Séries Numéricas - Análise Matemática II

ANÁLISE MATEMÁTICA II

Acetatos de Ana Matos

Séries Numéricas

DMAT

Séries Numéricas

Definições básicas

� Chama-se série numérica a uma expressão do tipo

a1 � a2 �� an ��,

em geral representada por

�n�1

��

an , �n�1

an ou � an ,

onde �an� é uma sucessão de números reais.

� a1, a2, � � termos da série

� an � termo geral da série.

� Designam-se por somas parciais da série

S1 � a1 ,

S2 � a1 � a2 ,

S3 � a1 � a2 � a3 ,

�

� Chama-se soma parcial de ordem n da série �n�1��

an a

Sn � �i�1n

ai

ou seja a

Sn � a1 � a2 �� an.

� A �Sn� chama-se sucessão das somas parciais da série.

Ana Matos - AMII 13/14 Séries Num. - 1

Definição: Diz-se que �n�1��

an é uma série convergente

se a sucessão das suas somas parciais, �Sn�, for convergente.Neste caso, ao número real

S � limSn

chama-se soma da série.

Por abuso de notação, escreve-se também

S � �n�1

��

an.

Uma série que não é convergente diz-se divergente.

Diz-se que duas séries têm a mesma natureza se forem ambasconvergentes ou ambas divergentes.

Observação:

Associadas à série �n�1��

an temos duas sucessões:

� �an�, a sucessão a partir da qual definimos a série;

� �Sn�, a sucessão das suas somas parciais.

A natureza da série é determinada pela convergência ou não

da sucessão das suas somas parciais.

O facto de �an� ser convergente não garante que a série �n�1��

an

seja convergente.

Questão: Diga qual é a natureza da série de termo geral an � 1,isto é, de

�n�1

��

1.


1. A série �n�1��

n é divergente, pois

Sn � 1 � 2 �� n � n. 1 � n2

,

pelo que limSn � ��.

2. A série �n�1�� 1�n é divergente, pois

Sn ��1 se n é ímpar

0 se n é par,

pelo que �Sn� não tem limite.

3. Para a série �n�1�� 1

2n�1 tem-se

an � 12

n�1,

pelo que

Sn �

1

�a1

1 � 12

n

1 � 12

� 2 1 � 12

n

� 2.

Portanto a série é convergente e a sua soma é 2.

Nota: Podemos considerar séries indexadas em �0 ou �p , comp � �.

As definições e propriedades são análogas às das sériesindexadas em �.


Séries Importantes

Séries Geométricas

Definição: Chama-se série geométrica de razão r e primeirotermo a à série

�n�1

��

arn�1 � a � ar � ar2 �� arn�1 �� ,

em que r e a são números reais não nulos.

Tem-se que

Sn �

a. 1�rn

1�r, se r � 1

a.n, se r � 1

,

pelo que

� se |r| � 1, a série é convergente e a sua soma é S � a1�r

;

� se |r| � 1, a série é divergente.

Então,

a série geométrica é convergente sse |r| � 1;

neste caso, a sua soma é S � a1�r

.


Séries Redutíveis ou de Mengoli

Chamam-se séries redutíveis, séries de Mengoli ou sériestelescópicas às séries que se podem escrever na forma

�n�1

��

�un � un�k�,

onde k é um número natural (fixo) e �un� é uma sucessão real.

Exemplos:

1. A série

�n�1

��1

n�n � 1�

pode escrever-se na forma

�n�1

��1n � 1

n � 1,

pelo que é uma série de Mengoli, com k � 1 e un � 1n .

2. A série

�n�1

��

n � n � 2

é uma série de Mengoli, com k � 2 e un � n .


Convergência duma série de Mengoli:

1º Caso: se k � 1, a série escreve-se na forma

�n�1

��

�un � un�1�,

pelo que

Sn � �u1 � u2� � �u2 � u3� �� un � un�1� � u1 � un�1.

Portanto:

a) se �un� é convergente, a série é convergente e a sua soma é

S � u1 � limun;

b) se �un� é divergente, a série é divergente.

2º Caso: se k � 1, então

Sn � u1 � u2 �� uk � un�1 � un�2 �� un�k.

Portanto:

a) se �un� é convergente, a série �n�1�� un � un�k� é convergente

e a sua soma é

S � u1 � u2 �� uk � k limun

(note-se que limun�1 � � � limun�k � limun�;

b) se �un� é divergente, nada se pode concluir sem estudardirectamente a sucessão �Sn�.


