ROTEIRO DE AULA 1 MODELAGEM MATEMATICA - UFT - … · 2014-05-01 · Ementa de disciplina do curso de Engenharia Ambiental conforme Plano Pol tico Pegag ogico ... Formula˘c~ao de

ROTEIRO DE AULA 1

MODELAGEM MATEMATICA

Prof. Dr. Catalunha

Atualizado via LATEX em 3 de Fevereiro de 2014 as 17:19

1Este roteiro contem textos de minha autoria e outros retirados das bibliografias indicadas, ou textoscorrelatos no assunto, sempre que possıvel citadas as fontes. Tais notas nao excluem a consulta aoconteudo na integra da bibliografia original e sao apenas uma forma de guia de conteudo dentro de salade aula. Notas iniciadas em julho/2009

Conteudo

I Ementa e Conteudo Programatico 4

II Primeira Etapa do Curso 7

1 Introducao 8

2 Funcoes de 1 variavel 12

2.1 Ajuste de Modelo - Regressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Derivada 29

3.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Integral 34

4.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Funcoes de 2 variavel 35

5.1 Coordenadas retangulares, polares e vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2 Modelos em 2 variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.3 Curvas de nıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.4 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.5 Diferencial de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.6 Derivadas Direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.7 Maximos e Mınimos em 2 variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

III Segunda Etapa do Curso 42

6 Taxa de Variacao 43

6.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.2 Multiplicadores de lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7 Otimizacao 45

7.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2

Prof. Dr. Catalunha - Roteiro Modelagem Matematica

8 Equacoes Diferenciais 488.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

IV Administracao da Disciplina 50

9 Dicas de como estudar 519.1 Rotina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.2 Morto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.3 Faminto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529.4 Anti-social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529.5 Ansenal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

10 Procedimentos de avaliacao 5310.1 Divisao do conteudo e quantidade de avaliacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.2 Preparacao da sala para a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

10.2.1 Estrutura da prova: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.2.2 Estrutura do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.2.3 Outras disposicoes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

11 Elaboracao das Tarefas 5811.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5811.2 Tarefa exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

11.2.1 Tarefa: ajustemodelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5811.3 Resolucao digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

11.3.1 Estrutura de pastas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5911.3.2 Relacao de arquivos basicos por exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

12 Instalando o Linux e outros softwares 67

13 Resumos e Formularios padroes 73

Atualizado via LATEX em 3 de Fevereiro de 2014 as 17:19 3

Parte I

Ementa e Conteudo Programatico

4


Ementa de disciplina do curso de Engenharia Ambiental conforme Plano Polıtico Pegagogicoaprovado em 2007.

DISCIPLINA:Modelagem Matematica de Sistemas AmbientaisCH Total CH Teorica CH Pratica Creditos60 15 45 4

PERIODO: PRE-REQUISITOS:5 Informatica das EngenhariasOBJETIVO:Formulacao de um modelo matematico (estrutura basica). Estudo do comportamento de mode-los matematicos. Otimizacao. Aplicacoes de integral. Sistemas lineares e Matrizes. Equacoesdiferenciais. Modelagem computacional para integracao de modelos matematicos.

CONTEUDO BASICO:Formulacao de um modelo matematico (estrutura basica). Estudo do comportamento de mode-los matematicos. Otimizacao. Aplicacoes de integral. Sistemas lineares e Matrizes. Equacoesdiferenciais. Modelagem computacional para integracao de modelos matematicos.METODOLOGIA DE ENSINO:O ensino sera ministrado de forma expositiva em sala de aula, utilizando os recursos audiovisuaisdisponıveis, com consulta ao material bibliografico e debates sobre o tema. A disciplina seraadministrada utilizando todos os recursos disponıveis no sistema Moodle.

PROCEDIMENTOS DE AVALIACAO:Trabalhos e provas.

BIBLIOGRAFIA BASICA:* BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matematica. 3 ed. -Sao Paulo : Ed. Contexto. 2006. ISBN 85-7244-207-3* BIEMBERGUT, Maria Sallet. Modelagem Matematica no ensino Maria Sallet Biembergut,Nelson Hein. 4 ed. 1 reimpressao - Sao Paulo : Contexto, 2007. ISBN 85-7244-136-0* FIGUEIREDO, D.G. Analise de Fourier e equacoes diferenciais* BATSCHELE, E. Introducao a matematica para biocientistas. Ed. Interciencia (RJ). Ed.USP (SP). 1978.BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:* Modelos hidrologicos. Carlos E. M. Tucci . Ed. Da UFGRS – ABRH. 1998.* Ecologia. Eugene P. Odum. Ed. Guanabara. 1983.



Na Tabela 1 temos as datas conforme calendario do periodo vigente. Na Tabela 2 o encontroque sera realizado na referida data.

Data31-10-201307-11-201314-11-201321-11-201328-11-201305-12-201312-12-201323-01-201420-02-2014 P130-01-201406-02-201413-02-201427-02-201406-03-201413-03-2014

20-03-2014 P2

27-03-2014 PR

Tabela 1: Datas

Encontro Conteudo Planejado1 Apresentacao da disciplina.2 Funcao de 1 variavel. Parte I3 Funcao de 1 variavel. Parte II4 Funcao de 1 variavel. Parte III5 Ajuste de Modelo, Derivada e Integral6 Funcao de 2 variavel. Parte I7 Funcao de 2 variavel. Parte II8 Funcao de 2 variavel. Parte III9 Prova 0110 Modelagem teorica11 Taxa de variacao I12 Taxa de variacao II13 Otimizacao I14 Otimizacao II15 Equacoes Diferenciais Ordinarias I16 Equacoes Diferenciais Ordinarias II17 Trabalho18 Prova 0219 Reposicao de Prova20 Prova de Recuperacao

Tabela 2: Conteudo

Legenda: RA: indica data de reposicao de aula. P1 e P2: indicam Prova 1 e Prova 2. PR:indica data de prova de recuperacao. RP: indica reposicao de prova.

Observacao: Horario de atendimento aos alunos sera na quinta de 08h as 11h30, Bloco II, Sala10, Ramal 8229 ou Telefone 32328229.

6 Atualizado via LATEX em 3 de Fevereiro de 2014 as 17:19

Parte II

Primeira Etapa do Curso

7

Capıtulo 1

Introducao

Aconselho que durante o curso o aluno va adquirindo as bibliografias citadas para montagem de suabiblioteca particular. E sempre importante compreender e saber onde se encontra o conhecimento,muito mais do que sabe-lo de memoria, tendo em vista a imensidao de teorias e formulacoes deque se trabalha na area ambiental.

A modelagem matematica consiste na arte de transformar problemas da realidade em proble-mas matematicos e resolve-los interpretando suas solucoes.

A modelagem matematica, em seus varios aspectos, e um processo que alia teoria e pratica,motivaseu usuario na procura do entendimento da realidade que ocorre e na busca de meios paraagir sobre ela e transforma-la. Nao queremos dizer que todo fenomeno possa ser matematizadoou convertido numa forma que seja processado num computador.

Quando se procura refletir sobre uma porcao da realidade, na tentativa de explicar, de enten-der, ou de agir sobre ela - o processo usual e selecionar, no sistema, argumentos ou parametrosconsiderados essenciais e formaliza-los atraves de um sistema artificial: O MODELO.

MODELO OBJETO e a representacao de um objeto ou fato concreto, suas caracterısticas pre-dominantes sao a estabilidade e homogeneidade das variaveis. A representacao por estes modelose sempre parcial deixando escapar variacoes individuais e pormenores do fenomeno ou do objeto.

1. Pictorica: Um desenho um esquema compartimental, um mapa, etc.

2. Conceitual: Formula matematica.

3. Simbolica:

MODELO TEORICO e aquele vinculado a uma teoria geral existente - sera construıdo entorno deum modelo objeto. Ele deve conter as mesmas caracterısticas de um sistema real. Suas relacoessao obtidas atraves de hipoteses

Chamaremos simplesmente de MODELO MATEMATICO um conjunto de sımbolos e relacoesmatematica que representam de alguma forma o objeto estudado.

Os modelos matematicos podem ser formulados de acordo com a natureza dos fenomenos ousituacoes analisados classificados conforme o tipo de matematica utilizada:

1. Linear ou nao linear. conforme suas equacoes basicas tenham estas caracterısticas;

2. Estatico. quando representam a forma de um objeto;

3. Dinamico. quando simula variacoes de estagios do fenomeno;

8


4. Educacional quando e baseado em um numero pequeno ou simples de suposicoes, tendo,quase sempre, solucoes analıticas. Geralmente estes modelos nao representam a realidadecom o grau de fidelidade adequada para se fazer previsoes.

5. Aplicativo e aquele baseado em hipoteses realisticas, envolve interrelacoes de um grandenumero de variaveis, fornecendo em geral sistemas de equacoes com numerosos parametros.Neste caso, um tratamento analıtico pode ser impossıvel e os metodos utilizados para ob-tencao das solucoes devem ser computacionais.

6. Determinısticos. sao baseados na suposicao de que se existem informacoes suficientes emum determinado instante ou num estagio de algum processo, entao todo o futuro do sistemapode ser previsto precisamente.

7. Estocastico. sao aqueles que descrevem a dinamica de um sistema em termo probabilısticos.

A MODELAGEM MATEMATICA consiste, essecialmente, na arte de transformar situacoes darealidade em problemas matematicos cujas solucoes devem ser interpretadas na linguagem usual.

A modelagem e eficiente a partir do momento que nos concientizamos que estamos sempretrabalhando com aproximacoes da realidade, ou seja, que estamos elaborando sobre representacoesde um sistema ou parte dele.

A modelagem nao deve ser utilizada como uma panaceia descritiva adaptada a qualquer si-tuacao da realidade.

O conteudo e a linguagem matematica utilizados devem ser equilibrados e circunscritos tantoao tipo de problema como ao objetivo que se propoe alcancar.

Algumas atividades intelectuais da Modelagem Matematica podem ser definidas como:

1. Experimentacao- E uma atividade essencialmente laboratorial onde se processa a obtencaode dados.

2. Abstracao - E procedimento que deve levar a formulacao dos modelos. Nesta fase procura-seestabelecer:

(a) Selecao de variaveis - A distincao entre as variaveis de estado que descrevem a evolucaodo sistema e as variaveis de controle que agem sobre o sistema. Uma das exigenciasfundamentais da pesquisa e que os conceitos (variaveis) com as quais se lida sejamclaramente definidos.

(b) Formulacao de hipoteses - Dirigem a investigacao e sao comumente formulacoes geraisque permitem ao pesquisador deduzir manifestacoes empıricas especıficas. A geracao dehipoteses se da de varios modos: observacao de fatos, comparacao com outros estudos,deducao logica, experiencia pessoal do modelador, analogia de sistemas. Dois sistemassao formalmente analogos quando podem ser representados pelo mesmo modelo ma-tematico o que implica numa correspondencia entre as propriedades dos elementos deambos os sistemas. A engenharia eletrica e uma das maiores fontes de contribuicoes paraos sistemas analogos pelos tres componentes Resistencia, Capacitancia e Indutancia. Amontagem do modelo matematico, que se da nesta fase do processo de modelagem de-pende substancialmente do grau de complexidade das hipoteses e da quantidade dasvariaveis interrelacionadas. E acima de tudo da capacidade do analista em manipula-lasmatematicamente.



(c) Simplificacao - Os fenomenos que se apresentam para o estudo matematico sao, emgeral, excessivamente complexos se os considerarmos em todos os seus detalhes. Ometodo cientıfico analıtico, iniciado por Galileu (1564-1642) e o metodo da razao dedescartes, consistem exatamente em restringir e isolar o campo de estudo apropria-damente de tal modo que o problema seja tratavel e, ao mesmo tempo, mantem suarelevancia. Como diz Mark Kac (1914-1983), um extraordinario matematico polones.”Se vc nao consegue resolver o problema a que se propos, entao tente simplifica-lo. Acondicao unica e esta: voce nao deve simplifica-lo demasiadamente a ponto de perderas informacoes essenciais”.

(d) Resolucao O modelo matematico e obtido quando se substitui a linguagem natural dashipoteses por uma linguagem matematica coerente. A resolucao esta vinculada ao graude complexidade empregado em sua formulacao e muitas vezes so pode ser viabilizadaatraves de metodos computacionais dando uma solucao numerica aproximada.

(e) ”Validacao”Este termo validar deve ser visto com muito criterio. Pois nao tem comovc validar um modelo. E o mesmo que dizer que o modelo e perfeitamente coerente emtodas as situacoes para o qual ele foi proposto. Um modelo deve prever, no mınimo, osfatos que o originaram. Um bom modelo e aquele que tem capacidade de previsao denovos fatos ou relacoes suspeitas.

i. ”Modificacao”Quando os modelos sao obtidos considerando simplificacoes idea-lizacoes da realidade, suas solucoes geralmente nao conduzem as previsoes corretase definitivas. Algumas razoes para isto sao:

ii. Algumas hipoteses podem ser falsas ou nao suficientemente proximas da verdade;

iii. Alguns dados experimentais ou informacoes podem ser obtidos de maneira incor-reta;

iv. As hipoteses e os dados sao verdadeiros mas insuficientes, e nossa intuicao darealidade e inadequada;

v. Existem outras variaveis envolvidas na situacao real que nao foram utilizadas nomodelo teorico;

vi. Foi cometido algum erro no desenvolvimento do matematico do modelo.

Uma serie de pontos podem ser levantados para destacar a relevancia da modelagem ma-tematica quando utilizada como instrumento de pesquisa:

1. Podem sugerir novas ideias e tecnicas experimentais;

2. Pode dar informacoes em diferentes aspectos dos inicialmente previstos;

3. Pode ser um metodo para se fazer interpolacoes, extrapolacoes e previsoes;

4. Pode sugerir tomada de decisao;

5. Pode preencher lacunas onde existe falta de dados experimentais;

6. Pode servir de recurso para melhor entender a realidade;

Alguns outros materias podem ser consultados como: (Pag. 15 ate 38, bassanezi) e (Pag. 9 a30, biembergut)



Na modelagem o inıcio e apenas o tema de estudo escolhido quando ainda nao se tem ideia doconteudo matematico que sera utilizado. Nesse estagio, colocamos para os iniciantes que quandonao se tem nenhuma ideia do que fazer, comece ”contando”ou ”medindo- com este procedimento,e natural aparecer uma tabela de dados e isto pode ser o comeco da modelagem.

Da mesma forma que so se pode aprender a jogar futebol, jogando, so se aprende modelagem,modelando!

Por mais que se treine matematica pelo estudo das teorias, e possıvel que boa parte dosestudantes nao demonstre habilidades para empregar matematica em outras areas.

Tal esquema, Figura 2.1, nao revela como se pode desenvolver habilidades de matematicoaplicado nem tampouco como adquirı-las, o que nos leva ao questionamento: e possıvel ensinarmodelagem matematica?

Por isto o conhecimento matematico e o prazer pela pesquisa de solucoes em matematica deveraser o ponto de partida. Pois quando se tem preguica ou desmotivacao para relembrar as leis efundamentos dos logaritmos ou geometria analıtica.

A formulacao do problema e uma das etapas mais importantes. Pois saber formular umapergunta, ja e um passo muito importante no processo de modelagem. E a habilidade de sefazer boas perguntas como ja dissemos e um habito. A escolha do tema vem logo em seguida.Basicamente qualquer tema nos permite uma modelagem. Podendo te-la um grau maior ou menorde aceitacao. A escolha de temas depende muito da equipe em que se estrutura para a solucao dapergunta feita, e depende tambem de fatores como disponibilidade de instrumentacao, medicao,coleta de dados e etc, ou seja da coleta dos dados.

A coleta de dados pode ser feito por entrevista, pesquisa bibliografica, instrumentacao. Aqualidade e quantidade dos dados proporciona muito o sucesso no processo de modelagem.

Na formulacao dos problemas podemos ter duas situacoes basicas:

1. Formulacao estatica - Sao formulacoes envolvendo equacoes ou funcoes com uma ou maisvariaveis onde os modelos matematicos traduzem uma correspondencia biunıvoca entre asvariaveis da formulacao e as variaveis fısicas do sistema caracterizado. As formulacoesestaticas utilizam, geralmente, conceitos ligados a area de geometria onde a variavel temponao tem interesse.

2. Formulacao dinamica - A formulacao de modelos dinamicos, em geral, envolve dois tiposde variaveis (dependentes e independentes) onde a variavel independente e geralmente otempo. O conceito de uma relacao entre duas variaveis e bem conhecido, mas podemos fazerdistincao entre uma relacao funcional e uma relacao estatıstica.

(a) A relacao funcional entre duas variaveis e expressa por uma formula matematica: y =f(x) em que x e a variavel independente e y e a variavel dependente.

(b) Relacoes estatısticas sao frequentemente utilizadas quando nao se tem a exatidao deuma relacao funcional.

E importante tambem, no caso da modelagem, analisar a sensibilidade do modelo aos valores dosparametros, o que e tratado atraves de analises estatısticas. Este ponto nao sera tratado nestesemestre.


Capıtulo 2

Funcoes de 1 variavel

Desenvolver conteudo da seguinte bibliografia: [Ferreira, 1999, Capıtulo 01. Item 1.1-1.8],

2.1 Ajuste de Modelo - Regressao

Desenvolver conteudo da seguinte bibliografia: [Barroso, 1987, Capıtulo 07]. [Rodney, 2006],Paginas 54 ate 85. Walpole 2009, Capıtulo 11 e 12.

Uma regressao ou curva de tendencia pode ser o primeiro passo para uma modelagem. Umarelacao funcional, obtida atraves de uma ajuste dos dados, propicia condicoes para a elaboracaode hipoteses que levam a formulacao dos modelos.

Os modelos sao relacoes funcionais que incorporam as particularidades do fenomeno analisado.

Um reta ou curva ajustada nao pode ser considerado um modelo matematico para uma deter-minada situacao. Neste caso, a reta ou curva simplesmente descreve uma tendencia dos fatos nointervalo pesquisado.

Mesmo que uma curva possa fazer alguma previsao de futuros valores para o fenomeno es-tudado, ainda assim, tal formulacao nao poderia ser considerado um modelo matematico dofenomeno enquanto seus parametros nao tiverem algum significado biologico, quimico ou fısicocom o fenomeno!

Contudo o processo de ajuste de curvas e um dos mais importantes passos para o treinamentoem modelagem e entendimento do comportamento de um fenomeno que nao seja aleatorio.

A teoria apresentada no Capıtulo 7 do [Barroso, 1987] apresenta a matriz normal como pre-paratoria para obtencao dos parametros do modelo. Esta matriz normal e obtida por somatoriosconforme apresenta aquela teoria.

Contudo esta matriz de somatorios pode ser facilmente obtida utilizando operacoes matriciaiscomo a apresentada a seguir. Considere o seguinte modelo multiplo generico.

y = c0 + c1x1 + c2x2 + ...+ cpxp (2.1)

(2.2)

12


Na forma matricial temos:y1y2y3...yn

︸︷︷︸

Y

=

1 x11 x21 . . . xp11 x12 x22 . . . xp21 x13 x23 . . . xp3...

...... . . .

