Scheduling de Veículos Autônomos deTransporte em Sistemas de Manufatura

FlexívelDynnikov, V.I.

Bastos Filho, T.F.Schneebeli, B.J.

Departamento de Engenharia ElétricaUniversidade Federal do Espírito Santo

Caixa Postal 01-9011 , Vitória-ES, 29060-970 - Brasildynnikov@ele.ufes.br; teodiano@ele.ufes.br; hans@ele.ufes.br

Abstract. The scheduling problems of Autonomous Guided Vehicles (AGV) to FlexibleManufacturing System (FMS) applicated are discussed; Special model developed and lhediscrete mathematic's task formulated. One algorithm to resolve this problem was criatedand it 's computational complexity calculated. The integral time limit constraints criterionfor AGV functions was used.

Resumo. Analisam-se os aspectos de scheduling de um grupo .de Veículos Autônomos deTransporte (VAT) utilizados como meio de transporte num Sistema de Manufatura Flexível(SMf). Apresenta-se um modelo de transporte de fluxo de materiais e obtem-se aformulação do problema de scheduling dos VAT em FMS . Avalia-se a complexidade deum algoritmo escolhido para resolver o problema. Como critério de otimização foiescolhido o período minimo de funcionamento dos VAT.

1. Introdução

Os autores deste artigo estão integrados aoLaboratório de Automação Inteligente doDepartamento de Engenharia Elétrica daUniversidade Federal do Espírito Santo. Os robôsmóveis são um dos alvos de pesquisa destelaboratório. Além dos problemas dedesenvolvimento de robôs próprios, que devemtrabalhar em ambientes diversos, analisam-se osproblemas teóricos e práticos de aplicação de robôsmóveis na indústria, em particular, em Sistemas deManufatura Flexíveis. Este trabalho é um dosresultados desta pesquisa.

O transporte de elementos de fluxo de materiais(EFM) , que inclui peças primárias, semi-acabadas,acabadas, produtos [mais , materiais suplementaresetc., e sua instalação nas estações operacionais, taiscomo máquinas-ferramentas de usinagem, de solda ,de lavagem etc. ou num estoque interoperacionaldentro do Sistema de Manufatura Flexível podem serrealizados através de vários tipos de transporte. Umadas opções é a aplicação de robôs de transporte ouVeículos Autônomos de Transporte. As tarefas detransporte são dependentes dos planos táticos, ou descheduling de utilização das máquinas, que tratamos EFM.

123

Os trabalhos sobre a estratégia de melhordistribuição de tarefas de usinagem de peças entre asmáquinas-ferramentas (o problema de distribuição detrabalho) iniciaram-se aproximadamente na metadedeste século (Salveson, 1952) e (Akers, 1955) . Logosaíram os primeiros resultados de otimização doproblema. Johnson S.M. em 1964 publicou suassoluções de scheduling ótimo no caso de umasequência de duas e três operações básicas deusinagem para um pequeno grupo das máquinas-ferramentas iguais. Uma mudança na formulação doproblema de scheduling, que tornou-se tradicional,saiu na época de criação dos sistemascomputacionais multiprocessadores, na tentativa deaplicar os métodos prontos da área de Manufatura'para otimizar . a distribuição de tarefas entrecomputadores (Coffman, 1978). Os novos resultadosobtidos na área de computação retornarain como umanova contribuição nas pesquisas na área deManufatura que progrediu desde a implantação dasmáquinas-ferramentas multioperacionais e, maistarde, Células de Manufatura Flexíveis. Osproblemas de distribuição de tarefas entre máquinas-ferramentas multioperacionais e entre osmicroprocessadores são semelhantes, considerandoque o tempo de tráfego interoperacional para umapeçade fabricação é muito menor, comparando como tempo de operação de usinagem. Esta semelhança

transporte de peças dentro do ciclo tecnológico. Aofinal. o scheduling dos cronogramas operacionaispara um VAT depende da disposicão inicial de todasas unidades de transporte no SMF.