Séries de Dirichlet

Chama-se série de Dirichlet a qualquer série da forma

�n�1

��1np ,

onde p é um número real (fixo).

Chama-se série harmónica à série de Dirichlet para p � 1,ou seja à série

�n�1

��1n .

A série harmónica é divergente.

De facto, como será provado mais adiante:

Convergência duma série de Dirichlet:

Sendo p um número real, então:

� se p � 1, �n�1�� 1

np é convergente;

� se p � 1, �n�1�� 1

np é divergente.


Propriedades gerais das Séries

Comecemos por observar que a natureza de uma série não é

alterada se modificarmos ou suprimirmos um número finito dos

seus termos. No entanto a sua soma é, em geral, alterada.

Proposição: Se, a partir de certa ordem, un � vn, então �un e� vn têm a mesma natureza.

Proposição: Se existe p � N tal que, a partir de certa ordem,un � vn�p, então as séries têm a mesma natureza.

(Ou seja, duas séries cujos termos gerais estejam apenasdesfasados um certo número de termos, têm a mesma natureza.)

Proposição:

Sejam �an e �bn duas séries convergentes, de somas S eT, respectivamente, e c � �.

Então:

1. ��an � bn� é convergente, com soma S � T;

2. ��an � bn� é convergente, com soma S � T;

3. ��can� é convergente, com soma cS.

Observação: Da alínea 3. resulta que não se altera a natureza

de uma série multiplicando o seu termo geral por uma constante

diferente de zero.


Questão: Considere os seguintes casos:

1. a série é a soma de uma série converge e uma série divergente;

2. a série é a soma de duas séries divergentes.

Em cada caso, o que pode dizer quanto à natureza da série?

Proposição (condição necessária de convergência):

Se �an é uma série convergente, então an � 0.

Ou seja, na sua forma contra-recíproca:

se �an� não tende para zero, então �an é divergente.

Nota: A afirmação recíproca é falsa:

se an � 0, nada se pode concluir sobre a natureza da série.


Resto de uma série

Definição: Seja �n�1��

an uma série convergente, com soma S.

Sendo N � �, chama-se resto de ordem N da série �n�1��

an,

e representa-se por RN, à soma da série

�n�N

an � aN�1 � aN�2 �� an ��

(a série que resulta da anterior suprimindo os termos de ordemmenor ou igual a N).

Observação: Note-se que,

RN � S � SN ,

pelo que

|RN | � |S � SN |

é o erro que se comete quando se toma como valor da soma da

série o valor da sua soma parcial SN .


Critérios de convergência

Séries de Termos Não Negativos

Definição: Diz-se que �n�1��

an é uma série de termos não

negativos se an � 0, para qualquer n � �.

A sucessão das somas parciais de uma série de termos nãonegativos é crescente, donde se conclui:

Proposição (cond. necessária e suficiente de convergência):

Uma série de termos não negativos é convergente se e só se asucessão das suas somas parciais é majorada.

Proposição (1º critério de comparação):

Sejam �n�1��

an e �n�1��

bn duas séries tais que, para qualquern � �,

0 � an � bn.

Então:

� se �n�1��

bn é convergente, �n�1��

an é convergente;

� se �n�1��

an é divergente, �n�1��

bn é divergente.

Observação: Da demonstração do primeiro caso resulta que, seS e T são as somas das séries �

n�1��

an e �n�1��

bn,respectivamente, então

S � T.


Proposição (2º critério de comparação):

Sejam � an uma série de termos não negativos e �bn uma

série de termos positivos tais que, para todo n � �,

an

bn� L.

Então:

� se L � 0,��, as séries são da mesma natureza;

� se L � 0 e �bn é convergente, �an também éconvergente;

� se L � �� e �bn é divergente, �an também édivergente.


Proposição: (Critério de Cauchy)

Seja � an uma série de termos não negativos tal que

n��lim n an � L (finito ou infinito).

Então:

� se L � 1, �an é convergente;

� se L � 1, �an é divergente;

� se L � 1, nada se pode concluir.

Recorde-se o

Corolário do Teorema da Média Geométrica:

Se un�1un

� a (com a finito ou infinito) então n un � a.

Proposição (Critério de D’Alembert):

Seja �an uma série de termos positivos tal quen��lim an�1

an� L

(finito ou infinito).

Então:

� se L � 1, �an é convergente;

� se L � 1, �an é divergente;

� se L � 1, nada se pode concluir.


Recordemos o seguinte:

Definição (integral impróprio de 1ª espécie):

Seja f uma função contínua no intervalo �a,��.

Chama-se integral impróprio da função f em �a,�� a

�a

��f�x�dx � lim

��

a

�f�x�dx.