...1 x1n x2n . . . xpn

︸︷︷︸

X

∗

c0c1c2...cp

︸︷︷︸

c

(2.3)

Para obter os parametros sem efetuar as somas preparamos os dados conforme a matriz anteriore calculamos c = (X ′X)−1(X ′Y ). Em notacao octave temos:

1 octave :42> c=(X’*X)**-1*(X’*Y)

Ou representamos a matriz normal para resolucao via sistema linear de gauss, com {X ′X = X ′Y .

Se, e somente se, o modelo a ser ajustado nao necessitar de transformacao, forum polinomio ou multiplo puro o coeficientes de ajustamento, r2, pode ser obtido via calculomatricial da seguinte forma.

r2 =c′X ′Y − ny2

Y ′Y − ny2(2.4)

Sendo y a media dos valores de y. n numero de elementos da amostra. Em notacao octave temos:

1 octave :28> r2=(c’*X’*Y-n*ym**2)/(Y’*Y-n*ym**2)

Mas para aplicar este modelo verifique a condicao em negrito acima.

2.2 Exercıcios

1. Fonte: Adaptado de http://www.ime.usp.br/~smo/ O Numero de bacterias por unidadede volume, y, existente em uma cultura apos algumas horas, x e apresentado na Tabela 2.1..

Tabela 2.1: Experimento bacteriano.x 1 2 3 4 5 6y 47 65 92 132 190 275

Pede-se:

(a) Determine os parametros a e b para o modelo y = abx, use o metodo dos mınimosquadrados.Resposta: Resposta: y = 32.2747 ∗ 1.4257x.Solucao:



Efetuando as transformacoes teremos:

y = abx (2.5)

ln y = ln a+ x ln b (2.6)

yt = at + xbt (2.7)

A somas para montagem da matriz normal serao:

octave:6> x=1:6

x =

1 2 3 4 5 6

octave:7> y=[47,65,92,132,190,275]

y =

47 65 92 132 190 275

octave:25> yt=log(y)

yt =

3.8501 4.1744 4.5218 4.8828 5.2470 5.6168

octave:8> mx=[length(x),sum(x);sum(x),sum(x.^2)]

mx =

6 21

21 91

octave:26> my=[sum(yt);sum(x.*yt)]

my =

28.293

105.231

Ficando a matriz normal na forma:[6 2121 91

]∗[atbt

]=

[28.293105.231

](2.8)

Que pode ser resolvido como sistema linera por gauss ou pivotacao completa. Contudoum meio mais rapido e a notacao matricial.

octave:27> mc=mx**-1*my

mc =

3.47428

0.35463

Potanto mc e a matriz de coeficiente do modelo transformado, e

at = ln a (2.9)

eat = eln aeat = a (2.10)

bt = ln b (2.11)

ebt = eln b (2.12)

ebt = b (2.13)

Precisamos aplica exp() para obter os modelos originais.



octave:28> exp(mc)

ans =

32.2747

1.4257

Entao o valor dos coeficientes e a = 32.2747 e b = 1.4257 ficando o modelo y =32.2747 ∗ 1.4257x conforme Figura 2.1

Figura 2.1: Modelo y = abx

(b) Determine os parametros a e b para o modelo y = axb, use o metodo dos mınimosquadrados.Resposta: Resposta: y = 38.839 ∗ x0.96309Solucao:Efetuando as transformacoes teremos:

y = axb (2.14)

ln y = ln a+ b lnx (2.15)

yt = at + bxt (2.16)

Resolvendo pela forma matricial:

octave:6> x=1:6

x =

1 2 3 4 5 6

octave:7> y=[47,65,92,132,190,275]

y =

47 65 92 132 190 275

octave:32> xt=log(x)



xt =

0.00000 0.69315 1.09861 1.38629 1.60944 1.79176

octave:25> yt=log(y)

yt =

3.8501 4.1744 4.5218 4.8828 5.2470 5.6168

octave:5> Y=yt’

Y =

3.8501

4.1744

4.5218

4.8828

5.2470

5.6168

octave:6> X=[ones(6,1),xt’]

X =

1.00000 0.00000

1.00000 0.69315

1.00000 1.09861

1.00000 1.38629

1.00000 1.60944

1.00000 1.79176

octave:7> c=(X’*X)**-1*(X’*Y)

c =

3.65942

0.96309

Potanto c e a matriz de coeficientes do modelo transformado, e

at = ln a (2.17)

eat = eln a (2.18)

eat = a (2.19)

Precisamos aplica exp() para obter os modelos originais.

octave:36> exp(c(1))

ans = 38.839

Entao o valor dos coeficientes e a = 38.839 e b = 0.96309 ficando o modelo y =38.839 ∗ x0.96309 conforme Figura 2.2

(c) Calcule o coeficiente de ajustamento r2 para o modelo y = abx

Resposta: Resposta: 0.99943 ou 99.9%Solucao:

octave:1> x=1:6

x =



1 2 3 4 5 6

octave:2> y=[47,65,92,132,190,275]

y =

47 65 92 132 190 275

octave:11> f=@(x) 32.2747*1.4257.**x

f =

@(x) 32.2747 * 1.4257 .^ x

octave:12> ye=f(x)

ye =

46.014 65.602 93.529 133.344 190.109 271.039

octave:13> y

y =

47 65 92 132 190 275

octave:14> num=sum((y.-ye).^2)

num = 21.185

octave:15> den=sum(y.^2)-(sum(y))^2/6

den = 3.7114e+04

octave:16> 1-num/den

Figura 2.2: Modelo y = axb



ans = 0.99943

(d) Calcule o coeficiente de ajustamento r2 para o modelo y = axb

Resposta: Resposta: 0.88940 ou 88.9%Solucao:

octave:1> x=1:6

x =

1 2 3 4 5 6

octave:2> y=[47,65,92,132,190,275]

y =

47 65 92 132 190 275

octave:17> f=@(x) 38.83871.*x.**0.96309

f =

@(x) 38.83871 .* x .^ 0.96309

octave:18> ye=f(x)

ye =

38.839 75.715 111.886 147.606 182.994 218.119

octave:19> num=sum((y.-ye).^2)

num = 4104.9

octave:20> den=sum(y.^2)-(sum(y))^2/6

den = 3.7114e+04

octave:21> 1-num/den

ans = 0.88940

(e) Utilizando o gnuplot ajuste os dados aos modelos propostos e analise o ajustamento.Resposta: Resposta: g(x) = 31.278 ∗ 1.4359x e h(x) = 20.2854 ∗ x1.42529Solucao:O ajuste nao-linear de um modelo pode ser feito utilizando o gnuplot de forma muitosimples.

Apesar de bastante otimizado, este procedimento depende do numerode dados, do tipo de equacao a ser ajustada e das estimativas iniciaisdos coeficientes, podendo nao convergir satisfatoriamente em algunscasos.

Inicialmente devemos definir o arquivo de dados para o ajuste. Conforme arquivo aseguir:

1 #x;y;

2 1.00;47.00



3 2.00;65.00

4 3.00;92.00

5 4.00;132.00

6 5.00;190.00

7 6.00;275.00

O script do gnuplot para ajustamento pode ser como a seguir. Note que o processo deajustamento nao linear precisa de um valor inicial para melhor convergencia, que nestecaso foram os valores encontrados no ajuste pelos mınimos quadrados.

1 # Comentario

2 reset

3 set term pngcairo

4 set output ’graficoE1.png ’

5 set grid

6 set key outside center bottom title ’Legenda ’

7 set title "Ajuste pelo Gnuplot"

8 set xlabel "x - horas"

9 set ylabel "y - bac / vol unitario"

10 set datafile separator ";"

11 g(x)=a*b**x

12 a=32.2747; b=1.4257;

13 fit g(x) "grafico.pts" using ($1):($2) via a,b

14 h(x)=c*x**d

15 c=38.839; d=0.96309;

16 fit h(x) "grafico.pts" using ($1):($2) via c,d

17 plot "grafico.pts" using ($1):($2) title "Pontos", \

18 g(x) title "modelo g(x)=a*b**x",h(x) title "modelo h(x)=a*

x**b"

Apresentando o grafico conforme Figura 2.3.

O gnuplot tambem fornece uma arquivo, chamado ”fit.log”de resultados do ajustamentocom alguma analise estatıstica, onde os parametros do modelo sao g(x) = 31.278 ∗1.4359 ∗ ∗x e h(x) = 20.2854 ∗ x ∗ ∗1.42529 segundo aquele arquivo.

1 *******************************************************************************

2 Tue Feb 5 10:17:28 2013

3 FIT: data read from "grafico.pts" using ($1):($2)

4 format = x:z

5 #datapoints = 6

6 residuals are weighted equally (unit weight)

7 function used for fitting: g(x)

8 fitted parameters initialized with current variable values

9 Iteration 0

10 WSSR : 21.1851 delta(WSSR)/WSSR : 0

11 delta(WSSR) : 0 limit for stopping : 1e-05

12 lambda : 402.364



Figura 2.3: Ajustando modelo a dados com Gnuplot

13 initial set of free parameter values

14 a = 32.2747

15 b = 1.4257

16 After 6 iterations the fit converged.

17 final sum of squares of residuals : 7.49092

18 rel. change during last iteration : -1.40997e-08

19 degrees of freedom (FIT_NDF) : 4

20 rms of residuals (FIT_STDFIT) = sqrt(WSSR/ndf) :

1.36848

21 variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf :

1.87273

22 Final set of parameters Asymptotic Standard

Error

23 =======================

==========================

24 a = 31.2783 +/- 0.5109

(1.633%)

25 b = 1.4359 +/- 0.004443

(0.3094%)

26 correlation matrix of the fit parameters:

27 a b

28 a 1.000

29 b -0.975 1.000

3031 *******************************************************************************



32 Tue Feb 5 10:17:28 2013

33 FIT: data read from "grafico.pts" using ($1):($2)

34 format = x:z

35 #datapoints = 6

36 residuals are weighted equally (unit weight)

37 function used for fitting: h(x)

38 fitted parameters initialized with current variable values

39 Iteration 0

40 WSSR : 4104.76 delta(WSSR)/WSSR : 0

41 delta(WSSR) : 0 limit for stopping : 1e-05

42 lambda : 158.054

43 initial set of free parameter values

44 c = 38.839

45 d = 0.96309

46 After 8 iterations the fit converged.

47 final sum of squares of residuals : 1380.79

48 rel. change during last iteration : -2.67689e-08

49 degrees of freedom (FIT_NDF) : 4

50 rms of residuals (FIT_STDFIT) = sqrt(WSSR/ndf) :

18.5795

51 variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf :

345.197

52 Final set of parameters Asymptotic Standard

Error

53 =======================

==========================

54 c = 20.2854 +/- 6.334

(31.23%)

55 d = 1.42529 +/- 0.1919

(13.46%)

56 correlation matrix of the fit parameters:

57 c d

58 c 1.000

59 d -0.988 1.000

A analise de ajustamento por r2 pode ser feita calculando, como a seguir para g(x) =31.278 ∗ 1.4359 ∗ ∗x:

1 octave:1> x=1:6

2 x =

3 1 2 3 4 5 6

4 octave:2> y=[47 ,65 ,92 ,132 ,190 ,275]

5 y =

6 47 65 92 132 190 275

7 octave :22> g=@(x) 31.278*1.4359.**x

8 g =

9 @(x) 31.278 * 1.4359 .^ x



10 octave :28> ye=g(x)

11 ye =

12 44.912 64.489 92.600 132.965 190.924

274.147

13 octave :29> num=sum((y.-ye).^2)

14 num = 7.4909

15 octave :30> den=sum(y.^2) -(sum(y))^2/6

16 den = 3.7114e+04

17 octave :31> 1-num/den

18 ans = 0.99980

19 octave :32>

A analise de ajustamento por r2 pode ser feita calculando, como a seguir para h(x) =20.2854 ∗ x ∗ ∗1.42529:

1 x =

2 1 2 3 4 5 6

3 octave:2> y=[47 ,65 ,92 ,132 ,190 ,275]

4 y =

5 47 65 92 132 190 275

6 octave :33> h=@(x) 20.2854.*x.**1.42529

7 h =

8 @(x) 20.2854 .* x .^ 1.42529

9 octave :34> ye=h(x)

10 ye =

11 20.285 54.480 97.100 146.317 201.103

260.780

12 octave :35> num=sum((y.-ye).^2)

13 num = 1380.8

14 octave :36> den=sum(y.^2) -(sum(y))^2/6

15 den = 3.7114e+04

16 octave :37> 1-num/den

17 ans = 0.96280

(f) Utilizando o R ajuste os dados aos modelos propostos e analise o ajustamento.Resposta: Resposta: g(x) = 31.279 ∗ 1.436x e h(x) = 20.289 ∗ x1.425Solucao:O ajuste nao-linear de um modelo pode ser feito utilizando o R de forma muito simples.

Apesar de bastante otimizado, este procedimento depende do numerode dados, do tipo de equacao a ser ajustada e das estimativas iniciaisdos coeficientes, podendo nao convergir satisfatoriamente em algunscasos.

Consulte o resumo do R, tutoriais e manuais, para outros detalhes.

1 > y<-c(47 ,65 ,92 ,132 ,190 ,275

2 + );

3 > y



4 [1] 47 65 92 132 190 275

5 > x<-c(1,2,3,4,5,6)

6 > x

7 [1] 1 2 3 4 5 6

8 > dados <-data.frame(x,y)

9 > dados

10 x y

11 1 1 47

12 2 2 65

13 3 3 92

14 4 4 132

15 5 5 190

16 6 6 275

17 > nls(’y~a*b**x’,data=dados ,start=list(a=32.2747 ,b=1.4257))

18 Nonlinear regression model

19 model: y ~ a * b^x

20 data: dados

21 a b

22 31.279 1.436

23 residual sum -of-squares: 7.491

2425 Number of iterations to convergence: 3

26 Achieved convergence tolerance: 1.06e-06

27 > nls(’y~a*x**b’,data=dados ,start=list(a=38.839 ,b=0.96309))


29 model: y ~ a * x^b

30 data: dados

31 a b

32 20.289 1.425

33 residual sum -of-squares: 1381



Os parametros do modelo sao g(x) = 31.279 ∗ 1.436x e h(x) = 20.289 ∗ x1.425

(g) Faca uma tabela comparativa com os valores dos parametros e r2 e um grafico comtodos os modelos e os pontos originais.Resposta: Resposta: ...Solucao:O Tabela 2.2 apresenta os valores anteriormente obtidos:

O grafico da Figura 2.4 apresenta os modelos em questao.

2. Fonte: [Barroso, 1987, Pag. 335, Exemplo 7.5] ...Pede-se:

(a) Determine a solucao pelo metodo dos minimos quadrados.



Solucao:

1 octave:1> x1=[-1,0,1,2,4,5,5,6]

2 x1 =

34 -1 0 1 2 4 5 5 6

56 octave:2> x2=[-2,-1,0,1,1,2,3,4]

7 x2 =

89 -2 -1 0 1 1 2 3 4

1011 octave:3> y=[13,11,9,4,11,9,1,-1]

Tabela 2.2: Comparativo de AjustesModelo y = abx

Parametros r2

Mınimos Quadrados y = 32.2747 ∗ 1.4257x 0.99943Gnuplot (Nao linear) g(x) = 31.278 ∗ 1.4359x 0.99980

R (Nao linear) f(x) = 31.279 ∗ 1.436x

Modelo y = axb

Parametros r2

Mınimos Quadrados y = 38.839 ∗ x0.96309 0.88940Gnuplot (Nao linear) h(x) = 20.2817 ∗ x1.42541 0.96280

R (Nao linear) f(x) = 20.289 ∗ x1.425

Figura 2.4: Modelo y = abx



12 y =

1314 13 11 9 4 11 9 1 -1

1516 octave:4> Y=y’

17 Y =

1819 13

20 11

21 9

22 4

23 11

24 9

25 1

26 -1

2728 octave:5> X=[ones (8,1),x1’,x2 ’]

29 X =

3031 1 -1 -2

32 1 0 -1

33 1 1 0

34 1 2 1

35 1 4 1

36 1 5 2

37 1 5 3

38 1 6 4

3940 octave:6> c=(X’*X)**-1*(X’*Y)

41 c =

4243 4.2393

44 3.4000

45 -6.4643

4647 octave:7>

(b) Resolva utilizando o R.

Solucao:

1 > x1<-c(-1,0,1,2,4,5,5,6)

2 > x2<-c(-2,-1,0,1,1,2,3,4)

3 > y<-c(13,11,9,4,11,9,1,-1)

4 > dados <-data.frame(y,x1,x2)

5 > dados



6 y x1 x2

7 1 13 -1 -2

8 2 11 0 -1

9 3 9 1 0

10 4 4 2 1

11 5 11 4 1

12 6 9 5 2

13 7 1 5 3

14 8 -1 6 4

15 > nls(’y~a+b*x1+c*x2 ’,data=dados ,start=list(a=4.239 ,b=3.4,c

= -6.464))


17 model: y ~ a + b * x1 + c * x2

18 data: dados

19 a b c

20 4.239 3.400 -6.464

21 residual sum -of-squares: 4.239



(c) ...Solucao:

1 > x1<-c(-1,0,1,2,4,5,5,6)

2 > x2<-c(-2,-1,0,1,1,2,3,4)

3 > y<-c(13,11,9,4,11,9,1,-1)

4 > dados <-data.frame(y,x1,x2)

5 > dados

6 y x1 x2

7 1 13 -1 -2

8 2 11 0 -1

9 3 9 1 0

10 4 4 2 1

11 5 11 4 1

12 6 9 5 2

13 7 1 5 3

14 8 -1 6 4

1516 > aj<-lm(’y~x1+x2 ’,data=dados)

17 > aj

1819 Call:

20 lm(formula = "y~x1+x2", data = dados)

2122 Coefficients:



23 (Intercept) x1 x2

24 4.239 3.400 -6.464

2526 > summary(aj)

2728 Call:

29 lm(formula = "y~x1+x2", data = dados)

3031 Residuals:

32 1 2 3 4 5 6 7

8

33 -0.7679 0.2964 1.3607 -0.5750 -0.3750 0.6893 -0.8464

0.2179

3435 Coefficients:

36 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

37 (Intercept) 4.2393 0.8031 5.279 0.003249 **

38 x1 3.4000 0.4755 7.150 0.000831 ***

39 x2 -6.4643 0.6193 -10.438 0.000139 ***

40 ---

41 Signif. codes: 0 ’***’ 0.001 ’**’ 0.01 ’*’ 0.05 ’.’ 0.1 ’

’ 1

4243 Residual standard error: 0.9208 on 5 degrees of freedom

44 Multiple R-squared: 0.9771 , Adjusted R-squared: 0.9679

45 F-statistic: 106.5 on 2 and 5 DF , p-value: 7.962e-05

3. Tarefa: funcao. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 1.1.4, Pags 32-34 Exercıcios: 6, 7, 8,9, 11]

4. Tarefa: linear. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 1.2.3, Pags 40-42, Exercıcios: 1, 2, 5,6, 7, 8, 9, 10.]

5. Tarefa: polinomial. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 1.3.4, Pags 48-50 Exercıcios: 1,2, 3, 4, 5, 6.]

6. Tarefa: racional. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 1.4.3, Pags 57 Exercıcios: 1, 2, 3,4, 5.]

7. Tarefa: exponencial1. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 1.5.4, Pags 64-65 Exercıcios:1, 2, 3, 4, 5.]

8. Tarefa: logarıtmica. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 1.6.4, Pags 71-72 Exercıcios: 1,2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15.]

9. Tarefa: exponencial2. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 1.7.3, Pags 79 Exercıcios: 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.]



