Tema: Módulo de um Número Real

Módulo de um número real 1

MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

É o capítulo da Matemática que estuda as diversas maneiras de designar

distâncias e propriedades algébricas entre elas.

Total de aulas previstas: 16

OJECTIVOS DE APRENDIZAGEM

No final de módulo o estudante deve ser capaz de:

. Explicar a correspondência existente entre o conjunto R e o eixo numérico (

recta graduada)

. Situar distâncias no eixo real com auxílio de números reais.

. Resolver equações e inequações modulares e fazer a devida interpretação

em relação a marcação de distâncias.

Neste capítulo falaremos de:

1. Conceito de número.

1.1. Revisão sobre Conjuntos numéricos.

1.1.1. Conjunto de números naturais (N).

1.1.2. Conjunto de números inteiros relativos.

1.1.3. Conjuntos de números racionais fraccionários (Q).

1.1.4. Conjuntos de números Irracionais ( Irrac).

1.1.5. Conjuntos de números Reais ( R).

2. Noção de módulo de um número.

2.1. Propriedades sobre módulos.

3. Expressões com módulos e suas simplificações.

4. Equações modulares.

5. Inequações modulares.

6. Ficha de exercícios.

1. Conceito de número

Na vida prática encontramos várias situações que precisamos de quantificar por

forma a dar carácter ou sentido.

Definição: chama-se número a qualquer designação quantitativa.

Ex1: A Escola Secundária Francisco Manyanga tem um universo de 7349 alunos


Ex2: A carpintaria da escola encontra-se na cave ou a um andar do rés-do-chão

(-1º andar)

Ex3: Quase metade do barco fica submersa ( 1

2 )

Ex4: A distância entre Beira e Maputo é de 1250 km

1.1. Revisão sobre Conjuntos numéricos

Lembre-se que no estudo à Teoria de Conjuntos, se debruçou em volta dos

conjuntos numéricos mas faltou a sua caracterização e surgimento.

1.1.1. Conjunto de números naturais ( N)

IN – conjunto dos números inteiros e positivos (naturais)

Representação: IN=

Caso particular: IN – Conjunto de números naturais incluindo zero

IN=

Operações em IN

As operações em IN são maioritariamente limitadas, visto que só se envolve

números inteiros e positivos.

Falaremos das operações tais como: adição, subtracção, multiplicação e divisão.

Adição

A adição em IN é sempre possível tal que pode-se dizer que é fechada sempre

que adicionarmos dois elementos ou números em IN o resultado também é de IN

Ex1:

5 ;11

5 11 16;16

1; 2;3;4;5;...

1 2 3 4 5

0;1; 2;3;4;5;...

1 2 3 4 5 0


Generalizando:

;

;

a b

a b c c

Subtracção

A subtracção em IN não é sempre possível porque há casos em que o resultado

não pertence a IN, quando há subtracção de um número menor com o número

maior.

Ex1: 13 6 7;13 ;6 ;7

Ex2.: 5 9 4;5 ;9 ; 4

Generalizando

; : ;a b a b c c

Com este pormenor, a subtracção passa a não ser fechada e IN, daí a

necessidade de resolver este problema, surge o conjunto de números relativos e

inteiros

1.1.2. Conjunto de números inteiros relativos ( ):

– o conjunto de números inteiros relativos, inteiros positivos e negativos.

5 9 4;5 ;9 ; 4e

Obs.: Este conjunto surge para dar respostas às quantidades retiradas, divididas,

défices, etc.

Multiplicação: ; : . ;a b a b c c

Divisão:

1

2

14: 7;14;2;7

2

12: 2,4

5

Q

Q


Generalizando

; :a

a bb

Este impasse no conjunto gera a necessidade de encontrar um conjunto que

resolve o problema obtido, daí o conjunto .

1.1.3. Conjunto de números racionais fraccionários ( )

– Conjunto de números racionais fraccionários: todos números inteiros,

fraccionários de dízima finita e infinita periódica.