Então. dentro de uma ampla classe de problemasde scheduling. existem algumas particularidades naformulação do problema. dependendo da área deaplicação dos métodos conhecidos. O objetivo desteartigo é especificar o caso do problema de schedulingdos VATem SFM. e indicar os métodos possíveispara sua resolução.

2. Especificação do problema

Entre os vários tipos de sistemas de transporte deelementos de fluxo de materiais (EFM) dentro de umSistema de Manufatura Flexível (SMF) está o deVeículos Autônomos de Transporte (VAT). Oscheduling dos VAT tem o objetivo de criar umcronograma suplementar em SFM para garantir aexecução do cronograma principal. devido ao fato deque ele foi obtido antecipadamente através dosmétodos de scheduling conhecidos. Na obtenção doscheduling dos VAT não podem ser aplicados osmétodos de "serviço de clientes em filas". pois aformação da fila "vai destruir a sequência tecnológicapré-programada e scheduling das máquinasoperacionais. Como critério de otimização emscheduling foi escolhido o período integral defuncionamento de todos os VAT que podem serenvolvidos no cronograma .

3. Modelo básico do SMF robotizado

Um Sistema de Manufatura Flexível contém asi = 1,2, ....I máquinas operacionais. nomeadascomo I portos de acesso de Veículos Autônomosde Transporte (VAT). Cada máquina operacionaltem uma variação de estoques pós-operacionaismarcados como ipo(i) = 1,2,... , Ipo(i) outrosportos de acesso de VAT. Os elementos de fluxo demateriais (EFM) entram em SMF através de umestoque de entrada do SMF e saem através de umestoque de saída do SMF. Estes estoques contêmi. = 1,2,... ,1,. e i; = 1,2, ... ,1\\" posições dearmazenagem dos EFM. respectivamente. que sãooutros portos de acesso .do VAT. Na abstração domodelo proposto, o fluxo de elementos de materiaisnão inclui as malhas de retroação, isto é. todos oselementos não retornam ao estoque de entrada depoisde passar pela estoque de saída do SMF . Todos os11 = 1,2,...,N VAT. que entram no SMF.executam as operações de transporte dos EFM. ouficam aguardando a sua chamada aos portosi = 1,2, ... ,1 reservados para parada. Neste modelobásico, foi escolhido 1 = N portos de parada. umpara cada VAT. Os VAT se movem em SMF sobtrajetórias pré-determinadas e pré-programadas, e têm

124

o período pr é-calculado de passagem entre qualquerpar de portos com uma reserva de segurança. Umporto somente pode ser ocupado por um VATemcada instante do cronograma . As operações detransporte dos VAT descrevem-se pelos três tiposbásicos de roteiros . O roteiro tipo A descreve umaoperação de descarga de uma máquina operacional einclui : uma partida de um porto de parada j.chegada até o porto i de comunicação com amáquina operacional. manipulacão com o EFM noporto i . transporte do EFM num estoque pós-operacional i""U). descarga do EFM no estoquepós-operacional e retomo a um porto de parada j ..Oroteiro tipo A está sincronizado com o instante f' ".. m.r

o final da operação tecnológica. da máquinaoperacional i e com o elemento de fluxo dosmateriais m . onde m = 1,-2,... ,M é o numero doEFM acessado. O roteiro tipo B descreve umaoperação contrária à operação tipo A. quando algumEFM transporte-se de um porto . onde ele fica. einstala-se num porto de máquina operacional. Oroteiro tipo B está sincronizado com o início daoperação tecnológica na máquina operacional. 5

111. ;

