3 Apresentao
Ofococentraldesterelatrioapresentarosconceitosmatemticosdautilizaode
matrizesnaadministraodeumafloresta,ecolheitadepopulaesanimaisapresentando
para este o modelo matricial de Leslie de crescimento populacional.
Explicarosfenmenosocorridosatravsdalgebramatricialestudadaemlgebra
linear.Explicitandoosprincipaismodelosmatemticosutilizadosparacompreenderdeuma
maneira analtica processos ou fenmenos ecolgicos ocorrentes na
natureza, e demonstrar a
matemticacomoferramentaeficienteparaestudodemodelosamostraisestudadosna
ecologia. Palavras Chave
Operaesmatriciais;matrizdeLeslie;rendimentosustentveltimo;modelos
matemticos; valores agregados; poltica de colheita sustentvel. 4
Rendimento Sustentvel timo
Primeiramentedeve-seanalisaroquesedefinecomorendimentosustentveltimo,
tendoemvistaumsistemaamostral,sejaomesmoumafloresta,comrvoresdediferentes
alturas, e as rvores que possuem valor econmico e as que no possuem
valor econmico. Quando se considera as rvores de uma floresta como
o sistema amostral e atribumos valores, devemos considerar que h
rvores que sero cortadas e rvores que permanecero
nafloresta,tendoqueestabelecerentreestesdoiseixosumequilbrioparaquenoexistam
prejuzos, ou danos, devendo ser o nmero de rvores repostas iguais
ao de rvores que foram cortadas.
Estabelecidoentodoisconjuntos,osdasrvoresquepossuemvaloreconmicoe
serocortadas,easrvoresquepermaneceramnaflorestaparanoquebraroequilbrio
ecolgicodessesistemaamostral,oqueseentendeporrvoresquepossuemvalor
econmico?Todasasrvoresquepodemsercortadastemalgumvaloreconmico?Para
responder essa pergunta consideremos que para haver valor econmico
deve-se considerar a
altura,descartandoentoasmudaeasrvoresquemorremnaturalmente,comotal
determinantefatorquepodelevaraoequilbriooudesequilbriodosistemaamostraldesse
ecossistema.Entooutraperguntasurge:Todasasrvoresquepossuemumaalturaque
determinaumvaloreconmicoconsiderveldevemsercortadas?Certamentequeno,pois
entraramosemcontradiodoqueestabelecemosnoinciocomoconjuntoaserem
consideradosedenegriramososignificadodapalavrasustentvel,sendoentovivelque
todas as rvores de altura economicamente viveis devem ser separadas
em duas metades e
seremaderidosaosnossosdoisconjuntosiniciais,ouseja,metadedasrvoresdevalores
economicamente viveis dever sercortada e a outra metade dever
permanecerna floresta, havendo um equilbrio sustentvel, definido
como rendimento sustentvel timo. O Modelo
Definidooqueseusarcomoamostradosnossosclculos,eisapergunta:Quais
modelosmatemticoscabemaseremusadosparaefetuartaisclculosquantitativose
representativosdosfenmenoscitados?Primeiramentevamosenumerarosdadosmais
importantes que definem o rendimento sustentvel timo: 1.rvores que
no sero cortadas; 2.rvores que sero cortadas; 3.rvores em
crescimento; 4.rvores que sero repostas.
Oautorlanamodemodelosmatriciaispararepresentarosdadosquenosdoo
rendimento sustentvel timo (que enunciaremos pela sigla RT), e suas
operaes bsicas. 5
Primeiramenteestabelecidoumvetor-colunaqueestabeleceonmerodervores
quesobrevivemaocorte,ouseja,trabalharemoscomasrvoresquenopossuemvalor
econmicodevidoasuaaltura.Entoseja) ,..., 3 , 2 , 1 ( n i xi=
onmerodervoresque
sobrevivemaocorte,comessesdadosovetor-colunacitadoacimamontadocomouma
matriz-coluna que o autor chama de vetor de no-cortadas: X =
(((((((((
nxxx...21
Comentrio1:Ointeressantedestaparteorelacionamentoqueoautorfazde
quantidadecomqualidade.Soexpostosemumanicaferramentanumricadoisfatores
extremamenterelevantes,queodasquantidadesdervoresnocortadaseaqualidadea
qual cada certa quantidade colocada em uma classe por sua altura, e
em uma anlise mais detalhada percebe-se que cada linha do vetorX
corresponde a uma classe de rvores, sendo
queamedidaquei(nmerodalinhadamatriz-coluna)aumenta,asrvorescontidasnesse
grupo tem alturas cada vezmaiores. Posso no somente estabeleceruma
relao da lgebra
linear,mastambmpossocorrelacionarideiadelimite(utilizadoemclculodiferencial)
sobreonmeronlinhas,poisaumlimiteparaaalturaqueasrvorespodemterparase
encaixarem dentro do vetor x.
