela-verdade.

Tabela-Verdade

O número de linhas de

uma tabela-verdade está em função do número de proposições simples que a compõem.É dada pela fórmula 2n, onde :

n: número de proposições simples

p q

V V

V F

F V

F F

Conjunção(^)

São proposições ligadas pelo conectivo “e”.

Ex: P: Ana é estudante e Paula é professora.(p^q)

p: Ana é estudante.

q: Paula é professora.

“Só é verdadeira quando as duas forem verdadeiras”.

p q p^q

V V V

V F F

F V F

F F F

Podemos representar graficamente a conjunção p^q, que corresponderá à intersecção do conjunto p com o conjunto q.

p ∩ q

Disjunção (v)

São proposições ligadas

pelo conectivo “ou”.

Ex: P: Ana é estudante ou Paula é professora.(pvq)

p: Ana é estudante.

q: Paula é professora.

“Só é falsa quando as duas forem falsas”.

p q pvq

V V V

V F V

F V V

F F F

Podemos representar graficamente a disjunção pvq, que corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q.

p U q

Disjunção exclusiva(v)

Na disjunção exclusiva, as duas proposições não podem ocorrer ao mesmo tempo

São proposições ligadas pelo conectivo “ou...ou...”.

Ex: P: Ana é carioca ou Ana é mineira.(pvq)

É costume escrever: Ou Ana é carioca ou Ana é mineira.

“É verdadeira quando as duas forem diferentes” .

p q (pvq)

V V F

V F V

F V V

F F F

Podemos representar graficamente a disjunção pvq, que corresponde a união do conjunto p que não está em q (q-p) com a parte do conjunto q que não está em p (p-q). Isso é equivalente a diferença entre a união dos conjuntos p e q.

p v q

(p-q) U (q-p)

Condicional(→)

São proposições ligadas pela condicional “se...então”.

Ex: P: Se Ana é estudante então Paula é professora.(p→q)

p: Ana é estudante.

q: Paula é professora.

“É falso quando Vai à Festa (VF)”.

p q p→q

V V V

V F F

F V V

F F V

• Representamos graficamente a condicional “Se...então”, p→q, que

corresponde a inclusão do conjunto p no conjunto q (p está

contido em q)

P c Q

p P

Q

• IPC!

O condicional p→q pode ser lido também das seguintes formas:

I) p implica(ou acarreta) q;

II) p somente se q;

III) p é condição suficiente para q;

IV) q é condição necessária para p.

Bicondicional(↔)

São proposições ligadas pela bicondicional “...se somente se”.

Ex: P: Ana é estudante se e somente se Paula é professora.(p ↔ q)

p: Ana é estudante.

q: Paula é professora.

“Só é verdadeira quando as duas apresentam valores iguais”.

p q p↔q

V V V

V F F

F V F

F F V

Podemos representar graficamente p↔q, que representará a igualdade do conjuntos p e q.

p=q

• IPC!

São também equivalentes à bicondicional “p se e somente se q” as seguintes expressões:

I) q é condição necessária para p e p é condição necessária para q;

II) Todo p é q e reciprocamente;

III) p é necessário e suficiente para q.

RESUMO

Proposição Condição para ser verdadeira(V)

p^q VV

pvq NÃO FF

p→q NÃO VF

p↔q NÃO VF FV

Conjunção

e

Disjunção

ou

Disjunção exclusiva

Ou...ou

Condicional

Se...então

Bicondicional

...se e somente se...

p q p^q pvq p v q p→q p↔q

V V V V F V V

V F F V V F F

F V F V V V F

F F F F F V V

Exercitando

1) Sejam as proposições:

p: O rato entrou no buraco.

q: O gato seguiu o rato.

Forme sentenças na linguagem natural, que corresponde as proposições seguintes:

a) ~p

b) ~q

c) p^q

d) pvq

e)~p^q

f)p→~q

g)p↔q

2) Dê o valor lógico da sentença:

“Se 4+4=9, então eu sou o rei da Espanha”.

3) Sejam as sentenças:

p: Neymar é argentino.

q: 0,2222... É um número irracional.

