SIMULAÇÃO DO CONTROLE DE VIBRAÇÃO POR … · valores diversos de viscosidade do fluido, tal que o amortecimento de vibrações da viga seja alcançado pela absorção de energia

SIMULAÇÃO DO CONTROLE DE

VIBRAÇÃO POR AMORTECIMENTO

VISCOSO: TRAÇANDO PASSOS DO

PROJETO DE NANOMÁQUINAS

Luiz Justino da Silva Junior (UESC)

[email protected]

FLAVIO PIETROBON COSTA (UESC)

[email protected]

A vibração é um movimento oscilatório que ocorre em um intervalo de

tempo, podendo prejudicar o bom funcionamento de máquinas bem

como alterar as características de determinadas estruturas, levando à

perda de eficiência, desgastes e falhas.. O presente trabalho é

caracterizado pelo desenvolvimento de um modelo acoplado de

interação fluido - estrutura, para o estudo do amortecimento de

vibrações em vigas utilizando a teoria de Timoshenko, desenvolvendo

sensibilidade ao problema de vibrações em sistemas mecânicos de

forma a solucionar e analisar os resultados referentes a este problema.

Manipulam-se os diferentes valores de viscosidade de um fluido

buscando a minimização do movimento oscilatório da viga. As

simulações foram realizadas utilizando o software Fortran,

considerando o método de diferenças finitas a técnica de discretização

para obtenção dos dados numéricos. A simulação tem aplicação ao

desenvolvimento de nanoequipamentos.

Palavras-chaves: Controle de vibrações, teoria de vigas de

Timoshenko, amortecimento viscoso

XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no

Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.



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1. Introdução

Qualquer movimento que se repete após um determinado intervalo de tempo é chamado de

vibração ou oscilação (RAO, 2008). A vibração corresponde ao estudo do movimento de um

corpo em torno de sua posição de equilíbrio, bem como às forças nele associadas. Máquinas e

estruturas estão sujeitas a sofrer esse tipo de comportamento seja em pequenas ou grandes

proporções.

O estudo de vibração possui como um de seus importantes propósitos a redução de níveis

vibratórios através de projeto e montagem adequada de máquinas, estruturas, equipamentos

ou componentes eletrônicos, a fim de obter controle eficaz do movimento oscilatório.

O amortecimento de vibrações será estudado pela imersão de modelos de vigas em fluido,

com análise de resultados referentes à oscilação da viga excitada por carga de impacto, para

valores diversos de viscosidade do fluido, tal que o amortecimento de vibrações da viga seja

alcançado pela absorção de energia pela difusão no fluido de amortecimento. A excitação do

fluido pela viga em vibração é responsável pelo efeito convectivo no fluido, também parcela

componente do sistema de amortecimento por dispersão de energia. O problema encontra

aplicação em controle de vibrações industriais e na construção de mecanismos de

amortecimento e/ou controle de vibrações, em macro e mesoescala.

Recentemente, a pesquisa de nanomáquinas tem exigido o desenvolvimento de aplicações de

controle de vibrações, no qual se insere o presente trabalho, no sentido de evitar a ruina dessas

máquinas por excesso de vibração, buscando dissipar a energia concentrada em pequenas

dimensões dos nanoequipamentos e das nanoestruturas. Tal consideração é fundamental no

projeto de produtos que sejam elaborados com o emprego de nanoestruturas ou

nanoequipamentos em seu processo de integração.

O presente trabalho é caracterizado pelo desenvolvimento de um modelo acoplado de

interação fluido – estrutura, com a utilização do método de diferenças finitas para

discretização do meio contínuo (viga), visando o estudo da aplicação da teoria de Timoshenko

a vigas sujeitas a amortecimento de vibrações, desenvolvendo sensibilidade ao problema de

vibrações em sistemas mecânicos de forma a solucionar e analisar os resultados referentes a

este problema.