10. Tarefa: potencia. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 1.8.4, Pags 84-85 Exercıcios:1,2,3,4,5,6,7,8]


Capıtulo 3

Derivada

Desenvolver conteudo da seguinte bibliografia: [Ferreira, 1999]. Capıtulo 02, item 2.1.1 ate 2.1.3,2.2.5 ate 2.2.7, 2.6.1 ate 2.6.4, 2.7.1 ate 2.7.4.

Para a ilustracao a seguir usei o software geogebra, que e muito didatico e dinamicamentepermite ligar varias variaveis ao mesmo tempo. Muito util nestes casos.

Na Figura 3.1 podemos entender claramente o significado da derivada de uma funcao. Que e ovalor do coeficiente angular de uma reta tangente a curva num ponto especıfico, e o arco tangentedeste ponto nos fornecer o angulo desta reta neste ponto.

Pela Figura 3.1 temos em vermelho o modelo f = x3−3x+1. Em azul sua derivada f ′ = 3x2−3.Em preto uma reta tangente, y = a1x + b, a curva f , com duas propriedades importantes que

sao: (a) a inclinacao∆y

∆x, variavei IRT = −1.65, para um ponto aleatorio A; (b) angulo da reta

tangente, variavel α. O ponto A(−0.67, 2.71) e B(−0.67,−1.65) sao pontos sobre a funcao f e f ′,respectivamente, com os valores de x iguais e diferentes valores de y.

Note que a inclinacao da reta tangente IRT = −1.66 e o mesmo que o coeficiente angular dareta tangente, y, a curva f . O Arco Tangente do coeficiente angular, ou inclinacao, nos da anguloque a reta forma com o eixo x, que e α = 58.89. O valor negativo indica que o angulo esta abaixodo eixo x. px e uma variavel auxiliar do geogebra, sem importancia nesta teoria.

1 octave :10> atand ( -1.65)

2 ans = -58.891

Este mesmo coeficiente angular, inclinacao, pode ser obtido se aplicarmos o ponto x = −0.67 afuncao derivada f ′.

1 octave :12> f=@(x) 3*x**2-3

2 f =

3 @(x) 3 * x ^ 2 - 3

4 octave :13> f( -0.67)

5 ans = -1.65

Desta forma podemos apenas com a derivada de uma funcao obter a inclinacao de uma retatangente num ponto qualquer e conseguentemente o coeficiente angular que esta reta forma com oeixo dos x. O coeficiente angular ou inclinacao desta reta tambem pode ser entendido como taxade variacao.

29


Figura 3.1: Significado da derivada de uma funcao

3.1 Exercıcios

A seguir descrevo os passos necessarios para elaboracao do estudo do comportamento de ummodelo.

Determine as caracterısticas do seguinte modelo: x3 − 3x+ 1

1. Inserindo o modelo como variavel maxima:

1 (%i1) f:x^3-3*x+1;

2 3

3 (%o1) x - 3 x + 1

2. Definindo as raızes do modelo. Pontos que tocam o eixo x.

1 (%i2) allroots(f);

2 (%o2) [x = 0.34729635533386 , x = 1.532088886237956 , x = -

1.879385241571817]



3. Definindo pontos que tocam o eixo y. Para isto faco e peco o calculo do valor de y numeri-camente.

1 (%i3) at(f,x=0);

2 (%o3) 1

4. Determinando os pontos crıticos. Para isto preciso da derivada 1a de f. Coloco este calculona variavel der1f

1 (%i4) der1f:diff(f,x,1);

2 2

3 (%o4) 3 x - 3

5. Agora calculo as raızes de f ′ que serao meus pontos crıticos.

1 (%i5) allroots(der1f);

2 (%o5) [x = 1.0, x = - 1.0]

6. Pontos de maximo e mınimo. Para determina-los preciso da derivada 2a de f.

1 (%i6) der2f:diff(f,x,2);

2 (%o6) 6 x

7. Aplicando os pontos crıticos sabemos se serao maximo ou mınimo. Aplicando x = 1

1 (%i7) at(der2f ,x=1);

2 (%o7) 6

8. Deu positivo, este ponto x = 1 e mınimo. Aplicando x = −1

1 (%i8) at(der2f ,x=-1);

2 (%o8) - 6

9. Deu negativo, este ponto x = −1 e maximo. A analise anterior me permite decidir que existeuma concavidade em x = 1, para cima e uma em x = −1 para baixo.

10. O ponto de inflexao existe na raiz da derivada 2a, portanto.

1 (%i9) allroots(der2f);

2 (%o9) [x = 0.0]

11. Agora que ja calculamos todos os valores numericos podemos esbocar o grafico, Figura3.2,usando o gnuplot.

12. O script que gerou o grafico pode ser visto logo em seguida. Arquivo contendo o processa-mento do programa, Arquivo 3.1



Figura 3.2: Modelo x3 − 3x+ 1

Arquivo 3.1: mm roteiro.arq/grafico1.txt

1 # Exemplo de es tudo do comportamento de modelos2 reset3 #s e t term pop4 set term png5 set output ” g r a f i c o 1 . png”6 set grid7 set key r i g h t bottom t i t l e ’ Legenda ’ box 38 set xlabel ”x”9 set ylabel ”y”

10 set t i t l e ” Gra f i co modelo xˆ3−3x+1”11 set l a b e l ” f , toca e ixo x” at 1.05 ,−2.05 l e f t t e x t c o l o r r gbco l o r ”

red ”12 set arrow from 1.532088 ,0 to 1,−213 set arrow from −1.879385 ,0 to 1,−214 set arrow from 0.347296 ,0 to 1,−2



15 set l a b e l ” f , toca e ixo y” at 0 .07 ,3 l e f t t e x t c o l o r r gbco l o r ” red ”16 set arrow from 0 ,1 to 0 .05 ,317 set l a b e l ”minimo de f ” at 1 . 1 2 , 0 . 3 5 l e f t t e x t c o l o r r gbco l o r ”

green ”18 set arrow from 1 . 1 2 , 0 . 3 5 to 1,−119 set l a b e l ”maximo de f ” at −1 ,3.5 l e f t t e x t c o l o r r gbco l o r ” green ”20 set arrow from −1 ,3.5 to −1,321 set l a b e l ”Ponto de i n f l e x a o de f ” at −0.13 ,0.36 r i g h t t e x t c o l o r \22 rgbco l o r ” blue ”23 set arrow from −0.13 ,0.36 to 0 ,124 set xrange [ −2 :2 ]25 set yrange [ −7 :5 ]26 f ( x )=x∗∗3−3∗x+127 de r1 f ( x )=3∗x∗∗2−328 de r2 f ( x )=6∗x29 plot f ( x ) t i t l e ”y=xˆ3−3x+1” , de r1 f ( x ) t i t l e ”y=3xˆ2−3” , de r2 f ( x )

\30 t i t l e ”y=6x”31 set output

Um quadro resumo pode facilitar o estudo do comportamento dos modelos:

3.2 Exercıcios

1. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 2.1.3, Pags 108 Exercıcios: 1,2,3,4]

2. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 2.2.7, Pags 117 Exercıcios: 3,4,5,6,7,8]

3. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 2.7.4, Pags 149 Exercıcios: 3,4,5,6,7]


Capıtulo 4

Integral

Desenvolver conteudo da seguinte bibliografia: [Ferreira, 1999, Capıtulo 3, item 3.1.1 ate 3.1.4,3.2.1 ate 3.2.2, 3.4.1, 3.4.2, 3.5.1 ate 3.5.4]

4.1 Exercıcios

1. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 3.2.5, Pags 167-169 Exercıcios: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]

2. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 3.5.5, Pags 193-195 Exercıcios: 1,2,3,4]

34

Capıtulo 5

Funcoes de 2 variavel

5.1 Coordenadas retangulares, polares e vetores

Desenvolver conteudo da seguinte bibliografia: [Ferreira, 1999, Capıtulo 4, item 4.1.1 ate 4.1.2,4.2.1 ate 4.2.2]

5.2 Modelos em 2 variaveis

Desenvolver conteudo da seguinte bibliografia: [Ferreira, 1999, Capıtulo 4, item 4.3.1 ate 4.3.3]

5.3 Curvas de nıvel


5.4 Derivadas Parciais


5.5 Diferencial de uma funcao


5.6 Derivadas Direcionais


5.7 Maximos e Mınimos em 2 variaveis


35


Figura 5.1: Derivada parcial de S em relacao a x, fx(x, y)

Figura 5.2: Derivada parcial de S em relacao a y,fy(x, y)

5.8 Exercıcios

1. Fonte: [Ferreira, 1999, Pag. 72, Exercıcio 15] ...Pede-se:

(a) ...



Resposta: ...Solucao:

1 #################################################

2 LETRA A

3 #################################################

4 D:

5 Veja arquivo graficoA.txt

67 R:

8 Veja arquivo graficoA.png

910 #################################################

11 LETRA B

12 #################################################

13 D:

14 octave:6> x=[0 10 30 50 60 70 80]

15 x =

1617 0 10 30 50 60 70 80

1819 octave:3> y=[121 74 30 12 6.7 3.7 2]

20 y =

2122 Columns 1 through 4:

2324 121.0000 74.0000 30.0000 12.0000

2526 Columns 5 through 7:

2728 6.7000 3.7000 2.0000

2930 octave:9> X=[[1 1 1 1 1 1 1]’ x’]

31 x1 =

3233 1 0

34 1 10

35 1 30

36 1 50

37 1 60

38 1 70

39 1 80

40 octave :13> Y=log(y)’

41 Y =

4243 4.79579



44 4.30407

45 3.40120

46 2.48491

47 1.90211

48 1.30833

49 0.69315

505152 octave :15> c=( X’* X ) ** -1*( X’* Y )

53 c =

5455 4.856254

56 -0.050347

57 octave :25> exp(c(1))

58 ans = 128.54

59 octave :26> exp(c(2))

60 ans = 0.95090

616263 R:

6465 y=128.54*0.95090**t

6667 #################################################

68 LETRA B

69 #################################################

70 D:

71 Veja arquivo graficoA.txt (anexo logo a seguir)

7273 R:

74 Veja arquivo fit.log (anexo logo a seguir)

7576 y=120.598*0.953659**t

Arquivo 5.1: exercicios/Ferreira072Exc15/graficoA.txt

1 reset23 set term pngca i ro4 set output ’ g ra f i coA . png ’56 h( x )=a∗b∗∗x7 a =128.54; b=0.95090;89 f i t h ( x ) ”dados . txt ” us ing ( $1 ) : ( $2 ) v ia a , b

1011 plot h( x )



Arquivo 5.2: exercicios/Ferreira072Exc15/dados.txt

1 0 1212 10 743 30 304 50 125 60 6 .76 70 3 .77 80 2

Arquivo 5.3: exercicios/Ferreira072Exc15/fit.log

123 ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

4 Thu Jan 30 15 : 59 : 20 2014567 FIT : data read from ”dados . txt ” us ing ( $1 ) : ( $2 )8 format = x : z9 #d a t a p o i n t s = 7

10 r e s i d u a l s are weighted equa l l y ( un i t weight )1112 function used for f i t t i n g : h( x )13 f i t t e d parameters i n i t i a l i z e d with cur rent v a r i a b l e va lue s14151617 I t e r a t i o n 018 WSSR : 76.0409 de l t a (WSSR) /WSSR : 019 de l t a (WSSR) : 0 l i m i t for s topping : 1e−0520 lambda : 387 .3952122 i n i t i a l set o f f r e e parameter va lue s2324 a = 128.5425 b = 0.95092627 After 7 i t e r a t i o n s the f i t converged .28 f i n a l sum o f squares o f r e s i d u a l s : 3 .7263529 r e l . change during l a s t i t e r a t i o n : −1.31093e−153031 degree s o f freedom (FIT NDF) : 532 rms o f r e s i d u a l s (FIT STDFIT) = sqrt (WSSR/ ndf ) :

0 .86329



33 var iance o f r e s i d u a l s ( reduced ch i square ) = WSSR/ ndf :0 .745269

3435 Fina l set o f parameters Asymptotic Standard Error36 ======================= ==========================3738 a = 120.598 +/− 0 .8016 (0 .6647%)39 b = 0.953659 +/− 0.0006498 (0 .06813%)404142 c o r r e l a t i o n matrix o f the f i t parameters :4344 a b45 a 1 .00046 b −0.453 1 .000

2. Fonte: [Ferreira, 1999, Pag. 226, Exemplo 1] Consideramos inicialmente que o custo paracolocar uma quantidade de 20 litros de combustıvel num automovel dependia somente dopreco deste produto. Pode-se entretanto tratar esta situacao de uma forma mais geral,considerando tambem a quantidade de litros um valor qualquer.Pede-se:

(a) Determine o modelo matematico para esta situacao.Resposta: ...Solucao:Considerando x (reais) o preco e y (litros) a quantidade de combustıvel, o custo (reais)para abastecer um automovel depdendera de x e y de forma diretamente proporcional.O modelo fica:

z = f(x, y) = xy (5.1)

(b) Determine um domınio para esta situacaoResposta: Resposta: .Solucao:Neste caso x (preco) pode variar entre 0 ≤ x ≤ 1 para uma boa referencia de cotacao. aquantidade y (litros) pode ser 0 ≤ y ≤ 60 pois um tanque medio cabe esta capacidade.Assim o domıno ficaria:

D = (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 60 (5.2)

(c) Determine o grafico do modelo no domınio especificado.Resposta: Resposta: .Solucao:O grafico da Figura 5.3 apresenta a seguinte imagem:

I = {z ∈ R | 0 ≤ z ≤ 60} (5.3)



3. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 4.3.4, Pags 230-231 Exercıcios: 2,6,7,8]

4. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 4.4.4, Pags 238-239 Exercıcios: 2,3,4,5,6]

5. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 4.5.4, Pags 244-245 Exercıcios: 1,2,3,4,5,6,9]

6. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 4.7.3, Pags 254-255 Exercıcios: 1,2,3,4,5,6]

7. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 4.8.4, Pags 263-264 Exercıcios: 1,3,4,5,6,7]

8. Veja bibliografia [Ferreira, 1999, item 4.9.5, Pags 272-273 Exercıcios: 1,5,6]

Figura 5.3: Modelo f(x, y) = xy


Parte III

Segunda Etapa do Curso

42

Capıtulo 6

Taxa de Variacao

Em construcao...

6.1 Exercıcios

6.2 Multiplicadores de lagrange


Figura 6.1: Encontrar x e y que maximizem f(x, y) sujeito a uma condicao (linha vermelha)g(x, y) = c.

43


Figura 6.2: Curva de nıvel da Figura 6.1. A linha a vermelho indica a restricao g(x, y) = c. Aslinhas azuis sao os contornos de f(x, y). A solucao ocorre no ponto em que as linhas vermelha eazul se tocam tangencialmente.


Capıtulo 7

Otimizacao

Em construcao...

7.1 Exercıcios

1. Desenvolver as tarefas da seguinte bibliografia: [Ferreira, 1999, item 2.7.4, pag 148, Exercıcios:8,9,10,11,14.]

2. Fonte: Bib derivada pag 213 Considere um ponto A, que esta na praia na margem da agua.Um navio esta na agua, ortogonal a praia, e a 2 km do ponto A, ortogonalmente ao pontoA. O navio deseja entregar um carga num deposito no ponto B, a 3 km de A, tambem napraia as margens da agua. A velocidade do navio e de 5 km/h e via terrestre o transporte ede 13 km/h.Pede-se:

(a) Determine o ponto da praia que deve ser construıdo um porto para que a carga chegueao deposito no tempo mınimo. Considere desprezıvel demais tempos.Resposta: Resposta: ...Solucao:Solucao: ...

3. Fonte: ... Uma piscina tem o formato da juncao de um retangulo com um unico semi-cırculonuma extremidade. Sem paredes internas na juncao.Pede-se:

(a) Determine as dimensoes da piscina de area maxima, se o perımetro e de 12 metros.Nao se preocupe com a altura da piscina, o volume nao sera considerado.Resposta: Resposta: ...Solucao:Solucao: ...

4. Fonte: ... Um tanque, em aco na forma cilindrica e sem tampa, usado para armazenamentotem volume de 5 m3.Pede-se:

45


(a) Determine as dimensoes do tanque de modo a definir a quantidade mınima de materialpara sua fabricacao.Resposta: Resposta: ...Solucao:Solucao: ...

5. Fonte: ... Considere dois numeros reais positivos cuja soma e 70.Pede-se:

(a) Determine estes dois numeros tal que seu produto seja o maior possivel.Resposta: Resposta: ...Solucao:Solucao: ...

6. Fonte: ... Um tanque conico, sem tampa, tem capacidade de 1000 m3.Pede-se:

(a) Determinar as dimensoes do tanque que minimiza a quantidade de aco usada na suafabricacao.Resposta: Resposta: ...Solucao:Solucao: ...

7. Fonte: ... Uma reta passando por (1,2) corta o eixo dos x em A(a,0) e o eixo dos y emB(0,b).Pede-se:

(a) Determine o triangulo AOB de area mınima para a e b positivos.Resposta: Resposta: ...Solucao:Solucao: ...

8. Fonte: ... Um cartaz deve conter 50 cm2 de materia impressa com duas margens de 4 cmcada, na parte superior e na parte inferior e duas margens laterais de 2cm cada.Pede-se:

(a) Determine as dimensoes externas do cartaz de modo que sua area total seja mınima.Resposta: Resposta: ...Solucao:Solucao: ...

9. Fonte: ... Deseja-se construir um tanque de forma circular, com volume igual a 125πm3.Pede-se:

(a) Determine as dimensoes de modo que o tanque possa ser construıda com a menorquantidade de material possıvel.Resposta: Resposta: ...Solucao:Solucao: ...



10. Fonte: bienbegurt pag 48 Vamos supor que dispomos de uma folha de papelao na formaquadrada, medindo 20cm de lado.Pede-se:

(a) Vamos procurar saber qual a forma otima para uma caixa quadrada, isto e, a que utilizavolume maximo.Resposta: Resposta: 3.33Solucao:Solucao: O modelo basico e V = (20− 2x)2 ∗ xCalculando temos:

1 (%i1) V:(20 -2*x)^2*x;

2 2

3 (%o1) (20 - 2 x) x

4 (%i2) diff(%o1,x,1);

5 2

6 (%o2) (20 - 2 x) - 4 (20 - 2 x) x

7 (%i3) allroots (%o2);

8 (%o3) [x = 3.333333333333334 , x = 10.0]

Vemos que o valor dentro do intervalo e 3.33

(b) Agora determine que volume otimo a caixa deve ter para que com o resto se possa fazeruma tampa para a caixa.Resposta: Resposta: ...Solucao:Solucao: ...

11. Fonte: ... Considere uma esfera de raio a.Pede-se:

(a) Calcule as dimensoes de um cone circular de volume maximo que pode ser inscrito nestaesfera.Resposta: Resposta: ...Solucao:Solucao: ...


Capıtulo 8

Equacoes Diferenciais

Em construcao...

8.1 Exercıcios

1. Fonte: ... Um pequeno lago contem, inicialmente, 1.000.000 de galoes (aprox 4.550.000litros) de agua e uma quantidade desconhecida de produto quımico indesejavel. O lagorecebe agua contendo 0,01 grama dessa substancia por galao a uma taxa de 300 galoes porhora. A mistura sai a mesma taxa, de modo que a quantidade de agua no lago permanececonstante. Suponha que o produto quımico esta distribuıdo uniformemente no lago.Pede-se:

(a) A equacao diferencial cuja solucao e a quantidade de produto quımico no lago em uminstante qualquer.Resposta: Resposta: ...Solucao:Solucao: ...