Números de dízima finita – são aqueles que as casas decimais terminam.

Ex1.: 1

0,254

Ex2.: 12

2, 45

Números de dízima infinita periódica – são aqueles que os casos decimais

são repetitivas e não têm fim

Ex1.: 10

3,3333 e escreve-se geralmente 3,(3); onde o período é 1

Ex2.: 5,212121.... e escreve-se geralmente 5,(21); onde o período é de 2

Generalizando

; : ; 0a

a b bb


Neste conjunto houve impasses como no cálculo da diagonal de um quadrado que

tinha de lado uma unidade.

Pelo Teorema de Pitágoras teremos: 2 2 21 1 d

2d – este número é de dízima infinita não

periódica e ao conjunto de números com estas

características deu-se o nome de números irracionais

(Irrac.)

1.1.4. Conjunto de números Irracionais ( Irrac.)

Irrac. – conjunto de números de dízima infinita não periódica, ou conjunto de

números ou conjunto de todos radicais imperfeitos.

Irrac. ... 3; 2; 2; 3...

1.1.5. Conjunto de números reais ( ):

Com o surgimento dos números irracionais a recta real ficou totalmente

preenchida, facto que a chamassem de recta sólida ou densa. Assim, foram

chamados ao todo de números reais porque reflectem a realidade, como mostram

os exemplos acima.

– conjunto de todos números já estudados ( Irrac ).

Existem também impasses em operações neste conjunto, facto que culminou com

o aparecimento do conjunto para responder casos impossíveis em (raízes

de índice par de números negativos).

– conjunto de números complexos (a estudar na faculdade).

Este aparece para resolver problemas que o conjunto tem, como por exemplo

a determinação de raízes de índices pares de números negativos. É habitual

dizer-se que estas operações não existem mas é correcto dizer que não é possível

em .

Descobriram também que é comum encontrar pontos equidistantes da origem do

sistema Cartesiano Ortogonal. E para definir distâncias iguais a vários sentidos ou

melhor, em sentidos opostos, introduziu-se módulo ou valor absoluto de números

que significa (distância), afinal, a distância é sempre positiva, portanto, o módulo

é sempre positivo

1

1

1

1 ?


Ora vejamos:

Ex1.:

2 2 ; 2 2 , a distância da origem do Sistema Cartesiano Ortogonal até 2

é igual a da origem até ao número (-2). Em suma os números simétricos

encontram-se a mesma distância (equidistantes) da origem do Sistema

Cartesiano Ortogonal. Veja os exemplos que se seguem:

3 3; 3 3

102 102

102 102

Em suma, algebricamente, escreva-se: 0

; 0

x sexx

x sex

2. Noção de módulo de um número

Módulo de um número desconhecido x é o próprio x se ele for positivo e (-x) se

ele for negativo. O sinal negativo na segunda parte da definição é um factor de

correcção para que o módulo de um número tratando-se de distâncias, seja

sempre positivo. Algebricamente escreve-se:

; 0

; 0

x sexx

x sex

2.1. Propriedades sobre Módulos

1. 0

; 0

x sexx

x sex

2. 22 2x x x

3. 2x x

4. x y x y

5. x y x y

6. . .x y x y

Condição

Definição propriamente dita


7. xx

y y

8. x a x a x a

9. x a x a x a

10. x a x a x a

11.1 2

; 1:

; 2

a x x a x a sola x b sol sol sol

b x x b x b sol

Atenção: Estas propriedades devem ser usadas para resolver e em separado

equações e inequações e, usadas para resolver inequações duplas.

Quando for o caso das expressões só se efectua as simplificações

Lembre-se: Sobre expressões só se pode fazer transformações idênticas.

Sobre as equações e inequações pode haver a resolução, isto é, a extracção de

situação.