2. A teoria de vigas de Timoshenko

A teoria de vigas de Timoshenko buscou corrigir a teoria clássica de Euler-Bernoulli, que

desconsidera o efeito devido ao cortante, obtendo valores subestimados de deslocamento e

deflexão da viga à solicitação externa. De acordo com Pietrobon (1998), a introdução de um

fator corretivo adimensional denominado de coeficiente de cisalhamento, k, buscou obter

valores de tensões e distorções compatíveis com as reais. A teoria de Timoshenko se baseia

nas seguintes hipóteses (FAGUNDES, 2002):

1) A seção transversal da viga tem um plano longitudinal de simetria;

2) O carregamento aplicado atua sobre o plano longitudinal de simetria;

3) Uma seção plana perpendicular ao eixo da viga permanece plana e perpendicular ao eixo

da viga após uma deformação;

4) Não ocorre deformação no plano da seção transversal;

5) Um elemento de linha dx da viga sofre deslocamento axial u(x) na direção x,

deslocamento transversal w(x) na direção z, e sofre uma rotação no plano xz, que é a taxa

de variação de w em relação a x.



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Fonte: Oñate (1992)

Figura 1 – Viga de Timoshenko

A medida que a relação altura (h) pelo comprimento (L) aumenta, a tensões de cisalhamento

na direção da altura tornam-se importantes e não podem ser mais desprezadas.

Da figura 1 tem-se que a rotação da seção normal pode ser expressa por:

(2.1)

na qual dw/dx é o declive de deformação do eixo da viga e ϕ é o giro adicional devido à

deformação por cortante.

O campo de deslocamento se expressa da seguinte forma:

(2.2)

(2.3)

(2.4)

sendo u,v,w os deslocamentos nas direções x,y,z respectivamente.

As equações 2.1 e 2.2 mostram que as deformações não nulas são as seguintes:

(2.5)



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(2.6)

na qual é a deformação normal e é a distorção.

As duas tensões não nulas e se relacionam com as correspondentes deformações

(2.7)

(2.8)

onde é a tensão normal, E é o módulo de elasticidade longitudinal, é a tensão de

cisalhamento e é a curvatura do eixo da viga.

Segundo Pietrobon (1998), considerando que a distorção resulta constante ao longo da

seção, sendo na realidade as tensões cisalhantes e consequentemente as distorções reais

variáveis ao longo da seção, tal simplificação exige uma correção. Esta fica validada pela

adoção de um fator corretivo adimensional (coeficiente de cisalhamento, k) incluído nas

relações tensão-deformação:

(2.9)

onde o índice “f” indica que as tensões cisalhantes e distorções, supostas constantes na seção,

são grandezas fictícias.

3. O método de diferenças finitas

O método de diferenças finitas é usado como uma técnica de discretização, onde o domínio

(região) de interesse é representado por um conjunto de pontos ou nós e a informação entre

esses pontos é comumente obtido usando expansão em séries de Taylor (LAPIDUS E

PINDER, 1999). Inicialmente é necessário considerar os conceitos fundamentais encontrados

no modelo de teoria de aproximações. O domínio de solução das equações diferenciais

estudadas em determinado problema é subdivididos por uma rede com um número finitos de

pontos. A derivada de cada ponto é então representada por uma aproximação de diferenças

finitas. Alternativamente, pode visualizar este processo de discretização como a substituição

da solução de equações diferenciais com uma interpolação polinomial e a diferenciação desse

polinômio.



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Fonte: Lapidus e Pinder (1999)

Figura 2 – Discretização em diferenças finitas

Inicialmente se considera u(x), na qual u é uma função contínua de variável independente x.

Discretiza-se o domínio x (Figura 2) dentro de um conjunto de pontos tal que:

(3.1)

Por substituição da posição xr por rh, as coordenadas nodais são especificadas como o produto

do número inteiro r e o espaçamento h (aqui h é assumido constante e normalizado como

menos do que unidade) (LAPIDUS E PINDER, 1999). O número inteiro r simboliza a

posição do nó ao longo da coordenada relativa x para um ponto de partida especificado,

geralmente r = 0 quando x = 0. Quando h é uma constante, u(rh) pode ser representado como

ur.

Ainda segundo Lapidus e Pinder (1999), as duas possíveis aproximações para a primeira

derivada de u em xr, em diferenças finitas, são representados por:

(3.2)

(3.3)

4. O amortecimento

Segundo Thomson (1973), o amortecimento está presente em todos os sistemas oscilatórios.

Seu efeito é retirar energia do sistema. A energia em um sistema em vibração ou é dissipada

sob a forma de calor ou irradiada. Faz-se uma experiência simples da dissipação de energia

em calor, ao se dobrar certo número de vezes uma tira de metal, de um lado para o outro.

Quando se faz uma bóia balançar para baixo e para cima na água, ela irradia ondas e daí

resulta a sua perda de energia.