Oautorestabeleceumatabelaqueexpressaorelacionamentodosdadoscitados
relacionandoclassedasrvores,valorquepossuemeintervalodealtura(vejaatabela1
abaixo): ClasseValor ($)Intervalo de Altura 1(muda)Nenhum [0, 1h )
2 2p [ ) ,2 1h h3 3p ) , [3 2h h n-1 1 np | )1 2, n nh hn np | ) ,1
nh Comentrio2:Comocitadonocomentrio1,almderelacionarmosessasituao
amostrallgebralinear,podemosestabelecerumarelaodefuno,domniodeuma
funo e a ideia de limite: 6
Sepegarmosaprimeiralinhadatabela1,podemosestabelecerumafuno que
calcula a quantidade de mudas; Seu domnio ser o intervalo| )1, h o
para a variao de h, e} { IN x e ; A imagem ser a quantidade total
de mudas em unidades;
Olimitedessafunoumnmerointeirodervoresquandoatingiremuma altura 1h
; Sejaentoafuno:( ) =hh hx x Q0,com 10 h h < s ,onde) (hx Q a
quantidade de todas as mudas com todas as alturas menores que 1h e
hx a quantidade de todas as mudas com a mesma altura h em metros.
Observao:Essemodelodefunoestabelecidoaquinesterelatrioapenas
umasugestoeumlinkcomoqualsepodefazercomessasituaoamostral,
almdoqueoautorproblematiza,ficandoemabertotodasaspossibilidadesde
relaes matemticas que podem ser sugeridas nesse contexto. Segundo o
autor, o vetor x o vetor que da a configurao da floresta depois de
cada
corte,eoespaototaldaflorestaqueser,oupreenchidoporcadarvore,ondesdado
por: nx x x s + + + = 2
1.Sendoqueanualmente,depoisdocorte,aflorestavoltaasua
configuraoinicialantesdosegundocorte,tendomudasplantadasnolugardasrvores
cortadas logo aps o corte.
Levandoemconsideraoofatordequeexistemrvoresemcrescimentoduranteo
perodo entre um corte e outro existe uma rvore de i-sima classe
crescendo e passando para
umaclassedealturamaior,ouentoseucrescimentofoiretardadoporalgummotivoeela
permanece em sua classe. O autordefiniu ig comoparmetro de
crescimento, sendo ig = a frao das rvores de i-sima classe que
crescem para (i+1)-sima classe durante um perodo decrescimento,e1 ,
, 3 , 2 , 1 = n i ,eporconsequncia 11 g =afraodervoresdei-sima
classe que permanecem na i-sima classe durante um perodo de
crescimento.Comosn-1parmetrosdecrescimentoumamatrizformada,amatrizde
crescimento:G = (((((((((
01 0 0 00 1 0 0 00 1 00 0 0 10 0 0 0 1113 22 11nnggg gg gg . 7
Comentrio3:Relacionando-seovetorxcomamatrizG,atravsdeumasimples
relao de multiplicao de matrizes, obteremos um vetor GX que da o
nmero de rvores nas
nclassesdepoisdoperododecrescimento.Ointeressantequeusadaumasimples
relaodegeneralizaodenmeros,oquenosremeteaoestudodesequncias,easoma
de todas essas rvores de GX nos remete ao estudo de sries
infinitas, no que esse aspecto
deanlisenopudessetersidoremetidoantes,mascadavezqueoestudodorendimento
sustentvel timo destrinchado e analisado, os modelos matemticos
ficam mais evidentes e cada vez mais interessantes de serem
comentados e estudados. Seguindo o raciocnio do autor, estabelecido
uma matriz coluna em analogia ao vetor das rvores no-cortadas, o
vetor das rvores cortada: (((((
=niyyyy21,emque) , , 3 , 2 , 1 ( n yi
rvoresdei-simaclasse.Assimnumtotal medido pelo somatrio de todas as
rvores que esto contidas em um determinada classe que vai da classe
1 classe n, todas as rvores cortadas (ou removidas).
Comoomesmonmerodervorescortadasdeveseronmerodervoresque
deveroserrepostas,oautorrelacionaumamatrizchamadadematrizdereposionxn,
dada por: (((((
=0 0 000 0 01 1 1 R, e relacionando o vetor das rvores cortadas
com R, temos: (((((((
+ + +=0002 1ny y yRX .