3. Expressões com módulos e sua simplificação

A simplificação de expressões modulares consiste em associar parcelas da mesma

natureza ou ainda expressões idênticas, expressões do mesmo nome. Há que ter

cuidado com aplicação da fórmula da definição. Importa salientar que a definição

comporta dois ramos fundamentais, há que ter cuidado com o sinal negativo que

só precede o que está dentro do módulo e no ramo onde a condição é menor. Se

a expressão modular tiver acompanhante há que ter cuidado porque o

acompanhante não é colocado nas condições ele termina nas definições

propriamente ditas.

Exemplos de consolidação

1. Simplifique as seguintes expressões

a) 7; 7

77; 7

x sexx

x sex

veja neste exercício que tudo está dentro do módulo ou seja, nada está fora do

módulo o que favorece bastante a aplicação da definição. A expressão x+7 vai

totalmente ao primeiro ramo sem nenhuma mudança e toda sem restrição para

sua condição com o sinal maior ou igual a zero. No segundo ramo vemos que a


expressão está precedida de um sinal negativo para justificar o segundo ramo e

totalmente atingido por não possuir acompanhante, veja também que o sinal

negativo não se transporta à condição e nunca será possível fazê-lo.

b) 2 3; 2 0 5 ; 2

2 32 3; 2 0 1; 2

x se x x sexx

x se x x sex

Nesta alínea, a expressão 2-x dentro do módulo tem acompanhante que é o

número 3 que está fora do módulo. O tratamento das definições é diferente. Veja

que o número 3 acompanha as particularidades das definições efectuadas na

alínea anterior mas não vai às condições e estas têm como base a partícula que

está dentro do módulo 2-x. No segundo ramo nota-se que o sinal negativo não

afecta o número três e como sempre não se transporta à condição. Espera-se que

esta ilustração teórica o ajude a resolver todos exercícios.

c) 3 ; 3 0 2 6; 3

3 33 3; 3 0 0; 3

x x x sex x sexx x

x x sex sex

d)

5 10 2; 5 10 0 4 8; 5 105 10 2

10 5 2; 5 10 10 6 12; 5 10

4 8; 2

6 12; 2

x x se x x se xx x

x x x se x x se x

x sex

x sex

e)

2; 2 0 2 0

1; 22 2

2 1; 22; 2 3 0

2

xsex x

sexx x

x sexxse x

x

f)

310 15 11;

5(2 3) 11; 2 3 0 25 2 3 11

5(2 3) 11; 2 3 0 310 15 11;

2

310 4;

2

310 26;

2

x sexx se x

xx se x

x sex

x sex

x sex


EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1. Simplifique as expressões modulares abaixo:

a) 3 5x b) 2 6x x c) 3 5 6x x d) 5

5x

x

e)

2 16x f) 4 1

1

x

x

g) 3

3

x

x

h)

2 4 5x x i)

2 2 1

1

x x

x

j)

2

2

4 4

4

x x

x

k)

3 1x l) 1

2 8

x

x

m) 3 9 3x x n) 3 5 2 3x x

2. Indique a condição que falta para que as igualdades abaixo sejam verdadeiras:

a) 3 15 15 3x x b) 2 8 3 8x x x c) 6 1 11 12 6x x

d) 2

2 1

4 2

x

x x

e)

2

31

6 9

x

x x

f) 5 10 2 12 5x x x g) 1 1

2 2

x xx

h) 2 3 3x x x .

3. Indique a definição correspondente:

a) 1

6 2 ;3

x se x b) 12 3 ; 4x se x c) 2

3 2 4 ;3

x x se x

d) 3 11 2 ; 3x x se x e) 3 6

; 2;22

xse x

x

f)

2 8 16; 4

4

x xse x

x


TESTE DE AFERIÇÃO

1. Uma expressão diz-se modular se:

A. Tiver o símbolo de módulo.

B. O módulo estiver sobre pelo menos uma variável.

C. Após a simplificação surge o símbolo de módulo.

D. Somente tiver toda combinação sobre módulo.

2. A expressão 2

5 27 é igual a:

A. -4 B. -2 C. 5 27 D. 27 5

3. A distância entre as abcissas -4,8 e -1,3 é:

A. -6,1 B. 6,1 C. 3,5 D. -3,5

4. Escrevendo a expressão 6 2x sem o símbolo de módulo teremos:

A. 6 2 ; 3

2 6; 3

x se x

x se x

B.