Como neste modelo básico. o porto de parada estádefinido como um para cada VAT. e os períodos deexecução dos roteiros tipo A e B são as funções dosparâmetros envolvidos: T" .m.i (a) e T ".fll.1.j(I) po(b) .O período do ciclo de funcionamento do SMFplanejado é T. Isto é. o cronograma de schedulingcomeça no instante t = l o e termina no instantet = to + T . Para maior simplificação do modelobásico foi escolhido o estoque pós-operacional fixopara cada máquina operacional.T" .m.i .Jf ilf',,(b) T".1II.,(b) Os instantes de partidados VAT também são funções dos parâmetrosenvolvidos: 51" .111.1 (a) eSI" .1II.i (a) . A

possibilidade do VAT II operar com o EFM mestá descrito pelo indicador d 1/ . 111 = 1 . Caso estapossibilidade não exista. então d1/.11I = O.

4. Formulação do problema

No período loS 1 S 1 + Testá pr é-programadoo cronograma de funcionamento das máquinasoperacionais: a = {S ,F} do SMF . As

mo '" 0 m G

matrizes S.,.. = [ SI1l .i ] e = i] de dimensõesM x I descrevem os instantes de início e final dasoperações tecnológicas programadas para máquina ique deve operar com o EFM m . Dadas : a matrizD = [d1/ .11I J. de dimensão N x M elementos. quecontêm os indicadores de capacidade dos VAT paraoperar com o EFM: a matriz SD = [sdm. j ,. ]. de

é maior. ainda. quando num processo de fabricaçãoaplicam-se os métodos conhecidos de agrupamentodas peças (Tecnologia de Grupo). Os métodos dePesquisa Operacional para formulação e resoluçãodos problemas tradicionais lias duas áreas. em buscade soluções ótimas ou sub-ótimas já foramdesenvolvidos e sistematizados (Mouder. 1981).

A criação dos Sistemas de ManufaturaFlexíveis ou redes distribuídas de computadorestrouxe as novas modificações na formulação inicialdo problema. As novas dificuldades apareceram emrazão da existência de algumas alternativas nosroteiros de transporte. por influência do período detransporte das peças ou transporte de dados. assimcomo por influência do período limitado na busca desolução para scheduling ótimo. Embora osproblemas de tráfego na rede computacional e dotransporte de peças em SFM não tenham perdido suasemelhança. na tentativa de generalizar os métodosde scheduling, nas duas áreas existem algumasdiferenças principais. que devem ser consideradas naformulaçãodo problema.

A presença de roteiros alternativos resulta nadiferença de distâncias entre as posiçõesoperacionais. ou "portos", de um SMF que varia operiodo de transporte, quando as unidades detransporte são iguais. Embora as redescomputacionais também integrem. em geral, aslinhas alternativas de transmissão com diversasvelocidades de tráfego de dados. existe uma variaçãodo período de transporte. dependendo do roteiroescolhido. A escolha de um roteiro na redecomputacional com um tempo de transmissão menordependerá da ocupacão das linhas de transmissãocom velocidade maior de tráfego de dados. enquanto ,o roteiro e. consequentemente, o período detransporte entre os portos num SFM pode serdefinido a priori e não depender do período dasoperações com peças. como é o caso de projetos delinhas de produção automáticas fixas, não flexíveis.onde as máquinas operacionais estão ligadas nummodo fixo. Neste sentido. os roteiros básicos queligam as estações operacionais num SFM talvez nãovariem como roteiros nas redes computacionaisdistribuídas. o que simplificará o processo deotimizaç ão. Mas. pela propriedade do VAT. elepode ser movido até qualquer porto do SFM.portanto. um elemento de fluxo de materiais que ficaem qualquer porto do SMf pode ser transportadodireto para qualquer outro porto com a ajuda dequalquer VAT disponível. o que resulta. no final.em uma variedade maior no problema do SMF .comparando com uma rede computacionaldistribuída. Existe um caso extremo. quandoqualquer computador da rede está ligado com todosos outros computadores através de uma linha diretade transmissão, que é uma configuração atípica.quase impossível de encontrar nas redescomputacionais comuns.