Segundo Rao (2008), embora a quantidade de energia convertida em calor ou som seja muito

pequena, é importante considerar o amortecimento para uma previsão precisa da resposta de

vibração de um sistema. Admite-se que um amortecedor não tem nem massa nem

elasticidade, e que a força de amortecimento só existe se houver velocidade relativa entre as

suas duas extremidades. É difícil determinar as causas do amortecimento em sistemas

práticos.

4.1 Amortecimento viscoso

Amortecimento viscoso é mecanismo de amortecimento mais comumente usado em análises

de vibrações. Quando sistemas mecânicos vibram em um meio fluido como ar, gás, água e

óleo, a resistência oferecida pelo fluido ao corpo em movimento faz que a energia seja

dissipada (RAO, 2008). Nesse caso, a quantidade de energia dissipada depende de muitos

fatores como o tamanho e a forma do corpo em vibração, a viscosidade do fluido, a freqüência

de vibração e a velocidade do corpo em vibração. No amortecimento viscoso, a força de



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amortecimento é proporcional à velocidade do corpo vibratório. Exemplos típicos de

amortecimentos viscosos são:

1) Película de fluido entre superfícies deslizantes;

2) Fluxo de fluido ao redor de um pistão dentro de um cilindro;

3) Fluxo de fluido através de um orifício;

4) Película de fluido ao redor de um mancal de apoio.

5. Materiais e métodos

A abordagem do problema neste projeto envolveu Pesquisa Quantitativa, considerando que há

uma relação dinâmica entre os componentes, sólido e fluido, do sistema vibratório. Foi

estabelecida a significação física das variáveis, parâmetros e operadores do modelo

matemático que rege o problema. A interpretação dos fenômenos e a atribuição de

significados são básicas no processo de pesquisa quantitativa. A partir da compreensão da

física do problema, em um vínculo linear entre a viga e o fluido viscoso, é válida a

superposição de efeitos. Com base nesta consideração foi estabelecido o modelo matemático

que permite o estudo numérico do acoplamento fluido – estrutura – controle de vibrações.

Do ponto de vista dos objetivos do trabalho foi feita uma Pesquisa Exploratória, visando

proporcionar compreensão da física envolvida no problema, com vistas a propor, pela

construção de hipóteses adequadas, aplicações futuras deste modelo.

Foram analisados modelo de viga do tipo apoiada engastada. Nesse modelo de viga adota-se a

condição de que a razão entre a altura e o comprimento da viga é muito menor que a unidade

(HARIK, 2001). Para análises iniciais considerou-se a viga com seção retangular discretizada

em 98 seções (número de nós igual a 99) com uma carga de impacto sendo aplicada em uma

região da viga situada no nó crítico, na posição definida pelo nó 53. Para obtenção dos dados

de deslocamento foi-se utilizado o aplicativo Fortran junto com o código implementado de

Modelagem Computacional de Barras Pela Teoria de Viga de Timoshenko, do qual foi obtido

a oscilação do deslocamento translacional em relação ao intervalo de tempo que varia de 0 a

1000. O código em Fortran foi executado para a viga com e sem amortecimento, verificando a

influência da viscosidade no amortecimento de determinada viga. Para visualização dos

dados, seu comportamento e possíveis comparações se utilizou do Excel para geração de

gráficos, que viriam a ser inseridos a partir dos dados gerados no Fortran. Por meio dos dados,

foi analisado o comportamento das vigas de acordo com alteração do valor da viscosidade,

procurando-se amortecer as vibrações contidas na estrutura em estudo da melhor maneira

possível.

Para a análise de vigas foram utilizados alguns dados gerais referentes às propriedades do

material da estrutura e parâmetros.



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Figura 3 – Dados do problema

6. Resultados

A partir do valor inicial da viscosidade de 12 MPa.s começou-se a analisar o amortecimento

de vibrações no modelo de viga. Para essa viscosidade não foi possível identificar quaisquer

alterações no deslocamento da viga ao longo do tempo, pois o valor da viscosidade é muito

pequeno e pode ser para essa situação considerada como desprezível.

Com o modelo de viga (apoiada engastada) e utilizando um valor de 240 MPa.s para a

viscosidade verificou-se pequenas alterações do deslocamento da viga quando amortecida por

fluido viscoso comparada com aquela sem amortecimento. Pelas irregularidades (ainda que

muito pequenas) contidas nas linhas nota-se o efeito do amortecimento (Figura 4).