(b) Qual a quantidade de produto quımico que estara no lago apos um perıodo muito longode tempo?Resposta: Resposta: ...Solucao:Solucao: ...

(c) Esta quantidade-limite, obtida em (b), depende da quantidade presente inicialmente ?

Resposta: Resposta: ...Solucao:Solucao: ...

2. Fonte: ... Um determinado remedio esta sendo injetado na veia de um paciente de hospital.

O lıquido, contendo5mg

cm3do remedio, entra na corrente sanguınea do paciente a uma taxa

de100cm3

h. O remedio e absorvido pelos tecidos do corpo, ou deixa a corrente sanguınea

de outro modo, a uma taxa proporcional a quantidade presente, com um coeficiente de

48


proporcionalidade igual a4mg

h.

Pede-se:

(a) Supondo que o remedio esta sempre sendo distribuıdo uniformemente na correntesanguınea, escreva uma equacao diferencial para a quantidade de remedio presentena corrente sanguınea em qualquer instante de tempo.Resposta: Resposta: ...Solucao:Solucao: ...

(b) Quanto de remedio continua presente na corrente sanguinea apos muito tempo ?Resposta: Resposta: ...Solucao:Solucao: ...


Parte IV

Administracao da Disciplina

50

Capıtulo 9

Dicas de como estudar

Parece ate um tanto ousado um topico como este, mas por incrıvel que pareca existem algumasorientacoes que sao importantes de como se deve proceder para ter sucesso no estudo de umconhecimento qualquer, como no do presente curso.

Voce ao ler estas dicas pode dizer, mas isto nao serve pra mim. No entanto de tudo que voceler neste topico alguma coisa lhe servira de auxılio no seu estudo, e ja valeu a pena todo o esforcodeste texto.

Produtividade, e quando precisamos fazer muito em pouco tempo/espaco. Para isto precisamosaos poucos construir uma base solida para que a cada etapa possamos ir aumentando nossaprodutividade nos estudos. Nem sempre ir direto ao resumo resolve o problema, ele e um guiasobre o que sabemos de um assunto, se nao sabemos nada o resumo tem pouca validade.

9.1 Rotina

E muito importante voce estabelecer uma rotina de estudos para cada materia, lendo sempre oconteudo basico e nao apenas os resumos ou apostilas. E sem medo

Separe tempo para cada coisa: famılia, igreja, saude e estudos. Viu como os estudos vem porultimo, pois se vc parar para estudar e algum dos demais estiverem em falta, seu organismo/-conciencia comecara a cobrar a conta e vc nao tera paz para produzir com qualidade.

Tirar alguns momentos para programar um descanso/lazer e muito importante. Ficar dias edias trabalhando nao tras nenhum retorno a medio ou longo prazo.

9.2 Morto

Estudar cansado nao rende nada, com 30 minutos vc ja esta dormindo. Entao esteja sempredescansado antes das atividades de estudo. Nao adiante dormir a tarde toda e estudar ate as 4da madrugada, o dia seguinte cobra a conta. Apos se alimentar ou fazer uma atividade fısica oorganismo cobra um descanso, permita se relaxar apos o almoco por alguns minutos, uns 20 saoum bom referencial. Aprenda a dormir numa rede, ela e confortavel, leve, higienica e facil detransportar.

51


9.3 Faminto

Com fome ficamos muito incomodados ao parar para estudar, entao faca um lanche antes de estu-dar, coisa leve. E ruim tambem comer enquanto estuda. O organismo nao gosta desta atividadesparalelas com a alimentacao. Acabar de almocar e estudar tambem e ruim, pois apos as refeicoesprecisamos dar ao organismo oportunidade de processar a alimentacao e isto consome energia epor isto ficamos mais cansados apos uma boa refeicao, importante dar oportunidade, com umcochilo, para o organismo trabalhar em paz. Evite ouvir musica apos o almoco, feche os olhos edeixe o organismo aproveitar a energia para processar o almoco.

9.4 Anti-social

Nao adianta vc querer estudar ligado no facebook, ou outra rede social. A mente precisa seconcentrar, de dedicacao para entender o conteudo a ser assimilado. Apos estudar algumas horas,vc para um descanso e ai sim se atualize, mas aquele conceito de conectado a todo momento,cobra seu preco na falta de rendimento nos estudos, vc parace que estudou horas, mas na verdadea mente aprendeu pouco coisa. Ai vc se irrita com o conteudo pois fica horas ’estudando’ e naoaprende, mas veja que vc nao estudou, ficou apenas olhando para o conteudo e concentrado naconversa da amiga sobre as mais recentes fofocas do dia. Ser anti-social no momento de estudare prova de equilıbrio e sucesso em algo mais importante, assimilar o conteudo com qualidade.

Ouvir musica e outro fator questionado. Muitos dizem, estudo apenas com musica, nao sei aocerto ate que ponto nossa mente consegue assimilar ambas as atividades com qualidade. Sempreexiste perda de alguma. E a musica e um lazer, entao reserve tempo de qualidade para ela e naodurante seu estudo. Igualmente para a televisao.

9.5 Ansenal

Antes de estudar, veja se vc possui todo material necessario para entendimento daquele conteudo.Nao perca tempo baixando, via internet, toneladas de tutoriais ou pegando dezenas de livros nabiblioteca, escolha alguns e tente entender a teoria partindo deles.

Estudar de apenas uma fonte tambem e ruim, pois nem todos os livros tem o mesmo foco oulinguagem, para isto tenha duas a quatro fontes boas como base de seus estudos.

Construa seus resumos bem organizadamente. Os resumos sao a prova de que sua menteorganizou o entendimento. Apos isto resolva os exercıcios somente baseando nos resumos. Antesda prova estude pela teoria e reforce o conhecimento nos resumos.


Capıtulo 10

Procedimentos de avaliacao

Com o intuito de esclarecer e evitar alguns problemas sobre o procedimento de avaliacao, seguemalgumas regras que DEVEM ser seguidas.

10.1 Divisao do conteudo e quantidade de avaliacoes

1. A disciplina sera divida em 2 etapas. O conteudo e as avaliacoes serao ministradas em 8encontros e a prova em 1 encontro, totalizando 9 encontros por etapa e 18 encontros no total.O 19o encontro sera para aplicacao de provas de reposicao e o 20o encontro para prova deexame final.

2. A avaliacao do desempenho do aluno dar-se-a por etapa, sendo que em cada etapa teremosum conjunto de trabalhos e uma prova, com pesos conforme Equacao 10.1 a 10.4. Todas asatividades valem 1 ponto bem como a sua totalizacao. Sendo este valor convertido para anota na grandeza que a universidade desejar.

10.2 Preparacao da sala para a prova

3. As avaliacoes serao realizadas em sala com computadores. Podendo haver modificacao desala para realizacao da prova, devendo o aluno ficar atendo ao moodle onde sera publicadaa nova sala para avaliacao.

4. A computador onde o aluno devera realizar a prova sera decidida pelo professor. Durante aprova o aluno podera ser modificado de computador sem previo aviso.

5. Para inıcio da prova os alunos devem portar apenas roupa pessoal, borracha, grafite, caneta,regua. Os demais objetos devem ser deixados dentro da bolsa na frente da sala.

6. Caso o aluno esteja portando blusa, a mesma deve estar sendo usada, senao deve deixarna frente da sala. Qualquer outro objeto eletronico devera ser deixado dentro da bolsa edesligado. O aluno nao tera acesso a sua bolsa durante a realizacao da prova, caso o alarmeou outros sinais sonoros acontecam durante a prova o aluno nao podera ter acesso a seuobjeto para manuseio. O aluno deve tambem certificar de que nao esta de posse de nenhum

53


outro papel, material ou objeto senao os autorizados. Acarretara o cancelamento da provade todos os alunos, mesmo que um aluno esteja portanto os objetos especificados neste item,quer seja por esquecimento ou outro motivo.

7. Como alimento durante a prova somente sera autorizado o uso de agua em recipiente trans-parente. Portanto o aluno devera efetuar um adequado desjejum antes do inıcio da prova.Que tera duracao de 200 minutos.

8. O acesso ao banheiro esta restrito a casos necessarios. Sendo a liberacao feita pelo professore nao pela vontade propria do aluno. Devendo o aluno sempre cientificar o professor de suasaıda e chegada.

9. O aluno deve ligar o computador, escolher o sistema operacional Linux. Acessar a contaprova. Verificar se o ıcone de conexao com a internet esta habilitado. Verificar o funciona-mento dos softwares necessarios que sao: R, Gnuplot, Octave, Maxima, Terminal, Navegadorde arquivos e editor de texto. Aguardar instrucoes de inıcio da prova. Preparar as pastas earquivos basicos para a resposta da prova.

10.2.1 Estrutura da prova:

10. O aluno dispoe de 1 encontro, 200 minutos, para resolucao da prova. O professor poderaliberar todas as questoes da prova ou liberar a questao (n+1) somente apos termino da n,sendo n=1,2,... . Para isto o aluno deve controlar individualmente o tempo de resolucao decada questao, bem como o tempo total.

11. Sera fornecido apenas uma folha A4 como rascunho.

12. A presenca do aluno na prova se da pela assinatura da folha de presenca.

13. A prova e todo material de apoio a prova, tal como resumos, formulario de calculo numerico(sera usado o padrao adotado na disciplina de calculo numerico, portanto o aluno deve sefamiliarizar com o texto) ou outros. Serao fornecidos somente no formato digital, padraoPDF.

14. A prova consta basicamente do desenvolvimento de um problema matematico utilizando oconhecimento constante na bibliografia ou visto em sala de aula, ou aplicacao destes.

15. Para as provas desenvolvidas em sala de computadores, os softwares (Linux, Gedit, R, Oc-tave, Maxima e GnuPlot) deverao ser usados como auxılio no processamento dos dados pararesposta dos exercıcios. O aluno devera unir desenvolvimento manual com desenvolvimentodigital. Os passos para desenvolvimento digital ou manual devem permitir o professor enten-der a origem das variaveis e valores, sem constar conteudo desnecessario, para isto o alunodeve copiar todas as saidas e consta-las em relatorio de texto puro.

16. Somente serao aceitas resposta com base na analise grafica quando for expressamente pe-dido a analise restrita via grafico. Nos demais casos o aluno deve provar proficienciateorica/matematica/computacional no desenvolvimento e resposta as questoes.



17. A prova podera ser desenvolvida de forma digital e manual. O desenvolvimento deve serdetalhado permitindo a reconstrucao da solucao pelo professor. As respostas devera serexpressas, letra a letra, com um texto que expressa com clareza a resposta daquela letra.

18. A prova vale 1, cada exercıcio vale 1, subdividindo este valor por cada letra do exercıcio.

19. A resolucao do exercıcio, e a obtencao da nota da mesma, se da pela elaboracao completae conjunta de todos os calculos em cada passo, apresentando-os de forma clara, coerente,didatica, explicativa, organizada, legıvel e detalhada. Nao serao consideradas fracoes decalculo ou desenvolvimento como atendimento a nota do exercıcio. A nota compoe-se dacoerencia de todos os calculos envolvidos no exercıcio e nao somente do resposta final. E oaluno nao deve presumir que a escrita de algarismos soltos na folha/arquivo, ou pedacoesdesconectos de forma digital, ira justificar o desenvolvimento e a resposta ao exercıcio.

20. Deverao ser utilizada 4 casas decimais, com numeros diferentes de zero, ou em notacaocientıfica neste caso, para todos os calculos. O erro relativo maximo permitido entre o valordo gabarito e o valor fornecido na resolucao e de 1%.

21. O professor recebera a prova pessoalmente de cada aluno, somente se todas as informacoessolicitadas na prova estiverem preenchidos. Podendo o aluno sair de sala somente aposliberacao do professor, o abandono da prova em sala caracteriza desistencia da mesma e seraarrolada testemunha para tais acoes.

22. Todo material necessario para a realizacao da prova, fora os citados acima serao entreguespelo professor e deverao ser devolvidos no final da prova. Nao ficando com o aluno nenhummaterial usada durante estas atividades. As folhas de rascunho serao eliminados no momentodo recolhimento da prova e as folhas de desenvolvimento devidamente identificadas seraoanexadas a prova.

23. O aluno que estiver portanto qualquer material bibliografico referente a disciplina, fora oentregue pelo professor, provocara o cancelamento imediato da prova de todos os alunospara equilibrio de condicoes com os demais colegas.

10.2.2 Estrutura do trabalho

24. O trabalho corresponde a resolucao de um conjunto de tarefas, e seus exercıcios, que seraoaplicadas em sala ou via moodle, com prazo de entrega ao finalizar a etapa corrente, eavaliadas de forma individual.

25. Sera solicitada a resolucao digital, podendo ter partes manuais, utilizando exclusivamenteos recursos computacionais vistos na disciplina que sao o Linux, gedit, R, Octave, Maximae GnuPlot;

26. A tarefa deve ser conferida com outros dois colegas para assim havendo duvida solicitardiscussao do tema em sala de aula.

27. O valor de cada tarefa vale 1 e o valor total do trabalho vale 1. Somente serao pontuadastarefas entregues completas.



10.2.3 Outras disposicoes:

28. A presenca do aluno sera registrada ate 30 minutos do inicio da aula e refeita 30 minutosantes do final da aula. A frequencia sera abonada apenas mediante processo no protocolocom deferimento pelo professor, e o aluno deve ficar atento ao numero de faltas para evitarreprovacao. As frequencias estarao disponıveis on line para conferencia de todos.

29. As provas ficarao com o professor, a disposicao do aluno, para revisoes de nota em data aser definida com o professor. Apos este perıodo estas atividades serao arquivadas. Exceto aprova de recuperacao, que ficara na Secretaria Academica do Curso.

30. O professor a todo momento podera revisar as notas lancadas, ate o fechamento do diariono final do semestre.

31. O aluno devera assinar lista de presenca em sala de aula e no atendimento a alunos noperıodo programado, como comprovacao de sua presenca naquela atividade.

32. As regras previstas no capıtulo Elaboracao de Tarefas,Capıtulo 11 serao adotadas comoreferencia para todas as tarefas: sejam elas provas, trabalhos, projetos, questoes, exercıciosetc; desenvolvidas durante o curso. Somente sendo considerados para correcao as tarefasque estiverem de acordo com estas regras.

33. A administracao da disciplina sera feita somente via moodle ou link relacionado neste. Serautilizado planilha eletronica, para calculo de notas e medias, sem interferencia subjetiva nasnotas ou casas decimais. No diario a nota 1 corresponde a nota da etapa 1, idem paranota 2. O lancamento da nota sera conforme padrao daquele sistema, uma casa decimal,arredondados conforme planilha. O trabalho tem peso 1 e a prova peso 9, em cada etapa.Nacorrecao das provas e trabalhos as notas valem de zero a um, com duas casas decimais,conforme as equacoes a seguir:

NotaTrab =

∑ni=1NotaTarefai

n(10.1)

NotaProva =

∑ni=1NotaQuestaoi

n(10.2)

NotaEtapa =NotaTrab ∗ PesoTrab+NotaProva ∗ PesoProva∑

(PesoTrab+ PesoProva)(10.3)

NotaF inal = NotaEtapa ∗ 10 (10.4)

34. O exame final, que envolve toda a materia, tem os mesmos procedimentos de uma etapa,sem a atividade de trabalho.

35. A solicitacao para reposicao de provas seguira os tramites da Secretaria Academica do Curso,SAC, e sera analisadas de acordo com cada caso pelo professor. Sendo marcada uma unicadata para realizacao destas atividades.

36. Todas as atividades da disciplina como aulas, trabalhos e provas, estao previamente agen-dados e sao apresentados aos alunos no primeiro dia de aula. E constam do roteiro dadisciplina.



37. A mudanca de qualquer compromisso requer concordancia unanime dos alunos, disponibi-lidade de sala e disponibilidade do professor. O pedido de alteracao de deve ser feito porescrito e em tempo habil para estas mudancas.

38. As provas podem ser alteradas apenas uma vez da data da inicialmente prevista no inıciodo curso.

39. As notas serao divulgadas via moodle, logo apos a realizacao das correcoes que poderaocorrer mesmo depois da realizacao da prova seguinte. Sendo que as provas que estiveremcom dificuldade de interpretacao serao corrigidas por ultimo. O aluno nao deve presumirque deve ter acesso a nota anterior para realizacao de uma prova seguinte na agenda deavaliacoes.

Quaisquer outros procedimentos nao previstos neste texto serao resolvidos pelo professor eatualizados.


Capıtulo 11

Elaboracao das Tarefas

11.1 Introducao

Uma disciplina e composta basicamente da ministracao/apresentacao de conteudo teorico e de-senvolvimento de atividades para fixacao e ampliacao destes conteudos.

O Moodle referencia qualquer atividade da disciplina (exercıcios, trabalhos, provas) comotarefa, o que sera seguido nestas orientacoes.

Utilizaremos o software OCTAVE como base de todo nosso processamento matematico numerico.Quando necessario por questao de especialidade usaremos tambem os softwares Maxima, paracalculos algebricos. O R para analise estatıstica e o GnuPlot para geracao de graficos. Em todasas nossas tarefas utilizamos arquivos de texto puro e imagens no formato png.

Uma tarefa tem um nome especificado por mim e uma lista de ”Exercıcios”que sao: questoesa resolver oriundos de diversas fontes; numeradas assim 1,2,... . E o que se deseja deste exercıciono item ”Pede-se”numeradas assim (a),(b),... .. Que devem ser respondidas no relatorio digital,ou manual quando necessario, individualmente em cada letra.

11.2 Tarefa exemplo

Considere que foi proposto uma tarefa ao aluno de nome Fulano Ferreira da Silva, cujo nome usadona disciplina e Fulano. Esta tarefa sera desenvolvida como exemplo para disciplina de ModelagemMatematica:

11.2.1 Tarefa: ajustemodelo

1. Considere os valores da Tabela 11.1 de um experimento onde y=f(x).

Pede-se:

(a) Apresente o grafico dos dados originais

(b) Determine um modelo polinomial de 1 grau, para os pontos dados.

(c) Apresente o grafico dos dados originais e do modelo

(d) Calcule a raiz deste modelo.

(e) Calcular o coeficiente ajustamento do modelo obtido.

58


Tabela 11.1: Experimentox y

1.3 23.4 5.25.1 3.86.8 6.18 5.8

2. Veja livro do Barroso, pag 335, exemplo 7.5.

O desenvolvimento completo desta tarefa sera apresentado a seguir.Veja que esta tarefa, chamado de ”ajustemodelo”tem 2 exercicios. Um ”exercicio01”constante

na lista de tarefas. Um ”exercicio02”que aponta para determinado livro usado na disciplina.

11.3 Resolucao digital

Primeiramente devera ser criado uma pasta no seu computador para armazenar o desenvolvimentoda tarefa. Veja estrutura de pastas no item 11.3.1 e relacao de arquivos no item 11.3.2

Note que cada exercıcio vem numa pasta separada.Nao use acento ou espaco em nome de arquivos ou pastas.