6 2 ; 3

2 6; 3

x se x

x se x

C. 6 2 ; 3

6 2 ; 3

x se x

x se x

D.

6 2 ; 3

2 6; 3

x se x

x se x

5. Aplicando a definição sobre a expressão 1 5x x teremos:

A. 6 1; 1

5 1; 1

x se x

x se x

B.

16 1;

6

15 1;

5

x se x

x se x

C. 6 1; 1

6 1; 1

x se x

x se x

D.

6 1; 0

5 1; 0

x se x

x se x

6. Simplificando a expressão 2 10 25

5

x x

x

teremos:

A. 5x B.1 C. 1; 1

1; 1

se x

se x

D.

1 ; 5

1 ; 5

se x

se x

7. A condição para que a igualdade 3 6 2 8 4x x x seja verdadeira é:

A. 2x B. 2x C. 0x D. 0x


8. A definição correspondente para que a igualdade na condição dada,

2 1 1; 3;

3 2

xx se x

x

seja verdadeira é:

A. 1 2

3

x

x

B.

1 2

3

x

x

C.

2 1

3

x

x

D.

2 1

3

x

x

4. Equações modulares

Para resolver qualquer equação modular há que escolher dentre as propriedades

indicadas na página 5 que facilitem encontrar o resultado rapidamente. É preciso

ter cuidado com o empregue da disjunção inclusiva, aliás, neste caso de

resolução de equações modulares sé se emprega a disjunção inclusiva.

Definição: chama-se equação modular à semelhança de outras equações a toda

igualdade em que a variável aparece sobre símbolo de módulo.

Ex1.:

7 12 3 4 2 4 2 3 4 2 7 2 1

2 2

1 7.: ;

2 2

x x x x x x x x

sol

Mera explicação do sucedido: veja que a equação acima foi resolvida usando o

caminho mais curto, uma das propriedades, x a x a x a

Resolução geométrica da equação:

32 3 4 2

2x x

-2 -1 0 1 2 3 4 5

2 unidades 2 unidades

solução solução


* Leitura : A partir do número 3

2 na recta real podemos marcar 2 unidades de

duas maneiras: para a esquerda que termina em 1

2

e para a direita que

termina em 7

2

Ex2.:

3 5 3 5 3 5 8 2 .: 2;8x x x x x sol

ou pode-se resolver aplicando a propriedade 22 2x x x

2 2 22 2 23 5 3 5 3 5 0 3 5 3 5 0 8 2 0

8 0 2 0 8 2 .: 2;8

x x x x x x x

x x x x sol

Ex3.:

5 3 5 3 5 32 2 2

2 6 10 2 6 10

3 4 16

416

3

x x xx x x

x x x x

x x

x x

De: 3 0 3x x

4

;3 ; . :3

x sol x

Mera explicação do sucedido: quando tivermos na equação uma variável que

não esteja sobre o módulo obrigatoriamente temos que determinar o domínio de

existência para confirmar se os resultados obtidos na resolução da equação são

x 0 3


soluções. Neste caso concreto, nota-se que dos resultados obtidos só um é

solução.

Ex4.:

2 2 2 2 24 3 4 3 4 3 4 3 0 4 3 0

2 7 2 7 1 3 .: 2 7;2 7;1;3

x x x x x x x x x x

x x x sol

Veja que nesta equação modular foi possível resolvê-la não só pelos

conhecimentos agora adquiridos mas também conhecimentos de equações

quadráticas.