Sejaentotodososdadosataquifornecidos,oautormontaumaequaoque
caracteriza uma poltica de corte sustentvel, chamada de condio de
corte sustentvel: Gx y + Ry = x
Apsvriassubstituiesmatemticasemanipulaesnaequaodecondiode corte
sustentvel o autor chega a uma equao do rendimento sustentvel: 8 1
2 11 1 1+ + +=kkg g gs pRT, k = 2, 3, 4,..., n. O correspondente
valor de k o nmero da classe de rvores que completamente cortada.
Comentrio4:deextremaimportnciasabercompreenderedecifrarequaes
matriciais para realizar todos os processos acima. Compreender o
que linha e coluna de uma matriz, o que uma matriz est trazendo
como informao para anlise. O desejado desde o comeo era chegar at
uma forma generalizada para o clculo do RT, sendo que vrias
ferramentas seriam possveis usar para chegar ao mesmo resultado, ou
a um modelo matemtico equivalente a este. O que foi utilizado at o
momento foram modelos
matriciaissimples,operaesdesoma,multiplicaodematrizes,equaesmatriciaise
manipulaes algbricas de fcil compreenso, sendo possvel um aluno de
ensino mdio, que tenho estudado matrizes, o que torna esse clculo
acessvel a um pblico alm daqueles que estudam diretamente com este
eixo da cincia.
interessantequeaofinalomodeloobtidoumafuno,nomuitocomum,pois possui
mais de uma varivel, sendo bastante dependente de muitos fatores
que interferem no
resultadofinalenasprpriasvariveis,influenciasinternaeexternasrelacionadasao
ecossistema que envolve todo o nosso campo amostral.Colheita de
Populaes Animais
Segundooautor:Umapolticadecolheita,pelaqualumapopulaoanimal
periodicamente colhida, dita ser sustentvel se o rendimento de cada
colheita o mesmo e a
distribuioetriadapopulaoremanescenteamesma.Ouseja,emumadeterminada
populao amostral, por exemplo, o de ovelhas, a cada vez que a
populao de ovelhas cresce retirado uma certa quantidade de ovelhas
de modo que a populao delas no seja dizimada,
assimaofinaldeumacolheitatemosumnmerondeovelhas,aopassardotempoteremos
umnmeron+kdeovelhas,emqueKonmerodeovelhasquefoisurgindoduranteum
perodo de colheita at o prximo. O Modelo
Omodelousadoparaagruparasovelhasporfaixaetriaexatamenteomesmo
modelo utilizado para agrupar as rvores, com o diferencial de que
as ovelhas sero agrupadas por faixa etria de idade. Logo teremos um
vetor: 9 (((((
=nxxxx21Ondeaslinhasdei-simacasavariandode1nsoasclassesdefaixa
etrias das ovelhas. Para descrever o crescimento da populao usado a
matriz de Leslie, chamada pelo
autordeL,emqueummodelomatricialquedesenvolveocrescimentodevriasfaixas
etriasdetodosostiposdecrescimentosdepopulaesquaisquer.Assimtemospara
descrever a colheita das ovelhas feita uma multiplicao da matriz X
pela matriz de Leslie, e obtm-se a matriz de
colheita.Toma-secomoHamatrizdasovelhascolhidas,assimtemosaseguinteequaode
sustentabilidade da populao: Lx HLx = x.
Comentrio5:Omodeloutilizadoparaacolheitadepopulaoanimaismuito
parecido com o modelo de rendimento sustentvel, na verdade a
finalidade a mesma, com a diferena de na populao que tem uma faixa
etria de idade usada a matriz de Leslie para os clculos para chegar
a uma funo final. interessante compreenderque existem matrizes
especiais que servem paramedir o
crescimentodeumapopulao,trabalhandocomoumafunocomvriasvariveis,com
aspectosbiolgicoseotempoenvolvidoemumanicafunoquedecoredeoperaes
matriciais. 10 Concluso
notrioestabelecerqueocrescimentopopulacionaldeuma
determinadaamostra,podeserexpressoatravsdalgebramatricial,
mostrandoosngulosdiferentesentreclasseseespcies(aquirvorese
ovelhas),dentrodasmesmasouentreelas.Sendodeinteresseecolgico,
biolgicoematemticooestudodetaisfenmenosqueocorremaonosso
redor.Ficaesclarecidoqueoestudodasmatrizes,esuasoperaesso
visveisaosnossosolhoseviveis,aomesmotemploquecomplicado
simpleseprticoquandosesouberutilizarsuasprincipaisoperaese
propriedadesnoestudodamatemticapelamatemticaenoestudoda matemtica
as demais cincias. 11 Referencias Bibliogrficas RORRES, Anton.
lgebra Linear com Aplicaes - 8Ed.