A autonomia do VATé finita e dependetotalmente dos recursos das baterias a bordo.Quandoos-recursos estão no fim. o VAT deve ser

125

retirado do SFM para recarregamento ou troca dasbaterias. Por isso , a escolha do período total defuncionamento de todos os VAT envolvidos nocronograma , como critério de otimização naformulação do problema de scheduling, seriarazoável, pois , no final, vai-se economizar osrecursos a bordo do VAT. Se é aplicado o mesmocritério para uma rede computacional otimiza-se operíodo total de transporte de todos os dadosenvolvidos. É preciso destacar que este critério nãootimiza na forma direta o período de transporte doselementos de fluxo de materíais em SMF, devido àpresença dos trechos adicionais nos roteiros doVAT. Estes trechos estão ligados com outraparticularidade importante do SFM, que não têm umequivalente numa rede computacional. Para o VATno SMf. existem os portos marcados (reservados)de parada. para esperar a sua próxima chamada.Alguma parada fora dos portos marcados, porexemplo. no último porto destinário, pode bloqueá-lo e atrapalhar o transporte de outras peças poroutros VAT até este porto. Então, em alguns trechoso VATestá se movendo sem carga: do porto de suaparada até o porto para executar a tarefa de transporte,e na volta , para o porto de parada depois de terminara operação de transporte. A situação piora quandoexiste uma variação na escolha dos portos reservadosde parada para cada VAT, o que é um caso comumem SMF. Embora o critério de otimização tratadonão otimiza o período de transporte de elementos defluxo de materiais em SMf diretamente, ele ajuda naotimização numa forma indireta. Este fato pode serexplicado da seguinte maneira (Dynnikov, 1986):entre duas operações vizinhas para uma peça dentrode seu roteiro tecnológico programado, acontecem aspausas interoperacionais quando a peça está fora daoperação. Os métodos de scheduling ótimo,aplicados na etapa de planejamento de carga dasmáquinas operacionais. diminuem este período"morto" no ciclo de fabricação de uma peça ouproííuto acabado, mas, infelizmente, não podemexcluí-los pela própria flexibilidade do SMf, isto é,a possibilidade de trabalhar com vários tipos depeças ao mesmo tempo. Então, uma peça poderiaficar parada na última estação operacional, ocupando-a até o momento da próxima demanda da estaçãopara trabalhar com outra peça, ou até suatransferência para outra estação dentro do seu ciclotecnológico programado. Senão , outra possibilidadeé guardar a peça num estoque interoperacional. Noscasos de trabalho com as ferramentas suplementares,necessárias para executar uma operação básica, existeuma operação preparatória por motivos tecnológicos,como por exemplo a instalação de uma peça numsuporte. Neste caso, a parada num estoqueinteroperacional se transforma numa fase obrigatória.Esta fase pode ser necessária tanto no período pré-operacional, quanto no período pós-operacional, porexemplo. para liberar a peça do supporte. Em geral,num SMf existem vários portos de estoquesinteroperacionais. A escolha de um deles depende docritério descrito. que otimiza o tempo integral de

dimensão M x IV ; e a matriz FD = [fdm.jlV], dedimensão M x JW Estas duas últimascaracterizam as comunicações externas do SMf. SDdescreve os instantes programados de chegada dos.EFM ao estoque de entrada do SMf. Se algumelemento chegou antes da hora programada, a suachegada deve estar marcada como sdm. jv= to' Apartir do momento fd . , o EFM pode ser retiradom.tw

do SMF no estoque de saída por meio de sistemasexternos. Os arraniosF, = [1:(a) e