1. Resolva as seguintes equações aplicando o método geométrico:

a) 1 3x b) 2 4x c) 2 4 6x d) 3 3 6x e) 2 1 5x

2. Resolva as equações aplicando a definição:

a) 3 1 5x b) 4 5 3x x c) 4 2 6x d) 3 3 12x

e) 2 1 5x x f) 5 3 2x x g) 8 1 6x h) 4 12x x

i) 2 5 0x j) 2 1

53

x

x

k)

12

3 1

xx

x

l)

2 5 4x x

m) 2 5 4 0x x n)

2 4 4 2 1x x x o) 6 32

xx

3. Nos exercícios abaixo, resolva aplicando a propriedade:

a) 3 2x b) 3 2 4x c) 4 6x d) 3 1 2x e) 2 5 7x

4. Determine o valor do parâmetro m para que a equação 1 7mx tenha como

solução 3

;22

.

5. Qual deve ser o valor de k+12 para que a equação 3 1 14x k tenha

como solução 16

;43

.

6. Determine os valores de a e b para que 2x a b tenha como solução

2;3 .

7. Indique o valor que o k deve tomar para que a equação 3 1 2 1x k tenha

solução impossível.

8. Determine os valores que se encontram a 3 unidades do número -7.


TESTE DE AFERIÇÃO

1. Chama-se equação modular a qualquer igualdade:

A. Com membros positivos. B. Com coeficientes positivos.

C. Com pelo menos uma incógnita. D. Com incógnita sobre módulo.

2. A solução da equação 3 2 4x é:

A. 3 1x x B. 2 1x x C. 2

23

x x D. 2

23

x x

3. O valore de x para o qual a equação 2 12 4x x tem sentido é:

A. 2 2

7 5x x B. C.

2

7x D.

2

5x

4. A equação 3 2 1 0x x tem como solução:

A. B. 1 3

4 2x x C.

1

4x D.

3

2x

5. Os valores que o k pode tomar para que a equação 3 2 4x k não tenha

solução são:

A. ;4x B. ; 4x C. ;4x D. 4;x

6. A solução de equação 2 6 9 2 1x x x é:

A. 4

2;3

B. 2 C. 4

3

D.

7. O valor de k para que a 2 1 14k x tenha como solução 13 15

;4 4

é:

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8. A solução da equação 2 4 6 3x x em é:

A. 0;3 B. 1;3 C. 3 D.

Fim


5. Inequações Modulares

Chama-se inequação modular a qualquer desigualdade em que a variável figura

sobre o símbolo de módulo.

Para resolver qualquer equação modular recorre-se às propriedades acima

aplicadas em equações a diferença encontra-se na extracção de soluções.

Ora vejamos:

Ex1.:

2 3x

1. Pelo método da definição

2 3 2 3 5 1x x x x

Veja que neste caso a preferência foi necessariamente a definição mas

observou-se a no segundo ramo a inversão da desigualdade e o negativo no

segundo membro como a lei manda. Encontram-se imediatamente, por

simplicidade da inequação as desigualdades reduzidas. Para extracção de

solução basta representá-los na recta real. Veja abaixo:

Porque o conector de ligação é “ou”, simbolicamente ( ) a solução total ou

final é obtida pela reunião das soluções parciais.

A observância destes pequenos detalhes é fundamental para que a solução

seja verdadeira.

x -1 5 0

Sol.: ; 1 5;x


2. Pela propriedade

2 22 22 3 2 3 2 3 0

2 3 2 3 0 5 1 0

x x x

x x x x

3. Pelo método geométrico:

2 3x

A solução desta inequação é o conjunto de números que se encontram

depois de três unidades de número dois.

