RELAÇÕES INTEGRAIS APLICADAS A

VOLUMES DE CONTROLO

Exercício proposto 3.11

MECÂNICA DOS FLUIDOS

Intr

od

uçã

o T

eó

rica

RELAÇÕES INTEGRAIS APLICADAS A VOLUMES DE CONTROLO

ESTU

DO

(e

sco

amen

to)

Via Teórica

Análise Diferencial Dimensões

infinitesimais

Análise Integral Dimensões Finitas

Via Experimental Não Viável

Como vamos fazer um estudo teórico, vamos basear-nos num conjunto de equações

MÉTODO DE RESOLUÇÃO

Fazer uma selecção dos princípios físicos

Aplicar esses princípios físicos a um modelo adequado do nosso problema

Intr

od

uçã

o T

eó

rica

RELAÇÕES INTEGRAIS APLICADAS A VOLUMES DE CONTROLO

-Relacionar um sistema com um volume de controlo instantaneamente coincidentes

EQUAÇÕES E PRINCÍPIOS FÍSICOS

Sist.

VC t

𝑉

𝑉

Sist.

VC

t+Δt

𝑉

I

II

III

I-Matéria que entrou no VC entre t e t+Δt II-Matéria que permaneceu no VC entre t e t+Δt III-Matéria que no instante t pertencia ao VC e em t+Δt saiu

Intr

od

uçã

o T

eó

rica

RELAÇÕES INTEGRAIS APLICADAS A VOLUMES DE CONTROLO

-Relacionar um sistema com um volume de controlo instantaneamente coincidentes

EQUAÇÕES E PRINCÍPIOS FÍSICOS

𝑁𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝜂𝜌𝑑𝑣

𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑁 ≡ 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑣𝑎 𝜂 ≡ grandeza que multiplicada pela massa do sistema nos dá 𝑁 𝜌 ≡ massa volúmica

𝑑𝑣

𝑠𝑖𝑠𝑡 ≡ volúme do sistema

Fazendo um balanço de matéria:

𝐷𝑁

𝐷𝑡= lim

∆𝑡→0

(𝑁𝑠𝑖𝑠𝑡)𝑡+∆𝑡 − (𝑁𝑠𝑖𝑠𝑡)𝑡∆𝑡

= lim∆𝑡→0

− 𝜂𝜌𝑑𝑣

𝐼 𝑡

∆𝑡+

− 𝜂𝜌𝑑𝑣

𝐼𝐼 𝑡+ 𝜂𝜌𝑑𝑣

𝐼𝐼 𝑡+∆𝑡

∆𝑡+

𝜂𝜌𝑑𝑣

𝐼𝐼𝐼 𝑡+∆𝑡

∆𝑡

Intr

od

uçã

o T

eó

rica

RELAÇÕES INTEGRAIS APLICADAS A VOLUMES DE CONTROLO

-Relacionar um sistema com um volume de controlo instantaneamente coincidentes

EQUAÇÕES E PRINCÍPIOS FÍSICOS

𝑁𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝜂𝜌𝑑𝑣

𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑁 ≡ 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑣𝑎 𝜂 ≡ grandeza que multiplicada pela massa do sistema nos dá 𝑁 𝜌 ≡ massa volúmica

𝑑𝑣

𝑠𝑖𝑠𝑡 ≡ volúme do sistema

Fazendo um balanço de matéria:

= lim∆𝑡→0

− 𝜂𝜌𝑑𝑣

𝐼 𝑡

∆𝑡+

− 𝜂𝜌𝑑𝑣

𝐼𝐼 𝑡+ 𝜂𝜌𝑑𝑣

𝐼𝐼 𝑡+∆𝑡

∆𝑡+

𝜂𝜌𝑑𝑣

𝐼𝐼𝐼 𝑡+∆𝑡

∆𝑡

Taxa média de entrada no VC entre t e t+Δt

Taxa média de variação em II entre t e t+Δt

Taxa média de saida do VC entre t e t+Δt

Intr

od

uçã

o T

eó

rica

RELAÇÕES INTEGRAIS APLICADAS A VOLUMES DE CONTROLO

-Relacionar um sistema com um volume de controlo instantaneamente coincidentes

EQUAÇÕES E PRINCÍPIOS FÍSICOS

𝑁𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝜂𝜌𝑑𝑣

𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑁 ≡ 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑣𝑎 𝜂 ≡ grandeza que multiplicada pela massa do sistema nos dá 𝑁 𝜌 ≡ massa volúmica