Figura 4 – Viga apoiada engastada amortecida por fluido com viscosidade de 240mPa.s

À medida que a viscosidade cresce a viga vai sendo amortecida pelo fluido e dessa forma

apresentando deslocamento transversal menor ao longo do tempo. Utilizando o mesmo



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modelo de viga comentado anteriormente observa-se um maior amortecimento da viga, sendo

que o valor da viscosidade passou a ser de 24.000 MPa.s (Figura 5).

Figura 5 – Viga apoiada engastada amortecida por fluido com viscosidade de 24.000mPa.s

A viga apoiada engastada com valor de viscosidade de 200.000 MPa.s apresentou um

amortecimento de vibrações ainda maior (Figura 6). Mesmo utilizando outro tipo de viga o

comportamento é o mesmo, diferindo no valor da oscilação do deslocamento que alguns

modelos de vigas apresentam maior que outros.




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No entanto, quando se utilizou um valor de viscosidade de 300.000 MPa.s (Figura 7) houve

divergência por parte dos dados numéricos da viga imersa em fluido viscoso, passando a

apresentar deslocamentos ao longo do tempo maiores que a viga sem fluido viscoso. Esta

situação passa a não ser mais viável.


Para viscosidade de 250.000 MPa.s verificou-se que ainda há divergência (Figura 8) entre o

resultado numérico e aquele correspondente à oscilação livre.


Já para viscosidade de 225.000 MPa.s o amortecimento feito pelo fluido é ainda maior,

estando ainda mais próximo do ideal (Figura 9).



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Dessa forma, pode-se afirmar que o valor da viscosidade para que o amortecimento da viga

apoiada engastada feita por um fluido viscoso seja máxima está entre 225.000 MPa.s e

250.000 MPa.s.

No momento em que se estabelece valor de viscosidade ideal se determina que fluido será

utilizado para amortecer tal estrutura, onde se consegue desenvolver modelos acoplados de

fluido-estrutura e construir mecanismos de amortecimento de vibrações que darão maior

eficiência, durabilidade e menores solicitações à uma estrutura específica.

7. Conclusão

A simulação do controle de vibração vem tendo grande importância na elaboração de projetos

de máquinas e estruturas, buscando aumentar a qualidade destes, proporcionando ganhos de

eficiência e estabilidade, pois minimizará problemas como desgastes, trepidação, ruído

excessivo, e fenômeno da ressonância, onde este origina deflexões excessivas e falhas. Com

um sistema de amortecimento adequado, consegue-se dissipar certa quantidade de energia

para cada ciclo de vibração, evitando os inconvenientes ditos anteriormente.

A análise dos resultados obtidos permitiu verificar o quanto a viscosidade influencia no

amortecimento de vibrações para uma estrutura imersa em um fluido, sendo que a viscosidade

crescendo o amortecimento (absorção de energia) cresce, até um valor limite. Manipulando

determinados parâmetros que tem prioridade no amortecimento de vibrações como a

viscosidade, é possível construir mecanismos que venham ter grandes aplicações práticas

futuramente.

Referências

FAGUNDES, F.A. Modelagem de vigas de compósitos laminados usando elementos finitos formulados na

notação strain gradient. Curitiba: Dissertação de mestrado, 2002.

HARIK, V. M. Ranges of applicability for the continuum beam model in the constitutive analysis of carbon

nanotubes: nanotubes or nano-beams ?, NASA – ICASE, Thecnical Report 2001-16. 2001.

LAPIDUS, L. & PINDER, G.F. Numerical solutions of partial differential equations in science and

engineering, New York: John Wiley & Sons Inc, 1999.



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OÑATE, E. Cálculo de estructuras por el método de los elementos finitos. Barcelona: CIMNE, 1992.

PIETROBON, F. Análise numérica da flexão dinâmica de vigas com a consideração da deformabilidade por

cortante e da inércia de rotação, Rio de Janeiro: MSc Thesis COPPE/PEC-UFRJ, 1998.

RAO, S.S. Vibrações Mecânicas, 4 ed., São Paulo: Prentice Hall, 2008.

THOMSON, W.T. Teoria da vibração com aplicações, Rio de Janeiro: Editora Interciência, 1978.



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