Ilustração geométrica

Então: sol.: ; 1 5;x

Ex2.:

1 4

1 4 1 4 5 3

x

x x x x

X

X-5

X+1

P

-1 5

— — +

+ + —

—

+

+

-1 0 2 5

3 unidades 3 unidades

x

Sol.2 Sol.1

x -3 5 0

Sol.: 1 2. :Sol f sol sol

Sol.: 3;5x

Sol.: ; 1 5;X


Lembre-se que quando se trata de inequações há que ter cuidado com o tipo de

desigualdade, visto que quando for maior (>) ou maior ou igual (≥), usa-se a

reunião para chegar a solução final, e quando for menor (<) ou menor ou igual

(≤), usa-se a intersecção para chegar à solução final.

Agora veja as inequações duplas:

Ex1.:

1

2

2 2 3 6

3 9 9 32 3 6 2 3 6 2 3 6 ; . : ;

2 2 2 2

1 5 5 12 3 2 2 3 2 2 3 2 ; . : ; ;

2 2 2 2

x

x x x x x sol x

x x x x x sol x

9 5 1 3Solf.: sol sol : x ; ;1 2

2 2 2 2

Veja que para resolver as inequações duplas há que considerar a relação de duas

a duas de acordo com as posições das desigualdades.

Neste caso concreto a expressão intermédia 2 3x é maior que 6 e menor que 2

e em separado resolvem-se as inequações específicas e depois a intersecção das

soluções específicas para a solução final.


1. Resolva as seguintes inequações aplicando o método geométrico:

a) 1 2x b) 3 4x c) 2 6 8x d) 3 6 9x e) 2 1 5x

2. Resolva as equações aplicando a definição:

a) 3 1 5x b) 4 5 3x x c) 4 2 6x d) 3 3 12x

e) 2 1 5x x f) 5 3 2x x g) 8 1 6x h) 4 12x x

i) 2 5 0x j) 2 1

53

x

x

k)

12

3 1

xx

x

l)

2 5 4x x

m) 2 5 4 0x x n)

2 4 4 2 1x x x o) 6 32

xx

3. Nos exercícios abaixo, resolva aplicando a propriedade:

a) 2 3x b) 2 3 4x c) 4 6x d) 3 1 2x e) 2 5 7x

4. Resolva as seguintes inequações duplas:

a) 3 4 1 9x b) 0 6 3 12x c) 3 5 10 15x


TESTE DE AFERIÇÃO

1. Chama-se inequação modular a qualquer desigualdade em que:

A. Com membros positivos. B. Com coeficientes positivos.

C. Com pelo menos uma incógnita. D. Com incógnita sobre módulo.

2. A solução da inequação 3 1 4x é:

A. 5

; 1 ;3

B.

5; 1 ;

3

C.

5; 1 ;

3

D. ; 1

3. Seria solução da inequação 6 2 5x :

A. 1 7

; ;2 6

B. 1 7

;2 6

C. 1 7

;2 6

D. 1 7

;2 6

4. A inequação dupla 2 3 1 8x tem como solução:

A. 7

; 1 1;33

B. 7

; 1 1;33

C. 7

;33

D.

Fim


Ficha de exercícios

Tema: O número Real e o seu módulo

1. Indique o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:

a) 1

4

b) 033,2

c) 3

d) 0

2

9

e) 0

f) 0453

g) 01,34

h) 1

8

i) 0 0

j) 0

l)

m)

n)

2. Complete com os sinais ; ; ; ; de modo a obter proposições verdadeiras

a) 03_____

b) 0 _____

c) 0 _____

d) 2,56 _____

e) 4

_____3

f) _____

g) 0 _____

h) 0 _____

i) 0 _____

3. Represente no eixo número os números seguintes:

a) -2

b) 1

3

c) 5

4

d) 0,5

e) 4

3

f) 3

g) 10

h) 6 2

i) 1 7

j) 1,33

k) 2,111...