11.3.1 Estrutura de pastas

A resolucao digital de cada exercıcio da tarefa devera ser composta dos seguintes arquivos do tipotexto puro. A estrutura de pastas padrao das disciplinas e:

1 /home/suaconta/uft/

2 |-- modmat

3 |- docs

4 ‘-- tarefas

5 |-- mm_fulano_ajustemodelo

6 | |-- exercicio01

7 | | |-- [arquivos do GNUPLOT , quando necess ario.]

8 | | |-- [arquivos do OCTAVE , quando necess ario]

9 | | |-- [arquivos do R, quando necess ario.]

10 | | ‘-- relatorio01.txt

11 | ‘-- exercicio02

12 ‘-- mm_fulano_ajustemodelo.zip

11.3.2 Relacao de arquivos basicos por exercıcio

Com excecao do relatorio todos os arquivos basicos estao associados a um softwares adotado,conforme Tabela 11.2 a seguir:

Nao use acento ou espaco em nome de arquivos ou pastas.



Tabela 11.2: Arquivos padroes em cada softwareSoftware Arquivo Descricao

nenhum relatorio01.txt Arquivo de texto puro que contem o desenvolvimento detalhadode todos os passos para elaboracao do exercıcio. Com parte dedesenvolvimento e resposta separado letra a letra.

MAXIMA Nao tem As saıdas e entradas deste programa sao todas salvas no relatoriocom o uso do copiar do terminal e colar no relatorio.

GNUPLOTgraficoA.txt Arquivo de texto puro que contem o script do grafico. A letra

”A”refere-se a letra que esta sendo respondida. Use o numero”1”para contagem de graficos, caso necessario.

graficoA.pts Arquivo de texto puro que armazena os pontos necessarios paraa criacao do grafico. A letra ”A”refere-se a letra que esta sendorespondida. Use o numero ”1”para contagem de graficos, caso ne-cessario.

graficoA.png Contem o grafico, em formato png, necessario a resolucao doexercıcio. A letra ”A”refere-se a letra que esta sendo respondida.Use o numero ”1”para contagem de graficos, caso necessario.

OCTAVE

interface.m Arquivo de texto puro que contem a interface com o usuario parauso da funcao processamento.

ajustemodelo.m Arquivo de texto puro que contem a funcao processamento pura desolucao do problema. Esta funcao nao deve de forma alguma lerdados do teclado ou emitir mensagens em vıdeo.

relatorio.txt Arquivo de texto puro que armazena o uso do programa no octaveentrada.txt Arquivo de texto puro que armazena a entrada de dados. Existe

um formato padronizado na disciplina.saida.txt Arquivo de texto puro que armazena a saıda de dados. Existe um

formato padronizado na disciplina.graficoA.png Contem o grafico, em formato png, necessario a resolucao do

exercıcio. A letra ”A”refere-se a letra que esta sendo respondida.Use o numero ”1”para contagem de graficos, caso necessario.

R

analiseA.sr Arquivo de texto puro que contem o script de analise, detalhandotodos os passos para elaboracao da solucao do exercıcio. A le-tra ”A”refere-se a letra que esta sendo respondida. Use o numero”1”para contagem de graficos, caso necessario.

dadosA.txt Arquivo de texto puro que contem os dados de entrada necessariospara analise estatıstica. A letra ”A”refere-se a letra que esta sendorespondida. O numero ”1”e a contagem de dados, caso necessario.

resultadosA.txt Contem os resultados da analise estatıstica. A letra ”A”refere-se aletra que esta sendo respondida. Use o numero ”1”para contagemde resultados, caso necessario.

graficoA.png Contem a figura, grafico, em formato png, necessario a resolucao doexercıcio. A letra ”A”refere-se a letra que esta sendo respondida.Use o numero ”1”para contagem de graficos, caso necessario.



O exercicio2 que e o ”exemplo7.5”do referido livro, tera os mesmos arquivos com o conteudonecessario para a resolucao daquele exercıcio.

O arquivo ”relatorio01.txt”reunira todas as informacoes do desenvolvimento do exercıcio01.Quando eu for consulta-lo terei um entendimento claro do que voce quis fazer, de quais ferramentasutilizou e das manipulacoes matematicas necessarias ao desenvolvimento do exercıcio. Vendoclaramente o desenvolvimento e a resposta. Usando arquivo digital, vc apenas usara um arquivopor questao, com todas as letras necessarias.

1 ############################################################

2 Exercicio 01 - LETRA A

3 ############################################################

4 DESENVOLVIMENTO:

5 Neste item voc e desenvolve toda a resolu c~ao da referida letra do

exerc ıcio

6 RESPOSTA:

7 Ao final voc e DEVE escrever um texto claro como resposta da letra

em desenvolvimento , citando os valores num ericos , vari aveis e

unidades necess arias para composi c~ao da resposta.

8 ############################################################

9 Exercicio 01 - LETRA B

10 ############################################################

11 DESENVOLVIMENTO:

12 .....

13 RESPOSTA:

14 .....

A seguir apresento os arquivos necessarios ao desenvolvimento da tarefa exemplo para a disci-plina de Modelagem Matematica.

Arquivo contendo o relatorio geral do exercicio, Arquivo 11.1

Arquivo 11.1: mm roteiro.arq/mm fulano ajustemodelo/exercicio01/relatorio.txt

1 ############################################################

2 Exercicio 01 - LETRA A

3 ############################################################

4 DESENVOLVIMENTO:

5 Veja script graficoA.txt.

67 RESPOSTA:

8 Veja gr afico graficoA.png.

91011 ############################################################

12 Exercicio 01 - LETRA B

13 ############################################################

14 DESENVOLVIMENTO:

15 octave:1> vx=[1.3 ,3.4 ,5.1 ,6.8 ,8.0]

16 vx =



1718 1.3000 3.4000 5.1000 6.8000 8.0000

19 octave:3> vy=[2.0 ,5.2 ,3.8 ,6.1 ,5.8]

20 vy =

2122 2.0000 5.2000 3.8000 6.1000 5.8000

23 octave:7> v1(5)=1

24 v1 =

2526 0 0 0 0 1

2728 octave:8> v1(:)=1

29 v1 =

3031 1 1 1 1 1

32 octave:9> mX=[v1’,vx ’]

33 mX =

3435 1.0000 1.3000

36 1.0000 3.4000

37 1.0000 5.1000

38 1.0000 6.8000

39 1.0000 8.0000

4041 octave :10> mY=[vy ’]

42 mY =

4344 2.0000

45 5.2000

46 3.8000

47 6.1000

48 5.8000

49 octave :15> mNX=mX ’*mX

50 mNX =

5152 5.0000 24.6000

53 24.6000 149.5000

54 octave :16> mNY=mX ’*mY

55 mNY =

5657 22.900

58 127.540

59 octave :17> mc=mNX**-1*mNY

60 mc =

6162 2.00974



63 0.52241

6465 RESPOSTA:

66 O modelo e y =2.00974+0.52241*x

6768 ############################################################

69 Exercicio 01 - LETRA C

70 ############################################################

7172 DESENVOLVIMENTO:

73 Veja script graficoC.txt.

7475 RESPOSTA:

76 Veja gr afico graficoC.png.

7778 ############################################################

79 Exercicio 01 - LETRA D

80 ############################################################


83 (%i1) allroots (2.00974+0.52241*x,x);

84 (%o1) [x = - 3.847054995118776]

85 (%i2)

8687 RESPOSTA:

88 A unica raiz do modelo e x= -3.8470

8990 ############################################################

91 Exercicio 01 - LETRA E

92 ############################################################


95 > dados <-read.table(file=" dadosA1.txt",head=T);

96 > eqreg <-"y~x"

97 > coefreg <-lm(eqreg ,data=dados)

98 > summary(coefreg)

99100 Call:

101 lm(formula = eqreg , data = dados)

102103 Residuals:

104 1 2 3 4 5

105 -0.6889 1.4141 -0.8740 0.5379 -0.3890

106107 Coefficients:

108 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)



109 (Intercept) 2.0097 1.1349 1.771 0.1747

110 x 0.5224 0.2075 2.517 0.0864 .

111 ---

112 Signif. codes: 0 ’***’ 0.001 ’**’ 0.01 ’*’ 0.05 ’.’ 0.1 ’ ’ 1

113114 Residual standard error: 1.107 on 3 degrees of freedom

115 Multiple R-squared: 0.6787 , Adjusted R-squared: 0.5715

116 F-statistic: 6.336 on 1 and 3 DF , p-value: 0.08639

117118 RESPOSTA:

119 O r^2 ou coeficiente de ajustamento e 0.6787

Arquivo contendo os pontos para o grafico da letra A, Arquivo 11.2

Arquivo 11.2: mm roteiro.arq/mm fulano ajustemodelo/exercicio01/graficoA.pts

1 #x y

2 1.3000 2.0000

3 3.4000 5.2000

4 5.1000 3.8000

5 6.8000 6.1000

6 8.0000 5.8000

Arquivo contendo o script do grafico da letra A, Arquivo 11.3 e Figura 11.1

Arquivo 11.3: mm roteiro.arq/mm fulano ajustemodelo/exercicio01/graficoA.txt

1 # Comentario2 reset3 set term pngca i ro4 set output ’ g ra f i coA1 . png ’5 set grid6 set key out s id e c en te r bottom t i t l e ’ Legenda ’7 set t i t l e ” Gra f i co A1 − Pontos”8 set xlabel ”x”9 set ylabel ”y”

10 plot ” gra f i coA . pts ” using ( $1 ) : ( $2 ) t i t l e ”Pontos” with po in t s l t 3 l c3

Arquivo contendo o script do grafico da letra C, Arquivo 11.4 e Figura 11.2

Arquivo 11.4: mm roteiro.arq/mm fulano ajustemodelo/exercicio01/graficoC.txt

1 # Comentario2 reset3 set term pngca i ro4 set output ’ g ra f i coC1 . png ’5 set grid6 set key out s id e c en te r bottom t i t l e ’ Legenda ’7 set t i t l e ” Gra f i co C1 − Pontos e Modelo”8 set xlabel ”x”



9 set ylabel ”y”10 plot 2.00974+0.52241∗x t i t l e ”Modelo y=2.00974+0.52241∗x” , ” gra f i coA .

pts ” using ( $1 ) : ( $2 ) t i t l e ”Pontos” with po in t s l t 4 l c 3

Arquivo contendo os dados para a analise estatıstica com o R, Arquivo 11.5

Arquivo 11.5: mm roteiro.arq/mm fulano ajustemodelo/exercicio01/dadosA.txt

1 x y

2 1.3000 2.0000

3 3.4000 5.2000

4 5.1000 3.8000

5 6.8000 6.1000

6 8.0000 5.8000

Figura 11.1: Grafico da letra A



Figura 11.2: Grafico da letra A


Capıtulo 12

Instalando o Linux e outros softwares

67

Instalando o Linux e outros Softwares

Prof. Dr. Catalunha

Atualizado em 4 de Dezembro de 2013

1 Introducao

Nas minhas disciplinas sao adotados obrigatoriamente algumas ferramentas computacionais paraauxılio no processamento dos dados. Seguem alguns orientacoes para melhorar instalacao e con-figuracao destas ferramentas.

Estaremos desenvolvendo todas as atividades na plataforma linux, ubuntu, utilizando o ’ter-minal’ como interface de entrada e saida. ’Nautilus’ como navegador de arquivos. ’Chrome’ comonavegador de internet. ’gedit’ como editor de texto para relatorios e programas.

Para processamento matematico numerico e ambiente de linguagem de programacao sera ado-tado o OCTAVE.

O processamento matematico simbolico sera desenvolvido no MAXIMA.As analises estatısticas serao desenvolvidas no R.A geracao de graficos, em formato ”png”sera feita por padrao GNUPLOT. Caso seja necessario

o OCTAVE, MAXIMA ou R pode ser adotado para geracao de graficos.O Libre Office sera adotado como ferramenta de escritorio para formatacao complexa em textos,

uso de planilhas, confeccao de ”slides”para apresentacao e desenhos. Somente para trabalhosespecıficos quando solicitados.

2 Sistema Operacional

Estaremos desenvolvendo todas as atividades na plataforma Linux, Distribuicao Ubuntu, o siteoficial e (http://www.ubuntu-br.org/). Instale os programas anteriormente mencionados conformeorientacoes do item 3.

Voce podera utilizar o linux no pendrive, item 2.2, ou mesmo instalar no hd de seu computador,item 2.1. Recomendo instalar no seu hd pois a demanda de trabalhos neste ambiente sera grande,e o pen-drive por lhe trazer alguns atrasos.

Nos tutores que se seguem usaremos muito o termo “*.iso”, que quer dizer um imagem dedados pronto para ser gravado em pendrive.

2.1 Usando o Linux instalado no seu HD/Computador/Notebook

Caso possua um computador e queira instalar o Ubuntu, voce nao perdera o seu windows, o Linuxcria uma area no hd para ele e gerencia a inicializacao permitindo que voce escolha entre Linuxou Windows.

1

Linux e outros Softwares Prof. Dr. Catalunha

Para este processo e interessante a presenca de um amigo da ciencia da computacao para tirar algumas duvidas que possam surgir ou resolver algumas situacoes anormais, mas o processo e simples. Lembre-se antes de salvar seus dados do Windows em “backup” externo. E faca “backup” perıodicos.Os passos sao:

1. Estando o Windows instalado em seu Computador/Notebook.

2. Para instalar o Linux em seu HD ele precisa estar instalado num pendrive, para isto siga asorientacoes do Item 2.2 e depois retorne a esta etapa;

3. Inicie o computador, de boot, pelo pendrive.

4. Selecione a opcao ”Instalar em HD”.

5. Responda as perguntas de instalacao conforme desejar.

2.2 Usando o Linux apenas no PenDrive

Voce pode usar esta distribuicao no pendrive, e muito simples. Voce nao perde o uso do pendrivepara windows, carro, aparelho de som ou outras aplicacoes.

Alem de permitir que voce possa instalar programas no linux do pendrive e guardar arquivoscomo se estivesse num linux instalado no seu hd. Voce tambem acessa ao hd windows normalmente.

Para isto siga estes passos:

1. Pegue a imagem iso do ubuntu no site oficial e copie para um pendrive no mınimo 4GB.Verifique se seu computador e 64bits ou 32 bits.

2. Acesse a um computador Linux em qualquer lugar, pois vc precisa criar o disco de inicia-lizacao e precisa de uma maquina linux para isto. Copie a imagem iso do ubuntu do seupendrive para este computador.

3. Formate este pen drive. Retire e incira ele de novo no computador para reconhece-lo.

4. Neste mesmo computador abra o terminal e digite: usb-creator-gtk. Abrira entao uma janelacomo a da Figura 1.

5. Primeiro selecione a iso que voce baixou e foi salva no computador, pois esta sera a versaoque sera instalada no pendrive, veja letra A na Figura 1.

6. O pendrive ja foi reconhecido veja letra B na Figura 1.

7. Selecione ”Armazenados no espaco adicional reservado”, veja letra C na Figura 1. Movaentao a barra ate aproximadamente 100% da mesma.

8. Clique em ”Criar um disco inicializavel”, veja letra D na Figura 1. Apos este procedimentovoce tera um linux completo num pendrive.

9. Inicie o seu computador, de boot, pelo pendrive.

10. Selecione a opcao ”Testar ubuntu”.

11. Responda as perguntas de instalacao conforme desejar.

12. Pronto, vc ja tem um linux via pendrive em seu computador. Selecione apenas testar.

O Ubuntu necessita apenas da instalacao dos demais programas Octave, Maxima, Gnuplot, R.Conforme veremos em seguida.

2 Atualizado em 4 de Dezembro de 2013

Prof. Dr. Catalunha Linux e outros Softwares

Figura 1: Janela do criador de disco de inicializacao

3 Instalando Softwares Diretamente

Pode acontecer de voce ter um linux em seu computador e queira apenas instalar os softwares dadisciplina, veja os itens a seguir.

O gedit e o editor de textos padrao do ubuntu, ja vem instalado em todas as distribuicoes.

3.1 Instalando OCTAVE:

Para instalar no linux, e muito simples, atualize os repositorios e instale o software com os seguintescomandos no terminal:

1 $ sudo apt -get update

2 $ sudo apt -get install octave3 .2 octave3.2-doc octave3.2-info

octave -symbolic octave -odepkg octave -statistics

Atualizado em 4 de Dezembro de 2013 3

Linux e outros Softwares Prof. Dr. Catalunha

3.2 Instalando MAXIMA e GNUPLOT



2 $ sudo apt -get install maxima maxima -doc xmaxima

Apos esta operacao o Gnuplot tambem estara atualizado, pois o maxima precisa dele em suasbibliotecas graficas.

3.3 Instalando R



2 $ sudo apt -get install r-base

3.4 Instalando o Geogebra



2 $ sudo apt -get install geogebra

3.5 Instalando o BricsCAD

Para instalar no linux e simples. Acesse ao site, http://www.bricsys.com/, cadastre-se, baixe aversao que desejar e clique em instalar.

3.6 Instalando o Latex



2 $ sudo apt -get install texlive texlive -latex -extra texlive -lang -

portuguese texlive -math -extra

Agora precisamos instalar um editor que nos ajudara a compilar os textos em latex.

1 $ sudo add -apt -repository ppa:gummi/gummi


3 $ sudo apt -get install gummi

4 Atualizado em 4 de Dezembro de 2013

Prof. Dr. Catalunha Linux e outros Softwares

3.7 Instalando o LibreOffice

Ja e nativo do Ubuntu a presenca deste software em sua barra de ferramentas, contudo caso queirainstalar uma versao mais nova use este procedimento ou pesquise outro no google.

Para instalar no linux, e muito simples, atualize os repositorios e instale o software com osseguintes comandos no terminal:

1 $ udo add -apt -repository ppa:libreoffice/ppa

2 $ sudo apt -get update && sudo apt -get -y dist -upgrade

3 $ sudo apt -get install libreoffice libreoffice -l10n -pt-br

libreoffice -help -pt -br

3.8 Instalando o PHP/PostgreSQL/mysql

Como nao uso estas ferramentas diretamente em minhas disciplinas, nao constei aqui seu pro-cedimento de instalacao. Contudo uma rapida consulta no google nos permitira instalar estessoftwares com tranquilidade e qualquer coisa estou disposicao.

4 Outros Topicos

4.1 Melhorando o nautilus

Nautilus e o navegador de arquivos do Linux. Para acrescentar a possibilidade de abrir a pastacorrente em um terminal instale um plugin com o seguinte comando no terminal:

1 sudo apt -get install nautilus -open -terminal

4.2 Cache do navegador

Quando o nagevador de internet faz um download de um arquivo pela primeira vez ele guarda umacopia no cache, deposito auxiliar de armazenamento, com isto quando vc tenta fazer um downloaddo arquivo novamente, nagevador de internet ao inves de usar a internet e sobrecarregar a rede elepresume que vc queira o mesmo arquivo anterior e busca do cache interno do computador local.

Por isto alguns de vcs tentam fazer um download da ”Roteiro.pdf”da disciplina, formulariosou outro material e encontram o mesmo com uma versao desatualizada. Portando precisamosdesativar o cache para fazer um download sempre do arquivo mais atualizado da internet.

Apenas para o navegador de internet Chrome. Quando for baixar um arquivo da disciplinaprimeiro precione junto as teclas ”Ctrl - Shift - Delete”que o Chrome abrira uma janela pedindoautorizacao para limpar dados de navegacao, marque somente ”Esvaziar o cache”e clique emlimpar dados. Voce ira baixar o arquivo mais recente da disciplina.

