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Sobre o Produto Misto
O produto misto tem seu destaque na Álgebra Vetorial devido a sua interpretação geométrica que está relacionado ao volume de paralelepípedo ou tetraedro determinado por vetores. Neste post, veremos a sua definição, suas propriedades e aplicações.
Definição 1: Sejam os vetores ,
e . O produto misto desses vetores, tomados nesta ordem e
denotado por é definido por
Sendo
segue que
ou seja, o produto misto dos vetores , e é um determinante de ordem e desta forma, suas propriedades decorrem das propriedades dos determinantes. É importante observar que o produto misto é um número real.
Exemplo 1: Calcule , sendo , e .
Resolução: Pela definição acima, temos
Proposição 1: Haverá uma troca de sinal no produto misto se fizermos uma permutação entre dois vetores quaisquer, isto é,
Demonstração: Segue diretamente do fato que a purmutação entre duas linhas de um determinante, altera o seu sinal.
Proposição 2: Valem as seguintes propriedades operatórias para o produto misto.
i) ;
ii) ;iii) Se dois vetores quaisquer são paralelos, então o produto misto é nulo, isto é,
Demonstração: Segue imediatamente das propriedades de determinantes.
Proposição 3: A permutação das operações " " e " " no produto misto não alteral o seu valor, isto é,
.Demonstração:
onde usamos a propriedade comutativa do produto escalar e a Prop. 1.
Sabemos que pontos não colineares sempre determina um único plano, mas pontos no espaço nem sempre são coplanares. Na proposição seguinte, veremos a condição para que isto ocorra.
Proposição 4: Os pontos , ,
e são coplanares se e somente se , onde
, e .
Demonstração: Suponhamos que os pontos , , e sejam coplanares.
Assim, os vetores , e são coplanares, de modo que existem tais
que . Assim,
devido a Prop. 2.
Reciprocamente, se , então os vetores e são ortogonais. Mas isto somente é possível se pertencer ao plano definido por e , ou seja, , e são coplanares e consequentemente os pontos , , e .
Proposição 5: (Interpretação Geométrica do Produto Misto). Sejam , e três
vetores não coplanares. O módulo de é numericamente igual ao volume do paralelepípedo formado por esses vetores.
Demonstração: Na figura acima, vemos que
Mas,
Substituindo em , temos
Corolário 1: O volume do tetraedro determinado pelos vetores , e é dado por
Exemplo 2: Determine o volume do tetraedro , na figura acima.
Resolução: Da figura, , e . Assim,
Sendo
segue que