T = [T(b) .], ambos de dimensãoa n,m,'N X M X I , caracterizam os períodos de execução,dos roteiros tipo A e B, que variam dependendo donúmero de estacão operacional, número de do VATe número de do EFM transportado.O problema é achar o cronograma

aVAT = {SVAT> F;,AT} ' onde as matrizes

SVAT = {svAT(n,/(n»} e

F;,AT = {fvAT(n,/(n»} caracterizam os instantes

de saída dos VAT n E {1,2, ...,N}do seu porto deparada, para executar suas operações de transporteI(n) = 1,2, ...,L(n) , e os instantes de volta aoporto de parada depois de terminar as operações detransporte, respectivamente. O critério é minimizar otempo integral de todos roteiros dos VAT,

(s vAT(n,/(n» - fVAT(n,/(n»).Para simplificar a obtenção do algoritmo serianecessário fazer as transformações prévias dasmatrizes iniciais Smo ' Fmo'SD eFD nesta forma:

t.; =

r sdm.jvVa = 1,2, ..., JVJ J. .V a = IV + 1, JV + 2,..., IV + I1 m,llTVa = JV + I + 1, ...,JV + I +W

r TVa = 1,2, ...,JVi Sm.iVa = JV + 1,IV + 2, ...,JV + I

lj d . Va = IV + I + 1,... ,IV + I +Wm.r«. /

Assim, o cronograma inicial dado transforma-se num

novo cronograma amo = {Smo' ( o} =>a s = {S,,rJ. Todos os elementos do arranjo

as = {S"F,} podem ser substituídos por umaúnica sequência ordenadaSr(Z) = {Sr(l):S Sr(2):s ... :SÉ possível obter as tabelas de correspondência :a = a(Z) e 'm = m(Z) . Do Ponto de vista de

126

sistema de VAT, depois destas transformações háuma . lista integral das chamadas ordenadas nodomínio de tempo, que os VAT recebem e devemexecutar. Denominando como variável J( o tipo deroteiro executado (a v b) , como y(Z,K) o númerode variante de scheduling analisado, comon(y ,Z ,K) o número do VAT escolhido paraatender a chamada Z , e representando comovariável st(n) o instante de ocupação e comovariável ft( n) o instante de liberação do VAT n . épossível descrever o algoritmo desenvolvido.

5. Algoritmo de resolução do problema

Dados iniciais: Sr(Z) ; a = a(Z) : m = m(Z) ;D = [dm.m]; Ta =

T =[T(b) ];n=l,...,N;m=l,...,M ;a n.m.a

a = 1,2,...,JV + 1+ JW ; Z = 1,2 ,..., Zma,, ; asvariáveis: k = a.b ;y(Z,K) ; s1(n) ;ft(n) = O; a = a(Z,k); m = m(Z,k) ;N1(Z,k) ; N2(Z,k) ; N3(Z,k);1. Z=O, k =b, st(n) =0 ; ft(n) =0 ;I(n) = OVn[l,N]2. Z = Z + 1 . Se Z > saltar ao passo 15.3. Definir Sr(Z) .Renomeara(Z,k) = a(Z) cm(Z,k) = m(Z) .4. Entre [i: ]acharfm(z) •. a<z.k) = I!,lt{{m. a<z .k) < Sr(Z)} . k = a;m(Z,k) = m·(Z) saltar ao passo 5.Senão N3(Z,k) = O,y(Z,K)=O.5. Para m( Z ,k) = m(Z) entre [dll •m ] acharN1(Z,k) :s N números n : d, m = 1.6. Entre [T(k)n.m(z,k).a(z.k)] acharN2(Z, k) :s N1(Z ,k) números n :T(k)n.m(z,k).a(z.k) < T. Se N2(Z,k) '= O, entãoN3(Z,k) = O, saltar ao passo 9.7. Entre N2(Z,k) achar N3(Z,k) :sN2(Z,k) :