Determine o valor lógico de:

a) p^q b) pvq c)p↔q d)p→q

Exercícios

1)Sejam p,q e r proposições verdadeiras e a,b e c proposições falsas. Determinar o valor lógico dos seguintes itens:

a) p→(q→r)

b) a→(q→r)

c) (a→b)→c

d) [(a→b)→q]→c

Exercícios

2) (TRT-Ana.Jud.-FCC2010) Se Alceu tira férias, então Brenda fica trabalhando. Se Brenda fica trabalhando, então Clóvis chega mais tarde ao trabalho. Se Clóvis chega tarde ao trabalho, então Dalva falta ao trabalho. Sabendo que Dalva não faltou ao trabalho, é correto concluir que:

a) Alceu não tira férias e Clóvis chega tarde ao trabalho.

b) Brenda não fica trabalhando e Clóvis chega mais tarde ao trabalho.

c) Clóvis não chega mais tarde ao trabalho e Alceu não tira férias.

d) Brenda fica trabalhando e Clóvis chega mais tarde ao trabalho.

e) Alceu tira férias e Brenda fica trabalhando.

C

3)(AFCA-FCC) Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora, Rui não vai a Roma, logo:

a) Celso compra um carro e Ana não vai à África.

b) Celso não compra um carro e Luís não compra um livro .

c) Ana não vai à África e Luís compra um livro.

d) Ana vai à África ou Luís compra um livro.

e) Ana vai à África e Rui não vai a Roma.

A

4) (TFC - EsAF) Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora, não sou amiga de Clara.

Assim,

a)não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel.

b)não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara.

c)sou amiga de Nara e amiga de Abel.

d)sou amiga de Oscar e amiga de Nara.

e)sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara. B

5) (Geometriamar - AFC - EsAF) Ao resolver um problema de matemática, Ana chegou à conclusão de que: x=a e x=p , ou x=e. Contudo, sentindo-se insegura para concluir em definitivo a resposta do problema, Ana telefona para Beatriz, que lhe dá a seguinte informação: x≠e. Assim, Ana corretamente conclui que:

– x≠a ou x≠e . – x=a ou x=p . – x=a e x=p . – x=a e x≠p. – x≠a e x≠p .C

6) Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo.

7) (AFC) Ana é artista ou Carlos é compositor. Se Mauro gosta de música, então Flávia não é fotógrafa. Se Flávia não é fotógrafa, então Carlos não é compositor. Ana não é artista e Daniela não fuma. Pode-se, então, concluir corretamente que:

a) Ana não é artista e Carlos não é compositor. b) Carlos é compositor e Flávia é fotógrafa. c) Mauro gosta de música e Daniela não fuma. d) Ana não é artista e Mauro gosta de música. e) Mauro não gosta de música e Flávia não é fotógrafa.

B

Tabela Verdade

1) Construa a tabela verdade de cada uma das seguintes proposições:

a) ~p^q

p q ~p ~p^q

b)~pv~q p q ~p ~q ~pv~q

Negação de uma proposição composta

• Conjuntiva (e): ~(p^q) 1º) negamos a primeira(~p) 2º) negamos a segunda(~q) 3º) trocamos e por ou

~(p^q)=~pv~q

Exemplo: (EPPGG) A negação de “Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José” é:

• Disjuntiva (ou): ~(pvq)

1º) negamos a primeira(~p)

2º) negamos a segunda(~q)

3º) trocamos ou por e

~(pvq)=~p^~q

Exemplo:A negação da afirmativa: “Me caso ou compro sorvete” é...

• Condicional (se...então): ~(p→q)

1º) mantém-se a primeira parte (p) e

2º) negamos a segunda(~q)

~(p→q)=p^~q

Exemplo: 1) A negação da afirmação: “Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva”.

2)( Prominp) A negação de “se hoje chove então não haverá jogo” é:

a) hoje não chove e haverá jogo.

b) hoje chove e haverá jogo.

c) hoje chove ou não haverá jogo.

d) hoje não chove ou haverá jogo.

e) se hoje chove então haverá jogo.

• Bicondicional (se e somente se): ~(p↔q)

1º) negamos a primeira(~p)

2º) negamos a segunda(~q)

3º) trocamos e por ou

~(p↔q)=[(p^q)v(q^~p)

Exemplo:

Tautologia

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições será dita uma tautologia se ela for sempre verdadeira.

Contradição Uma proposição composta formada por duas

ou mais proposições será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independente dos valores lógicos das proposições que a compõem.

Contingência

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma contradição.