O integral impróprio �a

��f�x�dx diz-se convergente, este

limite existe e é finito e diz-se divergente, caso contrário.

Proposição (critério do integral):

Sejam f : �1,�� uma função positiva, contínua edecrescente e

an � f�n�.

Então

a série �n�1��

an é convergente

sse

o integral impróprio �1

��f�x�dx é convergente.

Corolário: A série de Dirichlet �n�1�� 1

np , com p � �, éconvergente se p � 1 e divergente se p � 1.


Séries de Termos sem Sinal Fixo

Definição: Uma série diz-se de termos sem sinal fixo se possuiinfinitos termos positivos e infinitos termos negativos.

Em particular, sendo an � 0, para qualquer p � �, as séries

�n�1

��

��1�n�1an e �n�1

��

��1�nan

dizem-se séries alternadas.

Exemplo:

�n�1�� 1�n�1 1

n � série harmónica alternada.

Proposição: (Critério de Dirichlet)

Se a sucessão das somas parciais da série �bn é limitada e se�an� é uma sucessão decrescente com limite nulo, então a série�anbn é convergente.

Proposição: (Critério de Leibniz)

Se �an� é uma sucessão decrescente e com limite nulo (portantoan � 0), então a série �

n�1�� 1�n�1an é convergente.

Exemplo: A série harmónica alternada, �n�1�� 1�n�1 1

n , éconvergente.


Observação: Pode-se provar que, nas condições do critério deLeibniz, o valor absoluto do resto de ordem N é menor ou igualao valor absoluto do primeiro termo desprezado. Isto é:

Se �n�1�� 1�n�1an é uma série alternada nas condições do

critério de Leibniz, então

|Rp | � ap�1.

Tem-se, assim, uma majoração para o valor absoluto do restouma certa ordem da série.

Séries Absolutamente Convergentes

Proposição: Se a série �n�1�� |an | é convergente, então a série

�n�1��

an também é convergente.

Definição: Uma série �n�1��

an diz-se:

� absolutamente convergente, se a série �n�1�� |an | é

convergente;

� simplesmente convergente (ou condicionalmente

convergente), se é convergente mas não é absolutamenteconvergente.

Exemplo:

1. A série �n�1�� 1�n�1 1

n2 é absolutamente convergente;

2. A série �n�1�� 1�n�1 1

n é simplesmente convergente.


Reordenação dos termos de uma série

Uma série absolutamente convergente verifica propriedades quenão são válidas para séries simplesmente convergentes. É o casoda reordenação dos seus termos.

Qualquer soma finita pode ser reordenada sem que o seu valorseja alterado.

Esta propriedade não é válida para somas infinitas (séries).

Reordenando os termos de uma séries simplesmente convergentepodemos alterar a sua soma.

Exemplo: Pode-se provar que

�n�1

��

��1�n�1 1n � 1

1� 1

2� 1

3� 1

4� 1

5� 1

6� 1

7� � ln2.

Consideremos a seguinte reordenação desta série:

11

� 12

� 14

� 13

� 16

� 18

� 15

� 110

� 112

��

� 11

� 12

� 14

� 13

� 16

� 18

� 15

� 110

� 112

��

� 12

� 14

� 16� � 1

211

� 12

� 13

� 14

�� 12

ln2.

Obtivemos uma série cuja soma é metade da soma da sérieoriginal.

Pode mesmo provar-se que, dada uma série simplesmenteconvergente e um valor real qualquer, esta pode ser reordenadade modo a ter como soma esse valor!

No entanto:

Proposição: A soma de uma série absolutamente convergente

não é alterada por reordenações dos seus termos.


Estratégias para testar séries

Segue-se um apanhado dos testes apresentados.

Procedimentos para testar a natureza de uma série:

� O termo geral da série converge para zero?

Se não, é divergente; se sim, nada se pode concluir.

� A série é de tipo particular - geométrica, de Dirichlet, deMengoli?

Se sim, aplicar o teste de convergência específico.

� A série é de termos não negativos e pode ser comparada comalguma série de tipo especial?

� A série é de termos positivos e pode ser aplicado o Critériodo integral?

� Pode ser aplicado o Critério de D’Alembert ou o Critério deCauchy?

Se L � 1, nada se pode concluir.

� Se a série é de termos sem sinal fixo, será absolutamenteconvergente?

Se sim, é convergente; se não, nada se pode concluir.

� A série é alternada e está nas condições do Critério deLeibniz?

Se sim, é convergente; se não, nada se pode concluir.


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