l) 1

12

4. Complete com os símbolos ; ; ; de modo a obter proposições verdadeiras

a) 1_______ 2;15

b) 2 _______ ; 2

c) 0,75_______ ;0,89

d) _______ 3,13;7

e) 2; 1 _______ 0;

f) 2;5 _______ 2;5


5. Represente os seguintes conjuntos na forma de intervalos

a) 1

: 45

A x X

b) : 0,76B x X

c) : 19 0C x x

d) : 4 3D x x x

e) 1

:3 174

E x x

6. Indique o valor lógico das seguintes proposições:

a) A subtracção é sempre possível no conjunto

b) A divisão nem sempre é possível no conjunto

c) 00

d) 0\

e) ( \ )

f)

g) 2 2;5

h) 2x x

i) 2;3 2;3

j) 3,001 3;4

k) 2 1;2

7. Calcule:

a) 5 8

b) 3 5

c) 3 5

d) 3 5

e) 25 25

f) 3 72 3

8. Escreva as expressões equivalentes aos seguintes módulos

a) 2a

b) 2a

c) 2x , se 2x

d) 2x , se 2x

e) 1 4x , se 1

4x

f) 2 5x ; se 5

2x

Módulo de um número Real

Alvarino Varela

Página 21

9. Tomando em conta que 2x x , calcule

a) 225b

b) 2 4 236p q r

c) 2 22a ab b

d) 2 26 9p pq q

10. Indique as condições necessárias para verificar as seguintes

igualdades:

a) 2

2

xB

x

b) 3 ( 3)A x x

c)

2

2

( 1)

2 1

xC

x x

11. Indique as condições necessárias para verificar as igualdades:

a) 2 2x x

b) 3 3x x

c) 2 5 5 2x x

d) 1 3 3 1x x

12. Resolva

a) 1 2x

b) 3 2 5x

c) 2 5 8x

d) 3 2 3 0x x


Alvarino Varela

Página 22

13. Resolva

a) 5 7x b) 3 14

x c) 6 2 3x d) 3 0x

14. Resolva as inequações

a) 3 4x

b) 2 5 19x

c) 2 3 4x

d) 4 52

x

15. Resolva as seguintes inequações duplas:

a) 1 1 2,5x

b) 2 6 1x

16. Resolva

a) 3 5

32 2

x b) 7 1

32 4 2

x


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Página 23

Soluções da ficha

1. a) V b) F c) V d) F e) V f) V g) F h) V i) V j) F l) V m) v

2.

0 0 0

0 0

4) 3 ) ) ) 2,56 ) )

3

) ) ) 0

a Q b Q Q c Q Q d Q e Q f Z Q

g Z Q h Q Z i Z

3.

)1 2;15 ) 2 ; 2 ) 0,75 ;0.89 ) 3,13;7

) 2; 1 0; ) 2;5 2;5

a b c d

e f

4.

21 13

) ; ) ; 0,76 ) 19;0 ) ) ; 175 4

a A b B c C d D e E

5. a) F b) v c) v d) F e) V f) F g) F h) V i) F j) V K) V

6.

) 5 8 13 ) 3 5 8 ) 3 5 8 ) 3 5 2 ) 25 25 0

) 3 72 3 72

a b c d e

f


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Página 24

Teste

1. simplifique:

a) 3

3

xA

x

2. Indique o valor lógico da seguinte expressão proposicionais:

a) )x y x y b 2x x

3. Indique a distância do ponto de abcissa -2 até -11.

4. Indique a condição para a igualdade:

a) 3 6 6 3x x

5. Resolva a equação modular:

) 4 8 16 ) 2 1a x b x x

6. Resolva em R a seguinte inequação dupla: 2 2 6 8x

Fim


Alvarino Varela

Página 25

Soluções do teste

1.

3; 3

1; 33 3

3 1; 33; 3

3

xse x

se xx xA

x se xxse x

x

2. a) V b) v

3. 11 2 9 9 a distância é de 9 unidades.

4. 3 6 6 3 ; 2x x se x

5. 1

) 2;6 ) ;13

a b

6. 7; 4 2;1

Fim

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Tema: Módulo de um Número Real