Atualizado em 4 de Dezembro de 2013 5

Capıtulo 13

Resumos e Formularios padroes

O uso do formulario do Octave, Gnuplot, R, Maxima, Linux, Calculo Numerico e de ModelagemMatematica e de extrema importancia em todas as atividades, inclusive nas provas, entao estudepelo livro mas resolva os exercıcios usando apenas os formularios.

Apenas o formulario de modelagem matematica e desenvolvido pelos proprios alunos em cadaetapa e deve ser usada tambem no exame final. Sera aceito apenas um formulario, e nao umindividual.

Os formularios sao apresentados em anexo.Segue tambem um roteiro para instalacao do linux e softwares de apoio.Quaisquer outras orientacoes neste item serao atualizadas e informadas aos alunos.

73

LinuxEste material é um auxílio de consulta rápida, o conhecimento aqui

apresentado deve ser fundamentado pelas atividades de aula e principalmente pelas bibliografias fornecidas. Cada disciplina demanda parte do

conhecimento aqui resumido, devendo o aluno estar apto a distingui-la.

1) Terminal 1.1) Comando básicos no terminal Linux. Maiores informações podem se obtidas em “man [comando]”.

COMANDO BÁSICO DESCRIÇÃO RESUMIDA

cd pasta/ vai ao caminho especificado.

cd .. acessa pasta anterior

ls lista resumida dos arquivos

ls -la lista todos os arquivos com todas as informações

pwd lista o caminho atual

clear limpa o terminal

eog arq.png aplicativo para abrir arquivo de imagem png

mv arq1 arq2 renomear arquivos

cp -fr arq1 pasta/ copiar arquivo para outra pasta

rm -fr arq pasta/ remove arquivo ou pasta completo

vim arq editar arquivo

mkdir pasta criar pasta

find . -name '*nome*' procura por pasta ou arquivo abaixo da pasta atual

grep -rin 'texto' ./* Procura texto dentro de arquivos abaixo da pasta atual

tail -n 10 arquivo Lista as ultimas linhas de um arquivo

1.2) Simbolos usados no terminal. Geralmente vemos esta linhaNomeDaConta@NomeDoComputador:~$

@ : separa nome da conta e nome do computador.~ : indica pasta do usuário atual, geralmente: /home/NomeDaConta$ : indica que o usuário atual não é administrador do sistema.

1.3) Na ilustraçãoA = Comando básico conforme item 1.1B = Acessar pasta da tarefa via terminal, ou pode ser via gerenciador de arquivos, Nautilus.C = Use o terminal apenas para acesso aos programas gnuplot, octave, maxima e rD = Abra cada um dos programas em uma aba separada.

2) Gerenciador de Arquivos – Nautilus 2.1) Um dos Gerenciadores de Arquivos do linux é o Nautilus. Quando selecionamos uma pasta, arquivo ou área vazia, sempre na janela a direita, podemos via menu suspenso (Botão direito do mouse) encontrar diversos comandos para manipulação, confira.

2.2) Na ilustraçãoA = Selecione a opção sempre de visualizar arquivos em árvore ou “tree”B = Crie as pastas via menu suspenso (Botão direito do mouse)C = Crie as arquivos via menu suspenso (Botão direito do mouse)D = Acesso ao terminal direto na pasta da tarefa via menu suspenso (Botão direito do mouse)

3) Editor de Textos - gedit 3.1) Na ilustração:

A = Os arquivos devem ser criados via gerenciador de arquivos, Nautilus. E abertos com clique duplo ou via menu suspenso (Botão direito do mouse) abrir com gedit. Não crie novo arquivo ou abra arquivo via gedit. Isto agiliza seu trabalho.B = Abra todos os arquivos de texto necessários a tarefa, neste editor.C = Ative a numeração das linhas via menu do gedit (Edit > Preferences > View > Line Number).D = Selecione as linhas com o mouse ou com a tecla [CTRL]+[Setas de Direção] e use a tecla [TAB] para tabular para direita e [SHIT]+[TAB] para tabular a esquerdaE = Verifique se o identificador de sintaxe esta correto, isto ajuda na visualização colorida do texto.F = A tabulação deve estar sempre em 2. Via menu do gedit (Edit > Preferences > View > Editor) selecione a opção substituir tabulação por espaço e endentação automática.

Resumo Linux. Prof. Dr. Catalunha - Versão atualizada em 31/10/2013 às 09:11 hs Página 1 de 2

4) ssh +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ #Acessar servidor local$ ssh [email protected]?fornecer senha? ----------------------------

5) scp +++++++++++++++++++++++ # copiar arquivo unico local$ scp tabela.sql [email protected]:/home/catalunha/ ?fornecer senha? ---------------

6) lftp #Acessar servidor de paginas local$ lftp lftp :~> open -u engambiental cajui.uft.edu.br lftp [email protected]:/>

# acesso a pastas e listagem lftp [email protected]:/> ls lftp [email protected]:/> cd pasta lftp [email protected]:/pasta> cd ..

# remover arquivos lftp [email protected]:/> mrm -rf * # remover arquivos lftp [email protected]:/> mrm -rf nomearq.txt # remover pastas lftp [email protected]:/> mrm -rf pasta # copia arquivo unico do local para pasta do servidor lftp [email protected]:/> mput /var/www/ea/cea/acao06/inedex.php -O /cea/acao06/ # copia pastas e subpastas do local para pasta atual do servidor lftp [email protected]:/> mirror -R /var/www/ea/cea .

7) rsync 7.1) Comando padrãorsync [opções] origem destino

7.2) Sincronizando diretórios locais$ rsync -Cravzp --del /home/fabio/artigos/ /var/backups/artigos/

7.3) Sincronizando arquivos locais para um servidor remoto. $ rsync -Cravzp --del /home/fabio/artigos/ [email protected]:/var/backups/artigos/

7.4) Sincronizando arquivos do servidor para sua máquina localrsync -Cravzp --del [email protected]:/var/backups/artigos/ /home/fabio/artigos/

8) cron O crontab tem o seguinte formato:

[minutos] [horas] [dias do mês] [mês] [dias da semana] [usuário] [comando]

O preenchimento de cada campo é feito da seguinte maneira:•Minutos: informe números de 0 a 59;•Horas: informe números de 0 a 23;•Dias do mês: informe números de 1 a 31;•Mês: informe números de 1 a 12;•Dias da semana: informe números de 0 a 7;•Usuário: é o usuário que vai executar o comando (não é necessário especificá-lo se o arquivo do próprio usuário for usado);•Comando: a tarefa que deve ser executada.• '*' informa que é a qualquer valor do campo

Criar pasta para script$ mkdir /home/usuario/script-cronAcessando a pasta criada$ cd /home/usuario/script-cronCriar script

$ vim fazqqcoisa.shPermitir execução$ chmod +x fazqqcoisa.shAdicionar script a tabela do cron do usuario atual$ crontab -e/* edita arquivo do crontab de acordo com as conf ig de tempo do cron para execução do script, exemplo para executar a todo minuto: */* * * * * catalunha sh /home/usuario/script-cron/fazqqcoisa.shVer tabela do croncrontab -l

9) Script Shell Exemplo de arquivo:$ vim rsync-php.sh#!/bin/bash

echo "== FINALIZADO =="echo -e "senha\n" | sudo -S rsync -Cravzp --del /var/www/ea /home/catalunha/Dropbox/web/echo "== FINALIZADO =="

Habilitar arquivo para execução$ chmod +x rsync-php.sh

Executa script$ ./rsync-php.sh

Resumo Linux. Prof. Dr. Catalunha - Versão atualizada em 31/10/2013 às 09:11 hs Página 2 de 2

OCTAVEEste material é um auxílio de consulta rápida, o conhecimento aqui

apresentado deve ser fundamentado pelas atividades de aula e principalmentepelas bibliografias fornecidas. Cada disciplina demanda parte do


1) Introdução1.1) Para acessar o octave via terminal linux digite:$ octave

1.2) Acessando ajuda de qualquer função.> help sum

1.3) Verifique se os pacotes: odepkg, statistics, symbolic. Estão instalados com :> pkg list

Caso negativo. Baixe de http://octave.sourceforge.net/ proceda a instalação com:> pkg install nomedopacote.tar.gz

1.4) Ativando o diário de atividades e gerenciando variáveis.> diary diario > diary on

Carregue as variáveis de um arquivo> load variaveis.octave

Carregue os dados de um arquivo texto padrão R, sem comentários.> load -ascii variavel.r

Ou listar as variáveis usadas no momento> whos

Apague as variáveis desnecessárias (ou todas com “all”)> clear ea vb mc

Salve as variáveis num arquivo ao finalizar uma tarefa.> save variaveis.octave

Salve uma variável num arquivo texto padrão R, sem comentários.> save -ascii variavel.r mmatriz

Desative o diário e feche o programa. se necessário.> diary off> quit

2) Nomes de variáveis2.1) Adotamos uma letra minúscula como prefixo do nome da variável para indicarseu tipo.ttexto = 'Texto Livre' # para texto ou função em análise simbólicaenumero = 1.123 # um escalar inteiro ou decimal.vvetor = [1,2,3,4,5,6] # para vetor linha (1xN).mmatriz = [1.1,2.2;3.3,4.4;5.5,6.6] # para matriz (NxN).blogico =true # variável boleana ou seja sim (true) ou não (false)

3) Modelos e Operações matemáticas3.1) Escrevendo modelo matemático como funções em linha. f=@(<arg1>,...,<argN>) <expressão>> f=@(x) 2*x; > f(2) ans = 4

3.2) Escrevendo modelo matemático como texto e calcula valor> tf='1+2*x';> x=2;> eval(tf)ans = 5

3.3) Operações básicas. “+” Soma; “-” Subtração; “*” Multiplicação; “/” Divisão; “^” ou “**” Potenciação; “.” Aplica a operação termo a termo na matriz, exemplo A.*B; “ ' ” transpõe a matriz. '++' incrementa a variável; '- -' decrementa a variável.

3.4) Operações matemáticas. sin(x); cos(x); tan(x); asin(x); acos(x); atan(x); exp(x); logaritmo na base e: log(x); logaritmo na base 10: log10(x); valor absoluto: abs(x); menor numero inteiro (não menor que o passado como parâmetro): ceil(x); maior numero inteiro (nao maior do que o passado como parâmetro): floor(x); arredenda corretamente: round(x); resto da divisão: rem(x,y); raiz quadrada: sqrt(x); pi valor de pi=3,14.... Use NA para valores em falta e NaN para valores não é numero.

4) Operadores de comparação< # menor que. Ex: 1 < 2> # maior que<= # menor ou igual a>= // maior ou igual a== // operador lógico igual

~= // operador log. diferente~ // negação do teste&& // operador lógico e|| //operador lógico ou

Teste 1 Teste 2 && || ==

true true true true true

true false false true false

false true false true false

false false false false true

5) Manipulação matricial e vetorial5.1) Criar vetor.> va=1:2:10va = 1 3 5 7 9> vb=linspace(1,10,5) vb = 1.0 3.25 5.50 7.75 10.00> va=[12.4,4.5,9.6,3.0]va = 12.4000 4.5000 9.6000 3.0000

5.2) Criar matriz> ma=[1,2,3;4,5,6;7,8,9;10,11,12]ma = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.3) Apagar elemento de matriz ou vetorial, “[]”ma(2,:)=[]ma = 1 2 3 7 8 9 10 11 12 5.4) Criar matrizes aleatoria> rand(2,2) # matriz aleatorioans = 0.21680 0.97528 0.57017 0.97381

5.5) Acessar ou alterar elemento da matriz. Referência subscripts ou indice linear.> ma(2,:) ans = 4 5 6> ma(:,2) ans = 2 5 8 11> ma(2,2) # acesso por subscriptsans = 5> ma(3) # acesso por indice linearans = 7> sub2ind([3,2],2,2)ans = 5> [i,j]=ind2sub([3,2],3)i = 3j = 1

5.6) Obter tamanho e tipo de dado da matriz e vetor> lin = size(ma,1) #obtem 1 dimensão num de linhaslin = 4> tam = length(va) #obtem tamanho do vetorcol = 5> isempty(ma) #analise se matriz esta vaziaans = 0>isfinite ([13, Inf, NA, NaN]) # se tem valores validosans = [ 1, 0, 0, 0 ]

5.7) Retira parte da matriz. A(inicioL:fimL,inicioC:fimC). Use “end” para acessar a ultima linha ou coluna. Use “:” para acessar a toda a linha ou coluna.> B=ma(2:end,1:2) B = 4 5 7 8 10 11

5.8) Construção e acesso a matriz de textos. Numero de caracteres corresponde as número de colunas. A matriz de texto é 'mt' e próxima letra é minúscula.> mtNomes=['joao';'maria']vtNomes =joaomaria> mtNomes(2,:)maria

5.9) Comando de estatistica. Se arg for matriz retorna a funcao para cada coluna.[vlr pos]=min(arg) # retorna o min valor e sua posicao[vlr pos]=max(arg) # retorna o max valor e sua posicaosum(arg) # retorna a soma dos elementosprod(arg) # retorna o produto dos elementos

Resumo Octave. Prof. Dr. Catalunha - Versão atualizada em 17/01/2014 às 16:56 hs Página 1 de 4

5.10) Comando de pesquisa.find(arg == 3) # localiza valor igual a 3 em arg

x = randn(2,3) xind = (x >= 1)|(x < -0.2)xc = x(xind)

exemplo de matrizCria indice na condição.Seleciona valores bons.

> finite([-1,0,1,inf,NaN,NA])ans = [1 1 1 0 0 0]

# retorna ind. de valores validos

6) Estrutura de repetição e controle 6.1) Estrutura de repetição for# for i=inicio:fimfor i=1:10 # executa codigo i vezesendfor

6.2) Estrutura de repetição whilewhile condicao # executa codigo enquanto condicao for verdadeiraendwhile

6.3) Estrutura de repetição do-untildo # executa codigo até que condicao seja verdadeirauntil condicao

6.4) Estrutura de controle ifif condicao01 #caso verdadeiro01elseif condicao02 #caso verdadeiro02else #caso falsoendif

6.5) Estrutura de controle Switch.switch (inteiro) case 1 # codigo case {2,3} # codigo otherwise # codigoendswitchouswitch (texto) case 'bananeira' # codigo case {'palmeira','figueira'} # codigo otherwise # codigoendswitch

6.6) Encerra o programa neste ponto.exit;

Outros códigos e observações:6.7) Lê valor do teclado. Não importa o tipo. Se usar 's' ele não interpreta a entrada.> enumero=input('Informe o valor: ');Informe o valor: 1.1> tequacao=input('Informe a equacao:','s');Informe a equacao: 1+2*x

6.8) Imprime texto e valor de variavel. %s=imprimir texto; %cd imprimir inteiro; %c.pf imprimir decimal, em que c=numero de casas, p=precisão decimal.> printf('ver %s %4d %5.2f\n', ttexto, einteiro, edecimal);ver Texto Livre 1 1.23

6.9) Manipulando strings. Os demais comandos strcat, strfind, strsplit, strtrim devem ser estudados.> str2num('1.23'); # string para númerosans = 1.2300 > strcmp('a','a'); # comparando duas stringsans = 1

6.10) Estrutura do arquivo padrão de entrada. Considere um parametro de entrada edecimal=1.1'. Um vetor vdecimal=[1.1;2.2]. Uma matriz mdecimal=[1.1,2.2;3.3,4.4]. Após vetor ou matriz escreva 'fim'. Use # para comentário deste arquivo.

/ie_catalunha_basico/entrada.txt

#Autor: Prof. Dr. Catalunha#Tarefa: Basicoenumero1.1vlinha1.1 2.2 3.3mmatriz1.1 2.2 3.3 4.4 fimttextonomemtextocajueiro jatobajamelao pequizeirofim

6.11) Gravar dados em um arquivo de texto.function gravaarqsaida(tarquivo,ttexto,einteiro,edecimal,vvetor,mmatriz) aarq=fopen(tarquivo,'w'); fprintf(aarq,'ttexto\n'); fprintf(aarq,'%s\n',ttexto); fprintf(aarq,'einteiro\n'); fprintf(aarq,'%d\n',einteiro); fprintf(aarq,'edecimal\n'); fprintf(aarq,'%5.2f\n',edecimal); fprintf(aarq,'vvetor\n'); fprintf(aarq,'%.4f\n',vvetor); fprintf(aarq,'fim\n'); fprintf(aarq,'mmatriz\n'); for i=1:size(mmatriz,1) fprintf(aarq,'%.4f ',mmatriz(i,:)); fprintf(aarq,'\n'); endfor fprintf(aarq,'fim\n'); fclose(aarq);endfunction

6.12) Le dados em um arquivo de texto.function [enumero,vcoluna,mmatriz,ttexto,mtTexto,vlinha]=learqentrada(tarquivo) arqhd = fopen (tarquivo, 'r'); while(!feof(arqhd)) linha=fgetl(arqhd); switch (linha) case 'enumero' # lê escalar linha=fgetl(arqhd); enumero=str2num(linha); case 'vlinha' # lê vetor linha (1xN) linha=fgetl(arqhd); vlinha=str2num(linha); case 'mmatriz' # lê matriz ou vetor coluna (Nx1) lin=1; while(!strcmp(linha=fgetl(arqhd),'fim')) mmatriz(lin++,:)=str2num(linha); endwhile case 'ttexto' # lê texto ttexto=fgetl(arqhd); case 'mtTexto' # lê matriz de texto mtTexto=''; while(!strcmp(linha=fgetl(arqhd),'fim')) mtTexto=[mtTexto;linha] end endswitch endwhile fclose(arqhd);endfunction

7) Estrutura básica para programaçãoPara programação no octave, usa-se toda a capacidade de processamento disponível no octave. Use #... para comentário simples e #{ … #} para comentário bloco.

7.1) Arquivo que contém a interface com o usuário.

~/ie_catalunha_tarefa/interface.m

# Autor: Nome do autorfunction interface() # interface para coleta de parâmetros de entrada # chamada a função da tarefa # interface para mostra de parâmetros de saídaendfunction # subfunção para leitura de parâmetros em arquivo # subfunção para gravar parâmetros em arquivo


7.2) Arquivo que contém a solução pura do problema proposto na tarefa.

~/ie_catalunha_tarefa/tarefa.m

# Autor: Nome do autorfunction[saida01,...,saidaN]=tarefa(entrada01,...,entradaN) # código para obtenção da solução da tarefaendfunction # subfunção se for necessário

7.3) Estrutura básica de arquivos e pastas de um programaie_catalunha_tarefa|-- interface.m|-- tarefa.m|-- entrada.txt|-- saida.txt`-- relatorio.txt

Obs.: o arquivo, saida.txt, será criado automaticamente pelo programa.