𝑑𝑣

𝑠𝑖𝑠𝑡 ≡ volúme do sistema

Fazendo um balanço de matéria:

∆𝑡 → 0

II →VC

− 𝜂𝜌𝑑𝑣 𝐼𝐼 𝑡

+ 𝜂𝜌𝑑𝑣 𝐼𝐼 𝑡+∆𝑡

∆𝑡→

𝜕

𝜕𝑡 𝜂𝜌𝑑𝑣

𝑉𝐶

− 𝜂𝜌𝑑𝑣

𝐼 𝑡+ 𝜂𝜌𝑑𝑣

𝐼𝐼𝐼 𝑡+∆𝑡

∆𝑡→ 𝜂𝜌(𝑉. 𝑛 )𝑑𝐴

𝑆𝐶

Intr

od

uçã

o T

eó

rica

RELAÇÕES INTEGRAIS APLICADAS A VOLUMES DE CONTROLO

-Relacionar um sistema com um volume de controlo instantaneamente coincidentes

EQUAÇÕES E PRINCÍPIOS FÍSICOS

Fazendo um balanço de matéria:

∆𝑡 → 0

II →VC

− 𝜂𝜌𝑑𝑣 𝐼𝐼 𝑡

+ 𝜂𝜌𝑑𝑣 𝐼𝐼 𝑡+∆𝑡

∆𝑡→

𝜕

𝜕𝑡 𝜂𝜌𝑑𝑣

𝑉𝐶

− 𝜂𝜌𝑑𝑣

𝐼 𝑡+ 𝜂𝜌𝑑𝑣

𝐼𝐼𝐼 𝑡+∆𝑡

∆𝑡→ 𝜂𝜌(𝑉. 𝑛 )𝑑𝐴

𝑆𝐶

Convenção de normal unitária exterior

Influxo resultante

Sist.

VC t

𝑉

Efluxo resultante

Sist.

VC t

𝑉

𝑉. 𝑛 < 0 𝑉. 𝑛 > 0

Intr

od

uçã

o T

eó

rica

RELAÇÕES INTEGRAIS APLICADAS A VOLUMES DE CONTROLO

-Relacionar um sistema com um volume de controlo instantaneamente coincidentes

EQUAÇÕES E PRINCÍPIOS FÍSICOS

𝑁𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝜂𝜌𝑑𝑣

𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑁 ≡ 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑣𝑎 𝜂 ≡ grandeza que multiplicada pela massa do sistema nos dá 𝑁 𝜌 ≡ massa volúmica

𝑑𝑣

𝑠𝑖𝑠𝑡 ≡ volúme do sistema

Fazendo um balanço de matéria:

𝐷𝑁

𝐷𝑡=

𝜕

𝜕𝑡 𝜂𝜌𝑑𝑣

𝑉𝐶

+ 𝜂𝜌(𝑉. 𝑛 )𝑑𝐴

𝑆𝐶

Resulta na equaçao integral da conservação de uma propriedade N

Intr

od

uçã

o T

eó

rica

RELAÇÕES INTEGRAIS APLICADAS A VOLUMES DE CONTROLO

-Particularizar para N ≡𝑃 =𝑚𝑉 (quantidade de movimento)

EQUAÇÕES E PRINCÍPIOS FÍSICOS

𝑁≡𝑃 = 𝜌𝑉𝑑𝑣

𝑠𝑖𝑠𝑡

Tal como referido anteriormente, para termos N ≡ 𝑃 𝜂 ≡ 𝑉

Forças que podem ser exercidas sobre um sistema:

𝐹 𝑠-Forças de Superfície

𝐹 𝑐-Forças de Campo 𝐹 =𝐹 𝑐+𝐹 𝑠

A segunda lei de Newton aplicada a um referêncial de inércia:

𝐹 =m𝑎 m constante

𝑎 =𝐷𝑉

𝐷𝑡

Conclusões