{f tu (n » + :s = a, b

f1(1(n») :s fm(Z.k).a(z.k)Vk - a

Se N3(Z,k) = Oe k = a , saltar ao passo 13,senão pela k = b fazer: k = a ,s1(1(n» = ft(l(n) -1),

ft(l(n» = ft(l(n) - 1),I(n) = l(n)-l

------- ---------

7. Conclusões

MI Ml+M...y(M,b) = rr y(Z,a) rr y(Z,b) =

2-1 2 =1

NMI NM1+M = N M(21+1)

A avaliação de complexidade obtida,O(N)M(2I+l), confirma os resultados previosobtidos sobre a pertinência desses problemas a umaampla classe de problemas NP-eomplexos(Dynnikov, 1990), (Timkovsky, 1992),

'Ia = 1,2,..o,JV,Para cada a = JV +1, JV + 2, 0'0' JV + I é

necessário aplicar um roteiro tipo A e um roteirotipo B do VAT.

Para < cadarz = JV + I + I, .IV + 1+2, ... ,JV + I +W é necessário aplicar um roteiro tipoB.

A quantidade máxima de variantes possíveis naescolha do VAT para cada chamada éy(Z,K)=N3(Z,k) = N.

Então, a complexidade do algoritmo avalia-secomo o valor máximo de comutações possíveis pelaexpressão:y(l, a)y (l,b)y(2, a)y (2,b) ... y(MI,a)y (MI,b)

Sm,jv = T:devem ser servidos , 'pois

O modelo discutido neste' artigo não possuicaracterística de um modelo fechado. Os resultadospodem ser estendidos a outros problemas descheduling. Por exemplo, na abordagem doproblema de scheduling de uma rede computacionaldistribuída que tem caráter global, e quando estáprevista uma seqüência, o tempo e o periodo deprocessamento de dados em nós, e quando cadausuário, seja um computador ou uma rede local,concentrados em nó, concorre na utilização dasmesmas linhas de transmissão para mandar os seuspacotes de mensagens entre os nós na rede global,Esta tarefa pode aparecer após a criação de uma redemundial de telecomunicações. Entre os problemasatuais encontra-se o problema de tráfego de aviõesque é semelhante pela sua natureza e pela NP-complexidade, pois o avião da mesma forma que oVAT, potencialmente alcança qualquer aeroportoincluído na rede e também tem recursos limitados abordo . Neste artigo foi discutido somente um casosimples, que ocasionou NP-complexidade. É precisodestacar, entretanto, que a resolução deste problemanão substitui os problemas de representação gráficade processos, para facilitar o diálogo homem-máquina, abordados e bem desenvolvidos nosúltimos tempos , por exemplo, na técnica deaplicação das Redes de Petri (Barroso, 1995), ou suaextensão modifIcada Mark Flow Fraph (Miyagi,1996), Mas, o lugar deste problema abordado é alógica de disparos nas transições para Petri Netswith Transition Enabling Functions (PNTEL), que

6. Análise do algoritmo

l(n) = l(n) + l\fn(y(Z,k» = n

st(l(n»lI(y( Z,k»'I1(Z ,k),a(Z, k) =

{fm(Z,k) ,a( Z,k)\fk = a

Sr(Z) - T(k)n(Y(Z ,k»,m(Z,k),a(Z,k)Vk = b

ft(l(n) )n(y (Z,k »,m(Z,k) ,a(Z,k) =

st(l(n»n( y ( Z.k» .m(Z,k),a(Z, k)+T(k)n( y( z, k» ,m(Z,k),a(Z, k)

saltar ao passo 10.S. Ordenar: N3(Z,k) valores deT(k )nEN3(Z.k).III(Z,k),a(Z,k):T(k)I.m(Z,k) ,a(Z,k) :S o .. :S T(k)y(z.k),m(Z,k),a(Z ,k) :S