8) Gerar Grafico8.1) De Pontos. Considere os dados vx, vy, vxt, vyt. plot(vx,vy,formato,vxt,vyt,formato). Em que formato='<estiloDoPonto><corDoPonto>;<legenda>;' . Sendo: estiloDoPonto=-,+,*,o,x,^. corDoPonto=k(preto), w(branco), r(vermelho), g(verde), b(azul), m(magenta), c(ciano). legenda=texto.> plot(vx,vy,'*r;orig;',vxt,vyt,'+b;transf;')> grid on > title('Titulo do Grafico') > xlabel('Nome do EixoX') > ylabel('Nome do EixoY') > axis([0,10,0,50])> print('nomeArquivo.png','-dpng')

8.2) Gerar gráfico dentro de programa, inicialmente precisamos esconder a janela do plot, para isto use a linha a seguir:janelaPlot=figure('Visible','off');posteriormente incluia as informações necessárias conforme item 8.1

9) Integração9.1) Integral simples.> f=@(x) 1/x;> quad(f,3.0,3.6) ans = 0.18232

9.2) Integral dupla> g=@(x,y) x.**2+2*y; # modelo no formato matricial> dblquad(g,0,1,0,2) ans = 4.6667

10) Manipulações polinomiais10.1) Ajuste polinomial. polyfit(vx,vy,n) em que n é o grau do polinómio. A saída écn … c0.> vx=[0.0,1.0]> vy=[1.0,3.0]> vc = polyfit(vx,vy,1)vc = 2.0000 1.0000 # P1= 2*x + 1

10.2) Avalia um polinômio. polyval(vc,x) aplicar um valor x qualquer no polinómio obtido com base nos coeficientes de vc.> polyval(vc,3) # é o mesmo que P1(3)= 2*x + 1ans = 7

10.3) Calcula raizes de um polinômio. vc é o vetor de coeficientes.> roots(vc) # é o mesmo que 0 = 2*x + 1ans = -0.5

11) Regressão Linear Múltipla11.1) Ajuste um modelo y i=β0+β1 x 1i+ , , ,+β p x pi ;em que: p é o número de variáveis explicativas; i é o número de dados. Sendo a matriz solução organizada na forma.

[y1

y2

...yn

] e [1 x 11 x21 ... x p11 x 12 x22 ... x p2... ... ... ... ...1 x1n x2n ... x pn

] resultando [β0

β1

...β p

]> regress(my,mx)ans = 1 2 # P1= 1 + 2*x

12) Raiz de função12.1) Encontrar raiz de uma função> f=@(x) x**3-3*x+1; > fzero(f,2)

ans = 1.5321

13) Resolver EDO

13.1) Resolver equação diferencial. Veja Cap 6 Barroso, Exemplo: y'=x-y+2 e y(0)=2 e malha [0,1] com 10 subintervalos. No modelo padrão octave y=é a variável x x= é a variável t, ficando:> function xest=f(x,t) xest=t-x+2; endfunction> x0=2> t0=linspace(0,1,10);> [xcal,m1,m2]=lsode('f',x0,t0)xcal =

2.0000 2.0060 2.0230 2.0499 2.0856 2.1293 2.1801 2.2372 2.3000 2.3679

m1 = 2 m2 = successful exit> plot(t,xcal)

14) Matemática Simbólica14.1) Iniciar pacote de análise matemática simbólica> symbols;

14.2) Declarar variável simbólica> x=sym('x');> y=sym('y');

14.3) Declarar modelo matemático. Pode ser lido direto com input.> sf = 1+2*x;> sg = x+y;

14.4) Substituir valor de variável num modelo matemático, transformando-o para decimal.> ey = subs(sf,x,1)eY = 3.0> ez = subs(sg,{x,y},{2,2})ez = 4.0

14.5) Operações matemáticas para construção de modelo matemático em ambiente simbólico. Cos(x); Cosh(x); Exp(x); Log(x); Sin(x); Sinh(x); Tan(x); Tanh(x); aCos(x); Acosh(x); aSin(x); aSinh(x); aTan(x); aTanh(x); Sqrt(x);

14.6) Calculo de derivada de uma função.> sd1f = differentiate(sf,x,1)sd1f = 2.0

14.7) Plotar modelo simbólico. As demais configurações seguem o exemplo do gráfico de pontos.> splot(sf,x,0:10)

14.8) Transformando tipo simbólicos em decimais.> ey = to_double(subs(sf,x,1)ey = 3

14.9) Avaliando modelo informado como texto> tf='1+Log(x)'> ey = to_double(subs(eval(tf),x,2))ey = 1.6931

15) Outros comandos utilizados15.1) Diferença entre valores. x1-x0, x2-x1,...octave:9> a=[1,2,3] a = 1 2 3 octave:10> diff(a) ans = 1 1

16) Processamento Via terminal e Script Shell16.1) Considere o seguinte programa

/ie_catalunha_tarefa/interface.m

function interface() a=input('Informe o valor de a: ') [b]=tarefa(a) printf('Tarefa %f',b)endfunction

/ie_catalunha_tarefa/tarefa.m


function[b]=tarefa(a) b=2*a;endfunction

16.2) Processando programa via terminal.$ octave --eval interface -q -fInforme o valor de a: 3 Tarefa 6.000000

16.3) Processando o gráfico a partir de um script shell, considere o script

/cn_catalunha_tarefa/exercicio1/tarefa.sh

#!/bin/bash

octave --eval interface -q -f

16.4) Mudando a permissão do script para execução, caso necessário$ chmod 777 grafico4.sh

16.5) Processando o script shell$ ./tarefa.shInforme o valor de a: 3 Tarefa 6.000000


MÁXIMAEste material é um auxílio de consulta rápida, o conhecimento aqui

apresentado deve ser fundamentado pelas atividades de aula e principalmentepelas bibliografias fornecidas. Cada disciplina demanda parte do


1) Maxima1.1) Para acessar o maxima via terminal linux digite:$ maxima

1.2) Para sair do máxima e voltar ao terminal linux digite:(%?) quit();

1.3) Representar função como variavel:(%i1) f:x**3-3*x+1; 3 (%o1) x - 3 x + 1

1.4) Derivada:(%i2) diff(f,x,1); 2 (%o2) 3 x - 3 (%i3) diff(%o2,x,2); (%o3) 6 x

1.5) Integração:(%i4) integrate(f,x,-1,0); 9 (%o4) - 4

1.6) Raiz ou zero de função.(%i5) allroots(f); (%o5) [x = 0.34729635533386, x = 1.532088886237956, x =- 1.879385241571817] (%i6) algsys([f],[x]); (%o6) [[x = - 1.879385232208487], [x = 1.532088888888889], [x = 0.34729635646322]] (%i7) find_root(f,x,0,1); (%o7) 0.34729635533386

1.7) Isolar variável em função(%i1) solve(y=a+b*x,b); y - a (%o1) [b = -----] x

1.8) Atribuir valor a variável em função(%i1) at(y=a+b*x,[a=1,b=2,x=3]); (%o1) y = 7

1.9) Desenvolver as potências;(%i2) expand(%o1);

1.10) Simplificar qualquer expressão racional(%i2) ratsimp(%o1);

1.11) Solicitar o resultado em forma decimal;(%i2)%o1,numer;

1.12) Transforma equação montada em única linha de texto simples y - a (%o1) [b = -----] x (%i2) grind(%); [b = (y-a)/x]$ (%o2) done

1.13) Cálculo de limite(%i3) limit(1/sqrt(x),x,inf);(%i3) limit(1/sqrt(x),x,1,plus);

1.14) Gerar gráfico 2d em janela plot2d([%o1,%o2,%o3],[x,-2,2],[y,-5,5],[xlabel,"eixo x"],[ylabel,"eixo y"],[gnuplot_term,wxt]);

1.15) Gerar gráfico 2d para arquivoplot2d([x**3-3*x+1],[gnuplot_term,png],[gnuplot_out_file,"grafico1.png"]);

1.16) Gerar gráfico de campos direcionais de EDO(%i1) load(plotdf)$ (%i2) plotdf(r*p-k,[t,p],[t,0,2],[p,800,1000],[parameters,"r=0.5,k=450"],[sliders,"r=0:1,k=0:1000"],

[trajectory_at,0,850]);

1.17) Resolver uma equação diferencial ordinária – EDO(%i1) 'diff(p,t)=0.5*p-450; dp (%o1) -- = 0.5 p - 450 dt (%i2) ode2(%o1,p,t); - t/2 t/2 (%o2) p = (900 %e + %c) %e (%i3) ratexpand(%o2); t/2 (%o3) p = %c %e + 900

1.18) Encontrando a solução particular da EDO por PVI, considere t=0 dias e p=850 ratos.(%i3) ic1(%o3,t=0,p=850); t/2 (%o5) p = 900 - 50 %e

1.19) Trigonometria(%i25) trigsimp(sin(a)^2+cos(a)^2); (%o25) 1

1.20) Observações gerais%o? = significa referência a saida em que ? é o número da saída.inf = infinitominf = menos infinitoplus = maisminus = menoslog(x) = loge(x)=ln(x)%pi = 3.14%e = 2.71 sqrt(x) = √x(raiz quadrada de x)

2) Via terminal e Script Shell2.1) Processando a analise a partir de um script shell, considere o script

/cn_catalunha_tarefa/tarefa.sh

#!/bin/bash

maxima --very-quiet -r 'f:y=(a+b)/c$g:at(f,[y=1,a=2,c=3])$i:solve(g);stringout("saida",f,g,i)$'

2.2) Mudando a permissão do script para execução, caso necessário$ chmod 777 tarefa.sh

2.3) Processando o script shell, teremos o mesmo resultado saindo na tela e grafado no arquivo saida, mostrado logo a seguir:$ ./tarefa.sh[b = 1]

/cn_catalunha_tarefa/saida

y = (b+a)/c; 1 = (b+2)/3; [b = 1];

Resumo Máxima. Prof. Dr. Catalunha - Versão atualizada em 12/12/2013 às 17:24 hs Página 1 de 1

GNUPLOTEste material é um auxílio de consulta rápida, o conhecimento aqui



1) GnuPlot 1.1) Estando na pasta da tarefa, e os arquivos de pontos e script do gráfico já criados, item 1.3 e 1.2, para gerar o gráfico, digite:$ gnuplot graficoA.txt

1.2) Script com os comandos para gerar o gráfico de função e pontos 2d:

/mm_catalunha_tarefa/exercicio01/graficoA.txt

# Comentario reset

set term pngcairo set output 'graficoA.png'

set grid set title 'Grafico de Pontos e Equação 2d' set xlabel 'x' set ylabel 'y' set key outside center bottom title 'Legendas de Equações e Pontos'

set arrow from 1.3,2.0 to 2,1 head set label 'Pontos inicial' at 2,1 left

set xrange [-5:10] set yrange [-5:10]

f(x,a,b)=a+b*x h(x)=a+b*xa=1; b=2;fit h(x) "graficoA.pts" using ($1):($2) via a,b plot f(x,1,1) title 'y=1+1x', 'graficoA.pts' using ($1):($2) title 'Pontos no gráfico', h(x) title 'Ajuste Gnuplot'

Este scritp também gera um arquivo com nome “fit.log” com os parâmetros do ajustamento e estatísticas. Apesar de bastante otimizado, este procedimento não-linear de ajustamento/regressão depende do número de dados, do tipo de equação a ser ajustada e das estimativas iniciais dos coeficientes, podendo não convergir satisfatoriamente em alguns casos.

1.3) Arquivo de pontos para o gráfico:

/mm_catalunha_tarefa/exercicio01/graficoA.pts

# x y 1.3 2.0 3.4 5.2 5.1 3.8 6.8 6.1 8.0 5.8

1.4) Exemplo de saida

/cn_catalunha_tarefa/exercicio01/graficoA.png

1.5) Script para gráfico de função 3d:

/cn_catalunha_tarefa/exercicio01/graficoB.txt

# Comentariosreset

set term png set output "grafico02.png"

set grid set title "Grafico de Equação 3d" set xlabel "x" set ylabel "y" set zlabel "z" set key outside center top title 'Legenda'

set arrow from 0,0,0 to 1,-1,-6 head set label "Ponto Final" at 1,-1,-6 left

set hidden3d set isosamples 30 set contour both set cntrparam levels discrete 2,4,6

set xrange [-2:2] set yrange [-2:2] set zrange [-5:10]

f(x,y,a)=(x**a+y**a)splot f(x,y,2)

1.6) Exemplo de saida:

/cn_catalunha_tarefa/exercicio01/graficoB.png

1.7) Arquivo de pontos para o gráfico 3d:

/cn_catalunha_tarefa/exercicio01/graficoC.pts

# x y z 0 0 0 0 1 1 0 2 4 0 3 9 0 4 16 0 5 25

1 0 1 1 1 2 1 2 5 1 3 10 1 4 17

2 0 4 2 1 5 2 2 8 2 3 13

3 0 9 3 1 10 3 2 13

1.8) Script para gráfico de pontos 3d:

/cn_catalunha_tarefa/exercicio01/graficoC.txt

# Comentarios

Resumo GnuPlot. Prof. Dr. Catalunha - Versão atualizada em 31/10/2013 às 09:11 hs Página 1 de 2

reset

set term png set output "grafico03.png"

set grid set title "Grafico de Equação 3d" set xlabel "x" set ylabel "y" set zlabel "z" set key outside center bottom title 'Legenda'

set arrow from 1,3,10 to 2,1,5 head set label "Ponto Final" at 2,1,5 left

set xrange [0:3] set yrange [0:5] set zrange [0:25]

set data style linespointssplot 'pontos03.txt' using ($1):($2):($3)

1.9) Exemplo de saida

/cn_catalunha_tarefa/exercicio01/graficoC.png

2) Via terminal e Script Shell 2.1) Considere o seguinte gráfico de função e pontos 2d, conforme item 1.2 e 1.3:

2.2) Processando gráfico via terminal sem abrir Gnuplot.$ gnuplot graficoA.txt

2.3) Criando script para gerar gráfico

/cn_catalunha_tarefa/exercicio01/grafico01.sh

#!/bin/bash

gnuplot graficoA.txt

2.4) Mudando a permissão do script para execução, caso necessário$ chmod 777 graficoA.sh

2.5) Processando o script shell$ ./graficoA.sh

Resumo GnuPlot. Prof. Dr. Catalunha - Versão atualizada em 31/10/2013 às 09:11 hs Página 2 de 2

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1) Introdução 1.1) Inicie seu trabalho sempre em uma pasta nova e automaticamente o r salva os dados e historico dos comandos - se ao sair vc salvar o workspace.

1.2) Para acessar o octave via terminal linux digite:$ R

1.3) Para acessar ajuda de qualquer função, digite “?funcao”.> ?sum

1.4) Listar os objetos usadas no momento> ls()

1.5) Apague os objetos desnecessários> rm(x,y)

1.6) Configurar editor de funções e dados> options(editor='gedit')

1.7) Abre editor de dados ou funções, depende do tipo de objeto> fix(objeto)

1.8) feche o programa.> q()#tecle 'y' para salvar os comandos e dados digitados na tela

1.9) instalação de pacotes. Obtenha os pacotes em: http://cran.r-project.org/> install.packages('tseries_0.10-26.tar.gz')

2) Nomes de variáveis 2.1) Adotamos uma letra minúscula como prefixo do nome da variável para indicar seu tipo.enumero <- 1.123 # um escalar inteiro ou decimal.ttexto <- “texto”vvetor <- c(1,2,3,4,5,6) #vetor nao tem prefixodfdados <- data.frame(x=c(1,2),y=c(3,4))# para dados tipo dataframeldados <- list(nome1=valor1,..,nomeN=valorN)# dados tipo lista

3) Operações Matemáticas 3.1) Operações básicas. “+” Soma; “-” Subtração; “*” Multiplicação; “/” Divisão; “^” Potenciação; “%%” resto da divisão; “%/%” quociente da divisao

3.2) Operações matemáticas. sin(x); cos(x); tan(x); asin(x); acos(x); atan(x); exp(x); logaritmo na base e: log(x); logaritmo na base 10: log10(x); valor absoluto: abs(x); menor numero inteiro (não menor que o passado como parâmetro): ceil(x); maior numero inteiro (nao maior do que o passado como parâmetro): floor(x); arredenda corretamente: round(x,digits=2); exibe numero de digitos: signif(x,digits=2); raiz quadrada: sqrt(x); pi valor de pi=3,14.... Use NA para valores em falta e NaN para valores não é numero.

4) Operadores Teste 1 Teste 2 & | ==

true true true true true

true false false true false

false true false true false

false false false false true

5) Objeto: Vetor 5.1) Criar vetor rápido.> x<-c(1,2,3)> x [1] 1 2 3 > x<-c(1:5) > x [1] 1 2 3 4 5> x[-(2:3 )] # o indice negativo exclui valores do vetor[1] 1 4 5

5.2) Criar sequencia. seq(from,to,by,length). #by=incremento, length=comprimento.> seq(1,10,by= 2)[1] 1 3 5 7 9 > seq(from=1,length=10,by= 2) [1] 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

5.3) Vetores lógicos

> x [1] 1 2 3 4 5> a <- x>3 > a [1] FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE

5.4) Informações sobre valores nulos estatisticamente, NA=valor faltando. NaN=não é numero.> y<-c(1:3,NA,NaN) > y [1] 1 2 3 NA NaN > is.na(y) [1] FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE > is.nan(y) [1] FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE

5.5) Transformar vetor em matriz> d<-1:6 > d [1] 1 2 3 4 5 6 > x<-matrix(x,3,2) [,1] [,2] [1,] 1 4 [2,] 2 5 [3,] 3 6> x [,1] [,2] [1,] 7 7 [2,] 2 5 [3,] 3 6

5.6) Obter tamanho do vetor> length(c(10,20,NA)) [1] 3> length(na.omit(c(10,20,NA))) [1] 2

6) Objeto: Data Frames 6.1) Construindo um data frame> dados <- data.frame(x=1:5,y=2*1:5) > dados x y 1 1 2 2 2 4 3 3 6 4 4 8 5 5 10

6.2) Acessando a um item do dataframe> dados$x [1] 1 2 3 4 5

6.3) lendo os campos de um data frame> names(dados) [1] 'x' 'y'

6.4) Calculando valores de linhas> rowSums(dados) [1] 3 6 9 12 15

7) Objetos: Lista Muito usado para saida de funçoes

7.1) Construindo uma lista> saida<-list(x=10,arq='dados') > saida $x [1] 10

$arq [1] 'dados'

7.2) Acessando a um item de uma lista> saida$arq [1] 'dados'

7.3) lendo os campos de uma lista> names(saida) [1] 'x' 'arq'

8) Programando com Script Para programação no R, usa-se toda a capacidade de processamento disponível. Use #... para comentário simples. if(F){} para comentário em bloco.

8.1) Estrutura do Script

/ea_catalunha_tarefa/exercicio1/exercicio1.sr

sink('resultados.txt') # Codigo do Scriptsink()

8.2) Executando o Script de dentro do R> source('relatorio01.sr',echo=T)

8.3) Estrutura básica de arquivos e pastas de uma tarefaea_catalunha_tarefa|-- .RData|-- .Rhistory

Resumo R. Prof. Dr. Catalunha - Versão atualizada em 12/11/2013 às 16:13 hs Página 1 de 4

|-- relatorio01.sr|-- dados.txt|-- resultados.txt`-- graficoA.png

Obs.: o arquivo sublinhado será criado automaticamente pelo script.

8.4) Estrutura do arquivo padrão de entrada. Primeira linha é o cabeçalho. Separador por espaço e Use # para comentário deste arquivo.