... :S T(k) N3(Z ,k),m(Z,k),a(Z,k)Definir: n = n(y(Z,K».9. y(Z,K) =0.10. y(Z,K) =y(Z,K) +1. Sey(Z,K) >N3(Z,k) , saltar ao passo 13.11. Definir'

st(l(n» = st(l(n» r(y(Z.k» ,m(Z,k),a(Z,k)

f(l(n» = ft(l(n»n(Y(Z,k»,III(Z,k),a(Z,k)12. Se k = a fazer k = b, saltar ao passo 5, senãosaltar ao passo 2.13. Definir: Z = Z -I. Se Z = 0, saltar ao passo14, senão para k = b fazer k = a ou para k = afazerk = b,ft(l(n» = ft(l(n) -I»\fn = n(y (Z, K»;

saltarst(l(n» = st(l(n) -I»\fn = n(y(Z,K»ao passo 10.14. Avisar ao operador "o 'cronogramaa = {S ,F} não pode ser realizado!".s J'15. Imprimir o cronograma doVAT a VAT = { SVAT' FVAT } na forma desejada,utilizando os dados das variáveis.16. Final.

o algoritmo desenvolvido pode ser classificadocomo algoritmo tipo "branch and bounds" semlimite de tempo de busca de solução (Mouder,1981), O algoritmo é exato e a sua complexidadepode ser definida como o limite superior dos passosnecessários para atender ao cronogramaas = {S"F,} <:>Sr(Z) = {Sr(I):s Sr(2):s

... :S Nem todos os portos a = a(Z)

127

é específica e inevitável para cada área de aplicação.Todavia. o problema apresentado fuI parte da Teoriade Controle Supervisório em Sistemas deManufatura Flexíveis e os autores pretendemcontinuar a análise para os casos mais complexos .

8. Bibliografia

Akers . A and B.A Fricdman (1955). A non-numerical approach to Produ ction Schedul ingProb\cms. Operation Research. 3. .J.29-.J.·n. NcwYork . .

Barroso G.c. . A.M . Lima and A Perkusich (1995)Tr ansition Enabling Pctri Nets to SupervisoryControl Theory. In : Proceeding ol theII:J:E FCL l fFIP internat ional conference onarchitectures mui design methods for BalancedAut omation Systems , 1995, f 'itoria. Brasil .Chapman&HalI. London. 55-62.

CofIman. E.G .. Jr.M.R. Garcy and D.S. Johnson(1978 ). An applica tion of bin-packing tomultiprocessor Scheduling. Siam JoumalCornputers. Vol.7 . No . I. Fcbriary.

Coffman. E.G . Ed . (198-+). Teoria de cronogramas ('computadores. Nauca. Moscou (em russo) .

Dynnikov. V.I. (1986). Desenvolvimento deFerramentas Matemáticas para o Planejamentoem Tempo Real de funcionamento de um Grupode Robôs de Transporte em FMS. Tese de PhD.Universidade Tecnológica Estatal de Moscou"STANKIN" . Moscou. 1986. 243 p. (em russo) .

Dynnikov, V.I. e AP. Lukinov (1990). Sistemas detransporte robotizados. MPL Moscou (emrusso) .

Fenchel, 1. and Y-H. Chen (1997). Stable Real-Time Multimodel Scheduling for FlexibleManufacturing Systems. fE'EE tA..'-M E:Transactions on Mechatronics. VoI. 2. Num.I.pp . 8-21

Garey, Jr.M .R. and D.S. Johnson (1982) .Computadores e as tarefa s dificeis. MIR.Moscou (em russo) .

Miyagi, P.E . (1996). Controle Program ável.Fundamentos do Controle de Sistemas a EventosDiscretos, Edragd Blücher LIda . São Paulo.

MouderJ. and S. Elmagraby Ed. (1981). PesquisaOperacional.. MIR. Moscou (em russo) .

Salveson, A. (1952). On a quantitative method inproduction planning and scheduling .Econometrica, 20, 554-590, New York.

128

Timkovsky. v.G. (19<)2). .vlatemátlca discreta nomundo das m áquinas-ferramentas e peças. Nauca.Moscou (em russo) .