/ie_catalunha_tarefa/dados.txt

#Autor: Prof. Dr. Catalunha#Fonte do dadox y 1 42 53 6

9) Programando com Funções Para programação no R, usa-se toda a capacidade de processamento disponível. Use #... para comentário simples

9.1) Cria e editar uma função> fix(ffuncao)

9.2) Estrutura da funçãofunction(entrada01=valor,...,entradaN=”valor”){ # codigo da função ParamSaida<-list(param01=valor,...,paramN=”valor”) return(ParamSaida)}

9.3) O nomes dos parametros de retorno da função podem ser lidos com> names(ffuncao)

9.4) Executando funções > paramSaida <- ffuncao(entrada01,entrada02)

O objetos paramSaida contém todos os objetos da lista de return, além da saida natural da função

9.5) Exportar funcao como objeto> save(ffuncao,file='ffuncao.objr')

9.6) Importar função salva como objeto>load(“ffuncao.objr”)

10) Leitura em arquivo 10.1) Ler dados ascii de arquivo salvando em DataFrame> dados<-read.table('dados.txt',head=T) > dados x y 1 1 4 2 2 5 3 3 6

11) Escrita em arquivo 11.1) Escreve DataFrame em arquivo ascii. dados =um dataframe.>write.table(dados,file='resultados')

11.2) Associar o arquivo a um objeto. “a” = adicionar. “w” = escrever.>arq<-file('resultados','a')

11.3) Envia texto e valores para arquivo>cat(“texto”,objvetor,”\n”,file=arq)

11.4) Captura saida de comando R e envia para arquivo>capture.output(summary(modelo),file=arq)

11.5) Junta texto para formar string>paste(dados,'_resultados',sep='')

11.6) fechar arquivo>close(arq)

11.7) Redirecionando saída do R para arquivo. > sink('resultados')

11.8) Retorna saída do R para tela> sink()

12) Decisão e Iteração 12.1) Estrutura de controle ifif (condicao){ #caso verdadeiro}else if(condicao){ #caso verdadeiro}else{ #caso falso}

12.2) Estrutura de repetição forfor (variavel in inicio:fim){ # executa codigo}

12.3) Estrutura de repetição while

while (condicao){ # executa codigo enquanto condicao for verdadeira}

12.4) Lê valor do teclado.> num <- scan()1: 102: 203: > txt<-scan(what='character') 1: aaa2: bbb3:

13) Estatísticas Descritiva 13.1) Funções estatísticas básicas.Verifique sempre a presença de valores NULOS=NA> x <- c(1:5)> x [1] 1 2 3 4 5

> mean(x) [1] 3

> max(x) [1] 5

> var(x) [1] 2.5

> min(x) [1] 1

> sd(x) [1] 1.581139

> range(x) [1] 1 5

> summary(x)...

> length(x) [1] 5

> sort(x,decreasing=TRUE) [1] 5 4 3 2 1

> sum( x)[1] 15

na.exclude(c(2,NA,1))[1] 2 1

> hist(x) > boxplot(x)

> plot(x)

14) Distribuições de probabilidade As distribuições mais usadas são, com respectivo nome usado no R

Distribuição Função no R Parâmetros e configurações

Normal ?norm Média, Desvio Padrão,...

t ?t GL

χ2 ?chisq GL

f ?f GL1, GL2

Observação: No R para cada distribuição de probabilidade implementada há 4 prefixos básicos para indicar funções diferentes para o mesmo modelo de probabilidade, são elas:d: Calcula a densidade de probabilidade, f(x) no ponto x.p: Calcula a probabilidade,(entre 0 a 1), acumulada F(x) no ponto x=?q: Calcula o quantil, x=?, correspondente a uma dada probabilidade (entre 0 a 1)r: retira uma amostra da distribuiçãoExemplo para distribuição normal:

dnorm(2.3,3,0.5) 0.2994549

pnorm(2.3,3,0.5) 0.08075666

qnorm(0.08,3,0.5) 2.297464

rnorm(5,3,0.5) 3.904574 2.618711 3.119791 3.432854 2.459779

15) Testes estatísticos z,t,f, χ2

Em que teste é a estatistica do teste em questão podendo ser z,t,f, χ2

Rejeita H0Região Crítica

Não Rejeita H0 Rejeita H0Região Crítica

p-value< α p-value> α p-value< α

teste< testeα teste teste> testeα

Existem ampliações deste quadro, veja na pag 221Situação H0: Teste Equação Exemplo

σ2=σ02

# testando

a variância

χ 2 (qui-quadrado)

Não simétrico, bi e unicaudal

χ 2=∑X i− X

σ2 =

(n−1) s2

σ02

Pág 162, exp 8.10Pág 233, exp 10.13

σ12=σ2

2 # testando

duas variâncias

f (teste f)Não simétrico, bi e

unicaudalF=

S12/σ1

2

S22/σ2

2

Pág 233, exp 10.14


μ=μ0 # testando a

média σ # sendo conhecido

z (normal)Simétrico, bi e

unicaudalz=

x−μ0

σ√n

Pág 155, exp 8.6Pág 215, exp 10.4

μ=μ0 # testando a

média μ1=μ2 # amostras

comparativas de médias

σ # desconhecido

t (teste t de Student)Simétrico, bi e

unicaudalt=

x−μ0

S

√n

Pág 164, exp 8.14Pág 217, exp 10.5

16) Regressão Linear e Não-Linear 16.1) Estrutura do arquivo padrão de entrada. Primeira linha é o cabeçalho. Separador por espaçoy x1 x2 1 4 62 5 7 3 6 9

16.2) Script para análise Regressão Lineareqreg<-"y~x" ou "y~x+I(x^2)" ou "y~x1+x2"dados<-read.table(file='dados',head=T)coefreg<-lm(eqreg,data=dados)cor(dados)confint(coefreg)plot(coefreg)summary(coefreg)anova(coefreg)influence(coefreg) predict.lm(coefreg,newdata=data.frame(x=c(...)),interval="confidence",se.fit=T) predict.lm(coefreg,newdata=data.frame(x=c(...)),interval="prediction",se.fit=T) invisible(library(MASS)) stepAIC(coefreg,direction="both") invisible(library(MPV))PRESS(coefreg)invisible(library(wle))mle.cp(coefreg)

16.3) Script para análise Regressão Não-Lineareqreg<-"y~1/x1+x2"dados<-read.table(file=”dados”,head=T)coefreg<-nls(eqreg,data=dados,start=list(x1=0.1,x2=0.2))…

Apesar de bastante otimizado, este procedimento não-linear de ajustamento/regressão depende do número de dados, do tipo de equação a ser

ajustada e das estimativas iniciais dos coeficientes, podendo não convergir satisfatoriamente em alguns casos.

17) Delineamento Experimental 17.1) Estrutura do arquivo padrão de entrada. Primeira linha é o cabeçalho. Separador por espaço. Os Delineamentos Esperimentais serão: (1) Inteiramente Casualizado – IC. (2) Completamente Aleatorizado em Bloco – CAB. (3) Fatoriais – FAT. A tabela a seguir apresenta a estrutura dos dados de entrada para cada um, em que: coluna “trat”, “bloco”,”fa” e “fa” do tipo factor, “obs” do tipo numérica. As observações podem ter tamanhos diferentes para cada tratamento

IC CAB FAT

trat obs trat bloco obs fa fb obs

1 y 1 1 y 1 1 y

1 y 1 2 y 1 1 y

1 y 1 3 y 1 2 y

2 y 2 1 y 1 2 y

2 y 2 2 y 2 1 y

2 y 2 3 y 2 1 y

2 y 2 2 y

2 2 y

17.2) Script de análise#Leitura dos dados ICquadro <- read.table(file='dados',head=T,colClasses=c(trat='factor',obs='numeric'))

#Leitura dos dados CABquadro <- read.table(file='dados',head=T,colClasses=c(trat='factor',bloco='factor',obs='numeric'))

#Leitura dos dados FATquadro <- read.table(file='dados',head=T,colClasses=c(fa='factor',fb='factor',obs='numeric'))

#Análise de Variancia IC

aov1 <- aov(obs ~ trat, data=quadro)

#Análise de Variancia CABaov1 <- aov(obs ~ trat + bloco, data=quadro)

#Análise de Variancia FATaov1 <- aov(obs ~ fa*fb, data=quadro)

summary(aov1)

18) Gerar Graficos 18.1) Envia gráficos para arquivo. Se plot mostra vários gráficos use %d para numerar as saida automaticamente. Após voltar dispositivo para tela.>png(file=“graficoA%d.png”)

Após voltar dispositivo para tela.>dev.off()

18.2) Exemplos de gráficos.x<-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9) y1<-3*log(x) y2<-10/x y3<-log(x) plot(x,y1,ann=FALSE,type='o', col='red',lty=1,lwd=1,pch=22,cex=1,ylim=c(0,10),xlim=c(0,10)) lines(x,y2,col='blue',lty=2,lwd=3) points(x,y3,col='green',lwd=5,pch=21,cex=5) title(main='Grafico', col.main='blue', font.main=1) title(xlab='xXxX', col.lab='black', font.lab=2) title(ylab='yYyY', col.lab='black', font.lab=3)legend('topright',legend=c('simbolo+linha','linha','simbolo'),col=c('red','blue','green'),lwd=c(1,3,5),lty=c(1,2,0),pch=c(22,NA,21))

Em que: ann=FALSE(sobrescreve título dos eixos x e y). type=Tipo de grafico (p=ponto;l=linhas;o= ponto e linha). col=cor do grafico(red;blue;green;...). lty=tipo de linha, veja ilustração. lwd=espessura da linha. pch=tipo do ponto,veja ilustração. cex=tamanho do ponto. xlim=limites de x. ylim=limites de y. main=título do grafico. xlab=texto do eixo x. ylab=texto do eixo y. col.main=cor do texto do titulo. col.lab=cor do texto do eixo. font.main=tipo da fonte do título (1=simples;2=negrito;3=italico;4=negrito e itálico).


19) Letras Gregas e Equações matemáticas Use os nomes das letras assim:

Α α alpha Β β beta Γ γ gamma Δ δ delta Ε ε epsilon

Ζ ζ zeta Η η eta Θ θ theta Ι ι iota Κ κ kappa

Λ λ lambda Μ μ mu Ν ν nu Ξ ξ xi Ο ο omicron

Π π pi Ρ ρ rho Σ σ sigma Ττ tau Υ υ upsilon

Φ φ phi Χ χ chi Ψ ψ psi Ωω omega

20) Testes de Hipoteses Em que teste é a estatistica do teste em questão podendo ser z,t,f, χ

2 se H0: μ = 0

e H1: μ ≠ 0

Rejeita H0Região Crítica

Não Rejeita H0 Rejeita H0Região Crítica

p-value< α p-value> α p-value< α

teste< testeα teste teste> testeα

21) Via terminal e Script Shell 21.1) Considere o seguinte programa

/ie_catalunha_tarefa/estatistica.sr

sink('resultados') dados<-read.table('dados',head=T) summary(dados)sink()

/ie_catalunha_tarefa/dados

x y 1 4 2 5 3 6

21.2) Processando programa via terminal, modo 1.$ Rscript estatistica.srNeste caso o script r é processado mas não mostra os comandos de entrada, apenas resultado do comando.

/ie_catalunha_tarefa/resultados

x y Min. :1.0 Min. :4.0 1st Qu.:1.5 1st Qu.:4.5 Median :2.0 Median :5.0 Mean :2.0 Mean :5.0 3rd Qu.:2.5 3rd Qu.:5.5 Max. :3.0 Max. :6.0

21.3) Processando programa via terminal, modo 2.$ Rscript -e "source('estatistica.sr',echo=T)" estatistica.srNeste caso o script r é processado e mostra todos os comandos de entrada e o

resultado dos comandos.

/ie_catalunha_tarefa/resultados

> dados <- read.table("dados", head = T)

> summary(dados) x y Min. :1.0 Min. :4.0 1st Qu.:1.5 1st Qu.:4.5 Median :2.0 Median :5.0 Mean :2.0 Mean :5.0 3rd Qu.:2.5 3rd Qu.:5.5 Max. :3.0 Max. :6.0

> sink()

21.4) Processando a analise a partir de um script shell, considere o script

/cn_catalunha_tarefa/estatistica.sh

#!/bin/bash

Rscript estatistica.sr

21.5) Mudando a permissão do script para execução, caso necessário$ chmod 777 estatistica.sh

21.6) Processando o script shell, teremos o mesmo resultado do item 21.2$ ./estatistica.sh

22) Referências Bibliograficas Maior parte deste material foi escrito com base no estudo e entendimento da teoria matemática e do software. Contudo algumas partes foram contribuições adaptadas dos seguintes autores.

(1) http://www.statmethods.net/advgraphs/axes.html(2) http://stat.ethz.ch/R-manual/


CÁLCULO NUMÉRICO1) Erros

e x=∣x−x∣ , E x=ex

∣x∣

2) Sistemas Lineares:

a11 x1a12 x2...a1n x n=b1

a21 x1a22 x2...a2n xn=b2

...an1 x1an2 x2...ann xn=bn

(1) ou ∑j=1

n

a ij x j=bi ou

Ax=b (2) com i=j=1,2,...,n; i=linha; j=coluna

2.1) Métodos diretos:

Etapa k ; pivô: a ip

jp

k ; multiplicador: i≠i p ; mik=−

aij p

k

a i p j p

k;

linha: Lik1

=Lik

Lip

k∗mi

k

Para Gauss: pivô é a i p j p onde i p= j p transformando a Li onde

ii p e Li p fica inalterada.

Para Pivotação Completa: pivô é a i p j p onde máx∣aij≠0∣

transformando a Li onde i≠i p e Li p fica inalterada.

Para Jordam: pivô é a i p j p onde i p= j p transformando a Li

onde i≠i p

2.2) Métodos iterativos: É condição suficiente para que a iteração de ambos os métodos

convirja se ∣a ii∣> ∑j=1, j≠i

n

∣aij∣ para i=1,2,...,n.

Para ambos os métodos, considere o sistema linear (1). Explicitando

x1 na 1ª equação, x2 na 2ª, …., tem-se:Para Jacobi:

x1(k + 1)

=b1−(a12 x2

(k )+ ...+ a1n xn

(k))

a11

x2(k+ 1)

=b2−(a21 x1

(k )+ ...+ a2n x n

(k ))

a22

...

xn(k+ 1)

=bn−(an1 x1

(k)+ an2 x2

(k )+ ...+ an ,n−1 xn−1

( k))

ann

Para Gauss-Seidel:

x1(k+ 1)

=b1−(a12 x2

(k )+ ...+ a1n xn

(k))

a11

x 2(k+ 1)

=b2−(a21 x1

(k+ 1)+ ...+ a2n xn

(k))

a22

...

xn(k+ 1)

=bn−(an1 x1

(k+ 1)+ an2 x2(k+ 1)+ ...+ an , n−1 xn−1

(k+ 1))

ann

Para ambos os métodos, os valores iniciais são xn

(0)

qualquer. E o

critério de parada é até k> Iterações ou

máx1≤i≤n∣x ik + 1

−x ik∣≤Erro

3) Ajuste de curvas y=c0c1 x1c2 x2...c p x p

[n ∑ x1i ∑ x2i ... ∑ xpi

∑ x1i ∑ x1i x1i ∑ x1i x2i ... ∑ x1i x pi

∑ x2i ∑ x2i x1i ∑ x2i x2i ... ∑ x2i x pi

... ... ... ... ...

∑ x pi ∑ x pi x1i ∑ x pi x2i ... ∑ x pi x pi

]∗[c0

c1

c2

...c p

]=[∑ yi

∑ x1i yi

∑ x2i yi

...

∑ x pi y i

]R2

=1−∑ y i− y i

2

∑ yi2−

∑ y i2

n

4) Interpolação

4.1) Interpolação Lagrangeana

Pn x =∑i=0

n

y i∏j=0j≠i

n x− x j

x i−x j 4.2) Formula de Newton para Diferença Dividida

1 y i=

y i1− y i

x i1−x i

n y i=

n−1 y i1−n−1 y i

x in−x i

Pnx = yo∑i=1

n

i y o∏j=0

i−1

x−x j

5) Zeros de funções

5.1) Método da bisseção

f x contínua no intervalo [a ,b] e f (a)∗ f (b)< 0 .

Faz-se x=ab

2. Se f a ∗ f x 0 então intervalo será

[a ,b= x ] . Senão, se f (x )∗ f (b)< 0 intervalo será

[a= x , b ] . Parada ∣b−a∣≤erro ou

iterações≥ln( b−a

erro )ln 2

−1

5.2) Método Pégaso ou Secante

f x é contínua em [a , b] e f (a)∗ f (b)< 0 . Faz-se

x=b−f bb−a

f b− f a . Se f x ∗ f b0 então faz a=b e

f a = f b . Senão, se f x ∗ f b0 então faz a=a e

f a =f a f b

f b f x . Em ambos os casos faz b=x e

f b= f x na próxima iteração.

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5.3) Método de Newton

f x é contínua no intervalo [a , b] e f (a)∗ f (b)< 0 . É

condição suficiente para a convergência do método de Newton que:

f ´ x e f ´ ´ x sejam não nulas e preservem o sinal em

a , b e x0 seja tal que f x0∗ f ´ ´ x00 . Então faz

xn1= xn−f xn

f ´ xn

6) Integração

Considere ∫a

b

f x dx e h=b−a

n e x i=a+ hi e

i=0,1 , ... , n

6.1) Regra do Trapézio

I =h2 y02y1...2yn−1 yn

6.2) 1ª regra de Simpson (n=múltiplo de 2)

I =h3 y04y12y24y32y4...2yn−24yn−1 yn

6.3) 2ª regra de Simpson(n=múltiplo de 3)

I=3h8

y03y13y22y33y 43y52y6...3yn−23yn−1 yn

6.4) Richardson

I =I 2n1

p I 2−I 1

n2p−n1

p; p=2 se trapézio e p=4 se simpson.

6.5) Integral dupla

I =∫a

b

dx∫c

d

f (x , y )dy=kx ky∑i=0

i=nx

∑j=0

j=ny

((cxi cy j)∗ f ( x i , y j))

kx=hx2

se trapézio; kx=hx3

se 1 reg. de simpson; kx=3hx

8

se 2 reg. de simpson; idem para ky.

6.6) Gauss

I =∑i=0

n−1

Ai F t i e

F t =12b−a f 1

2b−a t

12ba sendo Ai e t i

coeficientes conforme tabela a seguir:

n i t_i A_i

1 0 0 2

2 1;0 ±0,57735027 1

3 0;12

±0,774596670

5/98/9

4 0;12;3

±0,86113631±0,33998104

0,347854840,65214516

7) EDO

7.1) Runge-Kutta de 4ª Ordem

y j1= y jh6K 12K 22K 3K 4

x j1=x jh

K 1= f x j , y j

K 2= f x jh2

, y jh2

K1

K 3= f x jh2

, y jh2

K2

K 4= f x jh , y jhK3

8) Observações e revisões Propriedades logarítmicas

ln ab=ln a ln b ln ab=ln a – ln b ln ab=b ln a

ln a=log e a ln e=1

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Bibliografia

[Barroso, 1987] Barroso, L. C. (1987). Calculo Numerico (com Aplicacoes) 2a Edicao. EditoraHarbra ltda.

[Ferreira, 1999] Ferreira, R. S. (1999). Matematica aplicada as ciencias agrarias: Analise de dadose modelos. Vicosa-UFV. 33p. ISBN 85-7269-038-7.

[Rodney, 2006] Rodney, C. B. (2006). Ensino-aprendizagem com modelagem matematica: umanova estrategia. 3a edicao. Editora Contexto. 2006. Sao Paulo. ISBN 85-7244-207-3.

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